Programa de Pós-Graduação em Oceanogra�a

Fundamentos de Mecânica dos Fluidos para Oceanogra�a

Lista de Exercícios No 3

Prof. Emilio E. Paladino

Data de entrega: 18 de Maio de 2017

Exercício No1

Água escoa em regime permanente sobre uma placa plana porosa. Uma sucção constante éaplicada ao longo da seção porosa. O per�l de velocidade na seção c-d é dado por,

u

U∞= 3

(y

δ

)− 2

(y

δ

)1.5

(1)

Determine a vazão mássica m que sai na parte superiro do volume de controle.

Exercício No2

Uma mancha de petroleo aproximadamente circular é arrastada pelo vento com velocidade Vv,que forma um angulo θ com a supe�cie que de�ne a linha de saida da bahia.Considerando uma altura aproximadamente constante da mancha, h, e considerando qeumem um determinado instante a mancha ocupa toda a area de saida da bahia, determine umaexpressão para a taxa de variação temporal da quantidade de massa de oleo presente na bahia,∂moil

∂t

1

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Exercício No3

Resolva o exercicio anterior, para um instante qualquer considerando que a espessura da manchavaria de acordo com h(r) = h0r/R

Exercício No4

Resolva o exercicio anterior considerando agora os processo de �oculação e evaporação. Con-sidere a velocidade do vapor acima da mancha dada por alguima correlação conhecida, Vvap eum densidade media do vapor ρvap. Considere uma taxa de �oculação por unidade de area

horizontal da mancha conehcida, m′′floc

Exercício No5

Obtenha as componentes na tres direções corrdenadas, da equação da conservação da QM, naforma integral,

∂

∂t

∫V

ρ~V dV +

∮S

~V ρ~V · ndA =

∫V

ρ~gdV +

∮S

τ · ndA (2)

Exercício No6

Dadas as forças Fi, os ângulos αi e βi e as áreas dos diferentes trechos da tubulação,e ascondiçaoes de entrada, calcule velocidade na saída (nas suas componentes). Considere a paredeinferior com sendo "free slip"(tensão cisalhante nula) e pressão constante.

Exercício No7

Partindo do balanço integral de uma propriedade intensiva φ qualquer, por unidade de massa,

∂(Msφ)

∂t=

∂

∂t

∫V

ρφdV +

∮S

ρφndA (3)

obtenha a partir de um balanço em um volume diferencial de tamanho ∆x∆y∆z (dividindopelo volume e fazendo este tender a zero) as equações diferencias da conservação da massae quantidade de movimento na forma conservativa, sabendo que, no caso da conservação damassa, d(Ms)/dt = 0 e, no caso da conservação da QM, d(MsV)/dt = ΣF.

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Exercício No8

Realize um balanço de forças de superfície e de campo (considere apenas a gravidade) em umvolume de controle de tamanho ∆x∆y∆z e mostre que,

1

Vvc

[∑Fsup + Fb

]= ~∇·τ + ρg (4)

Exercício No9

Combinando a equação da conservação da QM com a conservação da massa, na forma diferen-cial, mostre que,

Ms

Vvca =

1

Vvc

[∑Fsup + Fb

]= ~∇·τ + ρg (5)

onde a = DV/Dt

Exercício No10

• Considere a equação constitutiva para o tensor tensão para um �uido newtoniano emescoamento incompressível, τ = −pI + µ[~∇~V + ~∇~V T ]. Mostre que, ~∇·τ = −~∇p+ µ∇2~V

• Substitua a equação obtida no item anterior na equação da conservação da QM, apliqueo rotacional à equação (a ambos membros) e obtenha a equação da cons. da QM comofunção da vorticidade, considerando agora que a densidade pode ser variável e que aaceleração é expressa em um referencial com rotação constante (ver Seções 5.5 e 5.6 doKundu) e forneça uma interpretação para cada um dos termos resultantes da equação.

Exercício No11

DAda a equação da conservação da QM linear, na forma diferencial,

∂ρ~V

∂t+ ~∇·(ρ~V ~V ) = −~∇p+ µ∇2~V + ρg (6)

• Obtenha as tres componentes da equação.

• Mostre, utilizando a conservação da massa, que esta equação é equivalente a,

ρa = ρD~V

Dt= −~∇p+ µ∇2~V + ρg (7)

Dica: Pode ser mais fácil provear isto apra uma componente, e depoi generalizar para aeuqção na forma vetorial

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