1 A Professora Isabel Ribeiro

Filosofia 11ºano Ano letivo 2013/2014

Lógica Proposicional

O objetivo da lógica é estabelecer uma linguagem formal, onde se possa expressar com

clareza, precisão e emitir um juízo de verdadeiro ou falso para determinadas frases

(proposições).

A Proposição: é o pensamento que a frase declarativa exprime literalmente. Só as frases

declarativas podem exprimir proposições. Frases interrogativas, exclamativas, pedidos,

ordens, promessas, não exprimem proposições, porque não têm um valor de verdade

(verdadeiro ou falso). A proposição é uma frase declarativa (com sujeito e predicado) à

qual pode ser atribuído um dos valores lógicos. Todos os enunciados a que não seja

possível determinar com segurança nenhum destes valores de verdade, não podem ser

considerados uma proposição.

Proposições simples ou atómicas: não se podem decompor noutras proposições; não

contêm nenhuma outra proposição como fazendo parte integrante de si mesma. No

cálculo proposicional as proposições simples vão ser substituídas por símbolos (letras

minúsculas: p, q, r, s…) designados de variáveis proposicionais (independentemente

do conteúdo concreto). Chamam-se variáveis, porque o seu conteúdo varia pois, por

definição podem representar qualquer enunciado declarativo do qual possa ser atribuído,

sem ambiguidade, um dos valores lógicos (V/F).

Proposições complexas ou moleculares: combinação de proposições simples ligadas

entre si, não por verbos, mas por partículas de ligação chamadas conectivas. As

proposições complexas são indicadas por letras maiúsculas: (P, Q, …).

Definições conectivas: Negação, Conjunção, Disjunção, Condicionalização e

Bicondicionalização: O Cálculo proposicional trabalha com proposições e com as

relações que se estabelece entre essas proposições; essas relações designam-se por

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operadores ou conectores, exprimem-se através de símbolos e obedecem a regras

lógicas.

Conectivas lógicas ou operadores lógicos: são palavras ou expressões usadas para

ligar entre si as proposições simples, formando, deste modo, novas proposições a partir

da combinação daquelas. Estas palavras ou expressões traduzem os diferentes modos de

relacionar as proposições, isto é, as diferentes operações lógicas. São símbolos que

denotam operações lógicas, são também considerados as constantes lógicas. O cálculo

proposicional implica, igualmente, que formalizemos as palavras e expressões usadas

para ligar as proposições atómicas, isto é, as conectivas lógicas.

Simbolização das conectivas lógicas: Negação: () não, não é verdade que…, é falso

que…, nunca, sem, prefixos de negação; Conjunção: () e, porque, mas; Disjunção: ()

ou; Condicionalização: () se…então, sempre que p, q, …é suficiente para, …é

necessário para; Bicondicionalização: () …se e só se, …é condição necessária e

suficiente, …se e somente se.

Conectores

Símbolo Leitura Operação lógica Exemplos Simbolização

e Conjunção O João é alto e o

Pedro é baixo. p q

ou Disjunção O João estuda ou

reprova de ano. p q

não Negação O Sol não brilha no

céu.

p

se…então Condicionalização ou

implicação material

Se o João estudar,

então terá boas

notas.

p q

se e só se Bicondicionalização

ou equivalência

material

O João terá boas

notas se e só se

estudar.

p q

Parêntesis: ajudam na ordem das operações a realizar; são usados para indicar a ordem

de avaliação das expressões. Os parêntesis devem envolver as proposições menos

complexas que compõem as proposições mais complexas.

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Método das tabelas de verdade (regras de Verdade das conectivas lógicas).

Tabela de verdade: é uma maneira prática de dispor organizadamente

os valores lógicos envolvidos numa proposição complexa. É uma tabela

que se pode formar para determinar mecanicamente a verdade ou a

falsidade de uma fórmula (uma vez conhecidos os valores de verdade das

fórmulas componentes), através da averiguação de todos os casos

possíveis. Para cada proposição complexa, podemos dispor os valores

lógicos(V/F) numa tabela de verdade, de modo a combinar todos os

valores de verdade possíveis das proposições suas componentes.

Modo de construção das tabelas de verdade: o número de linhas

distintas de uma tabela de verdade é dado por 2n, onde n é o número de

proposições simples componentes e 2 representa o número de valores

lógicos possíveis(V/F) – dado que estamos perante uma lógica bivalente,

isto é, considera dois valores de verdade(V/F).

Construção da tabela de verdade da Negação: é a operação lógica que

muda o valor de verdade de uma proposição. É a única operação que se

aplica apenas a uma proposição.

P P

V V

F F

Construção da tabela de verdade da Conjunção: operação lógica que,

aplicada em relação a duas ou mais proposições, tem como resultado

uma proposição que é verdadeira se todas as proposições componentes

forem verdadeiras e é falsa desde que haja pelo menos uma falsa.

Construção da tabela de verdade da Disjunção: operação lógica que é

verdadeira em todos os casos, só será falsa quando ambas as proposições

forem falsas.

P Q P˄ Q

V V V

V F F

F V F

F F F

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P Q P ˅ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Construção da tabela de verdade da Condicionalização: operação

lógica que trata de uma relação antecedente – consequente, ou de uma

relação causa – efeito. Se a causa se verificar, o efeito é inevitável. A

condicionalização só será falsa se p (antecedente) for verdadeiro e q

(consequente) for falso. Só é falsa quando o antecedente for verdadeiro e

o consequente falso.

P Q P Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Construção da tabela da Bicondicionalização: operação lógica que é

verdadeira se as proposições têm o mesmo valor e é falsa se tiver valores

diferentes.

P Q P Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo 1: construção de uma tabela de verdade para a seguinte fórmula ( P ˅ Q).

P Q Q P ˅ Q ( P ˅ Q)

V V F V F

V F V V F

F V F F V

F F V V F

As duas primeiras colunas desta tabela listam todas as possibilidades de valores lógicos

conjuntos de P e Q. Na coluna seguinte, analisamos o valor lógico de Q, o que se

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consegue simplesmente trocando os valores lógicos da coluna de Q. Na quarta coluna da

tabela, encontramos os valores lógicos de P ˅ Q; para os determinar, consideram-se a

primeira e a terceira colunas e aplicam-se as regras usuais de valores lógicos para a

disjunção, tendo em conta a tabela de verdade deste conectivo. Por fim, na última

coluna, indica-se o valor lógico de ( P ˅ Q) para cada combinação, negando os

valores lógicos da quarta coluna.

Exemplo 2: Construção de uma tabela de verdade com a seguinte fórmula lógica:

( P ˄ Q) ˅ R .

Tautologia: Uma proposição composta é uma tautologia quando o seu valor

lógico é sempre a verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das

proposições componentes. Fórmulas que são sempre verdadeiras qualquer que

seja o valor de verdade dos enunciados que a compõem. As proposições

tautológicas são verdadeiras em virtude da sua forma lógica, isto é, em virtude

do modo como estão relacionadas as proposições que a constituem, por isso, o

seu valor de verdade não depende da experiência. São proposições universais e

necessárias. Os princípios lógicos da razão, sendo expressão de leis lógicas,

são sempre verdadeiros e, por isso, são proposições tautológicas.

Contradição: É uma fórmula lógica que é sempre falsa, seja qual for o valor

lógico das proposições que a constituem. Assim, a contradição é sempre,

universal e necessariamente uma falsidade: não se trata de uma falsidade

empírica, mas de uma falsidade lógica, que não depende dos valores lógicos

das variáveis, depende exclusivamente da sua forma lógica.

P Q R P ˄ Q ( P ˄ Q) R ( P ˄ Q) ˅ R

V V V V F F F

V V F V F V V

V F V F V F V

V F F F V V V

F V V F V F V

F V F F V V V

F F V F V F V

F F F F V V V

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Nota: Quer a Tautologia, quer a Contradição nada nos informam ou dizem

acerca da realidade, por isso, pode afirmar-se que a primeira é verdadeira em

todos os mundos possíveis e a segunda é falsa em todos os mundos possíveis.

Quer uma, quer outra, tiram o seu valor lógico exclusivamente da sua forma.

Contingência (ou enunciados sintéticos): São aqueles enunciados que podem

ter o valor lógico de verdade ou falsidade. São as fórmulas que podem ser

verdadeiras em certos casos e falsas noutros.

O Cálculo Proposicional como uma forma de inferir dedutivamente: no

processo dedutivo da inferência derivam-se certos enunciados de um modo

puramente formal, isto é, apenas em virtude da forma (lógica) dos mesmos.

Assim sendo, o que caracteriza a dedução é o facto de a conclusão já estar, de

algum modo, contida nas premissas e a sua validade resultar do modo como se

relacionam as proposições antecedentes, ou seja, da forma do raciocínio. Os

argumentos dedutivos bem construídos são argumentos em que a verdade das

premissas garante a verdade da conclusão. A dedução preserva, desta forma, a

verdade (se as premissas forem verdadeiras ou consideradas como tais e se

raciocinarmos corretamente, então a conclusão só pode ser verdadeira).

O silogismo como a forma particular de inferência dedutiva: os silogismos

são fórmulas de inferência dedutiva muito simples. Todo o silogismo é

constituído por premissas e conclusão, a conclusão resulta logicamente das

suas premissas. A operação lógica que lhe corresponde mais diretamente é a

implicação.

Para o Cálculo Proposicional todo o raciocínio se reduz a uma relação do

tipo: Antecedente Consequente (se… então…).

Inspetor de Circunstâncias: método usado em Lógica para testar a validade

de alguns tipos de argumentos (ou raciocínios). Trata-se de uma sequência

encadeada de tabelas de verdade em que se analisam todas as combinações

possíveis (circunstâncias) de verdade e falsidade das premissas e da conclusão,

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de modo a verificar-se se existe alguma circunstância em que, sendo todas as

premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. Se existir, o argumento é

inválido. Pelo contrário, se em todas as circunstâncias em que as premissas são

verdadeiras a conclusão também é verdadeira, então o argumento é válido. Eis

um exemplo: seja o raciocínio «Chove e está frio. Logo, está frio», no qual

existe apenas uma premissa («Chove e está frio»). Se representarmos «chove»

por «P», «está frio» por «Q», «e» por « » e «logo» por « », obtemos o

seguinte inspetor de circunstâncias:

P Q P Q Q

V V V V

V F F F

F V F V

F F F F

Nas duas colunas mais à esquerda são apresentadas as quatro combinações

possíveis dos valores de verdade de P e de Q. Na coluna mais à direita, são

apresentados, por um lado, os valores de verdade da premissa (P Q), em

função dos valores de verdade atribuídos a P e a Q em cada circunstância, e,

por outro, os valores de verdade da conclusão (Q). Verificamos então que, em

todas as circunstâncias (neste caso, apenas uma) em que a premissa é

verdadeira, a conclusão é verdadeira. Portanto, o raciocínio é válido.

Leis e regras de Inferência Válida: Modus Ponens, Modus Tollens,

Silogismo Hipotético, Silogismo Disjuntivo, Leis De Morgan,

Contraposição.

Formas de inferência válida: As regras de inferência são tautologias que

consistem em fórmulas vazias de conteúdo empírico e que permitem extrair

determinada conclusão a partir de determinadas premissas. Existem formas

válidas em que a conclusão é sempre verdadeira seja quais forem os valores de

verdade das proposições simples que as compõem e, por isso, traduzem uma

lei lógica ou tautologia, são implicações lógicas: Modus Ponens ou

Afirmação do Antecedente (PQ)PQ Modus Tollens ou Negação do

Consequente (PQ)QP. Ao verificarmos a validade das inferências

através do método das Tabelas de Verdade, constatamos que se tratam de leis

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lógicas ou tautologias, portanto, de modos válidos da implicação lógica, pois é

sempre verdadeira seja quais forem os valores de verdade de p e q .

Silogismo hipotético PQ, QR PR (permite deduzir um enunciado

condicional a partir de dois enunciados condicionais usados como premissas).

Silogismo Disjuntivo PQ, P Q ou PQ, Q P (Se temos como

premissas uma fórmula disjuntiva e a negação de um dos seus membros,

podemos inferir como conclusão a afirmação do outro membro da disjunção.)

Leis de De Morgan (PQ) (P Q) ou (P Q) (PQ) (Quando

movemos a negação para dentro ou para fora dos parêntesis, a conjunção

transforma-se em disjunção e vice-versa.)

Contraposição PQ (QP) (permite trocar os lugares do antecedente e

do consequente de uma condicional na condição de que se negue cada um

deles.)

Falácias (São raciocínios errados com aparência de verdadeiros).

Falácia da Afirmação do Consequente (PQ)QP

Falácia da Negação do Antecedente (PQ)PQ : Estas são duas

formas que conduzem a proposições contingentes que, por serem muito

parecidas com as formas válidas, merecem especial atenção. As Tabelas de

Verdade demonstram que estes raciocínios não são válidos para todos os

valores de p e q, a proposição resultante é contingente (no 3º caso, as

premissas são verdadeiras e a conclusão falsa: a combinação de valores de

verdade que nunca pode ocorrer num argumento válido).

Formas válidas

Modus Ponens

PQ Se é homem, é mortal. P É homem.

Q Logo, é mortal.

Modus Tollens

PQ Se é homem, é mortal.

Q Não é mortal.

P Logo, não é homem.

Silogismo Hipotético

PQ Se estudo, tenho boa nota.

QR Se tenho boa nota, passo de ano.

PR Logo, se estudo passo de ano.

Silogismo Disjuntivo

PQ A Joana estuda ou vai ao cinema.

P A Joana não estuda.

Q Logo, a Joana vai ao cinema.

PQ A Joana estuda ou vai ao cinema.

Q A Joana não vai ao cinema.

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P Logo, a Joana estuda.

Leis de De Morgan

( PQ) Não é verdade que Platão seja autor da Poética ou da Retórica.

PQ Logo, Platão não é autor da poética

e não é autor da Retórica.

(PQ) Não é verdade que os morcegos sejam aves e que as baleias sejam peixes

PQ Logo, os morcegos não são aves ou

as baleias não são peixes.

Contraposição

PQ Se estou doente, fico em casa.

Q P Logo, se não fico em casa,

não estou doente.

Falácias

Falácia da Afirmação do Consequente

PQ Se é homem, é mortal. Q É mortal.

P Logo, é homem.

Falácia da Negação do antecedente

PQ Se é homem, é mortal.

P Não é homem.

Q Logo, não é mortal.

Exercícios: