livro aprender mais matematica ens medio

8/12/2019 Livro Aprender Mais Matematica Ens Medio

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W

B

A9 5

MatemticaEdio 2011

aprender mais

ENSINO M IO


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Eduardo Henrique Accioly Campos

GOVERNADORDOESTADODEPERNAMBUCO

Anderson Stevens Lenidas GomesSECRETRIODEEDUCAODOESTADO

Margareth ZaponiSECRETRIAEXECUTIVADEGESTODAREDE

Paulo DutraSECRETRIOEXECUTIVODEEDUCAOPROFISSIONAL

Aurlio MolinaSECRETRIOEXECUTIVODEDESENVOLVIMENTODAEDUCAO

Simone Santiago de SantanaGERENTEDEPOLTICASEDUCACIONAISDOENSINOMDIO

Andrea Iris Maciel CardimCHEFEDEUNIDADE

Elisngela Bastos de Melo EspndolaJos de Arimatheia de Santana

Regina Celi de melo AndrELABORAO- EQUIPETCNICADEENSINO


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APRESENTAO

uma educao pblica de qualidade para todos os estudantes. A escola possui o importante

papel de sistematizar o conhecimento socialmente construdo para que os (as) alunos (as)construam suas aprendizagens nas diversas reas de conhecimento.

Nesse contexto, o professor agente primordial no processo de construo doconhecimento junto aos estudantes. o professor quem observa, mais de perto, asnecessidades dos (as) alunos (as) em relao aos contedos ministrados em sala de aula.

Em funo disso, a Secretaria de Educao desenvolveu, em 2009, o PROJETOAPRENDER MAIS com o objetivo de atender aos (as) estudantes da 4 srie/5 ano, 8 srie/9

ano do Ensino Fundamental e do 3 ano do Ensino Mdio das escolas estaduais queapresentavam defasagem e/ou dificuldades de aprendizagens. Os resultados obtidos forambastante positivos, de forma que em 2011, a Secretaria de Educao est reeditando esteProjeto.

Esta iniciativa est em consonncia com a LDB 9394/96 Lei de Diretrizes e Bases daEducao Nacional, que estabelece como dever do Estado garantir padres mnimos dequalidade do ensino e a obrigatoriedade de estudos de recuperao, de preferncia paralelos aoperodo letivo, para casos de baixo rendimento escolar, como poltica educacional.

imprescindvel que, ao identificar as dificuldades e possibilidades dos estudantes, oprofessor trabalhe atividades pedaggicas desenvolvendo dinmicas de sala de aula quepossibilitem ao (a) estudante construir o seu prprio conhecimento. A problematizao desituaes didticas que estimulem a compreenso, interpretao, anlise e sntese das novasaprendizagens, priorizando as diferentes linguagens devem ser desenvolvidas com dinmicasdiversificadas, utilizando materiais existentes na escola jogos pedaggicos, revistas e livros,entre outros.

Apresentamos o material do APRENDER MAIS para o desenvolvimento de aes para

reensino, em horrios complementares, de forma concomitante aos estudos realizados nocotidiano da escola.

Desta forma, conseguiremos fortalecer a educao de Pernambuco, contribuindo, porconseguinte, para o desenvolvimento do nosso Estado. Pois, quanto mais qualidadeoferecermos em sala de aula, mais preparados estaro os estudantes para se desenvolveremprofissionalmente e atuarem na sociedade.

Contamos com todos!

ANDERSONGOMESSecretrio de Educao do Estado

A Secretaria de Educao desenvolve aes para garantir o compromisso da oferta de


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Matemtica PROJETOAPRENDERMAIS

ORIENTAES

Neste Guia de Atividades, o professor encontrar um conjunto de sugestes quepossibilitem um fazer pedaggico dinmico e interativo, atravs da utilizao de vriosinstrumentos e estratgias de ensino. Este material deve auxiliar o trabalho docente, no sentidode levar o estudante do ensino mdio a perceber relaes intertextuais por meio de diferenteslinguagens, a compreender como os contedos estudados se manifestam no seu cotidiano, nasociedade e no mundo contemporneo, alm de interpretar e vivenciar situaes que envolvemdecises e resolues de problemas.

Nosso objetivo com a elaborao deste material subsidiar o professor para trabalharnovas oportunidades de aprendizagens e consolidao dos conhecimentos, nas disciplinas deLngua Portuguesa e Matemtica luz da Matriz de Referncias do Sistema de AvaliaoEducacional de Pernambuco (SAEPE).

Dentre as sugestes encontram-se filmes, sites, livros, jogos e atividades didticas comfoco na leitura verbal e imagtica, em mtodos especficos de investigao matemtica, napesquisa interativa que dialogue com as reas de conhecimentos de forma contextualizada einterdisciplinar. Sugerimos tambm, a consulta aos documentos oficiais do currculo escolar,como as Orientaes Terico-Metodolgicas e a Base Curricular Comum, disponibilizados nosite desta Secretaria, www.educacao.pe.gov.br no Espao Professor, observando o que estesdocumentos propem em relao ao ensino de Matemtica e Lngua Portuguesa para o EnsinoMdio.

O Projeto APRENDER MAIS reflete a compreenso de que os conhecimentos soapreendidos em processos contnuos, sistemticos e de forma orgnica. E a cada nova

oportunidade que a escola oferece o docente e o/a estudante ampliam e fortalecemconhecimentos em uma relao dialtica e dialgica dos/as atores/as nele envolvidos/as.

Pretendemos, portanto, que o estudante do ensino mdio tenha novas oportunidades deestudos para superar dificuldades de aprendizagem, consolide conhecimentos previstos nasunidades didticas do 3 ano, assegurando a sua permanncia na escola e concluso da etapafinal da Educao Bsica, e vislumbre o prosseguimento nos estudos e possibilidades deinsero no mundo do trabalho.


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SUMRIO

EIXO TEMTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS 07

Avio e velocidade mdia 08

A matemtica na Culinria 09Que peso? 10A produo de uma mquina 11Correndo no autdromo 12A piscina 13Densidade demogrfica 14Torneira com vazamento 15A construo do cercado 16rea de figuras geomtricas planas 17Piff geomtrico 19

EIXO TEMTICO: ESTATSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATRIA 29

A conta de energia eltrica 30Planeta gua 31Jogo com dados 35Contando pela ordem e natureza 37

EIXO TEMTICO: GEOMETRIA 39

Bingo trigonomtrico 39

Encontre o par 56Descubra o grfico 60Ponto de interseco 61Capturando pontos 62 circunferncia? 64

EIXO TEMTICO: NMEROS E OPERAES/ LGEBRA E FUNES 65

As camisas penduradas 66Os tringulos com palitos 67

Os pes 69O campeonato de futebol 69O peso da penca de bananas 70O preo do livro 72Seqncias e funes 74Para recordar funes 78Progresso geomtrica e funo exponencial 85Juros e Funes 86Logaritmonencial 87Sistemas lineares 93

MATEMTICA PROJETOAPRENDERMAIS

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EIXO TEMTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS

As atividades sugeridas a seguir buscam favorecer o aprofundamento dos estudosque possibilitem os alunos do Ensino Mdio a articular o ensino da matemtica com outrasdisciplinas como Fsica e Qumica. Desta forma, so propostas atividades, de forma que osalunos possam resolver problemas que envolvam variaes proporcionais, diretas ouinversas, entre grandezas.

Em relao s grandezas geomtricas recomendamos atividades em que os alunospossam resolver problemas envolvendo a rea total e/ou volume de um slido (prisma,pirmide, cilindro, cone, esfera), relacionem diferentes poliedros ou corpos redondos comsuas planificaes ou vistas, identifiquem a relao entre o nmero de vrtices, faces e/ouarestas de poliedros expressa em um problema, resolvam problemas envolvendo permetro erea de figuras planas.

Entendemos ser necessrio o aprofundamento da compreenso do uso de frmulas,assim como sobre conceitos relacionados s grandezas geomtricas. Propomos que o

professor utilize diversos recursos didticos como jogos ou uso de material concreto(palitos, canudinhos, massa de modelar, embalagens), na composio e decomposio deslidos geomtricos.

importante que seja oferecido aos alunos a oportunidade de identificar e fazer usode diferentes formas para realizar medidas.


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ENSINOMDIO

AVIO E VELOCIDADE MDIA

ObjetivoRelacionar conceitos como velocidade mdia e discutir grandezas diretas e inversas.

Sugestes para o professor

Pode ser discutido com os alunos:

a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medidautilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida no convencionaispara estas grandezas?

b) Quais outros conceitos matemticos ou de outras disciplinas esto envolvidos nestaatividade?

c) As relaes entre estas grandezas so diretas ou inversas?

A velocidade mdia do avio calculada dividindo-sea distncia percorrida pelo tempo de viagem:

O avio percorre 614 km em 1 hora.A tabela ilustra como a distnciapercorrida funodo tempo:

3h15min = 3,25h

1

4de hora ou 0,25h

mV1 9963,25

614 km/h= =~

Tempo (h) Distncia

1 614

2 1 2283 1 842

A lei de formao dessa funo

Se esse avio fosse para uma cidade distante 921 quilmetros do Rio de Janeiro, em quantotempo faria a viagem?

614s t=

distncia tempo

FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. ProjetoEscola e Cidadania para todos: Matemtica. Volume 1.So Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pg. 35


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A MATEMTICA NA CULINRIA

ObjetivoConhecer a equivalncia de pesos e medidas e discutir grandezas diretas e inversas.





FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escolae Cidadania: Matemtica. So Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Mais ou menos quanto? Pg. 17

Algumas receitas tm as quantidades expressas em xcaras, colheres, copos etc.Outras tm as quantidades em gramas, mililitros etc. Como adaptar essas medidasde uma forma para a outra?As xcaras variam de tamanho; as colheres e os copos tambm. Para isso, estima-seum valor mdio que padronize essas medidas, de modo que as xcaras de acarpossam ser transformadas em gramas, colheres de suco possam ser transformadasem mililitros e vice-versa.A tabela abaixo uma exemplo disso. Observe as equivalncias que ela apresenta efaa o exerccio a seguir.

Estdio

Sepia

Lquidos

Manteiga

Farinha

Fermento em p

Acar

Fermento secoSalLeite em p

ml 250 8363 16 5125 166188

1 1/3 2/33/41/4 1 1

g 220 7355 14 5

10 3

10 312 4

110 146165

g 120 4030 7 260 8090

g

g 170 5743 10 385 113128

ggg 100 3325 6 250 6675

Equivalncia de pesos e medidas

Ingredientes Xcaras ColheresSopa Ch

a) Aproximadamente, quantas xcaras de farinha correspondem a 500g de farinha?

b) 8 colheres de sopa de leo so mais ou menos que 1 copo de leo (200mL)?

c) 1kg de acar tem aproximadamente quantas xcaras de ch?


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ENSINOMDIO

QUE PESO?

ObjetivoDiscutir grandezas diretas e inversas a partir do conceito de peso.





No caso de uma mola feita de certo material, quando acoplamos a ela um peso P,ela sofre um alongamento x, que depende de P.Quando o peso P varia, o alongamento apresentado por essa mola tambm varia,como mostra a tabela abaixo.

Os resultados obtidos nessa experincia nos levam a representar essa variao doalongamento da mola de acordo com o peso por um grfico como o que est abaixo.Nesse caso, observamos que, para um acrscimo de 0,05 kg no peso, h sempreum acrscimo de 5 cm no alongamento da mola.

Construa um grfico que represente as variaes entre o peso e o alongamento desta mola.

ALONGAMENTO x (cm) PESO P (kgf)

10 0,10

15 0,15

20 0,20

25 0,25

30 0,30

FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania: Matemtica. So Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Quando a lgebra e geometria se encontram. Pg. 18

10

X

P


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Uma mquina produz 4 metrosde fio eltrico a cada minuto. Em seu caderno, faauma tabela conforme o modelo, completando com valores de 30,40 e 50 minutosna coluna do tempo e calcule o comprimento respectivo a cada valor.Construa o grfico e, a partir dele, responda:

Tempo (t)(minutos)

Comprimento (c)(metros)

10 40

20 80

FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania: Matemtica. So Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Grficos: ler e interpretar. Pg. 3

A PRODUO DE UMA MQUINA

ObjetivoDiscutir o conceito de funo crescente e de grandezas diretas e inversas.





a) Como essas grandezas se

relacionam? Escreva a sentenamatemtica que mostra essasituao.

b) Quantos metros de fio amquina produz em 35 minutosde funcionamento?

c) Essa funo crescente?


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CORRENDO NO AUTDROMO

ObjetivoAprofundar o conceito de velocidade mdia e a relao entre grandezas.





O desenho ao lado da pista do Autdromo de Interlagos, em So Paulo, onde disputado o Grande Prmio do Brasil de Frmula 1. So 72 voltas de emoo, emque os pilotos percorrem 390 quilmetros num tempo mximo de 2 horas.

a) Se a corrida tiver durao mxima, qual ser a velocidade mdia do primeirocolocado?

b) Que distncia o primeiro colocado ter percorrido depois de 30 minutos de prova?

FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania para todos: Matemtica. Volume 1.So Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pg. 37

ENSINOMDIO

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A figura abaixo um paraleleppedo. O volume de um

Uma empresa fabrica piscinas no formato de paraleleppedo, variando ocomprimento e a largura conforme a figura abaixo.

paraleleppedo dado por

FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania para todos: Matemtica. Volume 1.So Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pg. 65

A PISCINA

ObjetivoObservar o volume de um paraleleppedo e a relao entre grandezas.





O volume y de gua que cabe na piscina funo da medida x indicada na figura.

a) Escreva y em funo de x.

b) Quantos metros cbicos de gua sero necessrios para encher a piscina se xfor igual a 4m?

V = comprimento X largura X altura


13

comprimentolargura

altura

x + 2

x

3

(Medidas em metros)


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DENSIDADE DEMOGRFICA

ObjetivoAprofundar o conceito de densidade demogrfica e discutir a relao entre grandezas.


a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medidautilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida noconvencionais para estas grandezas?



A densidade demogrfica um dos instrumentos utilizados em geografia paraestudar como se distribui uma populao. Ela relaciona o nmero de habitantes deum pas, Estado ou regio com sua rea, por meio de uma razo.

FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania para todos: Matemtica. Volume 1.So Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pg. 184 e 185

Densidade demogrfica = nmero de habitantes

rea em km 2

A densidade demogrfica do Estado de Minas Gerais, por exemplo, era de 26,76habitantes por quilmetro quadrado, de acordo com o Censo do IBGE (1996).

a) Considerando que, neste mesmo Censo, a populao de Minas era de 16,5milhes de habitantes, calcule a rea aproximada desse Estado.

b) Aproveite o conceito de densidade demogrfica para calcular a densidadepopulacional de sua classe, em nmero de alunos por metro quadrado. (Basta dividiro nmero de alunos pela rea da classe em m .)2

ENSINOMDIO

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FONTE: VASCONCELOS, Maria Jos C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania: Matemtica. So Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: O que o que ? Pg. 12

TORNEIRA COM VAZAMENTO

ObjetivoDiscutir grandezas inversamente proporcionais a partir do desperdcio de

gua.


a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades demedida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida noconvencionais para estas grandezas?

b) Quais outros conceitos matemticos ou de outras disciplinas esto envolvidosnesta atividade?


direta e

a) Usando o exemplo anterior, calculequantos litros de gua serodesperdiados se o vazamento durar 30dias (1L = 1 000 mL). Verifique se emsua casa no h vazamento de gua!Evite sempre o desperdcio!

b) Um cientista observou durante 3 diaso crescimento de uma populao demicrbios. Anotou seus dados como sesegue.

Um vazamento de gua

Uma torneira l em casa est comvazamento - ela pinga sem parar.Coloquei um copo para recolher a guadesperdiada, e, em uma hora, o copoestava cheio. A capacidade desse copo de 200 ml. Ento, fiz a tabela a seguir.

Como as grandezas so diretamenteproporcionais, determinei que em 1 dia(24 horas) a torneira desperdia 4 800ml ou 4,8 litros de gua.

Achei um absurdo! A torneira tem queser consertada!

O tempo e o nmero de micrbios sograndezas proporcionais? Justifique suaresposta.

Tempo(horas)

Quantidade de guadesperdiada (mL)

1 200

2 400

24 4 800

Tempo(dias)

Nmero demicrbios

1 3

2 9

3 27


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CONSTRUO DO CERCADO

ObjetivoEnvolver os conceitos de rea, permetro e funo do 2 grau.





O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muroj existente. as dimenses do cercado podem variar, desde que seu permetro seja36 m de tela.

Dois cercados possveis com 36 m de tela.

FONTE: IMENES, Luiz Mrcio Pereira e LELLIS, Marcelo. Matemtica. So Paulo: Scipione, 1997. 8 srie, pg. 239.

a) Determine o comprimento da tela docercado da planta ao lado.

b) Determine a rea A desse cercado.

c) A uma funo de x, do 2 grau.Esboce o grfico dessa funo.

d) O granjeiro quer o cercado quetenha maior rea. Qual essa rea?Quanto medem os lados do cercadonesse caso?

x

36 - 2x

x

muro

ENSINOMDIO

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REA DE FIGURAS GEOMTRICAS PLANASObjetivo

Promover o entendimento do uso de frmulas para o clculo de rea de figuras planas ediscutir o conceito de permetro.

rea do crculo

O professor pode solicitar aos alunos que:

Utilizando o compasso desenhe um crculo com um dimetro

qualquer; Recorte a figura; Dobre o crculo ao meio, pinte cada metade de uma cor diferente ,

depois dobre ao meio novamente, novamente ao meio; outra vez ao

meio, isto , divida o crculo em 16 partes iguais, ou seja, 16

setores circulares. Recorte cada uma das partes; Cole numa fileira as partes da primeira metade do crculo; depois

encaixe a outra metade formando um retngulo; Escolha uma das dimenses da nova figura para base do retngulo.

Qual a medida da altura correspondente a este lado tomado como

base? Qual a medida da base do retngulo? Que expresso dar a

medida da rea do retngulo formado pelos setores circulares?

rea de uma regio retangular


Numa malha quadriculada desenhe uma figura retangular qualquer; Conte quantos quadrados a figura possui no comprimento e quantos

na largura; Quantos quadradinhos no total?

Que resultado que voc obtm ao multiplicar a quantidade de

quadradinhos da largura pela quantidade de quadradinhos do

comprimento da figura? Observar a distino entre rea e permetro.


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rea de uma regio triangular


Desenhe um retngulo qualquer, escolha um lado para base e a

altura corresponde a este lado; contorne com cores diferentes asdimenses. Recorte a figura; Que expresso representa a medida da rea desta figura? Trace uma

diagonal; divida o retngulo em duas partes iguais utilizando a

diagonal traada; Quantas e quais figuras voc obteve? As figuras so congruentes?

Que expresso representa a medida da rea destas figuras? Discuta como determinar a frmula que expressa a rea de uma

regio triangular qualquer.

rea de um paralelogramo


Desenhe um paralelogramo no retngulo qualquer, escolha umlado para base e a altura corresponde a este lado; contorne com

cores diferentes as dimenses. Pinte de cores diferentes as figuras

que compem o paralelogramo. Recorte a figura na altura traada;Quais figuras voc obteve?

Construa uma nova figura com as partes recortadas. Que expressorepresenta a medida da rea desta figura?

Observe se os alunos relacionam o paralelogramo a uma regioretangular.

SUGESTES

O Tangram um quebra-cabea de origem chinesa. O desafio do jogo

consiste em compor as sete peas para formar uma regio quadrada.Este jogo pode ser utilizado para o aprofundamento do conceito de rea,

atravs do uso de sobreposio das figuras.A srie da TV Escola Mo na Forma tambm pode ser utilizada como

recurso didtico para o estudo de poliedros.

ENSINOMDIO

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PIFF GEOMTRICO

espacial reconhecendo as formas geomtricas espaciais, suas frmulas e aplicaes no dia-a-dia.

Esta atividade visa proporcionar uma viso mais ampla com relao geometria

ObjetivoIdentificar a forma geomtrica dos slidos em objetos do cotidiano, desenvolvendo a

compreenso de propriedades relacionadas a estes.

Material necessrio? 108 cartas sendo distribudas em 4 coringas.

18 cartas com o desenho de slidos geomtricos (carta-figura). 86 cartas contendo caractersticas ou exemplos destes slidos (carta-caracterstica).

Sugesto de trabalhoO professor dever organizar os alunos em 3 ou 4 grupos.Distribuir 9 cartas para cada jogador. Este dever ter como objetivo formar 3 trios, sendo queuma das cartas do trio, obrigatoriamente, a carta-desenho e as outras duas contendocaractersticas ou exemplos do mesmo (carta caracterstica). O coringa substitui qualquer cartacom exceo dos desenhos. Em cada trio poder ter somente um coringa. O jogador pega umacarta do monte e verifica se esta serve para seu jogo. Em caso afirmativo, troca por uma cartaque est em sua mo; caso contrrio, joga-a fora e o prximo jogador faz sua jornada. Oganhador do jogo aquele que primeiro formar os 3 trios.

Durante a aplicao do jogo o professor dever estar atento para as dificuldades dosalunos.

As dificuldades apresentadas devero sofrer intervenes, no sentido de seremsuperadas.

Aps a aplicao do jogo propomos que sejam realizadas atividades de aprofundamentosobre os conceitos envolvidos, atravs do uso de material concreto para montagem deplanificaes dos slidos ou desmontagem.Salientamos tambm a necessidade do clculo do volume de slidos que devem ser propostasna forma de situaes-problema.

LABORATRIO DE ENSINO DE MATEMTICA. Jogos matemticos para o ensino mdio. RS: UNIVATES, 2004.


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Jogo 1: Piff Geomtrico

ObjetivoProporcionar uma viso mais ampla com relao a geometria espacial reconhecendo as

formas geomtricas espaciais, suas frmulas e aplicaes.

Material108 cartas sendo distribudas em 4 coringas, 18 cartas com o desenho de slidos

geomtricos (carta-figura) e 86 cartas contendo caractersticas ou exemplos destes slidos(carta-caracterstica).

Nmero de jogadores2 ou mais.

RegrasDistribuir 9 cartas para cada jogador. Este dever ter como objetivo formar 3 trios, sendo

que uma das cartas do trio, obrigatoriamente, a carta-desenho e as outras duas contendocaractersticas ou exemplos do mesmo (carta-caracterstica). O coringa substitui qualquercarta com exceo dos desenhos. Em cada trio poder ter somente um coringa. O jogador pegauma carta do monte e verifica se esta serve para o seu jogo. Em caso afirmativo, troca poruma carta que est em sua mo; caso contrrio, joga-a fora e o prximo jogador faz sua jogada.O ganhador do jogo aquele que primeiro formar os 3 trios.

Exemplos de cartas com desenho (carta-figura):

Exemplo da carta- coringa:

ENSINOMDIO

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Exemplos de cartas contendo caractersticas dos slidos (carta-caracterstica):

Sugesto de atividades que podem ser realizadas aps o jogo:

a) Qual a carta-figura que mais fcil de combinar com as cartas-caractersticas?

b) Se voc tiver a seguinte carta-figura:

Quais as cartas-caractersticas que podem ser combinadas com ela?


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Cano de gua.

Faces laterais

so trapzios.

Copo plstico

descartvel.

usado para

calcular colume.


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ENSINOMDIO

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c) Joo tem as seguintes cartas:

Ele pegou a seguinte carta do monte:

Citar algumas opes de jogo.

Faces

laterais sotriangulares.

Relao

de Euler

F + V = A + 2

Tem aptema

lateral.

Pode ter base

quadrada,

hexagonal,...

D = a 3

A = 2ab + 2bc + 2ac1


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Slido de

revoluo.

Tem aptema

da base.

Lata de azeite

Faces opostas

iguais.

V = A . hb

dado

Pode ter base

quadrada,hexagonal,...

8 vrtices.

Faces

laterais soretangulares.

12 arestas.

Apresenta

8 faces.

2A = rb


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ENSINOMDIO

24

3

V = aD = a 3

2 2 2

D = a + b + c

Nmero de

faces sempre

igual ao nmero

de vrtices.

d = a 2

Casquinha de

sorvete

Faces

laterais so

triangulares.

A = r (g + r)t

2 2 2g = h + r

Chocolate

Toblerone

A = rgt

Tem aptema

lateral.


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25

bola V =A . hb

3

2

A = 4 rl A = 2 rhl

Faces laterais

so trapzio.Cano de gua Copo plstico

descartvel.

usado

para calcular

volume.

Cesta de lixo

Relao de

Euler

F + V = A + 2

A = 2ab + 2bc + 2act 6 faces


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ENSINOMDIO

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Chapu

de bruxa.

Caixa

de fsforo.

Apresenta

faces, arestase vrtices.

Podem ser

equilteros.

A = 2 r (h + r)t V =

34 r

3

2A = 6at


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ENSINOMDIO

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EIXO TEMTICO: ESTATSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATRIA

As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos quepossibilitem os alunos do Ensino Mdio resolver problemas envolvendo informaesapresentadas em tabelas e/ou grficos. Assim como associar informaes apresentadas emlistas e/ou tabelas simples aos grficos que as representam, e vice-versa.

Tambm esperamos que os alunos possam ser capazes de resolver problemas queenvolva probabilidade de um evento. Para tanto propomos atividades experimentais para aconstruo deste conceito.

A resoluo de problemas de contagem utilizando o princpio multiplicativo ou noesde permutao simples, arranjo simples e/ou combinao simples devem favorecer o devidoreconhecimento por parte dos alunos sobre a forma mais adequada de organizar nmeros einformaes com o objetivo de simplificar clculos em situaes reais envolvendo grandequantidade de dados e eventos.

Ressaltamos a importncia do trabalho sobre a busca por formas adequadas paradescrever e representar dados numricos e informaes de natureza social, econmica,

poltica, cientfico-pedaggica ou abstrata.


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ENSINOMDIO

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A CONTA DE ENERGIA ELTRICA

Esta proposta de atividade foi elaborada para ser aplicada no Ensino Mdio, permitindouma oportunidade de rever temas de estatstica, em especial para aqueles alunos que, poralgum motivo, no foram apresentados a esses contedos. Deve ser explorada uma conta deenergia eltrica, sendo sugeridas atividades que enfatizem grficos, tabelas, mdias eoperaes numricas.

ObjetivoLer e interpretar os dados de um grfico ou tabela e realizar operaes numricas

utilizando uma conta de energia eltrica

Contedos MatemticosEstatstica: grficos, tabelas de freqncia, porcentagem, mdia aritmtica.

Material

Conta de energia eltrica de vrios meses de um ano. Manchetes de jornais ou revistascontendo grficos.

Sugestes para a atividade

Organizar a turma em grupos de quatro a cinco alunos.?Construo de uma tabela com as mdias de consumo dirio nas contas de energia eltrica

dos meses do ano observado.?Relao entre o nmero de moradores da residncia e o consumo de energia em kWh

(Quilowatts hora).?Discusso sobre qual foi a mdia diria do consumo de energia eltrica nos meses de um

perodo.?Fazer um grfico da mdia diria de consumo de energia eltrica dos meses de um perodo?Discusso sobre em que ms houve o maior consumo de energia? E o menor??Em que ms houve o maior consumo dirio mdio de energia? E o menor??O consumo mdio dirio o mesmo do dia-a-dia? O que faz a mdia do consumo dirio

variar??Com os dados da conta, solicitar o clculo da mdia de consumo anual desta conta nos

meses de _________ de ______ a ________________ de ________.Qual o valor do ICMS, se a alquota fosse de 20%?A conta de luz tem uma data de vencimento. Houve atraso no pagamento? Em caso

afirmativo, de quantos dias? Quanto se pagou de multa?Se o atraso no pagamento fosse de dez dias, qual seria o valor a ser pago?Verificar em jornais ou revistas os vrios tipos de grficos utilizados e o poder de

visualizao desses grficos e a adequao para representao das informaes.

Referncia: REORIENTAO CURRICULAR Matemtica Materiais Didticos Ensino Mdio - Volume III- RJ, 2006.


33/100

PLANETA GUA

ObjetivoDiscutir a importncia da estatstica na apresentao adequada das informaes

utilizando tabelas ou grficos, bem como ferramenta que est a servio de qualquer rea doconhecimento, possibilitando um trabalho interdisciplinar.

1. ATIVIDADES

Quais os dados das tabelas citadas no seriam bem apresentados em grficos? Justifique.Qual da tabela pode apresentar seus dados em um grfico de linhas? Execute esta tarefa.Qual da tabela pode apresentar seus dados em um grfico de barras superpostas ouempilhadas? Execute esta tarefa.Apresentar os dados da tabela 10 em um grfico de barras.

2. TRABALHANDO COM A CONTA DE GUA

Observe a tabela com o consumo de gua dos ltimos 12 meses e o consumo mdio em metroscbitos do Senhor COMPESA.

N 1| distribuio da gua no mundo.

N 2| evoluo do uso da gua no mundo

N 3| consumo mdio de gua no mundo por faixa de renda3N 4| disponibilidade de gua por habitante/regio (100m )

N 5| disponibilidade anual de gua de gua por pessoa.

N 6| distribuio dos recursos hdricos, da superfcie e da populao no Brasil.

N 7| desperdcio evitvel de gua.

TABELAS DE TRABALHO

23 23 18 31 32 30 24 24 25 21 20 31 26

Mdia

Calcular o consumo anual familiar Calcular o consumo anual per capita Calcular o consumo mdio mensal familiar Calcular o consumo mdio familiar dirio Calcular o consumo mdio dirio por pessoa Construir o grfico de barras do consumo Calcular as variaes dos valores do consumo mensal em relao a mdia.

Obs: atividade adaptada do livro Tratamento da Informao para o ensino Fundamental e Mdio deCAZORLA, Irene Maurcio.


31


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ENSINOMDIO

TABELA N 2 - evoluo do uso da gua no mundo

TABELA N 3 - consumo mdio de gua no mundo por faixa de renda

TABELA N 1 - distribuio da gua no mundo em trilhes de toneladas e porcentagem

ANO HABITANTES 3USO DE GUA M / HAB / ANO

1940 92,3 X 10 400

1990 95,3 X 10 800

GRUPO DE RENDA 3USO DE GUA M / HAB / ANO

baixa 386

mdia 453

alta 1.167

DIVISO DA GUA NO MUNDO QUANTIDADE PORCENTAGEM

gua salgada e est nos mares e oceanos 1.235.000 97,300

gua doce e est dividida em: 41.000 2,7000

congeladas nas calotas polares e geleiras 30.750 75,000

sub-solo entre 3.750m e 750m (lenis profundos) 5.652 13,000

sub-solo acima de 750m (lenis superficiais) 4.424 10,800

lagos e lagoas 123 0,300

rios 12 0,30

umidade do solo 25 0,060

atmosfera na forma de vapor de gua 14 0,035

(*) utilizam-se trs casas decimais para poder representar os valores pequenos


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33

fonte: http//www.universiabrasil.com.br

3TABELA N 5 - disponibilidade anual de gua por pessoa (gua renovvel em m / ano)

TABELA N 4 - disponibilidade de gua por habitante / regio (1000 )3m

REGIO 1950 1960 1970 1980 2000

frica 20,6 16,5 12,7 9,4 5,1

sia 9,6 7,9 6,1 5,1 3,3

Amrica Latina 105,0 80,2 61,7 48,8 28,3

Europa 5,9 5,4 4,9 4,4 4,1

Amrica do Norte 37,2 30,2 25,2 21,3 17,5

TOTAL 178,3 140,2 110,6 89,0 58,3

MELHORES PASES PIORES PASES

PAS 3M / ANO PAS 3M / ANO

1 Groelndia 10.767.857 171 Cingapura 149

2 E.U.A 1.563.168 172 Malla 129

3 G. Francesa 812.121 173 Arbia Saudita 118

4 Islndia 609.319 174 Lbia 113

5 Goiana 316.689 175 Ilha Maldivas 103

6 Suriname 292.566 176 Qatar 94

7 Congo 275.679 177 Bahamas 66

8 Papua Nova Guin 166.563 178 Emirado rabe 58

9 Gabo 133.333 179 Faixa de Gaza 52

10 Ilhas Salomo 100.000 180 Kuwat 10

25 Brasil 48.314

POSIOPOSIO


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ENSINOMDIO

TABELA N 6 - distribuio dos recursos hdricos, da superfcie e da populao no Brasil

TABELA N 7 - desperdcio evitvel de gua

ATIVIDADE LITROS

Descarga 10

Escovar os dentes 12

Deixar a torneira gotejando durante um dia 46

Ficar 15 minutos no chuveiro 135

Regar o jardim durante 10 minutos 186

Lavar o carro com mangueira durante 30 minutos 216

Um buraco de 2 milmetros no encanamento durante um dia 3.200

REGIO RECURSOS HDRICOS SUPERFCIE POPULAO

Norte 68,50 45,30 6,98

Centro-Oeste 15,70 18,80 6,41

Sul 6,50 6,80 15,05

Sudeste 6,00 10,80 42,65

Nordeste 3,30 18,30 28,91

TOTAL 100 100 100

fonte: http//www.moderna.com.br

(em % do total do pas)


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35

JOGO COM DADOS

Apresentamos uma proposta para o ensino de probabilidade, utilizando-se um jogo dedados e a metodologia da resoluo de problemas. O jogo proposto foi formulado por Game ofKasje, citado por Schuh (1968, p.181), atravs da utilizao desse jogo, so formuladosvrios problemas, cujas solues e a adequada interveno do professor, induzem os alunos aconstruo/ reconstruo de todos os conceitos bsicos de probabilidade.

ObjetivoIntroduzir o contedo de probabilidade a partir da utilizao de um jogo, explorando a

resoluo de problemas.

O JogoEste jogo utiliza dois dados e disputado por dois jogadores, Joo e Maria. Os resultados

abaixo valem os pontos indicados e resultados diferentes no so pontuados.(4; 1) ou (1; 4) 1 ponto (4; 2) ou (2; 4) 2 pontos (4; 3) ou (3; 4) 3 pontos

(4; 4) 4 pontos (4; 5) ou (5; 4) 5 pontos (4; 6) ou (6; 4) 6 pontos

Cada jogador poder efetuar at dois lanamentos. Se no conseguir nenhuma face 4 noprimeiro lanamento, efetua o segundo lanamento com os dois dados. Se conseguiu pelomenos uma face 4 no primeiro lanamento, reserva este dado e decide se lana ou no o outrodado mais uma vez. Vence o jogo quem obtiver a maior pontuao. Caso os dois jogadoresobtenham a mesma pontuao o procedimento dado repetido.

Comentrios sobre o jogoNum primeiro momento todos os alunos devero jogar. Depois de realizado o jogo, o

professor pode fazer os questionamentos abaixo.O jogador dever sempre aproveitar o segundo lanamento?O segundo jogador possui maior possibilidade de vencer o jogo?Estamos supondo a utilizao de dados com faces equiprovveis. Se o jogador conseguir

(4; 1) ou (1; 4) 1 ponto no primeiro lanamento, conveniente lanar o segundo dado maisuma vez, no existe neste caso possibilidade de piorar sua pontuao.

Se o jogador obteve 3 pontos, (4; 3) ou (3; 4) no primeiro lanamento e decidir lanar osegundo dado mais uma vez, ento ele ter uma chance em 6 de permanecer com a mesmapontuao, duas chances em 6 de piorar sua pontuao; ou seja; obter a face 1 ou face 2 nolanamento do segundo dado e possui trs chances em 6 (faces 4, 5 ou 6) de melhorar suapontuao.

O jogador poder no marcar pontos ou ter pontuao zero, isto ocorre se nos seus doispossveis lanamentos ele no conseguir nenhuma face 4.

Joo o primeiro jogador e efetua um ou dois lanamentos. Maria joga posteriormente eest numa posio melhor de decidir se aproveita ou no o seu segundo lanamento, pois jconhece a pontuao obtida por Joo. Para tornar o jogo mais justo deve existir uma alternnciaentre Joo e Maria para ser o primeiro a jogar.

Para a resoluo dos problemas, o trabalho deve ser realizado em grupo. Aps a soluode cada problema, um grupo escolhido para apresentar o resultado. No final, uma pequenaplenria pode ser realizada para discutir a soluo apresentada, bem como outras soluesalternativas.


38/100

ENSINOMDIO

36

2. EXPERIMENTO ALEATRIO, ESPAO AMOSTRAL E EVENTO

Os conceitos de Experimento Aleatrio, espao Amostral e Evento sero sistematizadosatravs das solues dos problemas a seguir.

Problema 1

Considerando-se apenas o primeiro lanamento dos dois dados, Joo ter maiorchance em conseguir 1 ponto ou 6 pontos? Justifique sua resposta.

Problema 2

Considerando-se apenas o primeiro lanamento dos dois dados, Joo ter maiorchance em conseguir 5 ou 4 pontos? Justifique sua resposta.

3. DEFINIO DE PROBABILIDADE

At o presente momento o termo probabilidade no foi mencionado, este conceito sersistematizado nesta seo. Entretanto, os conceitos de Espao Amostral e Evento, jsistematizados anteriormente, podem e devem ser utilizados pelo professor.

Problema 3

Se Joo obteve 1 ponto no primeiro lanamento ele dever utilizar o segundolanamento para melhorar sua pontuao? Justificar sua resposta.

Problema 4

Se Joo obteve 3 pontos no primeiro lanamento, quais so suas chances emmelhorar, piorar ou manter inalterada sua pontuao se utilizar o segundo lanamento?

Problema 5Qual a probabilidade de Joo no obter a face no primeiro lanamento?

Problema 6

Se no obteve 4 pontos no primeiro lanamento, qual a probabilidade de aumentar,diminuir ou permanecer com esta pontuao se utilizar o segundo lanamento?

1

1

3

3

5

5

2

2

4

4

6

6


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CONTANDO PELA ORDEM E PELA NATUREZA

ObjetivoFavorecer que os alunos identifiquem os problemas que so de permutao, arranjo ou

combinao.

Sugestes para o professorAtravs dos problemas sugeridos abaixo, discuta a resoluo destes sem/com o uso de

frmulas.

1) O professor de desenho pediu a seus alunos que pintassem os quatros abaixo, usando ascores rosas ou verde. Quantas so as possibilidades diferentes de pint-los?

2) De quantas formas podemos compor uma comisso de 6 pessoas, sendo trs escolhidas deum conjunto de 5 homens e as outras trs escolhidas de um conjunto de 6 mulheres?

3) Tem-se 5 pontos sobre uma reta r e 10 pontos sobre uma reta s paralela a r. Calcule:a) Quantos tringulos com vrtices em 3 desses 15 pontos existem?

b) Quantos quadrilteros com vrtices em 4 desses 15 pontos existem?

4) Suponha-se que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peas de teatro e que Carlos tenhadinheiro para assistir a apenas um evento. Quantos so os programas que Carlos pode fazer nosbado se os programas nunca so simultneos?

5) Se o exemplo anterior Carlos tiver dinheiro para assistir a um filme e a uma pea de teatro,quantos so os programas que ele pode fazer no Sbado?

6) Cinco atletas participaram de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1, 2 e 3lugar se dois ou mais atletas no podem chegar simultaneamente?

7) Os sanduches da padaria Regncia so famosos, entre os trs tipos de po: po forma, pofrancs ou po italiano. Para o recheio h quatro opes: salame, queijo, presunto oumortadela. Quantos tipos de sanduches a padaria oferece usando:

a) Um tipo de po e um tipo de recheio?

b) Um tipo de po e dois tipos de recheio?

1 2

3 4


37


40/100

ENSINOMDIO

38

8) O diagrama abaixo ilustra o mapa de uma cidade onde existem 5 avenidas na direo norte-sul e 4 avenidas na direo leste-oeste (avenidas adjacentes so paralelas e equidistantes). Dequantas formas pode uma pessoa ir do ponto A e dirigir-se ao ponto B, usando o menos caminhopossvel?

A

B

LO

N

NO

SO

NE

SE

S


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39

BINGO TRIGONOMTRICO

ObjetivoRecordar clculos relacionados a seno e cosseno e aprofundar com a resoluo de

problemas.

ParticipantesO nmero mximo de participantes 36, correspondente ao nmero de cartelas por

assuntos. Caso sejam constitudos grupos de dois ou mais alunos, o nmero de participantespoder ser definido pelo professor.

Material 25 peas com questes envolvendo seno; 25 peas com questes envolvendo cosseno; 36 cartelas com resultados de questes envolvendo senos; 36 cartelas com resultados de questes envolvendo cosseno.

Regras

As regras do jogo so as mesmas de um bingo tradicional. Cada participante recebe umaou mais cartelas e vai preenchendo os nmeros que nelas aparecem, a partir da chamada feitapor uma pessoa que os sorteia. Especificamente para o Bingo Trigonomtrico:

- as peas sorteadas contm as questes propostas sobre cada assunto.- na cartela do aluno aparecem os resultados das questes propostas. O aluno deve

resolver a questes sorteada, descobrir a resposta correta e procur-la em sua cartela.Encontrando-a, deve marc- la com uma pequena pea (gro de milho,feijo ouboto);

- a pessoa que sorteia deve respeitar um tempo de resoluo para cada questo. Cabe aoprofessor decidir o tempo mnimo e o mximo.

EIXO TEMTICO: GEOMETRIA

As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos quepossibilitem os alunos do Ensino Mdio a resolver problema que envolva razes trigonomtricasno tringulo retngulo (seno, cosseno, tangente). Propomos que alm dos jogos sugeridos, oprofessor aprofunde os conceitos envolvidos em que possa se utilizar e interpretar modelos pararesoluo de situaes-problema que envolvam medies, em especial o clculo de distnciasinacessveis, e para construir modelos que correspondem a fenmenos peridicos.

O trabalho com a interpretao geomtrica dos coeficientes da equao de uma reta,A identificao da equao de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de umponto e sua inclinao, a determinao do ponto de interseo de duas ou mais retas com aresoluo de um sistema de equaes com duas incgnitas e o reconhecimento dentre asequaes do 2 grau com duas incgnitas, as que representam circunferncias, so aspectos aserem aprofundados em geometria analtica.

Destacamos a importncia da articulao entre geometria e lgebra. Para que estaarticulao seja significativa para o aluno, o professor deve trabalhar o entendimento de figuras

geomtricas, via equaes, e o entendimento de equaes, via figuras geomtricas.


42/100

ENSINOMDIO

40

QUESTES COSSENO cos

cos cos 780 cos 540 cos 480

cos cos cos cos 100

cos x = 0

cos x = -1

x

cos x = -

x

cos x = -

x

cos x = -

cos x = - cos x = 0

x

cos x =

x

cos x =

x

cos x =

x

cos x = 1 cos x =

cos x = cos x =

x

cos x =

x

cos x =

6 7

4 3 2 1

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25

8 9

5


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41

RESPOSTAS COSSENO

-

-

6 7

4 3 2 1

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25

8 9

5

- 1

0 1


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ENSINOMDIO

42

QUESTES SENO

6 7

4 3 2 1

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25

8 9

5

sen 3330 sen 330

sen

sen 1485

sen sen sen 40 sen

x = 0sen sen x =

x

sen x = sen x = -

x

sen x = -

x

sen x = -1

sen x = - sen x = -

sen x = sen x = 1

sen x =

xx

sen x = sen x =

sen x =

x

sen x = -

x

x = 0sen

x x


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43

RESPOSTAS SENO

6 7

4 3 2 1

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25

8 9

5

1

0- 1

-

--


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ENSINOMDIO

44

1COSSENO

2COSSENO

4COSSENO

3COSSENO

5COSSENO

6COSSENO

1

0

- 1

- 1

-

-

-

-

-

-

0

1


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45

7COSSENO

8COSSENO

10COSSENO

9COSSENO

11COSSENO

12COSSENO

1

1

0

- 1

-

-

-

-

-

0


48/100

ENSINOMDIO

46

13COSSENO

14COSSENO

16COSSENO

15COSSENO

17COSSENO

18COSSENO

-

-

-

-

-

- 1

-1 0

0

1


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47

19COSSENO

20COSSENO

22COSSENO

21COSSENO

23COSSENO

24COSSENO

-

-

-

-

-

-

-1

0

0

1

1

1


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ENSINOMDIO

48

-

-

-

-

-

-1

-1

0

0

1

1

25COSSENO

26COSSENO

28COSSENO

27COSSENO

29COSSENO

30COSSENO


51/100


49

31COSSENO

32COSSENO

34COSSENO

33COSSENO

35COSSENO

36COSSENO

-

-

-

- 1

- 1

0

0

1

-

-


52/100

ENSINOMDIO

50

1SENO

2SENO

3SENO

4SENO

5SENO

6SENO

-

-

-

-

- 1

- 1

0

01

1

-


53/100


51

7SENO

8SENO

9SENO

10SENO

11SENO

12SENO

-

-

-

-

- 1

- 1

0

0

1

1-


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ENSINOMDIO

52

-

-

-

-

- 1

- 1

0

0

1

-

15SENO

1

-

16SENO

14SENO

13SENO

17SENO

18SENO


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53

- 0

1

19SENO

20SENO

-

-

-

-

- - 1

-1

0 1

21SENO

22SENO

23SENO

24SENO


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ENSINOMDIO

54

-

-

-

-

-

- 1

0

1

27SENO

28SENO

30SENO

29SENO

-

-1

0

1

25SENO

26SENO


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55

-

-

-

-1

-1

0

1

1

33SENO

34SENO

36SENO

35SENO

-

-

-

0

31SENO

32SENO


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ENSINOMDIO

56

ENCONTRE O PAR

ObjetivoAprimorar no aluno a compreenso das relaes trigonomtricas e desenvolver o clculomental com expresses trigonomtricas simples.

ParticipantesDois ou trs

MaterialUma cpia de baralho de cartas (ver pginas seguintes) e do dado abaixo, montado, com osvalores dos ngulos em graus (0, 15 E 30), papel e lpis para registrar os clculos.atesenvolvendo cosseno.

Regras As cartas so embaralhadas e colocadas no centro de uma mesa (ou carteira) com as

faces voltadas para baixo. Os participantes decidem a ordem em que cada um ir jogar. Em cada jogada, cada um dos participantes retira duas cartas do mente e joga o dado

duas vezes, anotando os valores obtidos. Cada jogador deve substituir os valores de x em suas cartas pelos valores dos ngulos

obtidos no dado, escolhendo qual valor, entre os dois sorteados por ele, que colocar emcada carta.

Se o jogador, ao calcular o que se pede nas cartas, conseguir dois valoresnumericamente iguais, ele permanece com o par de cartas; caso contrrio, ele devolveas cartas para um segundo monte sobre a mesa. Essas cartas no podero mais ser

utilizadas nas jogadas seguintes. Aps cada jogador conferir os clculos dos demais, nova jogada feita. Quando acabarem as cartas do monte inicial, o jogo termina e ganha aquele que tiver o

maior nmero de cartas.

0

0

30 3015 15

DADO


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57

O valor de AC no tringuloretngulo ABC

O valor de AB no tringuloretngulo ABC

O valor de BC no tringuloretngulo ABC, sendo queAB mede 2 e umdimetro do semicrculo

A rea do tringuloretngulo ABC

O valor de AB no tringuloretngulo ABC de alturaAD = 1

O valor de AC no tringuloretngulo ABC de alturaAD = 1

O valor de AC no tringuloretngulo ABC, sendo queAB mede 2 e umdimetro do semicrculo

A altura BH do tringuloABC

A rea BH do tringuloABC

B B B

60 - x

x + 30

A AA3 2

3

C CC

60 - x

B

B

A A2

C

C

4

x + 30B D C

A

1

x + 30B D C

A

1

BA2

C

60 - x

x + 30x + 30 x + 30

A C

B

H 4

12


60/100

ENSINOMDIO

58

A altura BH do tringuloABC

O valor de3tg (60 - x)

A base do tringuloissceles ABC

A altura BH do tringuloissceles ABC

O valor de2sen (30 + 2x)

O valor desen 3x + cos 3x

O valor de2cos (45 - 3x)

O valor desen (2x + 60)

O valor de3 - tg 2x

60 - x

A C

B

H

6

A C

B

60 + 2x

32

A C

B

60 - x

22


61/100


59

O valor da funo2f(x) = 2 - 3 sen 3x

O valor da funof(x) = 2 cos 2x

O valor da funo2f(x) = 2 cos 3x


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ENSINOMDIO

60

DESCUBRA O GRFICO

ObjetivoDiscutir a relao algbrica e grfica de funes polinomiais do 1 e 2 graus.


a) Que semelhana(s) e que diferena(s) voc observa entre os grficos representados nosquadros M, N, e O?

b) Que semelhana(s) e que diferena(s) voc observa entre os grficos representados nosquadros P, Q e R?

c) A anlise dos grficos e a relao com uma das funes abaixo indicadasd) Ampliar a identificao algbrica dos grficos.

( ) y = x- 4 ( ) y = x + 4x + 4 ( ) y = (1/2) x2 + 9( ) y = 2x ( ) y = - 2x + 8x ( ) y = -x + 4

y = x y = -x y = x + 1 y = x - 1

A) y

x

y

x

9

D) y

x-8 4

F)

y

x2

C)y

x+2-2

-4

B)

y

x

E)


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61

PONTO DE INTERSECO

ObjetivoRelacionar a determinao do ponto de interseco de duas ou mais retas coma

resoluo de um sistema de equaes com duas incgnitas.

SugestoDiscutir com os alunos qual sistema de equaes corresponde cada grfico abaixo.

Depois solicitar que determine a soluo dos sistemas algebricamente.

{ x + y= 4y - x= 1a) { x + y= 0y - x= 2d){ x + y= -2y = 2x +1b) { y= +2x + y = -1c) x2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

I. II. III.

IV. V.


64/100

ENSINOMDIO

62

CAPTURANDO PONTOS

ObjetivoAprimorar a compreenso dos intervalos numricos, identificar as propriedades da

circunferncia, apropriar-se de sua equao e representar pontos no plano cartesiano, Tendocomo base um intervalo determinado, so os objetivos deste jogo.

OrganizaoDividir os alunos em duplas.

Material moeda lpis compasso um tabuleiro para cada jogador, feito com papel quadriculado conforme indicado.

Regras1. Cada jogador marca em seu tabuleiro 10 pontos sem que o seu adversrio veja. Esses

pontos podem ficar em qualquer posio desde que dentro dos limites do tabuleiro, ou seja,pontos (x,y) com -10x10 e -10Z10 e X Y Z.

2. Decide-se quem comea e os participantes jogam alternadamente

3. Na sua vez, o jogador lana a moeda e diz a equao de uma circunferncia daseguinte forma: (x-a)2 + (y b )2 = r2 , onde r 1 se a moeda tiver cado em cara e r 2 se amoeda tiver cado coroa .As coordenadas do centro (a,b) so escolhidos pelo jogador

4. O Adversrio traa, ento, a circunferncia correspondente em seu tabuleiro eanuncia quantos de seus pontos o outro jogador capturou.

5. Os pontos sero capturados quando estiverem no interior da circunferncia oupertencerem ela.

6. Ganha o jogo aquele que conseguir capturar primeiro os 10 pontos de seu oponente.

EXPLORANDO O JOGO

Est na vez de Jlio jogar. Ele diz a Csar a equao ( x 1 )2 + ( y 5 )2 = 4 . Este traaa circunferncia e anuncia que Jlio fez 5 pontos dos quais 3 pertencem circunferncia.

Quais os possveis pontos, atingidos por Jlio, que pertencem circunferncia?

At quantos pontos podem ser capturados se a circunferncia possuir raio 1 ?E se oraio for 2?

Liste todos os pontos que a circunferncia de raio 2 e centro (-5;-5) pode atingir.


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Quero atingir o ponto (10;10). Tirei cara na moeda. Escreva alguns possveis centrosque posso escolher?

Lcio obteve coroa ao lanar a moeda. Quer atingir o ponto (-10; 4). Escreva trscentros que Lcio pode escolher?

IMPORTANTE

Os alunos podem produzir uma lista de dicas para vencer o jogo, ou resolver problemas apartir do jogo, como, por exemplo:

Das equaes a seguir, qual(ais) delas atinge o ponto(9;-6)?

2 2a) (x-9) +(y+4) =42 2b) (x-9) +(y-4) =1

2 2c) (x+11) +(y+6) =42 2d) (x-9) +(y+5) =12 2

e) (x-7) +(y-6) =4

Criar uma lista de exerccio para serem resolvidos a partir do jogo e depois trocar com umcolega para que resolva a lista do outro.


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-10

-10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 10987654321-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

y

x


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ENSINOMDIO

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CIRCUNFERNCIA?

Objetivo

Reconhecer dentre as equaes do 2 grau com duas incgnitas, as que representamcircunferncias.

a) x+y-8x+6y+1=0

b) x+y+xy+4x+6y-3=0

c) 2x+y+4x-2y+1=0

d) 3x+3y-12x-15y-6=0

e) 4x-4y=0

f) (x-5)+(y-3)=-5

g) x-10x+25+y=0

Escreva uma equao para cada circunferncia de centro O:

y

x

0

0

y

x

0

0

y

x00

A) B)

C)


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EIXO TEMTICO: NMEROS E OPERAES / LGEBRA E FUNES

As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos quepossibilitem os alunos do Ensino Mdio a resolver problemas envolvendo equao do 1 e 2grau, reconhecer a expresso algbrica que representa uma funo a partir de uma tabela,possam analisar crescimento/decrescimento, zeros de funes reais apresentadas em grficos.

Esperamos que os alunos possam reconhecer a representao algbrica de uma funodo 1 e 2 graus dado o seu grfico, reconheam o grfico de uma funo polinomial por meio deseus coeficientes ou vice-versa e resolvam problemas que envolvam os pontos de mximo ou demnimo de uma funo polinomial do 2 grau.

O ensino de funes, no deve descuidar de mostrar que o que est sendo aprendidopermite um olhar mais crtico e analtico sobre as situaes descritas.

As funes exponencial e logartmica, por exemplo, so usadas para descrever avariao de duas grandezas em que o crescimento da varivel independente muito rpido,sendo aplicada em reas do conhecimento como matemtica financeira, crescimento depopulaes, intensidade sonora, pH de substncias e outras.

Relembramos que a origem do conceito de funo est intimamente ligado necessidade do homem de registrar regularidades observadas em fenmenos e generalizar leise padres.

As idias essenciais envolvidas no conceito de funo devem ser trabalhadas ao mesmotempo que as formas de representar funes.

Nas atividades que se seguem, so trabalhadas as representaes grfica e analtica deuma funo, a partir da discusso de uma funo real, descrita verbalmente. O uso dalinguagem oral e escrita dever auxiliar a passagem de uma dessas formas de representaopara a outra e a explicitao de noes como: dependncia, domnio, varivel e generalizao.Todas as atividades propostas podem ser usadas como introduo linguagem algbrica, deuma maneira mais significativa.

A resoluo de problemas envolvendo P.A./P.G. pode ser articulado com outrosconceitos matemticos, a exemplo, com o ensino de funes

A identificao da representao algbrica e/ou grfica de uma funo logartmica,reconhecendo-a como inversa da funo exponencial deve ser aprofundado. Assim como,identificar grficos de funes trigonomtricas (seno, cosseno, tangente) deve ser trabalhadono reconhecimento de propriedades.

Entendemos que o estudo sobre os sistemas lineares necessitam de uma reviso sobre aresoluo de sistemas de duas equaes e duas incgnitas para sistemas lineares 3 por 3.


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ENSINOMDIO

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AS CAMISAS PENDURADAS

ObjetivoRepresentar a lei geral de uma expresso a partir da anlise de situaes, ao menos em

palavras, sem a necessidade do uso de tabelas.

OrganizaoTrabalhar em duplas.

D. Lourdes lavou as camisas do time de futebol de seu neto Cac e vai coloc-las parasecar da seguinte maneira:

- cada camisa presa por dois pregadores;- cada camisa ligada seguinte por um pregador.

a) Tente fazer um desenho que represente essa situao.

b) Quantos pregadores D. Lourdes usar para pendurar 8 camisas?

c) E 10 camisas?

d) E 11 camisas?

e) D. Lourdes comprou duas cartelas de 12 pregadores cada. Esse nmero depregadores suficiente para prender as camisas de 22 pregadores?

f) Escreva uma expresso que represente o nmero de pregadores necessrios parapendurar um nmero qualquer de camisas. Se precisar, construa uma tabela.

ObservaoOs alunos que j possuem uma experincia com lgebra concluem facilmente toda a

atividade, chegando abstrao. Porm, os que no possuem esta vivncia demonstram umacerta dificuldade em generalizar. Neste caso, sugere-se ao professor o uso da tabela parfacilitar a abstrao


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OS TRINGULOS COM PALITOS

Com os palitos de fsforo, construa um tringulo.

a) Quantos palitos voc usou?

Continue a formar outros tringulos como na figura:

b) Ao formar trs tringulos, quantos palitos voc usou?

E se voc formar cinco?

E se formar dez?

E se formar 65?

c) Se algum quiser saber quantos palitos sero usados para formar um nmero nqualquer de tringulos, voc saberia escrever uma expresso para ajud-lo?

d) Verifique se essa expresso d o nmero de palitos que voc usou para fazer 5tringulos. O mesmo para 3 tringulos.

e) Descubra agora quantos palitos so necessrios par formar 58 palitos.

f) Tendo 85 palitos, quantos tringulos pode-se formar? E tendo 168? Explique as suasrespostas.

g) Para qualquer nmero mpar p de palitos, possvel encontrar n? Experimente algunsnmeros.

h) Voc saberia escrever uma expresso que desde o nmero n de tringulos formadoscom qualquer nmero mpar p de palitos?


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ENSINOMDIO

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Observaes

Professor, acompanhe o seguinte:

1) Nos itens b a d, deve-se destacar a dependncia do nmero p de palitos em relao ao

nmero n de tringulos, e o carter de varivel de cada uma dessas grandezas. Aexpresso analtica de p como funo de n, pedida em c, uma das formas derepresentar a lei que rege essa dependncia.

2) No item f, passa-se a considerar n como funo de p. Os alunos devem descobrir que aexpresso 2n + 1 = p s permite encontrar exatamente n, conhecendo p, se p formpar. A concluso dessa reflexo deve ser feita no item g. Quando p par, elespodero estabelecer estratgias para determinar n, com base em uma anlise dasituao real.

3) Neste item f, h uma mudana de papis para as letras. Fixado um valor para a varivelp (dado o valor da funo), deve-se ento determinar que valor da varivel n faz com

que a funo assuma aquele valor. No lugar de duas variveis p e n relacionadas poruma expresso, tm-se ento uma equao na incgnita n. Assim, essa atividadepossibilita refletir sobre a diferena entre equao e funo e entre incgnita evarivel.

4) Aps a concluso do item g possvel discutir a existncia de uma funo que a cadanmero mpar p de palitos, associa o nmero n de tringulos formados. A expressoanaltica dessa funo pedida no item b. importante observar que, enquanto em c,para qualquer natural n possvel determinar p, em h, s possvel obter, nexatamente, para valores mpares de p (conceito de domnio).

5) Para alunos no nvel de formalizao possvel estender o domnio de p a valoresnaturais quaisquer, desde que se usem expresses distintas para os casos em que p par ou mpar.

Assim: n = (p 1)/2, se p mpar; n = (p 1)/ 2, se p par.


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OS PES

Ana vai padaria com R$ 2,00 para comprar pes que custam R$ 0,18 cada.Se comprar 6 pes, quanto receber de troco?

E se comprar 10 pes?

Escreva a expresso que d o troco que Ana receber se comprar um nmero n qualquerde pes.

Que valores este nmero npode ter?

O CAMPEONATO DE FUTEBOL

Em um campeonato de futebol, cada time joga contra todos os outros duas vezes.

a) Se nesse campeonato houver quatro times, quantas vezes cada time vai jogar?

E cada par de tnis?

Quantos jogos haver no campeonato?

b) Responda todas estas perguntas, para o caso de haver, cinco times no campeonato.

c) Voc seria capaz de calcular o nmero de jogos de um campeonato assim com 23times?

Como voc explicaria a um colega seu o que voc fez?

d) Voc poderia resumir isto tudo em uma expresso que d o nmero de jogos docampeonato em funo do nmero de times?


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ENSINOMDIO

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O PESO DA PENCA DE BANANAS

Conceitos trabalhados

Conceito de varivel, grfico de uma funo, expresso analtica de uma funo.

Objetivo

Explorar situaes que possibilitem a anlise da relao entre duas grandezasDesenvolver a noo de varivel com domnio;

Analisar grficos de funo e relacion-los com sua expresso analtica;

Construir grfico de funo com nmero finito de pontos.

PARTE I

Nos supermercados, bananas so vendidas a peso. Em um deles, D.Ana pegou umapenca com 12 bananas que pesou 1 kg. Se nessa penca todas as bananas tm mesmo peso, 80kg, pense nas seguintes questes:

1) Se D. Ana perceber que uma banana da penca est estragada e retir-la, quantopesar o que restar?

2) E se trs bananas estiverem estragadas? O que acontece com o peso da penca, cadavez que voc retira mais uma banana?

3) Qual a expresso que d o peso dessa penca, aps serem retiradas dela um nmeronqualquer de bananas estragadas?

4) Considerando esse problema, que valores o nmero n pode assumir?

Teria sentido considerar; n = 2,5 ?

n = 0?

n = 12?

5) Que valor de n corresponderia ao caso de serem retiradas todas as bananas da penca?

6) Qual o peso do n dessa penca de banana?

7) Uma pessoa tentou representar o peso de penca de bananas em funo o nmero debananas estragadas por meio de um grfico. Tente construir esse grfico.


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PARTE II

1) Qual o peso de uma penca dessas, com apenas 7 bananas? E com 10 bananas?

2) Que expresso representa o peso de uma dessas com um nmero qualquer b debananas?

3) Considerando a situao problema, que valores o nmero b pode assumir?

Teria sentido considerar: b = 5,3?

B = 0?

B =12?

4) Construa um grfico que represente o peso da penca de bananas, em gramas, emfuno do nmero de bananas que esto na penca.

5) O peso aumenta ou diminui quando b aumenta?

6) A sua resposta est de acordo com a expresso escrita no item 2?

7) Por que o grfico tem apenas um nmero finito de pontos? Quantos?

8) No grfico que voc construiu?- que grandeza representada no eixo horizontal?

- que grandeza representada no eixo vertical?

- Observe dois pontos vizinhos do grfico e responda: quando b aumenta de 1, o queacontece com o peso da penca? E quanto diminui de 1?


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ENSINOMDIO

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O PREO DO LIVRO

Uma livraria recebe certo livro por um custo de R$ 40,00 por exemplar. O gerentevendeu inicialmente 36 desses livros por semana a R$ 100,00 cada. Sabendo que, sereduzisse o preo de cada livro de R$ 5,00 por semana, venderia mais 6 livros por semana,resolveu experimentar e foi reduzindo o preo do livro R$ 5,00 a cada semana.

Complete a tabela e responda as perguntas.

1 2 3 4 5 n

Custo de1 livro

Preo devenda de1 livro

Lucro com1 livro

N de livrosvendidos na

semana

Lucro total

SEMANA INICIAL

1) O preo de custo do livro varia com o tempo?

2) A cada semana o que acontece com o preo de venda do livro?a) E com nmero de livros vendidos por semana?b) E com o lucro obtido na venda de cada livro?c) E com o lucro total por semana?

II) Na ltima coluna da tabela voc escreveu uma expresso para o preo de venda de 1livro. Ela est coerente com o que voc respondeu no item a acima?

III) Pelo que voc observou na tabela, valeria a pena o gerente continuar a diminuir opreo de venda do livro? A partir de que semana ele deveria fixar o preo de venda dolivro? Explique sua resposta.


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IV) Considere as expresses obtidas para:- o preo de venda de um livro- o lucro com 1 livro- o nmero de livros vendidos por semana.

Para que valores de n cada uma dessas expresses tem sentido?

E para que todas essas expresses tenham sentido, juntas, que valores n pode ter?

V) Faa grficos de barras e cartesianos representando cada uma das grandezasindicadas abaixo em funo do nmero n de semanas.

a) lucro com 1 livro

b) nmero de livros vendidos.c) lucro total.

OBSERVAES

1) No item I.2, as respostas de a, b e c podem ser dadas apenas lendo o enunciado. Se oprofessor quiser, pode apresentar essas perguntas antes de completarem a tabela.Haver, provavelmente, dvida em relao ao item d, o que natural. A tabela

ajudar a resolver o impasse.

2) No item IV, vale a pena discutir a diferena entre cada expresso ter sidoisoladamente ou no contexto do problema. Na ltima pergunta, os alunos tm querefletir sobre a interseo dos domnios reconhecidos em cada expresso.

Tambm discutir porque no so vlidos valores de n que no sejam naturais


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ENSINOMDIO

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SEQNCIAS E FUNES

1. Descubra a regra da sequncia abaixo e continue desenhando-a

2. Verifique a sequncia de bolinhas abaixo:

a) Escreva a regra desta sequncia.

b) Descubra o 8 elemento desta sequncia .

c) Descubra o 34 elemento desta sequncia.

d) Qual o elemento que ocupa a 100 posio?

a) Desenhe o prximo elemento da sequncia. Eo seguinte.

b) Quantas bolinha tem a 8 figura destasequncia? E a 9 figura?

c) Quantas bolinhas tm a n-sima figura destasequncia?

d) D a Lei da Associao que relaciona n quantidade de bolinhas da n-sima figura destasequncia.

...

...


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3. Construa uma sequncia de bolinhas, para cada funo abaixo:

a) f(x) = 3x + 2

b) f(x) = x

c) g(x) = 4x + 8

4. Crie uma sequncia de bolinhas e sua Lei de Associao correspondente, onde sua2frmula seja do tipo: Ax+ Bx+ C, com A 0, B 0 e C 0.

5. Escreva a Lei da Associao que relaciona n quantidade de bolinhasda n-simafigura desta sequncia e trace o grfico correspondente.

...


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ENSINOMDIO

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6. Escreva a Lei da Associao que relaciona n quantidade de bolinhasda n-simafiguradesta sequncia e trace o grfico correspondente.

...7. Cada uma das quatro superfcies abaixo tem 36 unidades quadradas de rea.

Nomeie quatro pontos do grfico seguinte de forma a representar as quatro superfciesacima:

A

C

B

D


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a) Voc poderia construir uma quinta superfcie acima de maneira a corresponder ao quintoponto? Explique.

b) Esboce um grfico que represento todos os retngulos eu possuam 36 as unidades derea.

c) O que acontece se voc inclui todas as superfcies de mesma rea no seu grfico?

8.Considere a seguinte situao:

a) Compare o seu grfico com o de seu colega.

b) O grfico poderia ser uma linha reta. Por qu?

c) O grfico poderia cortar os eixos? Caso sim, onde? Caso no, por qu?

Usando o par de eixos, ao ladoesboce um grfico que possailustrar essa situao:

QUANTO MAIS PESSOAS AJUDAM NA COLHEITA DE TOMATE, MAIS CEDO PODEREMOS TERMINAR.

Total de tempo paraterminar o trabalho

N de pessoastrabalhando na colheita


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ENSINOMDIO

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PARA RECORDAR FUNES

Nesta sesso propomos o estudo com os contedos: funo polinomial do 1 e do 2graus, funo logartmica, exponencial e funo trigonomtrica.

ObjetivoLevar os alunos a revisarem as principais propriedades de funes polinomiais relativas

a domnio, imagem, grfico, razes, crescimento, pontos de mximo e de mnimo.

MaterialUma cpia das cartas de funes e das tiras de propriedades.

Sugesto de atividade Deixar que os alunos leiam, interpretem e discutam as regras do jogo; Propor que os alunos produzam algum registro escrito aps o jogo ou que resolvam

problemas a partir do jogo.

Regras do Jogo

O professor poder organizar os alunos em grupos de 3 ou 4 participantes e conduzir ojogo segundo as regras:

As cartas so embaralhadas e colocadas no centro de uma mesa (ou carteira) com asfaces voltadas para baixo. As tiras de propriedades, tambm com as faces voltadaspara baixo, formam outro monte no centro da mesa.

Os participantes decidem a ordem em que cada um ir jogar. Em cada jogada, cada um dos participantes retira uma carta de funes do monte e

cinco tiras de propriedades. A seguir, seleciona entre as tiras em sua mo aquelas com propriedades que suafuno possui ou satisfaz e forma seu banco, colocando, enfileiradas sua frente, afuno e as propriedades selecionadas, de modo a ficarem visveis aos demaisjogadores, que devem conferir se o banco est correto para a funo. As tiras compropriedades que no se relacionam com a funo tirada permanecem em sua mo,podendo ser usadas nas prximas jogadas para as novas cartas de funes.

Se o jogador no tiver nenhuma propriedade de sua funo ele poder capturar dosbancos de seus oponentes uma propriedade de cada um, a cada jogada, desde que apropriedade capturada seja de sua funo. A captura pode ser bloqueada quando ojogador tiver em seu banco trs ou mais propriedades de sua funo, que, nesse

caso, fica definitivamente com o jogador que a posssui, juntamente com suas tiras depropriedades.

A cada jogada, cada um retira dos montes uma nova funo e cinco tiras depropriedades, que podem ser colocadas em seu banco, em qualquer das funesque l esto, ou ser usadas para a nova funo escolhida. A partir da segunda jogada,cada participante tem direito de capturar uma tira de propriedade de cada um de seusoponentes, desde que ela seja propriedade de uma das funes de seu banco.

As funes no podem ser capturadas, apenas as tiras de propriedades. Quando terminar o monte das funes, encerra-se o jogo. Ganha quem tiver mais tiras

de propriedades em seu banco.


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Y = 2X + 3

Y = - X + 4

2Y = x + x

Y = 2X - 3

Y = - X - 4

2Y = x - x

2Y = - x + x 2Y = - x - x

xY = 2 Y = ( )12


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ENSINOMDIO

80

Y = log x Y = log x12

3Y = x 3Y = - x

Y = x Y = 1x

3Y = x - x 3Y = - x + x

3Y = x + 1 3Y = x - 1


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Tem domnio .RI

Tem domnio .RITem domnio .RI

Tem domnio .RI

Tem domnio - {0}.RI

Tem domnio [0, + [.8

Tem domnio [0, + [.8

crescente em seu domnio.



decrescente em seu domnio.



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ENSINOMDIO

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decrescente em seu domnio. crescente e decrescente em intervalos de seu domnio.

crescente e decrescente em intervalos de seu domnio.

crescente e decrescente em intervalos de seu domnio.

Possui apenas pontos de mximo.

Possui apenas pontos de mximo.

Possui apenas pontos de mnimo.

Possui apenas pontos de mnimo.

Possui pontos de mximo e de mnimo.

Possui pontos de mximo e de mnimo.

No possui pontos de mximo nem de mnimo em seu domnio.


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No possui pontos de mximo nem de mnimo em seu domnio.

Grfico:

y

x1

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

y

x1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x-1 0 1

y

x-1 0 1

y

x-1

1

y

x

1

-1


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ENSINOMDIO

84

y

x

1

y

x

1

y

x

3

y

x

4

y

x-3

y

x-4

y

x0 1

y

x0-1

y

x0 1

y

x0-1

Grfico:

Grfico:y

x1

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:

Grfico:


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PROGRESSO GEOMTRICA E FUNO EXPONENCIAL

ObjetivoInter-relacionar contedos matemticos.

Quadrado Q 2rea do Quadrado (cm )

1 depois de Q 2

2 depois de Q 4

3 depois de Q 8

4 depois de Q 16

5 depois de Q 32

Ms Altura da planta (cm)

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

2A rea do 5 quadrado construdo, desconsiderando-se Q, de 32 cm .

RespostaAparentemente trata-se de dois problemas de mesmo tipo e com respostas numericamente

similares. No entanto, possvel perguntar no problema 2 qual a altura prevista para a plantaem 3 meses e meio. Essa pergunta nos leva a perceber que a diferena entre os dois problemas que eles podemser reapresentados por funes com domnios diferentes

1. Vamos chamar A(n) a rea da n-esimo quadrado construdo, excluindo-se Q.A funo A representada por:

2. Vamos chamar H(x) a altura da planta no tempo x.A funo H representada por:

nA(n)= 2 , n N

xH(x)= 2 , x [0, +]

2. Se a altura de uma planta dobra a

cada ms, durante um certo perodode sua vida, e sua altura inicial de

1 cm, qual a altura esperada ao

final do 5 ms?

1. Dado um quadrado Qde lado 1 cm,

so construdos outros quadrados de

modo que, a partir do 2, os pontos

mdios dos lados de cada um deles

sejam os vrtices do quadrado

anterior. Qual a rea do 5

quadrado construdo?


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ENSINOMDIO

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JUROS E FUNES

ObjetivoRelacionar o conceito de juro simples a funo afim e de juros compostos a funo

exponencial.

Suponhamos o capital de R$ 800,00 aplicada taxa de 40% ao ano.

t M = g (t)

0 800

1 1120

2 1440

2. Ainda no sistema de juros simples, omontante ser obtido em funo do tempo ea equao dessa funo M= 800 + 320t ouM= 320T+800 que o tipo da funo afim.

t M = g (t)

0 800

1 1120

2 1568

3 219,20

3. J no sistema de juros compostos, omontante obtido em funo do tempo

por meio da equao m= 800+1,4t, queenvolve uma variao do tipo exponencial.

G: R+-RM= g(t)= 800+320t

t I = F (t)

0 0

1 320

2 640F:R-R

1. No sistema de juros simples, os juros seroobtidos em funo do tempo de aplicao,atravs da equao J= 800.0,4t ou J = 320t.Essa funo tem uma equao do tipo dafuno linear.


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LOGARITMONENCIAL

ObjetivoRevisar contedos referentes a logaritmos e exponenciais, resolvendo os clculos

mentalmente.

Material24 quadrados divididos em 4 partes iguais, cada parte contendo operaes ou

resultados de logaritmos e exponenciais.

ParticipantesMnimo 2, mximo 4.

RegrasDistribuir as peas igualmente entre os participantes. Sortear o primeiro a jogar, que

deve colocar a pea na mesa e anotar numa tabela de pontos o maior resultado contido numa

pea. O prximo deve colocar uma pea encostada naquela que est sobre a mesa, fazendocorresponder clculo e resultado e marcando na tabela o resultado do clculo que completou.Caso o jogador no tenha uma pea para colocar, passa a vez e perde o nmero de pontos que oprximo jogador far, desde que ainda tenha cartas. No final do jogo, no tendo mais comocolocar peas, o jogador perde o nmero de pontos do maior resultado possvel de cada umadestas peas. Ganha o jogo quem tem o maior nmero de pontos.


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ENSINOMDIO

88

4 13 2537

4 3 27-6

1

22

log 2166

log 497

30 36

log 13

log 813

log 3437

26

log 100

log 1024224

log 2562

2

16

-2()


91/100


89

26 -2 2236

4 -1 313

50

24

log 22

1 8

log 0,001

03

16

15

-2()

19

log 9

log 6255

19

-3()

14

-3()

log 33

12

-4()

14

log ()


92/100

ENSINOMDIO

90

8 11 2716

6 16 910

2 36 2

log 15

log 6255

-2(5)

log 256 + log 12 8

log 8 + log 1252 5

log10 + log 5122

log 7299

54

log 33

14

2()

13

-2()

(2)13

-


93/100


91

2710

16 0 948

3

log 0,01

8

34

log 100

29

64

log 2433

log 100025

3

log 55

12

4() 13

-3()

13

2()

15

-2()

12

4()

125


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Atravs do jogo LOGARITMONENCIAL, o professor pode discutir a relao entre as funesexponencial e logartmica.Como construir, num mesmo sistema coordenado, os grficos de y = 2x eY = log2 x:

Como construir, num mesmo sistema, os grficos de y = (1/2)X e y = log x:

Observe que tanto na representao de y = 2x e y = log 2 x quanto na representao de y= (1/2)x e y log x os grficos das funes so simtricos em relao bissetriz do 1 e 3quadrantes, indicada pela linha tracejada nos desenhos .Podemos dizer que se trocssemos oseixos entre si, a funo exponencial setransformaria numa funo logartmica.Veja:

Para x =

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