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29/02/2016
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LÓGICA MATEMÁTICA
Prof. Esp. Fabiano Taguchi
[email protected]://fabianotaguchi.wordpress.com
EXERCÍCIOS
Usando as regras de Morgan, de a negação dasproposições:
a) É falso que não está frio ou que está chovendob) Não é verdade que o pai de Marcos é pernambucano ou que a
mãe e gaúchac) Não é verdade que Jorge estuda física, mas não química.
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EXERCÍCIOS
Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
EXERCÍCIOS
Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista,” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
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EXERCÍCIOS
Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, élogicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
EXERCÍCIOS
Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:
a) Rodrigo é culpado.
b) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.
c) Rodrigo mentiu.
d) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
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EXERCÍCIOS
Se você se esforçar, então irá vencer. Logo:
a) Mesmo que se esforce, você não vencerá.
b) Seu esforço é condição necessária para vencer.
c) Se você não se esforçar, então não irá vencer.
d) Você vencerá só se se esforçar.
e) Seu esforço é condição suficiente para vencer.
IMPLICAÇÃO LÓGICA
Sejam duas fórmulas a e b.Dizemos que uma proposição p implicalogicamente uma proposição q, se q éverdadeira todas as vezes que p é verdadeira.
Dizemos então que p implica q e escrevemos:p => q
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IMPLICAÇÃO LÓGICA
Seja p = “Lula é prefeito de Garanhuns”Seja q = “Garanhuns é mais rica que Recife”
p -> q = “Se Lula for prefeito de Garanhuns,então, Garanhuns será mais rica que Recife”
p -> q é verdadeiro ou falso?
IMPLICAÇÃO LÓGICA
Se Lula não for prefeito de Garanhuns (p éfalso), consideramos p -> q como verdadeiro.
p ~p q p -> q
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
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PROPRIEDADES
MODUS PONENS
p ^ (p -> q) => q (Forma clássica)(p -> q) ^ p => q
(p => q) – p implica em q, ou seja, acontecendo-o, q necessariamente ocorrerá.
PROPRIEDADES
MODUS TOLLENS
~q ^ (p -> q) => ~p (Forma clássica)(p -> q) ^ ~q => ~p
(p -> q) – p implica em q, ou seja, se q nãoocorreu, então também não ocorreu p.
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EXEMPLO
p ^ q => p v qp ^ q => p <-> q
p q p ^ q p v q p <-> q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
EXEMPLOp <-> q, p -> q, q -> p
p <-> q => p -> qp <-> q => q -> p
p q p <-> q p -> q q -> p
V V V V V
V F F F V
F V F V F
F F V V V
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EXEMPLO(p -> q) ^ p
p -> q ^ p => q
p q p -> q (p -> q) ^ p
V V V V
V F F F
F V V F
F F V F
EXEMPLO(p -> q) ^ ~q e ~p
p -> q ^ ~q => ~p
p q p -> q ~q (p -> q) ^ ~q ~p
V V V F F F
V F F V F F
F V V F F V
F F V V V V
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EXERCÍCIO
Três pessoas prestam depoimento e o quedizem está registrado abaixo:
◉ Bernardo: “João é culpado e Saul é inocente”.◉ João: “Se Bernardo é culpado, Saul também é
culpado”.◉ Saul Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos
outros é culpado”.
EXERCÍCIO
RESOLUÇÃOJoão é culpado (p)Saul é culpado (q)Bernardo é culpado (r)
Bernardo João é culpado e Saul é inocente p ^ ~q
João Se Bernardo é culpado, Saul também é culpado r -> q
Saul Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros é culpado.
~q ^ p~q ^ r~q ^ (p ^ r)
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“
Lógica de predicados
LÓGICA DE PREDICADOS
Segundo a gramática:“Predicado é a parte da sentença que forneceinformação sobre um determinado sujeito”.
Segundo a lógica:“Pode ser obtido removendo substantivos deuma proposição.”
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EXEMPLOS
É um estudante na UFMG (p)É um estudante no IFMT (q)p e q são símbolos de predicados
x um estudante na y (p)x um estudante na y (q)x e y passam a ser de variáveis de predicados
LÓGICA DE PREDICADOS
Vejamos os exemplos abaixo:◉ Todos os alunos estudam◉ Existe um aluno que não estuda
Se existe um aluno que não estuda, então não é
verdade que todos os alunos estudam.
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LÓGICA DE PREDICADOS
Para transformar predicados em proposições,devemos:
1. Atribuir valores específicos para as variáveis2. Usar quantificadores
LÓGICA DE PREDICADOS
Também conhecida como lógica de primeiraordem – FOL, é uma extensão da lógicaproposicional, que introduz novos símbolos eproporciona uma melhor representação deideias.
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CONCEITOS
QUANTIFICADORES◉ Todo, qualquer, existe, alguns, nenhum, etc...◉ Quantificadores podem estar ligados a
variáveis.
OBJETOS◉ Elementos de um universo sobre o qual se
aplicam os quantificadores.
CONCEITOS
FUNÇÕES E PREDICADOS◉ Operações sobre os objetos. Retornam outros
objetos ou valores verdade.
Precisamos conhecer o alfabeto da lógica de
predicados.
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ALFABETO
Símbolos de pontuação ,
Símbolos de verdade false, true
Símbolos para variáveis x, y, z, w, x1,y1, x2,z2
Símbolos para funções f, g, h, f1, g1, f2, g2
Símbolos para predicados p, q, r, s, p1, q1, r1, s1
Conectivos proposicionais ̚ , v, ^, ->, <->, Ǝ, ᵾ
TERMOS E ÁTOMOS
Qual a capital do Brasil?A resposta retorna um objeto, todo objeto échamado de termo.
A capital do Brasil é Brasília?Deve ser retornando um valor-verdade, que porsua vez é chamado de átomo.
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QUANTIFICADORES
UNIVERSAL∀ A leitura desse símbolo pode ser feita como:
• Todo;• Para todo;• Qualquer que seja• Para cada.
QUANTIFICADORES
(ᵾx) (x + 6 = 10)Para todo x, tal que x mais 6 é igual a 10.
Analisando a expressão, a resposta é falsa.Para que a expressão seja verdadeira X precisaser apenas 4.
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QUANTIFICADORES
(ᵾx) (x0 = 1)Para todo x, tal que x elevado a 0 é igual a 1.
Analisando a expressão, a resposta éverdadeira.Toda base diferente de 0, elevado a 0 é 1.
QUANTIFICADORES
EXISTENCIALƎ A leitura desse símbolo pode ser feita como:
• Existe;• Algum;• Existe pelo menos um;• Existe um.
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QUANTIFICADORES
(Ǝx) (x/2 E N)Existe x, tal que x sobre 2 pertence aosnaturais.
Analisando a expressão, a resposta é verdade.Um número atribuído a X dividido por 2 estaráno grupo dos números naturais.
QUANTIFICADORES
EXISTENCIAL ÚNICOƎ!
O quantificador existencial único, se refere a umúnico elemento de um conjunto.
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QUANTIFICADORES
(Ǝ!x) (x + 7 = 9)Existe x único, tal que x + 7 seja igual a 9.
Analisando a expressão, a resposta é verdade.Existe um único valor (2) para que X mais 7 sejaigual a 9.
QUANTIFICADORES
(Ǝ!x) (x + 10 < 18)Existe x único, tal que x + 10 seja maior que18.
Analisando a expressão, a resposta é falsa.Existe mais valores que somados a 10 sãomenores que 18.
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QUANTIFICADORES
(Ǝ!n) (n + 1 = 2)Existe n único, tal que n + 1 seja igual a 2.
Analisando a expressão, a resposta é verdade.Existe apenas um valor (1) que somado a 1 temcomo resposta o número 2.
NEGAÇÃO
Para negar expressões fazemos a operaçãoao contrário:
• Universal é negado com existencial• Existencial é negado com universal.
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EXEMPLO
Todo marinheiro gosta de mar.
Para realizar a negação:• Existe marinheiro que não gosta de mar.• Existe pelo menos um marinheiro que não
gosta de mar.• Algum marinheiro não gosta de mar.
EXEMPLO
Existe pelo menos um brasileiro que nãogosta de futebol.
Para realizar a negação:• Todos brasileiros gostam de futebol.
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EXERCÍCIOS
01 – Qual é a negação de não há quem gostede futebol?
02 – Qual é a negação de todas as portas estãoabertas?
03 – Qual a negação de existem funcionáriospúblicos que não são eficientes?