aula05 rfon logica proposicional metodos deter prop sem

Mtodos para determinao de propriedades semnticas de

frmulas da Lgica Proposicional(Captulo 4)

LGICA APLICADA A COMPUTAO

Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto

Estrutura

1. Tabela-Verdade

2. rvore Semntica

3. Mtodo da Negao, ou Reduo ao Absurdo

4. Definies

5. Lista

Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

04Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

Tb - Verdade Arvore Semntica Red.Absurdo Definies Lista

As propriedades semnticas bsicas da Lgica Proposicional

Tautologia

Satisfatvel

Contingncia

Contraditria


Tabela-Verdade

O mtodo mais simples para determinar estas propriedades.

Exemplo: Leis de De Morgan

(P Q) ( P V Q)

(P V Q) ( P Q)



Verificao das leis de De Morgan atravs do mtodo da Tabela-Verdade

As duas frmulas so tautologias !



Limitao da tabela-verdade

O mtodo da tabela-verdade mais adequado a frmulas que contm um pequeno nmero de smbolos proposicionais.

Considere a frmula:

H = P1 ((P2 P3) (P4 P5)) ((P6 P7) P8))

A tabela verdade associada a esta frmula possui quantas linhas?



Limitao da tabela-verdade

O mtodo da tabela-verdade mais adequado a frmulas que contm um pequeno nmero de smbolos proposicionais.

Considere a frmula:

H = P1 ((P2 P3) (P4 P5)) ((P6 P7) P8))

A tabela verdade associada a esta frmula possui quantas linhas?

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Estrutura de rvore

1

2 3

4 5

6 7 8 Ns - nmerosRaiz 1Folhas 2,6,7,8



Determinar se a frmula abaixo uma tautologia utilizando o mtodo da rvore semntica

H = ( P Q ) ( Q P )



1

I[P]=T I[P]=F

2 3T

N 2:

H=(PQ) ((Q)(P))

T T

T FT

N 3:

H=(PQ) ((Q)(P))

F T T T TF



1

I[P]=T I[P]=F

I[Q]=T I[Q]=F T

4 5

T T

2 3

N 4:

H=(PQ) ((Q)(P))

T T T T FT T FT

N 5:

H=(PQ) ((Q)(P))

TF F T TF T FT



Acabamos de provar a lei da contradio

(PQ) (QP)



Interpretaes do resultado das rvores semnticas

Observe que se as folhas da rvore semntica resultante estiveremtodas rotuladas com F, ento a frmula objeto da anlise contraditria. Se pelo menos uma folha estiver rotulada com T,ento a frmula satisfatvel, se houver rtulos T e F, a frmula uma contingncia.



Mtodo da Negao, ou Reduo ao Absurdo

Objetivo

negada a afirmao que desejamos demonstrar.

Aps um conjunto de dedues,

caso obtenhamos um absurdo,

ento a afirmao inicial verdadeira.



Aplicao do mtodo s frmulas com conectivo

Exemplo:

H = (( P Q ) ( Q R )) ( P R )

A frmula H uma tautologia?




Exemplo:

H = (( P Q ) ( Q R )) ( P R )


1 negamos o que pretendemos verificar, ou seja, assumimos que H no uma tautologia, ou seja existe uma interpretao em que H falsa

2 verificamos se existe absurdo.Para a frmula acima existe absurdo, por isso H uma tautologia




Exemplo:

H = ( ( P Q ) ( Q R )) ( P R )

A frmula H contraditria?




Exemplo:

H = ( ( P Q ) ( Q R )) ( P R )

A frmula H contraditria?

1 negamos o que pretendemos verificar, ou seja, assumimos que H no uma contradio, ou seja, existe uma interpretao em que H verdadeira.

2 verificamos se existe absurdo.

Para a frmula acima existe absurdo, por isso ela contraditria




Exemplo:

H = (( P Q ) ( Q R )) ( P R )





Exemplo:

H = (( P Q ) ( Q R )) ( P R )


1 negamos o que pretendemos verificar, ou seja, assumimos que H no uma tautologia.


Para a frmula acima existe absurdo, por isso H uma tautologia




Exemplo:

H = ( P Q ) ( P Q )





Exemplo:

H = ( P Q ) ( P Q )


1 negamos o que pretendemos verificar, ou seja, assumimos que H no uma tautologia.


Para a frmula acima no existe absurdo, no se pode concluir que H tautologia



Exerccio

Por rvore semntica e por negao determine se a frmula abaixo uma tautologia.

(H) H



A decidibilidade do conjunto das tautologias

Os mtodos apresentados neste captulo constituem algoritmos que decidem se um dada frmula H , ou no, uma tautologia.



Os mtodos apresentados so corretos e completos

Eles so corretos porque, dada uma frmula H, que no uma tautologia, tais mtodos nunca respondero o contrrio, que H uma tautologia. As respostas dadas pelos mtodos so corretas.

Eles so completos. Isso significa que, dada uma tautologia H; possvel construir uma tabela verdade, uma rvore semntica ou uma prova por negao, que prove que H realmente uma tautologia.



1- Determine as propriedades semnticas da frmula abaixo utilizando o mtodo da rvore semntica.

H = ((P Q) V R V S) V (P1 Q1)



2- Considere G uma das frmulas indicadas a seguir:

a) P V Q

b) Q P

c) P Q

d) P Q

e) P Q

Determine utilizando o mtodo da reduo ao absurdo

I) P Q G

II) P Q G

III) P V Q G

IV) P Q G


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