Matemticae suas TecnologiasLivro do EstudanteEnsinoMdioBrasliaMEC/INEP2006Matemticae suas TecnologiasLivro do EstudanteEnsinoMdioCoordenao Geral do ProjetoMaria Ins FiniCoordenao de Articulao de Textos do Ensino MdioZuleikadeFeliceMurrieCoordenao de Texto de reaEnsino MdioMatemticaesuasTecnologiasMariaSilviaBrumattiSentelhasLeitores Crticosrea de Psicologia do DesenvolvimentoMrciaZampieriTorresMaria da Graa Bompastor Borges DiasLenyRodriguesMartinsTeixeiraLinodeMacedoreadeMatemticarea de Matemtica e suas TecnologiasEduardoSebastianiFerreiraMaria Eliza FiniMariaCristinaSouzadeAlbuquerqueMaranhoDiretoria de Avaliao para Certificao de Competncias (DACC)EquipeTcnicaAtadeAlvesDiretorAlessandraReginaFerreiraAbadioClia Maria Rey de CarvalhoCiroHaydndeBarrosCledistonRodrigoFreireDanielVerosaAmorimDaviddeLimaSimesDorivanFerreiraGomesrikaMrciaBaptistaCaramoriFtimaDeyseSacramentoPorcidonioGilbertoEdinaldoMouraGisleneSilvaLimaHelvcioDouradoPachecoHugoLeonardodeSiqueiraCardosoJaneHudsonAbranchesKelly Cristina Naves PaixoLciaHelenaP.MedeirosMariaCndidaMunizTrigoMaria Vilma Valente de AguiarPedroHenriquedeMouraArajoSheylaCarvalhoLiraSuelyAlvesWanderleyTasePereiraLiocdioTeresaMariaAbathPereiraWeldson dos Santos BatistaCapaMarcosHartwichIlustraesRaphaelCaronFreitasCoordenao EditorialZuleikadeFeliceMurrie O MEC/INEP cede os direitos de reproduo deste material s Secretarias de Educao, que podero reproduzi-lo respeitando a integridade da obra.M425 Matemtica e suas tecnologias : livro do estudante : ensino mdio /Coordenao : Zuleika de Felice Murrie. 2. ed. Braslia : MEC : INEP, 2006.244p. ; 28cm.1. Matemtica (Ensino Mdio). I. Murrie, Zuleika de Felice.CDD 510SumrioIntroduo ..........................................................................................................................................Captulo IAMatemtica:umaconstruodahumanidade ........................................SuzanaLainoCndidoCaptulo IILgicaeargumentao:daprticaMatemtica .....................................FabioOrfaliCaptulo IIIConvivendocomosnmeros .........................................................................ElynirGarrafaCaptulo IVNossarealidadeeasformasquenosrodeiam............................................MarliaToledoCaptulo VMedidaseseususos ........................................................................................Jos Luiz Pastore MelloCaptulo VIAsgrandezasnodia-a-dia ............................................................................LciM.LoretoRodriguesCaptulo VIIAMatemticaportrsdosfatos...................................................................WilsonRobertoRodriguesCaptulo VIIIGrficosetabelasdodia-a-dia .....................................................................JaymeLemeCaptulo IXUmaconversasobrefatosdonossodia-a-dia ...........................................HelenaldaNazareth81139658711714317519722178Este material foi desenvolvido pelo Ministrio da Educao com a finalidade de ajud-lo apreparar-separaaavaliaonecessriaobtenodocertificadodeconclusodoEnsinoMdiodenominadaENCCEJAExameNacionaldeCertificaodeCompetnciasdeJovenseAdultos.AavaliaopropostapeloMinistriodaEducaoparacertificaodoEnsinoMdiocompostade4provas:1. Linguagens,CdigosesuasTecnologias2. MatemticaesuasTecnologias3. CinciasHumanasesuasTecnologias4. CinciasdaNaturezaesuasTecnologiasEste exemplar contm as orientaes necessrias para apoiar sua preparao para a prova deMatemticaesuasTecnologias.Aprovacompostade45questesobjetivasdemltiplaescolha,valendo100pontos.Este exame diferente dos exames tradicionais, pois buscar verificar se voc capaz de usarosconhecimentosemsituaesreaisdasuavidaemsociedade.Ascompetnciasehabilidadesfundamentaisdestareadeconhecimentoestocontidasem:I. CompreenderaMatemticacomoconstruohumana,relacionandooseudesenvolvimentocomatransformaodasociedade.II. Ampliar formas de raciocnio e processos mentais por meio de induo,deduo,analogiaeestimativa,utilizandoconceitoseprocedimentosmatemticos.III. Construir significados e ampliar os j existentes para os nmeros naturais,inteiros, racionais e reais.IV. Utilizar o conhecimento geomtrico para realizar a leitura e a representao darealidade- e agir sobre ela.V. Construir e ampliar noes de grandezas e medidas para a compreenso darealidade e a soluo de problemas do cotidiano.VI. Construir e ampliar noes de variao de grandeza para a compreenso darealidade e a soluo de problemas do cotidiano.VII. Aplicarexpressesanalticasparamodelareresolverproblemas,envolvendovariveissocioeconmicasoutcnico-cientficas.Introduo9VIII. Interpretar informaes de natureza cientfica e social obtidas da leitura degrficosetabelas,realizandoprevisodetendncia,extrapolao,interpolaoeinterpretao.IX. Compreender o carter aleatrio e no determinstico dos fenmenos naturais esociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e clculos deprobabilidade,parainterpretarinformaesdevariveisapresentadasemumadistribuioestatstica.Os textos que se seguem pretendem ajud-lo a compreender melhor cada uma dessas novecompetncias.Cadacaptulocompostoporumtextobsicoquediscuteosconhecimentosreferentescompetnciatemadocaptulo.Essetextobsicoestorganizadoemduascolunas. Durante a leitura do texto bsico, voc encontrar dois tipos de boxes: um boxedenominadodedesenvolvendocompetnciaseoutro,detextoexplicativo.Oboxedesenvolvendocompetnciasapresentaatividadesparaquevocpossaampliarseuconhecimento.Asrespostaspodemserencontradasnofimdocaptulo.Oboxedetextoexplicativoindicapossibilidadesdeleituraereflexosobreotemadocaptulo.O texto bsico est construdo de forma que voc possa refletir sobre vrias situaes-problemadeseucotidiano,aplicandooconhecimentotcnico-cientficoconstrudohistoricamente,organizadoetransmitidopeloslivrosepelaescola.Vocpoder,ainda,complementarseusestudoscomoutrosmateriaisdidticos,freqentandocursosouestudandosozinho.ParaobterxitonaprovadeMatemticaesuasTecnologiasdo ENCCEJA, esse material ser fundamental em seus estudos.Suzana Laino CndidoA MATEMTICA: UMA CONSTRUODA HUMANIDADECOMPREENDER A MATEMTICA COMO CONSTRUOHUMANA, RELACIONANDO SEU DESENVOLVIMENTOCOM A TRANSFORMAO DA SOCIEDADE.Captulo IMatemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio12Captulo IA Matemtica: umaconstruo da humanidadeA Matemtica e o dia-a-diaAs condies de vida da humanidade semodificaram ao longo do tempo, com odesenvolvimento da agricultura, do comrcio, daindstria, do conhecimento e da tecnologia . Eatravs das conseqncias do avano em todasessas reas.Apesar de o homem no ter registrado o que faziae pensava no incio de sua histria, ele precisavaresolver problemas de seu dia-a-dia, ligados suasubsistncia.Ao buscar solues para eles, o conhecimentomatemtico comeou a ser construdo.Figura 1 -Na comparao entre o nmero de aves docaador e o nmero de peixes do pescador est a raiz deuma das mais belas idias matemticas: aproporcionalidade.1DesenvolvendocompetnciasReflita sobre a seguinte situao:Se os pescadores e caadores daquela poca trocassem sempre 2 aves por 3 peixes, quantospeixes deveria ter um pescador para trocar por 22 aves?Comovocresolveriaesseproblema?Os homens das cavernas no dispunhamainda dos registros e tcnicas operatriasatuais para resolver a questo.O pescador poderia pensar assim: queroaves, mas s tenho peixes. Vou agruparmeus peixes de 3 em 3 e para cada grupoponho 2 pedrinhas ao lado para representaras aves, at completar 22 pedrinhas. Ento,contoquantos peixes preciso. So 33 peixes!Figura2Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade13O caador poderia pensar de um modo semelhante,para resolver o problema, agrupando suas 22 avesem grupos de 2; agora, as pedrinhas seriam peixes:3 para cada grupo de aves. Contanto as pedrinhas,ele descobre que so 33 peixes!Assim como esse, outros problemas que o homemtem resolvido em seu cotidiano deram grandeimpulso ao conhecimento da humanidade e, emparticular, ao conhecimento matemtico.A Matemtica e a linguagemTanto o pescador como o caador pensaram deum modo at bastante sofisticado. Entretanto,talvez a estratgia que utilizaram para resolvera questo da troca j no fosse to eficiente setivessem que decidir quantos peixes trocar por560 aves!Com o correr do tempo, o homem passou aproduzir mais e a ter um estoque do queproduzia (supervit), alm da necessidade doconsumo prprio e de seu grupo. Com isso, asidias e tcnicas matemticas foram seaperfeioando, para poder resolver osproblemas que envolviam grandesquantidades, por exemplo. bem possvel que voc tenha resolvido oproblema dos peixes de um modo mais rpido,como por exemplo:Esses smbolos que atualmente combinamos eusamos de um modo conveniente para registrar aresoluo do problema dos peixes fazem parte deuma linguagem escrita que foi sendo construda, medida que as idias e conceitos matemticosforam sendo descobertos, elaborados e aplicadospelo homem em outras situaes: a linguagemmatemtica.Essa linguagem, quando escrita, utiliza smbolosprprios e universais, o que permite umacomunicao que ultrapassa fronteiras dasdiversas lnguas. Entretanto, quando noscomunicamos oralmente, utilizando essalinguagem, lanamos mo da lngua materna.Veja um exemplo:Umfregusdeumapadariacompra,todososdias,leiteaR$1,10olitroealguns pezinhos a R$ 0,20 cada. Comosepoderepresentaradespesadessapessoanumdia?A situao acima, descrita em nossa lnguamaterna, pode ser registrada por meio dalinguagem matemtica, que favorece arepresentao da despesa desse fregus paraqualquer quantidade de pes que ele compre.Podemos representar por n o nmero de pes epor f(n) (l-se f de n) a despesa. Assim, adespesa pode ser representada pela igualdade:f (n)=1,10+0,20 .nDespesatotalDespesacomoleiteDespesacomospesFigura311 . 3 = 33ou22 211 002322x=ento x == 333 . 222Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio1423DesenvolvendocompetnciasVoceasplacasdetrnsitoAlgumasplacasdetrnsitoquevocencontra nas ruas e estradas utilizamumalinguagemsimblica,muitasvezesimpregnadadeidiasmatemticas.Observeasplacasaolado.a) O que elas significam?b)Queidiamatemticacadaumadelasutiliza?DesenvolvendocompetnciasRepresenteoquesolicitadoemcadasituaoporumasentenamatemtica,deacordocomasinformaesdadas:1.UmtxicobraR$3,50abandeiradaeR$1,20porquilmetrorodado.Comovocpoderepresentar a despesa de um passageiro que faz um percurso de alguns quilmetros nessetxi? Represente por n o nmero de quilmetros rodados e por f(n) a despesa do passageiro.2. Todos os terrenos de um condomnio tm 10m de frente, porm tm largura que varia deumterrenoparaoutro.Comovocpoderepresentarareadeumterrenoqualquerdessecondomnio, quetemalgunsmetrosdelargura?RepresenteporAareadoterrenoeporlsualargura. claro que at chegarmos a esse tipo delinguagem, milhares de anos se passaram.Alm de todos esses smbolos que utilizamos paranos comunicar e para resolver problemas, muitasvezes nos valemos de uma linguagem ,constituda de cones, grficos e diagramas,impregnada de idias matemticas e cujo objetivo comunicar informaes do modo mais claro eprecisopossvel.Agora sua vez de simbolizar:A linguagem matemtica est sempre emevoluo, j que novas idias e conceitos socriados a todo momento.Figura4Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade15A todo momento, podemos constatar nos meiosde comunicao (televiso, jornais, revistas,internet, folhetos, livros etc.), a presena dessalinguagem. Uma pessoa que no a domina, no Pense um pouco sobre os grficos acima:Os grficos publicados pelo jornal fizeram parte dematria sobre o caso cracolndia, ocorrido nacapaz de compreender as informaes apresentadas,o que poder torn-la incapaz de participar demaneira integral de uma vida em sociedade.cidade de So Paulo, no final de 2001, e dizemrespeito s aes promovidas pela Corregedoria dapolcia civil e situao de seus funcionrios.AdaptadodaFolhadeS.Paulo,SoPaulo,17dez.2001.Cotidiano,p.C4.Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio165O grfico denominado de Os motivos dasdemisses chamado grfico de barras, pois constitudo de barras retangulares horizontais,cujo comprimento representa o percentual dosmotivos de corrupo no perodo de 1996 a 2001.Ao justificar suas respostas sobre o grfico dosdemitidos , voc deve ter argumentado, baseando-se nos conhecimentos que construiu at hoje.Por exemplo, quando dizemos que em 2001 onmero de demitidos foi de aproximadamente22% do total, entre 1996 e 2001, estamoscomparando 172 com 797 e registrando onmerona forma percentual.Confira: dividimos 172 por 797, obtendoaproximadamente 0,215808 (confira com umacalculadora); multiplicamos 0,215808 por 100 para escreveresse nmero na forma percentual: 21,5808%(agora voc j no precisa de calculadora!);4O grfico denominado de O nmero de demitidos chamado grfico de linha, j que uma linha (a laranja)ligaospontosquerepresentamosnmerosdedemitidos, mostrando a evoluo desse nmero noperodo de 1996 a 2001.Desenvolvendocompetnciasa) Voc pode concluir que no perodo de 1996 a 2001 o nmero de demitidos da polcia civil,emSoPaulo,semprecresceu?Porqu?b)Naprimeirametadedesseperodo(1996-1998)foramdemitidosaproximadamente50%dospoliciaisdemitidosnoperodotodo(1996-2001).Vocconsideraessaafirmaoverdadeira?Justifiquesuaresposta. tambm aproximamos esse nmero para 21,6%,desprezando as demais casas decimais que norepresentariam sequer 1 pessoa.A forma percentual indica que comparamos umaparte dos demitidos com um total de 100.Assim, o nmero 21,6 % representa a seguintesituao ideal: se pudssemos agrupar os 797demitidos em grupos de 100 e espalharigualmente por esses grupos os 172 demitidos,aproximadamente 21,6 pessoas em cada grupoteriam sido demitidas em 2001, o que narealidade no acontece, j que no existe 0,6 depessoa. Ento, esse nmero (21,6%), por estarmais prximo de 22% do que de 21%, deve seraproximado para 22%, significando que, emcada grupo de 100 demitidos entre 1996 e2001, h aproximadamente 22 demitidos em 2001.DesenvolvendocompetnciasAgoracomvoc.Observeogrficodebarraseverifiquequantospoliciaisforamdemitidosnoperodode1996 a 2001 por corrupo.A partir das situaes apresentadas, voc deve terpercebido a importncia da linguagem matemticapara controlar e prever resultados (como no casoda despesa dos pes e leite), bem como paracomunicar dados e idias (como no caso dasplacas de trnsito e dos grficos do jornal).Essa linguagem foi pseudo-construda ao longodo tempo, medida que as idias matemticas queela descreve foram ficando cada vez mais claras eprecisas para a humanidade.Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade17O desenvolvimento da Matemticae os outros campos do conhecimentoVoc j viu que o desenvolvimento da Matemticase deve em grande parte busca de solues paraproblemas que a humanidade tem enfrentado emseu dia-a-dia. Apenas para dar alguns exemplos: Que chance tenho em ter meu bilhete sorteadonuma loteria de nmeros? Como fixar as ripas de meu porto? Quantas estampas diferentes posso obter nostecidos da tecelagem onde trabalho, se o fundopode ser ou azul ou amarelo e o desenho podeser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou,ainda, xadrez vermelho?Questes semelhantes a essa fizeram o homempensar nos fenmenos probabilsticos, emquestes geomtricas, e nos problemas decontagem, respectivamente. Alm desses camposespecficos da Matemtica aos quais eles sereferem, outros mais foram desenvolvidos a partirde problemas que envolviam nmeros, medidas,lgebra, ligados realidade da humanidade.Entretanto, os outros campos do conhecimentotambm tm solicitado respostas da Matemticapara solucionar seus problemas especficos,contribuindo indiretamente para seudesenvolvimento.Para citar um exemplo que mostra a Matemticasendo utilizada em outro campo do conhecimento,vamos focalizar nosso olhar na Trigonometria,ramo da Matemtica que, at por volta do sculoXVII, desenvolveu-se em decorrncia de umaligao estreita entre a teoria e a prtica.Noinciodesuacriao,aTrigonometriaeraum campo da Matemtica no qual os ngulos deum tringulo e as medidas de seus lados eramrelacionados.As razes trigonomtricas apareceraminicialmentepornecessidadesdaAstronomia,daAgrimensuraedanavegao.Posteriormente, por volta dos sculos XVI e XVII,aTrigonometriaesteveaserviodaFsicaparadescrever e explicar fenmenos peridicos, comopor exemplo: o movimento peridico dos planetas, estudadoporKepler. o movimento peridico dos pndulos, estudadoporGalileu. a propagao do som em forma de ondas,estudada por Newton. a propagao da luz em forma de ondas,estudada por Huyghens. a vibrao de uma corda de violino, estudadapor Mersenne.Astronomia a cincia que estuda as posies relativas, os movimentos, a estrutura e a evoluo dos astros.Agrimensura a tcnica de medida dos elementos geomtricos das partes de um terrenoTrigono metria(trs) (medida) (ngulo)Todos sabem que, se voc deseja ser um fsico ou engenheiro, deveria ser bom em Matemtica.Maisemaispessoasestodescobrindoque,sedesejamtrabalharemcertasreasdaEconomiaouBiologia,deveriamreversuaMatemtica.AMatemticapenetrounaSociologia, Psicologia, Medicina e Lingstica. Sob o nome de cliometria, est se infiltrandonaHistria,parasobressaltodosmaisvelhos.DAVIS,PhilipJ.;KERSH,Reuben.Aexperinciamatemtica.TraduodeJooBoscoPitombeira.RiodeJaneiro:F.Alves,c1989.481p.(ColeoCincia):TheMathematicalexperience.Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio18J no final do sculo XVII, com o incio dodesenvolvimento do conceito de Funo, oestudo da Trigonometria se ampliou para umcampo mais abstrato, desligando-se assim dasaplicaesprticas.Figura 6 Onde a, b e cso as medidas dos catetose da hipotenusa desse tringulo retngulo; a e b seusngulos agudos; e sen (seno), cos (co-seno) e tg(tangente)sorazesentremedidasdosladosdessetringulo,comoestodescritasacima.h1 h2 h3v1 v2 v3= = = ...= c (constante)As razes trigonomtricas j eram utilizadas pelosegpcios para resolver problemas de Arquitetura,por ocasio das construes das pirmides. Paramanter constante a inclinao das paredes daspirmides durante a construo, eles mantinhamconstante o quociente doafastamentohorizontal pelo afastamento vertical, que erammedidos com unidades diferentes.Na figura a seguir os afastamentos horizontaisforam representados por h1 ,h2eh3 e osverticais, por v1,v2 e v3.Figura7Assim, quando eles constatavam queAtualmente, as razes trigonomtricas numtringulo retngulo so apresentadas como naFigura 6.concluam que a parede apresentava sempre amesma inclinao.Ora, o quociente entre essas medidas nada mais,nada menos, do que uma razo trigonomtrica,conhecida hoje por cotangente do ngulo deinclinao da parede com o cho.Hoje em dia mede-se a inclinao de uma reta poruma razo entre segmentos verticais e horizontais(tangente do ngulo de inclinao), razo essainversa da utilizada pelos egpciospararesolverem problemas arquitetnicos.Figura 5 - Tringulo retngulo o tringulo que tem umnguloreto(de90).Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade19Hoje usa-se:Egpcios usavam:tg ovh=cotg ohv =Atualmente, os topgrafos dispem deinstrumentos de medida de ngulo que lhespermitem determinar medidas por vezesinacessveis.tg 30 =h200ou 0,57 =h200Desejando saber qual a altura do morro que tinha sua frente, um topgrafo colocou-se com seuteodolito a 200m do morro. Ele sabe que a alturado teodolito de 1,60m. Posiciona o aparelho quelhe fornece a medida do ngulo de visada de partedo morro: 30. Consulta uma tabela de tangentes everifica que tg 30 = 0,57.Assim, no tringulo TPM temos:Figura8o que lhe permite calcular h:h = 200 x 0,57 = 114O topgrafo conclui que o morro tem114 + 1,60 = 115,60m de altura.Figura9Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio20Uma experincia que voctambm pode fazerVeja como possvel encontrar a tangente de umngulo agudo, experimentalmente. Como exemplo,vamos determinar a tangente de um ngulo de 35(indica-se tg 35), utilizando: Construmos, com a rgua e o transferidor, umngulo de 35. Apoiamos o esquadro em um dos lados dongulo em vrios pontos desse lado (porexemplo, A, B, C); traamos perpendiculares aesse lado at encontrar o outro lado em pontoscorrespondentes (A, B, C).RguaTransferidorEsquadroFigura10Figura11Figura12Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade21Foram construdos, assim, vrios tringulosretngulos: OAA, OBB, OCC, destacados a seguirmedida do cateto oposto ao ngulo de 35Comotg 35 = ,medida do cateto adjascente ao ngulo de 35em cada tringulo medimos o cateto oposto aongulo de 35 (AA, BB, CC) e o cateto adjacentea esse ngulo (OA, OB, OC) para encontrarmos ovalor de tg 35:1,02tg 35 = = 0,671,523,054,06tg 35 = = 0,75tg 35 = = 0,733,564,83Calculamos a mdia aritmtica dos valores obtidospara expressar o valor mais representativo detg 35,do seguinte modo:tg 35 == 0,710,67 + 0,75 + 0,733Com um processo semelhante podemos determinarexperimentalmente o seno e o cosseno de ngulosagudos. Figura13Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio226DesenvolvendocompetnciasParavocdesvendarumaconstruoestranhaO quebra-cabea a seguir muito conhecido.Paradesvend-lo,vocprecisapensarnatangentedengulosagudosemtringulosretngulos.Vamosexperimentar?AFigura14umaregioquadrada,montadacomfigurasdeumquebra-cabeaformadopor4 peas: dois tringulos e dois trapzios.Essaspeassocompostasdeoutramaneira,formandooutraregioretangularnaFigura15.Isso possvel, j que as peas que formam oquebra-cabeadaFigura14soasmesmasqueformamoquebra-cabeadaFigura15.Concordaouno?Vocachaqueelesdeveriamteramesmarea,jquesocompostospelasmesmaspeas?Agora,confirasearegioquadradadaFigura14 tem 64 de rea e a regio retangular daFigura 15 tem 65 de rea.Finalmenteresponda:porqueareadaFigura14temumaunidadeamaisdoqueareadaFigura15?Para resolver esse problema, imite os egpcios,porm usando a tangente dos ngulos o e assinaladosnaFigura16aolado.Se eles possurem a mesma tangente porqueso iguais e, ento, a linha AB realmenteumsegmentodereta.Casoelesnotenhamamesmatangente,entoalinhaABmudadeinclinaonoponto X.Aproveiteoquadriculadoeescolhadoistringulosretngulosconvenientes,nafigura,para voc determinar tg o e tg .Considereoladodoquadradinhocomoumaunidadedemedida (u).Mosobra!Figura16Figura14Figura15Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade23Depois de tirar sua concluso, voc podeconfirm-la, montando o quebra-cabea da Figura14 numa malha quadriculada de 2cm x 2cm edepois recortando as peas e montando o quebra-cabea da Figura 15. Vai ter uma surpresa, queconfirmar sua resoluo anterior. Experimente!Neste quebra-cabea voc foi incentivado autilizar seu conhecimento sobre as tangentes dengulos agudos, na prtica, a fim de explicar porque a rea da nova regio retngular diferenteda rea da regio quadrada inicial.Voc observou que foi necessria uma ferramentaterica para dar tal explicao: o conceito detangente de um ngulo agudo de um tringuloretngulo.Mas voc fez tambm o caminho inverso.Experimentou montar a regio quadrada inicialnum quadriculado maior, separando suas peas,rearranjando-as para montar a segunda regioretangular. Verificou, ento, que nesse caso, oquebra-cabea no fecha (fica uma fenda nomeio dele), mostrando que a rea da segundafigura maior do que a da primeira. Essa prticaconfere ao conhecimento construdo (conceito detangente) uma certa confiabilidade.Esse movimento (conhecimento-prtica-conhecimento) ocorreu inmeras vezes naconstruo do conhecimento matemtico.Algumas teorias, como as geometrias no-euclidianas, foram criadas no por necessidadesimpostas pela realidade, nem para atender aoutras cincias, nem Matemtica, mas porsimples exerccio do intelecto e s muito tempodepois de sua criao encontraram aplicao naFsica. A teoria geral da relatividade elaboradapor Einstein no teria sido possvel sem umadessas geometrias. a aplicao prticanovamente dando confiabilidade ao conhecimentomatemtico construdo.Ainda vale a pena lembrar que muitos problemasprticos ou cientficos so resolvidos pormodelizao, isto , criam-se modelosmatemticos para resolv-los, como no caso daQumica.Durantemuitotempo,nocampodaQumica,procuraram-semodelospararepresentarostomosdeelementosqumicos.Eradesejvelquetaismodelos,pormeiodesuaconfiguraoespacial,pudessemdescrevereexplicaraspropriedadesdesseselementos,comoporexemplo,otetraedroquerepresentaotomodecarbono.O que voc pensa sobre isso?Voc considera que um modelo desse tipoalgbrico,geomtricoouaritmtico?7DesenvolvendocompetnciasEsse modelo do tomo de carbono pode serconsiderado como o esqueleto de um slido o tetraedro.No caso da modelizao, nem sempre os modelosconstrudos so suficientemente bons pararesponder s necessidades prticas. Por isso, asteorias tm que ser colocadas prova: aexperincia validando o conhecimento construdo.Figura17Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio24A Matemtica e suas questes internasQuantas vezes voc j deve ter feito a mesmapergunta que aparece na Figura 18, no mesmo?Muitas vezes aprendemos conceitos matemticosque, primeira vista, nada tm a ver com arealidade em que vivemos. Posteriormente,percebemos que eles serviram para construirmosnovos conceitos e idias matemticas que tmgrande aplicao em nossa vida.Um exemplo interessante o dos nmeroscomplexos. muito comum entrarmos em contatocom esse tipo de nmero por meio de problemasque envolvem raiz quadrada de nmero negativo.Veja um problema famoso a seguir:Descubradoisnmeroscujasoma 10 e cujo produto 40.Esse problema foi objeto de estudo do matemticoitaliano Cardano, em 1545, que o consideroumanifestamente impossvel, mas mesmo assimvamos operar.A equao do segundo grau j era conhecida notempo de Cardano: ax2 + bx + c = 0 e a frmulaque a resolve tambm:onde a, b e c so nmeros reais.Cardano concluiu que a equao que resolvia esseproblema x210 x + 40 = 0 e queeram soluesdo problema. Entretanto considerouessas expresses inteis, pois envolviam nmerospara os quais ainda no tinha sido dado nenhumsignificado: a raiz quadrada de nmero negativo.Nesse tempo, Bombelli, outro matemtico italiano,resolveu operar com esses nmeros, mesmo semdar a eles um significado, imitando oprocedimento que utilizava para operar comnmeros reais.Bombelli confirma, por exemplo, que a soma e oproduto dos nmeros e solues do problemainicial so 10 e 40, respectivamente. Ele operoucom esses nmeros usando as mesmas regras epropriedades dos nmeros reais que conhecia.Figura18Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade259DesenvolvendocompetnciasVoc j operou com os nmerosAgora,represente-ospordoispontosnoplano.Antes, porm, escreva-os na forma e construa os dois eixos perpendiculares: o dapartereal(ondevocvaimarcaronmeroa)eodaparteimaginria(ondevocvaimarcaro nmero b).Figura198As razes quadradas de nmeros negativoscontinuaram a aparecer nos sculos XVI, XVIIe XVIII. Os matemticos manipulavam essesnmeros sem saber o que significavam, tanto que os nomes que tais nmerosreceberam na poca descreviam bem essedesconforto: sofsticos, fictcios, impossveis,msticos, sem sentido, imaginrios (este ltimoperdura at hoje).O conjunto desses nmeros s passou a ter statusde campo numrico a partir dos trabalhos deGauss, no final do sculo XVIII e incio do sculoXIX, quando os nmeros da forma ,onde a e b so nmeros reais, passaram a serComo voc pode ver, a criao dos nmeroscomplexos no se deveu a nenhum problema docotidiano das pessoas, mas sim necessidade dedar um significado a solues de equaes ondeapareciam razes quadradas de nmeros negativos.E essa uma questo interna Matemtica!Aprender sobre os avanos da Matemtica quesurgiram em virtude da necessidade de resolverseus problemas internos, contribui para: desenvolver maneiras particulares de raciocinar. compreender como um contedo matemtico degrande aplicao na realidade foi criado a partirde outro que, aparentemente, nada tem a vercom ela, mas somente como exerccio do pensar. aumentar sua cultura.chamados de nmeros complexos e a serrepresentados por um par ordenado de nmerosreais (a, b), que admitia uma representaogeomtrica por um ponto no plano.DesenvolvendocompetnciasImitandoBombelliTenteencontrarasomaeoprodutoabaixo:Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio26Afinal, o que a Matemtica tem a ver com o lixo?Ora, uma campanha de conscientizao sobre acoleta do lixo pode ser feita com as pessoas quemoram em seu quarteiro. Ela pode serdesenvolvida em vrias etapas, como, por exemplo:Um grupo de vizinhos interessados em solucionaro problema pode se organizar para fazer essacampanha.Fazer um levantamento: do tipo de lixo que jogado nas ruas(observando as ruas todos os dias, durante umcerto perodo estipulado pela equipe,recolhendo e anotando o lixo encontrado:papis, casca de frutas, embalagens, garrafas etc).Para fazer essa coleta, o grupo de vizinhos devese munir de luvas de borracha, sacos de lixo de20 litros marcados com cores diferentes (azulUsando a Matemtica para modificar o mundoA todo momento convivemos com uma grandequantidade de objetos, fatos e informaes deprocedncias e naturezas diversas. Por isso,precisamos compreend-los, analis-los,relacion-los e, muitas vezes modific-los, paratornar melhor a realidade em que vivemos.Voc pode notar que essas trs situaes so decarter muito diferente.Arrumar os objetos no armrio demanda de vocuma habilidade em ocupar o espao de modoconveniente para que todos os objetos caibam.Mas no s isso. possvel que voc queiracolocar na prateleira de cima os objetos que usapara escrever (lpis, caderno e livro) e na debaixo os que no utiliza para esse fim (relgio,tesoura, caixinhas). Isso mesmo, voc classifica osobjetos de acordo com o critrio que mais lheinteressa.J a questo do lixo mais complexa, pois suasoluo no depende apenas de voc! Que tal umacampanha de conscientizao entre as pessoas quemoram no seu quarteiro? Como fazer isso? Seriabom fazer uma coleta seletiva? As pessoas sabemo que isso?Os exemplos so tantos, que tropeamos neles emnosso dia-a-dia, desde os mais simples, at osmais complexos:Figura20 Figura21 Figura22Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade27para papel; verde para vidro; amarelo paralatas; vermelho para plsticos; branco para lixoorgnico). de como feita a coleta de lixo nesse quarteiro(por caminho coletor, por cada morador quequeima seu lixo ou leva-o para um depsitocomunitrio etc.); sobre o conhecimento que as pessoas tm sobrecoleta seletiva e se praticam a coleta seletiva;PapelVidroLatasdebebidaOrgnico(restosdealimentos, folhas,animaismortosetc)Plstico2kg1kg3kg3kgSarjetaPortasdecasasSarjeta,caladasSarjeta,caladas,ruaportadecasaTipo de lixo QuantidadeLocal1kg Sarjeta, esquinasConheceNo conhece1011564Coleta seletiva de lixoPraticaNo praticapapel341244vidro2088lata241551orgnico13869plstico61074Tipo de lixoEm relao ao hbito de jogar lixo na rua,a Tabela 1 apresenta o n de moradores em cada situao:Em relao ao conhecimento e prtica da coleta seletiva de lixo,a Tabela 2 apresenta o n de moradores em cada situao:Em relao ao tipo de lixo e quantidade encontrados nas ruas durante um certo perodo (por exemplo, 1 semana):Tabela1Tabela2Tabela3 sobre os insetos mais freqentes nas casas dessequarteiro e na parte externa s moradias;O grupo de vizinhos poder encontrar outrositens que considerar mais convenientes.De posse desses dados, o grupo poder arrum-losem tabelas, poder tambm confeccionar grficospara a conscientizao dos moradores doquarteiro, como, por exemplo:JogafreqentementeraramentenuncaMatemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio28A elaborao das tabelas favorecer: a observao de semelhanas e diferenas entreos materiais coletados e, portanto, favorecer osprocessos de classificao para a realizao decoleta seletiva. a tabulao e anlise de dados. Na coletaencontrou-se um nmero muito maior de latasdo que garrafas de vidro. A que se deve essefato? Na pesquisa, percebeu-se que o hbito dejogar papel e latinhas de refrigerante ou cervejaainda muito forte entre os moradores dessequarteiro. O que se poderia fazer a respeito? os clculos que por ventura devam ser feitospara, por exemplo, fazer previses: se cadagarrafa coletada pesa em mdia 300g e cada lata50g, quantas garrafas e quantas latas foramcoletadas na semana? Se os sacos de lixoutilizados na coleta suportam em mdia 20kg,de quantos sacos vamos precisar para a prximasemana de coleta? a observao de regularidades. A tabela anteriormostra que na sarjeta que se encontra a maiordiversidade de lixo. a verificao de quantos moradores estoenvolvidos, direta ou indiretamente, na coletade lixo do quarteiro em questo: na primeiratabela fcil perceber que so 90 essas pessoas. a previso sobre as medidas que devero sertomadas para conscientizar as pessoas que noconhecem ou no praticam a coleta seletiva (aotodo 80 moradores do quarteiro). Essasmedidas podem ser de vrios tipos: folhetosexplicativos, reunies com os moradores doquarteiro, visitas do grupo de pesquisa a cadacasa do quarteiro para explicar sobre a coletade lixo etc. a confeco de grficos que possam, por meiodo impacto visual, mostrar aos moradores doquarteiro o problema do lixo de formaimediata. Um cartaz como o seguinte (Figura23) nos mostra que os moradores do quarteiroprecisam ser informados sobre o que a coletaseletiva e suas vantagens.Para confeccionar um grfico desse tipo(grfico de setores), voc precisamobilizarconhecimentos sobre: ngulo, ngulo central. setor circular. proporcionalidade (entre ngulo central do setore o nmero de moradores que no conhecem ouno praticam coleta seletiva do lixo).80= 0,8888... = 88,8%90~Veja como possvel fazer isso.Dentre os 90 moradores pesquisados, 80 noconhecem ou no praticam a coleta seletiva. Issopode ser registrado assim:ou seja, 88,8% dos moradores no conhecem ouno praticam coleta seletiva.O setor circular que corresponde a 88,8% docrculo determinado por um ngulo centralque deve medir 88,8% de 360 , que 0,888 . 360 = 320.ABumngulocentral(temovrticenocentrodocrculopintadodeduascores).Cadaumadasregies(brancae cinza) chamada de setorcircular.Figura24NoconhecemounopraticamcoletaseletivaFigura23Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade29O valor que se obtm com a calculadora 319,68, que aproximamos para 320, parafacilitar a confeco do grfico com umtransferidor.Caso o elaborador do grfico disponha de ummicrocomputador e de um programa que faagrficos, tudo fica bem mais fcil. s alimentar oprograma com os dados obtidos na pesquisa que ogrfico sai prontinho!De posse de todo esse material, o grupo devizinhos que fez a pesquisa poder discutir comos demais moradores sobre a questo do lixodaquele quarteiro, no sentido de conscientiz-losa no jogar lixo nas ruas, a praticar a coletaseletiva e, quem sabe, a ampliar esse projeto paraoutros quarteires do bairro.Eis a um grupo de vizinhos que usou aMatemtica para modificar as condies de suarealidade, de seu mundo!Voc tambm pode fazer isso!Construindo o setor de 320Dica:Comece por reduzir o consumo. Aproveiteprodutos que usualmente no costuma utilizar(como, por exemplo, as folhas da beterraba parafazer um refogado ou as cascas do abacaxi paraum refresco) e depois, sempre que possvel,reutilize as embalagens. Com isso, voc estarcombatendo o aumento do lixo, o que facilitar,posteriormente, a reciclagem.Caso o grupo tenha algum outro tipo de interesseem promover mudanas em seu bairro, noquarteiro onde mora, no espao em que trabalhaou nas instituies que freqenta (igrejas, centrosde sade, por exemplo), possvel promov-las nosmesmo moldes da coleta do lixo, com as devidasadaptaes que o prprio grupo far.Alguns temas podero ser escolhidos como motivode um levantamento estatstico para ser o pontoinicial de tais mudanas: Interesse da comunidade em promover umsbado cultural, a cada ms, com os artistas daprpria comunidade. A vacina contra a gripe e os idosos: funciona ouno? O perodo de lazer das crianas do bairro: quem,como e onde promov-lo e organiz-lo? O trabalho voluntrio: uma opo para qualquerpessoa.Mos obra!Para voc intervir em sua realidadeVoc tambm pode fazer uma campanha deesclarecimento junto sua comunidade sobre areduo reutilizao reciclagem do lixo.O levantamento de dados sobre essas aes podeser obtido mediante um questionrio que seriaaplicado s pessoas da comunidade, alvo da talcampanha.Para que essa comunidade se conscientize daimportncia da reduo reutilizao reciclagem do lixo, importante que osresultados de sua pesquisa sejam mostrados eanalisados por elas; nesse caso, nada melhor doque um grfico para que percebam clara eimediatamente em que situao se encontramdiante do problema e decidam que atitudes tomarpara elimin-lo.Ento, combine com alguns amigos interessadosnas vantagens dareduo-reutilizao-reciclagem e da coleta seletiva do lixo paradesenvolver um programa de conscientizao emseu quarteiro, em seu bairro ou em sua escola,como o que foi descrito anteriormente.Figura25Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio30Fazendo umamaquete claro que quando se quer modificar o mundo anossa volta preciso pensar no s naMatemtica, mas tambm muito alm dela: emoutras reas do conhecimento. Por exemplo,iniciar uma campanha de esclarecimento sobre olixo leva as pessoas envolvidas a buscarconhecimentos sobre desvantagens do lixo a cuaberto, processos de coleta, de reciclagem,vantagens e desvantagens da reciclagem, comoreaproveitar o material reciclado, comorecoloc-lo no mercado para o consumo, etc.Muito provavelmente, a Fsica, a Qumica, aBiologia, a Sociologia e a Economia so camposdo conhecimento que contribuiro para que essacampanha tenha sucesso.Se a Matemtica tem algo a ver com o problemado lixo o que dizer sobre sua relao com aexposio da qual a menina deseja participar?Como a Matemtica pode ajudar a garota aexternar esse sentimento de prazer e orgulho deser aluna de uma escola que ela considera bonita?Para comear seu projeto, a menina foi medir oterreno de sua escola e a altura, comprimento elargura do prdio. Percebeu que seria difcil,pensou at em providenciar um teodolito paraimitar o topgrafo quando vai encontrar o ngulode visada e, com sua tangente, determinar a alturado prdio. Entretanto, no foi necessrio.Como havia um terrao no alto desse prdio, foiajudada por alguns colegas: enquanto segurava aponta do barbante do alto do terrao do prdio,um colega cortava o barbante no ponto em queele atingia o cho e depois mediu o barbante. Paramedir a largura e comprimento mais fcil, poispode-se fazer todas essas medies no chomesmo..Figura26Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade31Depois de tanto trabalho algum lhe deu a idiade procurar a planta do prdio da escola naPrefeitura e foi o que ela fez. Com a planta namo, resolveu fazer uma maquete de tal maneiraque a relao entre as medidas da maquete e asmedidas reais deveriam estar na razo 1: 50, isto, cada centmetro de comprimento na maqueterepresentava 50 cm na realidade ou cada 2 cmcorrespondia a 1 m.Fez sua maquete em cartolina, com uma base depapelo. Construiu um paraleleppedo pararepresentar o prdio principal, com as medidasadequadas e outro para representar a cantina. Noesqueceu de um prisma triangular para o telhadoda cantina. Recortou vrios retngulos para asjanelas e parte da porta e um semicrculo para oalto da porta. Com arame fino fez os enfeites doterrao do telhado, que foram fixados empequenos prismas de isopor.A exposio foi um sucesso e a menina chamou aateno dos visitantes para sua escola que, durantetantos anos, havia passado despercebida pelosmoradores do bairro, menos para as crianas,professores e funcionrios que l trabalhavam.Muitas pessoas se interessaram em saber se nessaescola havia trabalho voluntrio das pessoas dacomunidade, se a escola recebia os moradores dobairro para oferecer cursos de alfabetizao deadultos, de atendente de enfermagem etc, etc, etc.A partir desse dia, professores, alunos e demaisfuncionrios dessa escola,juntamente compessoas da comunidade, resolveram desenvolverum projeto de carter scio-educativo a cada ano.O primeiro foi o de alfabetizao de adultos.Figura27Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio3210DesenvolvendocompetnciasComoserqueameninafez?a) Se o prdio principal da escola tem 10 m de altura, 12 m de comprimento e 8 m delargura,quaisasmedidasdesseprdionamaquete?b)Dosmoldesabaixoqualvocachaqueameninautilizouparafazeroprdiodaescola?c)Eparafazerotelhadodacantina?d)Quantoscm2decartolinaameninagastounaconfecodoprdiodaescolaemsuamaquete?Terminando...Figura28Figura29Nestas poucas pginas, voc teve a oportunidadede refletir sobre a Matemtica como uma cinciaque foi e continua sendo construda pelahumanidade, no s em decorrncia de problemasque surgem em muitas situaes de nossarealidade, mas tambm por solicitao de outroscampos do conhecimento e por questes internas prpria Matemtica.Voc deve ter notado tambm que os problemasque resolvemos em nosso cotidiano tm carterCaptulo I A Matemtica: uma construo da humanidade33interdisciplinar: ningum sai de casa pensandohoje vou resolver um problema de subtraopara calcular o troco, quando fizer as compras nosupermercado.Muito provavelmente, alm do troco, precisofazer estimativas, para ver se o dinheirodisponvel para as compras ser suficiente ou se adata de validade conveniente, tendo em vista oritmo de consumo do comprador em relao aoproduto que est querendo comprar.Um comprador tambm precisa estar atento, nahora da compra, para o que mais vantajoso emtermos de preo: uma embalagem de molho detomate de 350 ml por R$ 2,80, ou outra, damesma marca, de 500 ml por R$ 3,80?Alm disso, preciso decidir por uma ou outramarca de um produto; prefervel comprar umproduto de marca comprovadamente idnea doAfinal...Por que a Matemtica importante? Por ser til como instrumentador para a vida. Por ser til como instrumentador para otrabalho. Por ser parte integrante de nossas razesculturais. Porque ajuda a pensar com clareza e araciocinar melhor. Por sua prpria universalidade. Por sua beleza intrnseca como construolgica, formaletc.Textoadaptadode:DAMBRSIO,Ubiratan.Etnomatemtica:arteoutcnicadeexplicareconhecer.SoPaulo:tica,c1990.88p.(Fundamentos;v.74)Figura30Figura31Figura3211DesenvolvendocompetnciasE voc o que acha?Oquemaisvantajoso:comprarumaembalagemdemolhodetomatede350mlporR$2,80ououtra,damesmamarca,com500mlporR$3,80?que de outra, desconhecida, da qual no sabemosa procedncia dos artigos utilizados na confecodo produto e os cuidados com seu preparo.No podemos esquecer tambm que, aoescolhermos este ou aquele supermercado parafazermos as compras, temos que levar em conta oque sabemos sobre a higiene do estabelecimento,seus procedimentos de estocagem, o tratamentoque os funcionrios dispensam aos fregueses, etc.Enfim, o problema das compras, como muitos emuitos problemas que resolvemos a todomomento em nossa vida, no se limita a um nicocampo do conhecimento humano.Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio34ConferindoseuconhecimentoVoc e as placas de trnsitoLargura mxima 1,8mMedidaGrandezamedida:comprimentoVelocidade mxima permitida: 80km/hMedidaGrandezamedida:velocidadeAltura mxima: 3mMedidaGrandezamedida:comprimentoRestaurante a 500mMedidaGrandezamedida:comprimento3a) Entre 1996 e 2001, o nmero de demitidos nem sempre cresceu. Ele diminui de 1998para 1999 e de 2000 para 2001.b) De 1996 a 1998 foram demitidos 75 + 96 + 134 = 305 policiais corruptos.De 1996 a 2001 foram demitidos 797 policiais corruptos. Logo,41 - f(n) = 1,20 . n + 3,502 - A=10 . l2305= 0,38 = 38%= 50%797~Agoracomvoc:De 1996 a 2001 foram demitidos 75 + 96 + 134 + 131 + 189 + 172 = 797 policiaiscorruptos.5Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade35Paravocdesvendarumaconstruoestranha:Comoasduasfigurassocompostaspelasmesmaspeas,entodeveriamtermesmarea.rea da Figura 33 = 64rea da Figura 34 + 65678tg o = = 2,66...352tg == 2,5 logo, o e no so iguais,porque suas tangentes sodiferentesAssim,osegmentoABnoumsegmentonaverdade,j que AX e XB tm inclinaes diferentes. Nessa Figura34 o que ocorre que as quatro peas no se juntamnomeio,masficamdispostascomoaolado.Oprimeirodereaextraareadoparalelogramosombreado,quenaFigura34estexagerada.Fazendoaspeas num quadriculado de 2cm x 2cm jsepodenotaroparalelogramo.Omodeloparadescreverotomodecarbonodecartergeomtrico.O tetraedro associado a esse modelo um poliedro: slido, cuja superfcie sempre pode serdecomposta num nmero finito de partes planas e poligonais (as faces).Figura33Figura348ImitandoBombelli:( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )- - - - - - - - - - - - - - -- - 225 15 5 15 =(5+5)+ 15 15 10 0 105 15 5 15 = - 15 25 15 25 15 405Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio36a bRepresentando-osnoplanocartesianoComo voc viu, os nmeros complexospodem ser postos na forma, onde ae b so nmeros reais. Nesse caso, quandob=0,onmeroficareduzidoaaqueindicasimplesmenteumnmeroreal.Issosignificaquetodonmerorealumnmerocomplexodaforma.9Registrandoosnmerosnaforma:a bCaptulo I A Matemtica: uma construo da humanidade37a)Namaquete,oprdiodeverter20cmde altura, 24 cm de comprimento e 16 cmdelargura.c)MoldedotelhadodacantinaMoldedoprdiodaescolaNamaquete No prdioE voc, o que acha?Efetuando-se R$2,80 : 350 ml obtm-se R$0,008 por 1ml de molho.Efetuando-se R$3,80 : 500ml obtm-se R$0,0076 por 1ml de molho.Entoomolhomaisbaratoosegundo,odaembalagemmaior.1011d) A menina gastou 2 . 24 . 20+2 . 24 . 10+2 . 20 . 10 = 1.840cm2 de cartolina.b)Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio38ORIENTAOFINALPara saber se voc compreendeu bem o que est apresentado neste captulo, verifique se est apto ademonstrar que capaz de: Identificar e interpretar, a partir da leitura de textos apropriados, diferentes registros do conhecimentomatemtico ao longo do tempo. Reconhecer a contribuio da Matemtica na compreenso e anlise de fenmenos naturais, e daproduo tecnolgica, ao longo da histria. Identificar o recurso matemtico utilizado pelo homem, ao longo da histria, para enfrentar e resolverproblemas. Identificar a Matemtica como importante recurso para a construo de argumentao. Reconhecer, pela leitura de textos apropriados, a importncia da Matemtica na elaborao deproposta de interveno solidria na realidade.Fabio OrfaliLGICA E ARGUMENTAO: DA PRTICA MATEMTICAAMPLIAR FORMAS DE RACIOCNIO E PROCESSOSMENTAIS POR MEIO DE INDUO, DEDUO,ANALOGIA E ESTIMATIVA, UTILIZANDO CONCEITOS EPROCEDIMENTOS MATEMTICOS.Captulo IIMatemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio40Captulo IILgica e argumentao:da prtica MatemticaArgumentaoVoc j pensou no que existe em comum entreuma propaganda de certo produto na televiso,um artigo do editorial de um jornal e um debateentre dois polticos? Essas situaes podemparecer bem diferentes, mas, se voc analisar comcuidado, ver que, nos trs casos, basicamente,tenta-se convencer uma ou mais pessoas dedeterminada idia ou teoria.Os criadores do comercial procuram convencer opblico de que aquele produto melhor do que ode seus concorrentes. O jornalista que escreve umartigo defende seu ponto de vista sobre umacontecimento do dia anterior e procuraconvencer os leitores de que suas idias so asmais corretas. J cada um dos polticos tentamostrar aos eleitores que possui melhorescondies de ocupar determinado cargo pblicodo que seu adversrio.Mas como convencer algum, ou ns mesmos, deque determinada idia , de fato, correta? necessrio que sejam apresentados fatos quejustifiquem aquela idia. Esses fatos so chamadosdeargumentos.Elesdevemserbemclaros,teruma relao lgica entre si, de tal maneira que aidia considerada seja uma conseqncia naturaldos argumentos apresentados.Nem sempre, porm, isso ocorre. Muitas vezes, aargumentao no feita de modo consistente e oresultado que aquela idia acaba no sendoaceita pelas outras pessoas. Observe o exemplo aseguir:Voc acha que o argumento utilizado pelo marido para justificar seu atraso est consistente?Figura1Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica41argumentar uma habilidade extremamenteimportante ao ser humano. Ora, os resultados deuma teoria matemtica s so aceitos medianteuma argumentao rigorosamente correta. o queosmatemticoschamamdedemonstrao.Assim, no estudo da matemtica, as regras doraciocnio lgico devem ser muito bemconhecidas e analisadas, o que leva aoaprimoramento de nossa capacidade deargumentar, mesmo em situaes fora damatemtica.Observe a histria abaixo:Voc j percebeu o quanto a argumentao importante no dia-a-dia das pessoas? Observe queutilizamos argumentos para convencer nossochefe de que merecemos um aumento, paraconvencer nossa namorada, ou namorado, a ir aocinema quando ela, ou ele, preferia ficar em casa,e em diversas outras ocasies. De uma boaargumentao pode mesmo depender o resultadode uma entrevista para se conseguir um novoemprego.Mas afinal como a matemtica se relaciona comtudo isso? J discutimos que a capacidade deFigura2Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio42A expresso utilizada por Juninho (CQD- comoqueramos demonstrar) foi emprestada daMatemtica. Ela normalmente usada ao final deuma demonstrao, quando os argumentosexpostos j so suficientes para comprovar aafirmao que foi feita inicialmente.Assim, o menino fez duas afirmaes, querendodizer que na sua cama o ambiente est tranqilo,aconchegante e fora dela a situao ruim,confusa. Neste instante, a me grita, pedindoauxlio com as compras. Ora, como algum podepreferir guardar compras a uma cama quente econfortvel? Para Juninho, essa uma prova deque l fora o caos. Por isso, na sua opinio,aquele era um argumento que demonstrava suasafirmaes iniciais.Muitas vezes, na vida real, usamos apenas um fatopara demonstrar que nossas idias soverdadeiras. Em certas ocasies isso aceitvel,em outras no.Observe os exemplos abaixo: No disse que aquele time no era bom? Aps 25jogos, ele foi derrotado no ltimo domingo. No disse que aquele poltico era desonesto? Foicomprovado pela polcia seu envolvimento como crime organizado.As duas argumentaes baseiam-se em apenas umfato. Em sua opinio, qual dos argumentos omais razovel?No ambiente cientfico, porm, as regras so bemmais rgidas. Uma afirmao no pode sercomprovada baseando-se em apenas um fato. Eesse rigor est muito presente na matemtica, deonde tiraremos vrios exemplos analisados nestecaptulo. Observe o dilogo abaixo:Paulo:Todo nmero elevado ao quadrado igual ao seu dobro.Cludia: Como voc pode comprovar isso?Paulo: Veja s: o quadrado de 2 22 = 4 e odobro de 2 tambm 4.Encontre um exemplo que mostre que a primeiraafirmao feita por Paulo falsa.Est vendo? Neste caso pode at ter sido fcilencontrar um exemplo mostrando que a afirmaoacima no verdadeira. Observe que o quadradode 3 32 = 9, mas o dobro de 3 2 x 3 = 6.Existem outros casos, porm, em que certocomportamento pode ser observado em muitosnmeros diferentes, o que nos d vontade de dizerque ele ocorre com todos os nmeros. Cuidado!Em Matemtica, analisar apenas alguns exemplosno suficiente para comprovar uma propriedade,pode no mximo nos dar uma pista de queaquela propriedade possa ser verdadeira.Vamos mostrar um outro exemplo, para ressaltarainda mais a importncia desse fato:Considere trs retas r, s e t que se cruzam numnico ponto P. possvel que r e s sejamperpendiculares e, ao mesmo tempo, r e t sejamperpendiculares?(Lembre que retas perpendiculares soaquelas que se cruzam formando ngulos retos,como mostra a Figura 3.)Figura3Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica43Tente pensar nesse problema antes de ler asoluo. Uma boa dica utilizar modelos pararepresentar as retas como, por exemplo, trscanetas, colocando-as em diferentes posies eobservando se, em alguma delas, uma dascanetas fica perpendicular, ao mesmo tempo, soutras duas.Ao tentar resolver esse problema, Carlos noutilizou modelos: foi fazendo diversos desenhos,imaginando a situao sugerida no enunciado. Noentanto, depois de desenhar as retas r e sperpendiculares, nunca conseguia uma posiopara a reta t, de tal modo que ela tambm ficasseperpendicular a r. Observe alguns dessesdesenhos:Muitos desenhos depois, sempre sem sucesso,Carlos finalmente concluiu: No possvelobtermos trs retas r, s e t nas condies doproblema. Os desenhos anteriores comprovam essaconcluso.Ao utilizar apenas desenhos, Carlos novisualizou todas as situaes possveis para asretas. Com as canetas, voc enxergoupossibilidades diferentes das de Carlos? Vocconcorda com o argumento utilizado em suaconcluso?Dias depois, olhando uma caixa de sapatos, Carlosfinalmente visualizou uma soluo para oproblema: conseguiu enxergar, sobre a caixa, trsretas que se cruzavam em um ponto e eramperpendiculares entre si!Se voc no encontrou a soluo do problema comas canetas, pegue uma caixa com o mesmoformato de uma caixa de sapatos e tenteencontrar a soluo de Carlos para o problema.Na Figura 5, voc encontra uma caixa parecidacom a utilizada por Carlos. Observe as retas r, s e tque passam por trs arestas da caixa.Figura4Figura5Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio441Note que Carlos, em seus desenhos, noconsiderou a possibilidade das trs retas noestarem no mesmo plano. Assim, mesmo quefizesse muitos desenhos, no conseguiriavisualizar a soluo do problema. Ento, suaargumentao inicial estava invlida do ponto devista matemtico: ele tirou uma conclusobaseando-se apenas em alguns desenhos, que norepresentavam todas as possibilidades.Ento no se esquea: embora no nosso dia-a-diafaamos isto em algumas situaes, em matemticano devemos generalizar uma afirmaobaseando-nos em apenas alguns exemplos, sembuscar uma comprovao daquele fato por umademonstrao que englobe todas as possibilidades.Desenvolvendocompetncias1.Observeosseguintesclculosefetuadosentrenmerosmpares:1 + 1 = 2 3 + 3 = 61 + 3 = 4 3 + 5 = 81 + 5 = 6 5 + 5 = 10Apartirapenasdosclculosefetuadosacima,vocpodeconcluirquesemprequesomamosdoisnmerosmpares,obtemoscomoresultadoumnmeropar?Porqu?2. Num torneio de basquete, seis equipes enfrentam-se entre si, num total de cinco rodadas.Seumaequipevencertodasassuaspartidas,automaticamentedeclaradacampe.Casocontrrio,asduasequipescommaiornmerodevitriasdisputamumafinalparadecidiracampe.Atabelaabaixomostraaposiodecadaequipe,apsarealizaodetrsrodadas:Pelasregrasdotorneioepelaanlisedatabelapode-seafirmarquea:a)equipeVseracampedotorneio.b) final do torneio ser entre as equipes III e IV ou entre as equipes IV e V.c) equipe V a nica que pode ser a campe sem ter de jogar a partida final.d) equipe I no pode mais ser a campe do torneio.Equipe Vitrias DerrotasTabela1I 1 2II 0 3III 2 1IV 2 1V 3 0VI 1 2Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica451 220 2102 100 3303 180 2104 230 360590 2506 200 1607 180 410Jorge 150 2702DesenvolvendocompetnciasNo ltimo ms, o consumo de energia eltrica na residncia de Jorge, apontado na conta deluz,teveumaumentosignificativo,subindode150para270kWh.Comoaparentementenohaviamotivoparatalaumento,Jorgecomeouadesconfiarqueoproblemapudesseserdacompanhiafornecedoradeenergiaeltrica.Porisso,eledecidiuperguntaraosseusvizinhosseelestinhamtidoproblemasemelhanteultimamente.ATabela2mostraoquecadavizinhorespondeu:Tabela21. Em quantas das 8 casas da rua de Jorge houve aumento do consumo de energia eltrica domsdemaroparaomsdeabril?2.Dasresidnciasondehouveaumentodoconsumo,emquantasesseaumentofoimaiordoque100kWh?3.Utilizandocomoargumentoosnmerosdatabelaacima,vocdiriaqueacompanhiafornecedoradeenergiaeltrica:a) certamentearesponsvelpeloaumentodoconsumodeenergianascasasdaruadeJorge.b) provavelmentearesponsvelpeloaumentodoconsumodeenergianascasasdaruade Jorge.c) provavelmentenotemrelaocomoaumentodoconsumodeenergianascasasdaruade Jorge.d) certamentenotemrelaocomoaumentodoconsumodeenergianascasasdaruadeJorge.4. Jorge vai solicitar companhia fornecedora de energia eltrica que verifique se halgumproblemacomainstalaoeltricadesuarua,quepossaexplicaroaumentodoconsumodeenergiaemalgumascasas.Paraisso,eledevepreencherumformulrio,fazendoumapequenajustificativadeseupedido.Escreva,emnomximotrslinhas,essajustificativa,dandoargumentosqueconvenamacompanhiadanecessidadedeenviarumtcnico rua de Jorge. Casa Consumoemmaro(kWh) Consumo em abril (kWh)Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio46SilogismosEmbora, do ponto de vista matemtico, aargumentao de Jlio no esteja rigorosamentecorreta (no podemos generalizar uma conclusoa partir de apenas trs observaes), voc tomariaa mesma atitude que Jlio? Por qu?Note que o fato de Jlio ter passado maljustamente nos trs dias em que almoou lpoderia ser uma coincidncia. Como, porm, nose tratava de uma comprovao cientfica, baseadaem argumentos rigorosos, Jlio preferiu no searriscar e no voltou mais ao restaurante.Vamos tentar agora obter uma conclusobaseando-nos em argumentos rigorosos.Observe este exemplo: Toda ave tem penas. As garas so aves.Que concluso pode-se tirar a partir das duasafirmaesacima?Bem, se voc respondeu que as garas tm penas,ento acertou. Se voc no tinha chegado a essaconcluso, tente pensar por que ela est correta.Note ainda que, no caso de Jlio, a concluso erabem provvel, mas no era necessariamenteverdadeira. J nesse exemplo, considerando asduas afirmaes iniciais, a concluso obrigatoriamenteverdadeira.Este tipo de argumentao, composta de duasafirmaes e uma concluso, conhecida comosilogismoefoimuitoestudadapelosfilsofosgregos.Observe agora o seguinte silogismo: Todos os carros da marca X tm direohidrulica. Alguns carros da marca Y tm direohidrulica.Logo, alguns carros da marca X so da marca Y.Note que a concluso do silogismo certamenteinvlida, pois um carro no pode ser ao mesmotempo de duas marcas. Explique, nesse caso, porque, considerando as duas afirmaes iniciais, aconcluso no necessariamente verdadeira.Flvia possui dois filhos: Pedro, de 7 anos, eAmanda, de 3 anos.Considerando as afirmaes acima, o que Flviapode concluir? Ela deve levar seus dois filhos aum posto de sade?Como voc pde notar no exemplo acima, muitocomum, a partir de duas ou mais afirmaes,tirarmos concluses sobre um determinadoassunto. Quando, porm, essas concluses sovlidas? Em outras palavras, ser que existemmaneiras que nos ajudem a decidir se a conclusoobtida realmente era uma conseqncia necessriadas afirmaes iniciais?A resposta sim: dentro daquilo que osmatemticos chamam de raciocnio formal, existemregras claras para decidir se um argumento ouno vlido. muito til trabalharmos algunsexemplos disso, que nos ajudem a melhorar nossasargumentaes e a no aceitar certasargumentaes completamente sem fundamentos.Lembre-se sempre, porm, de uma coisa: a nossavida cotidiana no exige tanta preciso quanto amatemtica. Em algumas situaes do dia-a-dia,certos raciocnios, embora no sejamrigorosamente corretos, so plenamente aceitveis.Observe o exemplo: Jlio foi almoar trs sextas-feiras seguidasem um restaurante que foi inauguradorecentemente perto de seu trabalho. Nas trsvezes, acabou passando muito mal doestmago. Concluiu que a comida dorestaurante no lhe fazia bem e decidiu queno almoaria mais naquele lugar.A vacina contra a Paralisia Infantil vai estardisponvel nos postos de sade at o dia 31de agosto. Todas as crianas com menos decinco anos de idade devem tomar a dose.Fonte:http://www.saude.sc.gov.brObserve a frase abaixo, sobre a campanha devacinao contra a paralisia infantil:Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica47Observe agora este outro exemplo:A direo de uma empresa decidiu que somente osfuncionrios que trabalham h mais de 10 anos nafirma tm direito de solicitar ao setor debenefcios emprstimo para compra de casaprpria. O funcionrio mais antigo dodepartamento de compras trabalha na empresa h7 anos.Se o Sr. Odcio trabalha no departamento decompras, pode-se concluir que:a) dentre os funcionrios do departamento decompras, somente o Sr. Odcio no tem direitode solicitar emprstimo para compra de casaprpria.b) somente os funcionrios do departamento decompras no tm direito de solicitaremprstimo para compra de casa prpria.c) no possvel saber se o Sr. Odcio tem direitode solicitar emprstimo para compra de casaprpria, pois no sabemos h quanto tempo eletrabalha na firma.d) o Sr. Odcio e todos os demais funcionrios dodepartamento de compras no tm direito desolicitar emprstimo para compra de casaprpria.Na realidade, temos trs afirmaes iniciais equeremos, a partir delas, tirar uma concluso:1. Somente funcionrios com mais de 10 anos naempresa tm direito de solicitar emprstimo paracompra de casa prpria.2.Nenhumfuncionriododepartamentodecompras tem mais de 10 anos na empresa (pois omais antigo tem 7 anos).3. O Sr. Odcio trabalha no departamento decompras.Usando as informaes 2 e 3, conclumos que oSr. Odcio trabalha na empresa h menos de 10anos. Ento, usando a informao 1, conclumosque ele no tem direito a solicitar emprstimopara compra da casa prpria.Note ainda que, usando as informaes 1 e 2,podemos concluir que nenhum funcionrio dodepartamento de compras tem direito de solicitaremprstimo para compra de casa prpria. Assim,conclumos que a alternativa correta d.Vamos analisar tambm a alternativa b. Peloenunciado, no podemos afirmar com certeza sea afirmao est correta, pois podem existiroutros funcionrios com menos de 10 anos naempresa que no trabalham no departamento decompras e, portanto, no tm direito de solicitaremprstimo para compra de casa prpria. Sendoassim, a afirmao no pode ser consideradacorreta.3Desenvolvendocompetncias1.Numaescolaparticular,20dassuas100vagassoreservadasaalunosque,porsedestacaremnosestudos,nopagammensalidade.Metadedessesalunosparticipamdotimedefuteboldaescola.Apartirdessasinformaes,pode-seconcluirque:a) Pelo menos 10 alunos da escola fazem parte do time de futebol.b)Todososintegrantesdotimedefuteboldaescolanopagammensalidade.c)Algunsalunosquepagammensalidadefazempartedotimedefutebol.d)Metadedosintegrantesdotimedefutebolnopagammensalidade.Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio484DesenvolvendocompetnciasOdiagramaabaixo(Figura6)mostraadistribuiodosalunosdeumaescoladeEnsinoMdionoscursosoptativosquesooferecidosnoperododatarde:T: curso de teatroF: curso de fotografiaD: curso de danaNotequeodiagramamostra,porexemplo,queapenas1alunofreqentaostrscursosaomesmotempoeque31alunosnofreqentamnenhumdoscursosoptativos.1. Dever ser entregue um aviso por escrito a todos os alunos que freqentam mais de um cursooptativo. Assim, o nmero de alunos que receber o aviso igual a:a) 30 b) 13 c) 12 d) 12. Os nmeros de alunos matriculados nos cursos de teatro, de fotografia e de dana so,respectivamente:a) 10, 12 e 8 b) 11, 7 e 9 c) 16, 18 e 20 d) 21, 19 e 17Diagramas e problemas numricos construo de um espao de recreao e prticade esportes para crianas construo de uma sala para leitura e realizaode palestras nenhuma das duasOs dados da pesquisa, que foi respondida portodas as famlias, foram organizados na tabelaabaixo:Na atividade 4, ns utilizamos diagramas pararepresentar as quantidades de alunos quefreqentavam cada um dos cursos optativosoferecidos pela escola. Vamos agora, usandodiagramas, resolver outros problemas envolvendoquantidades numricas.A associao de moradores de uma comunidadeconseguiu verba para melhorar o centro decultura e lazer existente em sua sede. Decidiu-se,ento, fazer uma consulta aos membros dacomunidade, para definir a melhor maneira deaplicar o dinheiro.Cada uma das 250 famlias recebeu uma ficha coma seguinte pergunta: Quais das opes abaixo asua famlia considera importantes para o centrode cultura e lazer de nossa comunidade? Asopes de resposta eram:Figura6Opo Nderespostasespaopararecreaoe111Tabela3183 24esportessalaparaleituraepalestrasnenhumadasduasCaptulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica49(dentro de F, mas fora de R e fora de L, ou seja,dentro do retngulo, mas fora dos dois crculos).Para preenchermos o diagrama com dadosnumricos, devemos comear pela regio deinterseco, pois as outras regies dependem dela.Como no conhecemos, no nosso problema,quantas famlias esto nessa regio, chamamosesta quantidade de x.H 111 famlias que optaram pelo espao pararecreao. Destas, x tambm optaram pela sala deleitura. Ento, 111 - x so as que optaramapenas pelo espao para recreao. Com o mesmoraciocnio, conclumos que 183 - x optaramapenas pela sala de leitura. Como 24 no seinteressaram por nenhuma das duas obras, nossodiagrama fica:Um lder comunitrio, ao observar a Tabela 3anterior, perguntou se muitas famlias seinteressaram tanto pelo espao para recreao eesportes quanto pela sala de leitura, pois,dependendo da quantidade,eles poderiam pensar em adiar a compra de umcomputador para a associao, que estavaprogramada, e construir as duas coisas.A partir dos dados da tabela, possvel identificarquantas famlias se interessaram pelas duas obras,quantas apenas pelo espao para recreao equantas apenas pela sala de leitura?Pode ser que, fazendo apenas algumas contas,voc consiga responder questo acima. Mas e sea pesquisa fosse mais complexa e o questionrioenvolvesse trs opes, por exemplo?Por isso, bastante til representarmos oproblema acima com diagramas. Observe aFigura 7. Nela, F o conjunto de todas asfamlias, R o conjunto das famlias que optarampelo espao de recreao e L o das que optarampela sala de leitura. Quais famlias estariamrepresentadas na regio quadriculada dodiagrama?Como h 250 famlias na comunidade, a soma dasquantidades das quatro regies deve ser igual a250. Obtemos, ento, a seguinte equao:(111 x) + x + (183 x) + 24 = 250318 x = 250x = 68x = 68Com isso, conclumos que 68 famlias estointeressadas pelas duas obras. Somente peloespao para recreao, existem 111 68 = 43famlias interessadas. Somente pela sala de leitura,so 183 68 = 115 famlias interessadas.Note que a soma 68 + 43 + 115 + 24 deve serigual ao total de famlias, ou seja, 250.Figura7Observe que a regio quadriculada na figurapertence tanto ao conjunto R quanto ao L e porisso reservada s famlias que optaram pelasduas obras, pois isso era possvel na pesquisa.Dizemos que essa regio corresponde interseco dos dois conjuntos.H ainda uma regio reservada s famlias queno se interessam por nenhuma das duas obrasFigura8Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio50Apartirdosdadosdogrfico,pode-seconcluirqueonmerodeentrevistadosquehabitualmente lem os jornais I e II igual a:a) 44 b) 55 c) 63 d) 712.Umaacademiadeginstica,apsainauguraodesuapiscina,ofereceumaisdoiscursosaseusfreqentadores:hidroginsticaenatao.52pessoasinscreveram-senahidroginsticae 47 na natao. Constatou-se que 7 pessoas inscreveram-se nos dois cursos. Ento, onmero de pessoas que se interessaram por pelo menos um dos novos cursos :a) 106 b) 99 c) 92 d) 85Implicao1. A frase abaixo foi retirada de uma propagandaveiculada em um jornal de grande circulao ediz respeito a uma grande festa promovida poruma empresa:SE VOC NO CONSEGUIU INGRESSO PARA AFESTA DESTE ANO,TENTE ENCARAR PELO LADO BOM:VOC DANOUAs pessoas que no conseguiram ingresso, nopuderam ir festa deste ano. Sendo assim, apalavra danou foi utilizada na propagandacom qual significado?Note que existe uma relao entre dois fatosmencionados na propaganda: SE voc noconseguiu ingresso, ENTO danou. Esta uma5Desenvolvendocompetncias1. O Grfico 1 mostra uma pesquisa realizada com 500 pessoas sobre o seu hbito deleitura dos jornais I e II:relao de causa e conseqncia (tambmchamada de causa e efeito):CAUSA no conseguiu ingressoCONSEQNCIA danouEm matemtica, esta relao conhecida comoimplicaoerepresentadapelosmbolo: = == ==Poderamos representar nosso exemplo daseguinte maneira:no conseguiu ingresso = == == danou2. Vamos analisar agora um outro exemplo deimplicao. Suponha que voc chegue a sua casa eobserve que a rua est molhada.A partir desse fato, voc pode concluir que choveuna sua casa naquele dia?Grfico1Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica51Note que a sua rua pode estar molhadaporque algum cano de gua se rompeu oualgum estava regando as plantas do jardim.Ento, no possvel afirmar com certezaque choveu naquele dia.Pensando sobre essa situao, observe as duasimplicaes abaixo:1)Se chove, ento a rua fica molhada.2)Se a rua est molhada, ento choveu.As duas implicaes acima tm o mesmosignificado?Repare que, apesar de serem muito parecidas (aimplicao 2 a implicao 1 invertida), as duasfrases no tm o mesmo significado. A nica coisaque fica garantida com a primeira frase que, nocaso de ocorrer chuva, a rua ficar molhada. Ocontrrio, porm, no necessariamenteverdadeiro. Como j vimos, a rua pode estarmolhada sem que tenha chovido.Inverter uma relao de implicao um errobastante comum em argumentaes, que no deveser feito. Existe, no entanto, uma maneiraequivalente de escrevermos uma implicao,muito utilizada em matemtica, que iremosdiscutir a seguir.3. Observe a questo abaixo:O prefeito de uma cidade declarou imprensaque, se forem contratados mais mdicos para ohospital municipal, ento os impostos devero seraumentados. Qual das frases abaixo equivalente declarao do prefeito?1) Se os impostos aumentaram, ento maismdicos foram contratados para o hospitalmunicipal.2) Se os impostos no aumentaram, ento noforam contratados mais mdicos para o hospitalmunicipal.3) Se no foram contratados mais mdicos para ohospital, ento os impostos no foramaumentados.Note que a afirmao inicial do prefeito umaimplicao:contratao de novos mdicos = == == aumento deimpostosObserve ainda que outros fatores podem levar aoaumento de impostos: a contratao de novosprofessores para a escola municipal ou oaumento do salrio dos funcionrios daprefeitura pode levar a um aumento de impostos,mesmo que no sejam contratados novosmdicos. Ento, no correto afirmar que se osimpostos aumentaram, obrigatoriamente novosmdicos foram contratados. Assim, a afirmao 1no est correta.Da mesma maneira, mesmo que no tenham sidocontratados novos mdicos, os impostos podemter subido, devido a outros motivos. Logo, aafirmao 3 tambm no est correta.Mas uma coisa, porm, certa: se os impostos notiveram de ser aumentados, podemos concluir queno foram contratados novos mdicos (afinal, sefossem contratados, os impostos subiriam). Aafirmao 2 , portanto, equivalente frase inicialdo prefeito.Vamos fazer um esquema das concluses quetiramos:contratao de mdicos= == == aumento de impostosAssim, se temos uma afirmao a que implica umaafirmao b, isto equivalente a dizer que no bimplica no a. Veja:a = == == bEQUIVALENTE A no b = == == no aEsse esquema dado acima pode ajud-lo a decifrarum argumento, principalmente quando as frasesso muito longas ou complexas. Basta transformaras afirmaes em smbolos!no aumento de impostos= == == no contrataode mdicosMatemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio526DesenvolvendocompetnciasDesenvolvendocompetncias1. Um analista econmico disse, em uma entrevista televiso, que, se os juros internacionais estiveremelevados, ento a inflao no Brasil crescer. A partir dessa afirmao, pode-se concluir que, certamente:a) se os juros internacionais estiverem baixos, ento a inflao no Brasil diminuir.b) se a inflao no Brasil no tiver crescido, ento os juros internacionais estaro baixos.c) se a inflao no Brasil tiver crescido, ento os juros internacionais estaro elevados.d) se os juros internacionais no forem elevados, ento a inflao brasileira cair ou ficar igual.2. Um quadriltero um polgono de 4 lados. A Figura 9 mostra um quadriltero ABCD. Os segmentosAC e BD so chamados diagonais do quadriltero. Lembre-se que um retngulo e um quadrado soquadrilteros.As duas afirmaes abaixo, sobre quadrilteros, so verdadeiras. Se um quadriltero um quadrado, ento ele tambm um retngulo. As diagonais de qualquer retngulo so congruentes (isto , tm a mesma medida).A partir das informaes acima, correto afirmar que:a) se um quadriltero tem as diagonais congruentes, ento ele um quadrado.b) todo retngulo tambm um quadrado.c) um quadriltero que no um quadrado no pode ter as diagonais congruentes.d) um quadriltero que no tem as diagonais congruentes no pode ser um quadrado.Figura9Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica53DeduoNote que a menina dona do ursinho sabe quem foio autor da brincadeira. Utilizando-se de umraciocnio dedutivo ela concluiu quem teriadeixado o ursinho do outo lado da margem,baseando-se em um fato: o menino est molhado!Tente lembrar-se de uma situao que lhe tenhaocorrido, em que voc utilizou a deduo.Figura10Vamos usar o que discutimos sobre argumentaopara entender como se organizam as teoriasmatemticas, ou seja, como as pessoas conseguemdescobrir novos fatos dentro da matemtica econvencer-se de que eles so verdadeiros.Na matemtica, assim como no nosso dia a dia,usamos com muita freqncia o raciocniodedutivo.Observeahistriaabaixoparaentender o que chamamos de deduo:Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio54Vamos agora, partindo de alguns fatosmatemticos, deduzir um novo fato, que voctalvez j tenha ouvido falar: a soma dos ngulosinternos de qualquer tringulo sempre iguala 180.I. Fatos iniciaisa) Considere, em um plano, uma reta r e um pontoP fora de r, como mostra a Figura 11. Ento,existe uma nica reta s, paralela a r, passandopelo ponto P.b) Considere, num plano, duas retas paralelas a eb, como mostra a Figura 12, e uma retatransversal t. Ento, os ngulos o e assinalados na figura so congruentes, isto ,tm medidas iguais.c) Se um ngulo raso (ngulo de meia volta) dividido em trs ngulos, ento a soma dessesngulos igual a 180.II. Deduo da propriedadeVamos considerar um tringulo ABC qualquer,cujos ngulos internos medem x, y e z, comomostra a Figura 14.Pelo fato a, podemos desenhar uma reta r,paralela ao lado BC, passando pelo ponto A.Finalmente, pelo fato c conclumos quex + y + z = 180. Acabamos de deduzir que asoma dos ngulos internos de qualquer tringulo sempre igual a 180. Note que a nossa deduo muito parecida com a da menina do ursinho oucom aquela que usamos no dia-a-dia: partindo dealguns fatos conhecidos e usando argumentoslogicamente vlidos, podemos produzir novasafirmaes, tambm verdadeiras. A nicadiferena que na matemtica sempre deixamosclaros os fatos iniciais que estamos utilizando, oque no cotidiano nem sempre fazemos.Figura11Figura12Figura14Figura15Figura16Pelo fato b, podemos representar:Figura13Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica557DesenvolvendocompetnciasUsandocomofatoconhecidoqueasomadosngulosinternosdequalquertringulovale180,deduzaquantovaleasomadosngulosinternosdeumquadriltero.Sugesto:utilizeaFigura17edividaoquadrilteroemdoistringulos.Vamos observar agora a deduo de umapropriedade algbrica. Utilizando a propriedadedistributiva da multiplicao, deduza umamaneira equivalente de escrever o produto(a + b) . (a - b).Vamos relembrar a propriedade distributiva damultiplicao antes de iniciarmos nossa deduo.Desenvolva o produto 2y . (y - 3).Note que o fator 2y deve ser distribudo tantoao y quanto ao 3. Assim:Voltando nossa pergunta, vamos desenvolver oproduto (a + b) . (a - b) utilizando a propriedadedistributiva:Note que usamos tambm a lei do cancelamentoda adio: a . b - a . b = 0. Assim, conclumos que(a+b).(ab)=a2b2 .Figura17Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio568DesenvolvendocompetnciasUtilizandoapropriedadedistributivadamultiplicao,deduzaumamaneiraequivalentede escrever o produto (a + b)2.Sugesto: Lembre-se de que (a + b)2 = (a + b) . (a + b).InduoObserve a seguinte seqncia de figuras:Figura12 345Bolinhas 1 x 1=1 2 x 2=4 3 x 3=94 x 4=16 5 x 5=25Figura18Note que o nmero de bolinhas em cada figura vaiaumentando seguindo uma certa lei. De acordocom essa lei,a) desenhe a 5 figura dessa seqncia.b) Quantas bolinhas h na Figura 5?c) Responda, sem fazer o desenho, quantasbolinhas h na figura 6?Ao fazer o desenho, voc deve ter observado quea 5 figura possui 25 bolinhas.Em seguida, voc pde, sem fazer o desenho, darum bom palpite sobre o nmero de bolinhasexistentes na 6 figura. Para isso, voc teve deanalisar o comportamento das figuras anteriores.Observe a Tabela 4 abaixo:Se o comportamento for mantido, esperaremosque a 6 figura tenha 6 . 6 = 36 bolinhas. Fazendoo desenho, voc pode comprovar que, de fato,esse o nmero de bolinhas da figura 6 e quenosso palpite estava certo.O raciocnio que utilizamos na nossa resposta, semfazer o desenho, um exemplo do que chamamosraciocnioindutivo.Apartirdaobservaodealguns casos particulares, identificamos umcomportamento que se repetia e fizemos umaconjectura(ouseja,umpalpite).Observe que o raciocnio indutivo, emmatemtica, ajuda-nos a desconfiar de umresultado e, por isso, extremamente importante.Tabela4Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica57No entanto, no devemos considerar vlida umaconcluso baseando-nos apenas na induo. Nonosso caso, o desenho da 6 figura da Figura 18poderia nos confirmar a validade de nossaconcluso.Esse fato no tira a importncia do raciocnioindutivo. graas a ele que a maioria dasdescobertas em matemtica e nas demais cinciasfoi feita. Normalmente, da observao de umcomportamento que se repete em alguns casosparticulares que os cientistas tiram inspiraopara estudar determinado fenmeno. O raciocniodedutivo, depois, serve para confirmar ou noaquelas suspeitas.No nosso caso, poderamos usar um argumentogeomtrico para confirmar o nosso palpite: a6 figura da Figura 18 um quadrado com 6bolinhas em cada lado. Sendo assim, possui 6fileiras com 6 bolinhas cada, ou seja, 6 . 6 = 36bolinhas. Observe ainda que, com esse argumento,poderamos generalizar a nossa concluso: afigura n possui n . n = n2 bolinhas.9DesenvolvendocompetnciasDesenvolvendoCompetncias1.Considereasequnciadefigurasformadasporbolinhas,representadanafigura18.Noteque,emcadafigura,acrescentamosumanovacamadadebolinhas,todasdamesmacor.Assim,a4 figura,porexemplo,eraformadapor4camadasdebolinhas:1(laranja)+3(brancas)+5(laranjas)+7(brancas)=16bolinhas.a) Usandoa5figura,desenhadaporvoc,tente,semefetuaraadio,preveroresultadoda soma 1 + 3 + 5 + 7 + 9.b) Note que o resultado que voc obteve no item a a soma dos 5 primeiros nmerosmparespositivos.Usandoesseraciocnio,tentepreveroresultadodasomados10primeirosnmerosmparespositivos.2.Umrestaurantetemmesasretangularesdediferentestamanhos,paraacomodarumnmero diferente de clientes. A Figura 19 mostra os trs menores tipos de mesa e onmerodeclientesacomodadosemcadaumdeles:Figura19Seguindoomesmopadroapresentadonaseqnciadefigurasacima,onmerodeclientes que podem ser acomodados em uma mesa do tipo 6 :a) 12 b) 14 c) 16 d) 18Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio58SeqnciasOs jogos olmpicos, o mais importante eventoesportivo do planeta, ocorrem a cada 4 anos. Osltimos jogos olmpicos ocorreram na cidade deAtenas, no ano de 2004. possvel sabermos emquais anos teremos a realizao de jogosolmpicos? Ora, essa no uma pergunta difcil,j temos as informaes necessrias pararespond-la:2004, 2008, 2012, 2016, 2020, ...Os nmeros acima formam uma seqncia. Noteque obedecemos uma ordem ao escrevermos essesnmeros. Dizemos que 2004 o 1 termo daseqncia, 2008 o 2 termo, 2012 o 3 termoe, assim, sucessivamente. Essa informaonormalmente dada de maneira mais resumida.Observe:a1 = 2004a2 = 2008a3 = 2012Quem , na nossa seqncia, a4? E a6?A nossa seqncia formada por nmeros, mastambm podemos estudar seqncias de figuras,objetos, letras ou qualquer outra coisa quedesejarmos.Note que existe uma lei em nossa seqncia, quenos permite descobrir quais sero os seusprximos elementos. Nem sempre, porm, issoocorre. Imagine que a seqncia (3, 0, 2, 1, 1, 2)seja o nmero de gols que uma equipe marcounos 6 primeiros jogos de um campeonato. possvel sabermos o prximo elemento dessaseqncia apenas observando os anteriores?Neste captulo, vamos estudar apenas asseqncias que obedecem alguma lei, permitindoprever quais sero seus prximos elementos. Comisso, estaremos utilizando tanto o nosso raciocniodedutivo quanto o indutivo.Uma estrada possui telefones de emergncia a cada3 quilmetros. O primeiro telefone est colocado noquilmetro 2 da estrada.a) Determine a localizao dos cinco primeirostelefones de emergncia.b) Determine a localizao do 72 telefone deemergncia.c) Se a estrada tem uma extenso de 350 km,quantos telefones de emergncia ela possui?a) Observe que, das informaes do enunciado,percebemos a existncia de um padro regularna colocao dos telefones. Assim, partindo doquilmetro 2, basta acrescentarmos 3quilmetros para obtermos a localizao doprximo telefone:Figura21Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica59Ento, os cinco primeiros telefones de emergnciaesto localizados nos quilmetros 2, 5, 8, 11 e 14.b) possvel obtermos a localizao do 72telefone da mesma maneira que fizemos no itemanterior, ou seja, somando 3 quilmetros 12345TelefoneOperao realizadaLocalizao (km)2 + 32 + 3 + 32 + 3 + 3 + 32 + 3 + 3 + 3 + 32581114Note que temos de efetuar uma srie de adies,sempre com a mesma parcela 3. Ento, podemos2 + 1 . 32 + 2 . 32 + 3 . 32 + 4 . 3258111412345TelefoneOperao realizadaLocalizao (km)Voc percebe a relao entre o nmero do telefonee o fator pelo qual devemos multiplicar o 3?Observe que o fator pelo qual multiplicamos o 3 sempre um a menos do que o nmero do telefone(telefone 52 + 4 . 3). De maneira semelhante,para o 72telefone, teramos:telefone 72 2 + 71 . 3 = 215Ento, o 72telefone estariano quilmetro 215.c) Para responder a esta pergunta, vamos tentargeneralizar a concluso que tiramos no item b.Lembre-se que o fator pelo qual multiplicamos o3 sempre um a menos do que o nmero dotelefone. Ento, vamos considerar um telefonegenrico n. De acordo com a concluso acima,ento, a sua localizao seria:telefone n 2 + (n - 1) . 3A expresso acima chamada lei de formao daseqncia. Note que, a partir dela, possvelobtermos a localizao de qualquer telefone,bastando para isso substituir a varivel n pelonmero do telefone cuja localizao desejamossaber. Por exemplo, para sabermos a localizaodo 58telefone, basta fazermos:telefone 58 2 + (58 - 1) . 3 = 2 + 57 . 3 = 173,isto , o 58 telefone est localizado noquilmetro 173.Tabela5Tabela6localizao de cada telefone para obter alocalizao do seguinte e, assim,sucessivamente. Deve haver, porm, umamaneira mais simples, voc no acha? Vamostentar estabelecer um padro:efetuar essa operao utilizando a multiplicao.Olhe como fica melhor:Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio60Voltando nossa pergunta, desejamos saber onmero do telefone que est localizado noquilmetro 350 (seria o ltimo telefone daestrada). Nesse caso ento, conhecemos alocalizao (350) e queremos obter o valor de ncorrespondente. Basta ento resolvermos estaequao:350 = 2 + (n 1) . 3Aplicando a propriedade distributiva, temos:350 = 2 + 3n 3350 2 + 3 = 3n351 = 3n = nn = 117n = 1 a1 = 4 + 2 . 12.a1 = 4 + 2 .a1 = -2n = 2a2 = 4 + 2 . 22.a2 = 4 + 8 .a2 = 4n = 3a3 = 4 + 2 . 32 .a3 = 4 + 18.a3 = 14n = 4a4 = 4 + 2 . 42.a4 = 4 + 32.a4 = 28n = 5a5 = 4 + 2 . 52.a5 = 4 + 50.a5 = 46Ento, os cinco primeiros termos dessa seqncia so: 2, 4, 14, 28 e 46.Portanto, a estrada conta com 117 telefones deemergncia.Voc notou como a lei de formao da seqncia importante? Com ela, podemos obter qualquertermo da seqncia, bastando para isso substituira varivel n pela posio do termo que queremosdescobrir. Por exemplo, se a lei de formao deuma seqncia :an = 4 + 2n2e desejamos obter os cinco primeiros termos daseqncia, basta fazermos:Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica6110Desenvolvendocompetncias1.Sealeideformaodeumaseqnciadadaporan=n+n2,entoosegundo(a2)eoquinto(a5)termosdessaseqnciaso,respectivamente:a) 6 e 30b) 16 e 30c) 6 e 100d) 16 e 1002.Umapessoa,desejandorecuperaraformafsica,elaborouumplanodetreinamentoqueconsistia em caminhar por 20 minutos no primeiro dia, 22 minutos no segundo dia, 24minutosnoterceirodiaeassimsucessivamente.Umaleiquepermitecalcularquantosminutosessapessoacaminharianodiandadapor:a) 20 . (n 1) + 2b) 20 . n + 2c) 20 + (n 1) . 2d) 20 + n . 2Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio62Conferindoseuconhecimento1234567891.No,poisemmatemticanopodemosconcluirqueumfatoverdadeiroapartirapenasdaobservaodealgunsexemplos.possvelque,paraalgumcasoquenoanalisamos,aquelefatonoseverifique.2.Resposta:(c)(notequeaalternativa(c)faladeumapossibilidade,aequipeVpodesera campe, enquanto que a alternativa (a) fala de uma certeza a equipe V ser a campe,oquenopodeserafirmado,poisaindafaltamduasrodadasparaotrminodotorneio).1. 6 2. 5 3.Resposta:(b)4.Cincodasoitocasasdaruativeramumaumentodemaisde100KWhemsuascontasdeluz,demaroparaabril.Nohavendomotivoaparenteparatalaumento,solicitamosavisitadeumtcnicoparaverificarsehproblemasnaredeeltricadarua.1.Resposta:(a)1.Resposta:(b) 2.Resposta:(d)1.Resposta:(b) 2.Resposta:(c)1.Resposta:(b) 2.Resposta:(d)360 (Note que o quadriltero pode ser dividido em dois tringulos. Como a soma dos ngulosinternos de cada tringulo 180, obteremos para o quadriltero 180 + 180 = 360).(a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a . a + a . b + a . b + b . b = a2 + 2ab + b21. a) 5 . 5 = 25 b) 10 . 10 = 100 2.Resposta:(b)101.Resposta:(a) 2.Resposta:(c)Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica63ORIENTAOFINALPara saber se voc compreendeu bem o que est apresentado neste captulo, verifique se est apto ademonstrar que capaz de: Identificar e interpretar conceitos e procedimentos matemticos expressos em diferentes formas. Utilizar conceitos e procedimentos matemticos para explicar fenmenos ou fatos do cotidiano. Utilizar conceitos e procedimentos matemticos para construir formas de raciocnio que permitamaplicar estratgias para a resoluo de problemas. Identificar e utilizar conceitos e procedimentos matemticos na construo de argumentaoconsistente. Reconhecer a adequao da proposta de ao solidria, utilizando conceitos e procedimentosmatemticos.Elynir GarrafaCONVIVENDO COM OS NMEROSCaptulo IIICONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JEXISTENTES PARA OS NMEROS NATURAIS,INTEIROS, RACIONAIS E REAIS.Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio66Captulo IIIConvivendocom os nmerosO sistema numricoMuitos sculos se passaram at que os hindusdesenvolvessem o sistema de numerao decimal.Por no haver muitos documentos sobre aMatemtica conhecida na Antigidade, impossvel saber, com exatido, quando issoaconteceu. Estima-se ter sido por volta do sculoV d.C.Os algarismos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9escolhidos para compor o sistema denumeraodecimal e posicionalforam por muito tempodenominados erroneamente algarismos arbicos,por terem sido apresentados pelos rabes. Porvolta do sculo VII, ao entrarem em contato com acultura hindu e motivados pela simplicidade epraticidade do sistema de numerao encontrado,tornaram-se seus divulgadores em todo o Oriente.Assim, mais tarde, esses algarismos passaram a serconhecidos comohinduarbicos.Em toda a Europa, durante muitos sculos, osistema numrico usado era o romano e, apesar dasimplicidade do sistema hindu-arbico, houvemuita resistncia sua adeso, que s aconteceuefetivamente no sculo XVI.Outro fato historicamente interessante foi a origemdo nmero zero. No h consenso entre oshistoriadores sobre a inveno do zero, atribudatanto aos povos da Mesopotmia quanto aos rabes,hindus e chineses. Arquelogos identificaram umsmbolo para esse nmero em tbuas de escritacuneiforme de 300 a.C., feitas na Mesopotmia,numa poca em que a regio era dominada pelospersas. A inveno do zero aumentou a precisode todos os clculos e trouxe um grandedesenvolvimento para a aritmtica e a astronomia.Osistema de numerao hinduarbico o queutilizamos.Os nmeros fazem parte efetiva do nossocotidiano. Esto em toda parte, nos cercam.Precisamos deles. Abrimos o jornal e nosdeparamos com notcias repletas de nmeros.Atravs deles nos expressamos diariamente.Voc j deve ter ouvido frases como estas... Meu tapete mede 2 metros por 3 metros. O maior vrus conhecido mede 0,00025 cm. A parte correspondente a do meu salrio gasta com despesas mensais fixas. A catedral fica no marco zero da cidade. O dimetro de uma molcula grande 0,000017cm.A temperatura em Nova York era de 8 Celsius,enquanto que, no Rio de Janeiro, fazia 30Csombra. A cidade Vila Feliz fica no quilmetro 122 darodovia Joo Paulo. O nmero encontrado foi 0,3111... Para calcular o comprimento da circunferncia,basta multiplicar o dimetro por r, cujo valor aproximadamente3,141592. O resultado foi0,333....Eraumnmerodiferente:0,10110111.. Minha casa fica no nmero 122 dessa rua. Pedro conseguiu ser classificado em 1 lugarno vestibular. Quando dividi 12 por 33, encontrei comoresultado0,1212...Captulo III Convivendo com os nmeros67 Um freezer congela temperatura de 18Celsius. Viajamos velocidade mdia de 80quilmetros por hora. O cano medede polegadas. Um po de queijo custa R$ 0,80. A caixa dgua tem 10.000 litros decapacidade. Verificamos um resultado de 0,02%.Observe na Figura 1 como os nmeros so escritosde modos diferentes.Quantas vezes temos de carregar uma sacola comvrias coisas pesadas e nos perguntamos: Quantosquilos estarei carregando? A comeamos apensar: So dois quilos e meio de feijo; um quiloe trezentos de carne; um quilo e meio de farinha emeio quilo de sal.Calcule o peso dessa sacola.Voc poder fazer esse clculo de vrios modos. Um deles seria: primeiro, juntar os quilosinteiros, 2kg de feijo, mais 1kg de carne, mais1kg de farinha, o que resulta em 4kg.Depois, juntar os meios quilos: 0,5kg de feijo,mais 0,5kg de farinha, mais 0,5kg de sal, o queresulta em 1,5kg.Juntando os 4kg com 1,5kg, so 5,5kg.E, por fim, juntar os 300 gramas de carne, o queresulta em 5kg e 800 gramas, que pode ser escritocomo 5,8kg. Outro modo seria pensar que:dois quilos e meio de feijo so 2,5kg;um quilo e trezentos de carne so 1,3kg;um quilo e meio de farinha so 1,5kg;meio quilo de sal so 0,5kg.Calculando a soma, teremos:2, 51, 31, 5+0, 55, 8Veja que, nos dois modos de soluo, os nmerosque usamos foram representados com vrgula.Esses no so naturais nem inteiros. Podem serchamados de racionais e tambm de nmerosreais. So conhecidos como decimais e podemser escritos em forma de uma frao comdenominador 10, 100, 1.000 etc.2,5 =0,48 =1,245 =Voc vai notar que a escrita de nmeros, s vezes,usa a vrgula, outras, a forma de frao, como o. E outras, o sinal negativo, como o -8, que um nmero negativo.No dia-a-dia, voc encontra vrias situaesenvolvendo esses nmeros. Veja algumas dessassituaes e os problemas propostos. As respostasque voc no encontrar no prprio texto estarono final do captulo.Vivemos calculando, fazendo estimativas epensando em solues envolvendo nmeros. Porexemplo: Voc est trabalhando na barraca derefrigerante da quermesse. No incio da festa,havia 400 latas de refrigerantes e voc gostaria desaber quantas vendeu.Para calcular essa quantidade, necessrio contaras latas que sobraram e depois encontrar adiferena entre essa quantidade que sobrou e 400.Os nmeros usados para resolver esse problema sochamados de nmeros naturais, mas podemtambm ser chamados de inteiros, racionais ou,ainda, nmeros reais.Figura1Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio68Observe que o nmero de casas decimais(algarismos depois da vrgula) igual ao nmerode zeros do denominador.As fraes surgiram, h muitos anos atrs, com anecessidade de medir quantidades no inteiras. HDesenvolvendocompetncias1DesenvolvendocompetnciasAreceitaabaixodeumbolobsicopara15pessoas.Comovocfariaparacalcularosingredientes da mesma receita, se quisesse fazer o mesmo bolo, com o recheio, para 30pessoas,semperderaqualidade?Como a receita para 15 pessoas,