Lógica Proposicional

Semântica

Semântica Existe uma diferença entre os objetos e seu

significado Existe um mundo sintático e um mundo

semântico Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas

(consideradas apenas como concatenções de símbolos)

Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre

um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências

[Gaiarsa]

Semântica

P (símbolo sintático) representa“Está chovendo”

Q representa“A rua está molhada”

Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?

Interpretação Depende das condições climáticas e se

a rua é coberta, ou seja, depende da interpretação de P e Q

I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q])

A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quandoI[P]=T e I[Q]= T

Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é interpretado como a conjunção da interpretação dos fatos P e Q,

I[P^Q]=F

Interpretação Função binária – só possui em sua imagem 2

elementos Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional,

é uma função binária t;l que: O domínio de I é o conjunto de fórmulas

proposicionais A imagem é o conjunto {T,F} O valor da interpretação I, tendo como argumentos

os símbolos de verdade true e false, é dado por I[true]=T e I[false]=F

Dado um símbolo proposicional P, I[P] pertence a {T,F}

Interpretação de fórmulas Dado uma fórmula E e uma

interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: Se E=P, onde P é um símbolo

proposicional, I[E]=I[P] Se E=true, então I[E]=I[true] =T, e

se E=false, então I[E]=I[false]=F Se H é uma fórmula e E=H, então

I[E]=I[H]=T se I[H]=F e I[E]=I[H]=F se I[H]=T

Interpretação de fórmulas (cont.)

Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=I[G] I[E]=I[HG]=F se I[H]=I[G]

Tabelas-verdade

Tabelas verdade associada a conectivos

Tabelas verdade associada a fórmulas Como fazer para obter a tabela verdade

associada à fórmula H=((P)vQ)(Q^P)? Colunas intermediárias: P,Q,P, PvQ e

Q^P

Semântica da implicação Olhando a tabela

verdade de HG

H G HG-----------------T T TT F FF T TF F F

I[HG]=T se I[H]=T e I[G]=T I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F I[HG]=T se I[H]=F,

independente de G

Se está chovendo, então a rua está molhada.

(P (P v Q))

Causalidade e Implicação Não há relação entre causalidade e

implicação Q = “o sol é redondo” P = “Maluf é honesto”

I[PQ]=T, sem relação de causalidade, pois I[Q]=T

R = “é possível 2 objetos ocuparem o mesmo lugar no espaço”

S = “a lua é redonda” I[RS]=T

Interpretação de uma fórmula

Se temos a fórmula H=((P)v(Q))R e a interpretação I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[S]=T

Qual a interpretação de H ? Fazer tabela verdade (de uma linha

)

Interpretação de uma fórmula (cont.) Se E = =((P)^Q)(RvP) e

H=(falseP) e as interpretações I e J I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F I[H]=? J[H]=? I[P true]=? J[P true]=?

Propriedades semânticas básicas Uma fórmula H é uma tautologia

(ou é válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T

H é factível ou satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H]=T

H é contraditória se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F

Propriedades semânticas básicas (cont.)

Dadas 2 fórmulas H e G,HG se e somente se para toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T

Dadas H e G,HG se e somente se para toda interpretação I, I[H]=I[G]

Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e somente se I[H]=T

Propriedades semânticas básicas (cont.)

Um conjunto de fórmulas ={H1,H2,...Hn} é satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H1]= I[H2]= ... = I[Hn]= T I satisfaz o conjunto de fórmulas , ou

I[]=T Toda I satisfaz o conjunto de fórmulas

vazio

Exemplo de Tautologia A fórmula H=PvP é uma tautologia,

pois toda I[H]=T I[H]=T I[PvP]=T

I[P]=T e/ou I[P]=T I[P]=T e/ou I[P]=F

aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”) Como I é uma função binária com

imagem {T,F}, então I[P]=T e/ou I[P]=F é verdade e I[H]=T.

Exemplo de Satisfatibilidade

A fórmula H=(PvQ) é satisfazível, pois há interpretações que a interpretam como verdadeira.

H é tautologia? Por quê?

Exemplo de Contradição A fórmula H=(P^P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista

I[H]=T

I[H]=T I[P^P]=T I[P]=T e I[P]=T

I[P]=T e I[P]=F

Como I é uma função binária, ocorre apenas um dos valores, i.e. I[P]=T ou I[P]=F. Então

I[P]=T e I[P]=F é falsa, e portanto I[H]=T também é falsa.

Exercícios

Quais das fórmulas abaixo são válidas, satisfazíveis ou contraditórias?

H1=P1^P2^QQ H2=P1^P2^QQ H3=(PvP)(Q^Q)

Implicação Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(PQ)

E G? E H? H G? H E? G H?

Exercício

Prove que se temos as fórmulas proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H G

Se H=F, G=?

Equivalência

Exemplo (Lei de Morgan)H=(P^Q) e G=(PvQ)

Temos que demonstrar que, para toda interpretação I, I[H]=I[G]

Casos I[H]=T e I[H]=F

(P^Q) (PvQ) ? Caso I[H]=TI[H]=T I[P^Q]=T I[P]=T e I[Q]=T I[P]=F e I[Q]=F I[PvQ]=F I[(PvQ)]=T I[G]=T I[H]=T I[H]=I[G]

Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas

verdade das 2 fórmulas

Exemplos de Satisfatibilidade e Insatisfatibilidade

Qual(is) conjunto(s) são (in)satisfazíveis: H1=P, H2=P e H3=Q E=(P Q), H=(Q R) e G=(R P)

Relações entre as Propriedades Semânticas

Validade e factibilidade H é válida H é contraditória H é válida H é satisfazível (quer dizer “se … então…”) H não é satisfazível H é

contraditória

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)

Dadas 2 fórmulas H e G, H implica G (H G) é tautologia H equivale a G (H G) é tautologia

Provar que (H G) e (G H) Transitividade da equivalência

E H e H G E G

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)

Satisfabilidade e factibilidade Seja {H1,H2,...Hn} um conjunto de

fórmulas {H1,H2,...Hn} é satisfatível

{H1^H2^...^Hn} é satisfatível

Equivalências

aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a” e quer dizer “se … então …”

Cuidado: Há uma diferença entre eles: H equivale a G H é tautologia G é tautologia}? (1) H equivale a G H é tautologia G é tautologia}? (2)

Equivalência e Validade H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (1)é dividida em 2 implicações:

H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2)e H é tautologia G é tautologia} H equivale a G (3)

Contra-exemplo de Equivalência e Validade

H é tautologia G é tautologia} H equivale a G (3)

H=P e G=Q, que não são equivalentes “H equivale a G” é falsa

No entanto, o antecedente é verdadeiro H e G não são tautologias

(Falso Falso) Falso Verdadeiro Falso, o que é falso

Proposição 1 –Equivalência e Validade H equivale a G

H é tautologia G é tautologia} (2)

Prova do tipo prop3 prop2 e

prop2 prop1

Passos: prop2,

prop2 prop1 [1] prop3,

prop3 prop2 [2] Portanto,

prop3, [3] prop3 prop2, prop2 prop1

Proposição 2 – Implicação e Validade H equivale a G H é tautologia G é tautologia}(4) Porque isso equivale a

G equivale a H G é tautologia H é tautologia} (5) Portanto,

H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2) E prop2 prop1

Implicação e Validade (cont.)

Se H é tautologia G é tautologia}(4) eG é tautologia H é tautologia} (5) então

H é tautologia G é tautologia} (2) E portanto,

H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2)

Lema (implicação) (A (B C)) equivale a ((A^B) C)

Olhar tabelas verdade H equivale a G H é tautologia G é tautologia}(4)

é exatamente deste tipo! Portanto, (4) equivale a

{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é tautologia}

prop3 prop2

Proposição 3 – Implicação e Validade Dadas 2 fórmulas H e G, então{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é

tautologia} Supondo {H implica G} e {H é tautologia} Para {G é tautologia} ser verdade, então{G é tautologia} toda I[G]=T

Proposição 3 – Implicação e Validade (cont.)

{G é tautologia} toda I[G]=T Mas se {H é tautologia}, toda I[H]=T Como {H implica G}, então toda

I[G]=T {G é tautologia} prop3 prop2

prop2 prop1