luis carlos machado teorema de...
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LUIS CARLOS MACHADO
TEOREMA DE PITAGORAS
Monografia apresentada como requisitoparcial a obtencaodo tftulo de Especialistaem Educacao Matematica Curso de P6s-Graduacao em Educalaquoao MatemilticaUniversidade Tuiuti do Parana
Orientador Prof Dra TAMIA MARTAYAMAMOTO
CURITIBA
2003
SUMARIO
LlSTA DE ILUSTRAltOES v
FIGURA 1 - TRIANGULO RETANGULO
FIGURA 2 - QUADRADO DOS CATETOS
FIGURA 3 - GEOMETRIA DOS EGiPClos
FIGURA 4 - VELAS PARA SAVEIROS
10
14
20
21
1 INTRODUltAO
11 PITAGORAS
01
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
02
04
13 PIT AGORAS FILOSOFO 05
0614 NUMEROS IRRACIONAIS
15 0 PRIMEIRO VEGETARIANO
16 CITAyOES
17 TRIANGULO RETANGULO
2 CURIOSIDADES
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR QUADRADO DE UM
07
08
09
10
NUMERO
22 TRIOS PITAGORICOS
11
12
3 DEMONSTRAltOES DE PITAGORAS 13
31DEMONSTRAyAO 1 13
32DEMONSTRAyAO 2 14
33DEMONSTRAyAO 3
34 DEMONSTRAyAO 4
35 DEMONSTRAyAO 5
4 APLICAyOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA DOS ANTIGOS EGiPCIOS
15
16
17
19
42 CONSTRUyAo DE VELAS PARA SAVEIROS
19
20
43 A DISTANCIA DA lINHA DO HORIZONTE
CONCLUSAO
21
22
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 23
1 INTRODU~Ao
o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior
celebridade que a historia conheceu
Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos
mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas
matemcHicos
Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus
conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu
envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso
veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de
Pitagoras
OBJETIVOS
Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica
apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos
e alguns matematicos famosas
11 PITAGORAS
Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar
Egeu pelos anos de 570 a C
Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de
sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda
comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa
do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu
T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos
hom ens mais sabios de lodos as tempos
No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras
Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das
melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do
jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io
para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca
provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros
AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0
mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos
numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos
toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou
mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da
religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi
levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance
para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais
Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e
fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador
Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os
Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona
no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias
conceituadas
Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde
pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral
Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa
filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados
ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao
indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa
enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros
dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas
em paz com mais de 80 anos
4
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros
atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0
som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja
descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica
em relayao a matematiC8
A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao
como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn
intervalo
Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de
S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do
universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso
Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros
Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a
exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao
essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas
constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito
Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam
entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam
externamente a estrutura numerica inerente
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
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SUMARIO
LlSTA DE ILUSTRAltOES v
FIGURA 1 - TRIANGULO RETANGULO
FIGURA 2 - QUADRADO DOS CATETOS
FIGURA 3 - GEOMETRIA DOS EGiPClos
FIGURA 4 - VELAS PARA SAVEIROS
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1 INTRODUltAO
11 PITAGORAS
01
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
02
04
13 PIT AGORAS FILOSOFO 05
0614 NUMEROS IRRACIONAIS
15 0 PRIMEIRO VEGETARIANO
16 CITAyOES
17 TRIANGULO RETANGULO
2 CURIOSIDADES
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR QUADRADO DE UM
07
08
09
10
NUMERO
22 TRIOS PITAGORICOS
11
12
3 DEMONSTRAltOES DE PITAGORAS 13
31DEMONSTRAyAO 1 13
32DEMONSTRAyAO 2 14
33DEMONSTRAyAO 3
34 DEMONSTRAyAO 4
35 DEMONSTRAyAO 5
4 APLICAyOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA DOS ANTIGOS EGiPCIOS
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42 CONSTRUyAo DE VELAS PARA SAVEIROS
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43 A DISTANCIA DA lINHA DO HORIZONTE
CONCLUSAO
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 23
1 INTRODU~Ao
o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior
celebridade que a historia conheceu
Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos
mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas
matemcHicos
Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus
conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu
envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso
veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de
Pitagoras
OBJETIVOS
Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica
apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos
e alguns matematicos famosas
11 PITAGORAS
Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar
Egeu pelos anos de 570 a C
Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de
sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda
comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa
do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu
T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos
hom ens mais sabios de lodos as tempos
No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras
Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das
melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do
jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io
para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca
provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros
AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0
mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos
numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos
toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou
mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da
religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi
levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance
para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais
Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e
fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador
Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os
Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona
no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias
conceituadas
Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde
pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral
Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa
filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados
ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao
indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa
enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros
dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas
em paz com mais de 80 anos
4
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros
atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0
som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja
descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica
em relayao a matematiC8
A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao
como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn
intervalo
Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de
S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do
universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso
Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros
Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a
exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao
essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas
constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito
Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam
entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam
externamente a estrutura numerica inerente
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
43 A DISTANCIA DA lINHA DO HORIZONTE
CONCLUSAO
21
22
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 23
1 INTRODU~Ao
o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior
celebridade que a historia conheceu
Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos
mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas
matemcHicos
Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus
conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu
envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso
veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de
Pitagoras
OBJETIVOS
Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica
apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos
e alguns matematicos famosas
11 PITAGORAS
Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar
Egeu pelos anos de 570 a C
Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de
sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda
comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa
do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu
T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos
hom ens mais sabios de lodos as tempos
No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras
Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das
melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do
jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io
para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca
provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros
AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0
mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos
numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos
toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou
mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da
religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi
levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance
para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais
Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e
fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador
Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os
Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona
no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias
conceituadas
Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde
pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral
Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa
filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados
ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao
indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa
enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros
dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas
em paz com mais de 80 anos
4
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros
atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0
som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja
descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica
em relayao a matematiC8
A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao
como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn
intervalo
Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de
S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do
universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso
Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros
Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a
exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao
essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas
constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito
Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam
entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam
externamente a estrutura numerica inerente
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
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14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
1 INTRODU~Ao
o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior
celebridade que a historia conheceu
Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos
mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas
matemcHicos
Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus
conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu
envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso
veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de
Pitagoras
OBJETIVOS
Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica
apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos
e alguns matematicos famosas
11 PITAGORAS
Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar
Egeu pelos anos de 570 a C
Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de
sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda
comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa
do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu
T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos
hom ens mais sabios de lodos as tempos
No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras
Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das
melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do
jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io
para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca
provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros
AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0
mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos
numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos
toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou
mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da
religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi
levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance
para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais
Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e
fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador
Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os
Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona
no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias
conceituadas
Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde
pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral
Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa
filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados
ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao
indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa
enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros
dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas
em paz com mais de 80 anos
4
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros
atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0
som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja
descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica
em relayao a matematiC8
A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao
como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn
intervalo
Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de
S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do
universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso
Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros
Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a
exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao
essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas
constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito
Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam
entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam
externamente a estrutura numerica inerente
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
11 PITAGORAS
Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar
Egeu pelos anos de 570 a C
Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de
sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda
comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa
do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu
T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos
hom ens mais sabios de lodos as tempos
No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras
Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das
melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do
jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io
para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca
provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros
AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0
mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos
numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos
toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou
mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da
religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi
levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance
para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais
Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e
fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador
Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os
Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona
no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias
conceituadas
Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde
pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral
Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa
filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados
ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao
indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa
enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros
dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas
em paz com mais de 80 anos
4
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros
atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0
som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja
descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica
em relayao a matematiC8
A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao
como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn
intervalo
Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de
S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do
universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso
Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros
Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a
exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao
essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas
constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito
Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam
entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam
externamente a estrutura numerica inerente
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
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42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e
fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador
Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os
Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona
no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias
conceituadas
Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde
pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral
Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa
filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados
ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao
indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa
enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros
dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas
em paz com mais de 80 anos
4
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros
atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0
som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja
descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica
em relayao a matematiC8
A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao
como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn
intervalo
Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de
S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do
universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso
Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros
Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a
exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao
essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas
constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito
Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam
entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam
externamente a estrutura numerica inerente
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
4
12 PITAGORAS E OS NUMEROS
Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros
atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0
som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja
descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica
em relayao a matematiC8
A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao
como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn
intervalo
Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de
S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do
universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso
Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros
Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a
exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao
essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas
constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito
Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam
entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam
externamente a estrutura numerica inerente
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma
representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes
literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos
A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos
nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos
pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam
para justificar 0 que ha de essencial no universo
13 PITAGORAS FILOSOFO
Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso
para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo
sfmbolos da ordena9ao universal divina
Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das
esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade
sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade
originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao
em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio
da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese
resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a
progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
6
14 NUMEROS IRRACIONAIS
A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que
logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal
impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi
levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores
musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas
inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a
diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles
com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao
comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na
traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de
determina9ao exaustiva como -2
o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de
Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos
quadrados construfdo sobre as catetos)
Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo
isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha
que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros
primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era
afinal nem par nem fmpar
Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento
pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente
vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos
farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros
que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa
geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es
musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos
equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu
movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas
permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera
silencio
150 PRIMEIRO VEGETARIANO
o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras
que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de
absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro
uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta
que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do
grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de
nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)
esferas a Terra e as corpos celestes
Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz
au a cerIa instrumenlO
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0
pai do vegetarianismo no ocidente
acomodarem a certa voz OU a certo instrumento
16 CITA90ES
Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos
corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura
viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor
das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como
cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes
apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo
outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses
Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos
inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens
massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que
semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio
Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par
Ovidio
17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
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17 TRIANGULO RETANGULO
E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou
seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das
medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a
soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)
LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO
Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0
angulo de 90 graus sao cham ados de catetos
Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a
hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)
cathetos (perpendicular)
Triangulo Retangulo2 2
a = b + c
c (cateto)
b (cateto)
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
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42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
10
2 CURIOSIDADES
Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a
Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram
considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0
numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento
pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03
Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem
estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos
Vejamos porque
Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a
284
Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4
71 e 142A soma desses divisores e igual a 220
Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros
220 e 284 sao amigos
Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando
neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
II
21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM
NUMERO
Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0
numero de vezes do expoente au seja por exemplo
4=4x4= 16
No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias
baseando-se na soma de numeros fmpares
Exemplo
o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1
Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as
primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro
primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e
assim sucessivamente
12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
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12
22 TRIOS PITAGORICOS
o que e urn trio pitagorico
E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn
deles e soma dos quadrados dos Quiros dais
Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a
estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn
num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre
quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a
demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6
ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse
maneira de como encontrar esses trios
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
13
3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
31 DEMONSTRAvAO 1
No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as
somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores
sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa
Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as
catetos donde surgiu a seguinte formula
Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema
Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600
aC
Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez
ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira
demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)
Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil
entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados
14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
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14
sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior
chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn
destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0
Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2
32 DEMONSTRA9AO 2
Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores
Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e
quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn
desses triangulos e sendo a area total da figura temas
(c + b) 2 = c2 + b2 + 48
c b c
tjjDb
a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos
iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa
dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48
Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta
82 + 4S = c2 + b2 + 4S
E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b
15
33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
16
34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
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35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
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33 DEMONSTRA9AO 3
Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura
AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se
~A C
AB BD
BC AB
AC DC
BC AC
Escrevendo de maneira diferente teremos
AB ~BC _BD e AC ~BC DC
Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte
1AB + AC ~BC DC +BC BD 011
2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC
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34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
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35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
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34 DEMONSTRA9AO 4
TRAPEZIO
Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao
recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia
a
a
Portanto
s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22
Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos
Veja
s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22
Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos
Ou
Multiplica-se par 2
T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2
17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
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17
35 DEMONSTRA9AO 5
ARTESANATO AFRICANO
A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais
poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras
a partir das vias algebricas e geometricas
Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs
ornamentals africanos
Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii
passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de
Moambique (Gerdes)
o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se
comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado
entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e
tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura
3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)
fig 1 fig 2 fig 3
18
Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
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42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
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43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
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CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
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GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
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Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e
apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas
ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de
Pitagaras
0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica
do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos
sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As
aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato
como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de
veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras
fornecedoras de boa fibra) etc
A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e
elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da
exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)
19
4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
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43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
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CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
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GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
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Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
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4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS
41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS
Como os egipcios faziam para obter imgulos retos
Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo
retangulo particular para abter cantos em angulo reto
Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5
unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados
menores e urn Angulo reto
20
42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
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42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS
o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em
varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa
aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da
revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988
Liltao antiga
o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as
outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de
uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5
a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do
saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros
lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo
reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria
comprimento igual da quilha
Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de
saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros
21
43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
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CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
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43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE
Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do
horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha
Veja a ligura abaixo
A
Onde
H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra
c= linha do horizonte
AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C
o raio da terra mede aproximadamente 6370 km
E a altura media do homem e de 180 m
Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas
(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2
Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever
x = 2 x 6370 x 00018
x = 48 km
Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela
esta a uma distancia aproximada de 4800 metros
22
CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
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Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
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CONCLusAo
Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e
muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos
hoje alguns seculos atrasados
o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por
nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo
uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate
os dias de hoje
Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que
construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras
Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em
livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre
Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica
desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s
23
REFERENCIAS
GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data
BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda
Sao Paulo 1988
GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica
Sao Paulo 1997
REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988
SITES
Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr
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