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Prof. Leandro Franco de Souza Professores: Antônio Castelo Filho Fernando Marques Federson Leandro Franco de Souza Luis Gustavo Nonato Michael George Maunsell Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Professores:

Antônio Castelo FilhoFernando Marques FedersonLeandro Franco de SouzaLuis Gustavo NonatoMichael George Maunsell

Métodos Numéricos paraMecânica dos Fluidos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Bibliografia: J. H. Ferziger and M. Peric, 'Computational Methods for Fluid Dynamics', 

Springer­Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997.

R. W. Fox e A. T. McDonald, 'Introdução a mecânica dos Fluidos', Guanabara, 1985.

H. Schlichting, 'Boundary Layer Theory', McGraw­Hill, 1979.

F. M. White, 'Fluid Mechanics', McGraw­Hill, 2001.

Métodos Numéricos paraMecânica dos Fluidos

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Prof. Leandro Franco de Souza

O que é fluido?

“ Substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço tangencial, não importando quão diminuto seja este esforço.” (Fox & McDonald)

O que estuda a mecânica dos Fluidos?

“ Estuda o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento.” (Fox & McDonald)

Mecânica dos Fluidos

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Prof. Leandro Franco de Souza

Exemplos de fluidos:

Ar; Água; Sangue; Óleo; Petróleo;Gasolina;  Álcool; Querosene; Gases de combustão;Pasta de dente; Mel; Soluções; bolhas; gotas;Gelatina; Glicerina; etc.

Mecânica dos Fluidos

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Hipótese do CONTÍNUO:

O  fluido  é  tratado  como  uma  substância  que  pode  ser dividida  ao  infinito,  um  contínuo,  sem  nos preocuparmos  com  o  comportamento  individual  de suas moléculas.

Mecânica dos Fluidos

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VISCOSIDADE:Se a  tensão  tangencial  for diretamente proporcional às 

respectivas  taxas  de  deformação,  o  fluido  é  chamado de  Newtoniano;  caso  contrário  de  não  Newtoniano. Este  coeficiente  de  proporcionalidade  é  chamado viscosidade.

Mecânica dos Fluidos

Fluid

U

Steady state

dz

duzx µτ =

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Escoamentos VISCOSOS: sabemos que todos os fluidos possuem viscosidade;

Escoamentos  NÃO­VISCOSOS:  a  hipótese  de viscosidade nula pode ser adotada no estudo de vários problemas, pois simplifica a análise e ao mesmo tempo conduz a resultados satisfatórios.

Mecânica dos Fluidos

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Escoamentos  LAMINARES  são  caracterizados  pelo suave movimento em laminas ou camadas;

Escoamentos TURBULENTOS são caracterizados pelo escoamento  tridimensional  das  partículas  cujos movimentos  caóticos  superpôem­se  ao  movimento médio.

Escoamentos  TRANSICIONAIS  caracterizam­se  pela mudança no regime do escoamento.

Mecânica dos Fluidos

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Escoamentos  ESTACIONÁRIOS  são  caracterizados pelo  movimento  contante  no  tempo,  ex.:  escoamento numa turbina de uma hidroelétrica.

Escoamentos  NÃO  ESTACIONÁRIOS  são caracterizados por escoamentos que variam no tempo, ex.:  escoamento  de  gases  de  combustão  de  um  motor ciclo otto ou diesel.

Mecânica dos Fluidos

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Escoamentos de fluidos COMPRESSÍVEIS são aqueles que  as  variações  da  densidade  do  fluido  não  são desprezíveis,  caso  contrário  eles  são  denominados  de escoamentos de fluidos INCOMPRESSÍVEIS.

Mach=V/CV ­> velocidade do escoamentoC ­> velocidade local do somM<0.3  ­> escoamentos incompressíveis0.3<M<1.0  ­> escoamentos subsônicosM>1.0   ­> escoamentos supersônicosM>5.0 ­> escoamentos hipersônicos

Mecânica dos Fluidos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Princípios de Conservação:

Podem  ser  derivados  levando  em  consideração  uma dada quantidade de matéria ou volume de controle e suas propriedades extensivas como massa, momentum e energia.

Conservação da massa (continuidade);Equações de momentum (2a lei de Newton);Conservação da energia (1a lei da termodinâmica).

Conceitos básicos de escoamentos

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Volume de controle e Superfície de controle

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Conservação de Massa (Continuidade):

A  massa  não  pode  ser  criada  nem  destruída  nos escoamentos de interesse da engenharia.

Conceitos básicos de escoamentos

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Equações de Momentum:

A  soma  da  quantidade  de  momentum  em  um  VC  e  o fluxo de momentum que passa através das SC é igual a soma das forças que agem num VC.

Forças de massa e de superfície.

Conceitos básicos de escoamentos

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Prof. Leandro Franco de Souza

Equações de Momentum:

Forças  de  massa:  gravidade,  centrífuga,  força  de Coriollis, etc...

Conceitos básicos de escoamentos

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Equações de Momentum:Forças de superfície: pressão, tensões normal e de 

cisalhamento.

Elemento diferencial

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Equações de Momentum:

Equações de Navier­Stokes para movimento

Conceitos básicos de escoamentos

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Equações de Navier­Stokesforma diferencial ­ coordenadas cartesianas

onde:

Conceitos básicos de escoamentos

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Conceitos básicos de escoamentos

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Equações de Navier­Stokesforma diferencial ­ coordenadas cartesianas

Conceitos básicos de escoamentos

convecção difusãopressãoDer. Temporal       local

T. fonte

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Conservação da energia

1a lei da termodinâmicaAplicando  o  teorema  de  transporte  de  Reynolds,  a  lei  de 

Fourier,  conceito  de  entalpia  etc...  chegamos  a  equação  de conservação de energia na forma diferencial:

Conceitos básicos de escoamentos

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Adimensionalização

Resultados  experimentais  ­>  maior  número  de informações com o menor número de ensaios.

MecFlu depende de maneira complexa dos parâmetros geométricos e do escoamento.

UParâmetros do escoamento: diâmetro da esfera, velocidade,densidade e viscosidade.

Conceitos básicos de escoamentos

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Adimensionalização

Eq. Navier­Stokes p/ escoamento incompressível:

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

z

u

y

u

x

u

x

pgx

ρ

µρ2

2

2

2

2

2

Conceitos básicos de escoamentos

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Adimensionalização

U

uu

L

zz

L

Utt

L

yy

U

pp

L

xx

DD

DD

DD

==

==

== 2ρ

Conceitos básicos de escoamentos

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Adimensionalização( )

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂−

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)/(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)( 2

2

2

2

2

22

Lz

UuUw

Ly

UuUv

Lx

UuUu

ULt

Uu

Lz

Uu

Ly

Uu

Lx

Uu

Lx

Upg

D

DD

D

DD

D

DD

D

D

D

D

D

D

D

D

D

Dx

ρ

µρ

ρ

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

D

DD

D

DD

D

DD

D

D

D

D

D

D

D

D

D

Dx

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

L

U

z

u

y

u

x

u

L

U

x

p

L

Ug

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ρ

µρρ

Simplificando:

Conceitos básicos de escoamentos

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Adimensionalizaçãodividindo por ρU2/L:

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

D

DD

D

DD

D

DD

D

D

D

D

D

D

D

D

D

Dx

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

z

u

y

u

x

u

ULx

p

U

Lg2

2

2

2

2

2

2 ρµ

Conceitos básicos de escoamentos

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Adimensionalização

onde:Re é o número de Reynolds ­> F_inercia/F_viscosaFr é o número de Froude ­> F_inercia/F_gravitacional

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

D

DD

D

DD

D

DD

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

x

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

z

u

y

u

x

u

x

p

Fr 2

2

2

2

2

2

Re

11

Conceitos básicos de escoamentos

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Adimensionalização

Escoamentos  com  o  mesmo  número  de  Reynolds  tem comportamento semelhante.

Ex.:ar  ­> v=30 m/s; L= 10 cm; nu=1.5x10^(­5)água ­> v=5 m/s; L= 4 cm; nu=1.x10^(­6)

Re = 200 000

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos Simplificados

Equações  de  momentum  e  continuidade  são  complexas  ­>  não lineares, acopladas e difíceis de resolver.

Solução  analítica  ­>  escoamentos  desenvolvidos  em  geometrias simples.

Casos onde a  solução das equações é possível vários  termos nas equações  são  nulos;  em  outros  casos  a  influência  de  alguns termos pode ser muito pequena.

Pode­se simplificar as Eqs. de Navier­Stokes.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Incompressível e isotérmico

M<0.3Variações da densidade menores do que 5%

Continuidade:

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Incompressível e isotérmico

Eq. Navier­Stokes

Conceitos básicos de escoamentos

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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Invíscido

Em  escoamentos  longe  de  superfícies  o  efeito  da viscosidade é muito pequeno.

A equação da continuidade fica inalterada:

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Invíscido

A equação de Navier­Stokes:

é simplificada para:

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Potencial

É  um  dos  mais  simples  modelos  para  simulação  de escoamentos;

O escoamento é considerado inviscído;Uma  condição  a  mais  é  imposta:  o  campo  de  velocidades 

deve ser irrotacional ­> rot(u)=0,

desta condição existe uma velocidade potencial tal que u=grad(v), então a equação de continuidade vira uma equação de laplace ­>div(grad(v))=0.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Potencial

A equação de Navier­Stokes se transforma na equação de Bernoulli:

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento de baixo Reynolds

Quando  a  velocidade  do  escoamento  é  muito  baixa  ou  as dimensões  da  geometria  são  muito  pequenas  os  termos convectivos  são  muito  pequenos  se  comparados  aos termos difusivos e podem ser desprezados.

A equação da continuidade tem a forma:

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento de baixo Reynolds

A equação de Navier­Stokes:

é simplificada para:

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosCamada Limite

Prandtl ­> 1904Fluido perfeito X Fluido real

Condição de não deslizamento

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosCamada Limite ­> Simplificações

Difusão  na  direção  do  escoamento  é  pequena  e  pode  ser negligenciado;

O componente de velocidade na direção do escoamento é muito maior do que os componentes nas outras direções;

O  gradiente  de  pressão  perpendicular  ao  escoamento  é  muito menor do que na direção principal do escoamento.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Modelos Matemáticos SimplificadosModelos de Escoamentos Complexos

Turbulência;Combustão;Escoamentos multifásicos; outros...

A  descrição  exata  de  tais  fenômenos  é  impraticável, portanto  é  feito  o  uso  de  modelos  semi­empíricos,  ex.: modelos de turbulência, modelos de combustão.

O uso de modelos afeta a precisão da solução, deve­se ter cuidado com as conclusões obtidas.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Classificação Matemática dos Escoamentos

As Equações Diferenciais Parciais (EDP) de segunda ordem podem ser divididas em três tipos:

Hiperbólicas,  Parabólicas e Elípticas. 

A distinção é baseada na natureza das características, curvas nas quais a informação sobre a solução é transportada.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Hiperbólicas

As características são reais e distintas.A propagação da informação se dá em duas direções.

Necessita­se de duas condições iniciais.

Ex.: escoamento não estacionário invíscido compressível.Um escoamento compressível suporta ondas de choque e as 

equações para este fenômeno são essencialmente hiperbólicas.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Parabólicas

As Eq. características degenera para um único real.A informação trafega apenas numa direção

Consequentemente apenas uma condição inicial é necessária.

Ex.: Camada Limite.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Elípticas

As características são imaginárias ou complexas.A informação não tem direção preferencial para propagar, e 

trafega bem em todas as direções.Necessita­se de condições de contorno apropriadas.

Ex.: Escoamento com região de recirculação; distribuição de temperatura numa placa.

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Mistas

Existem diversos fenômenos em que as equações governantes são do tipo misto.

Ex.: Escoamento incompressível não estacionário ­> combinação de Eq. Elípticas e ParabólicasEscoamento estacionário transônico ­>

combinação de Eq. Hiperbólicas e Elípticas

Conceitos básicos de escoamentos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

O que é?Resolver as Equações de conservação computacionalmente

É não linear em U;A pressão não tem derivada temporal;A equação acima não tem solução geral;Só é possível resolver usando computadores.

Mecânica dos Fluidos Computacional ­ CFD

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Por que?

Permite o estudo de fenômenos de escoamentos;É mais barato do que experimento;É não intrusivo e repetitivo;É mais rápido para realizar estudos paramétricos;É divertido.

Mecânica dos Fluidos Computacional ­ CFD

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Mecânica dos Fluidos Computacional ­ CFDAPLICAÇÕES:

Cálculos Climáticos; Combustão; Compressores; Máquinas de resfriamento;  Ciclones;  Secadores;  Filtros;  Escoamento  de Água  no  meio  ambiente;  Aquecimento  ou  Resfriamento  de Ambientes;  Reações  catalíticas;  Manobras  de  navios; Misturadores;  Escoamentos  Oceânicos;  Fornos;  Conforto  de Passageiros;  Aeronaves;  Bombas;  Separadores;  Turbinas; Válvulas;  Dispersão  de  Lixo  no  Meio  Ambiente; Armazenamento  de  Água;  Previsões  Meteorológicas;  Forças do vento em Prédios; Escoamentos transicionais; Escoamentos em Meio Poroso; etc...

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Computacional possue modelos que podem  interferir na física do escoamento;

Computacional  não  substitui  o  experimental  mas complementa;

Estudos  computacionais  ainda  não  estão  avançados  o bastante para substituir estudos experimentais.

Computacional  X  Experimental

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Escoamentos  são  bem  modelados  pelas  eq.  de  Navier­Stokes;

Mecânica  dos  Fluidos  computacional  =  resolver  eq.  NS computacionalmente; 

De  acordo  com  o  escoamento  a  ser  estudado  pode­se realizar simplificações para facilitar os cálculos;

Equações  parabólicas,  hiperbólicas  e  elípticas  possuem características diferentes e portanto métodos de solução diferenciados.

Resumo: