apostila de 84 exercicios resolvidos de analise combinatória

5/21/2018 Apostila de 84 Exercicios Resolvidos de Analise Combinat ria

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Professor Tiago MachadoEducao Matemtica

Formado pelas Faculdades Integradas Campo-grandense FIC RJ.Especializado em Ensino da Matemtica fundamental e Mdio FIC RJ.

Especializado em Ensino da Matemtica !ERJ.

Blog =>professortiagomachado.blogspot.comCurrculo =>http://lattes.cnpq.br/0317131329053631

Exerccios de Anlise combinatria !esol"idos#

$%"e #uantos modos podemos escol$er % cartas de um &aral$o de %' cartas( sem le)arem conta a ordem das mesmas( de modo #ue sempre apaream os * ases+

Informaes:

Baralho de 52 cartas;

4 ases;

Sempre apaream 4 ases.

52-4=48 => tiramos os ases do

aralho.

Sol!"o:

#oleiro: linha:

*,-*-/

-*,

-0-*

-*

1-/*,2-/

-*,

1-**2-*

-*==

&%E3istem /0 4ogadores de fute&ol de salo( entre eles Joo #ue por sinal o 5nico #ue4oga como goleiro. 6esta condio #uantos times de % pessoas podem ser escalados+

Informaes:

$% &o'adores de f!teol de sal"o;

(o"o como o )nico 'oleiro do time;

5 pessoas ser"o escaladas: $

'oleiro e 4 na linha.

$%-$=* => tiramos o (o"o da

sele"o da linha.

Sol!"o:

#oleiro: linha:

/'7-%-*

-8

-0-/

-/

1-*82-*

-8

1-//2-/

-/==

'% !m time de fute&ol de salo de)e ser escalado a partir de um con4unto de /0

4ogadores 2entre eles 9ri e 9rnaldo1. "e #uantas formas isto pode ser feito se 9ri e9rnaldo de)em necessariamente ser escalados+

Informaes:

$% &o'adores;

+ntre eles ,ri e ,rnaldo o! se&a

dois &o'adores;

!teol de sal"o tem 5 &o'adores;

$%-2=8 /= tiramos ,ri e ,rnaldo;

,ri e ,rnaldo tem 0!e

ori'atoriamente &o'ar.

Sol!"o:

,ri e ,rnaldo (o'adores.

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%7-%-:

-,

-0-'

-'

1-:,2-:

-,

1-''2-'

-'==

(%!m #u;mico possui /0 2dez1 tipos de su&st

Informaes:

2% pessoas;

5 matem7ticos.

omisses de $% pessoas.

a%6en$um mem&ro se4a matemtico+

Sol!"o:

+trair os matem7ticos o! se&a 2%-5=5.

:00:-%-/0

-/%

1-/0/%2-/0

-/%==

b%?odos os matemticos participem das comiss=es+

Sol!"o:




http://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://www.orkut.com.br/Main#Community?cmm=105836066http://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://www.orkut.com.br/Main#Community?cmm=105836066



Incl!ir todos os matem7ticos.

:00:-/0-%

-/%

-0-%

-%

1-%/%2-%

-/%

1-%%2-%

-%==

c%$a4a e3atamente um matemtico na comisso+

Soluo:

Incl!ir $ matem7tico de 5 dos 0!e eistem.

'%0'%-7-8

-/%

-*-/

-%

1-8/%2-8

-/%

1-/%2-/

-%==

d%@elo menos um mem&ro da comisso se4a matemtico+

Sol!"o:

elo menos $ se&a matem7tica.

'%0'%-7-8

-/%

-*-/

-%

1-8/%2-8

-/%

1-/%2-/

-%==

7*:%0--,

-/%

-:-'

-%

1-,/%2-,

-/%

1-'%2-'

-%==

7*:%0-,-

-/%

-'-:

-%

1-/%2-

-/%

1-:%2-:

-%==

'%0'%-8-7

-/%

-/-*

-%

1-7/%2-7

-/%

1-*%2-*

-%==

:00:-/0-%

-/%

-0-%

-%

1-%/%2-%

-/%

1-%%2-%

-%==

25%25945%945%925%259%%=$825

*%"e um grupo de /0 pessoas dese4a-se formar uma comisso de % mem&ros. "e#uantas formas isto pode ser feito se duas pessoas 29 e A1 ou fazem parte da comissoou no+

Sol!"o:

Informa"o:

$% pessoas;

5 memros;

, e B de



+%!m $omem possui , pares de meias 2todas distintas1. "e #uantas formas ele podeselecionar ' meias sem #ue elas se4am o mesmo par+

Informa"o:

8 pares de meias;

2 meias.

Sol!"o:

',-7-'

-,

1-',2-'

-,==

8 2= 4 meias.

284=$$2 meias.

,%?emos % $omens e 7 mul$eres. "e #uantas formas>

Informaes:

5 homens;

6mulheres.

a%@odemos formar uma comisso de : pessoas+

Sol!"o:

59=$$

/7%-,-:

-//

1-://2-:

-//==

b%@odemos formar uma comisso de : pessoas de modo #ue $a4a ' $omens e / mul$erna mesma+

Sol!"o:

2 homens e $ m!lher.

70-%-/

-7

-:-'

-%

1-/72-/

-7

1-'%2-'

-%==

-% !m lote contm %0 peas &oas e /0 defeituosas. E3traindo-se , peas 2semreposio1 no le)ando em conta a ordem das mesmas( de #uantas formas podemoso&ter * peas &oas e * defeituosas+

Informao:







50 peas boas e 10 defeituosas;

Extrair 8 peas sem reposio;

peas boas e defeituosas.

!oluo:

*,:7:00-7-*

-/0

-*7-*

-%0

1-*/02-*

-/0

1-*%02-*

-%0==

$%Em uma urna e3istem /' &olas das #uais so pretas e % &rancas. "e #uantosmodos podemos tirar 7 &olas da urna( das #uais ' so &rancas+

Informa"o:

$2 olas;

olas pretas;

5 olas rancas;

irar olas da !rna das 0!ais 2

s"o rancas.

Sol!"o:

:%0-:-*

-

-:-'

-%

1-*2-*

-

1-'%2-'

-%==

$$%Buantos su&con4untos de % cartas contendo e3atamente : ases podem ser formadosde um &aral$o de %' cartas+

Informa"o:

5 cartas contendo eatamente

ases;

!m aralho de 52 cartas;

?m aralho tem sempre 4 ases.

52-4=48 /= sem os ases.

Sol!"o:

*%/'-*7-*

-*,

/-:

-*

1-'*,2-'

-*,

1-:*2-:

-*==

$&%!ma urna contm : &olas )ermel$as e % &rancas. "e #uantas formas podemose3trair ' &olas( sem reposio e sem le)ar em conta a ordem na e3trao( de modo #ue>

Informaes:

olas



b%9 duas se4am &rancas+

oluo>

/0-:-'

-%

1-'%2-'

-%==

c%!ma se4a )ermel$a( outra &ranca+

oluo>

/%

-*-/

-%

-'-/

-:

1-/%2-/

-%

1-/:2-/

-:==

$'%!ma urna contm /0 &olas &rancas e 7 pretas. "e #uantos modos poss;)el tirar &olas das #uais pelo menos * se4am pretas+

Informa"o:

$% olas rancas;

olas pretas;

tirar olas das 0!ais pelo menos

4 se&am pretas.

Sol!"o

/,00-'-*

-7

--:

-/0

1-'*2-*

-7

1-:/02-:

-/0==

'0-/-%

-7

-,-'

-/0

1-%72-%

-7

1-'/02-'

-/0==

/0-0-7

-7

-/-/

-/0

1-772-7

-7

1-8/02-/

-/0==

$8%%92%9$%=2%8%

$(%9 diretoria de uma firma constitu;da por diretores &rasileiros e * 4aponeses.Buantas comiss=es de : &rasileiros e : 4aponeses podem ser formados+

Informa"o:

diretores rasileiros;

4 diretores &aponeses;

comisses de rasileiros e

&aponeses.

Sol!"o:

/*0-/-:

-*

-*-:

-

1-:*2-:

-*

1-:2-:

-==







$)%Em um grupo de /% pessoas e3istem % mdicos( engen$eiros e : ad)ogados.Buantas comiss=es de % pessoas podemos formar( cada #ual constitu;da de ' mdicos( 'engen$eiros e / ad)ogado+

Informa"o:

5 m@dicos;

en'enheiros;

ad



Sol!"o:

',-7-'

-,

1-',2-'

-,==

b%igando-se : desses pontos( #uantos tri



Sol!"o:

.min,:/700-'-'-'-:

-//=

?m dia tem 24h => 24%=$44% min!tos.

8$%% =/**0 55 dias

&&%!ma moeda lanada '0 )ezes. Buantas se#Dncias de GcarasH e GcoroasH e3istem(com /0 caras e /0 coroas+

Informa"o:

6anada 2%


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Informa"o:

+istem 2 r!as EhoriontaisF e E



Informao:

!* ha%ia + ,uartos #om 5 lu-ares #ada um.

!oluo:

'%'-0-%

-%

-%-%

-/0

1-%%2-%

-%

1-%/02-%

-/0==

&-%"e #uantos modos , pessoas podem ocupar duas salas distintas( de)endo cada salaconter pelo menos : pessoas+

Sol!"o:

%7-0-%

-%

-%-:

-,

1-%%2-%

-%

1-:,2-:

-,==

0-0-*-*

-*-*-,

1-**2-*-*

1-*,2-*-, ==

%7-0-:

-:

-:-%

-,

1-::2-:

-:

1-%,2-%

-,==

59%95=$82

:01 !ma pessoa #uer )ia4ar de uma cidade 9 a uma cidade C( passando pela cidade A.

9s cidades 9 e A esto ligadas por : estradas>d/(d'(d: as cidade A e C esto ligadaspor % cidades> e/(e'(e:(e*(e%. "e #uantos modos diferentes pode-se fazer o percurso9AC+

Informa"o:

,s cidades , e B est"o li'adas por

estradas:d$d2d;

B e est"o li'adas por 5 cidades:

e$e2ee4e5;

modos diferentes pode-se faer o

perc!rso ,B.

Sol!"o:

/%%.:-*-/

-%

-'-/

-:

1-/%2-/

-%

1-/:2-/

-:===

'$%Com trDs tipos de macarro e ' tipos de mol$os( #uantos pratos diferentes demacarronada podem ser preparados com / tipo de macarro e / tipo de mol$o+

Informa"o:

rAs tipos de macarr"o e 2 tipos de

molhos;

ratos diferentes de macarronada

podem ser preparados com $ tipo

de macarr"o e $ tipo de molho.

Sol!"o:

7'.:-/-/

-'

-'-/

-:

1-/'2-/

-'

1-/:2-/

-:===







'&%6o Arasil( as placas de autom)eis tDm : letras seguidas de * algarismos. Buantasso as possi&ilidades de placas diferentes.

Informa"o:

tAm letras se'!idas de 4 al'arismos.

Sol!"o:

2 . 2 . 2 . $% . $% . $% . $% =2: .$%*

6etra 6etra 6etra nJ nJ nJ nJ

''%Buantos n5meros pares de ' algarismos podem ser formados no sistema decimal+

Informa"o:

Sistema decimal;

%$2458* => $% n!meros.

Sol!"o:

* . 5 =45 nJ pares

'(%"e #uantos modos : pessoas podem se sentar em % cadeiras+

Informa"o:

Kodos pessoas podem se sentar;

5 cadeiras.

Sol!"o:

5 . 4 . = %adeira$ cadeira2 cadeira

35)implifi#ue>

a% =+

-

1-'2

n

n

Sol!"o:







'/'/'1/1.2'2-

-1./1.2'2

-

1-''1.2/'1.20'2 ''++=++=++=

++=

+++nnnnnnn

n

nnn

n

nnn

b% = 1-'2

-

n

n

Sol!"o:

nnnn

n

nnn

==

'1/.21-'2

1-'1.2/1.202

'*%Calcule o )alor de n na e#uao /0-

1-/2=

n

n

.

Sol!"o:

/0

/

/0/

/01-/1.202

1-/2

=

=

=

n

n

nn

n

'+%Considere a pala)ra "IEM9 e determine>

a%K n5mero total de anagramas.

Informa"o:

Seis letras.

Sol!"o:

L=2%.

&1 K n5mero de anagramas #ue comeam com a letra e terminam com a letra M.

Sol!"o:

6 . 4 . . 2 . $ . K = 24$M letra !ltima letra

N! podemos:







$ . 4 . . 2 . $ . $ = 24 $M letra !ltima letra

',%Em uma estante temos , li)ros( dos #uais : so de matemtica. "e #uantas formaspodemos organiz-los( de modo #ue fi#uem sempre 4untos+

Informa"o:

+stante temos 8 li



5 letras;

omeam com consoantes temos letras.

Sol!"o:

IN . IN . . 2 . $ =$2

($%Calcule o numero de anagramas da pala)ra @I( lem&rando #ue um anagrama uma pala)ra formada com as mesmas letras da pala)ra dada( podendo ter ou no sentidona linguagem usual.

Informa"o:

emos 5 letras.

Sol!"o:

5L=542$=$2%

(&%6um carro com % lugares )ia4aro * passageiros e o motorista. "e #uantos modosdistintos os * passageiros podem ocupar os assentos do )eiculo+

Informa"o:

4 passa'eiros podem oc!par os assentos do



. . 4 = fio . . =

fio . . 8 = fixo

*'Q:7Q:7Q:7Q:7N/,7

((%"a olimp;ada de matemtica( na escola de Fernando( participaram /0 alunos. Kn5mero #ue corresponde s diferentes maneiras de se arrumarem os trDs primeiros

colocados >Informa"o:

a escola de ernando participaram $% al!nos;

Ns trAs primeiros colocados.

Sol!"o:

$% . * . 8 =2%

()%9 escola S( por uma #uesto administrati)a( identifica cada professor por uma letra(um algarismo e um s;m&olo grego. 9s letras so 9(A(C( os algarismos /('(:(*(% e oss;m&olos gregos so T(U(V. !tilizando essas identifica=es( o numero m3imo de

professores dessa escola >

Informa"o:

,s letras s"o ,B. rAs elementos;

Ns al'arismos $245. inco elementos;

Ns sDmolos 're'os s"o TUV. rAs elementos.

Sol!"o:

. 5 . =45 ,B $245 TUV

*71 9 #uantidade de n5meros naturais de trDs algarismos #ue podem ser formados comos algarismos /(:(%((8 >

Informa"o:

rAs al'arismos;

ormados com os al'arismos $5*.

Sol!"o:

5 . 5 . 5 =$25







(+% Buantos n5meros naturais ;mpares( de trDs algarismos distintos( podem serformados com os algarismos do con4unto O'(:(*(%P+

Informa"o:

)meros nat!rais Dmpares;

rAs al'arismos distintos formados

com os al'arismos do con&!ntoQ245R.

Sol!"o:

. 2 . 2 =$2 : ou %

(,%Buantos n5meros pares de trDs algarismos distintos e maiores #ue *00( podem serformados com os algarismos do con4unto O'(:(*(7((,(8P+

Informa"o:

)meros pares de trAs al'arismos

distintos e maiores 0!e 4%%;

ormados com os al'arismos do

con&!nto Q248*R=> elementos.

Sol!"o:

4 . 5 . =$5 fio

. 5 . =$5 fio

. 5 . 4 =2% fio

8 . 5 . =$5 fio

* . 5 . 4 =2% fio

$59$592%9$592%=85

*81 @ara organizar os ar#ui)os com todos os funcionrios de uma escola( a direoutilizou fic$as identificadas( cada uma( por ' )ogais distintas( seguidas de : algarismosdistintos. K n5mero m3imo de fic$as confeccionadas foi igual a>

Informa"o:

' )ogais distintas

"e : algarismos distintos.

Sol!"o:







5 . 4 . $% . * . 8 =$44%%Oo'ais

Informao:

tili&ar somente as letras )7 e E 34 #in#o letras.

E os al-arismos 01 e + 34 tr's al-arismos.

!oluo:

5 . 5 . " . " . " 4+0+5 (etras (etras al-. )l-. )l-.

)&%!ma sala de)e ser iluminada com % l



inco letras;

rAs letras , d!as G.

Sol!"o:

/0-:-'-%

=

)(%!ma escola possui /% professores. Entre eles( sero escol$idos> !m diretor( um)ice-diretor e um coordenador pedaggico. Buantas so as possi&ilidades de escol$a+

Informa"o:

, escola poss!i $5 professores;

ser"o escolhidos: ?m diretor !m



, letra aparece 2



inco ca



*(% "e #uantos modos pode-se arrumar * li)ros de Matemtica( : geografia e '&iologia( numa estante( de modo #ue os li)ros de mesmo assunto fi#uem 4untos+

Informa"o:

ode-se arr!mar 4 li



*+%Buantas comiss=es de trDs pessoas podem ser formadas com um grupo de setepessoas+

Informao:

omisses de tr's pessoas;

m -rupo de sete pessoas.

!oluo:

:%-*-:

-

1-:2-:

-==

*,%9o sair de uma festa( dez amigos se despediram com um aperto de mo. Buantosapertos de mo foram trocados+

Informao:

3e ami'os se despediram com !m aperto de m"o.

,pertos de m"o foram trocados saemos 0!e !ma pessoa pode dar dois apertos ao

mesmo tempo.

!oluo:

*%-,-'

-/0

1-'/02-'

-/0==

*-%!m fa&ricante de doces disp=e de em&alagens com capacidades para seis docescada uma. a&endo-se #ue ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes( #uantos tipos deem&alagem( com seis doces diferentes( e ele poder organizar+

Informao:

Com capacidades para seis doces cada uma.

Ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes.

?ipos de em&alagem( com seis doces diferentes.

!oluo:

%00%-8-7

-/%

1-7/%2-7

-/%==







+%Em um congresso de Educao( $ seis professores de F;sica e seis de Matemtica.Buantas comiss=es de % professores podem ser formadas( $a)endo em cada uma dois

professores de Matemtica e trDs de F;sica+

Informa"o:

W7 seis professores de Dsica e seis de Katem7tica;

omisses de 5 professores podem ser formadas;

Wa



Informao:

!eis pessoas;

ormar + #omisses #om "

pessoas #ada.

!oluo:

'0-:-:

-7

1-:72-:

-7==

+(%o&re uma reta marcam-se : pontos e so&re outra reta( paralela a primeira( marcam-se % pontos. Calcule o n5mero de tri



numero de resultados poss?%eis para as " primeiras #olo#aes.

!oluo:

::7-%

-,

1-:,2

-,==

+,%6o campeonato de )Ylei de praia $a)ia /: duplas. Cada dupla 4ogou com as demaisduas partidas( uma em cada fim de semana. 6o final( duas duplas ficaram empatadastendo sido realizadas ento a partida de desempate. K n5mero de partidas disputadasnesse campeonato foi>

Sol!"o:

,-//-'

-/:

1-'/:2-'

-/:==

82partidas9$ desempates = $5

+-%!ma &anca e3aminadora de um concurso ser formada por % professores( escol$idosentre , de matemtica e * l;ngua @ortuguesa. K numero de composi=es #ue poss;)elformar com esta &anca e3aminadora de modo #ue ela ten$a( no m;nimo( ' professoresde l;ngua @ortuguesa >

Informa"o:

Ser7 formada por 5 professores.

+scolhidos entre 8 de matem7tica e 4 lDn'!a ort!'!esa.

+la tenha no mDnimo 2 professores de lDn'!a ort!'!esa.

Sol!"o:

::7-'-'

-*

-%-:

-,

1-'*2-'

-*

1-:,2-:

-,==

//'-/-:

-*

-7-'

-,

1-:*2-:

-*

1-',2-'

-,==

,-0-*

-*

1-/,2-/

-,=

9$$298=45

,%"isp=e-se de /% 4ogadores de )olei&ol sendo( um deles( 9ndr. K numero de duplasdiferentes #ue podem ser formadas( nas #uais no aparea o 4ogador 9ndr( >

Informa"o:







,ndr@ n"o ir7 aparecer ent"o temos $4 &o'adores.

3!as pessoas por d!plas.

Sol!"o:

8/-/'-'-/*

1-'/*2-'-/*

==

,$%6um campeonato de ping-pong( esto inscritos /7 alunos. 6umero total de partidas#ue podem ser realizadas entre esses inscritos >

Sol!"o:

/'0-/*-'

-/7

1-'/72-'

-/7==

,&%Imagine #ue todos os ',% candidatos classificados neste concurso( reunidos em umsalo( resol)am cumprimentar-se uma 5nica )ez. K numero de cumprimentos #ue serotrocados ser dado pelo resultado de>

Sol!"o:

*0*0-',:-'

-',%

1-'','2-'

-',%==

,:1 "e um grupo de 7 $omens e * mul$eres( dese4a-se escol$er % pessoas( incluindo(pelo menos( ' mul$eres. K numero de escol$as distintas #ue se pode fazer >

Informa"o:

?m 'r!po de homens e 4

m!lheres;

3ese&a-se escolher 5 pessoas;

er pelo menos 2 m!lheres.

Sol!"o:

/'0-'-'

-*

-:-:

-7

1-'*2-'

-*

1-:72-:

-7==

70-/-:

-*

-*-'

-7

1-:*2-:

-*

1-'72-'

-7==

7

-0-*

-*

-%-/

-7

1-**2-*

-*

1-/72-/

-7==

$2%9%9=$8.

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apostila de 84 exercicios resolvidos de analise combinatória

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