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Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa Operacional

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Exerccio 1Uma pequena fbrica de papel toalha manufatura trs tipos de produtos A, B e C. A fbrica recebe o papel em grandes rolos. O papel cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fbrica, o mercado absorver qualquer produo a um preo constante. O lucro unitrio de cada produto respectivamente R$ 1,00, R$ 1,50, e R$ 2,00. O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operao (em horas) em cada seo da fbrica, bem como a quantidade de mquinas disponveis, que trabalham 40 horas por semana. Planeje a produo semanal da fbrica.Seo Corte Dobra Empacotamento Produto A 8,0 5,0 0,7 Produto B 5,0 10,0 1,0 Produto C 2,0 4,0 2,0 Qde. Mquina 3,0 10,0 2,0

Exerccio 2A Fbrica de Rdios Sinval Vulah S.A. fabrica os modelos A, B e C que tem contribuio ao lucro de $16, $30 e $50, respectivamente. As exigncias de produo mnima semanal so 20.000 para o modelo A, 120.000 para o modelo B e 60.000 para o modelo C. Cada tipo de rdio requer uma certa quantidade de tempo para fabricao das partes componentes, para a montagem e para embalagem. Especificamente, uma unidade do modelo A requer 0.3 horas para fabricar, 0.4 horas para montar e 0.1 para embalar. Os nmeros correspondentes para uma unidade do modelo B so 0.4, 0.5 e 0.2, e para uma unidade do modelo C so 0.5, 0.8 e 0.3. Durante a prxima semana, a fbrica tem disponveis 120.000 horas de tempo de fabricao, 160.000 horas de montagem e 48.000 horas de embalagem. Formule o modelo e resolva utilizando o LINDO.

Exerccio 3Uma fbrica de computadores produz dois modelos de microcomputadores A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00 e B, de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produo, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque 60 do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: Qual deve ser o esquema de produo que maximiza o lucro?

Exerccio 4Uma empresa do ramo de madeira produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos so 40 m3 de pinho e 80 m3 de canela. A madeira serrada d um lucro de R$ 5,00 por m3 e a madeira compensada d um lucro de R$ 0,70 por m3. Para produzir uma mistura de 1 metro cbico de madeira serrada so requeridos 1 m3 de pinho e 3 m3 de canela. Para produzir 100 m3 de madeira compensada so requeridos 3 m3 de pinho e 5 m3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m3 de madeira serrada e 900 m2 de madeira compensada. Qual o esquema de produo que maximiza o lucro?

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Exerccio 5Uma empresa tem trs tipos de mquinas de processamento, tendo cada uma delas velocidade e taxas de defeitos diferentes. As mquinas do tipo I podem produzir 20 peas por hora com 5% de peas defeituosas; as do tipo II, 15 peas por hora com 10% de defeitos e as do tipo III, 10 peas por hora sem defeitos. O custo horrio de operao por mquina US$ 2,00; US$ 1,75 e US$ 1,50, respectivamente. Devem ser processadas 3500 peas por dia (8 horas/dia), mas s se dispe de 8 mquinas do tipo I, 10 do tipo II e 20 do tipo III. Cada pea defeituosa custa empresa US$ 1,00. Formule um modelo de PL para determinar a soluo tima para este problema.

Exerccio 6Uma oficina mecnica deseja alocar o tempo ocioso disponvel em suas mquinas para a produo de 3 produtos. A tabela abaixo d as informaes sobre as necessidades de horas de mquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a disponibilidade das mquinas, o lucro dos produtos e a demanda mxima existente no mercado. Deseja-se o esquema semanal de produo de lucro mximo.Tipo de mquina Torno Fresa Furadeira Lucro Demanda Semanal Mnima Produto A 5 8 2 20 40 Produto B 3 4 5 15 50 Produto C 5 0 3 18 20 Tempo disponvel (horas por semana) 400 500 300

Exerccio 7Uma empresa petrolfera tem trs refinarias (r = 1,2,3), e pretende distribuir combustveis do tipo Y e Z para quatro mercados diferentes (m = 1,2,3,4). O custo de transporte do combustvel Y 2/3 do custo de transporte do combustvel Z e ambos so diretamente proporcionais distncia. A demanda mensal de Y e Z para cada mercado DYm e DZm respectivamente. A produo diria de Y e Z em cada refinaria PYr e PZr, respectivamente. Para um melhor uso da matria-prima, cada refinaria deve produzir no mnimo 3 gales de Y para cada 2 gales do combustvel Z. Formule um modelo de PL que minimize os custos de transporte e que, no caso de faltar combustvel distribua a produo proporcionalmente demanda.

Exerccio 8Uma empresa petrolfera tem trs refinarias (r = 1,2,3), e pretende distribuir combustveis do tipo Y e Z para quatro mercados diferentes (m = 1,2,3,4). O custo de transporte do combustvel Y 2/3 do custo de transporte do combustvel Z e ambos so diretamente proporcionais distncia. A demanda mensal de Y e Z para cada mercado DYm e DZm respectivamente. A produo diria de Y e Z em cada refinaria PYr e PZr, respectivamente. Antes da distribuio, os combustveis Y e Z devero permanecer em estoque por pelo menos 15 e 20 dias, respectivamente. A capacidade total de estocagem de cada refinaria limitada em Cr. Formule um modelo de PL que minimize os custos de transporte e que, no caso de faltar combustvel distribua a produo proporcionalmente demanda.

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Exerccio 9Uma empresa produz televiso em 3 fbricas: So Paulo, Joo Pessoa e Manaus. Os pontos principais de revenda, com as respectivas encomendas mensais so:Pontos de Revenda Rio de Janeiro Salvador Aracaj Macei Recife Encomendas (unidades) 6.000 5.000 2.000 1.000 3.000

A produo mxima mensal em cada fbrica :Fbricas So Paulo Joo Pessoa Manaus Capacidade (unidades) 10.000 5.000 6.000

O custo de transportes das fbricas at as revendas, para cada lote de 1.000 aparelhos, dado pelo quadro abaixo:Para De So Paulo Joo Pessoa Manaus Rio de Janeiro 1.000 4.000 6.000 Salvador 2.000 2.000 4.000 Aracaju 3.000 1.500 3.500 Macei 3.500 1.200 3.000 Recife 4.000 1.000 2.000

Determinar o nmero de unidades produzidas em cada fbrica e entregues a cada revenda, a fim de minimizar o custo de transporte.

Exerccio 10Consideremos o problema da metalurgia de alumnio, em que se deseja produzir 2.000 kg de uma liga de alumnio, a custo mnimo, pela mistura de diversas matrias-primas (minrios). Esta liga deve atender a requisitos de engenharia que especificam os mximos e mnimos de diversos elementos qumicos que a compe. Os custos das matrias-primas so:Mat prima Custo Mat1 0,03 Mat2 0,08 Mat3 0,17 Mat4 0,12 Mat5 0,15 Mat6 0,21 Mat7 0,38

A composio dos minrios e a participao mnima/mxima de cada um dos elementos qumicos nos 2.000 kg da liga so mostradas a seguir:

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalElemento Fe Cu Mn Mg Al Si Mat1 0,15 0,03 0,02 0,02 0,70 0,02 Mat2 0,04 0,05 0,04 0,03 0,75 0,06 Mat3 0,02 0,08 0,01 0,80 0,08 Mat4 0,04 0,02 0,02 0,75 0,12 Mat5 0,02 0,06 0,02 0,01 0,80 0,02 Al-puro 0,01 0,01 0,97 0,01 Si-puro 0,03 0,97 Mnimo 1500 250

Pag. 4Mximo 60 100 40 30 300

Na tabela anterior temos, por exemplo, que Mat1 contm 15% de Ferro, 3% de Cobre, etc. Temos, ainda, que a liga a ser obtida (2.000 kg) deve conter, no mximo, 60 kg de Ferro, 100 kg de Cobre e que a quantidade de Silcio deve estar entre 250 kg e 300 kg. Quanto disponibilidade de matria-prima, os dados esto indicados a seguir na linha Disponibilidade Mxima. A linha Disponibilidade Mnima refere-se a quantidade que se deseja forar a entrar neste processo (por algum motivo, tal como liberao de espao).Mat1 200 Mat2 750 Mat3 400 800 Mat4 100 700 Mat5 1500 Mat6 Infinito Mat7 Infinito

Disp. Mn. Disp. Mx.

Exerccio 11Um fundo de investimentos tem at R$ 300.000,00 para aplicar em duas aes. A empresa D diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que fornea bonificaes de 12%. A empresa N no diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificaes de 20%. Para este investimento, considerando a legislao governamental aplicvel, o fundo est sujeito s seguintes restries: a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$ 270.000,00. b) O investimento na empresa no-diversificada pode atingir R$ 150.000,00. c) Em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode-se investir at R$ 180.000,00. Pede-se: Qual o esquema de investimento que maximiza o lucro?

Exerccio 12Uma companhia area possui trs tipos de avies e obrigada a servir quatro rotas areas. A tabela abaixo fornece a capacidade mxima (em nmero de passageiros) de cada tipo de aeronave, o nmero de avies disponveis de cada tipo, bem como o nmero de viagens por dia que cada tipo de avio pode fazer em uma determinada rota (por exemplo: um avio do tipo 1 pode realizar trs viagens na rota 1 ou 2 viagens na rota 2, etc). Na tabela seguinte, dado tambm o nmero de passageiros que necessariamente ter que ser transportado em cada rota.

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalTipo de Aeronave Capacidade (pass) Nmero de Aeronaves Nmero de Viagens Dirias em Cada Rota R2 R3 2 2 3 3 5 4 200 90

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A1 50 5 A2 30 8 A3 20 10 Passageiros a serem transportados diariamente em cada rota

R1 3 4 5 100

R4 1 2 2 120

O Custo operacional por viagem para cada avio nas diferentes rotas dado pela tabela abaixo.Tipo de Aeronave A1 A2 A3 Custos Operacionais por Viagem R2 R3 1.100,00 1.200,00 900,00 1.000,00 800,00 800,00

R1 1.000,00 800,00 600,00

R4 1.500,00 1.000,00 900,00

Formular um modelo de programao linear que permita alocar os avies s diversas rotas, visando a minimizar o custo operacional do sistema.

Exerccio 13Um navio tem trs compartimentos de carga: proa, centro e popa. As capacidades limites so:Compartimento Proa Centro Popa Peso (ton) 2.000 3.000 1.500 Volume (m3) 30.000 40.000 20.000

A empresa de navegao, proprietria do navio pode aceitar toda ou parte das seguintes cargas:Carga A B C Quant. (ton) 6.000 4.000 2.000 Vol. Esp. (m3/ton) 60 50 25 Lucro (R$/ton) 6.000 8.000 5.000

Para preservar o equilbrio do navio, o peso em cada compartimento deve ser proporcional a sua capacidade em toneladas. Formule um modelo para determinar como carregar o navio de modo a maximizar o lucro ?

Exerccio 14Uma metalrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela abaixo ilustra a cada material na mistura para a obteno das ligas passveis de fabricao. cotado em R$ por tonelada da liga fabricada. Tambm em toneladas esto restries de disponibilidade de matria-prima. Formular o modelo de Matemtica. proporo de O preo est expressas as Programao

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalLiga Especial de Baixa Resistncia 50 % 25 % 25 % 3.000,00 Liga Especial de Alta Resistncia 20 % 30 % 50 % 5.000,00 Disponibilidade de Matria-Prima 16 ton 11 ton 15 ton

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Cobre Zinco Chumbo Preo de Venda (R$/ton)

Exerccio 15Uma determinada fbrica produz panelas de metal mdias e grandes a partir de elementos circulares de dimetros de 0,25 e 0,40 metros, respectivamente. A primeira operao para obter as panelas um corte desses elementos circulares sobre chapas de dimenso de 1,40 x 0,50 metros. Os elementos planos circulares so transformados em panelas em uma segunda operao de estamparia. Para o corte existem quatro tipos de matrizes conforme mostra a figura abaixo.MATRIZ 1 MATRIZ 2

MATRIZ 3

MATRIZ 4

A fbrica deseja uma produo diria mnima de 500 panelas mdias (obtidas do elemento circular de dimetro 0,25) e 350 grandes (obtidas do elemento circular de dimetro de 0,40). Os custos em reais por chapa pelo uso de cada matriz de corte so respectivamente: 1, 2, 3, 2. Elaborar o modelo de Programao Linear que planeje a produo de modo a minimizar o custo com o uso das chapas.

Exerccio 16Uma fbrica necessita cortar uma fita de ao de 12 cm de largura em tiras de 2,4 cm, 3,4 cm e 4,5 cm de largura. As necessidades globais das tiras so:Tipo de Tira Tira 1 Tira 2 Tira 3 Largura (cm) 2,4 3,4 4,5 Comprimento Mnimo (m) 2.500 4.500 8.000

Formule o problema que permite otimizar o consumo da fita a ser cortada minimizando a perda de material.

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Exerccio 17Considerar a produo das latas que so estampadas em folhas planas de alumnio. Uma lata consiste em um corpo principal e em duas extremidades (topo e base). Existem 4 padres de estampas possveis (que envolvem 2 tamanhos diferentes de folha de metal), como mostrado abaixo:

Considerando que devero ser fabricadas 5.000 latas, qual a forma mais econmica de produz-las?

Exerccio 18A Viao Area Brasileira est estudando a compra de trs tipos de avies: Boeing 717 para as pontes areas de curta distancia, Boeing 737-500 para vos domsticos e internacionais de mdia distancia e MD-11 para vos internacionais de longa distancia. Em um estudo preliminar, considerou-se que a capacidade mxima dos avies a serem comprados ser sempre preenchida para efeito de planejamento. Os dados de planejamento constam da tabela abaixo:Tipo do Avio BOEING 717 BOEING 737-500 MD-11 Custo (Milhes US$) 5,1 3,6 68 Receita Terica (Milhes US$) 330 300 420 Pilotos Aptos 30 20 10

A verba disponvel para as compras de 220 milhes de dlares. Os pilotos de MD-ll podem pilotar todos os avies da empresa, mas os demais pilotos s podem ser escalados s aeronaves a que foram habilitados. Cada aeronave necessita de dois pilotos para operar. As

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oficinas de manuteno podem suportar at 40 Boeings 717. Um Boeing 737-500 equivale, em esforo de manuteno, a 3/4, e um MD-ll a 5/3, quando referidos ao Boeing 717. Formular o modelo de PL do problema de otimizar as aquisies de avies.

Exerccio 19Uma certa fbrica de camisetas deseja aproveitar as finais de um campeonato de futebol para vender camisetas dos times envolvidos. Os jogos vo durar quatro semanas. O custo de produo de cada camiseta R$ 2,00 nas duas primeiras semanas e subir para R$ 2,50 nas duas ltimas, quando a concorrncia demandar por material no mercado. A demanda semanal de camisetas ser de 5.000,10.000, 30.000 e 60.000. A capacidade mxima de produo da empresa de 25.000 camisetas. Na primeira e na segunda semana a empresa poder, em um esforo excepcional, carrear mo-de-obra em horas extras e fabricar mais 10.000 camisetas em cada semana. Nesse caso, o custo dessas camisetas ser de R$ 2,80. O excesso de produo pode ser estocado a um custo de R$ 0,20 por unidade por semana. Pedido 1: Formular o modelo de PL que minimize os custos. Pedido 2: Aps o planejamento anterior, a direo da empresa verificou que a demanda iria variar substancialmente dentro dos quatro modelos de camiseta que representavam os quatro times disputando as finais. Apesar da demanda total ser exatamente aquela anteriormente levantada, o valor das camisetas iria variar em conformidade com o time e sua posio no campeonato. Nas duas primeiras semanas todos os times estariam em p de igualdade at que fosse decidido os dois finalistas. A partir da, as camisetas dos times eliminados cairiam em valor e em demanda no mercado, e as dos times finalistas subiriam conforme a tabela a seguir:Semana 1 Demanda 1250 1250 1250 1250 Valor 5,00 5,00 5,00 5,00 2 Demanda 2500 2500 2500 2500 Valor 6,00 6,00 6,00 6,00 3 Demanda 500 500 14500 14500 Valor 3,00 3,00 8,00 8,00 4 Demanda 30000 30000 Valor 9,00 9,00

Time A Time B Time Final. C Time Final. D

Sabendo-se que existe um completo equilbrio entre os quatro finalistas, formular o modelo que maximize os lucros da empresa produtora de camisetas.

Exerccio 20Uma empresa de distribuio de derivados de petrleo est estudando um esquema para distribuio combustvel em uma regio com 4 mercados consumidores (A, B, C e D), cuja demanda apresentada no quadro abaixo.

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalMercado A B C D Demanda Mensal (ton/ms) 150.000 200.000 120.000 240.000

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No atendimento desta demanda, a empresa pretende utilizar transporte martmo e terrestre. Para tanto, necessrio instalar terminais martimos ao longo da costa. Os portos escolhidos para instalao de possveis terminais so denominados de P1, P2, P3 e P4. Os tipos de terminais que podero ser instalados esto apresentados no quadro abaixo:Tipo I II III Capacidade (ton/ms) 100.000 200.000 300.000 Custo Fixo (R$/ms) 500.000,00 800.000,00 1.000.000,00 Custo Varivel (R$/ton) 6,50 5,30 4,50

O combustvel a ser distribudo na regio poder vir de duas refinarias distintas. A refinaria 1 tem uma capacidade de produzir adicionalmente 600.000 ton / mes, a um custo unitrio de R$ 350,00 / ton. A segunda refinaria tem uma capacidade ociosa de 550.000 ton / mes, e com um custo unitrio de R$ 370,00 / ton. O custo unitrio de transporte de R$ 5,60 / ton.km para o modo terrestre (entre terminais e mercados) e R$ 0,82 / ton.km para o modo martimo (entre refinarias e terminais). As distncias de transporte esto apresentadas no quadro abaixo.Distncia de Transporte (km) De Para P1 P2 P3 P4 Merc. A 150 200 180 120 Merc. B 140 130 170 130 Merc. C 160 140 130 180 Merc. D 120 120 160 120 Ref. 1 800 900 1.200 1.300 Ref. 2 1.400 1.300 1.000 900

Formule um modelo para determinao do esquema timo de distribuio do combustvel e de implantao dos terminais. Resolva o modelo formulado e analise os resultados.

Exerccio 21Uma indstria qumica foi intimada pelo governo de seu estado para instalar e empregar dispositivos de anti-poluio. A empresa faz dois produtos; para cada um destes produtos, o processo de fabricao produz quantidades excessivas de gases irritantes e partculas (slidos em suspenso). Na tabela abaixo mostrada a emisso diria, em quilos, de cada poluente para cada 1000 litros de produto fabricado. A companhia est proibida de emitir mais do que G1, G2 e P1 quilos de gs CM, gs SD e partculas, respectivamente.

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalTipo de Poluente Gs CM Gs SD Partculas Poluentes Emitidos (kg/1.000 litros) Produto 1 Produto 2 24 36 8 12 100 50

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O gerente de produo aprovou a instalao de dois dispositivos anti-poluio. O primeiro dispositivo remove 0,75 de gs CM, 0,5 de gs SD e 0,9 de partculas, independentemente do produto fabricado. O segundo dispositivo remove 0,33 de gs CM, nada de gs SD e 0,8 de partculas para o produto 1 e 0,25 de gs CM, 0,45 de gs SD e 0,6 de partculas para o produto 2. O primeiro dispositivo reduz o lucro por milhar de litros fabricados diariamente por C1, independentemente do produto. Da mesma forma, o segundo dispositivo reduz o lucro por C2, por milhar de litros fabricados diariamente, independentemente do produto. Compromissos de vendas obrigam que pelo menos R1 e R2 milhares de litros do produto 1 e produto 2 sejam produzidos diariamente. Formule o modelo de otimizao apropriado.

Exerccio 22Os esgotos de trs cidades (A, B e C), depois de sofrerem um tratamento, so descarregados em um rio. O esgoto de cada uma das trs cidades produz uma quantidade diria de poluente expressa por PA, PB e PC toneladas. O tratamento do esgoto pode reduzir a quantidade de poluente at um mximo de 90%. Esta reduo denominada eficincia da estao de tratamento, e o custo de cada estao diretamente proporcional sua eficincia (ki eficincia). Por outro lado, devido ao bioqumica (aerao etc.), no final de cada trecho AB e BC do rio, a quantidade de poluentes reduzida em 10% e 20% respectivamente.

Qual a eficincia que devem ter as estaes de tratamento, de modo que, para qualquer ponto do rio, a quantidade de poluentes medida em um dia no ultrapasse P toneladas, e de modo a minimizar o custo das estaes de tratamento ? Formular um PPL que permita resolver este problema.

Exerccio 23Uma casa de cmbio geralmente realiza transaes lucrativas entre moedas estrangeiras. Suponha que esta casa de cmbio realiza operaes entre cinco diferentes moedas: dlar, libra-esterlina, franco, marco, lira. Sejam as ofertas de troca apresentadas no quadro 1 e a disponibilidade inicial de moeda apresentada no quadro 2. Assuma que, com um sistema de comunicao rpida, a casa de cmbio pode ter acesso a estas informaes e virtualmente realizar todas as transaes que desejar simultaneamente. A nica exigncia nas transaes de que nenhum negcio fique a descoberto no fim de um dia de transao, quando as

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moedas forem efetivamente trocadas. Em outras palavras, a casa de cmbio precisa ao menos ter a habilidade de cobrir as vendas totais de cada moeda com a renda proveniente de quaisquer outras trocas que foram produzidas por aquela moeda.Possveis Negcios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Moeda Compra Dolar Dolar Libra Libra Franco Franco Lira Lira Marco Marco Venda Marco Libra Lira Franco Marco Lira Dolar Franco Libra Dolar Razo de Troca 1 / 2,003 1 / 0,705 1 / 200,00 1 / 150,00 1 / 0,0216 1 / 1,452 1 / 0,00714 1 / 0,7234 1 / 0,3467 1 / 0,4862 Quantidade Disponvel 30.000,00 20.000,00 100.000,00 50.000,00 15.000,00 45.000,00 35.000,00 40.000,00 20.000,00 5.000,00

Formule um modelo de otimizao que maximize a quantidade de dolares ao final da negociao, dado que a empresa dispe em caixa as seguintes moedas:Moeda Dolar Libra Franco Marco Lira Disponvel 10.000,00 20.000,00 30.000,00 40.000,00 50.000,00

Exerccio 24Por volta de 435 a.C., Esparta decidiu convocar reservistas para suplementar seu exrcito regular. Os novos combatentes podiam ser alistados por 1, 2, 3 ou 4 anos, respectivamente com custos de $10, $18, $25 e $31. A fora mnima total de combatentes reservistas foi estabelecida na tabela abaixo. Como um general espartano, voc poderia achar uma poltica de alistamento tima para os prximos 10 anos, resolvendo o problema com um modelo de otimizao. Formule o modelo e resolva.Ano 435 AC 434 AC 433 AC 432 AC 431 AC 430 AC 429 AC 428 AC 427 AC 426 AC Reservistas 10.200 11.800 10.500 12.300 15.000 14.500 14.000 16.100 16.400 16.500

Considere que no ser possvel contratar mais do que 13.000 reservistas em um nico ano. Qual seria a soluo ?

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Exerccio 25Um empreendedor pode aplicar seu dinheiro em 5 projetos de investimento, cujos dados so apresentados abaixo:Fluxo de Caixa Anula (R$ 1.000,00) 0 1 2 (100,00) 170,00 (150,00) (100,00) (50,00) 80,00 (70,00)

Projeto I II III IV V

3 220,00 150,00 130,00

Formule um modelo que ajude o investidor a determinar os projetos que maximizam o seu capital ao final do ano 3, considerando que: a) o capital inicial disponvel de R$ 220.000,00 e no poder ser tomado emprstimo; b) todo capital disponvel poder ser aplicado na poupana que rende juros de 10 % a.a; c) I e V so projetos mutuamente exclusivos.

Exerccio 26O Eng. Pompermayer est estudando o sistema estrutural abaixo, composto por duas barras rgidas e quatro cabos. Ajude-o a determinar a mxima carga total permitida para ser carregada nos pontos de carga P1, P2, P3 e P4, considerando as resistncias admissveis dos cabos e as dimenses das barras, conforme mostra a figura abaixo. Formule o modelo de PL.

Exerccio 27Na figura abaixo est representado o esquema de dutos que conectam os tanques de uma refinaria (R), e as respectivas capacidades de transferncia entre tanques, em milhares de

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m3/hora. Dado que o gerente de produo da refinaria (R) deseja movimentar o mximo de produto para o terminal (T), por unidade de tempo, formule um modelo de PL para resolver este problema.

Sugesto: Considere que possam existir as seguintes transferncias de produto: RA, RB, AB, AC, BA, BC, BD, CD, CT, DC e DT.

Exerccio 28Um construtor produz barcos por encomenda, e tem os seguintes pedidos para serem entregues no final dos prximos 6 meses:Meses N de Barcos Fev 1 Mar 2 Abr 5 Mai 3 Jun 2 Jul 1

Ele pode contruir at 4 barcos em qualquer ms, e pode guardar at 3 barcos em estoque. O custo de construo dos barcos de $ 10.000,00 por unidade. Caso algum barco seja construdo em um ms, um custo fixo adicional de $ 4.000,00 deve ser considerado. Para manter um barco em estoque durante o perodo de um ms, o construtor gasta $ 1.000,00. Qual deve ser o plano timo de construo, de modo a minimizar o custo total do construtor ? Formule um modelo de programao dinmica para obter a soluo.

Exerccio 29Em uma linha de montagem existem 8 tarefas que podem ser realizadas como indicado abaixo:Tarefa 1 2 3 4 5 6 7 8 Tempo da Tarefa (min) 7 6 8 8 1 6 7 8 Tarefas Predecessoras 1,2 2,3 4,5 5 6,7

Considere que um trabalhador posicionado em cada estao de trabalho e pode realizar um certo nmero de tarefas em sua estao. Considere, ainda, que a cada 15 minutos uma

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unidade do produto deve sair da linha de produo. Formule um modelo de programao matemtica que determine quantas estaes de trabalho devem ser utilizadas, e quais as tarefas que deve ser alocadas a cada estao.

Exerccio 30Uma empresa deseja determinar o plano de investimentos para o prximo ano, e dispe dos seguintes projetos:Possibilidade de Investimento I II III IV V VI Construir um novo depsito Recuperar o depsito antigo Automatizar o depsito novo Comprar a fornecedora do produto A Construir uma fbrica para produzir A Reformar o escritrio da empresa Valor Presente Lquido (US$) 7.000.000,00 4.500.000,00 5.500.000,00 12.000.000,00 9.500.000,00 1.500.000,00 Capital Requerido (US$) 5.000.000,00 3.000.000,00 4.200.000,00 9.300.000,00 7.100.000,00 900.000,00

Entre os projetos acima apresentados, as alternativas I e II so mutuamente excludentes, assim como IV e V. O projeto III, por sua vez, depende da realizao do projeto I. A empresa dispe de US$ 20.000.000,00 para investir nestes projetos. Formule um modelo de programao inteira binria para determinao do portaflio timo de investimento.

Exerccio 31Uma fbrica trabalha com um atendimento varivel em demanda durante as 24 horas do dia. As necessidades distribuem-se segundo a tabela abaixo:Turno de Trabalho 1 2 3 4 5 6 Horrio 08:00 12:00 16:00 20:00 00:00 04:00 s s s s s s 12:00 16:00 20:00 00:00 04:00 08:00 Nmero Mnimo de Operrios 50 60 50 40 30 20

O horrio de trabalho de um operrio de oito horas quando ele entra nos turnos 1, 2, 3, 4, e 6. O operrio que entra no turno 4 recebe uma gratificao de 50% sobre o salrio e o que entra no turno 5 trabalha apenas quatro horas. Elaborar o modelo de programao linear inteira que minimiza o gasto com a mo-de-obra.

Exerccio 32Uma metalrgica deve entregar uma partida de 2.500 placas retangulares de 2 x 4 cm (placas do tipo I) e 1.000 de 4 x 11 cm (placas do tipo II). Existe, em estoque, uma tira metlica com 15 cm de largura e 20 metros de comprimento e outra com 14 centmetros de largura e 30 metros de comprimento. As tiras com 30 metros de comprimento so cerca de 20% mais caras por quilo do que as de 20 metros, devido a problemas de transporte. So possveis as seguintes configuraes de corte ou padres de corte nos equipamentos da empresa:

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa Operacional14 cm

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4 cm

4 cm

4 cm

13 cm 15 cm

Formular o modelo que permita minimizar a perda ao corte.

Exerccio 33Uma empresa area deseja comprar avies a jato grandes, mdios e pequenos. O preo de compra de US$ 33,5 milhes para cada avio grande, US$ 25,0 milhes para cada avio mdio e US$ 17,5 milhes para cada avio pequeno. O conselho diretor autorizou um comprometimento mximo de US$ 750 milhes para esta compra. Qualquer que seja a compra realizada, espera-se que haja mercado para assegurar a utilizao dos avies em sua capacidade mxima. Se estima que os lucros anuais lquidos (descontando o custo de recuperao do capital aplicado), de US$ 2,1 milhes para um avio grande, US$ 1,5 milhes para um avio mdio e US$ 1,15 milhes para um avio pequeno. Supe-se que a empresa poder dispor de pilotos treinados para operar at 30 avies novos. Se forem comprados apenas avies pequenos, as instalaes de manuteno poderiam comportar at 40 avies, porm cada avio mdio equivale a 1 avies pequenos e cada avio grande equivale a 1 avies pequenos, em termos de utilizao das mesmas instalaes de manuteno. Formule um modelo de programao inteira para este problema.

Exerccio 34Uma refinaria processa vrios tipos de petrleo. Cada tipo de petrleo possui uma planilha de custos diferente, expressando condies de transporte e preos na origem. Por outro lado, cada tipo de petrleo representa uma configurao diferente de subprodutos para a gasolina. Na medida em que um certo tipo de petrleo utilizado na produo da gasolina, possvel a programao das condies de octanagem e outros requisitos. Esses requisitos implicam na classificao do tipo da gasolina obtida. Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de quatro tipos diferentes de petrleo e deseje produzir a gasolina amarela, azul e superazul, programar a mistura dos tipos de petrleo atendendo s condies que se seguem nas tabelas abaixo:

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalTipo de Petrleo 1 2 3 4 Quantidade Disponvel (barril/dia) 3.500 2.200 4.200 1.800 Custo Unitrio (R$/barril) 19 24 20 27

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A composio dos produtos deve satisfazer as seguintes condies:Tipo de Gasolina No No No No No No Especificao mais que 30% de 1 menos que 40% de 2 mais que 50% de 3 mais que 30% de 1 menos que 10% de 2 mais que 70% de 1 Preo de Venda (R$/barril) 35,00

Superazul

Azul Amarela

28,00 22,00

Exerccio 35A diretora de pessoal de uma empresa de aviao comercial deve decidir quantas aeromoas devero ser treinadas e contratadas nos prximos seis meses. As necessidades, expressas pelo nmero de aeromoas-horas-de-vo so as seguintes: 8.000 em janeiro; 9.000 em fevereiro; 7.000 em maro; 10.000 em abril; 9.000 em maio; e 11.000 em junho. Leva um ms de treinamento antes que uma aeromoa possa ser posta em um vo regular; assim, uma garota deve ser contratada pelo menos 1 ms antes que ela seja realmente necessria. Cada moa treinada requer requer 100 horas de superviso de uma aeromoa experiente durante o ms de treinamento, de modo que so disponveis 100 horas a menos para o servio de vo por aeromoas regulares. Cada aeromoa experiente pode trabalhar at 150 horas em um ms, e a empresa dispe de 60 aeromoas no comeo de janeiro. A poltica da empresa no demitir ningum. Porm, no fim de cada ms, aproximadamente 10% das aeromoas pedem demisso para se dedicarem a outras atividades e para se casarem. Uma aeromoa experiente custa a empresa R$ 1.500,00 por ms, enquanto que na fase de treinamento o custo de somente R$ 900,00 (j incluindo os encargos legais).

Exerccio 36Formule um modelo de programao linear para determinar a poltica tima de contratao e treinamento da empresa, e utilize um pacote de programao linear para obter a soluo tima. Interprete a soluo encontrada. Uma companhia de transporte resolveu adquirir uma nova frota de caminhes para o que dispe de R$ 4.000.000,00. Existem no mercado trs modelos de caminhes que podem ser adquiridos: A, B e C. O caminho A pode receber at 10 toneladas de carga, tem uma velocidade mdia de 56 km/h e custa R$ 80.000,00; B tem uma capacidade de 20 toneladas e uma velocidade mdia de 48 km/h, seu custo e R$ 130.000.00; C provido de leito para o ajudante de motorista e,

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por isso, embora seja semelhante a B, a sua capacidade de 18 toneladas e seu custo de R$ 150.000.00. O caminho A operado por uma s pessoa e, se for utilizado em trs turnos, pode rodar 18 horas por dia. Os caminhes B e C exigem e pessoas; enquanto B pode rodar 18 horas por dia, no regime de trs turnos, C pode trabalhar 21 horas por dia. A companhia dispe de 150 motoristas; as possibilidades de obter mais so muito reduzidas. Por outro lado, as disponibilidades de manuteno limitam a nova frota a um mximo de 30 veculos. Pede-se que se estabelea um modelo de programao linear destinado a determinar quantos veculos de cada tipo devem ser adquiridos, de modo que a capacidade da frota em ton.km por dia seja mxima. Resolva o problema e interprete a soluo obtida.

Exerccio 37Uma fbrica produz refrigeradores, freezers e fornos de micro-ondas. A demanda mensal mdia destes produtos , respectivamente, de 115.000, 58.000 e 48.000 unidades, e segue um esquema de mdias mveis com perodo 4, isto , a demanda de quatro meses consecutivos constante ao longo do tempo. A demanda registrada nos ltimos trs meses foi a seguinte:Demanda Mensal (unidades) Julho Agosto 125.000 108.000 57.000 52.000 45.000 36.000

Produto Refrigerador Freezer Micro-ondas

Setembro 136.000 73.000 58.000

Para fabricar estes produtos, trs recursos bsicos so necessrios (MDO, matria-prima e energia), cujos consumos unitrios esto apresentados no quadro abaixo:Consumo Unitrio MDO (horas) Material (kg) 1,40 17,00 1,70 21,00 1,10 10,00

Produto Refrigerador Freezer Micro-ondas

Energia (kWh) 25,00 23,00 17,00

A fbrica dispe de 1.900 empregados na linha de produo, cada um dos quais trabalha 200 horas por ms. O custo de armazenamento mensal de uma unidade de cada produto $10, $13 e $8, respectivamente para refrigeradores, freezers e fornos de micro-ondas. A disponibilidade mensal de energia de 5,5 106 kWh. A empresa poder comprar at 3.850 ton/ms de material, que poder ser armazenado a um custo mensal de $ 0,15 / kg. Usando o computador, determine e apresente um plano timo de produo-material-pessoal para os prximos 12 meses, de modo a garantir que todos os empregados entrem em frias (1 ms) durante este perodo. Considere que no incio do ms de outubro no existe estoque de produto acabado e que o estoque de matria-prima de 3.200 ton.

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Exerccio 38Para realizar negociaes comerciais com diversos pases, uma empresa precisa contratar profissionais qualificados e treinados em diversos idiomas (ingls, francs, espanhol, italiano, alemo, russo, chins e japons). Aps um rigoroso processo de seleo, restaram 8 candidatos, cujos dados esto apresentados na tabela abaixo:Candidatos Salrio (R$) Idiomas 1 3.500,00 ingls francs japons 2 4.200,00 chins russo ingls italiano 3 2.900,00 ingls alemo 4 3.800,00 francs ingls russo espanhol 5 3.300,00 espanhol alemo italiano 6 4.000,00 chins japons russo ingls 7 3.400,00 espanhol italiano alemo 8 3.600,00 francs espanhol chins alemo

Formule um modelo que ajude a selecionar os candidatos que satisfaam as necessidade comerciais da empresa, e que proporcionem mesma o menor custo com a folha de pagamento.

Exerccio 39No incio de cada ms, depois de receber o salrio do ms anterior, o Sr. McMoney aplica parte do que ganhou (R$ 1.000,00) em investimentos. Excepcionalmente, no dia 1 de janeiro de 2008 ele poder aplicar uma quantia maior (R$ 3.000,00), que ir obter do resgate de outros investimentos e remuneraes extras de final de ano. Ele dispe de trs alternativas: a) Alternativa 1: aplicao (sempre no incio do ms), com prazo mensal, e rendimento de 1,00 % ao ms, j descontados os impostos; b) Alternativa 2: aplicao (sempre no incio do ms), com prazo bimestral, e rendimento de 2,21 % ao bimestre, j descontados os impostos; c) Alternativa 3: aplicao (sempre no incio do ms), com prazo trimestral, e rendimento de 3,64 % ao trimestre, j descontados os impostos. Se for interessante, o Sr. McMoney poder utilizar um emprstimo bancrio mensal com juros de 1,5 % ao ms. Sabe-se que parte do dinheiro aplicado dever ser utilizado para pagar dvidas contradas pelo Sr. McMoney durante anos anteriores, conforme mostra o quadro abaixo:Data 01/02/2008 01/05/2008 01/09/2008 01/11/2008 Pagamento de Dvidas 2.500,00 3.100,00 1.700,00 1.000,00

Determine o melhor plano de investimento ao longo do ano de 2008, e responda o que se pede: a) apresente o plano.

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b) o emprstimo bancrio interessante ? Por que ? c) quanto o Sr. McMoney ter no final de 2008 ?

Exerccio 40O Sr. Taylor responsvel pelo planejamento operacional de uma empresa de transporte areo. Ajude-o a formular um plano de operao que minimize os custos. Considere os seguintes dados: a) b) c) d) e) f) g) Custo de uma decolagem Custo de um pouso Custo por km de vo Custo por hora parada Tempo de um pouso/decolagem Velocidade de cruzeiro Tempo embarque/desembarque US$ 8.000,00 US$ 4.000,00 US$ 50,00 US$ 8.000,00 15 min 850 km/h 30 min

A empresa deve manter em operao os seguintes vos dirios:Num. 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 Vo 125 127 130 132 135 140 142 148 157 162 170 172 176 180 182 Sada Local POA SAO FLN CWB RIO FOZ SAO POA FOZ RIO SAO FLN CWB RIO FOZ Hora 09:00 09:30 10:00 10:15 12:00 12:30 14:00 16:30 16:30 18:00 17:20 15:10 10:15 13:20 16:00 Local SAO FLN POA FOZ POA SAO FOZ CWB RIO CWB POA SAO FOZ CWB RIO Chegada Hora 12:00 10:40 10:45 10:45 17:30 15:30 17:00 18:00 19:15 19:30 20:30 18:25 12:10 17:20 19:00

Considere, ainda, as seguintes coordenadas dos aeroportos, expressos em km:

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalAeroporto POA FLN CWB FOZ SAO RIO Coordenada X 2.570 2.750 2.700 2.170 2.650 3.120 Coordenada Y 670 930 1.170 1.180 1.370 1.420

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Exerccio 41A Cia. Souza Cruz S.A. processa fumo para produo de cigarros e para exportao. Para tanto dispe de quatro fbricas, cujas capacidades e custos de produo e estocagem esto apresentados no quadro 1.Fbrica Blumenau Rio Negro Cruz Alta Uberaba Processamento de Fumo Estoque Fumo Bruto Estoque Fumo Processado Capacidade Cutos Capacidade Cutos Capacidade Cutos (ton.ms) (R$/ton) (ton.ms) (R$/ton) (ton.ms) (R$/ton) 240.000 10,30 1.500.000 8,10 1.000.000 5,30 180.000 12,40 750.000 7,20 800.000 4,10 160.000 9,70 1.250.000 7,60 1.000.000 4,60 170.000 10,50 1.000.000 5,40 900.000 3,80 Quadro 1 - Fbricas, capacidades de processamento e estocagem e custos

O fumo bruto obtido junto s colnias de produtores de fumo em quatro estados brasileiros, de acordo com o cronograma de colheita apresentado no quadro 2.Produo de Fumo Bruto (1.000 ton) RS SC PR 230 120 210 150 0 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 110 0 140 250 130 180 360 240 260 380 370 280 370 400 380 350 420 350 230 380 Quadro 2 - Cronograma de colheita, por estado

Ms Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

MS 0 0 0 0 100 110 150 250 260 250 200 120

A empresa como um todo, estima que as vendas, tanto para produo de cigarros quanto para exportao, atinja os valores apresentados no quadro 3.

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalMs Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Quadro 3 - Previso Previso de Vendas (ton) 300.000 500.000 700.000 900.000 800.000 800.000 700.000 600.000 600.000 500.000 500.000 400.000 de venda mensal de fumo processado

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Para movimentar o fumo bruto a empresa utiliza diversos modos de transporte, que aps avaliados determinaram os custos por tonelada transportada apresentados no quadro 4.Custo de Transportes ($/ton) Para De Cruz Alta Blumenau Rio Negro Uberaba

RS 7,20 SC 6,80 PR 14,40 MS 23,40 Cruz Alta Blumenau 8,40 Rio Negro 10,00 Uberaba 22,80 Quadro 4 - Custo de transporte de

10,80 12,00 26,00 3,60 4,00 25,20 10,80 9,20 21,60 16,40 14,80 10,80 8,40 10,00 22,80 7,20 18,40 7,20 17,20 18,40 17,20 fumo entre regies produtoras e fbricas

O fumo bruto, em geral, percorre o caminho das regies produtoras para as fbricas, podendo, entretanto ser movimentado entre fbricas, se houver necessidade ou se os custos assim o determinar. As vendas podero ser atendidas a partir de qualquer uma das fbricas, mas se houver necessidade, por razes de capacidade de estocamento e/ou por razes de custo, o fumo processado poder ser movimentado de uma fbrica para outra. O custo do fumo bruto nas regies de produo so cotados por uma tabela nica da empresa, e por questes de incentivo ao plantio, a empresa mantm uma poltica de comprar toda a produo, mesmo que ela no seja utilizada no processamento das fbricas. Assim, as quantidades excedentes de produo, apesar de serem compradas, so destrudas na prpria origem. Em relao a este problema pede-se: a) Formule um modelo de programao linear e resolva-o usando o computador b) Analise o resultado obtido e faa um relatrio para a direo da empresa propondo melhorias com vistas a reduo de custos.

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Exerccio 42Uma construtora est planejando a produo concreto para seis obras distintas, cujas necessiades e possibilidade de abastecimento encontram-se no esquema abaixo.FBRICA DE CIMENTO

Cap. = 250 ton/dia R$ 215,50 /ton

Cap. = 300 m3/dia R$ 52,00 /m3

JAZIDA DE BRITA 03 Cap. = 250 m3/diaR$ 43,50 /m3

JAZIDA DE BRITA 0170 km

350 km

380 km

115 km

USINA CONCRETO 01Cap. = 600 m3/dia R$ 28,00 /m3

30 km

JAZIDA DE BRITA 02Cap. = 400 m3/dia R$ 45,00 /m3

20 km

USINA CONCRETO 02Cap. = 700 m3/dia R$ 35,00 /m3

75 km

65 km

JAZIDA DE AREIA

Cap. = 500 m3/dia R$ 65,00 /m3

OBRA 01130 m3/dia

OBRA 0298 m3/dia

OBRA 03115 m3/dia

OBRA 04230 m3/dia

OBRA 05145 m3/dia

OBRA 0685 m3/dia

Os custos unitrios de transporte da matria prima e do concreto so os seguintes: Cimento: .................................................................. Brita e Areia: ............................................................ Concreto: ................................................................. Considerando que a composio do concreto de: Cimento: .................................................................. Brita: ....................................................................... Areia: ...................................................................... 300 kg 0,705 m3 0,350 m3 R$ 0,45 ton.km R$ 0,75 m3.km R$ 2,86 m3.km

e que as distncias, em km, entre as usinas de concreto e as obra constam do quadro abaixo, determine a forma como devero ser atendidas as necessidades dirias da empresa nos vrios projetos em execuo.

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Pesquisa OperacionalObra 01 Usina 01 Usina 02 12 18 Obra 02 45 23 Obra 03 36 27 Obra 04 28 23 Obra 05 5 10 Obra 06 27 33

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Exerccio 43Uma empresa produtora de cimento dispe de duas unidades de processamento, P1 e P2, com capacidades de produo instalada de 15.000 ton./ms e 10.000 ton./ms, respectivamente. O custo de processamento, em cada uma destas unidades, de CR$ 200,00 por tonelada e CR$ 180,00 por tonelada, respectivamente. O calcreo, a principal matria-prima utilizada na fabricao do cimento, pode ser extrado de duas jazidas, JA1 e JA2, cuja produo mensal de 8.000 toneladas cada uma. Para a produo do cimento a empresa compra a cinza de uma usina siderrgica, e a utiliza numa proporo de 1:2 com o calcreo. Dois grandes mercados consumidores concorrem para o consumo da produo desta empresa, conforme se apresenta abaixo:Consumo Mensal de Cimento (ton) Mercado 01 Mercado 02

8.000 6.000

Alm dos custos de produo j citados, a empresa deve assumir os custos de transporte da matria-prima e do produto final, apresentados abaixo:Custo Unitrio de Transporte (R$/ton.km) Calcreo 0,20 Cinza Siderrgica 0,30 Cimento 0,15

No esquema abaixo, encontra-se a situao de cada um dos locais citados, bem como as distncias entre eles. Formule o problema de planejamento de produo de cimento da empresa em questo.