módulo de lógica proposicional

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE CIENCIAS Departamento de Matemática

Módulo de Lógica Proposicional

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

p q p q p q

q

p q p q p / q pq pq

V V V F F V F V V

V F V F V F V F F

F V V F V F V V F

F F F V F F V V V

Autor: Fidel Vera Obeso

Nuevo Chimbote, Perú

2013

Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso

i

El estudio de la lógica nos beneficia en lo siguiente: desarrollar

habilidades para expresar ideas de manera clara y concisa, incrementar la

capacidad de definir los términos que utilizamos y aumentar la capacidad de

elaborar argumentos en forma rigurosa y de analizarlos críticamente. Pero

quizás el mayor beneficio es el reconocimiento de que la razón se puede aplicar

en todos los aspectos de las relaciones humanas.

Las instituciones democráticas requieren que los ciudadanos piensen por

sí mismos, que discutan libremente los problemas y que tomen decisiones con

base en la deliberación y la evaluación de evidencias. A través del estudio de

la lógica podemos adquirir no solamente práctica en el arte de razonar sino

también respeto por la razón, reforzando así y asegurando los valores de

nuestra sociedad.

En este módulo se abordan los siguientes temas: la lógica como ciencia;

definición, clases de proposiciones; operadores o conectivos lógicos; tautología,

contradicción y contingencia; equivalencia e implicación y las principales leyes

lógicas o tautologías notables.

Los objetivos específicos se logran siempre y cuando los grupos de ejercicios

se resuelvan con una eficacia del 80%, en caso contrario deberán volver a

estudiar los cuadros correspondientes y resolver nuevamente los ejercicios

incorrectos o no resueltos. Resuelva los problemas propuestos del modo siguiente:

primero en forma individual, luego en forma grupal y por último preséntelos en un

grupo de un máximo de cinco (05) integrantes.

El Autor

PRÓLOGO


ii

ÍNDICE

PROLÓGO

OBJETIVOS

PRE-TEST

CONTENIDO

1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIA

CONCEPTUALIZACIÓN---------------------------------------------------------------------- 1

IMPORTANCIA------------------------------------------------------------------------------- 3

CUESTIONARIO----------------------------------------------------------------------------- 4

1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES------------------------------------------------- 5

EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------11

1.3. OPERADORES O CONECTORES LÓGICOS

NOTACIÓN, VALORES DE VERDAD Y LECTURA ---------------------------------------13

EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------24

1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA----------------------------------27

EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------30

1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN---------------------------------------------------------31

EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------35

1.6. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O

TAUTOLÓGICAS NOTABLES---------------------------------------------------------------37

EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------45

POST – TEST-----------------------------------------------------------------------------------------

BIBLIOGRAFÍA---------------------------------------------------------------------------------------48


iii

OBJETIVO TERMINAL:

Identificar, formalizar y simplificar proposiciones.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1) Conceptualizar la lógica como ciencia y reconocer su importancia en el

avance científico.

2) Definir e identificar proposiciones.

3) Formalizar proposiciones usando variables proposicionales y los conectivos

lógicos, y determinar su valor de verdad.

4) Determinar cuando una proposición compuesta es una tautología,

contradicción o contingencia.

5) Determinar cuando dos proposiciones compuestas son lógicamente

equivalentes y cuando una implica a la otra.

6) Enunciar, demostrar y aplicar las principales leyes lógicas o tautologías

notables.

OBJETIVOS


iv

PRE - TEST

Instrucción: Resuelva el Post-Test de acuerdo a los requerimientos

dados.

01) De las siguientes expresiones:

(01) El ozono filtra los rayos ultravioletas

(02) nkknk

nknC

,

)!(!

!),(

(03) 11 2 ii

(04) El aire contiene oxígeno e hidrógeno

(05) The earth rotates around the sun

No son proposiciones compuestas:

a) 1, 2, 3 y 5 b) 1, 2 y 3 c) 1 y 5 d) Sólo 1 e) 1 y 2

02) Si la proposición:

p q) r (r s) es verdadera

Hallar el valor de verdad de:

I. p q) (r s)

II. p s) r w p)

III. q r w p pq)

Son ciertas:

a) VVV b) FVV c) FFV d) FFF e) VFV

03) Determinar si la siguiente proposición es Tautológico, Contradictorio o

Contingente:

Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y

testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, y hay

testigos, si en el juzgado hay jueces.

04) Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes:

P = p r q)

Q = ( p q) r

R = q (p r)

POST – TEST


v

05) Se define el conector @ como:

p @ q (p q) q q q

Simplificar el esquema molecular:

(p q) @ (t w) @ q @ p

a) q b) q c) p

d) p e) p q

NOMBRE :

FECHA :

TIEMPO : 1 HORA – 30 MINUTOS


Universidad Nacional del Santa 1

OBJETIVO N° 01

Conceptualizar la lógica como

ciencia y reconocer su

importancia en el avance

científico.

ACTIVIDAD N° 01

Analice la siguiente información sobre

1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIA:

CONCEPTUALIZACIÓN:

Considerando que la lógica estudia tanto la estructura como el

contenido del pensamiento, conceptualmente afirmamos que “La

Lógica (en general) es la ciencia que estudia las leyes dialécticas y

lógico-formales, los métodos, los procedimientos, las propiedades y

las relaciones; sobre la base de las teorías del pensamiento”.

ESQUEMÁTICAMENTE:

LÓGICA (en general)

Principios y/o leyes

Métodos

Formas

Procedimientos

Propiedades

Relaciones

- Identidad - No contra-

dicción. - Tercio excluido - Razón

suficiente. - Unidad y lucha

de contrarios. - Tránsito de

cantidad en calidad.

- Negación de la negación

- Inducción

- Deducción

- Análisis

- Síntesis

- Concepto

- Juicio

- Raciocinio

- Definición - Clasificación - División - Explicación - Argumentación - Refutación - Demostración - Exposición

- Investigación

- Espacio

- Tiempo

- Movimiento

- Cantidad

- Cualidad

- Causa - Efecto - Necesidad - Casualidad - Posibilidad - Realidad - Singular,

particular,

universal.

Base



LA LÓGICA Y LA CIENCIA:

Cuando el gran físico Albert Einstein inició sus investigaciones

sobre el micromundo, no lo hizo sobre la base de nada, sino que

tuvo que estudiar y someter a crítica las leyes y teorías de la física

clásica del macromundo. Es a partir de estas premisas que fue

estableciendo deducciones, inducciones y analogías que

finalmente significan la creación de una nueva teoría: la teoría de

la relatividad. Sin embargo no fue suficiente que Einstein

conociese para sí, intersubjetivamente, sino que era necesario

que el mundo, la humanidad también lo conociese, de allí que

tuviese el autor que publicar, hacer público sus investigaciones.

Este ejemplo nos muestra que la ciencia, puede ser entendida

como proceso (investigación científica) y también como producto

(publicación o exposición de los resultados de la investigación

científica).

En ambos casos, la ciencia necesita de la lógica, sin ésta no

puede desenvolverse.

a) Como proceso la ciencia necesita de la lógica en tanto leyes,

procedimientos, métodos, propiedades y relaciones sobre la

base de las formas del pensamiento, para que el científico en

confrontación con la realidad, alcance la verdad objetiva.

Aquí el peso mayor recae en la lógica del contenido (condición

suficiente para la ciencia).

b) Como producto la ciencia en tanto teoría a exponerse,

publicarse, necesita de la lógica para organizarse,

sistematizarse, estructurarse, formalizarse a fin de poder

demostrar su validez o corrección lógico-formal: Aquí el peso

mayor recae en la lógica formal (condición necesaria para la

ciencia).



IMPORTANCIA DE LA LÓGICA PARA EL AVANCE CIENTÍFICO-

TECNOLÓGICO:

Permite en base al conocimiento ya obtenido y validado, deducir

nuevos conocimientos.

En base a razonamientos inductivos (de lo particular a lo

general), podemos plantear hipótesis o predicciones científicas;

sin experimentación.

Permite la formalización del lenguaje científico para la posterior

demostración de validez, tornándose preciso, exacto,

convencional y universal.

En tanto métodos lógicos son el puente entre los métodos de

investigación científica y los métodos de exposición científica.

Es la base y hasta el momento la fundamentación de las

matemáticas (consideradas ciencias exactas), según la cual se

puede deducir de un conjunto de axiomas un conjunto de

teoremas. También se usa la inducción y analogía matemática.

El desarrollo y el progreso de la lógica implican el desarrollo y el

progreso de las ciencias y la tecnología, por ejemplo los circuitos

lógicos son el fundamento de los circuitos eléctricos y de todo el

sistema de computación. Ahora, con las computadoras se

pueden hacer cálculos y predicciones sumamente complejos.

Por sus aplicaciones a la matemática, a la lingüística, al análisis

del lenguaje natural, al análisis de los razonamientos filosóficos,

las aplicaciones al método científico, y en general, no hay campo

de la ciencia ni de la tecnología contemporánea donde la lógica

no sea utilizada. En este sentido, la lógica es la columna

vertebral de todos los acontecimientos en cuanto lo organiza

coherentemente.

En la vida diaria hacemos uso de la lógica constantemente,

incluso para cruzar una pista, porque previamente razonamos:

“si viene un carro, no debo cruzar la pista. Viene un carro.

Luego, no debo cruzar la pista”, o cuando un campesino ve una

densa nube en el cielo infiere que va a llover, y así podemos

mencionar situaciones donde se usa la lógica indefinidamente.



ACTIVIDAD N° 02

Resuelve a continuación el siguiente

CUESTIONARIO SOBRE LA LÓGICA COMO CIENCIA:

1) ¿Cómo se conceptualiza la lógica como ciencia? Haga un diagrama de

dicha conceptualización.

2) ¿Cómo se relaciona la lógica y la ciencia? Cite algunos ejemplos

prácticos.

3) Con ejemplos explique la importancia de la lógica en la vida diaria.

4) ¿Qué aplicaciones de la lógica podemos citar? Cite algunos ejemplos

prácticos.

5) ¿Por qué es necesaria la lógica para las ciencias?



OBJETIVO N° 02

Definir e identificar

proposiciones.

ACTIVIDAD N° 01

Estudie la siguiente información sobre

1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES:

EL CONCEPTO:

Es una de las formas del reflejo del mundo en el pensar, mediante

el cual se entra en conocimiento de la esencia de los fenómenos y

procesos. En otras palabras, es el pensamiento. En otras

palabras, es el pensamiento elemental, la unidad lógica básica

que presenta al objeto o a una clase de objetos refiriéndose a sus

caracteres esenciales o indicando relación entre ellos.

Ejemplos:

Carpeta (designa un objeto real físico)

Alegría (designa un objeto real o psíquico)

Número (designa objeto abstracto).

Perseverancia (designa valor)

Todos, algunos (indican relación entre los anteriores)

Finalmente, un concepto no afirma ni niega nada, simplemente

indica algo ya sea objeto o entidad.

EL TÉRMINO:

Es la expresión, manifestación, explicitación lingüística del

concepto. Es decir, es la palabra o palabras con la cual se expresa

un conjunto. Así:

El concepto estricto “cerebro” se expresa con un solo término

o palabra.

El concepto estricto “Universidad Nacional del Santa” se

expresa con varios términos o palabras.



EL JUICIO:

Es una relación o conjunto de conceptos que se caracterizan

por construir una afirmación o aseveración de algo. Es una

forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es

verdadero o falso.

LA ORACIÓN:

Convencionalmente, es una palabra o conjunto de palabras con

sentido o significado propio.

CLASIFICACIÓN DE LAS ORACIONES:

1) Declarativas o Aseverativas:

a) Informativas (Informan)

Ejm.: 2 + 3 = 5

b) Descriptivas (Describen)

Ejm.: La tierra gira alrededor del sol.

c) Explicativas (Explican)

Ejm.: El área de un cuadrado de 4 cm de lado es 16m2

porque para hallar el área de un cuadrado se

multiplica lado por lado.

2) Expresivas o no Aseverativas:

a) Exclamativas (Sentimientos, interjecciones)

Ejm.: ¡Viva el Perú!

b) Imperativas (Órdenes)

Ejm.: Silencio

c) Desiderativas (Deseos, súplicas)

Ejm.: Quiero viajar al Cuzco

d) Interrogativas (Preguntas)

Ejm.: ¿Qué hora es?

LA PROPOSICIÓN:

Es la expresión lingüística del juicio, de cuyo contenido o

significado se puede saber con certeza si es verdadero o falso

empíricamente y que generalmente se expresa como oración

declarativa. A nivel de pensamiento se llama juicio y a nivel de

lenguaje se llama proposición, por eso se dice que las

proposiciones son la envoltura material de los juicios.

Ejm.: Todo número par es divisible por dos.



En síntesis, el proceso lógico puede esquematizarse del modo

siguiente:

A modo de resumen se da el siguiente cuadro para que pueda

identificar proposiciones.

Son proposiciones

No son proposiciones

Las oraciones aseverativas.

Las leyes científicas.

Las fórmulas matemáticas.

Las fórmulas y/o esquemas

lógicos.

Los enunciados cerrados o

definidos.

Los hechos o personajes

literarios.

Los proverbios, modismos y

refranes.

Creencias religiosas,

supersticiones y mitos.

Las interrogantes.

Las órdenes.

Las interjecciones.

Los deseos, dudas y súplicas.

Los abiertos o indefinidos.

JUICIO OBJETO

SE REFLEJA

PROPOSICIÓN



EJEMPLO 1

De las siguientes oraciones, identificar las que son

proposiciones.

01)Cuando x > 3 entonces x2 > 9 02)Peter Drucker es autor de la obra “El Líder del Futuro”. 03) La traducción en inglés de “yo te amo” es “I love you”. 04) ¡Viva el Perú! 05)Dadme la vida o dadme la muerte. 06) ¡Chimbote! Alma mater de lucha y de inquietud. 07) ¿A qué hora termina el examen? 08)Todo triángulo es un polígono 09) Juega un papel preponderante en el desarrollo y

conservación de los recursos.

10)El ADN es la molécula maestra de la célula. 11)El área del círculo es... 12)Es un método didáctico activo. 13)Del dicho al hecho hay mucho trecho. 14)Hoy tendré un mal día, se me cruzó un gato negro. 15) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Solución:

La característica fundamental de una proposición es verdadera o

falsa empíricamente. De acuerdo a esto:

Son proposiciones:

1, 2, 3, 8 y 10 (oraciones aseverativas)

15 (fórmula matemática)

No son proposiciones:

5 y 6 (figuras literarias)

4 (interjección)



13 (refrán)

14 (superstición)

CLASES DE PROPOSICIONES:

Simples, atómicas o elementales: Aquellas que carecen de

conectores lógicos.

Compuestas, moleculares o coligativas: Aquellas que tienen uno

o más conectores lógicos.

EJEMPLO 2

De las siguientes proposiciones, identificar las proposiciones

simples y las proposiciones compuestas.

01) No existe la capa de ozono. 02) El SIDA y la TBC son enfermedades. 03) Los ofidios tienen extremidades o bien vértebras. 04) Los medios de comunicación son necesarios en la pedagogía.

05) i2 -1 06) Cero es un número par o impar.

07) La relación es una función y representa

una circunferencia.

08) Si es un número irracional entonces es un número real.

09) si y sólo si x = h

10) Manipular la computadora y la impresora son ejemplos de

aprendizaje motor.

11) “Peruanicemos al Perú” es un tema crítico-científico-literario

de José María Arguedas.

12) Las palabras: mármol, carácter, baúl, tórax llevan tilde por

ser graves prosódicas.

13) Los metaloides son combinables con oxígeno para formar

anhídridos.



14) En todo proceso redox existen uno o más elementos que se

oxidan.

15) X + 6 = 4 si X = -2

Solución:

4 y 13 son proposiciones simples pues carecen de conectores

lógicos.

1 y 5 tienen la negación como conectivo. El símbolo matemático

“” “ diferente a” es equivalente a “no es igual a”.

2, 7, 10, 11 y 12 tienen la conjunción como conectivo.

3, 6 y 14 tienen la disyunción como conectivo.

8 y 15 tiene como conectivo el condicional.

9 tiene el bicondicional como conectivo.



ACTIVIDAD N° 02

Resuelve a continuación la siguiente

EJERCICIOS SOBRE PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES:


(1) Todo lo agradable es bueno

(2) ¡Viva el Perú carajo!

(3) Hay mujeres en la tierra

(4) Los alumnos de historia hicieron la tarea

(5) Entrégame mi libro de lógica.


a) 2, 3 y 5 b) 2 y 5 c) 2, 4 y 5 d) N.A. e) T.A.


(1) Solo sé que nada sé

(2) El calor dilata los cuerpos

(3) x + y = y + x

(4) Vargas Llosa es el mejor escritor del Perú

(5) Café es una palabra aguda.


a) 1, 3 y 4 b) 1, 3 y 5 c) 3, 4 y 5 d) 1 y 3 e) 1, 4 y 5


(1) Los cuerpos caen por acción de la gravedad.

(2) La materia es energía concentrada.



`

(3) El valor de = 3.1416

(4) H2O es la fórmula del agua

(5) The sun is the center of our planetary system

Son proposiciones:

a) 1, 2, 4 y 5 b) 1, 2 , 3 y 4 c) 1,2 y 5 d) 1,2 y 3

e) Todas.


(1) El agua no se solidifica a 0°

(1) tg x = 1 cuando x=/4

(2) 2-1 = ½ no obstante

(3) x2 + y2 = 1; es la ecuación de una circunferencia

(4) 4 + 3 -3 -4

Son proposiciones compuestas:

a) 2, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1,2 y 3 d) 1,2, 3 y 5

e) 1, 3 y 5


(01) El ozono filtra los rayos ultravioletas

(02)

(03)

(04) El aire contiene oxígeno e hidrógeno

(05) The earth rotates around the sun

No son proposiciones compuestas:

a) 1, 2, 3 y 5 b) 1, 2 y 3 c) 1 y 5 d) Sólo 1

e) 1 y 2



OBJETIVO N° 03

Formalizar proposiciones

usando variables

proposicionales y los

conectivos lógicos, y

determinar su valor de verdad.

ACTIVIDAD N° 01


1.3. OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS:

NOTACIÓN, VALORES DE VERDAD Y LECTURA:

Variables proposicionales:

- Del Lenguaje Objeto:

Las proposiciones simples se pueden denotar por medio de

letras minúsculas, generalmente, a partir de: p, r, s....

- Del Metalenguaje:

Son variables de mayor amplitud que las anteriores y sirven

para denotar proposiciones compuestas. Se usan las letras

mayúsculas, generalmente, a partir de: A,B,C, ...

Operadores o Conectivos Lógicos:

La Negación

Símbolo: ~

Esquema lógico ~ p,

Lectura “no p”, “nunca p”,

“es absurdo que p”

“es falso que p”

“es inconcebible que p”

“es imposible que p”

“no ocurre que p”

“no es verdad que p”

“es mentira que p”

“jamás p”, “tampoco p”

“es inadmisible que p”

“no acaece que p”

“no es innegable que p”

“carece de todo sentido que p”

“de ninguna forma se da p”

“es erróneo que p”

“es incierto que p”

“nadie que sea p”

etc...



La Disyunción Débil o Inclusiva

Símbolo: v, +

Esquema lógico p q, p + q

Lectura “p ó q”

“a menos que p, q”

“p ó también q”

“p ó de lo contrario q”

“p salvo que q”

“p a menos que q”

“p excepto que q”

“p ó en tal sentido q”

etc...

La Disyunción Débil o Exclusiva

Símbolo:

Esquema lógico

Lectura “o p ó q”

“p no equivale a q”

“p no se define como q”

“ya sea p ya sea q”

“o bien p ó bien q”

“p es diferente a q”

“ya bien p ya bien q”

“p se contrapone a q”

“p excluye a q”

“p ó solamente q”

“p ó únicamente q”

El Operador de Nicond

Símbolo: /

Esquema lógico P/q, ~p ~q, ~ (p q).

Lectura “no p ó no q”

“es falso que no p y no q”

La Conjunción

Símbolo: , ., &

Esquema lógico p q, p.q , p&q

Lectura “p y q”

“p pero q”

“p aunque q”

“p sin embargo q”

“p incluso q”

“p así como q”

etc...

“p también q”

“p del mismo modo q”

“p de la misma forma q”

“p tal como q”

“p al igual que q”

“p no obstante q”

“p es compatible con q”

“no sólo p también q”

“siempre ambos p con q”

“tanto p como, cuanto q”



El operador de Sheffer

Símbolo:

Esquema lógico p q, ~p~q, ~(pq)

Lectura “ni p ni q” “es falso que p ó q”

El Condicional

Símbolo: , Esquema lógico p q, p q Lectura “si p entonces q”

“cuando p así pues q”

“con tal de que p es obvio

que q”

“en virtud de que p es

evidente q”

“dado p por eso q”

“en cuanto p por tanto q”

“de p deviene q”

“de p deducimos q”

“p sólo si q”

“ya que p bien se ve que q”

“siempre que p por consiguiente q”

“como quien que p por lo cual q”

“en el caso de que p en tal sentido

q”

“toda vez que p en consecuencia q”

“en la medida que p de allí q”

“en el caso de p en este caso q”

“p impone q”

“p es condición suficiente para q”

etc...

En la condicional:

p q

Después de las siguientes palabras va el antecedente de una

condicional (INDICADORES DE PREMISAS):

puesto que como es indicado por

dado que la razón es que

a causa de por las siguientes razones

porque se puede inferir de

pues se puede derivar de

se sigue de se puede deducir de

como muestra en vista de que

ya que cuando

si cada vez que, siempre que, a

condición de que, es condición

necesaria para, es insuficiente para.

El Antecedente La Hipótesis La causa

El consecuente La tesis El efecto

La Premisa

La Conclusión

e s e s



En este caso el esquema lógico es:

s r

Este conectivo se llama REPLICADOR.

El Bicondicional

Símbolo: ,

Esquema lógico p q, p q

Lectura “p sí y sólo si q”

“p se define como q”

“p es lo mismo que q”

“p es idéntico a q”

etc....

“p es equivalente, equivale a q”

“p siempre que y sólo cuando q”

“p cada vez que y sólo si q”

“p es equipolente a q”

“p es de la forma q”

“p es condición necesaria y

suficiente para q”.

EJEMPLO 1

Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones.

1) Estudias Lógica o Biología, pero no ambas a la vez.

(p q) ~ (p q)

(p q) ~ (p q) (p q) (p q)

2) O bien los animales son vertebrados o bien invertebrados, pero

(p p)

no es el caso que sean invertebrados a la vez vertebrados.

(p p)

(p p) (p p)

3) Un enunciado abierto no es una proposición a menos que

p

se le asignen valores a la variable.

q

p q

Consecuente

Conclusión

Palabra

Indicador de premisa

Premisa

Antecedente



4) Una condición necesaria para que Rocío no sea premiada con un libro

p

es que estudie matemáticas y no apruebe el examen.

(q r)

p ( q r)

5) Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay

jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado

hay jueces, y hay testigos si en el juzgado hay jueces.

Solución:

Sean:

p : hora laborable

q : hay jueces en el juzgado

r : hay testigos en el juzgado.

Simbolizando sólo las proposiciones simples:

Como p, se concluye que q y r, dado que, si

p, q, y r si q.

Simbolizando los operadores condicionales:

p (q r) dado que (p q) (r si q)

Simbolizando los replicadores:

p q qr p qr



VALORES VERITATIVOS DE LOS OPERADORES

O CONECTIVOS LÓGICOS

p p

V F

F V

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

pq p v q p q p q p q p q p q p q

VV V F F V F V V

VF V F V F V F F

FV V F V F V V F

FF F V F F V V V

En el álgebra de Boole,

La parte sombreada es la regla de operación de cada operador

(A) y (B) son de valores de verdad opuestos

(D) y (E)

Sentido convencional de la verdad formal.

(A) es V al menos p es 1 ó q es 0

(C) es V p y q tienen valores de verdad desiguales

(E) es V cuando menos p es 0 ó q es 0

(G) es V p y q tienen valores de verdad iguales

etc.

Sentido convencional de la falsedad formal:

(D) es F al menos p es 0 ó q es 0

(F) es F p es 1 y q es 0

(G) es F p y q tienen valores de verdad desiguales

(C) es F p y q tienen valores de verdad iguales. etc.

V es 1

F es 0



Se puede construir un mapa conceptual de los valores de

verdad de un operador, por ejemplo:

Mapa Conceptual de los Valores de Verdad de p q

V entonces F

p q es

Si p es V

F entonces V

p q es

V entonces V

p q es

Si p es F

F entonces F

p q es

EJEMPLO 2

Si la proposición q r es falsa, el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I. r (p r)

II. ~ (q r)

III. (r ~ q) p

IV. p (q r) Son respectivamente:

(a) FVFV (b) VVFV c) VFVF d) FFFV e) FVVF

Solución:

Sabemos que:

q r F

V F

F

Luego:

I. r (p r) F

F V

F

q V

r F



II. (q r) V

F

V

III. ( r q) p V

( F F) p

F p cualquiera sea el valor de verdad de p

V

IV. p (q r) F

P F

F cualquiera sea el valor de verdad de p

Respuesta (e)

EJEMPLO 3

Dadas las proposiciones:

q : “ es un número racional”

p y r cualquier proposición

además se sabe que:

~ (r q) (r p) es verdadera


I. r ( p q)

II. ( r (p q) (q p)

III. ( r p) (q p)

(a) VVV (b) FFF c) VFV d) FVV e) VVF

Solución:

Del dato, q F, además

(r q) ( r p) F

V F

(i) r p F (ii) r q V

V F V F

p F

q F

r V



I. r (p q) V

V (V V)

V V

V

II. (r (p q) (q p) V

(V F) (F V)

F F

V

III. ( r p) (q p) F

(V V) (F F)

V F

F

Respuesta (c)

EJEMPLO 4

Si se sabe que:

r s t (p q) r t) s qp)

es verdadera, hallar el valor de verdad de:

I. p q r ( t p ) r

II. (r s) t (p q)

III. (p q) ( t )

(a) VVV (b) VFF c) VFV d) FVV e) VVF

Solución:

Para que toda la proposición sea verdadera, cada una de las

expresiones entre llaves debe ser verdadera, o sea:

(i) r s) t p q) V

(ii) r t) p q p) V

V



De (ii)

r t) s q p) F

V F

r t) s V

V V

q p) F (q p) F

De (i) r s) t p q) V

F V

r s) t F

V F

Luego, evaluando los casos pedidos:

I. p q r ( t p ) r V

V V ( F p ) V

V V V

F V

V

II. (r s) t (p q) F

(V V) V (V)

(V V F

V F

F

s V

q p V

t F

r V



IV. (p q) ( t s) F

F ( F F)

F V

F

Respuesta (b)



ACTIVIDAD N° 02

Resuelve a continuación los siguientes

EJERCICIOS SOBRE FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES:

A. Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones:

1. No es cierto que 19 sea divisible por 9 ó por 19.

2. Einstein dice la verdad pues la teoría de la relatividad no es

exacta ni las leyes de la mecánica son absolutas.

3. En primavera soplan vientos fuertes o hace mucho frío, pero no

garúa, sin embargo es una bonita estación.

4. Las leyes de la mecánica son exactas, si Newton dice la verdad, y

sólo sí, el movimiento no es relativo.

5. 24 es un número par, o múltiplo de 6 y de 2, pero no es divisible

entre 10 ni entre 14.

6. Carlos es profesional sí y sólo sí, es graduado universitario.

Ocurre que Carlos es matemático. Por lo tanto, si Carlos es

matemático entonces es graduado universitario.

B. 7 La fórmula q p se traduce como:

1) Hago deporte porque estoy sano.

2) Es necesario llorar para estar tranquilo.

3) Hago mis tareas al tener vacaciones.

4) Sólo si bailo, me divierto.

Son correctas:

a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) T.A. e) N.A.



8 La fórmula p q r s, se traduce como:

1) No sólo la distancia es una magnitud del movimiento sino que

el tiempo también lo es igual que la velocidad y la aceleración

siempre y cuando se defina como cambio de un lugar a otro.

2) La distancia es una magnitud del movimiento del mismo modo

el tiempo y la velocidad por lo cual y según lo cual el

movimiento es el cambio de ubicación.

3) El tiempo, la velocidad y la aceleración son magnitudes del

movimiento, si el movimiento es cambio de espacio.

4) El avión aunque también el barco al igual que el bus son

medios de transporte cada vez que y sólo sí trasladan

pasajeros de un lugar a otro.

5) El perro, tanto como el gato lo mismo que el asno son

animales útiles para el hombre es equivalente a decir que son

domésticos.

Son correctas:

a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5

e) 1, 3 y 5

9. La fórmula q p, se traduce como:

1) Si eres buen estudiante lógicamente serás buen profesional.

2) Ingresarás a la universidad porque eres buen estudiante.

3) De ser buen estudiante obviamente ingresarás a la

universidad.

4) Ingresarás a la universidad si eres buen estudiante.

5) Crecen las plantas siempre que haya humedad en la tierra.

Son correctas:

a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5

e) 1, 3 y 5



EJERCICIOS SOBRE VALORES VERITATIVOS:

C. 10. Si la proposición:

(p q) (p r) es falsa,

Se afirma que:

I. p q es falsa

II. r q es verdadera

III. q p es verdadera

Son ciertas:

a) Sólo I b) sólo II c) Sólo I y III

d) Sólo II y III

11. Si la proposición:

(p q) (q r) es falsa, luego:

I. (p q ) no es falsa

II. (q s) no es falsa

III. (q p) es verdad

Son ciertas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y III

d) Sólo II y III e) I, II y III

12. Si la proposición:

p q) r (r s) es verdadera


I. p q) (r s)

II. p s) r w p)

III. q r w p sq)

Son ciertas:

a) VVV b) FVV c) FFV d) FFF e) VFV



OBJETIVO N° 04

Determinar cuándo una

proposición compuesta es

una tautología, contradicción

o contingencia.

ACTIVIDAD N° 01


1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA:

Una proposición molecular es una tautología si, como resultado

de su evaluación, los valores de verdad del operador de mayor

jerarquía son todos verdaderos. Si estos valores son todos falsos

es una contradicción. Si no es una tautología ni una

contradicción es una contingencia.

Para evaluar una proposición compuesta es necesario construir

su tabla de valores de verdad respetando la jerarquía de los

operadores de menor a mayor.

El total de valores de verdad por cada variable es 2n, donde “n” es

el número de variables proposicionales, combinándolos mitad V y

mitad F por cada columna, respectivamente.

EJEMPLO 1

Determinar, previa evaluación; si cada uno de los siguientes

esquemas moleculares es una tautología, contradicción o

contingencia.

1. p q r q p q q r

2. p q r r (p q

3. p q r ) (p r q



Solución:

1. n° de variables proposicionales: 3

Total de valores por cada variable: 23 = 8

p q r q p q q r

1 2 3 4 5 6 7 8

p q r q p 1 r q 3 2 4 2 3 6 5 7

1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1

El esquema molecular Operador principal o

es una TAUTOLOGIA de mayor jerarquía

2.

p q r r (p q

1 2 3 4 5 6 7 8 9

p q r p 1 q r 2 3 q p v 5 6 r 7 4 8

1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0


es una CONTRADICCIÓN de mayor jerarquía



3.

p q r ) (p r q

1 2 3 4 5 6 7 8

p q r r q 1 p 2 p 4 r q 5 6 3 7

1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


es una CONTINGENCIA de mayor jerarquía



ACTIVIDAD N° 02


EJERCICIOS SOBRE EVALUACIÓN DE PROPOSICIONES

COMPUESTAS:

Determinar, previa evaluación, si cada uno de los siguientes esquemas

moleculares es una tautología, contradicción o contingencia.

1. p q p p q p q

2. p q q p p q p q

3. p q q / p) p q) p q p/ q)

4. p q) r q r p p

5. (p q) (q p) q (p r)

6. p q r p p q q r)

7. p q) r r q p r q

8. Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y

testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, y

hay testigos, si en el juzgado hay jueces.



OBJETIVO N° 05

Determinar cuándo dos

proposiciones compuestas

son lógicamente esquiva-

lentes y cuando una implica

a la otra.

ACTIVIDAD N° 01


1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN:

Dos esquemas moleculares A y B son equivalentes si tienen los

mismos valores de verdad en su operador principal, o si unidos

por el bicondicional el resultado es una tautología. Es decir, A B

si A B es una tautología.

Un esquema molecular A implica a otro B si unidos por el

condicional, en ese orden, el resultado es una tautología. Es decir,

A implica a B si A B es una Tautología;

B implica a A si B A es una Tautología

EJEMPLO 1

Dados los siguientes esquemas moleculares:

A = p q) ( r p

B = p (r q)

C = q ( r p)

Determinar los que son equivalentes

Solución:



A B C

p q r (pq) (r p) p r q q r p)

1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

A y B tienen los mismos valores de verdad

en su operador de mayor jerarquía, por lo

tanto:

A C

EJEMPLO 2

Dados los siguientes esquemas moleculares:

A = p q

B = (p r)

C = q p

D = (q r)

Determinar:

1) Si A implica a C

2) Si B es implicado por D

3) Si C implica a la disyunción de A, B y D

4) Si A entonces B está implicado por la negación de C.



Solución:

1) A implica a C si A C es una tautología verificando:

A C A C

p q (p q) q p p q qp)

1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 1 1

Por lo tanto, A implica a C es una tautología

2) B es implicado por D si D B es una tautología verificando:

D B D B

p q r (q r) (p r) qr (pr)

1 1 1 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1 1 0 1

0 0 1 0 1 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1 1 0 1

Por lo tanto, no es una tautología

B no es implicado por D es una contingencia



3) C implica a la disyunción de A, B y D si C (ABD) es una

Tautología.

Verificando:

C A B D C(A B D)

p q r q p pq(pr) (qr

1 1 1 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 0 1

Por lo tanto, No es una tautología

C no implica a la disyunción es una Contingencia

de A, B y D

4) A entonces B está implicado por la negación de C si

C A B) es una tautología. Verificando

C A B C (A B)

p q r (q p) pqpr) qppq pr)

1 1 1 0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 1 1

Por lo tanto, es una tautología A entonces B está implicado por la negación de C.



ACTIVIDAD N° 02


EJERCICIOS SOBRE EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN:

I. En cada grupo de esquemas moleculares que aparecen a

continuación, determinar los que son equivalentes.

1. P = p r q)

Q = ( p q) r

R = q (p r)

2. P = Si los fenómenos naturales se comportan según las leyes

de la mecánica de Newton, entonces Newton dice la

verdad; sin embargo, la Física clásica no es absoluta.

Q= Newton dice la verdad si la física clásica no es absoluta,

sí y sólo sí los fenómenos naturales no se comportan

según las leyes mecánicas de Newton.

R= Ni Newton dice la verdad ni la física clásica es absoluta,

o la física clásica no es absoluta a la vez que los

fenómenos naturales no se comportan según las leyes

mecánicas de Newton.



II. Dados los siguientes esquemas moleculares:

P = El estado es responsable de la economía del país sí y sólo sí

las leyes de la reforma económica no son aplicables a la

realidad.

Q = No se da el caso que las leyes de la reforma económica sean

aplicables a la realidad o el Estado sea responsable de la

economía del país.

R = Si los políticos dicen la verdad, entonces, o el Estado es

responsable de la economía del país o las leyes de la reforma

económica non son aplicables a la realidad.

Determinar:

1) Si P implica a Q

2) Si R es implicado por Q

3) Si Q implica a R

4) Si R implica a la disyunción de P y Q

5) Si la conjunción de P y Q está implicada por R.

6) Si la bicondicional de P y Q está implicada por R.

7) Si la negación de Q está implicada por la disyunción de P

y R.

8) Si la negación de la conjunción de P y R implica a la

negación de Q.



OBJETIVO N° 06

Enunciar, demostrar y

aplicar las principales leyes

lógicas o tautológicas

notables.

ACTIVIDAD N° 01


1.6. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS NOTABLES:

1) Identidad

(a) p p T (b) p p p

2) No Contradicción:

(p p) C T

3) Tercio Excluido:

p p T

4) Idempotencia:

(a) p p p (b) p p p

5) Conmutativa:

(a) p q q p (b) p q q p

6) Asociativa:

(a) p (q r) (p q) (b) p (q r) (p q) r

7) Distributiva:

(a) p ( q r) (p q) (p r)

(b) p ( q r) (p q) (p r)

8) Doble Negación o Involución:

(p) p



9) Absorción:

(a) p (p q) p

(b) p (p q) p

(c) p (p q) p q

(d) p (p q) p q

10) Morgan:

(a) (p q) p q p/q

(b) (p q) p q p q

11) Condicional:

(a) p q p q

(b) (p q) p q

12) Disyunción Fuerte:

p q (p q) (p q) (p q) (q p)

13) Transposición:

(a) p q p q

(b) (p q) q p

14) Transitiva:

(a) (p q) (q r) (p r)

(b) (p q) (q r) (p r)

15) Elementos Neutros Respecto a y

(a) p T p

(b) p T T

(c) p C C

(d) p C p



La demostración de las propiedades leyes lógicas a tautológicos

notables se realiza construyendo su tabla de valores veritativos.

En los siguientes ejemplos se mostrará algunas de las

aplicaciones de las principales leyes lógicas o tautologías

notables, tales como equivalencia de proposiciones y

simplificación de proposiciones complejas.

EJEMPLO 1:

Hallar la proposición equivalente a:

“No es el caso que, hace frío y no se congele”

(a) Hace frío o no congela

(b) No hace frío o congela

(c) No hace frío o no congela

(d) Hace frío o congela

(e) Hace frío y no congela

Solución:

Consideramos p = hace frío q = congela

Formalizando:

No es el caso que, p y no q

(p q) Morgan

p q

cuya lectura es: “No hace frío o congela “. Respuesta (b)

EJEMPLO 2:


“Hay que pagar 50 soles y servicio para ingresar al Club”

(a) No ingresar al club o pagar 50 soles, y ser socio.

(b) Pagar 50 soles o ser socio, y no ingresar al club.



(c) Pagar 50 soles y ser socio, o no ingresar al club.

(d) Pagar 50 soles y no ser socio, y entrar al club.

(e) No es cierto que se pague 50 soles y ser socio, o ingrese al

club.

Solución:

Formalizando:

p = pagar 50 soles

q = ser socio

r = ingresar al club.

Hay que p y q para r.

(p q) r por condicional

(p q) r

Luego:

“No es cierto que se pague 50 soles y sea socio, o ingrese al club”.

Respuesta (c)

EJEMPLO 3:


“17 es primo porque 17 es primo o 30 es par, y 30 es par”

(a) Si 17 es primo, entonces 30 no es par.

(b) Si 30 es par, entonces 17 no es primo.

(c) Si 17 no es primo, 30 no es par.

(d) 30 es par o 17 es primo.

(e) 17 es primo ya que 30 no es par.



Solución:

Formalizando:

p = 17 es primo

q = 30 es par

(p q) q p q p Por absorción

“Si 30 es par, 17 es primo”

q p Por condicional

“30 no es par o 17 es primo”

p q Por transposición

“Si 17 no es primo, 30 no es par”

Respuesta (c)

EJEMPLO 4:

Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en

consecuencia se va de viaje”

(a) T b) C c) p d) p q e) p q

Solución:

Formalizando:

Sea p = viene a casa

q = se va de viaje

p ó q, pero no p; en consecuencia q

(p q) p q

(q p) q por absorción



(q p) q por condicional

(q p) q por Morgan

p (q q) asociativa

p T tercio excluido

T elemento neutro para

Respuesta (a)

EJEMPLO 5:

Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Cuando obtenga mi título entonces ingreso a la carrera

magisterial, pero no ingreso a la carrera magisterial; luego no

obtuve mi título”

(a) p b) p c) p q d) C e) T

Solución:

Formalizando:

Sea p = obtengo mi título

q = ingreso a la carrera magisterial

Cuando p entonces q, pero no q; luego no p

(p q) q p

(p q) q p Condicional

p q) p Absorción

p q) p Condicional

(p q) p Morgan

q (p p) Asociativa

q T Tercio excluido

T Elemento neutro para

Respuesta (e)



EJEMPLO 6:

Determinar los esquemas más simples equivalentes a:

(a) (p q) q p

(b) (p q) p (q p)

(c) p (r) (q ) (p r)

Solución:

(a) (p q) q p (p q) (q) p Condicional

(p q) q p Involución

(p q) q p Morgan

(p q) q p Absorción

q p Absorción

(b) (p q) p (q p)

(p q) p (q p) Condicional

(p p) q (q p) Asociativa

p q (q p) Idempotencia

(p q) q (p q) p Distributiva

q (q p) Absorción

q Absorción

(c) p (r) (q) (p r)

p (r) q (p r) Condicional

p (r) q (p) (r) Morgan

p (r) (r) (q p) Conmutativa y asociativa.

r q p Absorción

(r p) q Asociativa

(r p) q Morgan

(r p) q Condicional



EJEMPLO 7:

Si definimos @ como:

p @ q p p (q t r) p

Simplificar:

(p q) @ (q p) @ (p q)

a) p b) p q c) p d) q p e) p q

Solución:

Por dato, tenemos:

p @ q p p (q t r) p

Por la condicional se obtiene

p p (q t r) p

Por absorción

p

Es decir p @ q p

Luego, la proposición molecular a simplificar:

(p q) @ (q p) @ (p q)

Aplicando la definición @ dos veces

(p q) @ (q p)

p q

p q

Respuesta (e)



ACTIVIDAD N° 02


EJERCICIOS SOBRE LAS PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O

TAUTOLOGÍAS NOTABLES:

1. Hallar la proposición equivalente a:

“La conducta puede ser acción u omisión”

(a) La conducta no es acción ni omisión.

(b) La conducta es acción más no omisión.

(c) La conducta no es acción no obstante es omisión.

(d) No es el caso que la conducta no sea acción ni omisión.

(e) No es cierto que la conducta sea acción o no sea omisión.

2. Hallar la profesión equivalente a:

“Toma decisiones oportunas e inteligentes, pues es libre”

(a) Es libre o toma decisiones oportunas e inteligentes.

(b) No es libre, o toma decisiones oportunas e inteligentes.

(c) Es libre y, toma decisiones oportunas como inteligentes.

(d) No es libre, ni toma decisiones oportunas e inteligentes.

(e) No es libre y, no toma decisiones oportunas o inteligentes.

3. Hallar la proposición equivalente a:

“Tendrá el título universitario o sustenta su tesis”

(a) Sustenta su tesis o tiene el título universitario.



(b) No es el caso que, sustente su tesis y tenga el título

universitario.

(c) No es cierto que, sustente su tesis y no tenga el título

universitario.

(d) No tiene el título universitario, y sustenta su tesis.

(e) No es verdad que no sustente su tesis o tenga el título

universitario.

4. Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Si el conocimiento es hipotético, se prueba; y si se prueba, entonces

es eficaz; luego, es eficaz cuando es hipotético”

a) r b) p r c) T d) C e) (p q) r

5. Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia se va

de viaje”

a) T b) C c) p d) p q e) p q

6. Simplificar el esquema:

p (p q)

a) p q b) q p c) p q

d) q p e) p q

7. Simplificar el esquema:

(p q) (r p) (q p)

a) p q b) p q c) p q

d) p e) q

8. Simplificar:

(p q) (q p) (p q)

a) p q b) p q c) p q

d) p q e) q p



9. Simplificar:

(p q) p (q p) (p q)

a) p q b) (p q) c) p q

d) p q e) (p q)

10.Se define el conector @ como:

p @ q (p q) q q q

Simplificar el esquema molecular:

(p q) @ (t w) @ q @ p

a) q b) q c) p

d) p e) p q



1. BARKER, S. (1994). Elementos de Lógica. México: Libros Mc Graw Hill.

2. COPI, I. & COHEN, C. (1996). Introducción a la Lógica. México: Editorial

Limusa.

3. ROSALES, D. (1989). Introducción a la Lógica. Perú: Amaru Editores.

4. SUPESS, P. (1985). Introducción a la Lógica Simbólica. México: CECSA.

5. SUPESS, P. & HILL, SH. (1999). Primer Curso de Lógica Matemática.

España: Reverté Ediciones, S.A.

6. TRELLES, O. & ROSALES, D. (2000). Introducción a la Lógica. Perú: Fondo

Editorial de la Pontificia Universidad Católica.

7. VERA, F. (2003). Lógica Proposicional. Módulo de Autoaprendizaje. Perú:

Universidad Nacional del Santa.

8. WHITESITT, J. (1986). Álgebra Booleana y sus Aplicaciones. México:

CECSA.

BIBLIOGRAFÍA

módulo de lógica proposicional

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