2a. Lista de Exerccios de Analise Real - MAT 206 e MAP 216

1o. semestre de 2010

1. Prove que, se x e y sao numeros racionais, entao x+y, xy, e x y sao numeros racionaise, se y 6= 0, x

ye racional.

2. Prove que

3,

5 e

3 +

5 sao irracionais.

3. Sejam x e y numeros irracionais, e suponha que x2 y2 e um racional nao nulo. Mostreque x+ y e x y sao ambos irracionais.

4. Sejam A e B subconjuntos de R nao vazios e limitados superiormente. Sendo A + B ={a + b : a A e b B}, mostre que A + B e nao vazio, limitado superiormente e quesup(A+B) = supA+ supB. Sendo C = A = {a : a A} mostre que inf C = supA.

5. Sejam R fixado e A = {x R : x < }. Mostre que supA = .6. Seja a R, a > 0. Considere A = {x R : x 0 e x2 < a}.

(a) Prove que A 6= .(b) Prove que A e um conjunto limitado superiormente.

(c) Considere b = supA. Prove que b2 = a. (sug. veja o ex. 4 da pg. 21 do livro texto).

Conclusao: em R, todo numero positivo admite raiz quadrada.

7. Faca os seguintes exerccios do captulo 2 (pagina 19) do livro texto (Lima, Elon L.,Analise Real, vol 1).

(a) Secao 1, Ex. 4,

(b) Secao 2, Exs. 2,3 e 4.

(c) Secao 3, Exs. 1, 2 (ha um erro no enunciado, descubra!) e 3.

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