UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHO-UEMAPROG-CECEN-DEMATICURSO DE MATEMTICAINTRODUO ANLISEPROFESSOR: FRANCISCO F. GRANGEIRO2SEM/20101DISCIPLINA: INTRODUO ANALISE CD: NC014CH: 60HORAS2 SEMESTRE 2010.PROF. FRANCISCO F. GRANGEIROSALA: 03CALENDRIO DE PROVA1 PROVA 2 PROVA 3 PROVA 2 CHAMADA FINALPROGRAMA DA DISCIPLINACAPTULO I: NMEROS REAIS O conjunto dos nmeros naturais- N O conjunto dos nmeros inteiros- Z O corpo ordenado dos nmeros racionais-Q Representao geomtrica de Q- A reta numrica- (supremo e nfimo de um conjunto). Deficincia analtica do conjunto dos nmeros racionais-nmeros reais-R. Conjunto limitado: Supremo e nfimo. Enumerabilidade de Q e no enumerabilidade- de R- infinito e infinitude. Representao decimal dos nmeros racionais-Dzima peridica. Representao decimal dos nmeros reais- conjunto incomensurveis e nmeros irrcionais.CAPTULO II: SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS. Limite de sequncia- propriedades e operaes com limites. Sequncias- Limitadas e subsequncias-O teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequncia montonas. O nmero e. Limites infinitos Sequncia de Cauchy e critrio de Cauchy.CAPTULO III: SRIE INFINITA Soma com infinitas parcelas Soma convergente Srie de termos positivos-critrios de convergncia. A irracionalidade do nmero e. Convergncia condicional e convergncia absoluta. Srie alternada.CAPTULO IV: LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNO REAL DE VARIVEL REAL. NoesTopolgicas da reta (R). Limites e limites laterais. Funo contnua2 Funo montona- Limite e continuidade Caracterizao de descontinuidade. Conjunto Compacto. Funo contnua em conjunto compacto- o teorema de Heine. O teorema do valor intermedirio.CAPTULO V: DIFERENCIABILIDADE DE FUNO REAL DE VARVEL REAL; Derivada e diferencial Derivada da funo inversa. Estudo de mximo e de mnimo local.O teorema do valor mdio.BIBLIOGRAFIA vila, Geraldo,S.S- Introduo Anlise Matemtica-Ed.Edgard Blucher. Lages, Elon Lima-Um curso de Anlise-vol I- Projeto Euclides-Ed.L.T.C. vila, G.S.S- Anlise para a licenciatura-Ed.Blucher.LEITURA RECOMENDADASCourant,Richard- Robbins, Herbet- O que matemtica? Editora. Cincia Moderna.Boyer, Carl B.- Histria do clculo.Boyer, Carl B.- Tpicos da Histria e matemtica.3PROBLEMAS PROPOSTOSCAPTULO I: NMEROS REAIS1- Considere o conjunto B={ 0 ; > x Q x e 22< x . Mostre que no existe o supremo do conjunto B no corpo dos nmeros racionais.2-Prove que no existe um nmero racionalrtal quep r 2, onde p um nmero primo ().3- Prove que se1 > a , entoa an> para todo inteiro. 1 > n4- Prove que se1 0 < < a , entoa an< para todo inteiro . 1 > n5- SejamA eBsubconjuntos do conjunto dos nmeros reais (no vazios).Prove que se A Bento: ) inf( ) inf( B Ae que ) sup( ) sup( B A.6- SejamAe B doissubconjuntosdoconjuntodosnmerosreaistaisque, b a paratodo A a e todoB b .Proveque:). inf( ) sup( B AProve ainda que) inf( ) sup( B A para todo0 > , existemA a eB b tais que < a b .7- Dados dois subconjuntos A e B do conjunto dos nmeros reais, limitados. Definimos o conjunto B A+por: A+B={ A a b a + ;e b B.Prove que: '+ ++ +). inf( ) inf( ) inf() sup( ) sup( ) sup(B A B AB A B A8- Sabe-se que asoma dosn- primeiros termos da progresso aritmtica dos nmeros naturais 2) 1 .( + n n, isto , 2) 1 .(..... 2 1+ + + +n nn. Prove este resultado por induo.9- Prove por induo que:j j nnjnb ajnb a . . ) (0

,`

.| +, onde n N ) (.10- D uma interpretao geomtrica para a desigualdade de Bernoulli, construindo os grficos das funes:nx x g ) 1 ( ) ( + ex n x h . 1 ) ( + . Mostrequeadesigualdadevaleestritamentese 0 x e1 > n .CAPTULO II: SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS.411-Se0 > a , mostre que a sequncia nna a convergente e converge para (1) um.12- Demonstre que 11nnn Lim.13- Prove, direto da definio, que. 01120+nLimn14- Prove que ( ) 00 +n a n Limn, para todo. 0 > a15- Seja ) (nauma sequncia tal que L a Limnn e seja ( )na a abnn+ + +......2 1.Mostre que L b Limnn .) (16- Prove que se L a Limnn L a Limnn . D um exemplo onde a recproca nem sempre vale.17- Seja ( )nauma sequncia que converge para zero e seja ( )nb uma sequncia limitada. Prove que [ ] 0 n nnb a Lim.18- Seja ( )nae ( )nb sequncias convergentes, com n nb a para todo n. Prove quennnnb Lim a Lim .19- Diz-sequeasequncia( )nacresce mais lentamente que a sequncia( )nbse( ) 0 / n nnb a Lim. Demonstre que a sequncia knn a , ondek um inteiro positivo cresce mais lentamente que a sequncia nna b , com. 1 > a20- Demonstre que! n cresce mais lentamente que . nn21- Sejam 1Ne 2Nsubconjuntos infinitos do conjuntoN dos nmeros naturais, cuja unio o conjuntoN . Seja ( )na uma sequncia cujas restries aos conjuntos 1N e 2N convergem para o mesmo limiteL . Prove que existe L a Limnn .22- Seja 0 >na e c a an n+/1, onde1 < c . Demonstre que 0 nna Lim.23- Mostre que [ ] + + + a n n Limn12para todo. 0 > a24- Mostre que + nnn Lim !.CAPTULO III: SRIE INFINITA525- Demonstre que a srie geomtrica...... 120+ + + q q qnnconverge para o nmero real ( ) 1 / 1 q se 1 0 < a possui duas razes quadradas, uma positiva e a outra negativa.44- Seja IR IR I f :, ondeI um intervalo. Se f for contnua e 0 ) ( x f para todoI x , mostre que 0 ) ( > x fpara todoI x ou0 ) ( < x f para todoI x .45- Sejamfegfunes contnuas definidas nointervalo[ ] b a,, tais que) ( ) ( a g a f . Prove que existe [ ] b a xo, onde ). ( ) (o ox g x f 46- Considere a funo IR IR f : definida por: x x f ) ( se xQ e xx f1) ( se x Q. Faa o grfico da funo fe mostre que f uma bijeo descontnua em todos os pontos.( ) CAPTULO V: CLCULO DIFERENCIAL47- Seja IR IR D f :,) (D t i xo . Prove que f derivvel no ponto oxse e somente se, para toda sequncia ) (nxemD como nx x implicar que ) ( ') ( ) (oo no nx fx xx f x f.48- Seja IR IR I f :, ondeI um intervalo e f uma funo montona. Seja I xo um ponto interior, estude as derivadas laterais de f no ponto ox.49- Seja IR IR f : a funo definida por: ,`

.|xsen x x f1. ) ( se0 x e 0 ) 0 ( f.a) Mostre que f contnua no ponto. 0 xb) Mostre que a derivada da funo f no ponto. 0 x no existe.c) Esboce o grfico da funo fnas proximidades do ponto. 0 x750- Seja IR IR g : a funo definida por:,`

.|xsen x x g1. ) (2 se0 x e 0 ) 0 ( g.a) Mostre que g contnua no ponto. 0 xb) Mostre que existe ) ( x gem todo pontoIR x .c) Mostre que ) ( x g descontnua no ponto. 0 x8