lista de funÇÕes trigonomÉtricas

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO TERESÓPOLIS, MAIO DE 2012. PROFESSOR: CARLINHOS

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

1. (Unesp) Do solo, você observa um amigo numa roda

gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao

solo é dada pela expressão:

h(t) = 11,5 + 10 sen [(™/12) . (t - 26)], onde o tempo t é dado

em segundos e a medida angular em radianos.

a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a

roda começou a girar (t = 0).

b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo

alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).

2. (Unifesp) Considere a função y = f(x) = 1 + sen [(2™x -

(™/2)] definida para todo x real.

a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.

b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], tais

que y = 1.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Puccamp) O subir e descer das marés é regulado por

vários fatores, sendo o principal deles a atração

gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os

demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas

entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a

mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros.

Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo

(t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:

3.

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função

da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e

t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas

sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura

máxima de 1,5 metros, então

a) b = (5™)/31 b) a + b = 13,9 c) a - b = ™/1,5

d) a . b = 0,12 e) b = (4™)/3

4. (Fgv) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por

dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3

horas.

Com base nos dados observados, estima-se que o número

de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica

f(x) = 900 - 800 sen [(x . ™)/12], onde f(x) é o número de

clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 ́

x ´ 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o

número máximo e o número mínimo de clientes dentro do

supermercado, em um dia completo, é igual a

a) 600. b) 800. c) 900. d) 1 500. e) 1 600.

5. (Fgv) Considere a função f(x) = 2 - [(3 cos¥x)/4]. Os

valores máximo e mínimo de f (x) são, respectivamente:

a) 1 e -1 b) 1 e 0 c) 2 e - 3/4

d) 2 e 0 e) 2 e 5/4

6. (G1) O gráfico abaixo representa o esboço, no intervalo

[0, 2™], da função

a) y = - cos x b) y = sen (- x)

c) y = sen 2x d) y = 2 sen x

7. (Mackenzie) A função real definida por f(x) = k . cos(px),

k > 0 e p Æ IR tem período 7™ e conjunto imagem [-7, 7].

Então, k . p vale:

a) 7 b) 7/2 c) 2 d) 2/7 e) 14

8. (Puccamp) Observe o gráfico a seguir.

A função real de variável real que MELHOR corresponde a

esse gráfico é

a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos 2x

d) y = sen 2x e) y = 2 sen x


2

9. (Puccamp) Sobre a função f, de IR em IR, definida por

f(x)=cos 3x, é correto afirmar que

a) seu conjunto imagem é [-3; 3].

b) seu domínio é [0; 2™].

c) é crescente para x Æ [0; ™/2].

d) sua menor raiz positiva é ™/3.

e) seu período é 2™/3.

10. (Pucsp) O gráfico seguinte corresponde a uma das

funções de IR em IR a seguir definidas. A qual delas?

a) f(x) = sen 2x + 1 b) f(x) = 2 sen x

c) f(x) = cos x + 1 d) f(x) = 2 sen 2x

e) f(x) = 2 cos x + 1

11. (Uel) O gráfico abaixo corresponde à função:

a) y = 2 sen x b) y = sen (2x)

c) y = sen x + 2 d) y = sen (x/2)

e) y = sen (4x)

12. (Uel) Uma bomba de água aspira e expira água a cada

três segundos. O volume de água da bomba varia entre um

mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as

alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o

volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t).

a) y = 2 + 2 sen [(™/3) . t] b) y = 2 + 2 sen [(2™/3) . t]

c) y = 3 + sen [(™/3) . t] d) y = 3 + sen [(2™/3) . t]

e) y = - 3 + 2 sen [(™/3) . t]

13. (Ufes) O período e a imagem da função f(x) = 5 - 3 cos

[(x-2)/™], x Æ R, são, respectivamente,

a) 2™ e [-1, 1] b) 2™ e [2, 8] c) 2™£ e [2, 8]

d) 2™ e [-3, 3] e) 2™£ e [-3, 3]

14. (Unirio) Seja f: R ë R, onde R denota o conjunto dos

números reais, uma função definida por

f(x) = [3/(4 + cosx)] + 1. O menor e o maior valor de f(x),

respectivamente, são:

a) 1, 6 e 2 b) 1, 4 e 3 c) 1, 6 e 3

d) 1, 4 e 1,6 e) 2 e 3

15. (Ufrs) Se f(x) = a + bsen x tem como gráfico então:

a) a = -2 e b = 1 b) a = -1 e b = 2 c) a = 1 e b = -1

d) a = 1 e b = -2 e) a = 2 e b = -1

16. (Ufrs) O gráfico a seguir representa a função real f.

Esta função é dada por:

a) f(x) = 1 - cos x b) f(x) = 1 + cos x c) f(x) = cos (x +1)

d) f(x) = cos (x - 1) e) f(x) = cos (x + ™)

17. (Ufsm) A função f(x) = sen x, x Æ IR, tem como gráfico a

senóide que, no intervalo [0,2™], está representada na

figura


3

Se g(x) = a sen 3x, onde a Æ IR e a · 0, assinale verdadeira

(V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.

( ) O domínio da função g é igual ao domínio da função f,

independente do valor de a.

( ) Para todo a, o conjunto imagem da função f está

contido no conjunto imagem da função g.

( ) O período da função g é maior que o período da

função f.

A seqüência correta é

a) V - F - F. b) V - V - F. c) F - V - V.

d) V - F - V. e) F - V - F.

18. (Ufsm) Se o gráfico da função

f(x) = a + b (cos(2x) + sen(2x)) é dado por:

então 5a£ + 3b£ vale

a) 47 b) 51 c) 57 d) 72 e) 92

19. (Ufsm) Uma gráfica que confeccionou material de

campanha determina o custo unitário de um de seus

produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = 200 + 120 .

sen (™ . t)/2, com t medido em horas de trabalho. Assim, os

custos máximos e mínimo desse produto são

a) 320 e 200 b) 200 e 120 c) 200 e 80

d) 320 e 80 e) 120 e 80

20. (Ufsm) Em determinada cidade, a concentração diária,

em gramas, de partículas de fósforo na atmosfera é

medida pela função C(t) = 3 + 2 sen (™t/6) em que t é a

quantidade de horas para fazer essa medição.

O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que

registrou 4 gramas de fósforo é de

a) 1/2 hora. b) 1 hora. c) 2 horas.

d) 3 horas. e) 4 horas.

21. (Unesp) Observe o gráfico.

Sabendo-se que ele representa uma função

trigonométrica, a função y(x) é

a) -2 cos (3x). b) -2 sen (3x). c) 2 cos (3x).

d) 3 sen (2x). e) 3 cos (2x).

22. (Unioeste) Sobre a função f: IR ë R, dada por

f(x)=3cos2x, é correto afirmar que:

01. f(0)=0.

02. é uma função periódica de período 2™.

04. o maior valor que f(x) assume é 6.

08. para todo x, |f(x)|´3.

16. para todo x, f(x)=3-6sen£x.

32. para todo x, f(x)=f(-x).

23. (Ufrrj) Determine os valores reais de k, de modo que a

equação 2 - 3cosx = k - 4 admita solução.

24. (Fei) Na estação de trabalho de pintura de peças de

uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido

varia com o tempo conforme a expressão P(t) = 50 +

50sen[t - (™/2)], t > 0.

Assinale a alternativa em que o instante t corresponda ao

valor mínimo da pressão.

a) t = ™/2 b) t = ™ c) t = 3™/2

d) t = 2™ e) t = 3™

25. (G1) O menor valor de y = 1/(3 - cos x) com x real é

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/2

26. (Ufrrj) Carlos propõe o seguinte exercício para seus

alunos: Calcule o período da função

f(x) = 2 + sen [6™x + (1/2)]. A resposta correta é

a) 6™ b) 1/3 c) ™/3 d) ™ e) 2™


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27. (Uff) No processo de respiração do ser humano, o fluxo

de ar através da traquéia, durante a inspiração ou

expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em

cada instante t, por F(t) = M sen wt.

A pressão interpleural (pressão existente na caixa

torácica), também durante o processo de respiração, pode

ser modelada pela função P, definida, em cada instante t,

por P(t) = L - F(t + a).

As constantes a, L, M e w são reais, positivas e

dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo.

(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M.

Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas, ed. HARBRA

Ltda. 1988.(Adaptado)

Um possível gráfico de P, em função de t, é:

28. (Uel) Uma bomba de água aspira e expira água a cada

três segundos. O volume de água da bomba varia entre um

mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as

alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o

volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t).

a) y = 2 + 2 sen [(™/3) . t]

b) y = 2 + 2 sen [(2™/3) . t]

c) y = 3 + sen [(™/3) . t]

d) y = 3 + sen [(2™/3) . t]

e) y = - 3 + 2 sen [(™/3) . t]

29. (Ufpb 2012) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função:

A(t) 1,6 1,4 sen t6

Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico:

( ) ( )

( ) ( )

( ) 30. (Fgv 2011) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada

por x

f x 100 0,5x 3sen6

, em que x = 1 corresponde

a janeiro de 2011, x = 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é:

(Use a aproximação decimal 3 1,7 )

a) 308,55 b) 309,05 c) 309,55 d) 310,05 e) 310,55 31. (Ufpr 2011) Suponha que a expressão P = 100 + 20

sen(2 t) descreve de maneira aproximada a pressão

sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 32. (Ufpb 2011) Com o objetivo de aumentar a produção de alimentos em certa região, uma secretaria de agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo


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sobre as potencialidades do solo dessa região. Na análise da temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, durante quatro dias consecutivos, em intervalos de uma hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do primeiro dia (t = 0). Os estudos indicaram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, representando o número de horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se através da expressão

4

T t 26 5cos t .12 3

π π

Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas: ( ) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do

primeiro dia, foi de 23,5 ºC. ( ) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h. ( ) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30 ºC. ( ) A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no

primeiro dia, às 14 h. ( ) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8]. 33. (Ufrgs 2010) O período da função definida por f(x) =

sen 3x2

π

é

a) .2

π b)

2.

3

π c)

5.

6

π d) .π e) 2 .π

34. (Ufpr 2010) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser descrito pela função

2f(t) 18,8 1,3sen t

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sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 1. O período da função acima é 2π . 2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo. 3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 35. (Enem 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por

5865r t

1 0,15.cos 0,06t

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) 12 765 km. b) 12 000 km. c) 11 730 km. d) 10 965 km. e) 5 865 km. 36. (Pucpr 2010) Um terremoto de magnitude 8 graus da

escala Richter atingiu, em setembro de 2009, a região de

Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 metros. A

maré alta neste local ocorreu à meia-noite.

Suponha que o nível de água na maré alta era de 3 metros;

mais tarde, na maré baixa, era de 3 cm. Supondo que a

próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a

altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno,

qual das alternativas a seguir corresponde à fórmula para o

nível da água na região em função do tempo?

a) 1,515 + 1,485.cos t6

π

b) 1,515 + 1,485.sen t6

π

c) 1,485.cos t6

π

d) 1,485.sen t6

π

e) 1,485 + 1,515.cos tπ

37. (Uff 2007) Nas comunicações, um sinal é transmitido

por meio de ondas senoidais, denominadas ondas

portadoras.

Considere a forma da onda portadora modelada pela

função trigonométrica

f(t) = 2 sen 3t 3

π

, t ∈ IR

Pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa f(t) é:

lista de funÇÕes trigonomÉtricas

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