Curso de Engenharia Eltrica (Turma Especial) Disciplina de Matemtica I Professor Everton J. Goldoni Estevam Objetivo deste trabalho: trabalhar algebricamente dependncia e independncia linear, combinao linear, produto escalar, produto vetorial e produto misto. 11)

LISTA II

Determinar o vetor w na igualdade 1 3w 2u v w , sendo dados u =[3, 1] 2 e v = [2, 4].R:

8) Dados os vetores u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0) e w = (-1, 2, 2), calcular: a) wxv

b) v x (w u) c) (u + v) x (u v) d) (2u) x (3v) e) (u x v)(u x v) f) (u x v) w e e u (v x w) u x (v x w)

2) Dados os vetores u= [3, 1] e v= [1, 2], determinar o vetor w tal que: 1 a) 4(u v) w 2u w 3 b) 3w 2v u 24w 3u R: a) R:

g) (u x v) x w

h) (u + v) (u x w)

3) Encontrar os nmeros k1 e k2 tais que w = k1u + k2v, sendo u = [2, 4], v = [ 5, 1] e w = [12, 6].R: k1=-1 e k2=2

9) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores (2a + b), e (b a), sendo a = (3, -1, -2) e b = (1, 0, -3).R:

4) Dados os pontos A(1, 2), B(3, 1) e C(2, 4), determinar D(x, y) de modo que 1 CD AB . 2R:

10) Determinar o valor de m para que o vetor w=(1,2,m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores v1 = (2,-1,0) e v2 = (1,-3,-1).R:

5) Calcular n para que seja de 30 o ngulo entre os vetores u = [1, n, 2] e v = [0, 1, 0].R:

11) Determinar um vetor unitrio simultaneamente ortogonal aos vetores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (2, -1, 3). Nas mesmas condies, determinar um vetor de mdulo 5.R: e

6) Mostre que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) so vrtices de um tringulo retngulo.R: BA.BC=0

12) Sabendo que | a | = 3, | b | = 2 e 45 o ngulo entre a e b, calcular | a x b |.R:

7) Dados os vetores u = [1,a,-2-1], v = [a,a 1,1] e w = [a,1,1], determinar a de modo que u.v = (u+v).w.R: a=2

13) Se | u x v | = 3 3 , | u | = 3 e 60 o ngulo entre u e v, determinar | v |.R:

14) Calcular a rea do paralelogramo determinado pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, -1, 0).R:

15) Calcular a rea do tringulo de vrtices: a) A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3) b) A(2, 3, -1), B(3, 1, -2) e C(-1, 0, 2)R:

23) Determine se os seguintes conjunto de vetores so L.I. ou L.D. Para os que forem L.D., escreva um vetor como combinao linear dos outros. a) {(1,2), (-1,-3)}, em R b) {(-3,2), (1,10), (4,-5)}, em R c) {(1,-2,1,1), (3,0,2,-2), (0,4,-1,-1), (5,0,3,-1)}, em R4 d) {1-t, 1+t, t}, em P2 e) {3t+1, 3t+1,2t+t+1}, em P3R: ; c)L.D. e (1,-2,1,1)=-

16) Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1, -1, 0) e C(2, 1, -1) so vrtices de um tringulo de rea

2R:

29 . 2

17) Dado o tringulo de vrtices A(0, 1, -1), B(-2, 0, 1) e C(1, -2, 0), calcular a medida da altura relativa ao lado BC.R:

24) Para que valores de , os vetores (1,2,3), (2,-1,4) e (3, ,4) so L.D.?R:

18) Verificar se so coplanares os seguintes vetores: a) u = (3,-1,2), v = (1,2,1) e w = (-2,3,4) b) u = (2,-1,0), v = (3,1,2) e w = (7,-1,2)R:

19) Verificar se so coplanares os pontos: a) A(1, 0, 2), B(-1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(-1, -2, 2) b) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1)R:

20) Sejam os vetores u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1), w1 = 3u 2v, w2 = u + 3v e w3 = i + j 2k. Determinar o volume do paraleleppedo definido por w1, w2 e w3.R:

21) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, -1, -4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores AB, AC e AD.R:

22) Calcular o volume do tetraedro ABCD sendo A(-1, 3, 2), B(0, 1, -1), C(-2, 0, 1) e D(1, -2, 0). Calcule tambm a altura traado do vrtice A.R:

A educao faz com que as pessoas sejam fceis de guiar, mas difceis de arrastar; fceis de governar, mas impossveis de escravizar. (Henry Peter)

BONS ESTUDOS!!!