NDICE

INTRODUO AO ESTUDO DA CINEMTICA.................................................................................. MOVIMENTO RETILNEO UNIFORME................................................................................................. GRFICO HORRIO DO MOVIMENTO RETILNEO UNIFORME.................................................... MOVIMENTO RETILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO................................................................ VETORES VELOCIDADE E ACELERAO......................................................................................... ADIO DE VETORES............................................................................................................................ MTODO DA POLIGONAL..................................................................................................................... REGRA DO PARALELOGRAMO............................................................................................................ MTODO DAS PROJEES.................................................................................................................... SUBTRAO DE VETORES.................................................................................................................... MULTIPLICAO DE UM NMERO REAL POR UM VETOR........................................................... VETOR DESLOCAMENTO...................................................................................................................... LEI DA INRCIA....................................................................................................................................... LEI FUNDAMENTAL............................................................... ............................................................... LEI DA AO E REAO............................................................... ...................................................... FORA PESO............................................................... ............................................................................. ACELERAO E CAMPO GRAVITACIONAL............................................................... ..................... APLICAES DAS LEIS DE NEWTON.................................................................................................. TRABALHO DE UMA FORA............................................................... ................................................. O TRABALHO DA FORA PESO............................................................... ........................................... EXERCCIOS............................................................... .............................................................................. TERMOMETRIA............................................................... ........................................................................ ESCALA FAHRENHEIT............................................................... ............................................................ ESCALA KELVIN............................................................... ...................................................................... ESCALA CELSIUS............................................................... ................................................................... DILATAO DOS SLIDOS E DOS LQUIDOS................................................................................... CONCEITO DE CALOR............................................................... ........................................................... CAPACIDADE TRMICA DE UM CORPO............................................................................................ PTICA GEOMTRICA............................................................... ............................................................ EXERCCIOS............................................................... .......................................................................... ONDAS............................................................... ............................................................... ........................ CARACTERSTICAS DA ONDA............................................................................................................. REFLEXO DAS ONDAS SONORAS............................................................... ..................................... EXERCCIOS............................................................... ............................................................................. AUTOAVALIAO............................................................... .................................................................. ELETRICIDADE............................................................... ........................................................................ ISOLANTES E CONDUTORES............................................................... ................................................ CAMPO ELTRICO............................................................... ................................................................... CORRENTE ELTRICA............................................................... ........................................................... RESISTNCIA ELTRICA............................................................... ....................................................... CIRCUITOS ELTRICOS............................................................... .......................................................... ASSOCIAO DE RESISTORES EM SRIE...................................................................................... ASSOCIAO DE RESISTORES EM PARALELO................................................................................ EXERCCIOS............................................................... .............................................................................. BIBLIOGRAFIA A CONSULTAR............................................................................................................

02 05 06 15 22 24 24 25 26 27 27 28 31 32 34 35 36 36 41 43 46 49 50 50 52 52 56 58 61 67 68 70 73 74 76 79 81 82 82 85 89 91 92 94 100

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Texto : INTRODUO AO ESTUDO DA CINEMTICAA Cinemtica a parte da mecnica que estuda e descreve os movimentos, sem se preocupar com as suas causas. Ela se baseia em quatro conceitos fundamentais: posio, tempo, velocidade e acelerao. comum, ao estudarmos o movimento de um corpo qualquer , trat-lo como uma partcula. Dizemos que um corpo uma partcula quando suas dimenses so muito pequenas, desprezveis , em comparao com as demais dimenses que participam do fenmeno . Por exemplo: se um automvel, de 3,5 m de comprimento , se desloca 15 metros, ele no pode ser considerado uma partcula mas, se ele se desloca por cerca de 200 quilmetros , seu comprimento desprezvel, em relao a essa distncia . A todo instante voc pode ver avies cortarem o cu, automveis percorrerem ruas e estradas, pessoas andarem de um lado para outro na cidade. O movimento est presente em cada momento do seu dia a dia . Como podemos verificar com exatido se um corpo est em movimento ou em repouso? Vejamos exemplo: uma pessoa est sentada dentro de um nibus e voc, parado na calada, a v passar . Essa pergunta tem duas respostas. Veja: Primeira resposta : poderamos dizer que a pessoa est em movimento, em relao a voc ( que estava parado na calada ) ; ou Segunda resposta : poderamos dizer que a pessoa est em repouso ( ausncia de movimento ), em relao ao motorista do nibus. Veja que, dependendo do ponto tomado como referncia, h ou no movimento de um corpo, ...... REFERENCIAL TODO CORPO OU PONTO EM RELAO AO QUAL SE VERIFICA A MUDANA DE POSIO DE UM OUTRO CORPO. Ou: REFERENCIAL UM CORPO RGIDO AO QUAL ASSOCIAMOS UM SISTEMA DE EIXOS PARA FACILITAR A CARACTERIZAO DA POSIO DE UM CORPO OU PARTCULA . Movimento , repouso e trajetria Quando a posio de um corpo ou partcula varia, em relao a um dado referencial, no decurso de um intervalo de tempo qualquer, diz-se que h movimento. Por outro lado, se a posio de um corpo no varia , em relao a um referencial, durante um intervalo de tempo, diz-se que esse corpo est em repouso. O caminho percorrido por uma partcula ou corpo em movimento chamado de trajetria. A trajetria de uma partcula em relao a um referencial dada pela linha contnua que une as sucessivas posies ocupadas pela partcula durante o seu movimento . Intervalo de tempo Para podermos situar um acontecimento em relao a outro, precisamos ordenar os fatos em passado , presente e futuro, ou seja, precisamos estabelecer um referencial. Assim, em um deslocamento de uma partcula qualquer, dizemos que ela passou por um 2

determinado ponto P0 em instante t0 , e est no ponto p1 no instante t1 . O tempo que a partcula levou de sua posio inicial P0 a posio P1, denomina-se intervalo de tempo . O intervalo de tempo t ento definido como a diferena entre o instante final e o instante inicial . t = tf t1 O deslocamento dessa partcula pode tambm ser definido como a diferena entre a sua posio final , no ponto P1, e a sua posio inicial no ponto P0 . Dessa forma, teremos, chamado o deslocamento de s, a posio final de Sf e a inicial de Si : s = Sf - Si A relao existente entre o deslocamento realizado por um mvel e o tempo gasto por esse mvel para realizar esse deslocamento chamado de velocidade mdia. A velocidade mdia vai, ento, indicar a rapidez com que um mvel mudou de posio . Representamos a velocidade mdia ( Vm ), assim :

Vm = s = Sf - Si t tf - t i As grandezas fsicas podem ser medidas usando-se diversas unidades. Por exemplo, o comprimento pode ser medido em metros , centmetros, quilmetros, ps, milhas, etc. A medio das grandezas fsicas deve ser feita de forma coerente . Para isso, foram estabelecidos alguns sistemas de unidades fsicas, dos quais os mais usados so trs : O Sistema Internacional (SI ) , tambm chamado de sistema MKS metro, quilograma, segundo; o sistema CGS centmetro , grama, segundo; e o sistema MK*S ou MKgfS Metro , quilograma fora, segundo. Na resoluo de qualquer problema necessrio que todas as unidades sejam de um mesmo sistema de unidades. Assim sendo, elaboramos a tabela que se segue, a fim de que voc possa se familiarizar com as grandezas dos vrios sistemas. Pedimos que voc tenha especial ateno com os sistema MKS, CGS, pois sero os que voc mais empregar no seu estudo. ( Decreto n 52 423, de 30/08/63. )

GRANDEZAS Comprimento Massa Tempo Velocidade M Kg

SI Cm g

CGS M

MK*S

utm (2 ) s ( ou seg ) m/s

s ( ou seg ) m/s

s ( ou seg ) cm/s

Seja , por exemplo, dada a velocidade de um mvel igual a 90 Km/h. Vamos transformar o valor da sua velocidade para os sistema MKS e CGS.

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1 ) Transformando para o sistema MKS, temos : 90 km/h = 90 km = 90 000 = 25 m/s 1 hora 3 600s (3) 2) Transformando para o sistema CGS, temos : 90 km/h = 90 km = 9 000 000 cm = 2 500 cm / s 1 hora 3 600 s Pense e responda. A velocidade mdia reflete a velocidade de um mvel em cada ponto de sua trajetria ? no. Ns sabemos que durante um deslocamento qualquer, um mvel pode variar a sua velocidade e que a velocidade mdia pode ser, ento, muito diferente da velocidade em determinado ponto da trajetria. A velocidade de um mvel em determinado instante chamada de velocidade instantnea. (V) , que traduz a velocidade em cada ponto da trajetria . Nesse nosso curso, iremos tratar apenas da velocidade mdia. 1 EXERCCIO AGORA VOC VAI FAZER A VERIFICAO DO QUE APRENDEU NESTE TEXTO, PARA RESOLVER OS EXERCCIOS QUE SE SEGUEM VOC DEVE SABER: O QUE CINEMTICA , REFERENCIAL, TRAJETRIA, INTERVALO DE TEMPO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE MDIA . TRANSFORMAR PARA OS SISTEMA MKS E CGS AS UNIDADES DE COMPRIMENTO, TEMPO E VELOCIDADE. 1 COMPLETE AS LACUNAS . 1. A Cinemtica a parte da .......................................... que estuda e descreve os .................................... sem se preocupar com as suas causas. 2. Referencial um corpo ........................................ ao qual associamos um .................................. para facilitar a caracterizao da ............................................de um corpo. 3. Trajetria o ............................................. percorrido por uma partcula em .................... 4. Intervalo de tempo definido como a ................................................... entre o ............................................... e o ................................................... . 5. O deslocamento de uma partcula definido como a .......................................................... entre a sua posio .......................................... e a posio ...................................................... 6. A relao entre o deslocamento realizado por um mvel e o tempo gasto por esse mvel para realizar esse deslocamento chamado de ....................................................................... II Transforme os valores das velocidades para o sistema MKS. 1. 108 quilmetros por hora 2. 60 metros por minuto 1 Chave de Correo . I 1 . Mecnica / movimentos 4

2. Rgido / sistema de eixos / posio 3. caminho / movimento . 4. diferena / instante final / instante inicial 5. diferena / final / inicial 6. velocidade mdia II 1 . 108 km /h = 180 km = 180 000 m = 30 m/s 1 hora 3 6000 2. 60 m/m = 60 m = 60 m = 1 m/s 1 minuto 60 s

MOVIMENTO RETILNEO UNIFORMEVimos que a velocidade de um corpo a rapidez com que ele muda de posio . Essa mudana de posio pode ser efetuada de diferentes maneira . Cada maneira caracteriza um determinado tipo de movimento. Vejamos m desses tipos: o movimento retilneo uniforme (MRU ). Chamamos de MRU quele em que o deslocamento do corpo ( em relao a um referencial ) se d em uma trajetria retilnea ( em linha reta ) com o valor de velocidade constante. Assim, quando afirmamos que um mvel executa movimente retilneo uniforme com velocidade de 10 m/s, isto significa que em qualquer instante o valor da velocidade deste mvel ser de 10 m/s. Sabemos que todo corpo em movimento sofre uma variao de posio . Para indicar a posio de um corpo em um determinado instante, usamos a equao denominada equao horria. Veja o exemplo. Um mvel est se movendo em MRU. Tomamos um ponto X com referencial. O mvel parte do ponto 1 no instante t1 = 0 e chega ao ponto 2 no instante tf = t, como mostra o esquema a seguir 2 Ti = 0 Tf = t Si S Quando o mvel atinge o ponto 2, sua posio em relao ao ponto x dada pela expresso S = si + s Como a velocidade do mvel constante, podemos aplicar a frmula de Vm. Vm = s s = Vm . t ou s = Vm . ( tf ti ) t como, pelo enunciado tf - t , temos ainda que: Vs = Vm . ( t t1 ) , mas t1 = 0 , ento S

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s = Vm . t , ou simplesmente s = V . t Se substituirmos s por ( s sj ) , teremos : S Sj = V . t , ou S = Sj + V t Que a equao horria do Movimento Retilneo Uniforme. Vejamos um problema resolvido. 1. A posio de um mvel em Movimento Retilneo Uniforme representada pela equao S = 2 + 5 t. Usando as unidades do sistema MKS. Calcule : a) a posio inicial do mvel : s = 2 + 5t : ( para t = 0 ) s = 2 + 5 . 0 s= 2 +0 :(s=2 ) Resp. A posio inicial do mvel 2 metros. b) A posio do mvel no instante t = 3 s=2 + 5t s=2 +(5 .3 ) s = 2 + 15 . S = 17 Resp. A posio do mvel no instante t = 3 17 metros. c) O deslocamento do mvel no instante t = 10 s=2 + 5t s = 2 + ( 5 . 10 ) s = 2 + 50 s = 52 ( posio do mvel em t= 10 ) s = s sj s = 52 2 s = 50

resp: o deslocamento do mvel de 50 metros. t= 10 e s = 50 m

d) a velocidade do mvel Vm = s tomando se t Vm = 50 m : Vm = 5m/s 10s

Resp. A velocidade do mvel de 5 m/s Os grficos so de grande valia para anlise dos movimentos e a resoluo de problemas. Sabendo-se interpretar um grfico, dele extramos um grande nmero de informaes .

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GRFICO HORRIO DO MOVIMENTO RETILNEO UNIFORMEO grfico horrio de um movimento retilneo uniforme a representao grfica de sua equao horria , num sistema de coordenadas cartesianas. Nele, marcamos os tempos no eixo das abscissas e os espaos no eixo das ordenadas. Vamos fazer uma tabela tempo x posio para a equao s = 10 + 5t ; atribuindo valores para o tempo, Assim teremos ; Para t = 0 s = 10 + ( 5 . 0 ) = 10 Para t = 1 s = 10 + ( 5 . 1 ) = 15 Para t = 2 s = 10 + (5 . 2 ) = 20 Para t = 3 s = 10 + (5 . 3 ) = 25 Para t = 4 s = 10 + (5 . 4 ) = 30 Para t = 5 s = 10 + ( 5 . 5 ) = 35 Para t = 6 s = 10 + ( 5 . 6 ) = 40 Para t = 7 s = 10 + ( 5 . 7 ) = 45 Vamos transportar os valores da tabela para o grfico s x t , onde o eixo das abscissas ter os valores do tempo e o eixo das ordenadas, os valores da posio.

A equao horria do MRU uma equao do 1 grau em t. Assim sendo, seu grfico sempre ser uma reta. No grfico que acabamos de construir , o movimento progressivo, pois o valor de s diminui com o aumento dos valores de t. Dizemos que um movimento progressivo quando seu sentido coincide com o sentido convencionado como positivo e que o movimento regressivo quando, em caso contrrio, seu sentido oposto ao convencionado com positivo. 1. Grfico da velocidade do Movimento Retilneo Uniforme O grfico da velocidade o grfico que obtemos marcando o tempo no eixo das abscissas e a velocidade no eixo das ordenadas. No caso do MRU, onde a velocidade constante, a ordenada a mesma para todos os pontos. Vejamos um exemplo. Um formiga percorre uma escala graduada, em movimento retilneo uniforme, para pegar um gro de acar. Sabendo-se que no instante t = 0 ela se achava na origem da escala, e que aps percorrer o espao de 15cm , havia se passado 10 segundos , pede-se : a) calcular a velocidade da formiga 7

b) fazer o grfico da velocidade do movimento

Resoluo Dados : t = 0 s = 0 t = 10 s = 15 Vm = s . t Vm = 15 cm 10 s Vm = 1,5 cm/s Resp. A velocidade da formiga de 1,5 cm/s. Observe que: 1) a velocidade constante um paralela 2) a rea hachurada, no grfico, representa o deslocamento da formiga, pois s = S1 = vt e nesse caso Si = 0 ( ela estava na origem da escala no instante t = 0 ) , ento s = v. t. Isso nos mostra que : AO TRAARMOS O GRFICO DE UM MOVIMENTO RETILNEO UNIFORME, O VALOR NUMRICO DO ESPAO PERCORRIDO ENTRE DOIS INSTANTES IGUAL A REA DELIMITADA PELO EIXO DAS ABSCISSAS , PELA RETA DA VELOCIDADE E PELAS DUAS PERPENDICULARES A ESTE EIXO, TRAADAS PELOS PONTOS DOS DOIS INSTANTES CONSIDERADOS.

Exerccios Faa a verificao do que voc aprendeu nesse texto. Para resolver os exerccios que se seguem, voc deve saber: O que movimento retilneo uniforme. O que representa a equao horrio . Resolver problemas de movimento retilneo uniforme. Fazer tabelas e grficos do movimento retilneo uniforme. Interpretar grficos do MRU. I Escreva nos parnteses, (V) se afirmativa for verdadeira ou (f) se for falsa. II Preencha o quadro: Equao da posio S = 2 + 3t S = 5 + 2t S = 4t Posio Inicial (t=0) Deslocamento em 3s Posio em 3s Velocidade do Mvel ( em m/s )

III Resolva os Problemas . ( use folha avulsa.)

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1. Um mvel percorre, num movimento uniforme, uma trajetria retilnea com a velocidade de 1,5 m/s. Sabendo-se que o espao inicial de 40 m , calcule o valor do espao percorrido ao fim de 5 minutos. 2. Uma tartaruga encontra-se a quatro metros de uma folha de alface e comea a se mover em direo a folha com velocidade constante igual a um dcimo de quilmetro por hora. Quanto tempo a tartaruga vai gastar para atingir a folha ? 3. Dois Mveis deslocam-se sobre uma reta, em movimento uniforme, partindo simultaneamente de dois pontos A e B da reta, afastados 70 cm . Quando eles se movem em sentidos opostos ( um ao encontro do outro ) , encontram-se 7 segundos aps a partida. Quando eles se movem no mesmo sentido, um deles alcana o outro ao cabo de 35 segundos . Calcule a velocidade dos dois mveis . 2 Chave de correo

I 1.(v); 2.(f) um movimento retilneo uniforme pode ser progressivo ou regressivo. 3.(v) IIEquao da Posio S = 2 + 3t S = 5 + 2t S = 4t Posio Inicial (t=0) 2m 5m 0 Deslocamento em 3s 9m 6m 12m Posio em 5s 17m 15m 20m Velocidade do Mvel ( em m/s) 3m/s 2m/s 4m/s

III 1. v = 1,5 m/s Tj = 0 Sj = 40 m Sf = ? Tf = 5 min = 300s Usando a equao horrio S = Sj + v . t , teremos : S = 40 + ( 1,5 . 300 ) S = 40 + 450 S = 490 metros Resp. o espao percorrido ao final de 5 minutos de 490 metros. A primeira coisa a se fazer em um problema converter todos os dados para um mesmo sistema de unidade, assim tf = 5 minutos que correspondem a 300 segundos. 2.

V = 0,1 km/h = 100 m = 100m = 0,027 m/s 1h 3600s s = sj + vt 9

4 = 0 0,027 . t t = 4 t = 148 segundos 0,027

resp. a tartaruga vai gastar 148 segundos para atingir a folha. A C 3. Sa AB = s = 70 cm T1 = 7s T2 = 35s 70 cm s = sj + v . t

B Sb

Quando os dois mveis se deslocam em sentido opostos, encontram-se um ponto qualquer do segmento AB ao qual chamaremos de C ( veja o desenho ) . Neste caso, a soma dos espaos percorridos pelos dois mveis de 70 cm e podemos escrever que : Sa = Va . T1 Sa = Va . 7 Sa = 7 Va Sb = Vb . T1 Sb = Vb . 7 Sb = 7 Vb Somando membro a membro as duas equaes, temos: Sa = 7 Va Sb = 7 Vb . As + Sb = 7 Va + 7 Vb Mas sa + sb = s = 70 cm, ento : 7 Va + 7 Vb = 70 dividindo ambos os membros por 7 , Va + Vb = 10 equao I

Por outro lado, quando os mveis se deslocam no mesmo sentido , temos : A C Sa B Sb D

as = Va . 35 Sa = 35 Vz Sb = Vb + 35 Sb = 35 Vb 10

Subtraindo membro a membro as duas equaes , temos Sa = 35 Va Sb = 35 Vb . As Sb = 35 Va 35 Vb Mas Sa - Sb igual ao segmento AB = 70 cm , ento 35 Va 35 Vb = 70 Dividindo ambos os membros por 35, Va Vb = 2 equao II Consideremos agora o sistema formado pelas duas equaes Va + Vb = 10 Va - Vb = 2 , resolvendo , temos : 2 Va = 12 Va = 6 Substituindo o valor de Va na primeira equao : Va + Vb = 10 6 + Vb = 10 Vb = 10 6 = 4 Como as unidades desse problema so do sistema CGS, as velocidade so : Va = 6 cm / s Vb = 4 cm/s Resp as velocidades dos mveis so 6 cm/s e 4 cm/s. Atividades de ensino

Movimento Retilneo Uniformemente Variado Nestas atividades de ensino, voc vai ler o texto e resolver exerccios que lhe permitiro : 1 Caracterizar Acelerao . 2 Resolver problemas e analisar grficos sobre movimento retilneo uniformemente variado, 3 Identificar e resolver Problemas sobre queda livre. 1 Texto : Acelerao Nas atividades de ensino B, voc estudou o movimento retilneo uniforme , cuja caracterstica fundamental a velocidade constante.

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Na nossa vida diria , entretanto, o MRU pouco comum . Se entrarmos em um nibus ou em um carro e ficarmos observando o ponteiro do velocmetro, veremos que a velocidade raramente ser constante, aumentando e diminuindo vrias vezes . Assim, um nibus ou automvel no trnsito de uma cidade , um jogador de futebol durante uma partida, uma criana brincado so exemplos tpicos de movimento variado. O Movimento Retilneo Uniforme Variado aquele que se realiza em uma trajetria retilnea e que o valor numrico da sua velocidade varia com o decorrer do tempo. UM MOVIMENTO RETILNEO E UNIFORMEMENTE VARIADO QUANDO UM CORPO PERCORRE UMA TRAJETRIA RETILNEA , COM ACELERAO ESCALAR CONSTANTE E DIFERENTE DE ZERO. Suponhamos que um automvel esteja percorrendo uma estrada com uma velocidade V1 qualquer e que seu motorista resolva ultrapassar outro veculo. Ele pisar mais fundo no acelerador e o automvel aumentar a velocidade, que passar para um valor V2. Haver , ento , uma variao da velocidade v = V2 V1. Suponhamos ainda que esta variao da velocidade tenha ocorrido durante um intervalo de tempo t = t2 t1 . A acelerao escalar mdia entre os instante t1 e t2 definida, ento , como sendo a relao entre a variao da velocidade e a variao de tempo, assim : a = v = V2 - V1 t t2 t1 vejamos um exemplo. Um automvel, com velocidade de 18 m/s em um instante t = 0 , passa por um ponto t = 5 s a uma velocidade de 26 m/s. a variao da velocidade foi : v = 26 m/s 18 m/s = 8 m/s a variao do tempo foi : t = 5s 0s = 5s a acelerao foi : a = v = 8 m/s = 8 m 5s t 5s 1s 2 a = 8 m x 1 = 8m a = 1,6 m/s 1s 5s 5s2 Voltamos a lembra-lhe que , antes de resolver qualquer problema, as unidades das grandezas devem ser todas convertidas para um mesmo sistema. Voc j sabe que a acelerao a relao existente entre a variao da velocidade e a variao do tempo: a = v . t O denominador dessa frao, t, representa um intervalo de tempo e sempre positivo. O numerador , v, pode ser positivo ou negativo, portanto a acelerao pode ser positiva ou negativa. Relacionando as grandezas e acelerao, chegamos a quatro combinaes diferentes: 1. velocidade crescente, em mdulo, no sentido positivo.

VELOCIDADE MDIA MAIOR QUE ZERO ACELERAO MDIA MAIOR QUE ZERO VELOCIDADE, EM MDULO, CRESCENTE. Neste caso, temos o movimento chamado de progressivo e acelerado. 2 . velocidade crescente, em mdulo, no sentido negativo. 12

VELOCIDADE MDIA MENOR QUE ZERO ACELERAO MDIA MENOR QUE ZERO VELOCIDADE, EM MDULO, CRESCENTE. Neste caso, temos o movimento chamado de regressivo e acelerado. 2. velocidade decrescente , em mdulo , no sentido negativo.

VELOCIDADE MDIA MENOR QUE ZERO ACELERAO MDIA MAIOR QUE ZERO VELOCIDADE, EM MDULO , DECRESCENTE Neste caso , temos o movimento chamado de regressivo e retardado. Podemos, ento , concluir que : O MOVIMENTO ACELERADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAO TM O MESMO SINAL , OU SEJA, QUANDO AMBAS SO POSITIVAS OU NEGATIVAS. E que : O MOVIMENTO RETARDADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAO TM SINAIS DIFERENTES , OU SEJA , QUANDO UMA POSITIVA E A OUTRA , NEGATIVA. O movimento acelerado quando o mdulo da velocidade aumenta com o decorrer do tempo o mvel tende a andar mais rpido, mesmo que seu deslocamento seja em sentido oposto ao convencionado com positivo. O movimento retardado quando o mdulo da velocidade diminui com o decorrer do tempo o mvel tende a parar, mesmo que seu deslocamento seja em sentido positivo. 1 Exerccios VOC AGORA VAI VERIFICAR O QUE APRENDEU DO ESTUDO DO TEXTO E, SE FOR O CASO O QUE PRECISA ESTUDAR MAIS . SUGERIMOS QUE VOC NO TENTE RESOLVER OS EXERCCIOS SEM QUE TENHA CERTEZA DA RESPOSTA QUE VAI DAR. PARA RESOLV-LO , VOC DEVE SABER : O QUE ACELERAO QUAIS OS TIPOS DE MOVIMENTO EM FUNO DOS VALORES DA VELOCIDADE E DA ACELERAO. COMO CALCULAR OS VALORES DA VELOCIDADE E DA ACELERAO I RESPONDA 1 . O que o movimento retilneo uniformemente variado ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 2. O que acelerao escalar mdia ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

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3. Quando um movimento acelerado ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ II COMPLETE AS SEGUINTES FRASES. 1. No movimento progressivo e acelerado, temos a ) velocidade mdia ________________________________________________________ b) acelerao mdia _________________________________________________________ c) mdulo da velocidade _____________________________________________________ 2. No movimento progressivo e retardado, temos a) velocidade mdia _________________________________________________________ b) acelerao mdia _________________________________________________________ c) mdulo da velocidade _____________________________________________________ III - Resolva ( use folha avulsa. ) 1. Um automvel, percorrendo uma estrada retilnea, passa por um ponto t= a uma velocidade de 18 m/s . Um minuto depois, sua velocidade e de 48 m/s . Qual a sua acelerao ? 2. Um carro de corrida, saindo do repouso, alcana uma velocidade de 234 km/h em 13 segundos. Qual a sua acelerao ? 1 Chave de correo I 1 . o movimento retilneo uniformemente variado aquele que se realiza em uma trajetria retilnea e que o valor numrico da sua velocidade varia com o decorrer do tempo . 2. Acelerao escalar mdia a relao entre a variao da velocidade e a variao de tempo entre dois instantes . 3. Um movimento acelerado quando o mdulo da velocidade aumenta com o decorre do tempo. II 1. a) b) c) No movimento progressivo e acelerado, temos velocidade mdia maior que zero acelerao mdia maior que zero mdulo da velocidade crescente.

2. No movimento progressivo e retardado, temos a) velocidade mdia maior que zero b) acelerao mdia menor que zero c) mdulo da velocidade decrescente. III 1 - dados : to = 0 Vo = 18 m/s a= v . t a = v1 - vo = 48 m/s - 18 m/s = 30 m/s a = 0,5 m/s 2 t1 - to 60 s - 0 s 60 s resp a acelerao do automvel de 0,5 m/s2 e t = 1 minuto = 60s v1 = 48 m/s

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Texto : MOVIMENTO RETILNEO UNIFORMEMENTE VARIADOTerminado nosso estudo sobre acelerao, vamos nos aprofundar um pouco mais no estudo do Movimento retilneo uniformemente variado . Consideremos um mvel em MRUV com uma velocidade inicial a vo no instante to = 0 , em que vamos comear o estudo do movimento. Se o mvel est em MRUV, ele possui uma acelerao a constante; ento , usando a equao a = v , que nos define a acelerao , podemos escrever : t v = a . t como v = v vo e t = t to, temos que v vo = a ( t to ), mas to = 0 , ento v vo = a t, e v = vo + a . t, que a equao que nos permite calcular a velocidade de um mvel, depois de decorrido um tempo t qualquer . Para completar a descrio do MRUV , precisamos conhecer, alm da acelerao e da velocidade, a posio do corpo com o decorrer do tempo . No movimento retilneo uniformemente variado, a variao da velocidade escalar proporcional ao tempo , o que nos permite dizer que a velocidade escalar mdia entre dois pontos igual a media aritmtica das velocidade escalares instantneas nos pontos considerados . Vm = v + vo . 2 os , substituindo v pela sua equao ( v = vo = at ), Vm = ( vo at ) + vo vm = 2 vo + at vm = vo + at . 2 2 2 mas voc sabe que Vm = s so , Vo + at s so = vo . t + a . t . t, 2 2 2 da s= s0 + vo t + at2 que a equao horria do MRUV. 2 vejamos um problema resolvido. 1. um avio percorre a pista de decolagem de um aeroporto, com acelerao constante de 5m/s2. Em determinado instante o avio est com a velocidade de 40 m/s. Responda . a) qual ser a velocidade do avio 10 segundo aps esse instante ? b) quantos segundos foram necessrios para que o avio atingisse a velocidade de 40 m/s ? c) qual ser o espao percorrido pelo avio nos primeiros 20 segundos de movimento e qual sua velocidade nesse instante ? resoluo : a ) Dados : a = 5 m/s2 t = 10s vo = 40 m /s v=? v = vo + at v = 40 + 5 . 10 v = 40 + 50 v = 90 m/s resp : a velocidade do avio ser de 90 m/s. b) dados : a = 5 m/s2 v= 40 m/s v = vo + a t vo = 0 t=?

40 = 0 + 5 t t = 40 t = 8 s 15

5 resp: o tempo necessrio para que o avio atingisse a velocidade de 40 m/s foi de 8 segundos. c) dados : a = 5 m/s so = 0 t = 20 s vo = 0 s = so + vo t + at2 2 s = 0 + 0 . t + 5 . ( 20 )2 2 s = 5 . 400 = 2000 s = 1000 m 2 2 v = v o + at v = 0 + 5 . 20 v = 100 m/s resp o espao percorrido pelo avio . nos primeiros 20 segundo de movimento , ser de 1000 m e sua velocidade ser 100 m /s. Equao de Torricelli. A equao de Torricelli permite resolver problemas de movimento retilneo uniformemente variado, sem a utilizao da grandeza tempo. Vejamos um exemplo: Um carro est desenvolvendo uma velocidade de 20 m/s quando o motorista aciona o freio, produzindo uma desacelerao ( acelerao negativa ) de 2 m /s . Qual a distncia que o carro vai percorre desse instante at parar ? Com os conhecimentos j adquiridos , voc certamente resolveria esse problema em duas etapas : 1 etapa : clculo do tempo que o veculo leva para parar dados : a = - 2 m/s2 v=0 vo = 20 m/s t=? v= vo + at 0 = 20 + (-2 )t 2t = 20 t = 10 s 2 etapa : clculo da distncia que o mvel vai percorrer dado : vo = 20 m/s t = 10s a = - 2 m/s2 so = 0 s = s0 + v . t + at2 . 2 s = 0 + 20 . 10 = ( - 2 ) . 102 s = 200 + ( - 200 ) s = 200 100 s = 100 m 2 2 vejamos . temos os dados : a = - 2 m/s2 v=0 vo = 20 m/s aplicando a equao de Torricelli, temos : 2 = 202 + 2 . 2 . ( s so ) , mas so = 0 , ento: 0 = 400 + 2 . 2s 0 = 400 4s 4s = 400 s = 100 m resolvemos o mesmo problema com maior rapidez e simplicidade, no foi ? 16

Antes de continuarmos , gostaramos que voc percebesse no ser necessrio memorizar todas as variantes das equaes apresentadas. Qualquer problema sobre movimento retilneo uniformemente variado ser resolvido por voc com o auxlio de apenas trs frmulas : a equao horria a equao da velocidade a equao de Torricelli s = so + vot + at2 . 2 v = vo + at v2 = vo2 + 2a ( s so ) Grficos do MRUV

Assim como os grficos do Movimento Retilneo Uniforme, os do movimento retilneo uniformemente variado nos fornecem todos os dados necessrios anlise do movimento. 1. Grfico v x t 7O grfico da equao da velocidade uma funo do 1 grau : v = vo + at 9 sempre com a 0 . Vamos construir a tabela e o grfico para v= 2 + 3 t .

O grfico v x t nos d, alm da variao da velocidade em funo do tempo, o valor da acelerao ( a = v a = 8 - 5 a = 3 ou a = 17 - 11 = 6 = 3 ) e o valor do deslocamento , t 2 - 1 5 - 3 2 Representado pela rea hachurada No trapzio do grfico anterior, o lado AB a base maior, o lado 0C a base menor e o lado 0A a altura. Calculando o valor numrico da rea hachurada, obteremos 47,5 que o mesmo valor que encontraremos se calcularmos o deslocamento,atravs da frmula 2 . Grfico s x t a equao horria do MRUV uma equao do 2 grau em t: s = so + vot + at2 2

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A representao grfica de uma equao do segundo grau sempre uma parbola, ento , vamos construir o grfico para um movimento que tenha a equao s = t + 2t2 . 2 T 0 1 2 3 4 S 0 2 6 12 20 12 20

6 1 1 2 3 4

Observe o problema resolvido a seguir. 1. Um mvel descreve um movimento uniformemente variado. Sua velocidade varia em funo do tempo, de acordo com a tabela: T(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 V(m/s 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20

Determine : a) a velocidade inicial vo do movimento b) a acelerao a do movimento c) a equao horria da velocidade no intervalo de tempo da tabela d) em que intervalo de tempo o movimento retardado e) em que intervalo de tempo o movimento acelerado f) em que intervalo de tempo o movimento progressivo g) em que intervalo de tempo o movimento regressivo h) o espao percorrido pelo mvel entre os instantes to e t9 i) o grfico da funo v x t j) o grfico da funo s x t . resoluo : a ) a velocidade inicial do movimento a velocidade do mvel no instante t= 0s . Da tabela obtemos vo = 16 m/s c) pelo anunciado do problema , sabemos que o mvel est em MRUV e que sua acelerao econstante em qualquer intervalo de tempo considerado. Entre os instantes t = 0s e t = 1s, temos : a = s a = 12 16 a = -4 m/s 18

t

1

d) como o movimento uniformemente variado, a equao da velocidade expressa por v = vo + at. Com os valores j obtidos, temos : v = 16 4t e) como o movimento retardado quando o mdulo da sua velocidade cresce com o decorrer do tempo, Portanto, o movimento acelerado entre os instantes t = 4s e t = 9s, pois | 0 | < | -4 | < | - 8 | < | -12 | < | -16 | < | -20 | 0 < 4 < 8 < 12 < 16 < 20 . f) O movimento progressivo quando sua velocidade maior que zero, ou seja, positiva. Pela tabela, temos que a velocidade do mvel positiva entre os instantes t= 0s e t = 4s , que o intervalo de tempo no qual o movimento progressivo. g) O movimento regressivo quando sua velocidade e negativa.Na tebela , vemos que isso ocorre entre os instantes t = 4s e t = 9s h) Vamos calcular o espao percorrido pelo mvel em duas etapas . A primeira entre os instantes t = 0s e t = 4s e a segunda entre os instantes t = 4s e t = 9s . Entre os instantes t = 0s e t = 4s , o mvel percorreu : S = so + vot + at2 s = 0 + ( 16 . 4 ) + ( - 4 . 42 ) s = 64 32 = 32 m 2 2 entre os instantes t = 4s e t = 9s , o mvel percorreu : s = so + vo t + at2 s = 0 + 0 . 5 + | ( - 4 . 52 ) | s = 100 = 50 m 2 2 2 o espao percorrido pelo mvel entre os instantes to e t 9 foi de 32m + 50 m = 82 m . Calculamos separadamente os espaos percorridos porque , caso contrrio , a aplicao direta da equao s= so + vot + at 2 /2 nos daria a distncia entre os pontos t = 9s e t = 0s , o que completamente diferente, uma vez que o mvel, como se pode ver pela tabela, fez o seguinte percurso como e ilustrado a seguir:

Note que o instante t = 4s, quando a velocidade do mvel se anula, ocorre mudana no sentido do movimento . Poderamos, tambm , resolver essa questo da seguinte forme: Considerar o espao inicial So como sendo o percorrido entre os instantes t = 0s e t = 4s Calcular o mdulo do espao percorrido entre os instantes t = 4s e t = 9s e som-lo ao espao inicial , assim :

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S = So ( t = 0 t = 4 f) + Vot + at2 2 s = 16 . 4 + ( - 4 . 42 ) + | 0 . 5 + ( -4 . 52) s = 64 + ( - 32 ) + | - 50 | s = 32 + 50 = 82 m 2

j ) o grfico v x t obedeceria a tabela dada no enunciado :

Vamos aproveitar o grfico V x T para calcular as reas dos tringulos A e B que somadas tero o valor do deslocamento do mvel. Sabe-se que a rea de um tringulo retngulo ( A e B so tringulos retngulos ) calculada pela frmula : A = base x altura 2 ento a rea do tringulo A : 4 x 16 = 64 = 32 m 2 2 e a rea do tringulo B : 9 4 x 20 = 5 x 20 = 50 m 2 2 A soma do valor das reas dos tringulos A e B , ento, 32m + 50m = 82m m que o valor do deslocamento do mvel. J ) Vamos construir a tabela da funo s x t , substituindo o valor de t na equao S = Vot + at2 2 e transportar os dados para o grfico

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2. Exerccios Faa a verificao do que aprendeu do estudo deste texto, sugerimos a voc no tentar responder aos exerccios sem ter certeza do domnio do contedo apresentado. Para resolv-los voc dever saber : Quais as principais equaes do MRUV. Como construir os grficos do MRUV. Como resolver problemas sobre MRUV. I - Escreva , nos parnteses, (v) se a afirmao for verdadeira ou (f) se for falsa. 1 ( ) No movimento retilneo uniformemente retardado, o grfico sx t fornece uma reta inclinada em relao ao eixo dos tempos. 2 ( ) No MRUV , a reta obtida ao se construir o grfico V x T indica o espao percorrido pelo mvel. 3 ( ) A velocidade mdia de um mvel em MRUV , entre dois instantes, vale a mdia aritmtica das velocidades instantneas que o mvel apresenta em cada um desses instantes. 4 ( ) No movimento retilneo uniformemente variado, a variao da velocidade proporcional ao tempo. II Relacione a coluna da esquerda com seus correspondentes direita escrevendo, nos parnteses, a letra adequada. 1. ( ) Equao horria do MRUV A v = vo + at 2. ( ) Equao da velocidade do MRUV B - a = v . 3. ( ) Equao da acelerao mdia t C - s = so + vot + at2 2 D v2 = vo2 + 2a ( s so ) III Resolva os problemas apresentados. ( use folha avulsa.) 21

1.Um mvel gasta 15 segundos para passar da velocidade de 11 m/s para 29 m/s . Qual a sua acelerao ? 2. Um mvel tem movimento retilneo uniformemente acelerado, com acelerao de 6 cm/s2. Sabendo-se que a velocidade inicial vale 4 cm/s e o espao inicial vale 20 cm, qual a equao horria desse movimento e qual ser o espao percorrido no instante t= 4s ? 3. Um automvel acha-se a uma velocidade de 54 km/h e seu motorista obrigado a frear repentinamente. Sabendo-se que os freios imprimem ao carro uma acelerao negativa de 2m/s2, pergunta-se quanto tempo gasta o carro at parar e que distncia percorre nesse tempo? 4. Um cano de fuzil tem 90 cm de comprimento e uma bala deixa o fuzil com uma velocidade de 600 m/s . Que acelerao mdia age sobre a bala durante seu percurso dentro do cano e qual o tempo gasto pela bala para percorrer o cano ? 2 . Chave de correo I 1. ( F ) no movimento retilneo uniformemente retardado e no movimento retilneo uniformemente acelerado, o grfico s x t fornece uma parbola. 2. ( F ) No MRUV, a reta que se obtm ao se construir o grfico v x t indica a velocidade e a acelerao do mvel. O espao percorrido indicado pela rea delimitada pelo eixo dos tempos ( abscissa ), pela reta e pelas perpendiculares ao eixo dos tempos traadas pelos pontos dos intervalos de tempo inicial e final . 3. ( V ) II - 1. ( c ) ; 4. ( V ) 2. ( d ) ; 3 (a ) ; 4. ( b ) .

III 1. Dados : vo = 11 m/s V = 29 m/s V vo + at 29 = 11 + a . 15 29 11 = 15a 15a = 18 a = 1,2 m/s2 Resp. a acelerao do mvel e de 1,2 m/s2 2. Dados : a = 6 cm/s2 vo = 4 cm/s So = 20 cm t =4s

s=?

a equao horria do MRUV : s = so + vot + at2 2 inserindo nessa equao os dados do problema, temos :

VETORES VELOCIDADE E ACELERAO1. direo e sentido Quando automveis se encontram em quatro pontos distintos de um cruzamento de ruas , como indica a figura abaixo.

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Se todos esto se movimentando a 36 km/h, podemos dizer que possuem a mesma velocidade escalar. Entretanto, observe que: Os mveis A e C movimentamse na mesma direo, indicada pela reta em que se encontram ( no caso, a rua ), mas em sentidos opostos( o sentido indicado pela seta ), o mesmo ocorrendo com os mveis B e D; Os mveis A e B movimentam se em direes e sentidos diferentes, o mesmo ocorrendo com os mveis C e D. A necessidade de associar os conceitos de direo e sentido aos valores numricos da velocidade e da acelerao, torna-se clara quando analisamos os movimentos dos corpos no plano. Neste estudo, vamos aplicar uma parte de Matemtica denominada Clculo vetorial , que fornecer base suficiente para a resoluo de problemas envolvendo Cinemtica vetorial . Antes, porm, vamos ver o que vetor.

2. VetorSe voc observar um conjunto de retas paralelas, ver que elas apresentam uma caracterstica comum : tm a mesma direo . _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ A cada direo podemos associar uma orientao ou sentido: A Sentido de B para A A Sentido de A para B B B

Um segmento de reta orientado possui, alm de direo e sentido, uma medida (nmero real no negativo ) chamada mdulo. mdulo vetor ( do latim vector = condutor ) o ente matemtico que rene em si mdulo, direo e sentido . Todo segmento que apresenta essas trs caractersticas pode representar um vetor: direo Vetor sentido Mdulo ( nmero real no negativo )

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Representao vetorial :

GrficaA

AlgbricaX, Y, Z , M , a , b , ...

Do mdulo|X|, |Y|, |Z|, |M|, | a |, | b | , ...

O Dois vetores so Iguais quando apresentam mesmo mdulo, mesma direo e mesmo sentido. Opostos quando apresentam mesmo mdulo e mesma direo, mas sentidos contrrios. O vetor oposto pode ser indicado pelo sinal negativo, precedendo a notao algbrica : C D C = D

ADIO DE VETORESUma importante aplicao prtica da adio de vetores a determinao da rota de embarcaes e avies. Por exemplo, quando um avio est est voando de um lugar ( A) para outro ( B ) e enfrenta uma vento que sopra em ngulo reto em sua direo , o piloto deve alterar sua rota, fazendo um desvio como o representado na figura. A nova direo dada pela adio dos vetores . Rumo do avio A Rota a seguir B C Direo Do vento

Existem vrias maneiras de efetuar a adio de vetores. Veremos trs delas : o mtodo da poligonal , a regra do paralelogramo e o mtodo das projees.

Mtodo da poligonalPara efetuar a adio de vetores, devemos coloc-los em um plano, a partir de um ponto de origem ( P ), escolhido arbitrariamente, de modo que a extremidade de um coincida com a origem do outro. O vetor soma ( S ) obtido ligando a origem do primeiro vetor ( A ) com a extremidade do ltimo ( C ) . A C B A P S Q C 24 B

P : Ponto do plano no qual comea o processo Q : Ponto do plano no qual termina o processo Logo : Observao : A B C P=Q C S=O A B S=A+B+C

Nas adies vetoriais, pode acontecer que a extremidade do ltimo vetor coincida com a extremidade do primeiro. Nesses casos, o vetor soma ( S ) chamado vetor nulo ( O ) . Veja que A + B = - C , oposto do vetos C .

Regra do paralelogramoPara obter o vetor soma por esta regra, construmos um paralelogramo com origem comum par cada par de vetores :

A B S

S=A+ B | S | = |A|2 + |B|2 + 2|A| |B| . cos ( obtido a partir da lei dos cossenos )

O arco e flecha um dos poucos esporte em que deficies fsicos podem competir em p de igualdade com outras pessoas. O que faz com que a flecha atinja altas velocidades a ao da soma vetorial de duas foras, que ser denominada resultante ( R ) , como veremos posteriormente no estudo da Dinmica.

F1 R F2 25

Mtodo das projeesA figura a seguir representa os vetores A, B, C e D e seus respectivos componentes nos eixos x e y , obteremos traando-se , pela origem e pela extremidade de cada vetor , retas perpendiculares ao sistema de eixos predeterminado .

A medida algbrica do segmento obtido pela ligao dos pontos de interseco das perpendiculares com os eixos recebe o nome de projeo do vetor no eixo:

Ax, Bx, Cx e Dx : projees dos vetores A, B, C e D no eixo x Ay, By,Cy e D projees dos vetores A, B C e D no eixo y Somando todas as projees, encontramos , em cada eixo, a projeo do vetor soma : Sx = Ax + Bx + Cx + D Sy = Ay + By + Cy + Dy Compondo Sx e Sy, obtemos o vetor soma procurando ( S ) :

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Observao : Para operar com vetores importante conhecer as seguiste relaes trigonomtricas no tringulo retngulo:

4. Subtrao de VetoresNa figura a seguir, vemos que para subtrair dois vetores, devemos adicionar um deles ao oposto do outro.

Ento D = A B = A + (-B) Sendo D o vetor diferena.

5. Multiplicao de um nmero real por um vetorO resultado da multiplicao de um nmero real K por um vetor X o vetor produto P, que apresenta as seguintes caractersticas: P= ks Direo : a mesma de P Sentido : para k > 0 : o mesmo de P Para k < 0 : contrrio ao de P Mdulo : |P| = |k| . |x| Por exemplo, vamos considerar o vetor A representado abaixo e os nmeros k = 2 e k = -0,5 A

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Para determinar os vetores B = ka e C = KA procedemos da seguinte maneira : Direo : a mesma de A sentido : o mesmo de A |B| = 2|A| B Direo : a mesma de A sentido : contrrio ao de A |C| = | - 0,5 | |A|

B

C

c 1 . Dados os vetores abaixo, determine : 2 B

A a) b) c) d)

C o vetor soma pelo mtodo poligonal ; o vetor soma pelo mtodo das projees ; o vetor diferena D = A B; os vetores produtos x = 2A, y = - 0,5 B e z = -4C.

6. Vetor deslocamentoUm mvel parte da praa da S, em So Paulo , s 8h e chega praa da Apoteose, no Rio de Janeiro, s 13h. Com base nessa informao , podemos representar o vetor deslocamento ( r) do corpo e conhecer previamente sua trajetria, apenas ligando as posies iniciais e final, atravs de um segmento orientado de reta.

O vetor deslocamento possui direo, sentido e intensidade . Esta corresponde ao mdulo do vetor acompanhado da unidade de medida. Veja um exemplo: 10 km r 30 B

reta A

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Direo : a mesma da reta que forma ngulo de 30 com a horizontal Sentido : de A para B Intensidade : 10 km(|Rr| = 10 ; unidade : km )

7 . Vetor velocidade mdiaImagine que um automvel se desloca numa estrada como indica a figura :

Entre os pontos A e B, o automvel efetuou um deslocamento r, num intervalo de tempo t. O quociente de r t denominado vetor velocidade mdia ( Vm ) , o qual possui as seguintes caractersticas: direo a mesma de r Vm sentido: o mesmo r intensidade : Vm = r . t No SI, a unidade de intensidade da velocidade mdia m/s

8 . vetor velocidadeO vetor velocidade ( V) de um mvel, num determinado ponto de sua trajetria , obtido calculando o vetor deslocamento em intervalo de tempo infinitamente pequenos: V = r ( t muito pequeno ) t A figura ao lado mostra a trajetria de um mvel .Para representar o vetor velocidade no ponto A, devemos tomar pontos cada vez mais prximos de A e estudar de que maneira a direo do vetor deslocamento varia :

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A parti da, conclumos que a direo do vetor velocidade nesse ponto tangente trajetria e possui o sentido do movimento ; conclumos tambm que a intensidade da velocidade vetorial em cada ponto coincide com a intensidade da velocidade escalar . Assim, para qualquer ponto de uma trajetria, o vetor velocidade sempre tangente a ela. Podemos observar evidncias dessa concluso em experincias simples como girar uma pedra amarrada num barbante : soltando o barbante em qualquer posio , a pedra prossegue na direo tangente trajetria e no mesmo sentido do movimento. A pedra forada a descrever uma trajetria curvilnea. Se o barbante arrebentar, ela continuar o movimento na direo tangente trajetria e no sentido do movimento . Portanto, podemos estabelecer, para o vetor velocidade : Direo : tangente trajetria v sentido : do movimento intensidade : igual da velocidade escalar

0 10 . Vetor acelerao mdiaSempre que observamos uma variao no vetor velocidade de um mvel, podemos determinar de que maneira essa variao ocorre no tempo . O resultado obtido recebe o nome de acelerao vetorial mdia ou vetor acelerao mdia : Direo : igual de v Sentido : igual ao de v Intensidade : ym = |v| . t

11. Vetor aceleraoSe durante um movimento observamos variao no vetor velocidade, podemos dizer que em cada ponto o mvel possui um vetor acelerao y. Esse vetor pode ser representado como a soma de dois outros vetores perpendiculares entre si, que so seus componentes : acelerao tangencial e acelerao centrpeta .

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Acelerao tangencial ( at): tem sempre a direo da velocidade do mvel, e o sentido depende do movimento ser acelerado ou retardado :

Movimento acelerado at e v tm o mesmo sentido

Movimento retardado ar e v tm sentidos contrrios. Sua intensidade coincide com a da acelerao escalar e ocorre sempre que h variao na intensidade da velocidade vetorial (v): at = |a | Acelerao centrpeta ( ac) : perpendicular velocidade e aponta para o centro de curvatura da trajetria. Ocorre sempre que h variao na direo de v. Sua intensidade pode ser calculada por : V velocidade escalar no instante t. 2 ac = V , em que r r = raio da trajetria .

observao : A acelerao centrpeta tambm pode ser chamada de acelerao normal ou acelerao radial.

LEI DA INRCIAAristteles afirmava que o estado natural do corpo era o repouso, ou seja, quando um corpo adquire velocidade, sua tendncia natural voltar ao repouso ( da a explicao dos antigos filsofos de que os corpos celestes deviam ser empurrados por anjo ...) Em oposio ao que afirmava Aristletes, Galileu elaborou hiptese de que no h necessidade de foras para manter um corpo com velocidade constante, pois uma acelerao nula est necessariamente associada a uma fora resultante nula : R = O v = constante V = o ( repouso ou equilbrio esttico ) V O ( MRU ou equilbrio dinmico )

Nos Dilogos sobre os dois principais sistemas do mundo, Galileu formulou pela primeira vez a Lei da Inrcia : Numa situao ideal ( como o caso de uma esfera lanada sobre um plano horizontal perfeitamente polido ), o corpo adquire um movimento retilneo e uniforme. Nesse caso , o movimento seria perptuo. Galileu no chegou a comprovar experimentalmente sua hiptese, pois, na prtica, a situao por ele imaginada difcil de realizar-se . Uma comprovao experimental pode 31

ser feita em laboratrio, com discos de bases polidas, que deslizam em movimento retilneo o Puxando bruscamente Quando o nibus parte, o motorista e os passageiros tendem a e uniforme, sobre camadas de ar ou gs carbnico . carto na direo continuar em repouso em relao ao solo. Quando o nibus horizontal , a moeda Mas podemos pensar num caso quase ideal , como , por exemplo, a patinao no cai freia, o motorista e os passageiros tendem a continuar em dentro do copo gelo : quando o patinador empurrado, seu movimento tende a persistir durante razovel movimento em relao ao solo intervalo de tempo .

Em os princpios, Newton formulou as trs leis bsicas do movimento , sendo a Lei da Inrcia a primeira : todo corpo tende a manter seu estado de repouso ou de movimento retilneo e uniforme, a menos que foras externas provoquem variao nesse movimento. As figuras a seguir ilustram algumas aplicaes dessa lei. Resolva: 1. A lei da inrcia vlida para qualquer referencial ? 2. Indique a diferena entre o raciocnio de Aristteles e o de Galileu , que levou descoberta da Lei da Inrcia . 3. Newton ao enunciar suas leis, deu razo a Aristteles ou a Galileu ? Justifique . 4. Por que , na prtica, o princpio da inrcia de difcil comprovao ? 5. Os lanamentos espaciais se baseiam rigorosamente nas leis de Newton. O xito desse lanamento solidifica a crena nessas leis ? 6. Qual a importncia do uso do cinto de segurana nos automveis ? 7. Um pra-quedista desce verticalmente , prximo superfcie da Terra, com velocidade constante . Qual a resultante das foras que agem sobre o conjunto ?

Lei FundamentalConsiderando a queda livre dos corpos prximos superfcie da Terra, verificamos que sobre eles atua uma fora resultante diferente de zero, pois, de acordo com a Lei da Inrcia, se a resultante fosse nula, o corpo deveria estar em repouso ou em movimento retilneo e uniforme Vamos analisar, agora ,as experincias representadas nas figuras a seguir , feitas com discos que deslizam sobre camadas de ar ou gs. Na figura 1, a fora resultante ( r ) medida atravs de um dinammetro, e verificamos que o disco desliza com movimento . uniformemente variado de acelerao y. Na figura 2, o disco o mesmo, mas a fora resultante foi dobrada ( 2 r ) ; verificamos, ento , que a acelerao adquirida pelo corpo tambm dobrou ( 2y ).

de

Fazendo uma srie experincias 32

semelhantes, chegamos concluso de que a resultante (R) e acelerao ( y) so grandezas diretamente proporcionais. Levando em conta que a acelerao adquirida apresenta sempre a mesma direo e o mesmo sentido da fora aplicada, podemos escrever . R=ky Mas ,qual o significado fsico da constante de proporcionalidade k ? mais difcil acelerar uma locomotiva que um automvel , e esse fato pode ser verificado idealizando outra experincia, como a da figura:

A fora resultante, neste caso, a mesma da figura 1 , mas aplicada a dois discos idnticos e superpostos. Em conseqncia, a acelerao fica reduzida metade. Podemos dizer , portanto, que o coeficiente k recebe o nome de massa inercial (m) do corpo. Experincias desse tipo permitiram o surgimento da mais importante relao Fundamental da Dinmica, que a formalizao matemtica da Segunda lei de Newton: R = my As caractersticas de y so ; Direo : a mesma de R Sentido : o mesmo de R Intensidade : y = R . M Devemos lembrar tambm que : Y = at + a c Nos movimentos retilneos : Y = at |y| = |at| = |a | No movimento circula uniforme : |y| = |ac| = v2 . r sendo r o raio da trajetria . A formalizao dessa lei data de 1736, quando o matemtico suo Euler ( 1707 1783 ) elaborou o primeiro tratado cientfico do ponto material. Seu enunciado : a resultante R produz num corpo de massa m uma acelerao y na mesma direo e sentido da resultante e de intensidade proporcional a R (Lei Fundamental da dinmica). De acordo com essa equao, no SI, 1N corresponde intensidade da fora resultante que , aplicada num corpo com 1 kb de massa , produz uma acelerao de 1 m/s2 1 N = 1 kg . 1 m/s2 Exerccios resolvidos

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1 Sobre um corpo de 10 kg de massa agem duas foras constantes, que formam entre si um ngulo de 60 e cujas intensidades so respectivamente iguais a 12N e 16N. Sabendo que o corpo se encontrava inicialmente em repouso, determine: a) a acelerao do corpo; b) sua velocidade escalar aps 5s; c) o movimento do corpo a partir do instante t = 5s, quando as foras deixam de agir. 2 Sob a ao exclusiva de duas foras, F1 e F2, de mesma direo , um corpo de 6,0 kg de massa adquire acelerao de mdulo igual a 4,0 m/s2. se o mdulo de F1 vale 20 N, o mdulo de F2, em Newton , s pode valer : a) 0. b) 4,0 c)40. d)44. e)4,0 ou 44.

3 Um carrinho de massa m = 25 kg puxado por uma fora resultante horizontal F = 50 N , conforme a figura ao lado. De acordo com a Segunda Lei de Newton, a acelerao resultante no carrinho ser, em m/s2 , igual a : a) 1 250. b) 50. c) 25. d) 2. e) 0,5. 4 Um automvel de 1 200 kg desloca-se em uma trajetria retilnea e sua velocidade varia de 0s a 10s. De acordo com o grfico ao lado. a) Determine a intensidade da resultante sobre o automvel de 0s a 4s; de 4s a 6s; de 6s a 10s. b ) O deslocamento do automvel de 0s a 10s.

Lei da Ao e ReaoImagine dois patinadores, de massas inercias iguais parado um em frente ao outro numa superfcie horizontal de gelo. Se um empurrar o outro, os dois adquiriro movimento na mesma direo e em sentido opostos, e os deslocamentos sero efetuados no mesmo intervalo de tempo, sugerindo que as foras aplicadas so opostas.

Essa situao ilustra a Terceira Lei de Newton, chamada Lei ou Princpio da Ao e Reao. Se um corpo A exercer fora em um corpo B, este reage em A com fora oposta.

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Tipo de mquina a vapor, construda para explicar a Terceira lei de Newton. A qualquer ao corresponde uma reao oposta. Essa lei sugere que na natureza as foras ocorrem sempre aos pares , no havendo ao sem uma correspondente reao .

O remo troca foras com a gua . Diretamente em tais sistemas, porque , para essas partculas, o aumento da massa, em relao massa de repouso , suficientemente grande para que possa ser medido com preciso . Os resultados de todas as experincias como essas, indicam que o efeito existe realmente, sendo expresso exatamente pela equao acima.

Fora pesoVimos anteriormente que a fora peso (P) uma fora de campo, pois ocorre pela ao a distncia entre os corpos. Imagine, ento, a seguinte situao: duas bolas, de massas m1 e m2, foram abandonadas em repouso no mesmo nvel e esto em queda livre vertical prximo superfcie da Terra. Nesta situao , a nica fora que atua sobre cada bola a fora gravitacional P. A intensidade de P pode ser calculada multiplicando a massa m pela intensidade da acelerao da gravidade g. P = mg Vetorialmente, temos : P = mg De acordo com a Lei Fundamental da Dinmica , a fora P resultante e tem a mesma direo e o mesmo sentido da acelerao g. Observe a figura. Sendo P1 e P2 as resultantes em cada corpo , temos : P1 = m1 y1 = m1g y1 = g m1 P2 = m2 y2 m2g y2 = g m2

Logo Y1 = Y2 = g

h

P1

P2

Embora as massas dos dois corpos sejam diferentes, verificamos experimentalmente que suas aceleraes so iguais a g. Desprezando-se a resistncia do ar. Se um dos corpos tem o dobro da massa do outro, a fora peso tambm o dobro. Ser mais pesado quer dizer exatamente ser mais puxado ou mais atrado pela Terra. 35

Acelerao e campo gravitacional Na queda de corpos muitos leves ou de baixo densidade, a influncia do ar to importante a ponto de atras-los na queda. Por isso, alguns anos depois de Galileu, Newton imaginou um tubo cujo interior o ar fosse retirado. No havendo ar, podemos ver uma pena e uma pedrinha carem juntas. Isso acontece tambm na Lua, onde no existe atmosfera . A acelerao com que os corpos caem caracteriza o campo gravitacional . Nos lugares em que os corpos caem mais depressa, isto , com maior acelerao, dizemos que o campo gravitacional mais intenso. A experincia de Newton mostrou que, sem a resistncia do ar, dois corpos de massas diferentes , em queda livre a partir do repouso, chegam juntos Uma forma prtica de determinar a intensidade do peso atravs do dinammetro No caso da figura a seguir, o corpo pende estacionrio de um fio conectado ao dinammetro. Apesar daTerra continuar aplicando peso no corpo, ele impedido de cair pela fora de trao T aplicado pelo fio, que tem a mesma intensidade da fora peso ( se a fora de trao fosse menos intensa que a fora peso, o fio se ronperia e o corpo cairia). importante saber que a escala do dinammetro apresenta a intensidade da fora de trao, e no a da fora peso. O peso de um corpo tambm no deve ser confundido com sua massa: enquanto a massa uma propriedade da matria e seu valor constante em qualquer lugar, o peso uma fora e sua intensidade varia dependendo do local onde o corpo se encontra. No SI, a unidade de massa o quilograma (kg) e a unidade de peso o Newton (n) Observao Uma unidade de fora muito utilizada na engenharia o quilograma fora ( kgf). Definido como a intensidade da fora peso de um corpo de 1 kg de massa, prximo superfcie terrena 1 kgf = 9,8 n

Aplicaes das leis de NewtonAs leis de Newton sero aplicadas na resoluo de problemas que envolvem foras de atrito, conforme veremos neste captulo. Fora de atrito A fora e atrito pode ser observada freqentemente em nosso cotidiano : quando caminhamos, acendemos um palito de fsforo, escovamos os dentes, escrevemos etc. O homem primitivo conseguiu obter o fogo das fascas que saam esfregar dois pedaos de pedra ou madeira. Em ambos os casos, as faiscas deveriam atingir matrias de fcil combusto, como folhas e gravetos, para que surgisse o fogo. Foi uma descoberta fundamental na histria da humanidade.

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Mas , o que so foras de atrito? So foras tangenciais que aparecem quando h escorregamento ( ou tendncia de escorregamento ) entre superfcies slidas que se comprimem. A ocorrncia desse fenmeno depende, entre outras coisas, do estado de polimento e da natureza das superfcies. Vamos analisar a fora de atrito conforme ela se apresenta na realidade : esttico ( sem movimento relativo ) esttico ( com movimento relativo ).

Fora de Atrito EstticoA fora de atrito esttico (FAe)ocorre quando existe tendncia a um deslizamento relativo entre duas superfcies que se comprimem. A figura a seguir representa um bloco apoiado numa superfcie horizontal; nele aplicada uma fora solicitadora de movimento (F) tambm horizontal . As faces de contato do bloco e da superfcie so comprimidas, trocando foras normais . A compresso dessas faces devida ao peso do bloco , que representa a atrao que a terra exerce sobre ele.

Enquanto o bloco permanece em repouso, temos: FAc = F Aumentando gradativamente a intensidade de F, o bloco continua em repouso at que F atinja um valor limite entre o repouso e o movimento iminente. Nesse momento, o bloco se encontra na iminncia de movimento e temos; FAe = Fams = F Experimentalmente , podemos estabelecer as seguiste leis para o atrito: A intensidade da fora de atrito esttico varia de zero at o valor mximo de Famx A intensidade da fora de atrito mxima diretamente proporcional intensidade da fora Normal (N) que a superfcie aplica sobre o bloco. FAmas = eN Sendo e o coeficiente de atrito esttico. O coeficiente de atrito esttico depende do estado de polimento e da natureza das duas superfcies em contato. A intensidade da fora de atrito esttico independente da rea de contato entre as superfcies slidas que se comprimem .

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Fora de Atrito CinticoQuando a fora solicitadora do movimento (f) atinge o valor da fora de atrito mxima ( FAmax ) , o bloco fica na iminncia de deslizamento . A partir da, um pequeno acrscimo na intensidade da fora solicitadora produz o movimento do bloco , ocorrendo, ento , a fora de atrito cintico ( FAe ). Experimentalmente, verificamos que, quando o bloco est em movimento , a fora de atrito constante e no depende da velocidade de escorregamento das superfcies, desde que essa velocidade no atinja valores muito elevados . O grfico seguinte mostra de que maneira variam os atritos esttico e cintico entre as superfcies .

Para a fora de atrito cintico, temos Fac = eN Em que e o coeficiente de atrito cintico. Comparando e com c, vem : e > c As foras de atrito possuem sentidos opostos ao sentido do deslizamento relativo das superfcies. Mas isso no deve ser confundido com oposio ao movimento dos corpos. Por exemplo, quando uma pessoa se movimenta sobre uma superfcie, a fora de atrito oposta ao escorregamento da sola do sapato.

A fora de atrito oposta ao movimento relativo . A fora de atrito (FA) e a fora normal ( N ) so perpendiculares entre si. Na verdade, elas so componentes de uma mesma fora de contato ( F ) que a superfcie aplica no corpo . Observe a figura a seguir. Dela, temos : 38

1 . um bloco de 5 kg de massa est em repouso numa superfcie. Os coeficientes de atrito esttico e cintico so respectivamente iguais a 0,4 e 0,3 e g = 10 m/s2. a) Determine a intensidade da fora horizontal com que o bloco deve ser puxado para que fique na iminncia de deslizamento. b) Se o bloco for puxado por uma fora 30 N que forma com a horizontal um ngulo de 60 , ele comear a se move? Justifique. c) Determine a intensidade da acelerao e da fora normal sobre o bloco quando ele puxado por uma fora de 50N que forma um ngulo de 60 com a horizontal. F = N + FA

2. Um corpo de 2 Kg de massa se desloca sobre uma superfcie horizontal lisa. Nele , alem da fora cuja intensidade F = 8N, esto aplicadas apenas a fora normal e o peso. Considerando sem 60 = 0,5, determine : a) a resultante sobre o corpo; b) a acelerao; c) a intensidade do peso d) a normal 3. Dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 2,0 kg e 3,0 kg esto apoiados sobre uma superfcie horizontal perfeitamente lisa. Uma fora horizontal F = 20,0 N, constante , aplicada no bloco A. determine : a) a acelerao dos blocos; b) a intensidade da fora F.

Superfcie lisa

4. A figura representa um trem de blocos A e B , massa mA e mB. A intensidade da trao no fio ideal T = 9,6 N. Determine: a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique: b) a acelerao dos blocos c) a intensidade da trao no fio. 5. Na figura o bloco A tem massa mA = 80 kg, e o bloco b, mb = 20 kg. A fora F tem intensidade 600 N. Desprezando os atritos , determine : a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique b) a acelerao dos blocos; c) a intensidade da trao no fio.

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6. Na figura ao lado a roldana e os fios so ideais e os atritos so desprezveis. O corpo B tem massa mB = 10 m/s . Determine : a) a trao no fio. b) a massa do bloco A

S = 20 + 4t + 6 t2 s = 20 + 40 + 3 t2 que a equao desse movimento 2 para obter o espao percorrido no instante t = 4 segundos , basta substituir nessa equao o valor de t . s = 20 + 4 . 4 + 3 . 42 s = 20 + 16 + 48 s = 84 resp: a equao horria do movimento s = 20 + 4t + 3t2 e o espao percorrido no instante t = 4s ser de 84 cm.

3 . Dados : Vo = 54 km/h = 15 m/s t=?

a = -2 m/s2 s=?

Se queremos calcular o tempo que o carro gasta at parar V = 0 m/s, ento temos : V = Vo + at 0 = 15 ( -2t ) 2t = 15 t = 7,5s O espao percorrido ser dado por : S = 0 + 15 . 7,5 + ( - 2 + 7,52 ) s = 112,5 56,25 s = 56 ,25 m resp. O carro gasta 7,5 segundos para parar e percorre 56,25 metros nesse tempo. 4. Dados : Vo = 0 V = 600 m/s s = 90 cm = 0,9 m a=?

A bala acelera desde Vo = 0 at a velocidade v = 600 m/s, em um espao de 0,9 m (cano de fuzil). Aplicando a equao de Torricelli, temos : V2 = Vo2 + 2a . ( S So ) 6002 = 0 + 2a . 0,9 1,8a = 360 000 a = 360 000 a = 200 00 m/s2 1,8 o tempo de percurso da bala dentro do cano do fuzil dado por : v = vo + at 600 = 0 + 200 000 + t t = 600 t = 0,003s 200 000 Resp. A acelerao mdia da bala durante seu percurso dentro do cano do fuzil de 200.000 m/s2 e a bala gasta 0,003 s para percorrer o cano.

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TEXTO : TRABALHO DE UMA FORANo nosso dia a dia , a palavra trabalho usada para designar genericamente uma atividade fsica ou intelectual : fabricar um mvel, dirigir um caminho ou um nibus, cuidar da lavoura, escrever um livro so algumas formas de trabalho. Em fsica, o termo trabalho est associado a foras e no a corpos; assim, para a fsica, se um operrio estiver parado segurando uma carga qualquer, ele no estar realizando nenhum trabalho, por maior que seja essa carga. EM FSICA , DEFINIMOS TRABALHO COMO O DESLOCAMENTO DO PONTO DE APLICAO DE UMA FORA. Para uma fora realizar um trabalho, necessrio que ela se desloque e que admita um componente na direo desse deslocamento. Vamos considerar um ponto material que se desloca sobre uma reta, de A para B, sob a ao de um sistema de fora. Seja d o vetor deslocamento, F um fora constante entre as que atuam sobre o ponto , e o ngulo formado por F e d. O trabalho da fora F no deslocamento d definido pela grandeza escalar: = F . d . cos A F d B

onde F a intensidade da fora F e d, o mdulo do vetor deslocamento d. Como F e d no tm sinal ( so mdulos ) , o sinal do trabalho ( l-se tau) dado pelo sinal do cosseno do ngulo . Vejamos a) se o ngulo for agudo, temos cs > 0 e , nesse caso , o trabalho da fora F ser positivo, o que significa que a fora esta ajudando o movimento do ponto material; b) se o ngulo for abtuso, temos cs < 0 , e o trabalho da fora F ser negativo, significando que a fora est agindo contra o movimento do ponto; c) se o ngulo for reto, temos cs = 0, o que far com que o trabalho da fora F seja nulo, o trabalho da fora F no ajudar nem atrapalhar o movimento . Pense e responda. Se uma fora F forma com o deslocamento de um corpo em movimento um ngulo de 90 , quem o responsvel por esse movimento ? Voc deve ter respondido que, se o trabalho da fora F nulo, outras foras esto agindo sobre a partcula ou j agiram sobre ela para faz-la entrar em movimento . Unidades de trabalho A unidade de trabalho no sistema SI o joule (J) 2, equivalente ao trabalho de uma fora constante de intensidade de 1N que desloca seu ponto de aplicao na direo e no sentido de uma fora em um comprimento de um metro : J = N . m . So usadas, tambm , outras unidades como o erg = dyn . cm , no sistema CGS ; o kgm = kgf . m , no sistema MK*S. o quilowatt- hora ( kwh) = 3,6 . 106j; o eltron-volt ( eV) = 1,602 . 10 19 J e a calora ( cal ) = 4,1868 j(3). Vejamos ,a seguir, um problema resolvido . 41

1. Determine o trabalho realizado pela fora constante F, de intensidade F = 20N, que atua sobre uma partcula , deslocando a ao longo de uma reta com extenso de 5 metros, conforme os esquemas:

Resp. O trabalho realizado pela fora F de 50 joules. Nos itens a e d, voc observou que a fora F favorece o deslocamento da partcula e, nesse caso, dizemos que a fora F realiza um trabalho motor. Por outro lado, nos itens b e e, a fora F age contra o deslocamento e dizemos que ela realiza um trabalho resistente. No item c, voc viu que o trabalho da fora f no influi no deslocamento da partcula ( no age contra nem a favor ) e, nesse caso, sendo um ngulo reto, chamamos o trabalho da fora F de trabalho nulo.

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O TRABALHO DA FORA PESOVamos , agora , estudar um caso muito particular. Trata-se do trabalho realizado quando uma partcula, sob a ao do seu peso, passa de uma posio inicial A para uma posio final B. Consideremos dois casos distintos. 1 caso : a partcula desloca-se na vertical em sentido descendente. Neste caso, a fora e o deslocamento tm o mesmo sentido . O ngulo formado pela fora P e pelo deslocamento 0, ento cos = 1 . O trabalho realizado pela fora P dado por = p . h , mas P = m . g , ento = m g h 2 caso: a partcula se desloca na vertical em sentido ascendente . Neste caso, a fora e o deslocamento tm a mesma direo, mas sentidos opostos, O ngulo formado pela fora P e pelo deslocamento 180 , ento cos = - 1. O trabalho realizado pela fora P u trabalho resistente e dado por = p . h mas, neste caso . P = - m . g , ento =-m g h Quando uma partcula descreve uma trajetria no vertical, o trabalho da fora peso calculado como nos dois caso vistos, dependendo apenas do sentido do movimento, devido ao Princpio da Independncia do Movimentos que voc j estudou. Podemos , ento , concluir que : ENTRE A MESMA POSIO INICIAL E A MESMA POSIO FINAL, O TRABALHO REALIZADO PELA FORA PESO NO DEPENDE DA TRAJETRIA PERCORRIDA ENTRE A POSIO INICIAL E POSIO FINAL; ESSE TRABALHO DEPENDE EXCLUSIVAMENTE DA POSIO INICIAL E DA POSIO FINAL . Vejamos, agora , o que vem a ser potncia . Suponhamos que , em um grande depsito de materiais ,um empregado eleve uma caixa de 60 quilos a uma altura de um metro, em 30 segundos , e que uma empilhadeira gaste apenas 10 segundos para elevar a mesma caixa mesma altura . Embora o empregado tenha realizado o mesmo trabalho que a empilhadeira , a mquina realizou o trabalho em menos tempo. A POTNCIA UMA GRANDEZA FSICA, ESCALAR, QUE DEFINE A RAPIDEZ COM QUE O TRABALHO DE UMA FORA REALIZADO . Seja uma fora F que , num intervalo de tempo t qualquer, realiza um trabalho . Chamamos de potncia mdia (pm) da fora F, no intervalo de tempo, ao quociente: Pm = . t Vamos calcular a relao existente entre a potncia e a velocidade quando uma partcula se movimenta retilineamente sob a ao de uma fora constante F, paralela ao deslocamento. Suponhamos que uma partcula se desloque de A para B sob a ao de um fora F. Nesse caso, o trabalho da fora F ser dado por : =F.d 43

F A A potncia mdia de F ser dada por: d Pm = . t mas = F . d , ento : Pm = F . d t

B

sendo a relao existente entre o deslocamento e o espao de tempo gasto igual velocidade mdia ,temos que Pm = F . Vm Unidade de Potncia Voc j sabe que a potncia o quociente entre o trabalho e o intervalo de tempo, ento as unidades de potncia sero quocientes das unidades trabalho pelas unidades de tempo, assim temos: a) no sistema MKS (SI ) unidade trabalho: J (joule ) unidade de tempo: s (segundo ) unidade de potncia : J que recebe o nome de watt e tem o smbolo W. s um watt (lw) a potncia de um sistema capaz de realizar uma trabalho de 1 joule em 1 segundo. b) no sistema CGS unidade de trabalho : erg unidade de tempo : s unidade de potncia : erg/s (erg por segundo ). Um erg por segundo a potncia de um sistema capaz de realizar o trabalho de 1 erg em 1 segundo . c) no sistema MK*S: unidade de trabalho : kgm ( quilogrmetro ) unidade de tempo : s unidade de potncia : kgm / s ( quilogrametro por segundo ). Alm dessas unidades temos , tambm , algumas unidades de potncia e a sua relao com o watt. SISTEMA MKS ( S. ) CGS MK*S MTS UNIDADE DE POTNCIA Watt ( W ) Erg /s Kgm/s Kw Cv HP RELAO COM 1W 1 erg/s = 10 7w 1 kgm/s = 908w 1 kw = 103 w 1 cv = 735,5 w 1 HP = 746 w

importante relembrar que o quilowatt hora ( kwh ) , usado para medir o consumo de energia eltrica, no uma unidade de potncia mas sim, uma unidade de trabalho, como voc j aprendeu.

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O conceito de rendimento comum em nossa vida diria meu carro no tem apresentado bom rendimento estou tendo um timo rendimento no estudo desta disciplina, so frases que voc j deve ter dito e ouvido vrias vezes . Para estudarmos o que rendimento , vejamos alguns conceitos novos. Consideremos um motor de um automvel que tem a finalidade de fazer o veculo se deslocar. Para que o motor possa funcionar, devemos fornecer uma certa quantidade de combustvel e, em troca, ele nos fornece um trabalho (o deslocamento do automvel ). O trabalho que fornecemos ao sistema, chama-se trabalho motriz , e o trabalho que o sistema nos devolve, chama-se trabalho til. O trabalho til sempre menor que o trabalho motriz, porque uma certa parte gasta para vencer o atrito e outras resistncias, a que chamamos de resistncias passivas ou trabalho passivo. TRABALHO TIL = TRABALHO MOTRIZ TRABALHO PASSIVO Para qualificar o motor quanto sua eficincia, ou seja, quanto ao grau de aproveitamento do trabalho motriz, que foi definida a grandeza de rendimento . O RENDIMENTO A RELAO ENTRE O TRABALHO TIL E O TRABALHO MOTRIZ. Chamando o rendimento de R e lembrando que o trabalho til sempre menor que o trabalho motriz, podemos escrever: R =u . m Onde R ser sempre menor que a unidade. Sabendo que a potncia dada pela relao existente entre o trabalho e a unidade de tempo, podemos calcular, tambm o rendimento R em funo da potncia : R=Pu Pm Onde, como voc j sabe, R ser menor que 1. Geralmente, o rendimento expresso em percentual. Assim , se na resoluo de um problema chegarmos a obter : R = u R = 80 R = 0,8 m 100 mais comum dizer que o rendimento de 80% do que o rendimento de 0,8 , embora ambar as formas estejam corretas. Vejamos , agora , algumas aplicaes do contedo estudado. 1. um homem segura um corpo de peso P = 50 N suspendendo o verticalmente com velocidade constante, desde o assoalho at uma altura de 1,2 m do assoalho . Calcule: a ) o trabalho realizado pela fora peso do corpo b ) o trabalho realizado pela fora aplicada pelo homem. Resoluo: a) dados P = 50 N velocidade constante AB = h = 1,2m O sentido do deslocamento do ponto de aplicao da fora- peso contrrio ao sentido desta fora, ento: = -p . h = -50 . 1,2 = -60 j 45

b) como o corpo est sendo suspenso com velocidade constante, conclumos que o homem equilibra a fora peso durante o trajeto, aplicando ao corpo uma fora F de mesma intensidade , mesma direo ( vertical ) . Porm de sentido oposto ao da fora P : F = - P. Sendo o sentido da fora aplicada pelo homem, o mesmo do sentido do deslocamento, o trabalho dado por =p. h = 50 . 1,2 = 60 j = , o que j era de se esperar visto que F = - P resp : A fora aplicada pelo homem de 60 j

2. Uma fora realiza um trabalho de 25 j num intervalo de tempo t = 5s , Calcule a potncia mdia da fora em watts e em HP. Resoluo: Dados : = 25j t = 5s Pm = Pm = 25 Pm = 5 j /s t 5

Pm = 5w

para transformar 5 watts em Hp, faz-se uma regra de trs simples: 1 HP ------------- 746W X HP------------- 5W X = 5 J /S Para acionar uma mquina so fornecidos 5 HP, dos quais 3 HP so gastos para vencer as resistncias passivas. Calcule o rendimento dessa mquina. Resoluo . Dados : Potncia motriz = 5 HP potncia til = 2 HP

R = Pu r = 2 r = 0,4 Pm 5 O rendimento da mquina de 40% ( ou 0,4 ).

EXERCCIOS: FAA A VERIFICAO DO QUE VOC APRENDEU NO ESTUDO DO TEXTO, REALIZANDO OS EXERCCIOS QUE SE SEGUEM. PARA RESOLV-LOS, VOC DEVE SABER :

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O que trabalho de uma fora , trabalho motor, trabalho resistente e trabalho nulo. O que pontncia O que rendimento . Confira suas respostas na chave de correo I - Escreva, nos parnteses, (V) se a afirmativa for verdadeira ou ( F ) se for falsa. 1. ( ) O trabalho uma grandeza vetorial 2. ( ) A fora de atrito realiza um trabalho motor 3. ( ) Na queda livre de um corpo , a fora da gravidade realiza, um trabalho que depende da altura da queda. 4. ( ) O trabalho de uma fora ser positivo se cos > 0 . 5. ( ) Dizemos que o trabalho de uma fora F nulo quando esse trabalho no ajuda nem atrapalha o movimento . II Relacione a coluna da esquerda de acordo com a da direita , escrevendo , nos parnteses, a letra adequada. 1. ( ) joule 2. ( ) watt 3. ( ) quilogrametro A unidade de trabalho 4. ( ) Erg/s B unidade de potncia 5. ( ) KWh III - Resolva os problemas . ( use folha avulsa.) 1. um pequeno bloco desliza num trilho reto, sem atrito, submetido ao de uma fora constante F = 250 N . Calcule o trabalho desta fora num deslocamento de 10m no mesmo sentido da fora. 2. Determine o trabalho de cada uma das foras indicadas ao lado, em um deslocamento horizontal de 10m, sendo cs = 0,89. 3. Um corpo de massa s = 1 kg est preso extremidade de um fio e parte da posio

A . Determine o trabalho do peso no deslocamento de A para B, sendo dados g = 10 m/s2 e h = 1,5 m. Chave de correo I 1.( F ) o trabalho uma grandeza escalar. 2.( F ) - A fora de atrito realiza um trabalho resistente pois age contra o deslocamento . 3.(V) 47

4.(v) 5. ( v) II 1.(A) 2.(B) 3.(A) 4.(B) 5.(A) III 1.Dados : F = 250 n d = 10m Para calcular o trabalho da fora F, basta aplicar diretamente a frmula, lembrando que, se o deslocamento no mesmo sentido da fora , cs = 1. = F . d . cs = 250 . 10 . 1 = 2 500 j resp. O trabalho da fora F e de 2 500 joules. 2. Dados : P = 100 N N = 40 N f=4N F = 100N cos = 0,8

o trabalho das funo P = 100 N e N = 40 N nulo porque o ngulo que essas foras fazem com a horizontal reto ( cs 90 = 0 = F . d . 0 = 0 ). Resta-nos calcular o trabalho das foras F e f Calculo do trabalho da fora F : F = F . d . con F = 100 . 10 . 0,8 = 800 j Calculo do trabalho da fora f : f = f . d . cos f = 4 . 10 . 1 f = -40 j resp. O trabalho das foras N e P nulo , o da fora F e de 800 joules e o da fora f e de -40 joules. 3. Dados : m = 1 kg g = 10 m/s2 h = 1,5 m nesse caso , tambm fazemos a aplicao direta da frmula. = m . g . h = 1 . 10 . 1,5 Resp. o trabalho do peso no deslocamento de A para B de 15 joules .

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TERMOMETRIAUma cincia quantitativa A percepo de quente e frio existe desde que o homem apareceu na superfcie da Terra. Ao mesmo tempo que experimentava esta sensaes, o homem procurava uma explicao para elas. No sculo VI a.C .. por exemplo, os filsofos da Jnia acreditavam que o calor e o frio eram as causas da evoluo do universo . Ainda na Antiguidade, j se sabia que alguns corpos aumentavam de volume quando aquecidos e que um corpo quente esfria quando em contato com um corpo frio. Mas somente no sculo XVI que surgiu a necessidade prtica de medir as noes de quente e frio, Foi quando cientistas como Galileu ( por volta de 1592 ) . Santrio (1612 ) , Bacon (1620 ) e Torricelli ( 1672 ) se dedicaram construo de termmetros , todos baseados na dilatao dos lquidos e dos gases , princpio usado at hoje. Assim , a termometria passou a caracteriza-se com cincia quantitativa. Temperatura Em muitas situaes preciso medir e controlar a temperatura , a prpria natureza fornece aos seres vivos sistemas que regulam o fio e o calor . Nas aves e nos mamferos, por exemplo, uma das funes do tecido adiposo , amplamente distribudo sob a pele, o isolamento trmico, promovendo a defesa dos organismos contra perdas excessivas de calor. O tato um dos sentidos que melhor permite dizer se a superfcie de um objeto quente ou fria. Mas essa avaliao no exata, pois a sensao despertada pode variar de pessoa para pessoa, levando a diferentes opinies sobre a temperatura de um mesmo objeto. Ento, como podemos definir temperatura? Sabemos que os corpos so constitudos de diminutas partculas denominadas tomos e que numa determinada substncia , tomo diferentes se agrupam formando molculas . A molcula da gua, por exemplo , formada por dois tomos de hidrognio e um de oxignio . Imagine a seguinte experincia : coloca-se uma mistura de gua e serragem num recipiente metlico , levando-o em seguida ao fogo. medida que a gua esquenta , o movimento das partculas da serragem vai aumentando. Esta observao permite concluir que: as noes de quente e frio esto relacionadas agitao das partculas do corpo; o movimento das molculas de um corpo tanto maior quanto mais quente o corpo fica. A agitao das molculas e dos tomos de um corpo denominada agitao trmica.Recipiente com gua e serragem aquecido por uma chama. As esferas cinza escuras representam o movimento 0das serragens na gua

Com base nessa experincia , podemos definir que temperatura uma grandeza que permite avaliar o grau de agitao trmica das molculas de um corpo .Esse movimento est associado a um tipo de energia cintica, denominada energia trmica.

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Assim , os pontos de ebulio da gua e de fuso do gelo permaneceram como pontos fixos da escala Celsius. O intervalo entre eles foi dividido em cem partes iguais, cada uma valendo 1 C ( um grau Celsius). Essa escala utilizada em quase todo o mundo, apenas alguns pases de lngua inglesa utilizam a Fahrenheit.

Escala FahrenheitProposta pelo fsico alemo Gabriel Daniel Fahrenheit ( 1686 - 1736 ) , que tambm era fabricante de instrumentos meteorolgicos, essa escala faz corresponder a 32 F ( trinta e dois graus Fahrenheit ) o ponto de fuso do gelo e a 212 F o ponto de ebulio da gua, com 180 F compreendidos entre esses dois pontos fixos. Desse modo , podemos estabelecer a relao entre as escalas Celsius e Fahrenheit.

Assim , para um mesmo deslocamento da substncia termomtrica, temos : f - 32 = c - 0 c = 5 ( f - 32 ) 180 100 9 Em que f a temperatura em graus fahrenheit e c a temperatura em graus Celsius.

Escala KelvinAs escalas Celsius e Fahrenheit so conhecidas como escalas relativas, pois o zero nelas no significa ausncia de agitao molecular. Foi o fsico britnico lorde Kelvim ( William Thomson Delvin, 1824 1907 ) quem inventou a escala absoluta. Nela , a temperatura de fuso do gelo corresponde a 273 K. (duzentos e setenta e trs kelvins; que na escala Celsius a fuso do gelo corresponde a 0C e a ebulio da gua a 100 C) A escala de Kelvin absoluta porque tem origem no zero absoluto de temperatura . Isso significa que a temperatura de um corpo no pode decrescer indefinidamente : seu ponto mximo de esfriamento o zero absoluto, que corresponde a 273 C. Inexistente na Terra ou em suas proximidades , temperaturas prximas ao zero absoluto podem ser alcanadas apenas em laboratrio . Como a temperatura est relacionada agitao das molculas, o corpo com zero absoluto de temperatura no possuiria agitao molecular.

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A passagem da escala Celsius para a kelvin simples : basta adicionar ou subtrair 273 . Observe : 1. A temperatura normal do corpo humano 36,7C . Qual a leitura que a escala fahrenheit fornece para essa mesma temperatura ?

Resoluo: Em dois segmentos paralelos, representamos as escalas termomtricas, anotando em cada um as temperaturas dos pontos fixos,a temperatura normal do corpo humano e a nossa incgnita : Voc sabia? Em centros de computao, o controle de temperatura ambiente fundamental para evitar que os componentes eletrnicos das mquinas se danifiquem. Controle da temperatura na preparao de alimentos Quando se cozinham alimentos, o controle da temperatura feito pela prpria gua. Durante a fervura, em condies normais sua temperatura de, aproximadamente, 100 C, mantendo-se constante. Se quisermos uma temperatura de ebulio mais elevada, utilizamos uma panela de presso. Com o aumento da presso no interior da panela, a gua passa a ferver a uma temperatura superior a 100 C. No caso de frituras, utilizamos leo ou gordura, que atingem temperaturas elevadas sem entrar em ebulio. Com a gua em condies normais, a temperatura no passaria dos 100C, por mais que se aumentasse a chama. 3. Equilbrio trmico Quando colocamos um objeto em contato com um objeto frio, depois de algum tempo ambos ficam mornos. Em outras palavras quando dois objetos com temperatura diferentes so postos em contato um com o outro, depois de certo tempo eles apresentam uma temperatura comum. Dizemos , ento , que os objetos atingiram o equilbrio trmico. por isso que , para medir a temperatura de uma pessoa, precisamos deixar o termmetro alguns minutos em sua exila ou na boca, para que ele entre em equilbrio trmico com o corpo . 4. Escalas de temperatura A universalizao de uma escala de temperatura exigiu muitos anos de pesquisas. Para ter uma idia das dificuldades, em 1779 havia dezenove escalas termomtricas em

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vigor, com enormes diferenas entre uma e outra. Apenas trs so usadas hoje : a escala Celsius, a Fahrenheit e a Kelvin.

Escala CelsiusApresentada em 1742 pelo astrnomo sueco Anders Celsius ( 1701 1744 ) , essa escala tem uma diviso centesimal que facilita a leitura . Curiosamente, o primeiro termmetro feito nessa escala fixava em 100 C ( cem graus Celsius ) o ponto de ebulio da gua. Posteriormente , esses pontos foram invertidos . Usando um termmetro de mercrio, Celsius observou que ao coloc-lo em contato com a gua em ebulio, a uma presso constante, a expanso do mercrio cessava aps algum tempo, pois ele entrava em equilbrio trmico com a gua e permanecia nesse ponto enquanto houvesse gua em ebulio. Colocando o termmetro em uma mistura de gelo fundente e gua , a contrao do mercrio tambm era interrompida no ponto em que o mercrio entrava em equilbrio trmico com a mistura.

A termmetro em contato com gelo fundente e gua . termmetro em contato com gua em ebulio . Nos dois casos , o mercrio cessa o movimento ( de contrao em A, de expanso em B) ao atingir o equilbrio trmico com as respectivas misturas .

Dilatao dos slidos e dos lquidos1. Efeitos da dilatao Portes de ferro abrem mais facilmente no inverno do que no vero. Recipientes de vidro grosso se quebram quando neles colocamos gua fervendo. A tampa metlica dos vidros de conserva e a tampa de plstico dos vidros de esmalte so facilmente retiradas quando aquecidas, a gua de um recipiente totalmente cheio transborda mesmo antes de ferver. Voc sabe por qu? No captulo anterior dissemos que um dos efeitos provocados pelo calor a dilatao dos corpos. Isso acontece porque, ao elevar-se a temperatura, a energia cintica de cada molcula aumenta , fazendo com que a distncia mdia entre elas tambm aumente. Veja o esquema .

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Esquema mostrando a energia potencial (representada pelas molinhas) entre as molculas de um slido ( representadas pelas bolinhas ) . cada molcula apresenta tambm uma energia cintica de vibrao (representadas pelos tracinhos em volta das molecular ) . quando a temperatura se eleva, aumenta a distncia mdia entre as molculas Assim , no vero o ferro tem seu volume aumentado, o que dificulta a abertura desses portes. Quando aos recipientes de vidro grosso, a ruptura acontece porque, ao contato com a gua fervendo, as paredes internas se expandem antes das externas ( existem vidros, como o pirex, preparados especialmente para que isso no ocorra ) ; recipiente de vidro poo espesso no quebram to facilmente em contato com a gua fedendo porque o vidro se aquece uniformemente, dilatando-se praticamente por igual. As tampas metlicas ou de plstico tambm se dilatam com o aquecimento, soltando-se mais facilmente. O simples aquecimento j aumenta o volume da gua e ela trasborda se o recipiente estiver totalmente cheio. Dilatao pode causar grandes transtornos se no for levada em co