Segunda Etapa

Progressões Aritméticas

Definição São sequências numéricas onde cada elemento, a partir do segundo, é obtido através da

soma de seu antecessor com uma constante (razão).

1 2 3 4 1 , , , , , , n na a a a a a

1

2

3

n

1º

2º :

3º

( )

a termo

a termoOnde

a termo

a n ésimo termo último

Razão Variação entre 2 elementos consecutivos da PA. Calcula-se por:

1 n nR a a

Classificação da PA

Limitada : possui quantidade de termos definidos.

 

Ilimitada : possui infinitos termos.

Crescente : possui raz o positiva. 0

Constante : possui raz o neutra. 0

Decrescente : possui raz o negativa. 0

ã R

ã R

ã R

Termo Médio Em um PA qualquer, com número ímpar de termos, o termo do meio será calculado através

da média aritmética dos extremos. Logo: 1

2na a

TM

.

Exemplo resolvido: Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) então o valor de x é?

Usando a fórmula do termo médio, temos: (x, x+5, -6)

x + 5 =2

6x 2.(x + 5) = x - 6 2x + 10 = x-6 2x - x = -6 -10 x = -16

Termo Geral Seja a sequência 1 2 3 4 1 , , , , , , n na a a a a a

e considerando a definição que diz:

“Uma PA é uma sequência numérica onde cada elemento, a partir do segundo, é obtido através da soma de seu antecessor com uma razão”, podemos deduzir:

2 1a a R 3 2a a R 4 3a a R

Ou ainda:

2 1a a R 3 1 2a a R 4 1 3a a R 5 1 4a a R

6 1 5a a R 7 1 6a a R 8 1 7a a R 10 1 9a a R

Desse raciocínio temos:

1 1na a n R

Exemplo resolvido: Qual é o décimo quinto termo da PA (4, 10......)? a1 = 4 a15 = 4 + (15 -1).6 r = 10 – 4 = 6 a15 = 4 + 14.6 = 4+84 = 88

Soma dos Termos

Substituindo-se o Termo Médio por sua respectiva fórmula, teremos: 1

2n

n

a aS n

,

onde: 1

1º t

t

º elementos

n

n

S Soma dos termos

a ermo

a último ermo

n N de

Exemplo resolvido: Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....).

a40 = 8 + (40 – 1).(-6) S40 = 40.2

2268

a40 = 8 + 39.(-6) = 8 – 234 S40 = -218.20 a40 = -226 S40 = -4360 Testes1. Em uma PA temos que o 1º termo vale 4 e a razão é 3. O oitavo termo é:

a) 14 b) 17 c) 21 d) 25 e) 28

2. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.

a) 50 b) 57 c) 45 d) 51 e) 53

3.O primeiro e o décimo termo de uma PA valem, respectivamente – 6 e 30. A razão desta PA vale:

A) – 8 B) – 6 C) 4 D) 6 E) 8 4.Para que x – 2, x e 2x – 3 sejam, nesta ordem, três termos consecutivos de uma PA, o valor de x deve ser: A) – 5 B) 0 C) 5/2 D) 2 E) 5 5.Na PA (2x – 9 , x + 1 , 3x – 1) a soma dos três termos vale: A) 12 B) 4 C) – 1 D) 5 E) 15 6. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem. A) 4 B) 12/ C) 8 D) 9 E) NDA 7. Numa PA em que a1=2 e a20=10 Qual é a soma dos 20 primeiros termos dessa PA? A) 420 B) 240 C) 300 D) 350 E) 120 8. Em uma Progressão Aritmética de razão 5 e primeiro termo -5, o duodécimo termo vale: A) - 5 B) 0 C) 5 D) 50 E) - 50 9. A soma dos trinta primeiros termos de uma PA cujo primeiro termo é -3 e a razão 5 é igual a: A) 1935 B) 2758 C) 3120 D) 4170 E) 2085 10. Em uma Progressão Aritmética de razão 3 e primeiro termo 2, o vigésimo termo vale: A) 60 B) 59 C) 58 D) 50

E) 52

11. Nas alternativas abaixo a sequência que representa uma PA de razão 3 é: A) (8, 16, 24) B) (5, 8, 11) C) (4, 12, 36) D) (25, 21, 17) E) (– 8, – 10, – 12) 12. O décimo primeiro termo da sequência (15, 19, 23, ...) é um número: A) entre 30 e 40 B) entre 40 e 50 C) entre 50 e 60 D) entre 60 e 70 E) maior que 70 13. Se o primeiro termo de uma PA é 19 e a razão é 2, então a soma dos 7 primeiros termos dessa PA vale: A) 40 B) 63 C) 88 D) 175 E) 243 14. Numa PA de 15 termos o primeiro é 7 e a razão é 9. Calcule o último termo. A) 95 B) 113 C) 123 D) 133 E) 142 15. Na sequência definida por an = 5n – 2, o termo a12 é igual a: A) 54 B) 55 C) 56 D) 57 E) 58 16. Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13° termo: A) 100 B) 112 C) 137 D) 115 E) 127 17. Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo: A) 60 B) 50 C) 58 D) 61 E) 57 18. Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12

primeiros termos desta PA: A) 700 B) 712 C) 714 D) 720 E) 710 19. Calcule a soma dos 25 primeiros termos da P.A(1, 3, 5, ...) A) 625 B) 615 C) 600 D) 620 E) 610 20. Para que valor de x a sequência (x-4, 2x, x+2) é uma P.A? A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) - 1 Gabarito

1. D 2. B 3. C 4. E 5. E 6. A 7. E 8. D 9. E 10. B 11. B 12. C 13. D 14. D 15. E 16. C 17. A 18. C 19. A 20. B

Progressões Geométricas

Definição São sequências numéricas onde, cada elemento, a partir do segundo, é obtido através da

multiplicação de seu antecessor por uma constante (razão).

De forma análoga a PA, temos:

1 2 3 4 1 , , , , , , n na a a a a a

1

2

3

n

1º

2º :

3º

( )

a termo

a termoOnde

a termo

a n ésimo termo último

Razão

É o quociente entre um elemento qualquer da PG e seu antecessor. Calcula-se por:

1

n

n

aq

a

Classificação da PG

1

1

1

1

Limitada : possui quantidade de termos definidos.

 

Ilimitada : possui infinitos termos.

0 1Crescente :

0 0 1

Constante : possui raz o neutra. 1

0 0 1Decrescente :

0 1

Alternan

a e q

a e q

ã q

a e q

a e q

te : possui raz o negativa. 0ã q

Termo Geral Seja a sequência 1 2 3 4 1 , , , , , , n na a a a a a

e considerando a definição que diz:

“Uma PG é uma sequência numérica onde, cada elemento, a partir do segundo, é obtido através da multiplicação de seu antecessor pela razão”, podemos deduzir:

2 1a a q 3 2a a q 4 3a a q

Ou ainda:

2 1a a q 2

3 1a a q 3

4 1a a q 4

5 1a a q

5

6 1a a q 6

7 1a a q 7

8 1a a q 9

10 1a a q

Desse raciocínio temos:

11

n

na a q

Exemplo resolvido: A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.

Razão da progressão: 6 : 2 = 3 an = a1 * q n–1 a8 = 2 * 3 8–1

a8 = 2 * 3 7 a8 = 2 * 2187

a8 = 4374

Soma dos Termos PG finita Dada uma PG com quantidade limitada de termos, determinamos sua soma por:

1 1

1

n

n

a qS

q

Exemplo resolvido: Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.

PG infinita A soma dos infinitos termos de uma PG se dá por:

1

1n

aS

q

Exemplo resolvido: Calcule a soma dos termos da P.G

4

5,

2

5,5

: a1 = 5 e q = 1/2

10

2

1

5

2

11

5

1

1

q

aSn

Testes 1. Determinar o primeiro, o segundo o quarto e o último elemento de cada uma das

sequências dadas abaixo: a) (1 , 3 , 9 , 27 , 81 , 243) a1 = a2 = a4 = an = b) (– 1 , – 2 , – 4 , – 8 , – 16 , – 32) a1 = a2= a4 = an = c) (128 , 64 , 32 , 16 , 8 , 4 , 2 ) a1 = a2 = a4 = an = 2. Determine a razão de cada uma das PG’s abaixo: a) (1 , 3 , 9 , 27 , ...) b) (5 , 10 , 20 , 40 , ...) c) (– 4 , 8 , – 16 , 32 , ...)

3. O quinto termo da PG (4 , 8 , ...) é: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 128

4. Na PG (1000, 100, ...) o sexto termo é: a) 0,01 b) 0,1 c) 1 d) 10 e) 100 5. Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...). a) a4= -12 e a7= 184 b) a4= - 24 e a7= 192 c) a4= -20 e a7= 190 d) a4= -14 e a7 = 188 e) a4= -16 e a7 = 186 6. Em uma PG, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. O quinto termo desta PG é a) 62 b) 67 c) 162 d) 167 e) 185

7. O segundo termo de uma P. G. crescente tal que a1 = 8 e a3 = 18 é igual a: a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15

8. O sexto termo de uma P.G é igual a 12500. Se a razão é igual a 5, qual é o terceiro termo? a) 100 b) 110 c) 90 d) 80 e) 120

9. Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa PG é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: a) 2 b) 10 c) 5 d) 4 e) 6 11. A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000) é: a) 222 222 b) 333 333 c) 444 444 d) 555 555 e) 666 666

12. A soma dos três primeiros termos da PG, cujo termo geral é an=2.3n, é a) 60 b) 72 c) 78 d) 10 e) 58. 13. Encontre o terceiro termo da PG (3, 6, …) sabendo que a razão é igual a 2: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

14.O limite da soma dos termos da PG ,...27

1,

9

1,

3

1 é

a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3 d) 3/4 e) NDA 15. Numa PG de quatro termos, o primeiro é -4 e a razão é 3. Determine o último termo. a) -100 b) -108 c) -102 d) -104 e) -106 16. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da PG (2, 6, 18, …): a) 726 b) 724 c) 722 d) 720 e) 728

17. O segundo termo da PG que possui a1 = 1 e a7 = 4096

1 é

a) 1/2 b) 1/4 c) – 1/4 d) – 4 e) – 16 18. Uma sequência numérica orientada sob forma de multiplicação é composta por 6 elementos onde o primeiro destes é 5 e a sua razão é 4. Determine o último termo desta sequência. a) 1024 b) 2048 c) 4096 d) 5120 e) 10240 19. Os termos extremos de uma PG crescente são 1 e 243. Se a soma dos termos dessa PG é 364, a razão e o número de termos são: a) 1/3 e 5 b) 1/3 e 6 c) 3 e 5 d) 3 e 6 e) 5 e 3 20. Determine o 12ª elemento de uma progressão geométrica onde o primeiro elemento é 1 e a razão é 2. a) 512 b)1024 c) 2048 d) 4096 e) 5098

Gabarito

1. aula

2. aula

3. D

4. A

5. B

6. C

7. C

8. A

9. C

10. A

11. D

12. C

13. E

14. A

15. B

16. E

17. B

18. A

19. D

20. A

NÚMEROS COMPLEXOS

Número Imaginário Chamamos de unidade imaginária o valor de - 1 . Assim: = - 1i

Potências de i 0 1 2 31 1i i i i i i

Testes

1. O valor de i452 é a) 1 b) i c) 0 d) – i e) – 1 2. O valor de i327 é a) 1 b) i c) 0 d) – i e) – 1 3. O valor de i942 é a) 1 b) i

c) 0 d) – i e) – 1 4. O valor da soma i13 + i42 + i103 é a) i b) – 1 c) 0 d) 1 e) i

Gabarito

1. A 2. D 3. E 4. B

Forma Algébrica

Re

m

a Parte alz a bi onde

b Coeficiente da parte i aginária

Testes

1. O valor de m para que z = 3 + (5m – 10)i seja um número real puro deve ser

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. O valor de m para que z = (2m – 6) + 4i seja um número imaginário puro deve ser

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5 3. Para que o complexo x + 2 + 8i seja um

número imaginário puro, x deve ser igual a A) – 8

B) – 2 C) 8 D) 2 E) ± 2

4. 2

4 - 4i é idêntico a

A) – 16i B) 16i C) – 32i D) 16 E) 32i 5. A solução da equação x² – 4x + 8 = 0 tem

por solução

A) 2 2i

B) 8 8i

C) 4 4i

D) 4i

E) 2i

Gabarito 1. B 2. C 3. B 4. C 5. A

Igualdade de Números Complexos

Para que os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di sejam iguais (z1 = z2), devemos ter a = c e b = d, ou seja, as partes reais devem ser iguais entre si e os coeficientes das partes imaginárias também.

Testes Básicos

1. Se o complexo a – b + 7i for igual ao complexo 3 + (a + b)i, então o valor de a b deve ser A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

2. Os valores de a e b para que a + bi 2 + i = 1 + 3i são

A) 2 e – 2 B) 1 e 3 C) 1 e – 1 D) – 1 e 1 E) 1 e 1 Gabarito

1. E 2. E

Operações entre Números Complexos Soma e Subtração: Devemos somar (ou subtrair) separadamente suas partes reais e suas

partes imaginárias. Exemplo: Sejam z1 = – 3 + 5i e z2 = 7 + 2i os valores de z1 + z2 e z1 – z2 são, respectivamente:

1 2

1 2

1 2

1 2

z + z - 3 + 5i + 7 + 2i

z + z - 3 + 5i + 7 + 2i

z + z - 3 + 7 + 5i + 2i

z + z 4 + 7i

1 2

1 2

1 2

1 2

z - z - 3 + 5i - 7 + 2i

z - z - 3 + 5i - 7 - 2i

z - z - 3 - 7 + 5i - 2i

z - z -10 + 3i

A Multiplicação se dará pela distribuição dos fatores entre os números complexos.

Exemplo: Sejam z1 = - 3 + 5i e z2 = 7 + 2i, o valor de 1 2z z é

1 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

z z - 3 + 5i 7 + 2i

z z - 3 7 - 3 2i + 5i 7 + 5i 2i

z z - 21 - 6i + 35i + 10i

z z - 21 + 29i + 10 -1

z z - 31 + 29i

Testes 1. O produto (x – 3i) (3 + xi), é um número

real, se x é igual A) 2

B) 3 C) 0 D) 2 E) 3 2. Se (2 + 2i) (a + bi) = – 2 + 18i, então |a

– b| é igual a A) 1 B) 4 C) 5 D) 9

E) 16 3. Se (a + bi) (1 + i) = 10, então a + b é

igual a A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 10 Gabarito

1. B 2. A 3. A

Conjugado de um Número Complexo Seja z = a + bi um número complexo. Definimos como seu conjugado ao complexo

z = a - bi . Assim, observe:

z = a + bi

z = a – bi

2 + 3i 2 – 3i 4 – 5i 4 + 5i – 2 + 3i – 2 – 3i – 4 – 5i – 4 + 5i

A Divisão entre dois números complexos se dará pelo produto entre a fração original e a fração formada pelo conjugado do denominador. Exemplo: Sejam z = 3 – 5i e w = 2 + 4i dois números complexos, então o valor de z/w é?

z 3 - 5i

, assimw 2 + 4i

z 3 - 5i 2 - 4i

w 2 + 4i 2 - 4i

22

z 3 2 - 3 4i - 5i 2 + 5i 4i

w 2 - 4i

2z 6 - 12i - 10i + 20i

w 4 + 16

z 6 - 12i - 10i - 20

w 20

z 6 - 20 - 12i - 10i

w 20

z - 14

w

- 22i

20

z - 7 - 11i

w 10

Testes 1. O produto do complexo a + bi pelo seu conjugado é igual a 1. Logo: A) a² + b² = 0 B) a² - b² = 0 C) a² - b² = 1 D) a² b² = 1 E) a² + b² = 1 2. Para que (a + 3) + (3b – a)i seja igual ao conjugado de 2a – 3i, o valor de a + b é: A) – 2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

3. O conjugado de 2 3

2

i

i

é:

A) 6 – i B) 3/2 – i C) 3/2 + i D) – 3/2 – i E) – 6 + i 4.O quociente da divisão do complexo 8 – i pelo complexo 2 + 3i é o complexo: A) 1 – 26i B) 4 – i/3 C) 1 – 2i D) 19/3 – 2i E) – i

5. O quociente de 4 3 2i por 3 i é

A)

5 3 3

2 2

i

B)– 2

C) 10 6 3i

D)3 3

32

i

E) 32

i

Gabarito

1. E 2. E 3. C 4. C 5. A

Módulo de um Número Complexo

Re

Im

z1

a

b

q

r

2 2 = a + br

Testes

1. O módulo do complexo 2 4 3i é:

A) 2 5

B) 5 3

C) 3 2

D) 5 2

E) 4 5

2. O módulo do complexo 1 i

i

é:

A) 2 2

B) 2

2

C) 2

D) 4 2

E) 2

3. O módulo do número complexo 1Z = 1 + i 3

2 é:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Os imaginários puros que tem o mesmo módulo de 2 + i, são: A) 2i

B) 3 i

C) 5i

D) 3i

E) 5 i

5.O número complexo (a, b), representado abaixo no plano complexo e cujo módulo é 3 ,

pode ser escrito na forma algébrica como:

2

3

p

(a , b)

A) 3 - 3i

B) 3 - 3i

2

C) - 3 + 3i

2

D) 3 - 3i

2

E) - 3 + 3i

2

6. O módulo do complexo 1 3

2

iZ

i

é:

A) 2

B) 3

C) 5

D) 3 E) 2

7. O módulo do complexo 276 8z i é: A) 6 B) 10 C) 8 D) 5 E) 15 Gabarito

1. D

2. E

3. A

4. C

5. E

6. A

7. B

Sugestão de sites para consulta:

1. www.alunosonline.com.br 2. www.somatematica.com.br 3. www.matematicadidatica.com.br

Referências Bibliográficas: YOUSSEF, A. N.; SOARES, E. & FERNANDEZ, V. P. Matemática: de olho no mundo do

trabalho. Volume único. São Paulo: Editora Scipione, 2004. MACHADO, A. DOS S. Matemática Machado. Volume único. São Paulo. Editora Atual, 2009. DEGENSZAJN, D; DOLCE, O; IEZZI, O. & PÉRIGO, R. Matemática – Volume único. São

Paulo: Editora Atual, 5ªed., 2011.