Logaritmos

Josiane Ferzola Fagundes

Marina Menna BarretoReinaldo da Cruz

Duarte

Problema Inicial

Uma planta não pode viver a profundidades muito maiores que 10 m porque necessita de luz solar. Suponha que num lago, a intensidade da luz se reduza 25% a cada metro de profundidade. A que profundidade a luz se reduz a 10% da luz do dia?

Idéia de Solução:

Partindo-se de um modelo exponencial, do tipo y = yo . ax

Onde: y é a luminosidade no ponto procurado yo é a luminosidade na superfície a é a taxa de decaimento solar

x é a profundidade que se quer encontrar

Temos:

10% = 100% (25%)x

metros

Um pouco da História dos Logaritmos...

Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são importantes, como a astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra fizeram com que as demandas para que estes cálculos se tornassem cada vez mais rápidos e precisos crescessem sempre continuamente. Quatro notáveis invenções vieram a atender sucessivamente essas demandas crescentes.

A notação hindo-arábica, as frações decimais, os logaritmos e os modernos computadores.

É hora de se considerar o terceiro destes grandes dispositivos poupadores de trabalho, os logaritmos, inventados por John Napier perto do início do séc. XVII.

324+ 245 569

324 x 245 +1620 +1296 + 648 79380uma

operação quatro operações

O poder dos logaritmos, como instrumento de cálculo, repousa no fato de que eles reduzem multiplicações e divisões a simples operações de adição e multiplicação.

Como se dá isto ?

Pensemos, por exemplo,

em potências de 2

Observamos que quando multiplicamos 4 (=22) por 32 (=25), obtemos como resultado 128.

Mas, 128 é exatamente 27 !

Podemos observar que, ao invés de fazermos 4 x 32, podemos simplesmente somar seus expoentes (2 + 5 = 7) e assim, construir uma tabela que faça qualquer produto de potências de 2!

Podemos observar também que os números da primeira seqüência correspondem a uma progressão geométrica enquanto os números da segunda a uma progressão aritmética.

Vamos chamar então de logaritmos os números da série aritmética e de antilogaritmos os números da série

geométrica! Dizemos então que o logaritmo de 8 na base 2 é 3!

Tentemos agora fazer o mesmo para o nosso sistema de numeração decimal (base 10).

Para multiplicar 100 por 1000, basta somarmos seus logaritmos!

antilog

logaritmo

Mas e se quisermos o produto de 2 por 3?

Podemos observar que a nossa tabela nova não é muito útil já que não nos resolve um problema relativamente simples.

Devemos então melhorar esta tabela !

Vamos então reescrever a primeira parte da tabela:

Podemos ver facilmente que logaritmo de 3 está certamente entre 0 e 1, já que 1 < 3 < 10.

Observe o raciocínio e complete a tabela!

100,1 = número = 1,25

Resumindo temos que, se tivermos um número x, que possa ser escrito

como:

x = basey (ex. 100 = 1)

log base x = y (ex. log 10 1 = 0)

Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola de 2o grau ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logaritmica, foi o símbolo do estudante de engenharia no campus universitário.

Hoje porém com o advento das calculadoras portáteis, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmo ou uma régua de cálculo para fins computacionais.

Nos perguntamos então por que continuamos a ensinar

logaritmos nas Escolas e nas Universidades ?

... Por que apesar dos logaritmos não serem mais

necessários como facilitadores de cálculos, eles se tornaram um modelo conveniente de se expressar os mais diversos

fenômenos da natureza.

Vejamos alguns exemplos

O som é toda variação na pressão do ar (ou outro meio elástico) capaz de impressionar o ouvido.

A impressionalidade do ouvido é devida à sua capacidade de perceber a freqüência, a intensidade e a potência com que ocorrem tais variações.

onde:

dB = nível do som em decibéis (intensidade sonora)

I = intensidade acústica

I0 = intensidade “zero” da percepção humana

Os logaritmos e os decibéis

Devido ao seu enorme campo de variação*, estas grandezas são usualmente expressas em escala logaritmica.

*Um murmúrio irradia uma potência de 0,000000001 watt, enquanto que um avião a jato ao decolar produz uma potência de 100000 watts.

Usamos escalas logaritmicas para possibilitar uma melhor

visualização do gráfico e para transformar algumas curvas em

linhas retas.

Vejamos alguns exemplos

Os Logaritmos no Curral

O consumo da ração alimentícia bovina é proporcional à superfície externa do corpo do animal.

Sabendo-se que um boi que pesa aproximadamente 630Kg necessita de 13500 calorias de ração, perguntamos:

Quantas calorias provenientes da ração necessitará um boi que pesa 420 Kg?

Para resolvermos este problema, devemos utilizar além da álgebra a geometria.

De acordo com as condições do problema, as calorias que procuramos (x) são proporcionais à superfície externa (s) do corpo do animal:

onde s1 é a superfície

externa do boi que pesa 630 Kg.

2

1

13500 s

sx

A geometria nos ensina que as superfícies (s) de corpos semelhantes são proporcionais ao quadrado de suas medidas lineares (l), e os volumes (e, por conseguinte, o peso) são proporcionais ao cubo das medidas lineares.

3

3

12

1

3

21

2

2

1

630

420

630

420

l

l

l

l

l

l

s

s

3

9

413500x 9log4log

3

1)13500log(log x

10300x

Os logaritmos e o pH

O pH de uma solução aquosa nos diz o quanto ácida (H+) ou básica (OH-) é a solução.

Podemos escrever também:

pH = - log [H+] & pOH = - log [OH-]

Sabe-se, da química que: [H+] x [OH-] = 10-14

aplicando-se logaritmo dos dois lados temos:

log[H+] + log[OH-] = log 10-14

log[H+] + log[OH-] = -14-log[H+] - log[OH-] = 14

pH + pOH = 14

Observamos então que o pH é medido em escala logaritmica, onde cada unidade representa um fator

de 10.

Sabendo-se que o pH do café é 5 e o da água é 7.

Pergunta-se: qual é o mais ácido e quantas vezes é mais ácido?

pH café = 5 [H+] = 10-5

pH água = 7 [H+] = 10-7

logo o pH do café é:

vezes mais ácido que a água

acidez

10010

107

5

Os logaritmos e os terremotos

A escala Richter, usada para medir a magnitude dos terremotos, é uma escala logaritmica. Isto significa que as medidas de intensidade dos terremotos cresce exponencialmente

Em 1906, em São Francisco (E.U.A) teve um terremoto (8,3 na escala Richter) que causou incêndio e destruição de quase toda a cidade. Em 1989, também em São Francisco, um outro terremoto (7,1 na escala Richter) atingiu a cidade já reconstruida.

Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1906?

Sugestões de exercícios

1. Como calcular ?2. Calcular (6,21)8 :3. Como poderíamos saber se será possível fazer 250 em uma calculadora comum ? Isto é, quantos algarismos têm este número?4. O volume de uma esfera é dado por V=4R3 /3 onde R é o raio da esfera. Calcular o raio da esfera de volume 20cm3.

3 2,15x

5. Calcular o valor de com aproximação de centésimos.

6. Determinar qual é o tempo necessário para que um capital empregado a taxa de 3% ao mês, com juros capitalizados mensalmente, triplique seu valor.

7. Uma certa cultura de bactérias cresce segundo a lei N(t) = 2000 . 10 t/36, onde N(t) é número de bactérias após t horas. Quantas bactérias haverá após 3 horas?

5 22 )73,1()4,3( A

8. (CESGRANRIO-77)As indicações R1 e R2 ,na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula: R1 - R2 = Log (M1/M2)

onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos : um correspondente a R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. A razão M1/M2 é: a)2 b)log2 10 c)4/3 d)102 e)log (4/3)

9. A expressão log 2 + log 3 + log 4 + log 5 equivale a:a)log 5! b) 5! Log 5 c)5 log 5! d) 5 + log 5 ! e)5 ! + log 5

Encontre o erro...

322

1log3

2

1log2

2

1log

2

1log

2

1

2

1

8

1

4

13232

Dividimos ambos os membros por log(1/2) ?!?

• JACOBS, HAROLD R., “Mathenatics: a human endeavor”, ed San Francisco, 1970

• AGUIAR, ALBERTO F. A., XAVIER, AIRTON, RODRIGUES,JOSÉ, “Cálculo para ciências médicas e biológicas”, ed Harbra, São Paulo, 1988

• IEZZI, GELSON, DOLCE, OSVALDO, MURAKAMI, CARLOS, ”Fundamentos de Matemática Elementar - logaritmos (vol 2)”, ed Atual, S Paulo, 1997

• SANTOS, ANTONIO L., “Olimpíadas de matemática do estado do Rio de Janeiro”, ed Atual/ SBM, S Paulo/Rio de Janeiro, 1996

• GIOVANNI, JOSÉ R., BONJORNO, JOSÉ R., “Matemática -2o grau (vol 1)” ed FTD, S Paulo

• CARNEIRO, VERA C., “Funções Elementares (100 situações-problema de matemática)”, ed da Universidade, 1993

Referência Bibliográfica

“Chambered nautilus” é uma criatura marinha, que a medida que cresce desloca-se sucessivamente em direção à compartimentos de mesmo formato, com excessão do último, onde já atingiu seu tamanho máximo.

A concha tem o formato de uma curva chamada ESPIRAL LOGARITMICA, que foi descoberta por Descartes.

•http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/passa1f.html•FELTRE, Ricardo;YOSHINAGA, Setsuo “Físico-Química (vol3)” ed. Moderna, S.Paulo, 1977•HOGBEN, Lancelot “Maravilhas da matemática- influência e função da Matemática nos conhecimentos humanos” ed. Globo, P. Alegre,1952