analise real

Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2011 -

APRESENTAÇÃO.

A Análise Real é uma das disciplinas Matemáticas que teve seu

desenvolvimento mais formal estabelecido como conseqüência da tentativa de

estabelecer bases sólidas para o calculo diferencial e integral que teve seu

grande desenvolvimento nos séculos XVII até o inicio do século XIX.

A análise é uma visão aprofundada do cálculo diferencial onde alguns dos

resultados estudados nas disciplinas de cálculo são revisto sob uma óptica mais

rigorosa a fim de garantir uma maior visão das possibilidades e limites das

técnicas do cálculo diferencial e integral.

Como uma das tarefas de um professor de Matemática é enunciar e

demonstrar proposições matemáticas, aa licenciatura o papel da análise é o de

praticar demonstrações.

Portanto, nesta disciplina o enfoque a ser dado será o de praticar

demonstrações de resultados sem, no entanto ser deixado de lado a aplicação de

alguns resultados em situações mais ligadas as ações do cotidiano.

SUMÁRIO

CONJUNTOS ......................................................................................................................................... 9

RELAÇÃO DE INCLUSÃO. ...................................................................................................................... 9

RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS. ..................................................................................... 10

SUBCONJUNTOS............................................................................................................................... 10

QUESTÕES ................................................................................................................................... 10

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. ......................................................................................................... 11

INTERSEÇÃO. ................................................................................................................................... 11

QUESTÕES ................................................................................................................................... 13

UNIÃO.............................................................................................................................................. 13

QUESTÕES ................................................................................................................................... 14

LIMITES. ............................................................................................................................................. 28

O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE. .................................................................................................... 28

CONCEITO FORMAL. .......................................................................................................................... 30

LIMITES INFINITOS. .......................................................................................................................... 31

FUNÇÕES CONTÍNUAS....................................................................................................................... 32

QUESTÕES ................................................................................................................................... 33

DERIVADAS. ....................................................................................................................................... 35

QUESTÕES ................................................................................................................................... 37

SEQUENCIAS E SÉRIES. .................................................................................................................... 39

IGUALDADE DE SEQUENCIAS. ............................................................................................................ 39

TIPOS DE SEQUENCIAS. .................................................................................................................... 39

OPERAÇÕES COM SEQUENCIAS. ........................................................................................................ 40

SEQUENCIAS CONVERGENTES. .......................................................................................................... 40

QUESTÕES ................................................................................................................................... 41

SERIES. ................................................................................................................................................ 43

QUESTÕES ................................................................................................................................... 45

BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................... 49

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

9

CONJUNTOS

INTRODUÇÃO

Neste momento não faremos uma abordagem formal da teoria dos conjuntos por motivos

diversos entre eles os objetivos do nosso curso e o tempo disponível para o mesmo.

Nossos objetivos são apresentar as operações com conjuntos de uma forma um pouco mais

rigorosa que as apresentações realizadas na maioria dos livros didáticos do ensino médio com

a finalidade de fundamentar a prática pedagógica envolvendo tal assunto que é um dos

componentes curriculares do atual ensino médio e praticar a resolução de questões

envolvendo o referido assunto.

Noções Básicas.

A teoria dos conjuntos, assim como a Geometria Euclidiana, é uma teoria axiomática, ou seja,

se baseia em noções que não demonstradas, que são seus axiomas.

Os axiomas da Teoria dos Conjuntos são os seguintes:

1) A noção de conjunto;

2) A noção de elemento de um conjunto;

3) A relação de pertinência entre elemento e conjunto.

Normalmente os conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus elementos por letras

minúsculas de nosso alfabeto.

NOTAÇÕES:

Para indicar que um elemento x pertence a um conjunto A usamos a

seguinte notação: x A.

Para indicar que um elemento x não pertence a um conjunto A usamos a

seguinte notação: x A.

RELAÇÃO DE INCLUSÃO.

Definição 1: Quando todos os elementos de um conjunto A são elementos de um conjunto B

dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B.

Para indicar que o conjunto A está contido no conjunto B usamos a seguinte notação A B.

Para indicar que o conjunto A não está contido no conjunto B usamos a seguinte notação A B.

Para se demonstrar que um conjunto A está contido em conjunto B basta mostrar que todo

elemento de A pertence a B. Durante o desenvolvimento desta unidade esta técnica será

muitas vezes utilizada.

Propriedades da inclusão de conjuntos.

1) Todo conjunto está contido si mesmo. Esta é a propriedade reflexiva da de conjuntos. A

propriedade reflexiva da inclusão de conjuntos é expressa simbolicamente por A, A

A.

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

10

2) Se um conjunto A está contido em um conjunto B e o conjunto B está contido em um

conjunto C, então o conjunto A está contido no conjunto C. Esta é a propriedade transitiva

da inclusão de conjuntos. A propriedade transitiva da inclusão de conjuntos é expressa

simbolicamente por A, B, C, A B, B C A C.

RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS.

Definição 2: Dois conjuntos A e B são ditos iguais se e somente se todos os elementos de A

são elementos de B e todos os elementos B são elementos de A, ou seja, A = B se e somente

se A B e B A .

A igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente por A, B, A = B A B e B A.

Para se demonstrar que um conjunto A é igual a um conjunto B basta mostrar que todo

elemento de A pertence a B e que todo elemento de B pertence a A. Durante o

desenvolvimento desta unidade esta técnica será muitas vezes utilizada.

Propriedades da igualdade de conjuntos.

1) Todo conjunto é igual a si mesmo. Esta é a propriedade reflexiva da igualdade de

conjuntos. A propriedade reflexiva da igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente

por A, A = A.

2) Se um conjunto A é igual a um conjunto B, então o conjunto B é igual ao conjunto A .

Esta é a propriedade simétrica da igualdade de conjuntos. A propriedade simétrica da

igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente por A, B , A=B B = A.

3) Se um conjunto A é igual a um conjunto B e o conjunto B é igual a um conjunto C, então

o conjunto A é igual ao conjunto C. Esta é a propriedade transitiva da igualdade de

conjuntos. A propriedade transitiva da igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente

por A, B, C, A= B, B = C A= C.

SUBCONJUNTOS.

Definição 3: Todo conjunto A que está contido num conjunto B é um subconjunto ou uma

parte de B.

QUESTÕES

1- Demonstre que todo conjunto está contido si

mesmo.

2- Demonstre que se um conjunto A está contido

em um conjunto B e o conjunto B está contido

em um conjunto C, então o conjunto A está

contido no conjunto C.

3- Demonstre que todo conjunto é igual a si

mesmo.

4- Demonstre que se um conjunto A é igual a um

conjunto B, então o conjunto B é igual ao

conjunto A.


11

5- Demonstre que se um conjunto A é igual a um

conjunto B e o conjunto B é igual a um

conjunto C, então o conjunto A é igual ao

conjunto C.

6- Demonstre que todo conjunto é subconjunto de

si mesmo.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.

Antes de iniciarmos a nossa apresentação é importante que façamos alguns

comentários acerca da inserção dosa conjuntos na Matemática.

Com o advento da Teoria dos Conjuntos muitos conceitos foram firmados, questões

antigas sobre o infinito foram dirimidas e muitos resultados em diversos campos da

Matemática foram reinterpretados a luz da nova teoria. Como conseqüência de todo esse

movimento hoje é consenso entre a maioria dos matemáticos que em matemática tudo é

conjunto, ou seja a estrutura ou os objetos mais gerais da Matemática são os conjuntos.

Desse modo temos que sempre que realizamos uma operação entre dois conjuntos o

resultado é sempre um conjunto. Agora vejamos as operações básicas entre conjuntos.

INTERSEÇÃO.

Definição 4: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto interseção de A com B ao

conjunto formado pelos elementos comuns entre o elementos do conjunto A e do conjunto B.

A interseção ente dois conjuntos A e B é indicada por A B.

Simbolicamente temos que A B = { x x A e x B}.

Assim podemos afirmar que x A B é equivalente a x A e x B.

Exemplo 1.

Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}.

A interseção de A com B é A B = {3,4}, pois 3 e 4 são os elementos comuns entre os

conjuntos A e B.

Exemplo 2.

Sejam os conjuntos A = {3,5,4} e B = {3,6, 2,8, 9}.

Da comparação entre os elementos dos conjuntos A e B podemos concluir que o único

elemento comum entre os dois conjuntos é 3. Como sempre que realizamos uma operação

entre dois conjuntos o resultado é sempre um conjunto. Nesta situação temos um conjunto que

possui apenas um elemento. Este conjunto é denominado conjunto unitário e é definido como

segue.

Definição 5: Chama-se de conjunto unitário a todo conjunto que possui apenas um elemento.


12

Desse modo podemos afirmar que a interseção dos conjuntos A = {3,5,4} e B ={3,6, 2,8, 9} é

um conjunto unitário e no caso A B ={3}.

A definição de conjunto unitário amplia a noção de conjunto.

Exemplo 3.

Sejam os conjuntos A = {3,5,4} e B = {6, 2,8, 9}.

Da comparação entre os elementos dos conjuntos A e B podemos concluir que não elementos

comuns entre os dois conjuntos. Como sempre que realizamos uma operação entre dois

conjuntos o resultado é sempre um conjunto. Nesta situação temos um conjunto que não

possui elementos. Este conjunto é denominado conjunto vazio e definido como segue.

Definição 6: Chama-se de conjunto vazio ao conjunto que não possui elementos.

O conjunto vazio é indicado por ou por { }.

Desse modo podemos afirmar que a interseção dos conjuntos A = {3,5,4} e B = {6, 2,8, 9} é o

conjunto vazio, ou seja, A B = .

Um equívoco comum é se representar o conjunto vazio por { }, que na verdade é um

conjunto unitário.

A definição de conjunto vazio amplia mais ainda a noção de conjunto.

O conjunto vazio na Teoria dos Conjuntos tem papel análogo ao zero na Aritmética.

Um resultado interessante envolvendo conjunto vazio é o seguinte: O conjunto vazio está

contido em todo conjunto.

Vejamos agora a definição de um outro conjunto um tanto especial, o conjunto universo.

Definição 7: Chama-se de conjunto universo de uma teoria o conjunto de todos os entes que

são considerados como elementos nessa teoria. Normalmente o conjunto universo é indicado

pela letra U.

Na Aritmética o conjunto universo é conjunto de todos os números inteiros.

Na Geometria o conjunto universo é o conjunto de todos os pontos do espaço em estudo.

Vejamos agora algumas propriedades da interseção de conjuntos.

1) A interseção de um conjunto consigo mesmo é o próprio conjunto.

2) A interseção de conjuntos é comutativa.

3) A interseção de conjuntos é associativa.

4) A interseção de dois conjuntos está contida em cada um dos conjuntos.

5) Um conjunto está contido em outro se e somente se a interseção de ambos coincide com o

primeiro conjunto.

6) Um conjunto está contido em dois outros conjuntos se e somente se está contido na

interseção de ambos.

7) Se um conjunto está contido num outro, então a interseção do primeiro com um terceiro

conjunto está contida na interseção do segundo com o terceiro conjunto.


13

8) A interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto vazio.

9) A interseção de qualquer conjunto com o conjunto universo é o conjunto.

QUESTÕES

1- Demonstre que o conjunto vazio está contido

em todo conjunto.

2- Demonstre que a interseção de um conjunto

consigo mesmo é o próprio conjunto.

3- Demonstre que a interseção de conjuntos é

associativa.

4- Demonstre que a interseção de dois conjuntos

está contida em cada um dos conjuntos.

5- Demonstre que um conjunto está contido em

outro se e somente se a interseção de ambos

coincide com o primeiro conjunto.

6- Demonstre que um conjunto está contido em

dois outros conjuntos se e somente se está

contido na interseção de ambos.

7- Demonstre que se um conjunto está contido

num outro, então a interseção do primeiro com

um terceiro conjunto está contida na interseção

do segundo com o terceiro conjunto.

8- Demonstre que a interseção de qualquer

conjunto com o conjunto vazio é o conjunto

vazio.

9- Demonstre que a interseção de qualquer

conjunto com o conjunto universo é o conjunto

universo.

10- Demonstre que se A B e C D, então A

C B D.

UNIÃO.

Definição 8: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto união ou reunião de A com B

ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto A ou pertencem ao

conjunto B.

A união entre dois conjuntos A e B é indicada por A B.

Simbolicamente temos que A B = { x x A ou x B}.

Assim podemos afirmar que x A B é equivalente a x A ou x B.

Exemplo 4.


A união de A com B é A B = {1,2,3,4,5,6}, pois os elementos 1,2,3, e 4 pertencem ao

conjunto A e os elementos 3,4,5 e 6 pertencem ao conjunto B.

Vejamos agora algumas propriedades da união de conjuntos.

1) A união de um conjunto consigo mesmo é o próprio conjunto.

2) A união de conjuntos é comutativa.

3) A união de conjuntos é associativa.

4) A união de dois conjuntos contem cada um dos conjuntos.


14

5) Um conjunto está contido num outro conjunto se e somente se a união de ambos coincide

com o segundo conjunto.

6) Dois conjuntos estão contidos num terceiro se e somente se a união dos dois primeiros

estiver contida no terceiro.

7) A união de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto.

8) A união de qualquer conjunto com o conjunto universo é o conjunto universo.

9) A união de conjuntos é distributiva em relação à interseção.

10) A interseção de conjuntos é distributiva em relação à união de conjuntos.

11) Se um conjunto está contido num outro, então a união do primeiro com o terceiro

conjunto está contida na reunião do segundo com o terceiro.

QUESTÕES

1) Demonstre que a união de um conjunto

consigo mesmo é o próprio conjunto.

2) Demonstre que a união de conjuntos é

comutativa.


associativa.

4) Demonstre que a união de dois conjuntos

contém cada um dos conjuntos.

5) Demonstre que um conjunto está contido num

outro conjunto se e somente se a união de

ambos coincide com o segundo conjunto.

6) Demonstre que dois conjuntos estão contidos

num terceiro se e somente se a união dos dois

primeiros estiver contida no terceiro.

7) Demonstre que a união de qualquer conjunto

com o conjunto vazio é o conjunto.

8) Demonstre que a união de qualquer conjunto

com o conjunto universo é o conjunto

universo.


distributiva em relação à interseção.

12) Demonstre que a interseção de conjuntos é

distributiva em relação à união de conjuntos.

13) Demonstre que se um conjunto está contido

num outro, então a união do primeiro com o

terceiro conjunto está contida na reunião do

segundo com o terceiro.

DIFERENÇA DE CONJUNTOS.

Definição 9: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto diferença entre A e B ao

conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto A e não pertencem ao

conjunto B.

A diferença entre os conjuntos A e B é indicada por A - B.

Simbolicamente temos que A - B = { x x A e x B}.

Assim podemos afirmar que x A - B é equivalente a x A e x B.

Da definição de diferença entre conjuntos é fácil notar que A- B é diferente de B- A.


15

Exemplo 5.


A diferença entre A e B é A - B = {1,2,}, pois os elementos 1 e 2 pertencem ao conjunto A e

não pertencem ao conjunto B.

Exemplo 6.


A diferença entre A e B é B - A = {5,6}, pois os elementos 5 e 6 pertencem ao conjunto B e

não pertencem ao conjunto A.

Definição 10: Se A está contido em B dizemos que B-A é o complementar de A em relação à B.

O complementar de A em relação à B é indicado por B

AC

Exemplo 7.

Sejam os conjuntos A = {3,4} e B = { 3,4,5,6,8}.

O complementar de A em relação à B é B

AC = B – A = {5,6, 8}.

O complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo é indicado por U`.

Vejamos agora algumas propriedades da diferença de conjuntos.

1) A diferença de um conjunto consigo mesmo é o conjunto vazio.

2) A união de um conjunto com seu complementar em relação ao conjunto universo é o

conjunto universo.

3) A interseção de um conjunto e seu complementar em relação ao conjunto universo é o

conjunto vazio.

4) O complementar em relação ao conjunto universo da interseção de dois conjuntos é a

união de complementares de cada conjunto em relação ao conjunto universo.

5) O complementar em relação ao conjunto universo da união de dois conjuntos é a

interseção de complementares de cada conjunto em relação ao conjunto universo.

6) Dois conjuntos estão contidos num terceiro se e somente se a união dos dois primeiros

estiver contida no terceiro.

7) A diferença entre qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto.

8) A diferença entre o conjunto vazio e qualquer o conjunto universo é o conjunto vazio.

9) A diferença entre um conjunto e o conjunto universo é o conjunto vazio.

10) A diferença entre o conjunto universo e qualquer conjunto é o complementar do conjunto

em relação ao conjunto universo.

11) A diferença entre o conjunto qualquer conjunto complementar desse conjunto em relação

ao conjunto universo é igual ao próprio conjunto.


16

QUESTÕES

1) Demonstre que a diferença de um conjunto

consigo mesmo é o conjunto vazio.

2) Demonstre que a união de um conjunto com

seu complementar em relação ao conjunto

universo é o conjunto universo.

3) Demonstre que a interseção de um conjunto e

seu complementar em relação ao conjunto

universo é o conjunto vazio.

4) Demonstre que o complementar em relação ao

conjunto universo da interseção de dois

conjuntos é a união de complementares de

cada conjunto em relação ao conjunto

universo.

5) Demonstre que o complementar em relação ao

conjunto universo da união de dois conjuntos

é a interseção de complementares de cada

conjunto em relação ao conjunto universo.

6) Demonstre que dois conjuntos estão contidos

num terceiro se e somente se a união dos dois

primeiros estiver contida no terceiro.

7) Demonstre que a diferença entre qualquer

conjunto com o conjunto vazio é o conjunto.

8) Demonstre que a diferença entre o conjunto

vazio e qualquer o conjunto universo é o

conjunto vazio.

9) Demonstre que a diferença entre um conjunto

e o conjunto universo é o conjunto vazio.


universo e qualquer conjunto é o

complementar do conjunto em relação ao

conjunto universo.


qualquer conjunto complementar desse

conjunto em relação ao conjunto universo é

igual ao próprio conjunto.

12) Demonstre que (A –B)` = A` B.

13) Demonstre que A –B = B`- A`.

DIFERENÇA SIMÉTRICA.

Definição 11: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto diferença simétrica entre A

e B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto união de A com B e

não pertencem ao conjunto interseção de A com B.

A diferença entre os conjuntos A e B é indicada por A B.

Simbolicamente temos que A B = { x x A B e x A B}.

Assim podemos afirmar que x A B é equivalente a x A B e x A B.

Exemplo 8.

Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6,8}.

A diferença simétrica entre A e B é A B = { 1,2,5,6,8}.Pois, A B= {1,2,3,4,5,6,8},

A B = { 3,4}e (A B) –(A B)= { 1,2,5,6,8}.

Vejamos agora algumas propriedades da diferença simétrica entre dois conjuntos.

1) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto vazio é o próprio conjunto.

2) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto universo é o complementar do

conjunto em relação ao conjunto universo.


17

3) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto e o seu complementar em relação

ao conjunto universo é igual ao próprio conjunto.

4) A diferença simétrica entre um conjunto e ele próprio é o conjunto vazio.

5) A diferença simétrica é comutativa.

6) A diferença simétrica é associativa.

7) A interseção é distributiva na diferença simétrica.

QUESTÕES COMPLEMENTARES.

01 – Uma sala possui 40 alunos, dos quais

30 estudam Álgebra, 13 estudam

Biologia e 10 estudam

simultaneamente Álgebra e Biologia.

Quantos, dentre os alunos

considerados, não estudam pelo

menos uma das duas matérias?

02 – Num escritório trabalham 27

secretárias, das quais 10 sabem

datilografia, 08 sabem estenografia,

sendo que 05 são estenodatilógrafas.

Quantas secretárias não são nem

datilografas nem estenografas?

03 – Numa escola com 250 alunos, 60

estudam Matemática, 70 estudam

Física, 80 estudam Química, 15

estudam Matemática e Física, 25

Física e Química, 30 Matemática e

Química e 10 estudam as três

matérias.

Quantos alunos não estudam pelo

menos uma das três disciplinas?

04 – Em uma cidade onde circulam três

jornais existem 6.000 famílias; 3.200

assinam A Gazeta, 3.100 assinam a

Folha, 3.400 assinam O Diário,

enquanto que 1.600 assinam A

Gazeta e A Folha, 2.000 assinam O

Diário e A Folha, 1.800 assinam O

Diário e A Gazeta, sendo que 850

famílias assinam os três jornais.

Pergunta-se:

a) quantas famílias não assinam

jornais?

b) quantas famílias assinam os dois e

só dois jornais?

c) quantas famílias assinam um e

somente um jornal?

05 – Numa pesquisa aplicada a 1.400

famílias, em relação à audiência de

programas de televisão, encontraram-

se os seguintes resultados:

800 famílias assistem ao programa X

250 famílias assistem ao programa Y

420 famílias assistem ao programa Z

120 famílias assistem aos programas

X e Y


Y e Z


X e Z


X, Y e Z

a) quantas famílias não assistem a

esses programas?

b) quantas assistem a pelo menos um

dos programas?

c) quantas assistem a um e somente

um programa?

d) quantas assistem a pelo menos

dois programas?

e) quantas assistem a dois e só dois

programas?

06 – Num grupo de motoristas há 28 que

dirigem carro, 12 que dirigem moto e


18

8 que dirigem carros e moto.

Quantos motoristas há nesse grupo?

Quantos só dirigem carro?

07 – Numa classe de 36 alunos temos: 19

jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13

jogam basquete,

12 jogam futebol e vôlei, 8 jogam

vôlei e basquete, 8 jogam futebol e

basquete e 4 praticam os três

esportes.

Determine:

a) quantos alunos da classe não

praticam estes esportes?

b) quantos praticam exatamente um

destes esportes?

c) quantos praticam exatamente dois

desses esportes?

08 – Um conjunto A tem 13 elementos, A

B tem 8 elementos e A B tem

15 elementos. Quantos elementos

tem B?

09 – Num grupo de 22 aniversários há 8

que cursam Engenharia, 10 que

cursam Administração e 3 que

cursam Engenharia e Administração.

Quantos não estão cursando

Engenharia nem Administração?

10 – Num avião encontravam-se 122

passageiros dos quais 96 eram

brasileiros, 64 homens, 47 fumantes,

51 homens brasileiros, 25 homens

fumantes, 36 brasileiros fumantes e

20 homens brasileiros fumantes.

Calcule:

a) o número de mulheres brasileiras

fumantes;

b) número de homens fumantes não

brasileiros;

c) número de mulheres fumantes.

11 – Os 36 alunos de uma classe fizeram

uma prova de 3 questões. Sabendo

que 4 erraram todas as questões, 5 só

acertaram a primeira questão , 6 só

acertaram a segunda, 7 só acertaram

a terceira, 9 acertaram a primeira e a

segunda, 10 acertaram a primeira e a

terceira e 7 acertaram a segunda e a

terceira, determine quantos acertaram

as três questões.

12 – Feito exame de sangue em um grupo

de 200 pessoas, constatou-se o

seguinte: 80 delas têm sangue com

fator Rh negativo, 65 têm sangue

tipo O e 25 têm sangue tipo O com

fator Rh negativo. O número de

pessoas com sangue de tipo diferente

de O e com fator Rh positivo é:

a) 40

b) 65

c) 80

d) 120

e) 135

O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.

Quando os conjuntos numéricos são estudados nos níveis fundamental e médio temos

a impressão que os mesmos foram criados na seguinte ordem: naturais, relativos, racionais ,

irracionais, reais e complexos.

Entretanto, a realidade é outra. Os números não foram sendo criados nessa ordem e

sim foram surgindo a medida que o homem buscou resolver situações de cunho cotidiano,

comercial ou tecnológico.

Na idade media já se usava os números complexos e o conceito de número real não

existia. Infelizmente essa discussão não é o objetivo dessa disciplina.

Os números reais foram construídos como conseqüência do movimento denominado

Aritmização da Análise da necessidade que os matemáticos do século XIX sentiram de


19

fundamentar o calculo diferencial e integral em bases mais sólidas que a Geometria como até

então havia sido.

Como conseqüência da Aritmização da Análise surgiram varias construções formais

do conjunto dos números reais e também o resultado que garante que o referido conjunto é um

corpo ordenado completo, ou seja, o conjunto dos números reais satisfaz as seguintes

propriedades:

A1) A adição de reais é comutativa, ( a + b = b + a , a, b R) ;

A2) A adição de reais é associativa, ((a+b) + c = a + (b +c) , a, b, c R) ;

A3) A adição de reais possui um elemento neutro, ( 0 + a = a + 0 = a, a R) ;

A4) A adição de reais possui elemento simétrico;

M1) A multiplicação de reais é comutativa, ( a. b = b.a , a, b R);

M2) A multiplicação de reais é associativa, ( (a.b).c = a.(b.c), a, b, c R);

M3) A multiplicação de reais possui um elemento neutro, (1.a = a.1 = a, a R);

M4) Todo elemento real diferente de zero possui um inverso multiplicativo;

D) A multiplicação de reais é distributiva à adição.(a.(b +c) = a.b + a .c, a, b, c R).

Que permitem junto com a relação de ordem natural e o axioma do completamento do

conjunto dos números reais fundamentar a analise matemática em bases sólidas.

Vejamos agora alguns resultados importantes acerca do conjunto dos números reais.

Definição 12: Dado um número real x chamamos de módulo ou valor absoluto de x ao

número

Proposição 1: Para todo x e y pertencente a R vale.

a) xx ;

b) ;.. yxyx

c) Se c 0, então x c se e somente se –c x c;

d) y

x

y

x;

e) ;yxyx

f) xyyx .


20

QUESTÕES

1. Demonstre que para todo x e y pertencentes a

R vale.

a) xx ;

b) ;.. yxyx

c) Se c 0, então x c se e somente se –c

x c;

d) y

x

y

x;

e) ;yxyx

f) xyyx .

2. Sabendo que um conjunto X R é

denominado denso em R quando para todo par

de reais a e b com a menor que b é possível

encontrar x X tal que a x b. Demonstre

que: O conjunto dos números inteiros não é denso em R.

O conjunto dos números racionais é denso em R.

O conjunto dos números irracionais é denso em R.

3. Demonstre que a adição de dois números

racionais é um numero racional.

4. Demonstre que o produto de dois números

racionais é um numero racional.

5. Demonstre que a adição de um número

racional com um número irracional é um

número irracional.

6. Demonstre que o produto de um número

racional por um número irracional é um

número irracional.

7. Demonstre que a adição de dois números

irracionais nem sempre é um numero

irracional.

8. Demonstre que a raiz quadrada de 2 é

irracional.

9. Demonstre que o produto de dois números

irracionais nem sempre é um numero

irracional.

10. Demonstre que a raiz quadrada de dois é um

numero irracional.

11. Demonstre que 0,9999999...... = 1.

12. Demonstre que 0, a1a2.....ara1a2.....ar ..... =

110

.....aaar

r21

13. Demonstre que b,c1c2c3.....cs

a1a2.....ara1a2.....ar ..... =

s

scc

1010

.....bc -.....aaa .....cccbcsr

21r21s321


21

FUNÇÕES REAIS.

O conceito de função sofreu muitas modificações ao longo do tempo. Hoje ele é um conceito

central no edifício do conhecimento matemático. Agora veremos alguns conceitos e

resultados importantes acerca das funções definidas no conjunto dos números reais.

Definição1: Uma função f é dita real se seu domínio é o conjunto dos números reais ou um

subconjunto dele e seu contradomínio é o conjunto dos números reais.

Exemplo 1: A função f : R R com f(x) = 2x +1 é uma função real.

Exemplo 2: A função f : N R com f(x) = x +1 é uma função real.

Exemplo 3: A função f : R+ R com f(x) = x2 + 2x +1 é uma função real.

Exemplo 4: A função f : R R com f(x) = ex é uma função real.

FUNÇÕES ESPECIAIS.

FUNÇÃO CONSTANTE.

Definição 2: Sejam A e B dois conjuntos e b B. Chamamos de função constante de A em B

a toda função f:A B tal que f(x) = b, x A.

IDENTIDADE.

Definição 3: Seja a um conjunto. Chamamos de função identidade de A à função f:A B tal

que f(x) = x, x A.

FUNÇÃO ESCADA.

Definição 4: Chamamos de função escada a toda função f:A R em que o domínio A é a

reunião de intervalos sendo f em cada intervalo constante.

FUNÇÃO CARACTERÍSTICA.

Definição 5: Sejam A um conjunto e X um subconjunto de A . Chamamos função

característica de X em A a função KX: A { 0,1} dada por

FUNÇÃO SINAL.

Definição 6: Chamamos de função sinal a função sgn: R Z definida por


22

TIPOS DE FUNÇÕES.

FUNÇÃO INJETORA.

Definição 7: Uma função f é dita injetora se e somente se para todo x 1 x2 vale

f (x1) f (x2)

Para demonstrar que uma função f é injetora costuma -se mostrar que se f (a) =

f (b) então a = b.

Exemplo: A função f : R R com f(x) = 2x +1 é injetora pois, se f(a) = f(b) então 2a +1= 2b

+1. Logo, a = b. O que garante a injetividade de f.

FUNÇÃO SOBREJETORA.

Definição 8: Uma função f é dita sobrejetora se e somente se para todo y pertencente a R

existe um x tal que f(x) = y.

Ou seja, uma função f é sobrejetora quando o seu conjunto imagem coincide com seu contra-

domínio.

Para demonstrar que uma função é sobrejetora costuma-se mostrar que dado y pertencente aos

reais existe um x pertencente aos reais tal que y é imagem de x pela função.

Exemplo: f : R R com f(x) = 3x –4 é sobrejetora pois, para todo y R a equação 3 x - 4 =

y tem como solução x = 3

4y R e f (x) = y.

FUNÇÃO BIJETORA.

Definição 9: Uma função f é dita sobrejetora se e somente se f é injetora e sobrejetora.

Exemplo:

A função f : R R com f(x) = 3x –5 é injetora.

De fato, se f(a) = f(b) então 3a –5 = 3b –5 o que implica em a =b. Logo, f é injetora.

Seja y R, então a equação 3x –5 = y tem como solução x = 3

5y e f(x) = y.Logo, f é

sobrejetora.

Portanto, f é bijetora.

FUNÇÃO PERIÓDICA.

Definição 10: Uma função real f é dita periódica se e somente se existir um número real

positivo p tal que f(x) = f( x + p) para todo x R.


23

Exemplo:

A função f :R R com f(x) = senx é periódica pois senx = sen( x +2 ) para todo x R.

FUNÇÃO PAR.

Definição 11: Uma função real f é dita par se e somente se f(x) = f( -x) para todo x R.

Exemplo: A função f :R R dada por f(x) = 22 xx é par pois,

f(-x)= 22 xx )2)(1()2)(1( xx = 22 xx =f(x)

FUNÇÃO IMPAR.

Definição 12: Uma função real f é dita par se e somente se f(-x) = -f( x) para todo x R.

Exemplo: A função f :R* R dada por f(x) =

21

2

x

x é impar pois,

f(-x) = 22 1

2

)(1

)(2

x

x

x

x = - f(x).

FUNÇÕES MONÓTONAS.

Definição 13: Seja f uma função real e I um intervalo de R contido no domino de f. dizemos

que f é uma função monótona em I se a mesma preserva o seu comportamento em I.

Uma função monótona pode ser

a) crescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).

b) decrescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).

c) estritamente crescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).

d) estritamente decrescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).

e) constante em I se e somente se: x1,x2 I , f(x1 ) = f(x2).

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES.

ADIÇÃO DE FUNÇÕES:

Definição14: Dadas duas funções f: A R e G: A R com A R chamamos de adição de

f e g a função f+g: R R dada por (f+g)(x) = f(x) + g(x).

Proposição1: A adição de funções é comutativa.

Proposição2: A adição de funções é associativa.

MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO POR UM ESCALAR:

Definição 15: Dada uma função f: A R e R com A R chamamos de multiplicação de

f por a função ( f): R R dada por ( f)(x) = f(x).


24

Proposição 3: Seja f uma função real, , R então ( + )f= ( f)+( f).

Proposição 4: Seja f uma função real, , R então ( . )f= ( ( f)).

PRODUTO DE FUNÇÕES:

Definição 16: Dadas duas funções f: A R e G: A R com A R chamamos de produto de

f e g a função (f.g): R R dada por (f.g)(x) = f(x) . g(x).

Proposição 5: O produto de funções é comutativo.

Proposição 6: O produto de funções é associativo.

Proposição 7: O produto de funções é distributivo na adição de funções.

COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES:

Definição 17: Dadas duas funções f: A R e G: R R chamamos de composição de f com

g a função (g f): A R dada por (g f)(x) = g[f(x)].

Proposição 8: A composição de funções é associativa.

Proposição 9: A composição de funções sobrejetoras é sobrejetora.

Proposição10: A composição de funções injetoras é injetora.

Proposição11: A composição de funções bijetoras é bijetora.

FUNÇÕES INVERSÍVEIS.

Definição18: Uma função f: A R com A R é dita inversível se existir uma função g: R

A tal que (g f)(x) = x e (f g)(x) = x. A função g é indicada por f –1

. As funções f e f –1

são

ditas inversas.

Proposição12: Uma função f: A B é inversivel se e somente se f é bijetora.

Proposição 13: Se as funções f: A B e g: B C são inversíveis então g f:A C também é

inversivel e (g f)-1

= f-1

g-1

.

CONJUNTOS EQUIPOTENTES.

Definição19: Dois conjuntos A e B tem a mesma potência se existir uma bijeção entre eles.

A notação para indicar que o conjunto A é equipotente ao conjunto B é a seguinte: A ~ B.

Com base na definição de potencia de conjuntos é fácil mostrar que a relação de equipotencia

tem as seguintes propriedades:

1- Para todo conjunto A, A ~A (propriedade reflexiva);

2- Se A~B, então B ~ A (propriedade simétrica);

3- Se A~ B e B ~ C, então A ~ C (propriedade transitiva).

Definição 20: Dizemos que todo conjunto equipotente ao conjunto dos números naturais é

um conjunto enumerável.

Vejamos alguns exemplos de conjuntos enumeráveis.


25

Exemplo 1: O conjunto dos números pares é enumerável.

Pois, a função f: N Pares, dada por f(n)= 2n é bijetora.

Exemplo 2: O conjunto Z dos números relativos é enumerável.

De fato, a função f: N Z dada por , se n é ímpar , se n é par é bijetora. O que

mostra que N e Z são equipotentes.

Definição 21: Dois conjuntos A e B são eqüipolentes se e somente se existe uma função f

bijetora entre A e B.

Proposição 14: Todo intervalo [ a, b] com b a é eqüipolente ao intervalo [0, 1] .

Demonstração: Para mostrar que [0, 1] é equipotente ao intervalo [a, b] é necessário exibir

uma função bijetora entre os dois intervalos.

Como a função f : [0, 1] [ a, b],dada por f(x) = a + ( b – a )x

é uma função do primeiro grau,para todo a,b R e toda função do primeiro grau é bijetora.

Logo, podemos afirmar que [0,1] é equipotente a qualquer intervalo [a, b] com a b.

Proposição 15: Todo intervalo [ a, b[ com b a é eqüipolente ao intervalo [0, 1[.

Proposição 16: Todo intervalo ] a, b] com b a é eqüipolente ao intervalo ]0, 1] .

Proposição 17: Todo intervalo ] a, b[ com b a é eqüipolente ao intervalo ]0, 1[ .

Prosposição 18: Os intervalos [0,1] e ] 0, 1[ são equipotentes.

Demonstração:

Seja o conjunto A = [0,1] – {0, 1, ½, 1/3, .....},então podemos concluir que: [0,1] = {0, 1, ½,

1/3, .....} A.

Como o conjunto A também pode ser definido como sendo A = ]0,1[ -{½, 1/3, ¼, .....}, então

podemos concluir que: ]0,1[ = {½, 1/3, ¼, .....} A.

Agora consideremos a seguinte função f :[0,1] ]0,1[ definida pelo seguinte diagrama.

Analisando o diagrama acima podemos expressar a função f da seguinte maneira:

f: [0,1] ]0,1[

{0, 1, ½, 1/3, .....} A

iA

{½, 1/3, ¼, 1/5 .....} A


26

Como f é uma função bijetora de [0,1] em ]0,1[ , podemos concluir que os intervalos [0,1]

e ]0,1[ são equipotentes.

Proposição 19 Os intervalos [0,1] e [0,1[são equipotentes.

Proposição 20 Os intervalos [0,1] e ]0,1] são equipotentes.

Proposição 21 Todos os intervalos são equipotentes.

Demonstração:

Como: [0,1] ~ [a, b] pela proposição 14;

[0,1[ ~ [a, b[ pela proposição 15;

]0,1[ ~ ]a, b[ pela proposição 16;

]0,1] ~ ]a, b[ pela proposição 17;

[0,1] ~ [0, 1[ ~ ]0, 1[ ~ ]0, 1] pelas proposições 18, 19 e 20 e pela transitividade da

relação de equipotencia.

Então, pela transitividade da equipotencia podemos afirmar que [a, b] ~ [a, b[~ ]a, b[~ ]a, b[

para todo a b .

Logo, todos os intervalos são equipotentes.

Proposição 22 Todo intervalo é equipotente ao conjunto dos números reais.

Demonstração:

Como todos os intervalos são equipotentes, para mostrar que todo que todo intervalo é

equipotente ao conjunto R dos números reais basta que seja exibida uma bijeção entre R e um

intervalo.

Como a função f: R ] –1 , 1[ dada por f(x) = arctg x,

cujo gráfico que está esboçado abaixo deixa claro que a função é uma bijeção de R em ]–1,1[,

então R é equipotente ao intervalo ]–1,1[.

Teorema 1(Teorema de Cantor): O conjunto dos números reais é não-enumerável.

Demonstração:

Como R ~ [0, 1] , mostraremos que [0 , 1] não é enumerável.

Suponhamos que [0 , 1] seja enumerável. Então, [0, 1] pode ser escrito da seguinte forma:

[0, 1] = { x1, x2, x3, .... xn...}.

Escrevendo x1, x2,..., xn, ... sob a forma decimal, com um número ilimitado de algarismos,

obtemos a seguinte tabela:

x1 = 0,a11 a12 a13.....a1n...

x2 = 0, a21a22 a23......a2n...

x3 = 0 ,a31 a32 a33......a3n.....

...........................................................

............................................................

.............................................................

xn = 0,an1an2an3....... ann , onde aij {0 , 1, 2, ..., 9}.


27

Agora seja y [0, 1] dado por y = 0 ,b1 b2 b3.....bn......., onde

É fácil notar que y não consta da tabela acima. Logo [0,1] é não enumerável.

Como [0, 1] é equipotente a R, temos que R é não enumerável.

QUESTÕES

1- Demonstre que duas circunferências de raios

distintos tem a mesma quantidade de pontos.

2- Demonstre que os intervalos [0,1] e [0,1[são

equipotentes.

3- Demonstre que os intervalos [0,1] e ]0,1] são

equipotentes.

4- Sejam A e B conjuntos finitos com m e n

elementos, respectivamente. Demonstrar:

(1) Se f : A B é um função injetora, então

m n.

(2) Se f: A B é uma função sobrejetora,

então m n.

(3) Se f : A B é uma função bijetora, então

m = n.

5- A função numérica f, definida em R, é

crescente em R. Mostrar que a função numérica

g definida por g(x) = f(2x – 3) é crescente em

R.

6- Seja f uma função numérica periódica a de

período 2 . Mostrar que a função numérica g

definida por g(x) = f( 3

x ) é periódica.

7- A função numérica f : [- 1, 1] é par. Mostrar

que f não é bijetora.

8- Mostrar que a função f : R R + tal que f(x) =

x + x é sobrejetora

9- Mostrar que a função f : Z+ Z+ assim

definida: é

sobrejetora e não é injetora.

10- Mostrar que a função f : Z N definida por

f(x) = x2 + 1 não é injetora nem sobrejetora.

11- Seja a função f : Z+ x Z+ Z+ definida por

f(x, y) = x + y + 3. Determinar se a função f é :

(a) injetora ; (b) sobrejetora.

12- Seja a função f :Z R definida por f(x) = 2x2 -

x + 6. Determinar se a função f é: (a) injetora ;

(b) sobrejetora.

13- Mostrar que a função f : R – {2} R – {1}

definida por f(x) = x/(x – 2) é bijetora.

14- Mostrar que a função f : ] – 1, 1 [ R

definida por f (x) = x - 1

x .


28

LIMITES.

A idéia de limite de uma função pode ser considerada de maneira intuitiva e de

maneira formal, ambas são importantes para a compreensão desse conceito.

Iniciaremos pelo conceito intuitivo e em seguida apresentaremos o conceito formal.

O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE.

O gráfico abaixo representa uma função. Observe-o um pouco.

A observação do gráfico acima permite afirmar que:

Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita a imagem da função tem

valores bem próximos de 3;

Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela esquerda a imagem da função tem


Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela direita a imagem da função tem

valores bem próximos de -1 ;

Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela esquerda a imagem da função tem


Quando tomamos valores de x bem próximos de 5 pela direita a imagem da função tem

valores bem próximos de 3,5;

Quando tomamos valores de x próximos bem de 5 pela esquerda a imagem da função tem

valores próximos bem de -1;

Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela direita a imagem da função

decresce infinitamente;

Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela esquerda a imagem da cresce

indefinidamente;


29

Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela direita a imagem da função tem

valores bem próximos de -3;

Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela esquerda a imagem da função tem

valores bem próximos de -3.

Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita e a função toma valores bem

próximos de 3. Dizemos que x tende a 1 pela direita e que a imagem função tende a 3.

Desse modo podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos

afirmar que:

Quando x tende a 1 pela direita a imagem da função tende a 3.

Quando x tende a 1 pela esquerda a imagem da função tende a 3.

Quando x tende a -2 pela direita a imagem da função tende a -3.

Quando x tende a -2 pela esquerda a imagem da função tende a -3.

Quando x tende a 5 pela direita a imagem da função tende a 3,5.

Quando x tende a 5 pela esquerda a imagem da função tende a -1.

Quando x tende a 4 pela direita a imagem da função tende a -1.

Quando x tende a 4 pela esquerda a imagem da função tende a 4.

Em linguagem mais formalizada a afirmação de que “Quando x tende a 1 pela direita a

imagem da função tende a 3 .” É equivalente a afirmar que: O limite da função quando x

tende a 1 pela direita é 3 .

Assim, podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos afirmar

que:

O limite da função quando x tende a -2 pela direita é -3.

O limite da função quando x tende a -2 pela esquerda é -3.

O limite da função quando x tende a 5 pela direita é 3,5.

O limite da função quando x tende a 5 pela esquerda é -1.

O limite da função quando x tende a 4 pela direita é -1.

O limite da função quando x tende a 4 pela direita é 4.

O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0.

O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0.

Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são iguais dizemos que o

limite da função no ponto existe e é o valor para o qual o valor da função tende.

Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são diferentes dizemos

que o limite da função no ponto não existe.

Desse modo, temos que:

O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 2 é –3;

O limite de função representada pelo gráfico no ponto x = -5 é 0;

O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 1 é 3;

O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 4 não existe;

O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 5 é não existe.


30

Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 1 pela direita

é 3 .” É representada por: lim1x

f(x) = 3.

Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 2 pela é -3.”

É representada por: lim2x

f(x) = 3.

Assim, temos que:

lim1x

f(x) = 3.

lim5x

f(x)= 0.

lim4x

f(x) não existe.

lim5x

f(x) não existe.

Como acabamos de ver, por meio do gráfico de uma função é possível determinar o

limite da mesma num x0 dado ponto por observação do comportamento da imagem função à

direita e a esquerda de x0. Isso pode levar a idéia de que o conceito intuitivo de limite de uma

função é suficiente. Entretanto, com o conceito intuitivo de limite não é possível se perceber

resultados muito importantes acerca dos limites que são possíveis por meio de seu conceito

mais formal.

CONCEITO FORMAL.

O conceito de limite é apresentado mais formalmente da seguinte forma.

Definição: O limite de uma função f(x) quando x tende a x0 é L se e somente se para

todo > 0 existir um > 0 tal que, para todo x, se 0 < x – x0 < , então f(x) – L < .

Em símbolos temos:

Lxfxx

)(lim0

> 0 existir um > 0 tal que, x, se 0 < x –x0 < , então f(x) –L < .

Vejamos algumas propriedades do limite de uma função.

Proposição1: Se f é uma função definida por f(x) = c x então cxfxx

)(lim0

, x0.

Proposição2: Se c e Lxfxx

)(lim0

então Lcxfcxfcxxxx

.)(.)(. limlim00

.

Proposição3: Se Lxfxx

)(lim0

e Mxgxx

)(lim0

então MLxgfxx

))((lim0

.

Proposição 4: Se Lxfxx

)(lim0

e Mxgxx

)(lim0

então MLxgfxx

.))(.(lim0

.


31

Proposição5: Se Lxfxx

)(lim0

e Mxgxx

)(lim0

com M 0 então M

Lx

g

f

xx

)(lim0

Teorema 1: O limite de uma função polinomial f(x) = a0 + a1x +a2x2 + .....+ an x

n quando x

tende a x0 é o valor de f(x) quando x = x0 , ou seja, f(x0).

Teorema 2: ( Teorema do confronto) Se )()( limlim00

xgxfxxxx

b e g(x)< h(x)< f(x)

para todo x então )(lim0

xhxx

b.

LIMITES INFINITOS.

Definição: Seja f uma função, se quando x tende a x0 , f(x) cresce ilimitadamente dizemos

que o limite de f(x) quando x tende a x0 é + e representamos por )(lim0

xfxx

.

Definição: Seja f uma função, se quando x tende a x0 , f(x) decresce ilimitadamente dizemos

que o limite de f(x) quando x tende a x0 é - e representamos por )(lim0

xfxx

.

Definição: Seja f uma função definida em [ a , + ) e L e quando x cresce ilimitadamente

a imagem de f se aproxima de L, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é L e

representamos por Lxfx

)(lim .

Definição: Seja f uma função definida em (- , a] e L e quando x decresce ilimitadamente

a imagem de f se aproxima de L, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é L e

representamos por Lxfx

)(lim .

Definição: Seja f uma função definida em e quando x cresce ilimitadamente a imagem de f

também cresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é + e

representamos por )(lim xfx

.

Definição: Seja f uma função definida em e quando x decresce ilimitadamente a imagem

de f também decresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é -

e representamos por )(lim xfx

.

Definição: Seja f uma função definida em e quando x decresce ilimitadamente a imagem

de f cresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é + e


.

Definição: Seja f uma função definida em e quando x cresce ilimitadamente a imagem de f

também decresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é - e


.

Teorema: Se n é um inteiro positivo, então:

i) 01

lim nx x

; ii) 01

lim nx x

.


32

Teorema: O limite de uma função polinomial f(x) = a0 + a1x +a2x2 + .....+ an x

n, com an 0,

quando x tende a + é igual ao valor do limite )(limn

nx

xa e quando x tende a - é igual

ao valor do limite )(limn

nx

xa .

Definição: Chamamos de e ao limite da função f(n) =

n

n

11 definida em N*, quando n

tende a + , ou seja

n

n n

11lim = e.

O número e é irracional, transcendente, tem valor aproximado a 2,7182818284 e muitos

modelos de fenômenos naturais o envolve-o.

Teorema: Seja a função f(x) =

x

x

11 definida em { x x < -1ou x > 0}, então

x

x x

11lim = e .

Teorema: Seja a função f(x) =

x

x

11 definida em { x x < -1ou x > 0}, então

x

x x

11lim = e.

Teorema: Seja a função f(x) = xx1

1 definida em { x -1< x 0}, então

x

x

x1

0

1lim = e.

Teorema: (Do limite trigonométrico fundamental) x

x

x

senlim

0

= 1.

FUNÇÕES CONTÍNUAS.

Definição: Dizemos que uma função f é contínua em x = x 0 se, e somente se,

)()(0lim

0

xfxfxx

caso contrário dizemos que f é descontínua em x= x0.

Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f + g é contínua.

Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f - g é contínua.

Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f.g é contínua.

Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 com g(x0) 0 então a função f/g é

contínua.


33

Proposição: Se a função g é contínua em x0 e a função f é contínua em g(x0) então a função

composta fog é contínua em x0.

Teorema: Se )(lim0

xfxx

= L onde L 0 e n N* ou L < 0 e n é natural ímpar então

nn

xx

n

xx

Lxfxf )()( limlim00

.

QUESTÕES

Calcule os limites.

1) limx

(2x2 -7x+5) =

2) limx

( -7x3 +5x

2 –4x +1) =

3) limx

( -2x5+3x

4+5x

2-6) =

4) limx

( -10x4+8x

3-9x

2+7x +5) =

5) 14

383235

345

limxxxx

xxx

x

=

6) 1

3823

2

limxxx

x

x

=

7) 510

173234

4

limxxx

xx

x

=

8) x

x

x

5senlim

0

=

9) x

x

x 3

5senlim

0

=

10) 3

0

5sen.3sen.senlim

x

xxx

x

=

11) x

xxx

x

5sen3sensenlim

0

=

12) 2

2

0 2

4senlim

x

x

x

=

13) 23

)23sen(2

2

2lim

xx

xx

x

=

14) 2

)4sen( 2

2lim

x

x

x

=

15) x

x x

2)1

1(lim =

16) x

x x

3)1

1(lim =

17) x

x x

2)1

1(lim =

18)

x

x x

x

1lim =

19)

x

x x

x

1

1lim =


34

20) x

x

x5

)41(lim =


35

DERIVADAS.

O calculo diferencial tem sua origem na busca da solução de dois problemas:

A determinação da reta tangente a uma curva;

A determinação da variação instantânea de uma grandeza.

Esses problemas foram resolvidos de maneira independente por Newton e Leibniz no século

XVII.

Vejamos a definição de derivada de uma função real num ponto.

Definição: Seja f uma função real definida num intervalo I, chamamos de derivada de f no

ponto x0 ao limite finito de

0

0)()(

xx

xfxf quando x tende a x0 .

A derivada de uma função no ponto x0 é comumente indicada por f`(x0) ou dx

df (x0)

Em símbolos a derivada de uma função no ponto x0 é dada por

f`(x0) = Limxx 0

0

0)()(

xx

xfxf

Fazendo x – x0 = h podemos reescrever a derivada de uma função no ponto x0 como

f`(x0) = Limh 0 h

xfhxf )()(00 .

Definição: Uma função f: I R é dita derivável em I para todo ponto de I existe a derivada

de f no ponto.

A derivação tem uma relação muito interessante com a continuidade que é expressa por meio

do seguinte teorema.

Teorema: Toda função derivável num ponto é continua nesse ponto.

Definição: Seja f uma função real definida num intervalo I, chamamos de função derivada de

f a função f `(x) dada por Limh 0 h

xfhxf )()( . Ou seja,

f `(x) = Limh 0 h

xfhxf )()(

Teorema: ( Derivada de soma)A derivada de uma soma é a soma das derivadas.


36

Teorema: ( Derivada de uma função multiplicada por uma constante)A derivada de uma

função multiplicada por uma constante não nula é igual a constante multiplicada pela derivada

da função.

Teorema: (Derivada de constante) A derivada de uma função constante é zero.

Teorema: (Derivada do produto) A derivada do produto de duas é igual ao produto da

derivada da primeira função pela segunda função adicionado com o produto da primeira

função pela derivada da segunda função.

Teorema: (Derivada do quociente) A derivada do quociente de duas funções é igual ao

quociente entre a diferença da derivada de primeira função multiplicada pela segunda função

com a primeira função multiplicada pela derivada de segunda função e o quadrado da segunda

função.

Teorema: (Derivada da função inversa) Seja y = f(x) uma função derivável num intervalo I,

com f`(x) sempre positiva ou sempre negativa então a função f -1

(x) inversa de f(x) é derivável

e a derivada de função f -1

(x) é dada por [f -1

(x)]`= 1/ f `(x).

Teorema: ( Derivada de função composta ou regra da cadeia) Sejam f: I R e g: J R com

f(I) J e f (c) um ponto de J. Se f é derivável em c e g derivável e f(c) então a função

composta gof : I R é derivável em c e sua derivada (gof)` é dada por

(gof)` = g`(f(c)).f `( c).

Teorema: ( Teorema de Fermat) Seja f: I R uma função que é derivável em I. Se existir um

máximo local ou um mínimo local de f em c I, então f`(c)= 0.

Teorema: ( Teorema de Rolle) Seja f: [a,b] R uma função contínua em [a,b]. suponha que f

seja derivável em (a,b) e que f(a) = f(b), então existe um c (a,b) tal que f `(c) = 0.

Teorema: ( Teorema do valor médio) Seja f: [a,b] R uma função contínua em [a,b].

suponha que f seja derivável em (a,b), então existe um c (a,b) tal que

f `(c) = ab

afbf )()( .

Teorema: ( Teorema de Rolle) Seja f: I R uma função contínua no intervalo I tal que f`(x)

= 0 x I, então f é constante em I.

Teorema: Seja f: (a,b) R uma função derivável em (a,b), então

1) Se f `(x) > 0 para todo x (a, b) então f é crescente em (a, b);

2) Se f `(x) < 0 para todo x (a, b) então f é decrescente em (a, b).

Definição: Seja f uma função continua no intervalo [a,b] e derivável no ponto c [a,b].

Dizemos que o gráfico de f tem concavidade positiva em c se, e somente se, existe um

intervalo V contendo c tal que, para todo x V, os pontos do gráfico de f estão acima da reta

tangente á curva no ponto c.


37

Geometricamente quando o gráfico de uma função tem a concavidade positiva num intervalo

significa que o gráfico está voltado para cima.

Definição: Seja f uma função continua no intervalo [a,b] e derivável no ponto c [a,b].

Dizemos que o gráfico de f tem concavidade negativa em c se, e somente se, existe um

intervalo V contendo c tal que, para todo x V, os pontos do gráfico de f estão abaixo da reta

tangente á curva no ponto c.

Geometricamente quando o gráfico de uma função tem a concavidade negativa num intervalo

significa que o gráfico está voltado para baixo.

Teorema: Seja f uma função derivável até a segunda ordem no intervalo (a,b).

1) Se f ``(x)>0 para todo x (a,b) então f tem a concavidade positiva em todo x (a,b);

2) Se f ``(x)<0 para todo x (a,b) então f tem a concavidade negativa em todo x (a,b).

QUESTÕES

1) Demonstre que se f(x) = x

n com n -1 então f

`(x) = n xn-1

.

2) Demonstre que se f(x) = ax então f `(x) =

axlna.

3) Demonstre que se f(x) = ex então f `(x) = e

x.

4) Demonstre que se f(x) = lnx então f`(x) = 1/x.

5) Demonstre que se f(x) = cosx então f`(x) = -

senx.

6) Demonstre que se f(x) = senx então f`(x) =

cosx.

7) Demonstre que se f(x) = x então f`(x) =

x2

1.

8) Demonstre que o ponto de máximo da função

f(x) = ax2 + bx +c é dado por x = -b/2a

e y = - /4a ;

9) Demonstre que se a > 0 então a concavidade

da função f(x) = ax2

+ bx + c é voltada para

cima.

10) Demonstre que se a < 0 então a concavidade

da função f(x) = ax2

+ bx + c é voltada para

baixo.

11) Uma pedra é lançada verticalmente para cima.

Sua altura h (metros) em relação ao solo, é

dada por h = t3 – 3t

2 – 9t + 1, onde t indica o

número de segundos decorridos após o

lançamento. Em que instante a pedra atingirá

sua altura máxima?

12) Um móvel desloca-se sobre um eixo de modo

que sua abscissa s no instante t é dada por s =

a. cos (ky + l), sendo a, k, l constantes dadas.

Determinar:

a) instantes e posições em que é máxima a

velocidade do móvel;

b) instantes e posições em que é mínima a

aceleração do móvel.

13) Um triangulo está inscrito numa semi-

circunferência de raio R. Seus lados medem a,

b e 2R. Calcular a e b quando a área do

triangulo é máxima.

14) Um retângulo de dimensões x e y tem

perímetros 2ª ( a é constante dada ). Determinar

x e y para que sua área seja máxima.

15) Calcular o perímetro máximo de um trapézio

que está inscrito numa semi-circunferência de

raio R.

16) Calcular o raio da base e a altura do cilindro de

volume máximo que pode ser inscrito numa

esfera de raio R.

17) Calcular o raio da base e a altura do cone de

área lateral máxima que é inscritível numa

esfera de raio R.


38

18) Calcular o raio da base e altura do cone de

volume mínimo que pode circunscrever uma

esfera de raio R

19) Um fabricante de caixas de papelão pretende

fazer caixas abertas a parti de folhas de cartão

quadrado de 576 cm2 , cortando quadrados

iguais nas quatros pontas e dobrando os lados.

Calcular a medida do lado do quadrado que

deve ser cortado para obter uma caixa cujo

volume seja o maior possível.

20) Uma ilha esta no ponto A, a 10 Km do ponto B

mais próximo sobre uma praia reta. Um

armazém esta no ponto C, a 7 Km do ponto B

sobre a praia. Se um homem pode remar a

razão de 4 Km/h e andar a 5Km/h , aonde

deveria desembarcar para ir da ilha a ao

armazém no menor tempo possível.

21) Um fio de comprimento L é cortado em 2

pedaços, um dos quais formaram um circulo e

o outro um quadrado. Como deve ser cortado o

fio para que a soma das áreas do circulo e do

quadrado seja máxima?

22) Um funil cônico tem raio r e altura h. se o

volume do funil e V (constante), calcular a

razão r/h de modo que sua área lateral seja

mínima?

23) Um fazendeiro precisa construir dois currais

lado a lado, com uma cerca comum, conforme

mostra a figura.Se cada curra deve ter uma

certa área A, qual o comprimento mínimo que

a cerca deve ter

X

Y

X

X

Y

X

Y

24) Uma calha de fundo plano e lado igualmente

inclinados vai ser construída dobrando-se uma

folha de metal de largura l . se os lados e o

fundo têm largura l/3 calcular o ângulo de

forma que a calha tenha a máxima secção reta

25) Um triangulo isósceles de base a esta inscrito

numa circunferência de raio R. calcular a de

modo que seja máxima a área do triângulo?

26) Calcular o raio da base e a altura do cone de

Maximo volume que se pode inscrever numa

esfera de raio R.

27) Determinar as dimensões do cone de área total

mínima que se pode circunscrever uma esfera

de raio R

28) Um fabricante de caixa pretende produzir

caixas com tampa de um certo volume V, cuja

a base e um retângulo com comprimento igual

ao triplo da largura. Calcular as dimensões

mais econômicas que deve usar.

29) Uma pagina para impressão deve conter

300cm2 de área impressa, uma margem de 2

cm nas partes superiores e inferiores e uma

margem de 1,5cm nas laterais. Quais são as

dimensões da pagina de menor área que

preenche essas condições?

30) Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150

Kg cada um. Cada porco aumenta de peso na

proporção de 2,5 Kg por dia. Gastam-se 2

reais por dia para manter um porco. Se o preço

de venda esta 3 reais e cai 3 centavos por dia,

quantos dias deve o fazendeiro aguardar para

que seu lucro seja máximo ?

31) Considere f: R R uma função derivável até

a ordem 2, pelo menos, tal que f(-2) = 0, f(-1)

= -1, f(0) = -2, f(1) = 1 e f(2) = 2. O gráfico da

função derivada de primeira ordem f`, tem o

aspecto apresentado abaixo.

Com base nos valores dados para a função f e

no gráfico de sua derivada f `, faça o que se

pede a seguir.

a) Numa reta com origem O, represente com

seta ou os intervalos em que a

função f é crescente ou decrescente,

respectivamente.

b) Quais são os pontos de máximo e mínimo

de f?

c) Quais são os pontos de inflexão de f?

d) Com as informações dadas e as

informações deduzidas construa num

sistema de eixos coordenados ortogonais

um esboço do gráfico da função f.


39

SEQUENCIAS E SÉRIES. DEFINIÇÃO: Uma seqüência é toda função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.

Dada uma seqüência f: N R, as imagens f(1), f(2), f(3),........e f(k) são indicados por a1,

a2,a3,.......e ak e denominadas de termos da seqüência.

É comum indicar uma seqüência f: N R por x ={ak}ou por x = (ak).

IGUALDADE DE SEQUENCIAS.

Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yi } são iguais se e somente se, xk = yk k N.

TIPOS DE SEQUENCIAS.

Sequências monótonas.

Definição: Seja {xk} uma seqüência em R, dizemos que {xk} é uma sequencia monótona se a

mesma preserva o seu comportamento.

Uma função monótona é:

a) crescente se e somente se: k N , xk xk+1;

a) decrescente se e somente se: k N , se x k+1 xk ;

b) estritamente crescente se e somente se: k N , xk x k+1 ;

c) estritamente decrescente se e somente se: k N , xk+1 xk ;

d) constante se e somente se: k N , xk = xk+1.

Seqüências periódicas.

Definição: Seja {xk} uma seqüência em R é dita periódica se existi um inteiro positivo p tal

que para todo k N temos xk+p = xk.

Seqüências Aritméticas.

Definição: Seja {xk}uma seqüência em R é dita aritmética de razão r, com r R, se e

somente se, para todo k N temos que xk = x1 + ( k –1)r.

Seqüências geométricas.

Definição: Seja {xk}uma seqüência em R é dita geométrica de razão q, com r R*, se e

somente se, para todo k N temos que xk = x1 qk-1

.


40

OPERAÇÕES COM SEQUENCIAS.

Adição.

Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yk }chamamos de adição de {xk} com {yk } à

seqüência {xk + yk } k N.

Exemplo:

Sejam as seqüências x ={2k} e y ={1/k}então x + y = {k

k 12 2

} k N.

Multiplicação por um número.

Definição: Dada a seqüência {xk}chamamos de multiplicação de{xk}por R à seqüência

{ . xk } k N.

Exemplo:

Sejam as seqüências x ={1/k}então 4x = { 4/k} k N.

Produto.

Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yk }chamamos de multiplicação de {xk} por{yk } à

seqüência {xk . yk } k N.

Exemplo:

Sejam as seqüências x ={2k} e y ={1/k}então x . y = {2 }

SEQUENCIAS CONVERGENTES.

Definição: Uma seqüência {ak} tem limite L quando k tende ao infinito se para cada 0

dado existe M 0 tal que ak – L < qualquer que seja k > M.

Definição: Uma seqüência que tem um limite finito é dita convergente.

Definição: Uma seqüência que não tem um limite finito é dita divergente.

Teorema 1: Seja f uma função real tal que xLim f(x) = L . se a seqüência {ak}é tal que

f(k) = ak, para todo k inteiro positivo, então kLim ak = L.

Teorema 2: Se kLim ak = L e

kLim bk = M, então

1) kLim ak bk = L M .

2) kLim ak = L.

3) kLim ak . bk = L . M .


41

4) kLim

k

k

b

a =

M

L, com bk 0 e M 0.

Teorema 3: (Teorema do sanduíche) Se kLim ak = L =

kLim bk e existe um inteiro N tal que

ak ck bk , para todo n >N , então kLim ck = L.

Teorema 4: ( Teorema do valor absoluto) Dada uma seqüência {ak}, se kLim ak = 0 então

kLim ak = 0.

Definição: Uma seqüência {ak} é dita limitada se existe um numero real positivo m tal que

ak M , k N. O numero M é chamado de cota superior da seqüência {ak}.

Teorema 5: (Teorema das seqüências monótonas limitadas) Toda seqüência {ak} monótona e

limitada é convergente.

QUESTÕES

01. Calcule a soma dos n primeiros termos da

seqüência 1.5, 3.7, 5.9 , ....

02. Calcule a soma dos n primeiros termos da

seqüência 1.2.3, 2.3.4, 3.4.5,...

03. Determine m para as raízes da equação x4 –

(3m + 4) x2 + (m + 1)

2 = 0 estejam em PA.

Calcule em seguida as raízes.

04. Mostre que, se {x1} é uma PA de termos

positivos, em tão:

21 xx

1 +

32 xx

1 +..........+

n1n xx

1 =

n1 xx

1n

05. As medidas dos ângulos de um triangulo estão

em PA, e os comprimentos das alturas do

mesmo triangulo também estão em PA.

Demonstre que o triângulo é eqüilátero.

06. Se {ai } é uma PA de termos não nulos, mostre

que:

21 a.a

1 +

32 a.a

1 + ..... +

n1n a.a

1 =

n1 a.a

1n

07. Podem os números 2 , 3 e 5 pertencer a

uma mesma PA?

08. Calcule o valor da soma de n parcelas 1 + 11 +

........ + 111 ..... 1.

09. Simplifique a expressão: n2

n242

x...xx1

x...xx1

10. Dada a seqüência 2a1aa1a 10

1

10

1,

10

1

10

1 ......,

determine:

a) a expressão da soma Sn dos seus n

primeiros termos;

b) o valor de S = limn- Sn ;

c) os valores de n para os quais S( 1 – 10-18

)

Sn S (1+10-21

).

11. Demonstre que, sendo lim n- (1 + a +a2 + ...

+ na) = A ( a 1) e lim n- (1+b+b2 + ..... +

bn) = B (b 1), teremos: lim n- (1 + ab +a

2

b2+ ... + na

b

n) = .

12. Determine o limite da soma: S = 1 - 2

1 - 4

1 +

8

1 - 16

1 - 32

1 + 64

1 - 128

1 - ......


42

13. Sendo x e y positivos, ache o limite das

seguintes expressões:

a) ......xxxx

b) ......yxyx

c) ......xxxx

14. 31 livros estão arrumados em uma estante, em

ordem crescente de preços da esquerda para a

direita. O preço de cada livro defere em R$-

100,00 dos preços dos livros que lhe são

adjacentes. O preço do livro mais caro é a soma

dos preços do livro do meio e de um dos que

lhe são adjacentes. Determine o preço do livro

mais caro.

15. Aumentos sucessivos de 10% e 20% equivalem

a um único aumento de quanto?

16. Se os preços sobem 25% ao mês e seu salário

permanece inalterado, de quanto diminuem o

seu poder de compra:

a) mensalmente?

b) trimestralmente?

c) semestralmente?

17. Um crescimento mensal de 10% gera um

crescimento anual de quanto?

18. A população de certa cidade era, em 1985, de

50.000 habitantes e, em 1990, passou a ser de

80.000 habitantes. Supondo que a população

tenha crescido com a taxa constante, determine

a população em 1987.

19. A espessura de uma folha de estanho é de

0,1mm. Forma-se uma pilha de folhas

colocando-se uma folha na primeira vez e, em

cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já

houveram sido colocadas anteriormente.

Depois de 33 dessas operações, a altura da

pilha será, aproximadamente:

a) a altura de um poste de luz.

b) a altura de um prédio de 40 andares.

c) o comprimento da praia de Copacabana.

d) a distância Rio-São Paulo.


43

SERIES.

Definição: Seja {ak} uma seqüência infinita.Dizemos que a soma

1kk

a = a1 + a2 + a3 + ... + an +...... é uma série infinita.

Definição: Dada uma série a1 + a2 + a3 + ... + an +.... chamamos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . de

n-ésima soma parcial da série.

Definição: Dada uma série infinita k

a se a seqüência {Sn} converge para S dizemos que a

série k

a converge e S é denominado de soam da série. Se a seqüência {Sn} diverge

dizemos que a série k

a diverge.

Definição: A série 1k

ka = a + ar + ar

2 +ar

3 +.....+ar

n + ....., a 0 é denominada de serie

geométrica de razão r.

Teorema: (Teorema da convergência de uma serie geométrica) Uma série geométrica de

razão r diverge se r 1. A serie converge se r < 1 e sua soma é igual a 1k

kar =r

a

1.

Teorema: ( Propriedades das séries convergentes). Se k

a = A , k

b = B e c é um

numero real então

1) 1k

kca = cA.

2) 1k

kkba = A + B.

3) 1k

kkba = A – B.

Teorema: ( Teste do n-ésimo termo.) Se a série k

a converge, então kLim {ak} = 0.

Teorema: (Teste da integral.) Seja f uma função continua, positiva e decrescente, definida

para x 1, e seja {ak}= f(k).

Então a série 1k

ka e a integral

1

)( dxxf , convergem ou divergem.

Definição: A série 1

....1

......3

1

2

11

1

k kk é denominada de série harmônica.


44

Definição: Uma série da forma 1

....1

......3

1

2

11

1

kpppp kk

onde p é uma

constante positiva é denominada de série p.

Teorema: (Teste da convergência das séries p.)

A série 1

....1

......3

1

2

11

1

kpppp kk

é:

1) convergente se p>1;

2) divergente se 0 < p 1.

Corolário: A série harmônica é divergente.

Teorema: (Teste da comparação.) Suponha que 0 ak bk , para todo k inteiro positivo então:

1) Se 1k

kb converge, então

1kk

a converge;

2) Se 1k

ka diverge, então

1kk

b diverge.

Teorema: (Teste da comparação dos limites.) Suponha que ak>0, bk>0 e que

k

k

k b

alim = L

onde L é finito e positivo. Então, as séries k

a e k

b convergem simultaneamente ou

ka

kb divergem simultaneamente.

Definição: Definição uma série que contem termos positivos e negativos alternadamente é

denominada de série alternada.

Exemplo:

A série ....16

1

8

1

4

1

2

11

2

1)1(

0k

k

ké uma série alternada.

Teorema: (Teste para as séries alternadas.) Se ak>0 , então as séries alternadas a)1(k

0k

k

e k

0

1a)1(k

k convergem , desde que:

1) ak+1 ak , para todo k inteiro positivo e.

2) k

kalim = 0.

Teorema: (Teste do resto de uma série alternada.) Se uma série alternada convergente

satisfaz a condição an+1 ak, então o valor absoluto do resto Rn ao aproximar a soma s por Sn é

menor ou igual ao primeiro termo excluído, ou seja, S -Sn = Rn an+1.


45

Teorema: (Teste da convergência absoluta.) Se a série k

a converge então a série

também k

a converge.

Definição: Uma série k

a é absolutamente convergente se k

a é convergente.

Definição: Uma série k

a é condicionalmente convergente se a série k

a é convergente

e k

a é divergente.

Teorema: (Teste da razão.) Seja k

a uma série com termos não-nulos.

1) Se

k

k

k

a

a1lim < 1 então a série

ka converge;

2) Se

k

k

k

a

a1lim > 1 então a série

ka diverge;

3) Se

k

k

k

a

a1lim =1 então a nada se pode afirmar acerca da convergência da série

ka .

Teorema: (Teste da raiz.)

1) Se kka

k

lim < 1, então a série k

a converge;

2) Se kka

k

lim > 1, então a série k

a diverge;

3) Se kka

k

lim =1,então nada se pode afirmar acerca da convergência da série k

a .

QUESTÕES

01. Verifique quais das series abaixo são

convergentes:

a) 1

)1( 51

n

n

n

b) 1

5

n

n

c) 1

3

nnn

d)

n

n 1 4

e) 1

12

n

nn


46

f) 1

2 12n n

n

g) 1

2

)1(23

n

n

nn

h)1

3

103

nn

i) 1

2

310

nn

nn

j) 1

14

22

nn

n

l)1

21

n

n

n

nIn

m) 1

2

1

nn

n) n

nIn

n

n 21

1

o) 1

1

n

nInn

n

p) 1

2

cos

n

nn

q) 2

ln

)1(

n

nn

n

r) 1

!7

n

nn n

s) 1

ln2

nn

n

t) 1

!

31 1

n

n

nn

u) 1

2

31

nn n

nn

v) 1

12...7.5.3

3

n

n

n

x) 1

!1218

12...7.5.3

nnnn

n

02. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros,

começa a quicar ao atingir o solo, como indica

a figura abaixo. A altura máxima atingida pela

bola após cada batida no solo é igual a três

quartos da altura da queda correspondente.

Calcule a distância vertical total percorrida pela

bola.

03. Uma companhia estima que a venda anual de

um produto novo será de 8.000 unidades.

Suponha que todo 10% das unidades

(independentemente de quando foram

produzidas) param de funcionar. Quantas

unidades estarão em uso após n anos?

04. Uma bola cai de uma altura de 4,6 metros.

Cada vez que ela cai h metros, ela quiçá e sobe

até uma altura de 0,81h metros. Encontre a

distância total percorrida pela bola.

05. Os lados de um quadrado medem 16

centímetros. Um novo quadrado é formado

unindo-se os pontos médios dos lados do

quadrado original. Dois dos triângulos fora do

segundo quadrado original. Dois dos triângulos

fora do segundo quadrado são sombreados

(veja a figura correspondente). Determine a

área da região sombreada (a) se esse processo

for repetido por mais cinco vezes e (b) se esse

processo for repetido indefinidamente.

06. Uma população estável de 35.000 pássaros

vive em três ilhas. Cada ano, 10% da

população da ilha A migram para a ilha B, 20%

da população da ilha B migram para a ilha C e

5% da população da ilha C migram para a ilha

A. Denotemos por An, Bn e Cn,

respectivamente, os números de pássaros nas

ilha A,B e C no ano n antes da ocorrência da

migração.

a) Mostre que An+1=0,9An+ 0,05Cn,

Bn+1=0,1An+ 0,80Bn e Cn+1=0,95Cn+

0,20Bn

b) Supondo que n

nAlim,

nnBlim

e

nnClim

existiam, dê uma aproximação do número

de pássaros em cada ilha após muitos anos.

07. Uma população de linces é classificada por

idade como “gatinhos” (menos de um ano) e

adultos (pelo menos um ano). Todas as fêmeas

adultas, inclusive as nascidas no ano anterior,


47

tem uma cria a cada mês de junho, com uma

média de três “gatinhos” por cria. A taxa de

sobrevivência dos “gatinhos” é de 50%,

enquanto a dos adultos é de 663

2 % por ano.

Seja Kn o número de “gatinhos” recém-

nascidos em junho do nmo

. ano, seja An o

número de adultos, e suponha que a relação de

machos para fêmeas seja sempre 1.

a) Mostre que Kn+1 = An+1 e An+1 = An +

Kn

b) Conclua que An+1 = 12

17 An e Kn+1 =

12

17 Kn,

e que An = 1

12

17n

A1 e Kn = 1

12

17n

K1.

Que se pode concluir sobre a população?

08. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma

altura de 10 metros. A bola repica

aproximadamente metade da distância após

cada queda. Use uma série geométrica para

aproximar o percurso total feito pela bola até o

repouso completo.

09. A extremidade de um pêndulo oscila do longo

de um arco de 24 cm em sua primeira

oscilação. Se cada oscilação é

aproximadamente 5/6 da oscilação precedente,

use uma série geométrica para obter uma

aproximação da distância total percorrida pelo

pêndulo até entrar em repouso completo.

10. Administra-se a um individuo uma dose de Q

unidades de certo remédio. A qualidade que

permanece na corrente sanguínea ao cabo de t

minutos é Qe-ct

, como c>0. Suponhamos que a

mesma dose seja administrada a intervalos

sucessivos de T minutos.

a) Mostre que a quantidade A(k) do

remédio na corrente sangüínea

imediatamente após a k ma. dose é dada

por

A(k) = 1

0

k

nQe

-ncT

b) Ache uma cota superior para a

quantidade de remédio na corrente

sangüínea após um número arbitrário de

doses.

c) Ache o menor tempo entre doses que

garanta que A(k) não excede certo nível

M,M>Q.

11. Suponha que cada unidade monetária

introduzida na economia recircule como segue:

85% unidade original são gastos, em seguida

85% daqueles 0,85 são gastos e assim por

diante. Determine o impacto econômico ( o

total gasto) se R$-1.000.000,00 são

introduzidos na economia.

12. Em um programa de erradicação de epidemia,

liberam-se diariamente na população N moscas

macho esterilizadas, e 90% dessas moscas

sobrevivem a um determinado dia.

a) Mostre que o número de moscas

esterilizadas na população após n dias é

dado por N+(0,9)N ... (0,9)n-1

N.

b) Se objetivo do programa, a longo alcance,

é manter 20.000 moscas esterilizadas na

população, quantas moscas devem ser

liberadas cada dia?

13. Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2

horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas

administram-se doses de K miligramas, com K

a ser ainda determinado.

a) Mostre que o número de miligramas do

remédio na corrente sanguínea após a n ma.

dose é K + 4

1 K + ... +

4

1 n-1

K, e que esta

soma é aproximadamente 4

3K, para

grandes valores de n.

b) Se mais de 500 miligramas do remédio na

corrente sangüínea é considerado um nível

perigoso, determine a maior dose possível

que possa ser administrada repetidamente

por um longo período de tempo.

14. A primeira figura exibe uma seqüência de

quadrados S1, S2, ...., Sk, ... Denotemos por ak,

Ak e Pk o lado, a área e o perímetro,

respectivamente do quadrado Sk, O quadrado

Sk+1 se constrói a partir de Sk, com cada ponto à

distância de 4

1ak de um vértice, conforme

mostra a segunda figura.

a) Ache uma relação entre ak+1 e ak.

b) Ache an, An e Pn.

c) Calcule 1n

nP e .

1n

nA


48

15. Na figura abaixo cada circulo está inscrito em

um quadrado é cada quadrado (exceto o maior)

está inscrito em um círculo. Seja Sn a área do

n-ésimo quadrado e Cn a área do n-ésimo

circulo.

a) Estabeleça relações entre Sn e Cn, e

entre Cn e Sn+1.

b) Que porção do maior quadrado está

sombreada na figura?


49

BIBLIOGRAFIA AGUDO, F.R.D. Análise Real. Vol1 Lisboa: Escolar. 1994.

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ÁVILA, G. Análise Matemática para licenciatura. SP: Edgard Blucher, 2005.

BARTLE, R.G. Elementos de Análise Real. RJ: Campus, 1983.

FERREIRA, J. C. Introdução à Análise Matemática.Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian. 1985.

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GUERREIRO, J.S. Curso de Análise Matemática. Lisboa: Escolar. 1989.

LIMA, E. L. Curso de Análise. Vol1. RJ: IMPA, Projeto Euclides, 1976.

NIVEN, I. Números racionais e irracionais. RJ : SBM, 1984.

analise real

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