mecânica dos fluidos 2013

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, NATURAIS E TECNOLOGIAS Curso de Engenharia Química Disciplina: Mecânica dos Fluidos Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química Prof. Dr. Reinaldo Pisani Jr. Ribeirão Preto 2013

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Page 1: Mecânica dos Fluidos 2013

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, NATURAIS E TECNOLOGIAS

Curso de Engenharia Química

Disciplina: Mecânica dos Fluidos

Estática dos Fluidos e Balanços Integrais

para Engenharia Química

Prof. Dr. Reinaldo Pisani Jr.

Ribeirão Preto

2013

Page 2: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 2

1 Introdução

1.1 Importância da Mecânica dos Fluidos para Engenharia Química

A técnica de transporte de fluido por escoamento é muito importante no âmbito

da Engenharia Química por ser costumeiramente mais econômica. O processamento de

líquidos é normalmente mais simples e barato que o de sólidos ou de gases.

Consequentemente, os engenheiros químicos tendem a optar por processos em via

líquida envolvendo líquidos puros, soluções e suspensões.

A Mecânica dos Fluidos é uma área do conhecimento do conhecimento que

estuda o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento (escoamento), que

correspondem respectivamente à Estática dos Fluidos e à Dinâmica dos Fluidos. A

Mecânica dos Fluidos por sua vez faz parte da Mecânica do Contínuo que também

envolve o estudo da deformação e tensionamento dos sólidos. Fluido é um estado da

matéria que permite deformação contínua quando aplicada uma tensão de cisalhamento

(força tangencial distribuída em uma área de aplicação).

O Processo Químico é o principal objeto de análise da Engenharia Química,

sendo este definido como uma sequência ordenada de transformações físicas (Operações

Unitárias) e químicas (Processos Unitários) com o intuito de converter matérias-primas

e energia em produtos e emissões, efluentes e resíduos. Cada uma das etapas

elementares de transformação constitui uma operação ou um processo unitário.

As técnicas de projeto de operações unitárias são baseadas em princípios

teóricos ou empíricos de transferência de massa, transferência de calor, transferência de

quantidade de movimento, termodinâmica, biotecnologia e cinética química. Desta

forma, os processos podem ser estudados de forma simples e unificada. Cada Operação

Page 3: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 3

Unitária é sempre a mesma operação, independente da natureza química dos

componentes envolvidos. Por exemplo, a filtração, separação de uma fase particulada de

uma fase fluida pela ação de uma barreira física (meio filtrante), é um caso particular do

escoamento em um meio poroso, independentemente se ocorre em uma indústria de

alimentos ou em uma petroquímica. O Quadro 1 contém as principais operações e

processos unitários da Engenharia Química.

Quadro 1.1 Principais operações e processos unitários da Engenharia Química

Operações Unitárias Processos Unitários

Transporte de líquidos Combustão

Transporte de gases Oxidação

Transporte de sólidos Neutralização

Transmissão de calor e Trocadores de calor Eletrólise

Fragmentação e Moagem Calcinação

Agitação e Mistura Desidratação

Classificação e Peneiramento Nitração

Fluidização Esterificação

Extração líquido-líquido Redução

Lixiviação Halogenação

Sedimentação e Espessamento Sulfonação

Filtração Hidrólise

Centrifugação Hidrogenação

Evaporação Alquilação

Secagem Polimerização

Destilação Fermentação

Cristalização Pirólise

Absorção Aromatização

Adsorção Isomerização

Pervaporação

1.2 Conceitos Fundamentais

A Mecânica dos Fluidos é uma área do conhecimento que estuda o

comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento (escoamento), que

correspondem respectivamente à Estática e à Dinâmica dos Fluidos.

Page 4: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 4

O fluido é um estado de agregação da matéria que se deforma continuamente

quando submetido a uma tensão de cisalhamento (força tangencial, com direção e

sentido, distribuída em uma área de atuação no fluido, ou seja, por unidade de área). De

maneira geral:

Fluido Gases, Líquidos, Vapores e Pastas

Nos estudos da Estática e da Dinâmica dos Fluidos, os fluidos são considerados

meios contínuos, infinitamente divisíveis de forma a não alterar suas propriedades

intensivas (massa específica, temperatura, viscosidade, pressão, etc.), deixa-se de lado

que sejam formados por átomos e moléculas. Dessa forma, o equacionamento aplicado

poderá envolver os conceitos de derivada e integral.

Considere duas placas horizontais e paralelas, conforme indica a Figura 1.1,

sendo o espaço entre elas preenchido com um fluido “bem comportado” em repouso.

Ft

y

x

Ft

y

x

Ft

y

x

t = 0

t ≈ 0

t >> 0

Ft

y

x Ft

y

x

Ft

y

x

Ft

y

x

t = 0

t ≈ 0

t >> 0

Figura 1.1 Esquema do escoamento entre placas horizontais no regime permanente

Page 5: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 5

Repentinamente, a placa superior é movimentada com velocidade constante pela

ação de uma força tangencial (Ft). Instantaneamente, a camada de fluido que está em

contato direto com esta placa adquire a sua velocidade (não escorregamento na interface

sólido – fluido). Esta lâmina de fluido tende a deslizar sobre a lâmina de fluido inferior

adjacente, mas o atrito entre elas, devido ao comportamento elástico e viscoso do fluido,

imprime movimento a esta segunda camada e assim sucessivamente, até a placa inferior

que permanece fixa. Por outro lado, a interação cisalhante entre as camadas de fluido

implica na existência de transferência de quantidade de movimento entre as camadas

pelo atrito. A tensão de cisalhamento pode ser interpretada como um fluxo de

quantidade de movimento devido ao caráter viscoso do fluido.

A força tangencial aplicada na área de cada lâmina de fluido é um tensor

chamado tensão de cisalhamento () A nomenclatura para os índices da tensão de

cisalhamento obedece ao seguinte critério: o primeiro índice é a direção da transferência

e o segundo, corresponde a direção do escoamento. No exemplo da Figura 1.1, a tensão

de cisalhamento (yx) entre as lâminas do fluido “bem comportado” se relaciona com a

velocidade de cada lâmina para a maioria dos líquidos e gases através da relação de

Newton (fluido de Newton ou newtoniano):

dy

dVxyx (1.1)

sendo a viscosidade do fluido (kg/m.s) e dVx/dy a taxa de deformação (1/s), diferença

de velocidade entre dois pontos na vertical no caso da Figura 1.1, e é a viscosidade do

fluido (kg/m.s).

Page 6: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 6

No caso em análise, tomando-se como ponto de partida a Equação 1.1 e o

sistema de coordenadas da Figura 1.1, o sinal apropriado é negativo, pois a velocidade

do fluido na direção x é decrescente com a variável y. Então, a Equação 1.1 ficaria na

forma da Equação 1.2:

dy

dVxyx (1.2)

A constante de proporcionalidade das equações 1.1 e 1.2 é a viscosidade

(viscosidade absoluta, viscosidade dinâmica ou viscosidade de Newton), está

relacionada à resistência do fluido ao escoamento (atrito entre as camadas adjacentes de

fluido no escoamento laminar) e é proveniente de interações intermoleculares das

espécies químicas que compõem o fluido. De maneira geral, a viscosidade dos líquidos

diminui com o aumento da temperatura, enquanto que para gases, aumenta com a

temperatura. É comum expressar os valores da viscosidade m em kg.m-1

.s-1

, o mesmo

que Pa.s, no Sistema Internacional ou em centpoise (cP, lê-se centpoase, 10-2

g.cm-1

.s-1

)

no Sistema CGS.

Os fluidos que não obedecem ao comportamento descrito pela Equação 1.1, na

qual a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional com a taxa de deformação,

são denominados fluidos não-newtonianos, como por exemplo, creme dental, tinta,

suspensão de amido em água, suspensão de argila em água, lamas de perfuração,

ketchup, maionese, chocolate, sangue e polímeros amolecidos. A relação entre a tensão

de cisalhamento e a taxa de deformação para diferentes condições, como a deformação

oscilatória ou o fluxo extensional, que são medidos em diferentes dispositivos

denominados reômetros. As propriedades reológicas são estudadas através do uso de

equações constitutivas.

Page 7: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 7

Os fluidos não-newtonianos cujas propriedades não são dependentes do tempo

são:

- Dilatante: a viscosidade aumenta com o aumento da tensão, partindo da

origem.

- Pseudoplástico: a viscosidade diminui com o aumento da tensão, partindo da

origem

- Binghamianos: fluidos que requerem a aplicação de uma tensão mínima para

que ocorra o escoamento (deformação). Se submetidos a pequenas tensões se

comportam como sólidos.

Os fluidos cujas propriedades reológicas são dependentes do tempo são:

- Reopético: a viscosidade aparente aumenta quando a taxa de deformação

aumenta. Por exemplo, o sangue.

- Tixotrópicos: a viscosidade aparente diminui com o tempo, após a taxa de

deformação ser aumentada. Por exemplo, tintas.

A Figura 1.2 contém o comportamento da tensão de cisalhamento em função da

taxa de deformação para fluidos não-newtonianos, cujas propriedades reológicas não

apresentam dependência temporal.

Tensão mínima

Taxa de deformação

pseudoplástico com tensão mínima

binghamiano

pseudoplástico

newtoniano

dilatante

dy

dV:

Figura 1.2 Diagrama reológico para fluidos não-newtonianos sem dependência temporal

Page 8: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 8

Um exemplo de um fluido não-newtoniano pode ser feito adicionando-se amido

de milho a uma xícara de água. Adicione o amido em porções pequenas e misture

devagar. Quando a suspensão estiver próxima da concentração crítica, com a

consistência de um creme de leite, a propriedade "dilatante" fica evidenciada.

A viscosidade cinemática (letra grega “ni”) é a relação entre a viscosidade de

Newton e a massa específica do fluido () (Equação 1.3):

(1.3)

A viscosidade cinemática é expressa em m2.s

-1 no SI, ou em centstokes (cSt,

equivalente a 10-2

cm2.s

-1) no CGS.

É importante ressaltar que a tensão de cisalhamento pode ser interpretada como

um fluxo de quantidade de movimento causado pelo atrito entre as camadas adjacentes

de fluido. Note que na situação apresentada na Figura 1.1 ocorre transferência de

quantidade de movimento da região de maior velocidade (próxima à placa superior)

para a região de menor velocidade (próxima à placa inferior). O mecanismo é análogo à

transferência de calor por condução, na qual o fluxo de calor (q/A) se dá da região de

maior temperatura (T) para a de menor temperatura (Equação 1.4). E o mesmo ocorre na

transferência de massa (transferência de soluto) por difusão, em que o fluxo de soluto

(JA) ocorre da região de maior para a de menor concentração (CA) (Equação 1.5):

dy

dTk

A

q (1.4)

na qual k é a condutividade térmica do material.

Page 9: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 9

dy

dCDJ A

ABA (1.5)

sendo que DAB é a difusividade mássica do soluto A no meio B.

Exercícios Propostos

Exercício 1.1 Comente, conceitue e dê exemplos com suas palavras: a) fluido; b) meio

contínuo; c) tensão de cisalhamento; d) quantidade de movimento; e) viscosidade; f)

fluido newtoniano e não-newtoniano; g) não escorregamento na parede.

Exercício 1.2 A viscosidade absoluta do ar atmosférico a 20oC e 1 atm é igual a 1,8.10

-5

Pa.s, sendo assim, calcule a viscosidade cinemática do ar nessas condições em m2.s

-1 e

em cSt. Dados: massa molar média do ar 29 g/mol. Constante universal dos gases igual

a 0,082 atm.L.mol-1

.K-1

.

Exercício 1.3 Faça uma pesquisa na rede mundial de computadores para identificar

fluidos não-newtonianos que são classificados como: dilatante, pseudoplástico,

binghamianos, reopéticos e tixotrópicos.

Referências

FOX, R. W., MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5 ed. Rio de

Janeiro: LTC, 1998. 504 p.

GEANKOPLIS, C. J. Transport processes and separation process principles. 4. ed.

Englewood Cliffs: Prentice Hall PTR, 2003. 1025 p.

Page 10: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 10

2 Estática dos Fluidos

Um fluido em repouso (sem movimento relativo e sem deformação angular)

implica na ausência de tensões cisalhantes, No entanto, em repouso, quanto em

movimento de corpo rígido (por exemplo, água sendo transportada em um balde), os

fluidos são capazes de suportar tensões normais.

A tensão normal é resultante da ação de uma força normal (perpendicular) à

superfície e distribuída na área do ponto de aplicação. Pode ser positiva ou negativa,

respectivamente a favor ou contra o sistema de eixos de referência (normalmente os

eixos cartesianos). A Figura 2.1 mostra uma força dF sendo aplicada em um ponto de

dA.

dA

dFn

dFt

dF

dA

dFn

dFt

dF

Figura 2.1 Esquema de aplicação de uma força dF em um meio contínuo de área dA

com suas componentes normal e tangencial

Page 11: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 11

Note que a força dF pode ser decomposta em uma componente normal (dFn) e

em uma componente tangencial (dFt). As tensões normal () e cisalhante () são

definidas respectivamente pelas equações 2.1 e 2.2.

dA

dFn (2.1)

dA

dFt (2.2)

Considere um volume de controle de dimensões x, y e z, conforme indica a

Figura 2.2. O fluido na condição estática preenche o volume de controle e contempla

toda a vizinhança, ou seja, o volume de controle está imerso e preenchido pelo fluido.

A condição estática do fluido no interior do volume de controle aliada à 2ª Lei

de Newton resulta em (Equação 2.3):

0. amR

(2.3)

em que, R

é a força resultante que atua no fluido, m é a massa de fluido presente no

volume de controle e a

é a aceleração da massa de fluido contida no volume de

controle.

Page 12: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 12

z

z + z

x

y

z

x x + x

y

y + y

y

z

x

Fluido

z

z + z

x

y

z

x x + x

y

y + y

y

z

x

z

z + z

x

y

z

x x + x

y

y + y

y

z

x

Fluido

Figura 2.2 Volume de controle infinitesimal fixo no espaço com dimensõesx, y e z,

com fluido estático nas vizinhanças

Nos casos de interesse da Engenharia Química, as forças que exercem influência

no fluido são a força proveniente do campo gravitacional (Fg) e a força oriunda da

diferença de pressão (Fp) nas faces do volume de controle. Não estão presentes forças

de atrito, pois não há solicitação ou tendência ao escoamento, uma vez que o fluido está

estático. Sendo assim, a Equação 2.3 pode ser escrita como (Equação 2.4):

0 pg FFR

(2.4)

A Equação 2.4 envolve uma soma vetorial, na qual é prática a decomposição das

forças nas três direções, x, y e z para coordenadas cartesianas:

0xpxgx FFR

Page 13: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 13

0ypygy FFR

0zpzgz FFR

O caso geral, em que há aceleração da gravidade nas três direções, corresponde

ao não alinhamento de um dos eixos coordenados com a direção vertical, uma vez que a

aceleração da gravidade é sempre vertical (direção) e voltada para baixo (sentido).

Nesse momento é necessário abstrair que o eixo z na Figura 2.2 esteja na vertical. Nessa

figura, o volume de controle está submerso no fluido e pode haver ação da pressão nas

seis faces, conforme indica a Figura 2.3.

z

z + z

x

y

z

x x + x

y

y + y

xP

xxP

zzP

zP

yP

yyP

z

z + z

x

y

z

x x + x

y

y + y

xP

xxP

zzP

zP

yP

yyP

Figura 2.3 Volume de controle infinitesimal com indicação das pressões nas direções x,

y e z

A força proveniente da ação da gravidade (força peso) na massa de fluido no

volume de controle é o produto de sua massa (mf) pela aceleração da gravidade (g),

Page 14: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 14

enquanto que a força de diferença de pressão atuante no fluido localizado nas faces

volume de controle é o produto da pressão na face pela área da face. Ou seja:

0..... xxxxfx PzyPzygmR

para a direção x.

0..... yyyyfy PzxPzxgmR

para a direção y.

0..... zzzzfz PyxPyxgmR

para a direção z.

Mas, a massa de fluido no volume de controle é o produto do volume (x.y.z)

pela sua massa específica (). Então:

0........ xxxxx PzyPzygzyxR

para a direção x.

0........ yyyyy PzxPzxgzyxR

para a direção y.

Page 15: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 15

0........ zzzzz PyxPyxgzyxR

para a direção z.

A definição de derivada parcial de uma função f(x,y,z) é dada por

x

ffLim

x

fxzyxxxzyx

x

zyx

,,,,

0

,,. Então, o próximo passa será dividir as equações

por x.y.z e posteriormente multiplicá-las por -1:

zyxzyx

Pzy

zyx

Pzy

zyx

gzyx xxxx

..

0

..

..

..

..

..

....

para a direção x.

zyxzyx

Pzx

zyx

Pzx

zyx

gzyx yyyy

..

0

..

..

..

..

..

....

para a direção y.

zyxzyx

Pyx

zyx

Pyx

zyx

gzyx zzzz

..

0

..

..

..

..

..

....

para a direção z.

Logo, multiplicando-se as equações por -1 e simplificando os termos presentes

nos numeradores e nos denominadores:

Page 16: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 16

0.

x

PPg xxx

x

para a direção x.

0.

y

PPg

yyy

y

para a direção y.

0.

z

PPg zzz

z

para a direção z.

A aplicação dos limites de x, y e z tendendo a zero fornece que:

0.

000

000

000

zyx

xxx

zyx

x

zyx

Limx

PPLimgLim

para a direção x.

0.

000

000

000

zyx

yyy

zyx

y

zyx

Limy

PPLimgLim

para a direção y.

Page 17: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 17

0.

000

000

000

zyx

zzz

zyx

z

zyx

Limz

PPLimgLim

para a direção z.

Mas, os primeiros termos das equações não são dependentes de x, y e z.

Lembre-se também que o limite de uma constante é o próprio valor da constante. E note

que os segundos termos são dependentes de x, y ou z:

0.0

x

PPLimg xxx

xx

para a direção x.

0.0

y

PPLimg

yyy

yy

para a direção y.

0.0

z

PPLimg zzz

zz

para a direção z.

O caso geral corresponde à pressão ser dependente (variar) das três direções

P(x,y,z). Portanto, aplicando-se a definição derivada parcial:

Page 18: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 18

0.

xg

x

P (2.5a)

para a direção x.

0.

yg

y

P (2.5b)

para a direção y.

0.

zg

z

P (2.5c)

para a direção z.

O conjunto de equações 2.5 pode ser representado pelo gradiente de pressão

(grad) e pela força peso (Equação 2.6):

0.

g

z

P

y

P

x

P (2.6)

0g.-P grad

(2.6)

A Equação 2.6, assim como o conjunto de equações 2.5, é denominada de

Equação Fundamental da Estática. Ela explicita que haverá diferença de pressão em

uma dada direção se houver ação do peso do fluido nessa direção.

Normalmente, é conveniente alinhar um dos eixos com a vertical (por exemplo,

o eixo z), pois assim g = ± gz = 9,8 m/s2 e gx=gy = 0 (Figura 2.4).

Page 19: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 19

z

g = 9,8 m/s2

z1

z2 P2

P1 P1> P2

h

z

g = 9,8 m/s2

z1

z2 P2

P1 P1> P2

z

g = 9,8 m/s2

z1

z2 P2

P1 P1> P2

h

Figura 2.4 Eixo z alinhado com a vertical e vetor aceleração da gravidade na mesma

direção e sentido oposto

Nesse caso, a Equação 2.6 se reduz a (Equação 2.7):

0.

g

z

P (2.7)

Além disso, a derivada parcial de P coincide com sua derivada absoluta, pois:

z

P

dz

dz

z

P

dz

dy

y

P

dz

dx

x

P

dz

dP

Porém, 0

y

P

x

P

Então:

0. gdz

dP

Page 20: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 20

Mas, gg

0. gdz

dP

Separando-se as variáveis:

gdz

dP.

dzgdP ..

2

1

2

1

..

z

z

P

P

dzgdP

Nesse momento, é necessário verificar o comportamento do fluido em função da

coordenada z e da pressão. Caso o fluido seja incompressível ( = constante) e a

aceleração da gravidade também o seja (g = constante, fato bastante razoável em

Engenharia Química):

2

1

2

1

..

z

z

P

P

dzgdP

2

1

2

1

..z

z

P

PzgP

).(.)( 1212 zzgPP

Fazendo-se (z2 – z1) = h:

Page 21: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 21

hgP .. (2.8)

Caso o eixo de referência (eixo z estivesse alinhado para baixo), gg

e a

equação resultante seria:

hgP .. (2.9)

Portanto, é conveniente representar as equações 2.8 e 2.9 através da Equação 2.10:

hgP .. (2.10)

O sinal positivo deve ser utilizado quando P2 > P1 enquanto que o sinal negativo

deve ser empregado para P2 < P1. A Equação 2.10 é válida para fluidos estáticos,

incompressíveis e para sistemas com g constante em que os pontos de análise estão

localizados no mesmo fluido. Caso haja mais de um fluido envolvido, não se pode

escolher dois pontos localizados em pontos com diferentes.

Exemplo 1: Calcule a pressão manométrica e absoluta (em Pa e psi) no centro da

tubulação mostrada em corte (ponto A das Figuras 2.5 e 2.6) se h1 = 40 cm e h2 = 50

cm.

a)

Page 22: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 22

Ah1

h2

Mercúrio

=13.600 kg/m3

Água

=997 kg/m3

Ah1

h2

Mercúrio

=13.600 kg/m3

Água

=997 kg/m3

Figura 2.5 Esquema de manômetro de tubo em U do item a

b)

Ah1

h2

Mercúrio

=13.600 kg/m3

Água

=997 kg/m3

Ah1

h2

Mercúrio

=13.600 kg/m3

Água

=997 kg/m3

Figura 2.6 Esquema de manômetro de tubo em U do item b

Exemplo 2: Calcule a diferença de pressão entre os pontos A e B (Figura 2.7). Dados: h1

= 5 pol; h2 = 6 pol; h3 = 12 pol; h4 = 9 pol; h5 = 4 pol; h6 = 6 pol.

Ah1

h2

Mercúrio

Hg =13.600 kg/m3

Água

água = 997 kg/m3

B

h4h3 h5

h6

Óleo

óleo = 919 kg/m3

Água

água = 997 kg/m3

Ah1

h2

Mercúrio

Hg =13.600 kg/m3

Água

água = 997 kg/m3

BB

h4h3 h5

h6

Óleo

óleo = 919 kg/m3

Água

água = 997 kg/m3

Figura 2.7 Manômetro de fluidos múltiplos do Exemplo 2

Page 23: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 23

Exercício 1: Determine a altura total do nível de solução de soda cáustica no tanque de

estocagem indicado na Figura 2.8. A massa específica da solução de soda cáustica é de

1005 kg/m3.

1,00 m

Pm = 0,4 kgf/cm2

1,00 m

Pm = 0,4 kgf/cm2

Figura 2.8 Esquema de tanque com manômetro de Bourdon para indicação de nível no

tanque

Exercício 2: Determine a pressão manométrica na base do tanque de lavagem da Figura

2.9. O tanque é cilíndrico com diâmetro igual a 2,0 m. As massas específicas da solução

ácida de lavagem e do biodiesel são respectivamente 1000 kg/m3 e 900 kg/m

3.

Pm

2,4

0 msolução

ácida

biodiesel

6785 kg

2,0 m

Pm

2,4

0 msolução

ácida

biodiesel

6785 kg

2,0 m

2,4

0 msolução

ácida

biodiesel

6785 kg

2,0 m

Figura 2.9 Esquema do tanque de lavagem de biodiesel do Exercício 2

Exercício 3: Os manômetros de tubo inclinado são úteis para a medida de pressões ou

variações de pressão mais moderadas, quando comparados com os manômetros de tubo

em U. Considere o manômetro de tubo inclinado (figuras 2.10 e 2.11) para calcular a

pressão (manométrica e absoluta) no ponto de interesse (ponto A). O fluido

Page 24: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 24

manométrico é água a 25oC ( = 997 kg/m

3) e o fluido em escoamento no ponto A

(visto em corte) é ar comprimido a 25oC e 2,0 atm.

a)

30o

A

ar 30 cm

água 30o

A

ar 30 cm

água

Figura 2.10 Esquema de medida de pressão com tubo inclinado do item a

b)

3,5 cm 30o

A

ar

30 cm

água3,5 cm 30o

A

ar

30 cm

água

Figura 2.11 Esquema de medida de pressão com tubo inclinado do item b

Exercício 4: Calcule a pressão manométrica no ar pressurizado nos sistemas indicados

nas figuras 2.12 e 2.13. As massas específicas do óleo e do glicerol a 25oC são

respectivamente 919 kg/m3 e 1126 kg/m

3.

a)

Page 25: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 25

1,60 m = h1h2 = 0,80 m

Ar

Óleo

tanque

1,60 m = h1h2 = 0,80 m

Ar

Óleo

tanque

Figura 2.12 Tanque fechado com manômetros referente ao item a

b)

0,80 m

2,0

m

Glicerol

ar

glicerol

0,80 móleo

0,80 m

2,0

m

Glicerol

ar

glicerol

0,80 móleo

Figura 2.13 Tanque fechado com manômetro referente ao item b

Exercício 5: Ar comprimido escoa através de um tubo horizontal (Figura 2.14), no qual

foi instalado um manômetro de tubo em U com água a 25oC no seu interior (massa

específica de 997 kg/m3). Nessas condições, determine:

a) O sentido do escoamento.

b) A queda de pressão entre os pontos A e B.

Page 26: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 26

1,0

m

A B

água

ar

1,0

m

A B

água

ar

Figura 2.14 Tubo horizontal com manômetro de tubo em U preenchido com água

Exercício 6: Água a 25oC (massa específica de 997 kg/m

3) escoa através de um tubo

horizontal (Figura 2.15), no qual foi instalado um manômetro de tubo em U com

mercúrio no seu interior (massa específica de 13600 kg/m3). Nessas condições,

determine a queda de pressão entre os pontos A e B.

1,0

m

A B

mercúrio

água

1,0

m

A B

mercúrio

água

Figura 2.15 Tubo horizontal com manômetro de tubo em U preenchido com mercúrio

A integração da Equação 2.6, para o caso de eixo z alinhado com a vertical

(conforme a Figura 2.4) e fluido com comportamento de gás ideal isotérmico

(temperatura uniforme), fornece que:

gdz

dP.

Page 27: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 27

Porém, a massa específica () de gases ideais é obtida pela Equação 2.11:

TR

MP

.

. (2.11)

na qual, P é a pressão, M é a massa molar média do gás ou mistura de gases ideais, R é

a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta. Então:

gTR

MP

dz

dP.

.

.

Mas, a separação das variáveis fornece que:

dzTR

gM

P

dP.

.

.

Integrando-se em relação à coordenada z, entre z1 e z2, com P variando entre P1 e P2

(Figura 2.4):

2

1

2

1

..

.z

z

P

P

dzTR

gM

P

dP

Mas, como M , g, R e T são constantes:

2

1

2

1

..

.z

z

P

P

dzTR

gM

P

dP

Page 28: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 28

2

1

2

1

..

. z

z

P

Pz

TR

gMLnP

).(.

.1212 zz

TR

gMLnPLnP

).(.

.1221 zz

TR

gMLnPLnP

Portanto, fazendo (z2 – z1) = h (Equação 2.12):

TR

hgM

P

PLn

.

..

2

1

(2.12)

Na Equação 2.12, em função das condições estipuladas na Figura 2.4, P1 > P2.

Essa equação é válida para gases ideais estáticos presentes em sistemas com

temperaturas uniformes, nos quais a aceleração da gravidade (g) pode ser considerada

constante em relação à diferença de altitude dos pontos avaliados.

Exemplo 3: Sabe-se que a pressão atmosférica ao nível do mar é igual a 760

mmHg. Sendo assim, utilize a Equação 2.12 para estimar a pressão atmosférica em

Ribeirão Preto, que está a situada a 518 m acima do nível do mar e possui temperatura

média anual igual a 25oC. Compare o valor estimado com medidas experimentais que

forneceram o valor médio de 712 mmHg. Dados: constante universal dos gases = 0,082

atm.L/mol.K = 8,314 Pa.m3/mol.k. Resp.: 716 mmHg; desvio percentual de 0,6%.

Page 29: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 29

3 Dinâmica dos Fluidos

O transporte de fluidos por escoamento está presente na quase totalidade dos

processos industriais por ser normalmente mais econômico. No entanto, há a

preocupação em quantificar adequadamente a quantidade de energia gasta em máquinas

geratrizes (bombas, ventiladores e compressores) para que o fluido seja transportado

envolvendo condições de vazão, desnível, pressão e perdas por atrito devido á

movimentação do fluido.

A Dinâmica dos Fluidos é uma parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o

comportamento dos fluidos em escoamento. O escoamento é produto da ação de uma

tensão de cisalhamento atuante no fluido. Da mesma maneira que na Estática dos

Fluidos, utiliza-se a suposição que o fluido se comporte como um meio contínuo.

Na análise do escoamento, defini-se uma região do espaço ocupado pelo fluido

como volume de controle, que é um espaço arbitrário através do qual o fluido escoa,

cuja fronteira geométrica (real ou imaginária, estática ou móvel) é chamada de

superfície de controle. A Figura 3.1 mostra esquemas de volumes e superfícies de

controle.

volume de controle

superfície de controle

volume de controle

superfície de controle

(a)

Page 30: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 30

10

m

DN = 4 in.

Válvula de

gaveta 100%

abertaVálvula de

gaveta 100%

aberta

Cotovelo 90º

de raio curto

volume de controle

superfície de controle

10

m

DN = 4 in.

Válvula de

gaveta 100%

abertaVálvula de

gaveta 100%

aberta

Cotovelo 90º

de raio curto

volume de controle

superfície de controle

(b)

Figura 3.1 Esquemas de volume e superfície de controle: a) escoamento no interior de

um tubo e b) transporte de líquido entre dois reservatórios em desnível interligados por

um tubo

Os princípios básicos úteis para a Dinâmica dos Fluidos são:

- Princípio de Conservação da Massa;

- Princípio de Conservação da Energia (1ª lei da Termodinâmica);

- Segunda Lei da Termodinâmica (nem todo calor pode ser convertido em trabalho);

- Segunda Lei de Newton;

- Princípio de Conservação de Quantidade de Movimento.

Pode-se analisar um sistema aplicando os princípios supracitados (formulação) a

partir do enfoque integral (global) e do enfoque diferencial (ponto a ponto). Isto é,

aplicar os balanços de massa, energia e quantidade de movimento em volumes de

controle macroscópico (finito) e microscópico (infinitesimais), respectivamente.

Nos balanços integrais utilizam-se os valores médios representativos de uma

propriedade de interesse nas superfícies de controle que representam a entrada e saída

de fluido do sistema. Por exemplo, considere o escoamento de um fluido conforme

mostra a Figura 3.2:

Page 31: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 31

ub1

nível de referência (datum)

Z1

D1

P1

ub2

D2

P2

Z2

ub1

nível de referência (datum)

Z1

D1

P1

ub2

D2

P2

Z2

Figura 3.2 Esquema de escoamento de um fluido em uma expansão com indicação de

valores médios representativos de algumas propriedades de interesse

Note que P1 é a pressão que se adota representativa da seção 1 de diâmetro

interno D1, no entanto, existe a coluna de fluido que na realidade implica em uma

diferença de pressão estática entre o topo e a base da seção 1. As velocidade médias do

escoamento nas seções 1 e 2 (ub1 e ub2) são também ilustrativas desse comportamento,

pois sabe-se que as velocidades são nulas nas paredes e máximas nos centros das

tubulações. Portanto, como será demonstrado posteriormente, adotam-se valores médios

representativos das variáveis nas superfícies de controle.

O regime de escoamento pode ser classificado quanto à trajetória fluido presente

no escoamento. Se o escoamento ocorrer como o deslizamento de lâminas de fluido,

sem que ocorra mistura macroscópica das camadas adjacentes de fluido, o escoamento é

chamado laminar.

No escoamento turbulento, ocorre a formação de turbilhões (redemoinhos) que

provocam a mistura macroscópica das porções de fluido e a velocidade do fluido em

cada ponto oscila em torno de um valor médio. Ao se medir a velocidade local do fluido

Page 32: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 32

no interior de um tubo com os dois tipos de escoamento no estado estacionário em

função do tempo, o comportamento esperado seria o descrito na Figura 3.3.

tempo (min)

Vel

oci

dad

e -

u (

m/s

)

__

u

u’

(média)

(oscilação)

u = + u’__

u

turbulento

laminaru

tempo (min)

Vel

oci

dad

e -

u (

m/s

)

__

u

u’

(média)

(oscilação)

u = + u’__

u

turbulento

laminaru

Figura 3.3 Velocidade instantânea de uma partícula de fluido em função do tempo no

escoamento: a) laminar e b) turbulento

O critério utilizado para se determinar o regime de escoamento entre laminar e

turbulento é o número adimensional de Reynolds (Re), que representa a relação entre os

efeitos de inércia e o efeito viscoso do escoamento do fluido. Para o escoamento de um

fluido newtoniano no interior de um tubo Re é definido por (Equação 3.1):

bbd

uDuD ...Re (3.1)

sendo que D é o diâmetro interno do tubo, ub é a velocidade média do escoamento, é a

massa específica do fluido, é a viscosidade do fluido e é a viscosidade cinemática

do fluido (/).

O limite convencionado para o escoamento em tubos é:

Page 33: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 33

2100...

Re

bbd

uDuD , laminar

2100...

Re

bbd

uDuD , turbulento

No escoamento externo de um fluido newtoniano sobre uma placa horizontal

(Figura 3.4), o número de Reynolds é definido por (Equação 3.2):

xuxux

...Re (3.2)

sendo que u∞ é a velocidade do fluido não perturbado pela placa e x é a posição sobre a

placa a partir da borda de ataque (Figura 3.4).

y

x

u

y

x

u∞laminar turbulento

y

x

u

y

x

u∞laminar turbulento

Figura 3.4 Escoamento sobre uma das faces de uma placa horizontal com indicação das

camadas limites laminar e turbulenta

A transição entre as camadas limites laminar para turbulenta normalmente

ocorre para:

Page 34: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 34

510.0,5...

Re

xuxux , camada limite laminar

510.0,5...

Re

xuxux , camada limite turbulenta

Na realidade existe uma região de transição entre os escoamentos laminar e

turbulento e os limites citados anteriormente podem variar de acordo com a rugosidade

da parede e o formato da região de entrada.

Nos itens que seguem serão utilizados os princípios que fundamentam a

Dinâmica dos Fluidos: conservação da massa, princípio de conservação da energia (1ª

lei da Termodinâmica), 2ª lei da Termodinâmica (nem todo calor pode ser convertido

em trabalho) e 2ª lei de Newton; aplicados a um elemento macroscópico representativo

do sistema (volume de controle - VC).

Esse enfoque global é bastante útil, uma vez que permite a resolução de

problemas práticos de Engenharia sem, no entanto, conhecer minuciosamente o que

acontece com o fluido ponto a ponto no escoamento.

3.1 Balanço Global de Massa

Uma das leis (princípios) fundamentais das ciências que encerram a Engenharia

é a lei da Conservação da Massa. Esse princípio estabelece que a massa não pode ser

criada ou destruída. Então, o balanço material total das correntes envolvidas em um

sistema pode ser enunciado na forma da Equação 3.3, ou ainda na Equação 3.4:

Taxa de massa

que entra no VC

Taxa de massa

que sai do VC- =

Taxa de massa

que acumula no VC (3.3)

Page 35: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 35

Note que os termos ligados a reações químicas não devem estar presentes no

balanço material total e que esse princípio não é válido na ocorrência de reações

nucleares.

012 dt

dMww (3.4)

na qual w2 é a vazão mássica de saída, w1 é a vazão mássica de entrada, M é a massa no

interior do volume de controle e t é o tempo. Introduzindo a notação de variação, a

Equação 3.4 se transforma em:

0dt

dMw (3.5)

Exemplo 3.1 da página 29 de Bennett e Myers (1978)

Um tanque cilíndrico tem área de seção transversal de 0,372 m2 e está cheio com

água até a profundidade de 1,83 m. Uma válvula é aberta no fundo do tanque e a vazão

que sai é reduzida a medida que a altura do nível diminui, segundo a equação:

hw 44,16

sendo w a vazão mássica de água (kg/min) e h a altura do nível d’água no tanque (m).

Deseja-se conhecer qual o tempo necessário para a água atingir a altura de 0,61 m.

Caso exista mais de um componente no sistema (componente A), a equação do

balanço de massa para a ausência de reações químicas é (equações 3.6 e 3.7):

Page 36: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 36

Taxa de massa de

A que entra no VC

Taxa de massa de

A que sai do VC- =

Taxa de massa de A

que acumula no VC (3.6)

012

dt

dMww A

AA (3.7)

na qual wA2 é a vazão mássica de A na saída, wA1 é a vazão mássica de A na entrada, MA

é a massa de A no interior do volume de controle. Essa equação expressa em função das

frações mássicas das correntes de entrada, saída e no interior do sistema (Equação 3.7):

0).(

..12 12

dt

xMdxwxw A

AA (3.8)

sendo que xA2 é a fração mássica de A na corrente de saída, xA1 é a fração mássica de A

na corrente de entrada e xA é a fração mássica de A acumulada no sistema. Utilizando a

notação de variação (Equação 3.9):

0).(

. dt

xMdxw A

A (3.9)

Exemplo 3.2 da página 31 de Bennett e Myers (1978)

Água e sal de cozinha entram em um tanque com agitação mecânica com as

vazões de 68,1 kg/min e 13,62 kg/h respectivamente. A solução resultante com a vazão

de 54,48 kg/h é retirada do tanque. Sabendo-se que no instante inicial havia 45,40 kg de

água no tanque, calcule a fração mássica de saída após 1 h do início da operação.

Assuma o modelo de mistura completa no tanque com agitação mecânica.

Page 37: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 37

Exemplo 3.3 da página 54 de Geankoplis (1993)

Inicialmente, um tanque contém 500 kg de uma solução 10% em massa de sal.

Instantaneamente, uma corrente de vazão mássica de 10 kg/h com 20% em massa de sal

entra e outra corrente de 5 kg/h sai do tanque. Ache uma equação que relacione a fração

mássica de sal que sai do tanque em função do tempo, considerando o sistema bem

homogeneizado por agitação.

3.1.1 Equação Geral para o Balanço Material

Imagine um volume do controle fixo no espaço, através do qual existe um

escoamento com velocidade

u em cada ponto de elemento de área

dA , cujo ângulo é

o ângulo entre o vetor normal

n (perpendicular a superfície em cada ponto e

direcionado para fora) e o vetor velocidade (Figura 3.5).

dAdA

n

u

dAdA

n

u

Figura 3.5 Volume de controle com indicação dos vetores velocidade e normal, o

ângulo a entre eles, aplicados em um elemento de área

Page 38: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 38

A diferença entre as vazões mássicas que entram e que saem do volume de

controle é representada matematicamente por:

wdAuA

.cos..

Note que o produto .

u é o fluxo total de massa em cada ponto (vazão mássica por

unidade de área, kg.m-2

.s-1

).

A quantidade total de massa acumulada no interior do volume de controle,

originada pela diferença entre as vazões mássicas totais de saída e entrada, é:

dt

dMdV

dt

d

VC

.

Combinando-se as duas contribuições chega-se na Equação 3.10:

0..cos.. VCA

dVdt

ddAu (3.10)

Que é a equação geral do balanço total de massa.

Considere o escoamento em um bocal, conforme indicado na Figura 3.6

Page 39: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 39

n2

u2

n1

u1

12

A1A2

n2

u2

n1

u1

12

A1A2

Figura 3.6 Bocal com indicação dos vetores velocidade e normal com o ângulo entre

eles em cada face

Na área de entrada (A1): o1801 e 1cos 1 . Já na área de saída (A2):

o02 e 1cos 2 . Então:

21

22221111 .cos...cos...cos..AAA

dAudAudAu

12

222111 ).1.(.).1.(..cos..AAA

dAudAudAu

12

111222 .....cos..AAA

dAudAudAu

Pode-se assumir que as massas específicas do fluido (1 e 2) sejam uniformes

nas áreas de entrada e saída. Logo:

12

111222 .....cos..AAA

dAudAudAu

O Teorema da Média do Cálculo Diferencial e Integral fornece que (Equação

3.11) as velocidades médias nas faces de entrada e saída (ub1 e ub2) são obtidas por:

Page 40: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 40

1

11

1

1..

1

A

b dAuA

u e

2

22

2

2..

1

A

b dAuA

u

Então:

1

1111...

A

b dAuAu e

2

2222...

A

b dAuAu

Portanto:

111222 .....cos.. AuAudAu bb

A

No caso do regime ser permanente:

0. dt

dMdV

dt

d

VC

Assim, o balanço material total se resume a:

111222 ......cos.. AuAudVdt

ddAu bb

VCA

Ou seja, a vazão mássica de entrada é igual a vazão mássica de saída:

111222 .... AuAu bb

Page 41: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 41

Analogamente ao realizado para o balanço material total, a Equação 3.10 pode

ser adaptada para representar o balanço material de um componente para um sistema

não reacional (Equação 3.11):

0..cos.. VC

A

A

A dVdt

ddAu (3.11)

sendo que A é a concentração mássica do componente A na mistura.

No caso do sistema ser binário, formado pela mistura das substâncias A e B, e na

ausência de reações químicas, a Equação 3.11 fica na forma:

0..cos.. VC

A

A

A dVdt

ddAu

0..cos.. VC

B

A

B dVdt

ddAu

Pode-se então somar as duas equações para chegar na equação do balanço

material total:

0...cos...cos.. VC

B

VC

A

A

B

A

A dVdt

ddV

dt

ddAudAu

Como a integral da soma é a soma das integrais, assim como para as derivadas:

0).().cos..cos..( VC

BA

A

BA dVdt

ddAuu

Page 42: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 42

Colocando-se u e cos em evidência:

0).()..(cos. VC

BA

A

BA dVdt

ddAu

Portanto, como a concentração mássica total é a soma das concentrações

mássicas das partes (A e B), pode-se retornar à Equação 3.10:

0...cos.).()..(cos. VCAVC

BA

A

BA dVdt

ddAudV

dt

ddAu

3.2 Balanço Global de Energia

A Primeira Lei da Termodinâmica enuncia o Princípio de Conservação da

Energia. Este princípio não é rigorosamente válido em sistemas com reações nucleares,

nos quais parte da massa se transforma em energia.

É comum a utilização da equação geral do balanço na forma da Equação 3.12

para representar o balanço global de energia, de maneira análoga à representação do

Princípio de Conservação da Massa pela Equação 3.10:

Taxe de energia

que sai do VC

Taxe de energia

que entra no VC- +

Taxe de energia

que acumula no VC

=

Taxe de calor

que entra no VC

proveniente das

vizinhanças

-

Taxe de trabalho

que sai do VC

para as vizinhanças

Taxe de energia

que sai do VC

Taxe de energia

que entra no VC- +

Taxe de energia

que acumula no VC

=

Taxe de calor

que entra no VC

proveniente das

vizinhanças

-

Taxe de trabalho

que sai do VC

para as vizinhanças (3.12)

Page 43: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 43

A convenção de sinais utilizadas na Equação 3.12 foi baseada no funcionamento

das máquinas a vapor: o calor que entra no volume de controle é positivo e o trabalho

que sai do volume de controle é positivo (Figura 3.7).

q > 0w > 0 q > 0w > 0

Figura 3.7 Esquema de máquina a vapor com a entrada de calor e saída de trabalho

A Equação 3.12 é representada matematicamente, introduzindo-se um termo de

energia total específica (E) no balanço global de massa (Equação 3.10) de forma a

resultar na Equação 3.13:

wq VCA

dVEdt

ddAEu ....cos.. (3.13)

O primeiro termo da Equação 3.13 representa a variação de energia no volume

de controle vinculada à entrada e à saída de massa (escoamento) no sistema. O segundo

termo, expressa o acúmulo de energia pelo acúmulo de massa no volume de controle. O

termo q é a quantidade de calor recebida por unidade de tempo pelo sistema

proveniente das vizinhanças. Enquanto que w é o trabalho por unidade de tempo que o

sistema realiza sobre as vizinhanças.

A energia E de um sistema contendo fluidos em escoamento pode ser subdivida

como sendo a soma das energias interna (U), cinética do escoamento (u2/2) e potencial

gravitacional (z.g). Não serão aqui abordadas as contribuições devido às ações de

campos elétricos e magnéticos (Equação 3.14):

Page 44: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 44

gzu

UE .2

2

(3.14)

Em que E é energia específica total do fluido por unidade de massa ( J/kg no SI); U é a

energia interna por unidade de massa do fluido referente à energia de vibração, ligação e

rotação das espécies químicas que formam o fluido (J/kg no SI), é dependente da

quantidade de matéria e da temperatura; u é a velocidade do fluido em relação às

fronteiras do volume de controle para uma dada posição e u2/2 é a energia cinética do

fluido devido ao movimento da massa do fluido (J/kg no SI); z é a altura relativa a um

plano de referência arbitrário (datum) e o produto de z pela aceleração da gravidade (g)

representa a energia potencial devido à exposição da massa do fluido ao campo

gravitacional terrestre (J/kg no SI).

Na Equação 3.13 pode-se expressar o trabalho realizado pelo sistema sobre as

vizinhanças na forma de algumas contribuições:

a) ws, trabalho pela existência de um eixo (shaft) que atravessa a superfície do volume

de controle, geralmente eixo com movimento rotativo ou alternativo que pode adicionar

(como é o caso de máquinas geratrizes, isto é, bombas, compressores, ventiladores e

sopradores) ou retirar trabalho do sistema (para máquinas motoras, ou turbinas).

b) A

dAVPu .cos.... , trabalho ocasionado pelo deslocamento de um volume V ao

vencer uma pressão P quando uma massa de fluido escoa da entrada para a saída do

sistema.

c) As

s dAsPu .cos.. , trabalho transferido pela movimentação não cíclica da superfície

do volume de controle (expansão ou contração das paredes) a uma velocidade us com

Page 45: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 45

inclinação e área dAs. Em geral, em Engenharia Química us é nula, pois as paredes são

rígidas.

Então, o balanço global de energia fica na forma (Equação 3.15):

As

s

A

VC

A

dAsPudAVPut

dVE

dAEu .cos...cos....

..

.cos...

swq (3.15)

Uma vez que gzu

UE .2

2

, logo a Equação 3.15 se transforma na Equação 3.16:

As

s

A

VC

A

dAsPudAVPu

t

dVE

dAgzu

Uu

.cos...cos....

..

.cos)..2

.(.2

swq

(3.16)

Rearranjando:

As

s

VC

AA

dAsPu

t

dVE

dAVPudAgzu

Uu

.cos..

..

.cos.....cos)..2

.(.2

swq

Como a integral da soma é a soma das integrais (Equação 3.17):

As

s

VC

A

dAsPut

dVE

dAgzu

VPUu .cos..

..

.cos)..2

..(.2

swq (3.17)

Page 46: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 46

Substituindo na Equação 3.17 a definição de entalpia (H), H = U + P.V, a equação do

balanço global de energia fica (Equação 3.18):

As

s

VC

A

dAsPut

dVE

dAgzu

Hu .cos..

..

.cos)..2

.(.2

swq (3.18)

No caso da superfície do volume de controle ser rígida, us é nula (Equação 3.19):

swq

t

dVE

dAgzu

Hu VC

A

..

.cos)..2

.(.2

(3.19)

Para processos em regime permanente, a Equação 3.19 se transforma na

Equação 3.20:

swqA

dAgzu

Hu .cos)..2

.(.2

(3.20)

O uso da Equação 3.20 é pouco prática e por isso, serão utilizados valores

médios representativos das propriedades através do Teorema da Média. Nesse sentido,

como a integral da soma é a soma das integrais (Equação 3.21):

swq AAA

dAgzudAu

udAHu .cos.....cos.2

..cos...2

(3.21)

Se as correntes de entrada e saída de fluido forem perpendiculares às áreas de

entrada (A1) e saída (A2):

Page 47: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 47

o1801 e 1cos 1

o02 e 1cos 2

Então:

swq

2

22222

1

11111

2

22

2

2

2

1

11

2

1

1

2

22222

1

11111

.cos.....cos.....cos.2

.

.cos.2

..cos....cos...

AAA

AAA

dAgzudAgzudAu

u

dAu

udAHudAHu

swq

2

2222

1

1111

2

2

2

2

22

1

1

2

1

11

2

2222

1

1111

).1.(...).1.(...).1.(2

.

).1.(2

.).1.(..).1.(..

AAA

AAA

dAgzudAgzudAu

u

dAu

udAHudAHu

swq

1

1111

2

2222

1

1

2

1

11

2

2

2

2

22

1

1111

2

2222

........

.2

..2

.......

AA

AAAA

dAgzudAgzu

dAu

udAu

udAHudAHu

Se as massas específicas nas áreas de entrada e saída de fluido forem uniformes

(1 e 2) e se g for constante:

swq

1

1111

2

2222

1

1

2

1

11

2

2

2

2

22

1

1111

2

2222

........

.2

...2

........

AA

AAAA

dAzugdAzug

dAu

udAu

udAHudAHu

O Teorema da Média fornece que:

Page 48: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 48

1

111

1

11 ...1

.A

meddAHu

AHu

med

A

HuAdAHu 111

1

111 ....

2

222

2

22 ...1

.A

meddAHu

AHu

med

A

HuAdAHu 222

2

222 ....

1

1

3

1

1

3

1.

2

1

2A

med dAu

A

u

2

..2

3

1

1

1

1

3

1 med

A

uAdA

u

2

2

3

2

2

3

2.

2

1

2A

med dAu

A

u

2

..2

3

2

2

2

2

3

2 med

A

uAdA

u

1

111

1

11 ..1

.A

meddAzu

Azu

med

A

zuAdAzu 111

1

111 ....

2

222

2

22 ..1

.A

meddAzu

Azu

med

A

zuAdAzu 222

2

222 ....

Então:

swq

medmed

medmed

medmed

zuAgzuAg

uA

uAHuAHuA

11112222

3

1

11

3

2

2211112222

........

2..

2........

Como o regime é permanente, o escoamento é perpendicular às superfícies de

entrada e saída e as massas específicas do fluido são uniformes, o balanço material se

resume a:

1111 .. Aubw 1

111.

ub

wA

1111 .. Aubw 2

222 .

ub

wA

Page 49: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 49

Logo:

swq

1

111

2

222

1

3

11

2

3

22

1

111

2

222 ......

2.

.

2.

.....

ub

zuwg

ub

zuwg

ub

uw

ub

uw

ub

Huw

ub

Huwmedmedmedmedmedmed

Assumindo que as temperaturas, as pressões e a composições sejam uniformes

nas áreas de entrada e saída. E também que se possa representar as posições das regiões

de entrada e saída em relação a um plano de referência com base nos pontos médios (z1

e z2, respectivamente). Então:

swq

1

111

2

222

1

3

11

2

3

22

1

111

2

222 ....

2.

.

2.

....

ub

uzwg

ub

uzwg

ub

uw

ub

uw

ub

uHw

ub

uHwmedmedmedmedmedmed

Como 11 ubumed

e 22 ubumed

:

swq 1122

1

3

11

2

3

22

1122 ....2.

.

2.

... zwgzwg

ub

uw

ub

uwHwHw medmed

Nos termos de variação de energia cinética, há o valor médio de uma função ao

cubo, que não coincide com o valor médio ao cubo, ou seja: 31

3

1 ubumed

e

32

3

2 ubumed

. No entanto, pode-se introduzir um coeficiente de desvio () de

maneira que:

3

13

1

ubu

med e

3

23

2

ubu

med . Nos casos de escoamentos

laminares e turbulentos, os valores de são:

Page 50: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 50

- Escoamento laminar em tubos 2

1

- Escoamento turbulento em tubos 19,0

Portanto, introduzindo a notação de variação (), a equação do balanço global de

energia fica (Equação 3.22):

swq zwgubw

Hw ...2

..

2

(3.22)

No caso do sistema possuir apenas uma corrente de entrada e uma corrente de

saída:

21 www

pois o regime é permanente. Sendo assim, a Equação 3.22 se transforma na Equação

3.23:

swq zwgubw

Hw ...2

..

2

swq zgwub

wHw ...2

..2

Que dividida por w:

ww

zgw

wub

w

wH

w

w swq ..

.2..

2

Fazendo Qwq

e ss Ww

w

:

sWQ zgub

H ..2

2

(3.23)

Page 51: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 51

Muitos dos problemas de Engenharia Química empregam o vapor d’água

saturado (vapor condensante) como fonte de calor em sistemas de aquecimento. As

tabelas 3.1 e 3.2 mostram as propriedades da água saturada valores de entrada em

função da temperatura e de pressão respectivamente.

Ao utilizar as tabelas 3.1 e 3.12, cabe lembrar que a entalpia de líquido é pouco

dependente da pressão, assim a entalpia de água líquida insaturada possui praticamente

a mesma entalpia da água líquida na pressão de saturação para a mesma temperatura.

No caso do ponto de interesse nas tabelas cair entre duas linhas, pode-se realizar

a interpolação linear para obter valores intermediários.

Exemplo 3.3 Sabe-se que o calor específico da água líquida a 25°C é de 0,9989 cal/g°C.

Então utilize a Tabela 3.1 para calcular o desvio percentual entre a entalpia da água

líquida insaturada a 25°C e 1 atm com a da saturada na mesma temperatura. Identifique

também a pressão na qual a água a 25°C deveria estar para se encontra em equilíbrio

termodinâmico.

Exemplo 3.4 Utilize a interpolação linear para achar as entalpias da água líquida e vapor

a 1,0 kgf/cm2 de pressão manométrica para uma pressão atmosférica local de 712

mmHg.

Exemplo 3.5 Água a 85°C, armazenada em um tanque isolado termicamente e à pressão

atmosférica, é bombeada em regime permanente pela ação de uma bomba com a vazão

de 0,6 m3/min. A bomba fornece ao fluido a potência de 7,5 kW nas condições fixadas.

A água passa através de um trocador de calor que retira 1400 kW da água. A água

líquida resfriada é então armazenada em um segundo tanque aberto, cujo nível é

mantido constante e 20 m acima do nível do primeiro, também com nível constante.

Calcule a temperatura da água no tanque de descarga.

Page 52: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 52

Tabela 3.1 Propriedades da água saturada com entrada em temperatura

Page 53: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 53

Tabela 3.2 Propriedades da água saturada com entrada em pressão absoluta

Page 54: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 54

3.3 Balanço Global de Energia Mecânica

A equação do balanço global de energia mecânica, também conhecida como

equação de Bernoulli modificada, pode ser obtida tomando-se como ponto de partida a

equação do balanço global de energia (Equação 3.23):

sWQ zgub

H ..2

2

(3.23)

que foi obtida mediante a adoção das seguintes hipóteses:

- validade do Princípio de Conservação da Massa, ou seja, ausência de reações

nucleares no sistema;

- inexistência de campos elétricos e magnéticos interferindo no escoamento;

- volume de controle rígido (us = 0);

- escoamento perpendicular à superfície do volume de controle nas regiões de entrada e

saída de fluido (cos = +1 e cos = -1);

- aceleração da gravidade constante;

- regime permanente;

- validade do Teorema da Média para representar a velocidade, posição em relação a um

plano de referência e entalpia das correntes nas regiões de entrada e saída de fluido do

sistema.

Nas aplicações de Engenharia é útil expressar os termos do balanço global de

energia em contribuições de energia mecânica, que estão explicitamente associadas às

variáveis velocidade média, posição e pressão das correntes de entrada e saída de fluido

do volume de controle. Para isso, serão utilizados o Princípio da Conservação da

Energia, a 2ª Lei da Termodinâmica e a definição de entalpia.

Page 55: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 55

Quando uma unidade de massa de fluido passa através do volume de controle

(da entrada para saída), o fluido vence uma pressão de oposição (P) e desloca um

volume correspondente (V), cujo trabalho realizado é 2

1

.

V

V

dVP (trabalho reversível e

positivo, pois sai do sistema). No entanto, a 2ª Lei da Termodinâmica determina que o

atrito dissipa uma quantidade de energia na forma de calor (lw), quantidade de energia

mecânica irreversivelmente perdida na forma de calor, que no seu estado final entra no

fluido.Logo:

lwdVPW

V

V

2

1

. (3.24)

Por outro lado, o Princípio da Conservação de Energia enuncia que:

WQU (3.25)

Ou seja, substituindo a Equação 3.24 na Equação 3.25, tem-se que:

lwdVPQU

V

V

2

1

. (3.26)

lwdVPQU

V

V

2

1

. (3.26)

Mas, as definições de entalpia (H) e de variação de entalpia fornecem que:

VPUH . (3.27)

Page 56: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 56

VPUH . (3.28)

A Equação 3.28 expressa na integral do produto fornece que:

2

1

2

1

..

P

P

V

V

dPVdVPUH (3.29)

A junção das equações 3.26 e 3.29 resulta em:

2

1

2

1

2

1

...

P

P

V

V

V

V

dPVdVPlwdVPQH

2

1

.

P

P

dPVlwQH (3.30)

que substituída na equação do balanço global de energia (Equação 3.23) fornece que:

sWQ zgub

dPVlwQ

P

P

..2

.22

1

0...2

2

1

2

sWP

P

dPVlwzgub

(3.31)

O volume por unidade de massa do fluido (V) que percorreu o volume de

controle é o inverso da massa específica (1/). Então:

Page 57: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 57

0..2

2

1

2

sWP

P

dPlwzg

ub

(3.32)

Note que o termo 2

1

.

P

P

dPV também tem a dimensão de energia por unidade de

massa. Ou seja, no SI:

kg

J

kg

mN

m

N

kg

mdPV

P

P

.

..2

32

1

Nesse momento, é preciso verificar o comportamento da massa específica do

fluido em relação à diferença de pressão ao longo do sistema. No caso de fluido

incompressível ( constante), hipótese realística para líquido com temperatura uniforme

e para gases com temperatura constante e velocidade de escoamento bastante inferior à

velocidade do som, isto é, para quedas de pressão da ordem de mmH2O a cmH2O.

Nesses casos, a Equação 3.32 se transforma em:

01

..2

2

1

2

sWP

P

dPlwzgub

(3.33)

Então:

0..2

2

1

2

sW

P

PP

lwzgub

0.

.2

122

sW

PPlwzg

ub

Page 58: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 58

0..2

2

sWlwP

zgub

(3.34)

É importante notar que na obtenção da Equação 3.34 não foi prevista à variação

de entalpia devido à existência de reação química.

Como visto anteriormente, nas aplicações do balanço global de energia, o termo

Ws está vinculado à existência de trabalho de eixo proveniente de máquinas geratrizes

ou motoras:

Bombas,

Ventiladores,

Sopradores e

Compressores

Adicionam

trabalho aos

fluidos

Ws < 0

Bombas,

Ventiladores,

Sopradores e

Compressores

Adicionam

trabalho aos

fluidos

Ws < 0

Turbinas Retiram

trabalho dos

fluidos Ws > 0Turbinas

Retiram

trabalho dos

fluidos Ws > 0

A energia que o eixo transfere ao fluido, decorrente de movimentos rotativos ou

alternativos, não é totalmente recebida pelo fluido. Defini-se então uma eficiência de

troca (), uma vez que há perdas decorrentes da vibração, liberação de som e calor

quando o fluido passa através da máquina.

Pode-se também separar a perda de energia por atrito (lw) devido ao escoamento

através da tubulação (lwf), na bomba (lwp) ou na turbina (lwt). Então:

lwplwflw (3.35)

lwtlwflw (3.36)

Page 59: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 59

Que substituídas na Equação 3.34 fornecem que:

0..2

2

sWlwplwfP

zgub

(3.37)

para bombas.

0..2

2

sWlwtlwfP

zgub

(3.38)

para turbinas.

Uma vez que a eficiência deve expressar uma fração entre 0 e 100% e da forma

da transferência de energia no interior das máquinas, é definida diferentemente para

máquinas geratrizes (p)e motoras (t):

s

s

pW

lwpW

eixo doenergia

fluido pelorecebida energia (3.39)

e

lwtW

W

s

s

t

turbinapela fluido doretirada energia

eixo peloabsorvida energia (3.40)

Logo:

lwpWW ssp . (3.41)

e

Page 60: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 60

lwtWW

s

t

s

(3.42)

As equações 3.41 e 3.42 respectivamente substituídas nas equações 3.37 e 3.38

fornecem que:

0...2

2

sWplwfP

zgub

(3.43)

para máquinas geratrizes.

0..2

2

t

lwfP

zgub

sW (3.44)

para máquinas motoras.

As equações 3.43 e 3.44 são as duas principais formas das equações do balanço

global de energia mecânica.

A utilização das equações 3.43 e 3.44 aplicadas a situações práticas requer a

quantificação da perda de carga do fluido ao escoar por trechos retos (perda de carga

distribuída), por conexões e acessórios (perda de carga localizada) do sistema contendo

tubulações.

O fator de atrito (f) é um parâmetro definido para a determinação da perda de

carga em dutos e acessórios. Essa relação é estabelecida segundo a equação de Darcy-

Weisbach, proposta em 1845, também conhecida por fórmula racional ou equação

universal:

Page 61: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 61

2..

2V

D

Lflwf T (3.45)

sendo, LT o comprimento total retilíneo da tubulação, incluindo o comprimento

equivalente em trecho reto de tubo de cada acessório e conexão presente na tubulação,

D o diâmetro interno do tubo e V a velocidade média do escoamento no duto.

É possível prever teoricamente a equação do fator de atrito de Darcy para o

escoamento laminar (Equação 3.46). Essa demonstração será realizada na disciplina de

balanços diferenciais de massa e quantidade de movimento (Fenômenos de Transporte

1).

..

.64

Re

64

VDf

d

(3.46)

sendo que D é o diâmetro interno do tubo, V é a velocidade média do escoamento, é a

massa específica do fluido, é a viscosidade do fluido. A Equação 3.46 é válida para o

escoamento laminar de fluidos newtonianos (Red < 2100), tanto pata tubo de parede lisa

quanto rugosa.

A rugosidade do tubo é caracterizada pela altura média das protuberâncias,

chamada de rugosidade absoluta ou equivalente (), que é função do tipo de material

construtivo e do acabamento dado à peça. A rugosidade relativa é a relação entre a

rugosidade absoluta e o diâmetro do tubo (/D).

O fator de atrito para o escoamento turbulento não é dependente somente do

número de Reynolds, mas também da rugosidade da superfície da parede interna do

duto. Historicamente, a determinação de f em função da rugosidade () tem sido feita

empiricamente e representada na forma de gráficos ou de correlações (explícitas ou

Page 62: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 62

implícitas em f). O Diagrama de Moody de 1939 a 1944 foi baseado nos resultados de

Nikuradse de 1933, obtidos com escoamento de fluido newtoniano em dutos de seção

circular revestidos internamente com grãos de areia, de forma a variar artificialmente a

rugosidade da parede interna exposta ao fluido em escoamento. No Diagrama de

Mooody (Figura 3.8) pode-se obter f no eixo das ordenadas em função do número de

Reynolds do escoamento de um fluido newtoniano em tubos (eixo das abscissas) e da

rugosidade relativa (/D) (diferentes curvas do gráfico).

No escoamento laminar, o efeito da rugosidade é desprezível pela formação de

uma camada de estagnação sobre à superfície rugosa de modo que as “lâminas” de

fluido deslizam uma sobre as outras no interior de um tubo de diâmetro interno real

igual a D-2..

A rugosidade relativa de tubos pode ser obtida através da Figura 3.9, que

relaciona o diâmetro interno do tubo ou nominal de um tubo padronizado 40S (no eixo

das abscissas) com o material e com o acabamento de sua confecção nas diversas linhas

do gráfico.

Foi visto até o momento que a perda de carga em trechos retos da tubulação

pode ser calculada através da equação de Darcy e do fator de atrito. No entanto, se a

velocidade do escoamento mudar de módulo ou de direção, uma perda de energia

adicional deve acontecer (perda de carga localizada).

A perda de carga em expansões, contrações, curvas, cotovelos, válvulas,

entradas, saídas e demais acessórios pode ser computada na forma de comprimentos

adicionais de trechos retos do tubo em questão para cada tipo de acidente. Atribui-se

assim, a perda de carga a um trecho reto imaginário de comprimento LT de forma que:

LeqLLrealretoT (3.47)

Page 63: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 63

Uma das maneiras de se determinar os comprimentos equivalentes de cada

acessório é através do Ábaco da Crane Co. (Figura 3.10). Deve-se unir o ponto referente

ao acessório no eixo da esquerda ao diâmetro interno da tubulação na escala da direita

do eixo também à direita através de um segmento de reta. O comprimento equivalente

da peça, em pés, é lido no eixo central. No caso da tubulação ser do tipo “Schedule 40”

(40S), a escala a ser utilizada é a da esquerda no eixo da direita.

No caso do duto não ser de seção circular, pode-se utilizar as mesmas equações

descritas, porém substituindo o diâmetro interno do tubo pelo diâmetro hidráulico do

duto (Dh). A definição de Dh é:

ADh

.4 (3.48)

em que A é a área da seção transversal formada pelo fluido no duto e é o perímetro

molhado do duto (soma dos comprimentos da seção transversal da parede do duto).

fluido

a

afluido

a

a

fluido

a

bfluido

a

b

a

fluido b

a

fluido b

aaaaa

aDh

)(

.4 2

).2.2(

..4

ba

baDh

).2(

..4

ba

baDh

O número de Reynolds tem de ser então calculado por:

Page 64: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 64

..Re

VDh

d (3.49)

A velocidade média do escoamento no duto V deve ser calculada com base na

área de seção transversal obtida com o diâmetro hidráulico do duto:

2.

.4

h

V

D

qV

(3.50)

sendo que Vq é a vazão volumétrica do escoamento.

A perda de carga no duto de seção não circular é obtida por:

2..

2

V

D

Lflwf

h

T (3.51)

Page 65: Mecânica dos Fluidos 2013

Figura 3.8 Diagrama de Moody para escoamento de fluido newtoniano em tubos

Page 66: Mecânica dos Fluidos 2013

Ru

go

sid

ade

rela

tiv

a–/

D

Diâmetro nominal de tubo 40S ou interno (in.)

Ru

go

sid

ade

rela

tiv

a–/

D

Diâmetro nominal de tubo 40S ou interno (in.)

Figura 3.9 Rugosidade relativa em função do diâmetro do tubo

Page 67: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 67

Figura 3.10 Ábaco da Crane Co. para determinação do comprimento equivalente dos

principais acessórios

Page 68: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 68

Exercícios Propostos

Exercício 3.1: Um tanque de estocagem (sem corrente de saída) tem a capacidade total

de armazenamento de 15.352 kg. Inicialmente, existe no interior do tanque 1.537 kg de

uma solução 7 % em massa de ácido acético. Repentinamente, são alimentadas ao

tanque uma corrente de 2.355 kg/h de água e outra de 1.177,5 kg/h de ácido acético. A

agitação mecânica permite assumir que a composição no interior do tanque é igual em

qualquer ponto. Nestas condições, determine:

a) O tempo de preencher o tanque;

b) A equação que relaciona a composição de saída com o tempo de operação;

c) A composição para o tempo equivalente a metade do tempo de enchimento e a

composição no instante final.

Exercício 3.2: Um tanque com agitação mecânica, contendo 3,8 m3 de uma solução de

95% em massa de etanol, opera em regime permanente com um escoamento contínuo de

entrada e saída de 0,38 m3/min de álcool 95% em massa (massa específica de 0,804

g/ml). O escoamento de álcool é repentinamente interrompido e substituído por um de

água com a mesma vazão (massa específica de 997 kg/m3). Se a massa total de material

no tanque permanece constante, qual o tempo necessário para a porcentagem de álcool

cair a 50%.

Exercício 3.3: Um tanque de volume total igual a 20 m3 possui no seu interior 1000 kg

de uma solução de salmoura a 10% em massa. Repentinamente, uma vazão de 1000

kg/h de água pura entra no tanque e uma vazão de 500 k/h sai do mesmo. Calcule o

tempo necessário para preencher completamente o tanque e obtenha a equação que

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Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 69

relaciona a composição da salmoura no seu interior em função do tempo. Assuma que a

massa específica da salmoura no tanque seja constante e igual a 1100 kg/m3.

Exercício 3.4: Deseja-se preparar uma solução de soda cáustica 25% em massa a partir

de uma corrente de NaOH sólida (100%) e uma corrente de água, ambas com vazão de

1750 kg/h. No instante inicial, o tanque contém 1.000 kg de solução 5% de soda. O

sistema de agitação mecânica permite assumir que a composição no interior do tanque é

igual a composição de saída. Nestas condições, determine:

a) O tempo necessário para preparar a solução 25% em massa se não houver corrente de

saída enquanto se procede a diluição;

b) A massa de solução final produzida nas condições do item a;

c) O tempo necessário para preparar a solução 25% em massa se houver uma corrente

de saída de vazão constante igual a 800 kg/h enquanto se procede a diluição;

d) A massa de solução final produzida nas condições do item c.

Exercício 3.5: Liste as hipóteses assumidas na obtenção da relação

111222 .... AuAu bb .

Exercício 3.6: Mostre que as equações 3.14 e 3.15 são dimensionalmente homogêneas.

Exercício 3.7 Uma caldeira opera com a pressão de 313,0 kPa (absoluta) para a geração

de vapor saturado. A vazão mássica de vapor saturado desejado é de 10,0 t/h para

atender as necessidades de processo. A alimentação é feita com água a 25°C. Não estão

disponíveis informações dos pontos de entrada e saída das tubulações. Calcule a troca

de calor necessária e comente sobre a validade do valor obtido.

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Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 70

Exercício 3.8 Uma caldeira é alimentada com duas correntes de água com as vazões de

5.000 kg/h a 40°C e 450 kg/h a 80oC. A temperatura estipulada para o vapor saturado

produzido é de 152oC. Nestas condições, determine:

a) A pressão de operação da caldeira;

b) A vazão volumétrica o vapor produzido;

c) O calor trocado por unidade de massa de vapor;

d) A potência da caldeira.

Exercício 3.9 Água está armazenada em um vazo de pressão igual a 1.000 kPa. A

temperatura indicada é de 250oC. Pede-se:

a) Qual o estado físico da água, justifique sua resposta com base nas temperaturas e

pressão no interior do vazo e de saturação;

b) A entalpia do vapor saturado;

c) A capacidade calorífica média do vapor;

d) A entalpia do vapor superaquecido.

Exercício 3.10 Uma caldeira é utilizada para gerar vapor a pressão absoluta de 3,7 bar e

temperatura de 160ºC, a partir da alimentação de duas correntes de água líquida, uma de

3000 kg/h a 25°C e outra de 1000 kg/h a 80°C. Não estão disponíveis informações sobre

as tubulações de entrada e saída das correntes. Nestas condições, pede-se:

a) Identifique se o vapor gerado é saturado ou superaquecido e explique por quê;

b) A potência da caldeira em kW.

Dados: capacidade calorífica média do vapor d’água no intervalo de temperatura em

questão = 0,45 kcal/kg.ºC.

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Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 71

Exercício 3.11 Uma caldeira é alimentada com duas correntes de água com as vazões de

5.000 kg/h e 450 kg/h a 28oC. A temperatura estipulada para o vapor saturado

produzido é de 152oC. Nestas condições, determine:

a) A pressão de operação da caldeira;

b) A vazão volumétrica o vapor produzido;

c) O calor trocado por unidade de massa de vapor;

d) A potência da caldeira.

Exercício 3.12 A instalação de bombeamento esquematizada a seguir é utilizada para o

transporte de água a 25oC. A tubulação de sucção e de recalque são de aço comercial

(40S) com diâmetro de 2 in. As curvas indicadas no esquema é de raio longo e a entrada

e a saída são normais. Sabe-se que a vazão de projeto é de 15,6 m3/h. Determine a perda

de carga na linha, o trabalho absorvido pelo fluido e a potências do motor se a eficiência

da bomba for de 62%.

3m

7m9,5m

5,5m

15m

3m

7m

5,5m

3m

7m9,5m

5,5m

15m

3m

7m

5,5m

Exercício 3.13 Repita o problema anterior, porém para o transporte de óleo com

densidade e viscosidade iguais a 20cP e 919 kg/m3.

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Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 72

Exercício 3.14 A instalação de bombeamento esquematizada deve ser projetada para o

transporte de água a 40oC com a vazão de 170 m

3/h. A tubulação de sucção possui um

cotovelo 90o e a entrada. Estão acoplados na tubulação de descarga um cotovelo padrão

de 90o, um registro de globo totalmente aberto e a saída. Ambas as tubulações são de

aço comercial 40 S com diâmetro nominal de 8 in. Adote a pressão atmosférica local

como sendo 712 mmHg para calcular:

10m

5,35 kgf/cm2

man

3m

7m9,5m

5,5m

10m

5,35 kgf/cm2

man

3m

7m9,5m

5,5m

Figura 1 Esquema da condição de projeto da instalação de bombeamento projetada

a) A perda de carga na tubulação de sucção;

b) A perda de carga na tubulação de descarga;

c) O trabalho de eixo por unidade de massa de água transportada;

d) A potência útil da bomba

Exerecício 3.15 Um duto de seção retangular com 100 cm de largura e 50 cm de altura

comporta o escoamento de ar com a vazão de 20.000 m3/h a 25°C e 1 atm. Deve-se

avaliar a queda de pressão em um trecho de 80 m de comprimento retilíneo. Nessas

condições, pede-se:

a) O diâmetro hidráulico do duto;

b) A velocidade média do escoamento;

c) O número de Reynolds do escoamento;

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d) A perda de carga no segmento reto do duto;

e) A queda de pressão no trecho de duto em Pa e em mmH2O;

f) A nova perda de carga no duto de fossem instalados 2 cotovelos de 90° (padrão).

Bibliografia

BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de transporte. 1. ed.

New York: John Wiley and Sons, 1960. 780 p.

BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de transporte. 2. ed.

Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004. 856 p.

GEANKOPLIS, C. J. Transport processes and unit operations. 3. ed. Englewood Cliffs:

Prentice Hall PTR, 1993. 921 p.

GEANKOPLIS, C. J. Transport processes and separation process principles. 4. ed.

Englewood Cliffs: Prentice Hall PTR, 2003. 1025 p.

WELTY, J. R.; WICKS, C. E.; WILSON, R. E. Fundamentals of momentum, heat, and

mass transfer. 3. ed. New York: John Wiley and Sons, 1984. 803 p.

WELTY, J. R.; WICKS, C. E.; WILSON, R. E.; RORRER, G. L. Fundamentals of

momentum, heat, and mass transfer. 4. ed. New York: John Wiley and Sons, 2001. 759

p.

Page 74: Mecânica dos Fluidos 2013

Reinaldo Pisani Jr – Mecânica dos Fluidos, UNAERP (2013) 74

PERRY, R. H.; GREEN, D. Perry’s chemical engineering handbook. 6. ed. New York:

McGraw-Hill, 1984.