analise real
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NÚMEROS TRANSFINITOS?!
Miguel Chaquiam *
Pedro Franco de Sá **
RESUMO: Nosso objetivo neste trabalho é dar seqüência e aprofundamento ao artigo apresentado no
IV Encontro Paraense de Educação Matemática – V EPAEM, intitulado “Qual dos conjuntos possui
mais elementos: N, Z ou Q?”, além de dirimir algumas dúvidas apresentadas por alunos da graduação e
alguns professores da educação básica sobre conjuntos infinitos, enumeráveis e não-enumeráveis e
equipotência entre conjuntos. Discorremos sobre os conjuntos dos números naturais, inteiros e
racionais, enfocando também, os intervalos. Apresentamos algumas definições e a demonstração de
algumas proposições relativas a equipotência e enumerabilidade. Fazemos um breve histórico
envolvendo o tema, apresentando ainda, questões relativas ao infinito potencial e infinito atual.
Daremos continuidade ao tema, discutindo questões tipo 00 = 1, num próximo artigo que será
apresentando no V EPAEM.
A Matemática Grega teve seu desenvolvimento em diversos centros que se sucediam um aos
outros, e cada obra era baseada na obra de seus antecessores. Em cada um desses centros, um grupo
informal de matemáticos realizavam atividades sob o comando do considerado o mais sábio. Esses
centros eram denominados de escolas que recebiam o nome de seu líder ou o nome do lugar onde
funcionavam. A primeira dessas escolas foi a Jônica, seguida da escola Pitagórica, escola Eleática,
escola Sofista, escola Platônica, escola de Eudoxo e a escola Aristotélica.
A escola Jônica foi fundada por Tales de Mileto, considerado um dos setes sábios da
antiguidade. Atribui-se a escola jônica, com ressalvas, a transformação da Matemática numa atividade
abstrata e a apresentação de suas primeiras demonstrações.
* Licenciado Pleno em Matemática pelo CESEP; Especialista em Matemática pela UNESPA; Mestre em Matemática
Aplicada pela UFPA; Professor da UNAMA e UEPA e Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática da
UNAMA. E-mail: [email protected]
** Licenciado Pleno em Matemática pela UFPA; Especialista em Matemática e Ensino de Ciência e Matemática pela
UFPA;
Mestre em Matemática pela UFPA; Doutor em Educação Matemática pela UFRN; Professor da UEPA e UNAMA e
Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática da UEPA. E-mail: [email protected]
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A escola Pitagórica que funcionou na cidade de Crotona, liderada por Pitágoras, atribui-se o
reconhecimento de que a matemática trabalha com abstrações, assim como, a demonstração do
teorema conhecido como teorema de Pitágoras e a descoberta da existência dos números irracionais,
provocando a crise que determinou o fim da escola. A escola Pitagórica admitia que o espaço e o
tempo podiam ser pensados como sendo constituídos de pontos e instantes.
A escola Eleática funcionou na cidade de Eléia e foi liderada por Xenófanes, Zenão e
Parmênides. Nessa época havia a contagem dos elementos discretos, separados e indivisíveis e a
medida das quantidades contínuas, infinitamente divisíveis. O descobrimento das razões
incomensuráveis pelos pitagóricos trouxe à cena uma dificuldade de como estabelecer uma relação
entre o discreto e o contínuo. O problema da relação entre o discreto e o contínuo foi colocado em
evidência por Zenão, através de seus famosos paradoxos. Um desses paradoxos é o de Aquiles e a
tartaruga: A tartaruga está num ponto B e Aquiles está no ponto A antes de B. Aquiles nunca alcançará
a tartaruga, pois no momento em que Aquiles chegar no ponto B, a tartaruga estará num ponto C
adiante de B, e quando Aquiles chegar em C, a tartaruga estará num ponto D adiante de C, e assim por
diante ad infinitum. Portanto, a tartaruga estará sempre a frente de Aquiles.
Zenão mostrou por meio do paradoxo de Aquiles e a tartaruga que ao se admitir que o espaço e
o tempo são infinitamente divisíveis então somos levados a concluir que o movimento não existe.
Como o movimento é possível, pois Aquiles consegue alcançar a tartaruga e até ultrapassá-la, então o
espaço e o tempo não são infinitamente divisíveis.
Com outro paradoxo, o do estádio (BOYER, 1974), Zenão mostrou que não é possível se
escolher uma unidade de tempo mínima que seja a mais adequada, pois sempre é possível apresentar-
se outra. Os paradoxos de Zenão tanto a posição que admite a possibilidade de uma grandeza ser
subdividida indefinidamente quanto a que admite uma grandeza como sendo formada por um número
muito grande de partes indivisíveis, foram colocadas em dúvida, o que provocou grandes
preocupações e mudanças na matemática da época antiga.
Aristóteles abordou os paradoxos de Zenão com base no senso comum e fez uma distinção
entre Infinito Potencial e Infinito Atual, da seguinte maneira:
• Infinito Potencial: aquele que existe potencialmente sem ser nunca concretizado como
um objeto, como o caso dos números naturais, que são infinitos, pois sempre podemos adicionar mais
1, está relacionado ou corresponde aos processos que podem ser continuados eternamente.
• Infinito Atual: aquele que pode ser visto como um objeto acabado.
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Aristóteles defendia que só existia o infinito potencial e, além disso, afirmava que “na
realidade os matemáticos não precisam e nem usam o infinito. Eles apenas postulam que a linha
reta pode ser estendida como quiserem”.
O interesse pelo infinito iniciou na Grécia antiga, entretanto, foi com Galileu Galilei (1564,
1642) que tivemos a evidência de uma das propriedades mais intrigantes dos conjuntos infinitos: O
todo nem sempre é maior que as partes, contradizendo o enunciado de Euclides que, por volta de 300
a.C., nos seus Elementos afirmou: O todo é sempre maior que as partes. Na obra O Diálogo Referente
às Novas Ciências, publicada em 1636, Galileu mostrou que o conjunto dos números quadrados
perfeitos tinha a mesma quantidade que o conjunto dos números naturais, apesar do primeiro está
contido no segundo e que a linha mais longa não contém mais pontos que a linha mais curta. Cauchy
usou o resultado de Galileu para justificar a desconfiança que os matemáticos deveriam ter pelo
infinito.
Quase 200 anos depois do trabalho de Galileu, surgiu o um tratado do alemão Bernhard
Bolzano (1781 – 1848) intitulado Os Paradoxos do Infinito, que ficaram esquecidos, no entanto,
consta neste tratado o conceito de potência de um conjunto, definido a seguir:
Definição 1:
Dois conjuntos A e B tem a mesma potência se existir uma bijeção entre eles.
Será empregado a notação A ~ B para indicar que o conjunto A é equipotente ao conjunto B.
Com base na definição de potência de conjuntos é fácil mostrar que a relação de equipotência tem as
seguintes propriedades: i) Qualquer que seja o conjunto A, A ~ A (reflexividade); ii) Se A ~ B, então
B ~ A (simetria) e iii) Se A ~ B e B ~ C, então A ~ C (transitividade), isto é, a relação de
equipotência é uma relação de equivalência.
Além do conceito de potência, Bolzano mostrou que todos os intervalos fechados não reduzidos
a um ponto são equipotentes ao conjunto dos números reais, fato que abordaremos mais adiante. Numa
obra póstuma de 1851, afirma-se que uma propriedade característica de um conjunto infinito é que ele
poder ser equipotente a uma de suas partes próprias. Essa propriedade chegou a ser usada por outros
matemáticos como definição de conjunto infinito.
Em 1878, 58 anos após Os Paradoxos de Bolzano, George Cantor (1845 – 1918), matemático
alemão, que havia feito estudos sobres as séries trigonométricas e os números reais, também abordou
sistematicamente o conceito de potência de um conjunto, chegando a resultados surpreendentes.
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Um grande obstáculo às idéias de Cantor foi a posição defendida por Carl Friedrich Gauss
(1777 – 1855), cujo infinito era apenas um símbolo para expressar que há limites de certas razões que
são tão próximas quanto outras e que outras podem crescer além de qualquer limite. Neste sentido, foi
necessário construir uma definição de conjunto infinito. Cantor fez a descoberta fundamental de que
há diversos tipos de infinito. Neste artigo iremos abordas três tipos de conjuntos: os finitos, os
enumeráveis e os não-enumeráveis. Apresentamos a seguir a definição de conjunto finito.
Definição 2:
Denominamos de In ao conjunto de números naturais desde 1 até n, isto é, In = {1, 2, 3, ... , n}.
Definição 3:
Diz-se que um conjunto A é finito quando ele for vazio ou equipotente a um In, para algum n ∈ N. No
primeiro caso, diremos que A possui zero elementos e, no segundo caso, A possui n elementos.
Definição 4:
Um conjunto A é infinito quando não for finito.
Um dos primeiros resultados obtidos por Cantor foi a eqüipotência entre o conjunto dos
números naturais e o conjunto dos números inteiros.
Definição 5:
Diz-se que um conjunto A é enumerável quando for finito ou quando for equipotente ao conjunto dos
números naturais.
Vejamos alguns exemplos de conjuntos enumeráveis.
Exemplo 1:
O conjunto dos números naturais pares é um conjunto enumerável.
De fato, a função f: N → {n ∈ N | n é par}, definida por f(n)= 2n é bijetora.
Exemplo 2:
O conjunto Z dos números relativos é um conjunto enumerável.
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De fato, a função f: N → Z, definida por ⎪⎩
⎪⎨
⎧ +−
=parénse,
2n
ímparénse,2
1n
)n(f é bijetora. Assim, podemos
afirmar que os conjuntos N e Z são equipotentes.
Vejamos agora alguns resultados sobre os conjuntos enumeráveis.
Proposição 1:
Todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Demonstração:
Se o subconjunto for finito, não o que demonstrar.
Seja B um subconjunto infinito de um conjunto enumerável A = {a1, a2, a3, ..., an, ...} e seja:
• n1 o menor índice tal que an1 ∈ B ;
• n2 o menor índice tal que an2 ∈ B - {an1}, com n2 > n1;
• n3 o menor índice tal que an3 ∈ B - {an1, an2}, com n3 > n2;
• ......................................................................
• nk o menor índice tal que ank ∈ B – {an1, an2, an3, ..., an(k-1)}, com nk > an(k-1) e k ∈ N.
Notemos que o elemento ak sempre vai existir, pois, o conjunto B é infinito e a diferença
B - {an1, an2, an3, ..., an(k-1)} ≠ ∅ , ∀ k ∈ N.
Assim, podemos afirmar que a função f: N → B, definida por f(k) = ank é bijetora.
Portanto, o conjunto B é enumerável.
Proposição 2:
Todo conjunto infinito possui um subconjunto enumerável.
Demonstração:
Se o subconjunto for finito, não o que demonstrar.
Seja A um conjunto infinito. Tomando a1 ∈ A, é válido afirmar que A - {a1} ≠ ∅, pois, A é infinito.
Escolhamos a2 ∈A - {a1}, por razões análogas as anteriores, A - {a1, a2} ≠ ∅ e a2 ≠ a1.
De um modo geral, encontramos os elementos a1, a2, a3, ... , an pertencentes ao conjunto A, todos
distintos, com A - { a1 ,a2,a3, ... ,an } ≠ ∅. Desta forma, podemos escolher um elemento a n + 1 em A
- { a1 ,a2,a3, ... , an }, distinto dos demais elementos escolhidos anteriormente.
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Desse modo, para cada n ∈ N fixamos an ∈ A, como esses elementos são todos distintos por
construção, o conjunto formado por a1, a2, a3,.... , an, ... é um subconjunto infinito enumerável de A.
Proposição 3:
A união de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável.
Demonstração:
Sejam os conjuntos enumeráveis A = {a1, a2, a3, ..., an, ...} e B = {b1, b2, b3, ..., bn, ...}.
Como a função f: N → A ∪ B, dada por ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
parénse,b
ímparénse,a)n(f
2n
21n
é bijetora.
Portanto, o conjunto A ∪ B é enumerável.
Proposição 4:
A união de um conjunto finito com um conjunto enumerável é enumerável.
Demonstração:
Sejam A = {a1, a2, ... , ak} um conjunto finito e B = {b1, b2, ... , bk, ...} um conjunto enumerável.
Como a função f: N →A ∪ B, dada por é bijetora. ⎩⎨⎧
+≥≤≤
=− 1knse,b
kn1se,a)n(f
kn
n
Portanto, o conjunto A ∪ B é enumerável.
Proposição 5:
O conjunto N x N é enumerável.
Demonstração:
Seja a função f: N x N → N, definida por f(m, n) =2m. 3n, ∀ (m, n) ∈ N x N.
Se f(m, n) = f(p, q), então 2m. 3n = 2p. 3q, o que implica m = p e n = q pela unicidade da decomposição
em fatores primos. Logo, f é injetora. Como o domínio de toda função injetora é equipotente a sua
imagem, temos que N x N equipotente a f(N x N) ⊂ N. Sendo f(N x N) um subconjunto infinito do
conjunto enumerável N, pela Proposição 1 temos que f(N x N ) é enumerável, portanto, N x N é
enumerável.
Proposição 6:
Produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é enumerável.
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Demonstração:
Sejam A e B conjuntos enumeráveis. Logo existem as funções bijetoras f: N → A e g: N → B.
Definindo a função h:N x N → A x B, por h(m,n) = (f(m),g(n)), ∀ (m, n) ∈ N x N, é bijetora. Então,
A x B é equipotente a N x N. Pela Proposição 5, temos que N x N é enumerável.
Portanto, A x B é enumerável.
Proposição 7:
O conjunto dos números racionais é enumerável.
Demonstração:
Sabemos que o conjunto dos números inteiros Z e o conjunto dos números inteiros não nulos Z* são
enumeráveis, e pela Proposição 6, o conjunto Z x Z* é enumerável. Por outro lado, é fácil ver que a
função f: Q → Z x Z*, definida por f(nm ) = (m, n) é bijetora, fato que garante a equipotência entre os
conjuntos Q e Z x Z*. Portanto, Q é enumerável.
Além de mostrar que o conjunto dos números racionais Q é equipotente a N, Cantor mostrou
em 1874 que existem conjuntos infinitos que não são equipotentes ao conjunto dos números naturais,
como é o caso do conjunto dos números reais.
Retomando a questão da equipotência, demonstraremos a seguir que todos os intervalos
fechados não reduzidos a um ponto são equipotentes ao conjunto dos números reais.
Proposição 8:
O intervalo [0,1] é equipotente a qualquer intervalo [a,b] com a < b.
Demonstração:
Para mostrarmos que [0,1] é equipotente ao intervalo [a, b] é necessário exibirmos uma função bijetora
entre esses dois intervalos.
Consideremos a função f: [0,1] → [a,b], definida por f(x) = a + (b – a)x, para todo a, b ∈ R. Como a
função f é bijetora, então podemos afirmar que o intervalo [0,1] é equipotência entre qualquer intervalo
[a,b] com a < b.
Proposição 9:
O intervalo [0,1[ é equipotente a qualquer intervalo [a,b[ com a < b.
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Demonstração:
Para mostrarmos que [0,1[é equipotente ao intervalo [a,b[ é necessário exibirmos uma função bijetora
entre esses dois intervalos.
Consideremos a função f:[0,1[ → [a,b[,dada por f(x) = a + (b – a)x, para todo a,b ∈ R. Sendo f uma
função bijetora, podemos afirmar que [0,1[ é equipotente a qualquer intervalo [a,b[ com a < b.
Proposição 10:
O intervalo ]0,1] é equipotente a qualquer intervalo ]a,b] com a < b.
Proposição 11:
O intervalo ]0,1[ é equipotente a qualquer intervalo ]a,b[ com a < b.
As demonstrações das proposições 10 e 11, abaixo, são análogas as demonstrações de
apresentadas em 8 e 9.
Proposição 12:
Os intervalos [0,1] e ]0,1[ são equipotentes.
Demonstração:
Seja o conjunto A = [0,1] – {0, 1, 21 ,
31 , ...}. Logo, [0,1] = {0, 1,
21 ,
31 , ...} ∪ A.
Como o conjunto A também pode ser expresso por A = ]0,1[ – {21 ,
31 ,
41 , ...}, então podemos
concluir que ]0,1[ = {21 ,
31 ,
41 , ...} ∪ A.
Agora consideremos a seguinte função f: [0,1] →]0,1[ definida pelo diagrama abaixo.
{ 0 , 1 , 21
, 31
, ... } ∪ A
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ IA
{ 21
, 31
, 41
, 51
, ... } ∪ A
8
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A função f:[0,1] → ]0,1[ pode ser definida por:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∈
∈=+
=
=
Axse,x
Nn,1xse,1n
1
0xse,21
)x(f .
Como f é uma função bijetora de [0,1] em ]0,1[ , podemos concluir que os intervalos [0,1] e ]0,1[ são
equipotentes. Proposição 13:
Os intervalos [0,1] e [0,1[ são equipotentes.
Demonstração:
Considerando o conjunto A = [0,1] – {0, 1, 21 ,
31 , ...}, podemos representar o intervalo [0,1] do
seguinte modo: [0,1] = {0, 1, 21 ,
31 , ...} ∪ A. Por outro lado, o conjunto A pode ser definido como A
= [0,1[ – {0, 21 ,
31 ,
41 , ...}, de onde concluímos que: [0,1[ = {0,
21 ,
31 ,
41 , ...} ∪ A.
Consideremos a seguinte função f: [0,1] → [0,1[ definida pelo diagrama abaixo.
{ 0 , 1 , 21
, 31
, ... } ∪ A
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ IA
{ 0 , 21
, 31
, 41
, ... } ∪ A
Analisando o diagrama acima podemos expressar a função f do seguinte modo:
f:[0,1] → ]0,1[, definida por:Nncom
n1xse
Nncomn1xse
,x
,1n
1)x(f
∈≠
∈=
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
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Como f é uma função bijetora de [0,1] em [0,1[,concluímos que os intervalos [0,1] e [0,1[ são
equipotentes. Proposição 14:
Os intervalos [0,1] e ]0,1] são equipotentes.
Demonstração:
Sendo A = [0,1] – {0, 1, 21 ,
31 , ...}, podemos concluir que [0,1] = {0, 1,
21 ,
31 , ...} ∪ A. Por outro
lado, o conjunto A pode ser definido como A = ]0,1] – {1, 21 ,
31 ,
41 , ...}, de onde concluímos que
]0,1] = {1, 21 ,
31 ,
41 , ...} ∪ A.
Consideremos a seguinte função f:[0,1] → ]0,1] definida pelo diagrama abaixo.
{ 0 , 1 , 21
, 31
, ... } ∪ A
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ IA
{ 1 , 21
, 31
, 41
, ... } ∪ A
Analisando o diagrama acima podemos definir a função f da seguinte maneira:
f:[0,1] → ]0,1[, definida por:⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈=+
=
=
Axse,x
Nncomn1xse,
1n1
0xse,1
)x(f
Como f é uma função bijetora de [0,1] em ]0,1], podemos concluir que os intervalos [0,1] e ]0,1] são
equipotentes.
Proposição 15:
Todos os intervalos são equipotentes.
Demonstração:
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Pela Proposição 8, concluímos que [0,1] ~ [a,b]; pela Proposição 9, [0,1[ ~ [a,b[; pela Proposição 10,
]0,1[ ~ ]a,b[; pela Proposição 11, ]0,1] ~ ]a,b[ e pelas Proposições 12, 13 e 14 e a transitividade da
relação equipotência obtemos [0,1] ~ [0,1[ ~ ]0,1[ ~ ]0,1].
Pela transitividade da equipotência concluímos que [a,b] ~ [a,b[ ~ ]a,b[ ~ ]a,b[ para todo a < b .
Portanto, todos os intervalos são equipotentes.
Proposição 16:
Todo intervalo é equipotente ao conjunto dos números reais.
Demonstração:
Para demonstrarmos que todo que todo intervalo é equipotente ao conjunto dos números reais R, será
necessário exibirmos uma bijeção entre R e um intervalo qualquer.
Consideremos a função f: R → ]2π
− , 2π [ definida por f(x) = arctg(x), cujo gráfico está esboçado
abaixo:
Y
0
π/2
X
π– /2
Analisando o gráfico acima concluímos que a função f é uma bijeção de R em ]2π
− , 2π [, logo, R é
equipotente ao intervalo ]2π
− , 2π [.
Sabemos que todos os intervalos são equipotentes pela Proposição 15, portanto, todo intervalo é
equipotente ao conjunto dos números reais.
Mostraremos a não-enumerabilidade de R por meio da demonstração do teorema abaixo, que é
conhecido como Teorema de Cantor.
Teorema 1 ( Teorema de Cantor):
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O conjunto dos números reais é não-enumerável.
Demonstração:
Como R ~ [0,1] , mostraremos que o intervalo [0,1] não é enumerável.
Suponhamos que [0,1] seja enumerável. Então, [0,1] pode ser escrito da seguinte forma:
[0,1] = { x1, x2, x3, ... , xn ...}.
Escrevendo x1, x2, ... , xn, ... sob a forma decimal, com um número ilimitado de algarismos, obtemos a
seguinte tabela:
• x1 = 0,a11 a12 a13...a1n... • x2 = 0, a21a22 a23...a2n... • x3 = 0 ,a31 a32 a33...a3n.... • ... • xn = 0,an1an2an3... ann , onde aij ∈{0 , 1, 2, ... , 9}.
Agora seja y ∈[0, 1] dado por y = 0 ,b1 b2 b3...bn ..., onde bn = ⎩⎨⎧
=≠
1ase,21ase,1
nn
nn
É fácil notar que y não consta da tabela acima. Logo [0,1] é não enumerável.
Vimos que o intervalo [0, 1] é equipotente a R, portanto, R é não enumerável.
A demonstração de Cantor prova que R não é enumerável e deixou claro que a quantidade de
números reais é maior que a de números naturais, embora, ambos sejam infinitos, ou melhor, que o
infinito dos reais é maior que o infinito dos naturais. As potências de N e R são exemplos de números
Transfinitos ou Cardinais, definidos abaixo.
Definição 6:
A quantidade de elementos de um conjunto A é denominada de número cardinal do conjunto A,
denotada por #A, card(A) ou n(A).
Exemplo 3:
Para indicar a cardinalidade de um conjunto A são usadas as seguintes notações:
Para A = {1, 2, 3}, temos #A = 3.
Para N, temos #N = d (de discreto),
Para R, temos #R = c (de contínuo).
Um resultado imediato é:
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i) #A = #B ⇔ A ~ B;
ii) #A = 0 ⇔ A = Ø.
O número cardinal de um conjunto finito é chamado de cardinal finito, enquanto que, o
número cardinal de um conjunto infinito é chamado de cardinal infinito ou transfinito.
Até os dias de hoje não se conseguiu apresentar um cardinal entre d e c. A suposição de que
não existe um número transfinito entre d e c é conhecida como hipótese do continuo. Em 1962, o
aluno de Kurt Gödel (1906 – 1978), Paul Cohen demonstrou que a hipótese do contínuo é indecidível,
o que quer dizer que se pode usar indiferentemente como axioma tanto a hipótese do contínuo como
sua negação.
Vejamos alguns resultados sobre os números cardinais, por meio das proposições a seguir.
Introduzindo a seguinte relação entre os cardinais:
x ≤ y ⇔ Existem conjuntos A e B, tais que #A = x e #B = y,
obtemos os seguintes resultados:
Proposição 17:
Para quaisquer que sejam os números cardinais x, y e z tem-se:
i) x ≤ x.
ii) Se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.
Demonstração:
Seja A um conjunto tal que #A = x Como A ⊂ A, então x ≤ x, fato que demonstra (i)
Se x ≤ y e y ≤ z, então existem conjuntos A, B e C tais que:
a) #A = x, #B = y e #C = z;
b) A ⊂ B e B ⊂ C.
Em função de (b) podemos concluir que A ⊂ C. Logo, x ≤ z, como queríamos demonstrar em (ii).
Esta proposição garante a reflexão e a transitividade da ≤ para números cardinais.
Proposição 18:
Se a e b são números cardinais tais que a ≤ b e b ≤ a, então a = b.
Demonstração:
Sejam os conjuntos A e B tais que #A = a e #B = b.
Da hipótese a ≤ b e b ≤ a resulta que A ⊂ B e B ⊂ A, e mais, A = B. Assim, A ~ B.
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Portanto, #A = #B, fato que implica a = b.
Com base nas proposições anteriores podemos afirmar que a relação a ≤ b é uma relação de
ordem nos números cardinais.
Vejamos agora um resultado que foi conjecturado por Cantor e Bernstein apesar da mesma ter
sido feita por Schröder e Bernstein em 1898.
Teorema 2 (Teorema de Cantor-Bernstein):
Se A e B são conjuntos tais que A é equipotente a um subconjunto de B e B é equipotente a um
subconjunto de A, então A e B são equipotentes.
Demonstração:
Sejam A1 e B1 subconjuntos de A e B, respectivamente, tais que A ~ B1 e B ~ A1.
Como B1 ⊂ B e A1 ⊂ A, temos: #A = #B1 ≤ #B = #A1 ≤ #A, de onde resulta #A ≤ #B e #B ≤ #A.
Pela proposição 18, podemos afirmar que #A = #B e, portanto, A ~ B.
Na realidade, este teorema tinha sido demonstrado por Richard Dedekind (1781 – 1848) em
1887, fato descoberto quando seus papéis foram estudados após seu falecimento.
Vejamos alguns resultados que relacionam os cardinais finitos e os cardinais d e c de N e R,
respectivamente.
Proposição 19:
Para qualquer que seja o numero cardinal finito n, temos que n < d.
Demonstração:
Seja A um conjunto finito tal que #A = n. Então existe n ∈ N tal que A ~ In.
Como In ⊂ N, então n ≤ #N = d.
Como A não é equipotente a N então n ≠ d.
Logo, n < d.
Proposição 20:
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Para d e c vale a relação d < c.
Demonstração:
Sendo #N = d, #R = c e como N ⊂ R, temos d ≤ c. Como N não é equipotente a R, então d ≠ c.
Portanto, d < c.
Proposição 21:
Para todo número cardinal infinito x temos d ≤ x.
Demonstração:
Seja A um conjunto infinito tal que #A = x. Então, podemos afirmar que A tem um subconjunto
enumerável B, ou seja, N ~ B ⊂ A. Logo. #N = #B ≤ A.
Portanto, d ≤ x.
O resultado a seguir, devido a Cantor, relaciona a cardinalidade de um conjunto com a
cardinalidade do conjunto de suas partes.
Teorema 3 :
Seja A um conjunto e ℘(A) o conjunto de suas partes. Então #A < #℘(A).
Demonstração:
Seja f:A → ℘(A) dada por f (m) = {m}.
Fazendo f (m) = f (n), temos que {m} = {n} e, conseqüentemente, m = n.
Deste modo, podemos afirmar que a função f é injetora, e mais, há equipotência entre o domínio de f e
sua imagem de f, isto é, temos A ~ f (A) ⊂ ℘(A).
Assim, podemos afirmar que #A ≤ #℘(A).
Para garantir que a desigualdade é estrita, mostraremos que não há sobrejeção de A em ℘(A), ou seja,
que toda função f de A em ℘(A), nunca será sobrejetora.
Sejam g: A →℘(A), tal que g(m) = Am, onde m ∈ A e Am é o subconjunto de A que é imagem de m
gerada pela aplicação g.
Consideremos agora o conjunto B = {x | x ∈ A e x ∉ Ax} que é subconjunto de A.
Como B é subconjunto de A, então B ∈℘(A).
Variando m em A, temos que B ≠ Am, pois:
Se m ∉ B, por definição m ∈ Am, logo, Am ≠ B.
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Se m ∈ B, por definição m ∉ Am, logo, Am ≠ B.
Sendo B ≠ Am, fica garantido que não há sobrejeção de A em ℘(A).
Portanto, não há bijeção entre A e ℘(A). Logo, #A < #℘(A).
Admitindo a hipótese do contínuo podemos ordenar os números cardinais assim.
1< 2 < 3 < ... < n ... < d < c < ...
Cantor e seus colaboradores construíram uma aritmética para os números cardinais baseada na
adição e multiplicação dos mesmos. Essa aritmética apresenta alguns resultados diferentes dos que
estamos acostumados a ver. A seguir apresentamos operações com números cardinais.
Definição 7:
Sejam A e B conjuntos disjuntos (A ∩ B = Ø) tais que # A= a e #B = b. Definimos a adição ou soma
de a com b ao cardinal a + b da reunião A ∪ B, ou seja, a + b = #(A ∪ B).
Para adição de cardinais valem as seguintes propriedades.
• Comutativa.
Sendo A e B disjuntos, temos que a + b = #(A ∪ B) = #(B ∪ A) = b + a.
• Associativa.
Sendo A, B e C disjuntos dois a dois e considerando #A = a, #B = b e #C = c, temos que:
#[A ∪ (B ∪ C) ] = #[(A ∪ B) ∪ C] = (a + b) + c
• Elemento Neutro.
Sejam A tal que #A = n ≠ 0 e ∅.
Como A e ∅ são disjuntos e #∅ = 0, então n + 0 = #( A ∪ ∅) = #A = n.
Além das propriedades acima, são válidas as seguintes:
• n + d = d, ∀ n cardinal finito.
De fato, seja A = In e B = N – In, então A ∩ B = ∅.
Como #A = n, #B = d e A ∩ B = ∅, temos que n + d = # (In ∪ (N – In) = #N = d.
• d + d = d
De fato, sejam P = {n ∈ N ⎪ n = 2q} e I = {n ∈ N ⎪ n = 2q + 1} com q ∈ N.
Como I ~ P ~ N, I ∪ P = N e I ∩ P = ∅ , então #I = # P = d. Assim, d + d = #(I ∪ P) = #N = d.
• c + c = c
De fato, sejam os intervalos A = ]0,1[ e B = ]1,5[.
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Como todos os intervalos são equipotentes a R, temos #A = #B = #R = c.
Considerando S = ]0,1[ ∪ ]1,5[ temos c + c = #(A ∪ B) = #S.
Como R ~ ]0,1[ ⊂ S, S ~ S ⊂ R. Pelo teorema de Cantor-Bernstein temos S ~ R.
Portanto, c + c = c.
• d + c = c
De fato, sejam N e A = ]0,1[.
Como #N = d, #A = c, N ∩ A = ∅ e considerando S = N ∪ ] 0,1[, temos que:
d + c = #(N ∪ ]0,1[) = #(S). Observando que S ~ S, S ⊂ R e aplicando o teorema de Cantor-
Berstein, temos que S ~ R. Portanto, d + c = c.
• Para todo cardinal finito n, vale a relação n + c = c.
De fato, sejam In e A = ]0,1[, onde # In = n e #A = c.
Considerando S = In ∪ A e que In ∩ ] A = ∅, temos que n + c = #( In ∪ A) = #S
Como R ~ A = ]0,1[ ⊂ S e S ~ S ⊂ R, aplicando o teorema de Cantor-Berstein temos S ~ R.
Portanto, n + c = c.
• Não vale a lei do cancelamento para os cardinais transfinitos.
Caso contrário teríamos d + 1 = d = (d + 1) +1, ou ainda, d + 1 = d + 2, 1 = 2 que é absurdo.
Definição 8:
Dados os conjuntos A e B com #A = a e #B = b. Chamamos de multiplicação de a por b ao número
cardinal a.b dado por a.b = #(A x B).
Para multiplicação de números cardinais valem as seguintes propriedades:
• Comutativa.
De fato, sejam A e B conjuntos com #A = a e #B = b, então a.b = #(A x B) = #(B x A) = b .a
• Associativa.
Sejam A, B e C conjuntos tais que #A = a, #B = b e #C = c, então:
a.(b.c) = #[A x (B x C)] = # [(A x B) x C] = (a.b).c
• Distributiva.
De fato, sejam A, B e C conjuntos tais que #A = a, #B = b, #C = c e que A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅,
B ∩ C = ∅ e A ∩ B ∩ C = ∅. Então a.(b + c) = #[Ax(B + C)] = #[(A x B) + (A x C)] = a.b + a.c
• 0.a = 0, ∀ a
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De fato, sejam A um conjunto tal que #A = a e ∅. Como #∅ = 0, então 0.a = #(∅ x A) = #∅ = 0.
• d x d = d
Seja N, como #N = d, então d x d = #(N x N)
Já que N x N ~ N, temos que d x d = # (N x N) = #N = d.
Também são válidas as seguintes propriedades:
• n . d = d, ∀n finito.
• n . c = c, ∀ n finito.
• c . c = c
• d . c = c
Não vale a lei do cancelamento para multiplicação de cardinais, pois:
(i) d + d = d e (ii) d + d = (1 + 1).d = 2d. Comparando (i) = (ii) temos d = 2d ⇒ 1 = 2.
Antes de apresentarmos a definição de potenciação de cardinais faremos uma breve abordagem
sobre o conjunto das funções definidas de um conjunto A em outro B.
Definição 9:
Dados os conjuntos A e B. Definimos o conjunto das funções de A em B, denotado por BA, como:
BA = {f ⎪ f : A → B, função}
Exemplo 4:
Para A = {a, b, c} e B = {1, 2}, as funções f de A em B são:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
111cba
f1 ; ; ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
211cba
f2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
121cba
f3 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
221cba
f4
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
112cba
f5 ; ; ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
212cba
f6 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
122cba
f7 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
222cba
f8
Portanto, BA = {f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8}.
Para A = {a} e B = {1, 2, 3}, as funções f de A em B são:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1a
f1 ; e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2a
f2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3a
f3
Portanto, BA = {f1, f2, f3}.
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Para A = {a, b, c} e B = {1}, a função f de A em B é . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
111cba
f1
Assim, BA = {f1}.
Para A = {1} e B = In, as funções de A em B são fi : {1} → In , onde fi (1) = i, 1≤ i ≤ n.
Desse modo BA terá n funções.
Para A = B = ∅, o conjunto das funções de A em B é composto pela função f: ∅ → ∅, com
f (∅) = ∅. Logo BA possuirá apenas um elemento.
Para A = ∅ e B = {a, b, c, d}, a função f de A em B é f: ∅ → B, com f(∅) = B.
Para A = {1, 2, 3} e B = ∅, o conjunto BA é vazio, pois, não é possível definirmos uma função f de
A = {1, 2, 3} em B = ∅.
Dos exemplos acima, concluímos que o número de elementos dos conjuntos A, B e BA são:
#A = 3 e #B = 2 temos #BA = 8 = 23.
#A = 1 e #B = 3 temos #BA = 1 = 31.
#A = 3 e #B = 1 temos #BA = 1 = 13
#A = 0 e #B = 4 temos #BA = 1 = 40
#A = 1 e #B = n temos #BA = n = n1
#A = 0 e #B = 0 temos #BA = 1
Desta observação, percebemos uma relação entre #A, #B e #BA que envolve a operação potenciação.
Essa relação motiva a definição apresentada a seguir:
Definição10:
Dados os conjuntos A e B tais que #A = a e #B = b. Denominamos potenciação de a ao cardinal ba, dado por ba = # BA.
A potenciação de cardinais tem as seguintes propriedades.
• 1n = 1. Pois, para A = In e B= {a} temos #BA = 1
• n1 = n. Pois, para A = {A} e B = In temos #BA = n
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• 0n = 0, se n ≠ 0. Pois, para A = In e B = ∅ temos #BA = 0
• n0 = 1. Pois , para A = ∅ e B= In temos #BA = 1
• 0 = 1. Pois, para A = ∅ e B= ∅ temos #BA = 1 0
Além dessas propriedades também são válidas as seguintes:
• xy . xz = xy + z .
• (x . y )z = xz . yz .
• (xy)z = xy.z
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os resultados obtidos surpreenderam muitas vezes a comunidade de matemáticos da sua época
e, hoje em dia, ainda surpreende muitas pessoas que acreditam na validade irrestrita do axioma
euclidiano que afirma que o todo é sempre maior que as partes. Além, disso um outro resultado que
tem causado discordância é 00 = 1, que será apresentado com maior profundidade por nós em outra
oportunidade.
Esses resultados foram os que mais suscitaram surpresa e embaraço aos matemáticos
contemporâneos de Cantor. Pois, desde a Grécia antiga que havia a certeza das significativas
diferenças entre os objetos de dimensões 1, 2 ou 3. Os resultados de Cantor pareciam destruir essas
diferenças e colocar em jogo todos os resultados obtidos pela geometria.
Os resultados obtidos por Cantor na sua pesquisa sobre o infinito lhe geraram muitos inimigos,
entre eles Kronecker, foi o mais fervoroso deles, o que impediu Cantor de realizar seu sonho de
lecionar na Universidade de Berlim.
Com a obra de Cantor a questão iniciada por Galileu acerca do axioma grego que diz: o todo é
sempre maior que as partes, ficou solucionado da seguinte maneira: Para os conjuntos finitos o axioma
grego é válido e para os conjuntos infinitos o referido axioma perde sua validade.
Depois da obra de Cantor e de seus colaboradores a matemática sofreu enormes transformações
tendo a teoria dos conjuntos ocupado lugar privilegiado na matemática, a ponto de Hilbert ter feito a
seguinte afirmação: “Ninguém nos tira do paraíso criado por Cantor”, referindo-se a teoria dos
conjuntos.
REFERÊNCIAS
ÁVILA, G. Cantor e a teoria dos conjuntos. RPM 43, 6 - 14, 2000.
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BIRKHOOF, G. e MACLANE, S. Álgebra moderna básica. Tradução de Carlos Alberto Aragão de Carvalho. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1985. 485p.
BOUVIER, A. A teoria dos conjuntos. Lisboa: Publicações Europa - América, 1976. 125p. BOYER, C. História da matemática. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. 488p DANTIZIG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar, 1980.
DIEUDONNÉ, J. A formação da matemática contemporânea. Tradução de J. H. Von Hafe Perez. Lisboa: D. Quixote, 1990. 292p. EVES, H. Introdução a história da matemática. Tradução Higino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 1995. 844p. GODEFROY, G. A aventura dos números. Lisboa: Instituto Piaget. Tradução de Antonio Viegas, 1997. 249p. KLINE, M. Mathematics Thought from Ancient to Modern Times. Nova York: Oxford University Press, 1985. 1200p. LIMA, E. L. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1989. v.1, 200p.
MONTEIRO, I & MATOS, T. Álgebra: um primeiro curso. Lisboa: Escolar Editora, 1995.
REZENDE, W. M. Uma análise histórica - Epistêmica da operação limite. Rio de Janeiro, 1994. 159p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Departamento de Pós-Graduação, Universidade Santa Úrsula. Rio de Janeiro, 1994.
SÁ, P. F. As surpresas do infinito. Revista Traços, v.1, n. 2, p. 41- 46, 1998.