INSTITUTOSUPERIORDEECONOMIAEGESTO CURSODEMATEMTICAAPLICADAECONOMIAEGESTO ANLISEMATEMTICA II ELEMENTOSDEANLISEREAL Volume 2 Por : Gregrio Lus I PREFCIO O presente texto destina-se a apoiar a disciplina de Anlise Matemtica II do curso de MatemticaAplicadaEconomiaeGestodoInstitutoSuperiordeEconomiae Gesto. Para alm da abordagem terica dos temas em estudo, o texto inclui ainda, no final de cada captulo, exerccios e respectivas solues. Os exerccios marcados com * so de resoluomaisdifcilpodendoserignoradospelosalunosmdios.Aconselha-se contudo a sua resoluo aos alunos mais interessados. Amaiorpartedosexercciosincludostmsidoutilizadosnosltimos30anosnas aulasprticasdasdisciplinasdeMatemticadosprimeirosanosdoscursos ministradosnoInstitutoSuperiordeEconomiaeGesto,tornando-seimpossvel referenciar a sua provenincia ; para alm destes h ainda exerccios originais e outros que foram retirados ou adaptados da bibliografia indicada no final. Cadacaptulotemumanumeraoindependenteparaospontos,teoremase propriedades. Nas referncias feitas no texto subentende-se que os pontos, teoremas e propriedadespertencemaoprpriocaptulo,salvoquandoexpressamenteseja indicado o contrrio . Esteprefcionopoderiaterminar sem uma referncia aos professores que ao longo dosltimos60anoscontribuiramdecisivamenteparaatradioqueoensinoda matemtica tem nesta escola de economia e gesto. Correndo o risco de injustamente esqueceralguns,citam-seaquiosProfs.MiraFernandes,BentoCaraa,LeitePinto, Vicente Gonalves, Jos Ribeiro de Albuquerque e Bento Murteira. Lisboa, 22 de Maio de 2002 Antnio Gregrio Lus II NDICE CAPTULO I Primitivas 1.Generalidades. Primitivao imediata e quase imediata .12.Primitivao por partes ...43.Primitivao por substituio ..54.Exerccios 7 CAPTULO II Integral de Riemann em R 1.Definio e primeiras propriedades ....122. Nova definio de integral. Equivalncia com a anterior ...173. Condio de integrabilidade 233.1 Introduo ..233.2 Conjuntos com medida nula segundo Lebesgue 233.3 Condio de integrabilidade ..244.Interpretao geomtrica do conceito de integral ...245. Novas propriedades do integral de Riemann ..266.Frmula fundamental do clculo integral ...317.Integral indefinido ...338.Integrao por partes ...369.Integrao por substituio .3910.Segundo teorema da mdia .4411.Integrais imprprios de primeira espcie 4612.Integrais imprprios de segunda espcie 6013.Outros tipos de integrais imprprios ..6614.Funes Beta e Gama .6715.Exerccios 70 CAPTULO III Sucesses e sries de funes 1.Convergncia ponto a ponto e convergncia uniforme ...852.Continuidade da funo limite 873.Aplicao ao caso das sries de funes reais de varivel real ...884.Aplicao s sries de potncias .915.Derivao e primitivao termo a termo .976.Derivao e primitivao termo a termo das sries de potncias ...1027.Aplicao no clculo de soma de sries .1048.Integrao de sries termo a termo .1079.Exerccios 109 CAPTULO IV Desenvolvimentos em srie 1.Srie de Taylor e de Mac-Laurin 116III2.Tcnicas de desenvolvimento em srie ...1192.1 Introduo ..1192.2 Obteno prtica de desenvolvimentos ..1203.Exerccios 123 CAPTULOV Noes topolgicas e sucesses em Rn 1.Distncia e vizinhanas ...1272.Conceitos topolgicos bsicos 1313.Conjuntos limitados 1384.Pontos imprprios em Rn 1405.Sucesses em Rn .1415.1 Generalidades .1415.2 Conceito de limite. Teoremas fundamentais ..1415.3 Sublimites. Teoremas fundamentais ..1466. Exerccios 151 CAPTULOVI Limites e continuidade de funes em Rn 1.Generalidades .. 1541.1 Funes reais de varivel vectorial n dimensional ..1541.2 Funes vectoriais m dimensionais de varivel real ...1561.3 Funes vectoriais m dimensionais de varivel vectorialn di-mensional 1582.Definio de limite de uma funo num ponto ..1583.Condio necessriaesuficienteparaexistnciadelimite pertencen-te a Rm .1594.Sublimites 1605.Regras de clculo de limites 1625.1 Caso das funes deA Rn em R 1625.2 Caso das funes de A Rn em Rm ..1716.Continuidade pontual ..1727. Descontinuidades 1738.Continuidade num conjunto. Propriedades especiais das funes cont-nuas .1748.1 Definio de funo contnua num conjunto .1748.2 Generalizao do teorema de Cauchy 1748.2.1 Conexo por arcos . 1748.2.2 Teorema de Cauchy ..1788.3 Funes contnuas num conjunto limitado e fechado 1799.Continuidade da funo inversa ..18010.Continuidade uniforme. Teoremade Heine Cantor 18011.Noo de contraco. Teorema do ponto fixo 18312.Exerccios 185 CAPTULOVII Derivao e diferenciao em Rn 1.Derivadas parciais de funes reais de n variveis reais 1912.Derivadas segundo vectores para funes reais de n variveis reais ..1933.Diferenciabilidade de funes reais de n variveis reais 195IV4.Condio suficiente de diferenciabilidade ..1985.Derivao parcial e diferenciao de funes deA Rn em Rm ..2016.Diferenciabilidade de uma funo composta ..2047.Funes homogneas ..2108.Teorema dos acrscimos finitos ..2149.Igualdade das derivadas mistas ...21610.Exerccios 225 CAPTULOVIII Diferenciais de ordem superior. Frmula de Taylor e aplicaes 1.Diferenciais de ordem superior ...2372.Frmula de Taylor ...2393.Aplicao determinao de extremantes interiores ..2414.Estudo da convexidade e concavidade 2535.Exerccios 257 CAPTULO IX Funes definidas implicitamente. Invertibilidade 1.Introduo ...2612.Derivadas de funes definidas implicitamente .2633. Teoremas de existncia ...2673.1 Caso de uma s equao 2673.2 Caso de um sistema de equaes ...2784.Invertibilidade local 2985.Exerccios 307 CAPTULO X Extremantes condicionados em Rn 1. Introduo ...3132.Primeira condio necessria de extremante ..3143.Pontos de estacionaridade singulares e no singulares ...3194.Segunda condio necessria de extremante ..3225.Condies suficientes de extremante ..3286. Condies suficientes. Tcnica do determinante orlado .3346.1 Generalidades sobre formas quadrticas reais ...334 6.2 Classificao das formas quadrticas no conjunto das solues deum sistema homogneo indeterminado ..............................................3377.Determinao de extremantes condicionados: exemplos 3538.Exerccios 361 CAPTULO XI Dependncia e independncia funcionais 1.Conceitos bsicos 3642.Teoremas fundamentais sobre dependncia e independncia funcionais ...3653.Derivao de um determinante funcional ...3754.Estudo especial da dependncia linear para as funes reais de varivel real ... 3775.Exerccios 382 BIBLIOGRAFIA .384VVI 1CAPITULOI PRIMITIVAS 1. Generalidades. Primitivao imediata e quase imediata Sendof (x) umafunorealdevarivelrealdefinida no intervalo no degenerado I , chama-se primitiva def (x) emIa qualquer funo F (x) tal queF (x) = f (x) para to-dos osx I ; nas extremidades do intervaloa = Inf I eb = Sup I , caso lhe pertenam, a definio exige queFd (a)=f (a)e que Fe (b)= f (b) ,respectivamente. Vejamos alguns exemplos: 1) F (x) = x2 uma primitiva def (x) = 2 xno intervalo ] - , + [; 2) F (x) = log x uma primitiva def (x) = 1/xno intervalo ] 0 , + [; 3) F (x) = log | x | uma primitiva def (x) = 1/xno intervalo ] - , 0 [ ; 4) F (x) = exeG(x) = ex + 2so duas primitivas def (x) = exem ] - , + [ . Note-sequesendoF0 (x)umaparticularprimitivadef(x)emI,entoqualquer funoF(x)=F0 (x)+k,comkconstante,igualmenteprimitivadef(x)nointervalo I :seaderivada de F0 (x) f (x) emI , ento tambm a derivada de F (x) = F0 (x) + kf (x) em I , porque a derivada de uma constante zero. Inversamente , fcilprovar ,utilizandoumcorolriodoteoremadeLagrange , que sendoF0 (x)eF (x)duasprimitivasdeumamesmafuno f (x) emI , entoF (x) - F0 (x) = k (constante) , ou seja, F (x) = F0 (x) + k . Em particular, qualquer primiti-va da funo nula num intervalo constante no intervalo em causa, porqueF0 (x) = 0 uma primitiva da funo nula. As consideraes precedentes mostram que dada uma funof (x) definida num interva-loI,desdequeseconheaumasuaparticularprimitivanesseintervalo,ficaper-feitamente conhecida a famlia de todas as primitivas da funo :designandoporF0 (x)umaparticularprimitivadef (x)emI , a expresso geral das primitivas def (x) emI dada porF (x) = F0 (x) + k . Uma particular primitiva def (x) que usada em diversas aplicaes a primitiva que se anula em certo ponto do intervalo I : sendo F0 (x)umaparticularprimitivadef (x)emI ,daexpressogeraldasprimitivasdef (x)emI,F (x) = F0 (x) + k ,resulta comk = - F0 (a)a primitiva, 2 F1(x) = F0 (x) - F0 (a) , que se anula quandox = a . Vejamos alguns exemplos: 1)Sendof(x)=cosx,umasuaparticularprimitivanointervalo]-,+[a funo F0 (x) = sen x . A famlia geral das primitivas F (x) = sen x + k . Fixando, porexemploa = /2 ,aprimitivaquese anula emx = /2 a funo F1 (x) = sen x- 1 . 2) Sendof (x) =22x ex, umasuaparticular primitiva em ] - , + [afunoF0 (x) =ex2. A famlia geral das primitivas F (x) =ex2+ k .Fixando ,porexemploa = 0 , aprimitiva que se anula emx = 0 a funo F1 (x) =ex2- 1 . No que se segue, devero ser tidas em conta as seguintes convenes: a) Usa-se geralmente o smboloP f (x) para designar a famlia das primitivas def (x) . Por exemploP ex =ex + k . b) Normalmentesuprime-searefernciaconstante k ,escrevendo-se por exemploP ex =ex ,devendo ento subentender-se que a funo indicada no segundo membro uma das primitivas def (x) . c) Quando no se faz referncia explcita ao intervalo em que se est a primitivarf (x), deve subentender-se que se trata do intervalo ou dos intervalos ondef (x) est definida. Por exemplo, quando se pede para calcular P 1/x , sem se explicitar qual o intervalo de primitivao ,pressupe-sequesepretendeo clculo em] - , 0 [etambmem ] 0 , + [:P 1/x= log | x | . O teorema seguinte fundamenta regras de primitivao do produto de uma constante por uma funo e de uma soma de funes: Teorema 1 : a) Sendo F (x) uma primitiva def (x) em I ,entok . F (x) uma primiti-va dek . f (x)no mesmo intervalo ; b) Sendo F1(x),...,Fm(x) , primitivas de , respectivamente ,f1(x) ,...,fm(x)nointervalo I ,entoF1(x) +... + Fm(x)uma primitiva def1(x) +... + fm(x)no mesmo intervalo. Simbolicamente: a) P k . f (x) = k . P f (x) ; b) P [ f1(x) + f2(x) +... + fm(x)] = P f1(x) + P f2(x) +... + P fm(x) Demonstrao : A afirmao daalneaa)resulta de[ k . F (x)]=k . F (x) =k . f (x) , sendo a segunda igualdade justificada por serF (x) uma primitiva def (x) . Quanto afirmao da alnea b) ela resulta de ser, [ F1(x) + F2(x) +... + Fm(x)] = F1 (x) + F2 (x) +... + Fm (x) = 3 =f1(x) + f2(x) +... + fm(x) , porque por hiptese Fi (x) uma primitiva de fi (x)(i = 1 , 2 , ... , m ) . Com o conhecimento das regras de derivao e das regras do teorema precedente, podem obter-se primitivas de um grande nmero de funes correntes nas aplicaes. Vejamos alguns exemplos (na apresentao dos resultados omitiremos sempre a constantek, isto ,indicaremossempreumaprimitivaparticularemvezdaexpressogeraldas primitivas) : 1) P c = c x( c constante) ; 2) P x = P (1/2) . 2 x = (1/2) . P 2 x = x2/2 ; 3) P (2x2 + 3 x + 4 )= P 2x2+P 3 x+ P 4=233243 2x xx + +; 4) P (x + 1) =( ) x +++111 ,se - 1 ,P (x + 1)-1=P 11 + x=log | x + 1|; 5) P e2x +1 = P (1/2) . 2 e2x+1= (1/2). P 2 e2x+1= (1/2) . e2x+1 ; 6) P (sen x + cos x) = - cos x+ sen x; 7) P 112+ x=arc tg x; 8) P 212xx +=log (1 + x2); 9) P 214xx += arc tg (x2) ; 10) P 21 42 x=arc sen (2 x) ; 11) P 11 x x .( ) +=P 1x-P 11 x + =log | x | - log | x + 1| . 4 2. Primitivao por partes SejamH(x)eK(x)funesderivveisnointervalo Ierepresentem-se por H (x) e K(x)asrespectivasderivadas.NacondiodeH(x).K(x)serprimitivvelno intervalo I , pode obter-se uma primitiva de H (x) . K(x) , usando a frmula: P H (x) . K(x)=H(x) . K(x)-P H(x) . K (x) , podendo tomar-se no segundo membro qualquer das primitivas da funo H(x) . K (x).Comefeito, derivando o segundo membro da igualdade, obtm--se : [ H(x) . K(x)-P H(x) . K (x) ]=H (x) . K(x) +H(x) . K (x)- H(x) . K (x) = =H (x) . K(x), o que, por definio de primitiva, justifica a frmula em causa. nestafrmulaquesebaseiaochamadomtododeprimitivaoporpartesque passamos a exemplificar : 1) P x . log x=xl o g x Pxx2 22 21 =xl o g x Px22 2 = = xl o g xx2 22 4 . 2) P x . ex=ex . x-P ex . 1=ex . x-ex. NOTA: Neste exemplo tomou-seH (x) = exeK(x) = x . Caso se tivesse optado por tomarH (x) = xeK(x) = ex , a frmula permitiria obter, P x . ex= 22xex - P 22xex , eaprimitivaqueaparecenosegundomembronoimediata.Isto,embora teoricamente qualquer dos factores possa ser tomado como sendo H (x) , na prtica uma das duas possibilidades pode ser prefervel outra. 3) P cos2 x=P (cos x . cos x)= sen x . cos x-P (- sen x . sen x)= = sen x . cos x+ P sen2 x = sen x . cos x+ P (1 - cos2 x) = = sen x . cos x+x - P cos2 x, econsiderandotersidotomadonosegundomembroamesmaprimitivade cos2 xque no primeiro membro,resulta, 52 . P cos2 x=sen x . cos x+x P cos2 x= sen x co s x x . +2. 4) P log2 x=x . log2 x-P x . 2 . log x . (1/x) =x . log2 x-P 2 log x = =x . log2 x-[ 2 x . log x-P 2 x . (1/x)]= =x . log2 x- 2 x . log x + P 2 = =x . log2 x- 2 x . log x + 2 x. 3. Primitivao por substituio Combasenaregradederivaodeumafunocomposta,podeobter-seomtodode primitivao por substituio. Admita-sequef(x)primitivvelnointervaloIesejax=g(t)umabijecodo intervaloJno intervalo I . Construa-se a funoh (t) = f [g(t)] . g (t) , o que pressupe a existncia deg (t) emJ . Nestas condies,vejamos em primeirolugar queh (t) primitivvel no intervalo J : sendo F(x) uma primitiva de f (x) no intervalo I (que existe por hiptese) , faa-se a composio F [g(t)]e calcule-se a respectiva derivada, {F [g(t)]}= f [g(t)] . g (t)=h(t) , t J, resultadoquemostraserF[g(t)]umaprimitivadeh(t)emJ.Vejamosemsegundo lugarque,sendoH(t)umaqualquerprimitivadeh(t)emJ-jvimosqueh(t)primitivvel-,afunoqueseobtmfazendoacomposioH[g-1(x)]uma primitiva def (x) : basta notar que de, {F [g(t)]}=h(t)= H (t), resulta F [g(t)]-H(t) = k (constante) emJ; e fazendo a composio de F [g(t)]-H(t)comt = g-1(x) , resulta, F(x) H [g-1(x)] =k(constante) emI , edestaigualdaderesultaqueH[g-1(x)]umaprimitivadef(x)emI,porserF(x) supostamente uma primitiva def (x) no mesmo intervalo . Exemplos de aplicao : 1)ParaacharP 11 exnointervalo]0,+[,considere-sex=logtcomtno intervalo ] 1 , + [. Tem-se, 6h(t) = 111t t = 111t t H(t) = P h(t) = log (t - 1) - log t= log tt 1 , donde, fazendot = ex , resulta, P11 ex=H(ex )=log eexx 1 ,em] 0 , + [. Para achar a primitiva da mesma funo, mas agora no intervalo ] - , 0 [ , pode usar-se a mesma substituio mas agora comtno intervalo ] 0 , 1[.Tem-se, h(t) = 111t t = 111t t H(t) = P h(t) = log | t 1| log t= log tt 1 , donde, fazendot = ex ,resulta, P11 ex=H(ex)= log xxee 1 ,em] - , 0 [ . Os dois resultados obtidos podem resumir-senum s vlido para os dois intervalos : P11 ex= log xxee | 1 | 2) Para acharPa x2 2em [ - a , a]( a > 0) , pode fazer-sex = a sen t , comtno intervalo [ - /2 , /2]: h(t) =a a sen t a co s t2 2 2 . .=a2 cos2 t, H(t) = Pa2 cos2 t=a2 . sen t co s t t . +2 (primitivando por partes) , Pa x2 2=H [ arc sen (x/a)]=x a x a a r c sen x a . . ( / )2 2 22 2+, obtendo-se este ltimo resultado aps alguns clculos trigonomtricos elementares. 74 . Exerccios 1 - Determine uma primitiva para cada uma das seguintes funes: a) x2 + x + 1 ;b) ex + 3;c) 2 x -1;d) 11 25 x;e) xx 12+;f) 2 112xx++; g) eexx1 ;h) ( )xx 12+;i) ( )11 + x ;j) cos x . sen x;k)e xx54. ; l) 6 4123 2x xx x++ +;m) ba x2 2+(a , b 0);n) 12 2a x ;o) xa x2 4+; p) sec x;q) l o g xx;r) sen x sen xco s x+ ( )( / )22;s) 2 1122x l o g xx. ( ) ++; t) tg x;u) cotg x;v) 1x l o g x .;x) (a + b x)n(b 0);y) 2x . 42 x; z) 122x x ;aa) co s xco s x 22. 2 - Calcule: a) A primitiva que se anula parax = 1 , da funof (x) = xx x++1 22/; b) A primitiva que toma o valor 1 para x = 0 , da funof (x) = 14 92+ x ;c) A funo g (x) que admite duas primitivasG(x) eH(x) tais que, G(x) - H(x) = 2 e G(x) + H(x) = sen x co s xsen x co s x( ) . ( ) 2 22 2; d) As funes f (x) e g(x) tais que uma das primitivas da sua soma e uma das primitivas da sua diferena sejam, respectivamente, ex . sen xex . sen x ; e) A funo g(x) com domnio em R - {1} , tal que,g (x) = 1/(x-1) , g(0) = 0 eg(2) = 3. 83 - Primitive, por decomposio numa soma de funes, as seguintes funes: a) cos2 x;b) tg3 x;c) 13sen x co s x .;d) x xx2511+ + ( );e) 2 34 12xx++ ( ); f) x xx232 21+ ++;g) xx++ 13 12( );h) 3 12 1xx x x++ ( ) ( ); i) sen x sen x co s xco s x( ) 22+ +;j) x xx211+ +;k) tg3 x+tg4 x. 4 - Primitive por partes as seguintes funes: a) log x;b) sen2 x;c) arc cos x;d) arc tg x;e) cos x . log (1 + cos x) ; f) x2 . log x;g) x . sen x;h) sen3 x . cos4 x;i) x . log | x |;j) x2 . ex; k) x e l o g x exx x. . +;l) 2x . arc tg (x - 1);m) ex . (tg x + tg2 x) . 5 - Sendo F(x) = P f (x) , mostre que, P f (x) . [ log F 2 (x) + 2]= F(x) . log F 2 (x) . 6 - Deduza frmulas de recorrncia para o clculo de : a) P 12( ) x a +( a 0e 1);b) P sen x;c) P logm x;d) P tgm x; e) P xm . logn x. 7 -Como aplicao das frmulas do exerccio anterior , primitive as seguintes funes: a) 112 2( ) x +;b) sen4 x;c) log2 x;d) log -1 x log -2 x;e) tg2 x; f) tg -3 x;g) x2. log2 x . 98* - Represente-se por Fm (x) uma primitiva dexm. e-x (m N) no intervalo [ 0 , + [ . Prove por induo finita que, [ ]l i m F x Fmm m+ ( ) ( ) 0= m !. 9 - Fazendo as substituies indicadas, calcule primitivas para as seguintes funes: a)12 x (x = sen t);b) xx2211+ (x = sen t); c)ex 1 [ x = log (1 + t2)];d) [ ]222 3) 1 ( 412 2 + +xx x x[ x = 1 + 2 te usandodepois a frmula de recorrncia do exerccio 6 a)] ; e) xx 1 +(x = t2);f) 11 124/ xxxxx++ ( xx+ 1 = t4 ); g) e ee ex xx x//22 +(ex = t2);h)x x . 1 + (1 +x = t2 ); i) sen xco s x221++( x = 2 arc tg t);j) 1 + l o g xx(t2 = 1 + log x); k) e arc sen x( t = arc sen x) ;l) xx221 (x = sen t );m) e eex xx2 321 + (t = ex ) . RESPOSTAS : 1 - a) x xx3 23 2+ + ;b) ex+3;c) 221 xl o g;d) 581 24 5( )/x ;e) log12+ x; f) log (1 + x2)+arc tg x;g) -2 .1 ex ;h) Se 1 ,12 1112 1. ( )( )+x ; Se = 1 ,log12+ x; i) Se 1 ,11111+( ) x ; Se = 1 ,log (1 + x) ;j) s e n x22;k) ex55; 10 l) 2 . log | x3 + x2+ 1|;m) (b/a) . arc tg (x/a);n) arc sen (x / | a|); o) Sea 0 , (1/2a) . arc tg (x2/ a);Sea = 0 ,-1/2x2 ;p) log | tg x+sec x |; q) (1/2) . log2x;r) 433 2 c o s x ( / ) ;s) (1/2) . log2 (1+x2);t) - log | cos x |; u) log | sen x |;v) log | log x |;x) 111( )( )n ba b xn+ ++;y) 25 25xl o g .; z) arc sen (x - 1);aa)arc tg (sen x). 2 - a) (1/2) .l o gx x22+ ;b) 1 + (1/6) . arc tg (3x /2);c) g(x) = - cos (2 x); d)f (x) = ( ) . ( ) . e s e n x e x c o s xx x+ + + 12

g (x) = ( ) . ( ) . e s e n x e x c o s xx x + 12;e) g(x) =l o g x xl o g x x( ) ,( ) ,1 13 1 1 . 3 - a) x s e n x c o s x + .2;b) (1/2) . tg2x+log | cos x |; c) (1/2) . tg2 x-log | cotg x |;d)12 11134 12 3 4( ) ( ) ( ) x x x; e) log [ 4+ (x - 1)2 ] +(10/4) . arc tg [ (x - 1)/2] ; f) (3/8).(x + 1)8 / 3 +(3/2) . (x + 1)2 / 3 ; g) [ ]l o g xa r c t gx( ) ++ 1 3223132; h) 43156212 + l o g x l o g x l o g x | | | | | | ;i) sen x-2 cos x-log | cos x | ; j) ( ) 2 6 22512x xx+ + ;

k) (1/3) . tg3x+ (1/2) . tg2 x-tg x+x +log | cos x |. 4 -a) x . (log x- 1);b) x c o s x s e n x .2;c) x . arc cos x- 12 x; d) x . arc tg x-(1/2) . log (1 + x2);e) sen x . log (1 + cos x)+x- sen x; f) x l o g x31 33. ( / ) ;g) sen x-x . cos x;h) (1/7) . cos7x-(1/5) . cos5x; i) (x2/2) . ( log | x |-1/2);j)ex . ( x2 -2 x+2);k) ex . log x;

l) x2 . arc tg (x - 1)-x-log ( x2 -2 x+2);m) ex . (tg x-1). 6 -a) P 12( ) x a +=xa x aaPx a 2 12 32 212 1 2 1. ( ) .( ). ( )( ) +++ ; 11 b) P senx= 1 12 1P s en x s e n x c o s x . ( 0) ; c) P logm x=x . logmx-m . P logm -1x; d) P tgm x=111 2mtg x P tg xm m (m 1); e) P xm. lognx=xml o g xnmP x l o g xmn m n++ +111 1.(m -1). 7 -a) xxa r c t g x2 11 22. ( )( / ) .++;b) (3/8).(x - sen x . cos x)-(1/4) . sen3 x . cos x; c) x . log2x-2 x .(log x-1);d) x . log - 1x;e)tg x-x; f) (-1/2) . tg-2x - log | sen x |;g) (2/27) . x3 + (1/3) . x3 . log2x-(2/9) . x3. log x. 9 - a) a r c s e n x x x + . 122;b) (3/2) . arc sen x - x x . 122; c)2 1 2 1 . . e a r c s e n ex x ; d) (1/2) . log [(x-1)2 +4]+(5/8) . arc tg x 12- [ ]15 114 1 42xx + . ( ); e) x-2. x +2 . log |x +1|; f) [ ] + + + + + 4 1 2 1 1 1 1 1 1 14 4. ( / ) . / / / x x l o g x; g) x-4 . log| ex/2 - 1 |; h) (4/7) . (1 +x )7/2 - (8/5) . (1 +x )5/2 +(4/3) . (1 +x )3/2 ; i) 2 . tg (x/2)+x-sen x;j) (2/3) . (1+log x) . 1 + l o g x ; k) x x + 122 .ea r cs e nx ;l) a r c s e n x x x . 122; m)- e2 x -3 ex - 3 . log | 1- ex |. 12 12CAPTULOII INTEGRALDERIEMANNEMR 1. Definio e primeiras propriedades Considere-seafunof(x)limitadanointervaloI=[a,b](af x dxab( ) + >S(D2 ) , o que seria contra a desigualdades(D1 ) S(D2 ) antes estabelecida. S pode ser portantof x dxab( ) f x dxab( ) , como se queria provar. 19 Quandoosintegraissuperioreinferiordef(x)nointervalo[a,b]sejamiguais,a funodiz-seintegrvelnosentidodeDarboux,sendoentoovalorcomumointegral dafunosegundoDarbouxnointervaloemcausa.Vamosseguidamenteestabelecera equivalnciadasduasdefiniesdeintegral,segundoRiemannesegundoDarboux, comeando por provar o, Teorema 2 : Representando pordo dimetro da decomposio D , tem-se, f x dxab( )= l i md 0 s(D)ef x dxab( )= l i md 0 S(D) Demonstrao : a) Considere-seprimeiroocasodointegralsuperior e admita-se quef (x) 0no intervalo de integrao. Seja o valor do integral superior e considere-se um qualquer>0.ComoonfimodassomassuperioresdeDarboux,existeuma decomposioD0 dointervalodeintegraoparaaqual,S(D0 ) 0 , pois comL = 0ef (x) 0tem-se a funo identicamente nula no intervalo de integrao e ento a tese do teorema trivial porque todas as somas de Darboux so nulas. SejaagoraDumaqualquerdecomposiodointervalodeintegraocomdimetrodinferiora= /2qLena expresso que define S(D) separem-se as parcelas em dois grupos:1)ogrupodasparcelascorrespondentesaossubintervalosdadecomposiodo intervalo de integrao por D que estejam contidos em subintervalos da decomposio do mesmo intervalo por D0 , designando-seporS1asomadessasparcelas (serS1 = 0senenhumadasparcelasestivernascondiesexigidas);2)ogrupodasparcelas correspondentesaossubintervalosdadecomposiodointervalodeintegraoporDquetenhamnoseuinteriorumoumaispontosdeD0,designando-seporS2asomadessasparcelas (serS2 = 0se nenhuma das parcelas estiver nas condies exigidas) .Claro queS(D) =S1 + S2 . Por serf (x) 0resultaS1S(D0 ) e, por outro lado,S2L q d , porque cada parcela deS2 majorada porL deh no mximoq dessas parcelas. Ento, S(D) = S1 + S2 S(D0 ) + L q d S(D0 ) + L q ( /2L q) < + /2+ /2 = = + , ou seja , | S(D) - | < , desdequeodimetrod=d(D)sejainferioraonmero= ( ) = /2qL . Tal significa que, f x dxab( )== l i md 0 S(D) , 20 como se queria provar. b)Continuandoaconsiderarocasodointegralsuperior,elimine-seagoraahiptesede serf(x)0nointervalodeintegrao.Comoafunof(x)limitadanointervalo, existe uma constantektal queg(x) = f(x) + k 0 . Ento, pelo demonstrado em a), g x dxab( )= l i md 0 Sg(D) . Dada a relao existente entref (x) eg(x) , obtm-se sem dificuldade, Sg(D)=( ) . x x Li i igin+= 101 =( ) . ( ) x x L ki i ifin+= + 101 =Sf (D) + k . ( b - a) , donde resulta logo, g x dxab( )= f x dxab( ) +k . ( b - a) = l i md 0 Sg(D) . Dado > 0 , existe ento um= ( ) tal que, d = d(D) < | Sg(D) -f x dxab( ) -k . ( b - a) | < | Sf (D) + k . ( b - a) -f x dxab( ) -k . ( b - a) | < | Sf (D) -f x dxab( ) | < , assim se concluindo, neste caso geral quanto af (x), que, f x dxab( )= l i md 0 Sf (D) . c) Podemos agora provar com facilidade o teorema para o caso do integral inferior. No-tando que, Inf { f (x): xi x xi+1 }=- Sup {-f (x): xi x xi+1} , tira-sesf (D) = - S-f (D) para qualquer decomposio D ; esta igualdade permite obter, f x dxab( ) =Sup { sf (D)}=- inf { S-f (D)} = - [ ]f x dxab( ). 21Ora, como se demonstrou em a) e b), [ ]f x dxab( )= l i md 0 S-f (D) , donde resulta imediatamente, f x dxab( )=- [ ]f x dxab( ) =-l i md 0 S-f (D)= l i md 0 sf (D) , como se queria demonstrar. Pode agora provar-se o teorema que d a equivalncia das definies de integral segundo Riemann e segundo Darboux. Teorema 3 : A condio necessria e suficiente para que f (x) seja integrvel Riemann no intervalo [a , b] que seja integrvel segundo Darboux no mesmo intervalo. Em caso de integrabilidade, os dois integrais (segundo Riemann e segundo Darboux) so iguais Demonstrao:a)Acondionecessria.Admita-sequef(x)integrvelsegundo Riemann no intervalo [a , b] e designe-se poro integral. Dadas as definies de s(D), (D)eS(D),tem-se,s(D)(D)S(D).ParacadadecomposioD,s(D)o nfimo das somas sigma (D) que podem calcular-se para essa decomposio mediante as infinitas escolhas dos pontos intermdiosyi [xi , xi+1]; de facto, s(D) claramente um minorante do conjunto dessassomas (D) e como f (yi) pode fazer-se - por escolha conveniente de yi - arbitrariamente prximo deli= Inf { f (x): xi x xi+1 },tambm (D) pode fazer-se arbitrariamente prximo des(D) . Do mesmo modo, para cada decomposio D ,S(D) o supremo das somas sigma (D) que podem calcular-se para essa decomposio mediante as infinitas escolhas dos pontos intermdiosyi [ xi , xi+1]. Dado > 0 , existe = ( ) tal que , d = d(D) 1, isto,k 1 tal que + < 0(basta tomar tal que1 < < - ) ; portanto, nos termos da alnea a) doenunciadodocorolrioacimareferido,podeconcluir-sequeointegralemestudo absolutamente convergente quando seja < -1 . 59Quantoaoquesucedequandoseja-1,oreferidocorolrionadanospermite adiantar, como o leitor facilmente constatar. Mas o teorema 10 permite com facilidade concluir que o integral em causa no absolutamente convergente. Com efeito, | x . sen x |= | x + 1 | .sen xx sen xx, porque,x 1 + 1 0 | x + 1 | 1. Como o integral|( ) / | sen x x dx1+ diverge (ver exemplo apresentado nas consideraes que precedem os conceitos de convergncia absolutaesimples),oteorema10permiteconcluirquetambmdivergeointegral| . | x sen x dx1+,ouseja,para-1ointegralx sen x dx.1+no absolutamente convergente. Teremos ento que estudaraeventual convergncia simples do integral para o caso em que seja -1 . Para -1 < 0 , o critrio de Dirichletpermite concluir que h convergncia simples: com0 < - 1 a funo (x) = x = 1/x - limitada e decrescente no intervalo [1 , + [sendo, alm disso, l i mx +(x) = 0 ; por outro lado, (h) =sen x dxh1 = - cos h + cos 1 , uma funo limitada de h no intervalo [1 , + [ ; ento, segundo o critrio de Dirichlet, x sen x dx.1+ convergente (simplesmente). Para = 0o integral reduz-se asen x dx1+ que facilmente se v ser divergente. Para>0oestudodointegralpodefazer-serecorrendocondiodeCauchy.A funo, (h) =x sen x dxh.1 ( > 0) , ter limite finito quando h tender para mais infinito se e s se, qualquer que seja > 0 , existir = ( ) > 0tal que, h>h> 1/> 1 | (h ) - (h ) |= |x sen x dxhh.''' |< . Ora, pelo teorema da mdia, 60|x sen x dxhh.''' |= |(h- h ).x sen x* *.|, e considerando por exemploh = 2n+ /4eh= 2n+ /2, para n = 1 , 2 , 3 , ... ,tem-se, com certo x* | 2 n+ /4, 2 n+ /2|, |x sen x dxhh.''' |= ( /4).x sen x* *. ( /4). ( /4) .2 2 /, desigualdade que mostra noserverificadaacondiodeCauchyparavalores ( /4). ( /4) .2 2 /: porque, para qualquer destes valores de , por menor que seja> 0 , h sempre valores, h= 2n+ /2 > h = 2n+ /4>1/ > 1 , paraosquais|x sen x dxhh.'''|,bastandoparataltomarnsuficientemente grande. 12. Integrais imprprios de segunda espcie Estuda-se agora o caso em que a funo integrandaf (x) no limitada no intervalo de integrao|a,b|(agorasupostolimitado),emborasejalimitadaeintegrvelemqual-quer |h , k|, com a < h k < b . Nesta hiptese podem considerar-se trs situaes que se ilustram graficamente nas figuras seguintes: 1 Caso2 Caso3 Caso f (x)f (x)f (x) a b aba b Funo apenas no Funo apenas noFuno apenas no limitada junto de blimitada junto de a limitada junto de a e de b Embora tratando-se de situaes distintas das que foram estudadas no ponto 11., a teoria desenvolve-se quase em paralelo, havendo apenas que fazer algumas adaptaes. Assim define-se: 1Caso:f x dxab( )=l i mh b 0f x dxah( ),seforfinitoolimite;setallimitefor infinito ou no existir, o integral diz-se divergente . 61 2Caso:f x dxab( )=l i mk a + 0f x dxkb( ),seforfinitoolimite;setallimitefor infinito ou no existir, o integral diz-se divergente . 3Caso:f x dxab( )=f x dxac( )+f x dxcb( ),comcarbitrariamenteescolhido no intervalo |a , b| ,seexistiremambososintegrais do segundo membro; se um deles ou ambos forem divergentes, o integral do primeiro membro no existe ou divergente. Talcomoparaosintegraisimprpriosdeprimeiraespcie,tambmagoraopontoc consideradonadefiniodo3casopode,semqualquerambiguidade,serescolhidode forma arbitrria no interior do intervalo de integrao. Poroutrolado,tambmagorao2casosepodereduziraoprimeiropormudanade varivel: f x dxab( ) =l i mk a + 0f x dxkb( ) = l i mk a + 0f x dxbk( ) = l i mh a 0f x dxbh( ) = =f x dxba( ) . Aobservaoprecedentepermitelimitaronossoestudoao1caso,ou seja, trataremos explicitamente apenas o caso do integralf x dxab( ) com a funo integranda ilimitada apenas junto de b . Um primeiro resultado o seguinte : Teorema 16 : Sendo g(x) f (x) 0em |a , b|tem-se: a) A convergncia deg x dxab( ) implica a convergncia def x dxab( ) ; b) A divergncia def x dxab( ) implica a divergncia deg x dxab( ) Demonstrao : Tal qual a do teorema 10, substituindo apenas+porb. Doteoremaprecedenteobtm-seosseguintescorolrios,cujasdemonstraessotal qual as dos correspondentes corolrios do teorema 10 : Corolrio 1 : Sendo g(x) f (x) 0 em |c , b|tem-se: a) A convergncia deg x dxab( ) implica a convergncia def x dxab( ) ; b) A divergncia def x dxab( ) implica a divergncia deg x dxab( ) Corolrio 2 : A convergncia de| ( ) | f x dxab implica a convergncia def x dxab( ) Tambm agora, como complemento ao corolrio 2 deve observar-se que da divergncia dointegral| ( ) | f x dxabnodecorreobrigatoriamenteadivergnciadef x dxab( ); 62poroutraspalavras,ointegralf x dxab( )podeserconvergentesemqueoseja | ( ) | f x dxab . Estaobservaopermiteclassificarosintegraisconvergentesemabsolutamente convergentesousimplesmenteconvergentes.Diz-sequeointegralimprprio f x dxab( ) absolutamente convergente se e s se for convergente conjuntamente com | ( ) | f x dxab ; diz-se que simplesmente convergente se a convergncia coexistir com a divergncia de| ( ) | f x dxab . Tem-se agora um teorema semelhante ao teorema 11 : Teorema17:Sef(x)temsinalfixoemcertointervalo|c,b|(comca),entoo f x dxab( ) no pode sersimplesmente convergente : ou absolutamente convergente ou divergente Continuandooestudoemparalelocomoquefoifeitonoponto11.,estabelecem-se seguidamentecritriosdeconvergnciaabsoluta,sendoasdemonstraesdosteoremas em tudo anlogas s dos correspondentes teoremas ento demonstrados. Assim, em paralelo como teorema 12 e com idntica demonstrao, tem-se o seguinte: Teorema 18 : Sendo f (x) limitadaeintegrvelem |a , h| ,paratodoo h | a , b| ,esendog(x)no negativa, limitada e integrvel em |c , h|(a c < b ) ,paratodo o h |c , b| ,seexistirk = l i mx b 0| f (x)| / g(x) , tem-se: a) Se k = + , a divergncia deg x dxcb( ) implica a divergncia de| ( ) | f x dxab , ou seja, implica que o integralf x dxab( ) no pode ser absolutamente convergente; b)Sek=0,aconvergnciadeg x dxcb( )implicaaconvergnciaabsolutade f x dxab( ); c) Sek 0 , + , ento: c.1)Adivergnciadeg x dxcb( )implicaadivergnciade| ( ) | f x dxab,ouseja,implica que o integralf x dxab( ) no pode ser absolutamente convergente; c.2) A convergncia deg x dxcb( ) implica a convergncia absoluta def x dxab( ) Este teorema admite um corolrio que se demonstra como o correspondente corolrio do teorema 12, estudando previamente o integral, 631( ) b xdxab, quefacilmenteseconstataserconvergentepara 1 ; para = 1 , tem-se, 1b xdxab =l i mh b 01b xdxah =l i mh b 0 | | ==l o g b xx ax h( ) = =l i mh b 0 | | + l o g b h l o g b a ( ) ( )= + . Em concluso: o integral convergente quando seja < 1 , sendo a respectivo valor, 651111( ) b a ; e divergente quando seja 1 . 2)Estudaraconvergnciade( ) . 1101 x e dxk x.Comoafunointegrandatem sinalfixonointervalodeintegrao(nonegativa),oestudodaconvergnciaabsolutaequivaleaoestudodaconvergncia(ointegralemcausanopodeser simplesmente convergente). Aplicando o corolrio do teorema 18, tem-se: l i mx 1 0(1 - x) . |(1 - x)k - 1 . e-x |=l i mx 1 0(1 - x) +k- 1 . e-x , sendo o limite igual ae-1 quando seja + k - 1 = 0 , isto , = 1 - k . O integral em estudo ser ento absolutamente convergente para = 1 - k < 1 , ou seja, k > 0 ; e ser divergente para = 1 - k 1 , ou seja,k 0 . 3) Estudar a convergncia de( ) . ( ) 1 2112+ x x dxk k . Como a funo integranda ilimitada junto de ambas as extremidades do intervalo de integrao, tem-se, ( ) . ( ) 1 2112+ x x dxk k = ( ) . ( ) 1 2110+ x x dxk k + + ( ) . ( ) 1 2102+ x x dxk k , sendo o integral a estudar convergente se e s se o mesmo acontecer s duas parcelas do 2membrodaigualdade(comosesabe,opontoc=0utilizadoparadecomporo intervalodeintegraoarbitrrioepoderiatersidoqualqueroutropertencenteao intervalo |-1 , 2| ). Estudemos ento a convergncia de cada uma das parcelas: a) Para a primeira parcela tem-se, nos termos da observao subsequente ao corolriodo teorema 18, l i mx + 1 0(x + 1) . (1 + x)k . (2 - x )1 - k=l i mx + 1 0(x + 1) + k . (2 - x )1 - k, sendoolimiteiguala31-kquandoseja+k=0,isto,=- k . Ento, o integral ( ) . ( ) 1 2110+ x x dxk k ser absolutamente convergente para = - k < 1 , ou seja,k>-1;eserdivergenteparak1(note-seque,como a funo integranda tem sinal fixo no intervalo de integrao, o facto de o integral no ser absolutamente convergente implica divergncia). b) Para a segunda parcela, tem-se, aplicando o corolriodo teorema 18, l i mx 2 0(2 - x) . (1 + x)k . (2 - x )1 - k=l i mx 2 0(2 - x)-k+1 . (1 + x)k, 66 sendo o limite igual a 3k quando seja - k + 1 = 0 , isto , = k - 1 . Ento, ointegral( ) . ( ) 1 2102+ x x dxk kserabsolutamenteconvergentepara =k-1< 1 , ou seja,k< 2 ; e ser divergente parak 2 . Comoconcluso,faceaosresultadosobtidosema)eb),tem-sequeointegral ( ) . ( ) 1 2112+ x x dxk k absolutamente convergente quando seja-1 0edivergenteparan0.Odomniodafuno Gama assim definido pela condion > 0 , ou seja, o intervalo | 0 , + | . Quanto funo Beta, para n 1em 1 , o integral que a define um integral prprio (funocontnualimitadanumintervalolimitado).Quandosejan 0e divergente quando sejan 0 oum 0 . O domnio da funo Beta assim o seguinte intervalo deR2 :I = {(n , m):n > 0m > 0} . As funes de Euler possuem importantes propriedades que passamos a estudar : P15:Paran>1,(n)=(n-1).(n-1)e,emparticular,comninteiropositivo deduz-se (n) = (n - 1) ! 68Demonstrao :Considerando n > 1 e integrando por partes, obtm-se sucessivamente: (n) = x e dxn x +10.=x e dxn x 101. + x e dxn x +11.= = l i mh+0x e dxn xh 11.+l i mk +x e dxn xk 11.= =l i mh+0| | + `) == e x e n x dxx nx hxx nh. . ( ) .11211+ +l i mk +| | + `) == e x e n x dxx nxx kx nk. . ( ) .11211= =l i mh+0| |{ } + + e e h e n x dxh n x nh1 1 211 . . ( ) .+ +l i mk + | |{ } + + e k e e n x dxk n x nk. . ( ) .1 1 211= = { } + e e n x dxx n 1 2011 . ( ) . +{ }e e n x dxx n ++ 1 211 . ( ) . = =( ) . . n e x dxx n +120 = (n - 1) . (n - 1) . Sendo n inteiro maior ou igual a 2 , (n) = (n - 1) . (n - 1) = (n - 1) . (n - 2) . (n - 2) =...= =(n - 1) . (n - 2) ..2 . (2) = =(n - 1) . (n - 2) ..2 . 1 . (1) = (n - 1) !, porque (1) =e dxx +0 = 1 . Paran = 1 , (1) = 1 = 0 !.Portanto, em geral, com n inteiro positivo, (n) = (n - 1) ! . P 16 :Para quaisquer n > 0em > 0 , (n , m) = (m , n) Demonstrao : Tem-se, (n , m) =x x dxn m 1 1011 . ( )=l i mh+0x x dxn mh 1 11 21 . ( )/ + 69+l i mk 1 0x x dxn mk 1 11 21 . ( )/, e, fazendo a mudana de varivelx = 1 - y , resulta, (n , m) =l i mh+0( ) ./111 21y y dyn mh +l i mk 1 0( ) ./1111 2y y dyn mk = =( ) ./111 21y y dyn m +( ) ./1101 2y y dyn m = =( ) . 1101y y dyn m = (m , n) , como se pretendia demonstrar. P 17 : A funo Beta pode em alternativa ser definida pelo integral, (n , m) = xxdxnn m+++101 ( ) Demonstrao : Deixa-se como exerccio, sugerindo-se que seja utilizada a mudana de varivel, x= yy 1 + . Apresenta-se finalmente sem demonstrao uma igualdade que relaciona as funes Beta eGama.Ademonstraofaz-sedeformarelativamentesimples,masenvolveo conhecimentodateoriadaintegraoemR2,motivopeloqualnoaapresentaremos aqui. P 18 : Para quaisquer n > 0em > 0 , tem-se: (n , m)= ( ) . ( )( )n mn m + 7015. Exerccios 1-DetermineassomasdeRiemanndafunof(x)=8-x2/2nointervalo|0,6| relativamentedecomposiodefinidapelospontos,x0 = 0,x1 = 1, x2 = 2 ,x3 = 3 ,x4 = 4, x5 = 5 , x6 = 6, tomando como pontos intermdios: a)yi = i + 1/2 ; b)yi = i + 1/3. DeterminetambmassomasinferioresuperiordeDarbouxdef(x)paraamesma decomposio.Compareosresultadosobtidoscomovalordointegraldafunono intervalo, que se sabe ser igual a 12. 2 - Determine as somas de Riemann da funof (x) = x em |0 , 1|relativamente decomposio definidapelospontos,x0 = 0,x1 = 0,25 , x2 = 0,4 ,x3 = 0,6 ,x4 = 1 , tomandocomopontosintermdiosy0=0,25,y1=0,36,y2=0,5625,y3=0,64. DeterminetambmassomasinferioresuperiordeDarbouxdef(x)paraamesma decomposio.Compareosresultadosobtidoscomovalordointegraldafunono intervalo, que se sabe ser igual a 2/3 . 3 - Calcule os seguintes integrais: a)524dx ;b)2110dx ;c)10022dx; d)f x dx ( )04 ,com f (x) =56x x i nt ei r oout r o s v a l or e s d e x,,. 4 - Sabendo que, x dx214= 21, x dx14= 15/2e x dx14= 14/3, utilize as propriedades dos integrais para calcular, a)( ) 3 5214x dx +;b)( ) 6 114x dx ;c)2 114x x dx ( ) ; d)( ) x dx 5214 . 5 - Verifique as seguintes desigualdades sem calcular os integrais nelas envolvidos: a)( ) 3 4212x dx + ( ) 2 5212x dx +;b)(5 . ) x x dx2244 2 + > 0. 6 - Para a funo, g(x) = 10,,x i r r a ci ona lx r a ci ona l , mostre que para qualquer decomposio do intervalo |0 , 1|sempre se podem encontrar somassigmanulaseoutrasunitrias,porescolhaconvenientedospontosintermdios. Recorrendo definio de Riemann, que concluso pode tirar sobre a integrabilidade de g(x) no intervalo em causa ? Justifique. 71 7 - Considere a funo definida em |0 , 2| do seguinte modo: f (x) = 1 0 12 13 1 2,,, 0 18 - Tendo em conta o resultado estabelecido no exerccio 15 , mostre que sendof (x)integrvelem|a,b|eprimitivvelem|a,b|tem-se,representandoporF(x)uma primitiva da funo em |a , b| , f x dxab( ) =F(b)-F(a + 0), com F(a + 0) =l i mx a +0F(x) . Aproveite o resultado para calcularf x dx ( )/01 , com, f (x) = 2 1 1 00 0x sen x co s x xx. ( / ) ( / ) ,, = . 19 - Calcular os integrais indefinidos seguintes: a) Def (x) =x2. ex , com origem emc = 0 ; b) Def (x) = 1 2 00 112+ < aec < a . No caso de serc = a , a concluso bvia. Para os outros dois casos tem-se : 1Caso:Sendoc>a,tem-sec=a+rcomr>0.Fixe-seh>0suficientemente pequeno de forma quec + h= a + r + h INT. Io que sempre possvel por sercponto interior de I . Note-se agora que as sries, +=+1) (nnpnhh ra e +=1 nnpnhraso ambas absolutamente convergentes , porque so obtidas multiplicando por 1/h todos os termosdas sries que resultam da srie das primitivas fazendo nela, respectivamente, x = c + h= a + r + hex = c= a + r. Ento, por fora da desigualdade, hrahh rahr h ranpnnpnnpnpn ++ +) ( ) ( , tambm converge absolutamente a srie, += +1) (nnpnpnhr h ra= +=11) ( . .nnpn nnhr p ha= +=11) ( . .nnpn n nr p a , com0n( )|f xiin( )=1 -f(x)| n( ) . Isto significa que, f x d xab( )= limf x d xiabin( )=1, ou seja, atendendo a que f(x)=f xnn( )=1 e considerando a definio de soma de uma srie, f x d xnnab( )=1 = abnnf x d x=( )1 , como queramos provar. Oteoremaqueacabadeserdemonstradoadmiteoseguintecorolriorelativo possibilidade de permutar as operaes de integrao e de passagem ao limite: Corolrio : Sendo as funesun (x)limitadas e integrveis e sendo a sucessoun (x) uniformemente convergente em [a , b] , ento l i m u x dxnab( ) = limu x dxnab( ) Demonstrao : Definindof1 (x) = u1 (x)efn (x) = un (x) - un-1 (x)(n 2) , a srie de funesf xnn( )=1 encontra-se nas condies do enunciado do teorema, como se verifica semdificuldade.Aplicandooteoremaaestasriedefuneschega-sequaseimediata-mente concluso desejada. 1099. Exerccos 1 - Estude a convergncia uniforme das seguintes sucesses nos conjuntos indicados: a) un(x) = n xn x +2 ,emB = | -1 , 1|eemR ; b) vn(x) = ( )( )n x nn x+ ++1122,emR ; c) wn(x) = 21 22 22 2n xn x + , em|a , + | ; d) zn(x) = 2 112n x n xn x+ ++,em| 0 , + | . 2* - Considere que, para cadan N ,fn(x) uma funo real de varivel real definida e crescente nointervalo |a , b| . Admita que a sucessofn(x)convergeponto a pontoem|a , b|paracertafunof (x) contnua nesse mesmo intervalo. Posto isto, a) Prove que a funo limitef (x) tambm crescenteno intervalo |a , b|; b)Provequeaconvergnciadefn(x)paraf(x)uniformeem|a,b|,procedendo sucessivamente como se indica: i) Emprimeirolugarmostreque ,sendoxn |a , b|talque lim xn = ,entolim fn ( xn ) =f () ; ii) Admita em seguida que a convergncia pode no ser uniforme e, tendo em conta o resultado obtido em i), deduza da uma contradio. 3-Sendoun(x)evn(x)sucessesdefunesreais,todascomdomnioemcerto conjunto A (qualquer) , mostre que, a)Seun(x)evn(x)convergemuniformementepara,respectivamente,u(x)ev(x)no conjuntoBA,entoun(x)+vn(x)convergeuniformementeparau(x)+v(x)no mesmo conjunto B ; b)Seun(x)evn(x)convergemuniformementepara,respectivamente,u(x)ev(x)no conjuntoBAeestasfuneslimitesolimitadas,entoun(x).vn(x)converge uniformemente parau(x) . v(x)no mesmo conjunto B ; c)Atravsdeumexemploerelativamenteaodemonstradonaalneab),mostrequea condiodeasfuneslimiteseremlimitadasnopodesereliminada,sobpenadea convergncia poder no ser uniforme. 4 - Estude a convergncia uniforme das seguintes sries reais, nos conjuntos indicados: 110 a) n =+1( ) .( )+11122nnxx, emR ; b) n=+1xxn221 ( ) + , em|-1 , 1|; c) n =+13 41 22nn n nxn++ + ( ) ( )( ),em|1 , 3|; d) n=+1( ) . +11nnxn ,em|-1/2 , 1|. 5 - Justifique que a soma da srie n=+0n xnn2 uma funo contnua no intervalo |-2 , 2 |. 6 - Mostre que a soma da srie real n =+0xxn221 ( ) +no funo contnua emx = 0 . Queconclusose podetirarquantoconvergnciauniformedasrienointervalo |-1/2 , 1/2|?Justifique. 7 - Considere a sucesso de funes reais de varivel real, fn(x) =n senxn. ( )+ 1. a) Mostre quelimfn(x) =x + 1 ,funo contnua emR ; b) Mostre que ,no entanto,asucessono uniformemente convergente em R ; c)Aconjugaodosresultadosobtidosema)eb)sercompatvelcomodispostono teorema 3 ? Justifique. 8-Asrien sen n xn=2 21. ( ) ,convergenteparatodooxR,podeserderivada termo a termo em R ?Justifique. 9 - Considere a srie( ) . a a xn nnn+= 11 , coman an+1elim an = a R . a) Mostrequesetratadeuma srie absoluta e uniformemente convergente no inter-valo |-1 , 1|; b) Verifique que a srie, a anxn nnn+++=1111 , 111 queseobtmprimitivandotermoatermoa srie dada convergente parax = 1 ; c) Face ao resultado estabelecido em b) , que concluses pode tirar : i) Sobreaconvergnciauniformedasriedasprimitivasnointervalo|-1 , 1|? ii) Sobre ofactodeasomaS(x)dasriedasprimitivasserumaprimitiva des(x) =( ) . a a xn nnn+= 11 ? 10 -Supondo que o intervalo de convergncia absoluta da sriea xnnn.=1 | - , |e que a srie converge parax = , poder garantir-se que a srie anxn nn++=111, tambm converge quandox = ?Representando pors(x)eS(x) , respectivamente,assomas da srie das derivadas edas primitivas, poder afirmar--se que Se'( ) = s() ?Justifique. 11-Dadaasrie 11ne en x nn =( ) mostrequeconvergenteecalculeasuasoma parax < 0 . 12 - Considere a sriesen n x co s n xnn( ) ( ) +=21. a) Mostre que convergente para qualquerx R; b) Designando por f (x) a respectiva soma, mostre quef(x) uma funo contnua em R ; c) Represente por uma srie uma possvel primitiva def(x) em |- , + |. 13 - Considere a srieu xnn( )=1 , em que, u1 (x) =sen x , un (x) = sen n xnsen n x xn( ) ( ) 1(n 2) a)Mostre que se trata de uma srie convergente e calcule a sua soma S(x) ; b) Mostre que a srie das derivadas converge parax = 0 e queS (0)unn' ( ) 01 = . Que concluso pode tirar deste facto ? 14 - Considere a srie( ) . 2 121n xnn+= . 112a) Mostre que convergente no intervalo |-1 , 1|; b) Mostre queS(0) um mnimo relativo deS(x), calculandoS (0)eS (0) a partir das sries que representamS (x)eS (x) ; c) Determine a somaS(x) da srie dada . 15 - Sendof (x) = 14 21n xn+=mostre quef (x) primitivvel emR e determine a primitiva que se anula parax = 0 , definindo-a por meio de uma srie. 16 - Justifique que, para x > -1 ,xn n xn. ( )'+

(((=1 =121( ) x nn+=. 17 - Demonstra-se, na teoria das sries de Fourier, que para0x 2 , co s n xnn( )21 ==3 6 2122 2x x + . A partir deste resultado, a) Calcule 121nn =, ( ) =11121nnn e 12 121( ) nn=; b*)Mostre que( )( )+=12 1131nnn= 3/32. 18 - Calcule as somas das seguintes sries nos respectivos intervalos de convergncia : a) xnnn =1;b)n xnn.=1;c)n xnn21.= ;d) 12 112 10 nxnn + +=( ) ; e)( )( )( ) + +=11111 11n nn n nx 19 - Uma funo real de varivel real com domnio em A R diz-se analtica no ponto a interior do seu domnio se e s se existe um> 0 tal que : f(x) =a x annn. ( ) =11, x V (a) . Posto isto, 113a) Prove quef (x) = 1/xe queg(x) = exso analticas em qualquer ponto dos respecti-vos domnios ; b) Prove que se uma funo analtica na origem tem derivadas nulas de todas as ordens na origem, ento a funo em causa constante em certa vizinhana da origem. 20 - Considere a seguinte sucesso defunes : fn(x) = < ++ < + =< + < 2 / 1 1 , 0/ 1 1 1 , ) 1 ( .1 , 01 / 1 1 , ) 1 ( ./ 1 1 0 , 022x nn x n x nxx n n x nn x. a) Mostre quelimf x d xn( )02 l i m f x d xn( )02; b) Que concluso pode tirar sobre a eventual convergncia uniforme de fn(x) no intervalo |0 , 2| ? 21 - Dada a sucessofn(x) =n x en x 2 , a) Mostre quelimf x d xn( )01 l i m f x d xn( )01; b) Que concluso pode tirar sobre a eventual convergncia uniforme de fn(x) no intervalo | 0 , 1| ? 22 - Calcule o seguinteintegral, justificando previamente a possibilidade de integrao termo a termo: 112001+ +=( ) n xd xn. 23 - Calcule com erro no superior a0,0001 o integral e d xx 211. 24* - Sendo un (x) ,n =1 , 2 , 3 , ... ,eu(x) funes integrveis no intervalo |a , b|, considerequelim | |u x u x d xnab( ) ( ) 2 = 0 .Proveque,limu x d xnab( ) = =bax d x u ) (. 114RESPOSTAS: 1 - a)Uniformemente convergente emB = ] -1 , 1[eno uniformemente convergente em R ; b)Uniformementeconvergente;c)Uniformementeconvergentesea>0,nounifor-mementeconvergente sea0;d) Uniformemente convergente . 3 -c)Porexemploambasassucessesfn (x)= n xn x + egn (x) =31x so uniformementeconvergentes no intervalo ] 0 , 1[ e no entanto o mesmo no acontece com o respectivoproduto . 4 - So todas uniformemente convergentes nos conjuntos indicados, com excepo da alnea b). 6 - No uniformemente convergente no intervalo . 7 - c)Sim, porque o teorema 3 d uma condio suficiente de continuidade e no uma condio necessria. 8 - No, porque a srie das derivadas no convergente em R . 9 - c) i) uniformemente convergente ;ii) S(x) uma primitiva de s(x) . 10-Pode,porqueasegundasrieobtm-seprimitivandoaprimeiratermoatermoeesta uniformemente convergente em [0 , ]e, porsuavez,a srie das primitivas converge em x = 0 ; tem-se) ('eS = s() , porque S(x) uma primitiva de s(x) no intervalo ] - , ]. 11 - l o geex111. 12 - c)F(x) =s e n n x c o s n xnn( ) ( ) =31. 13-a)S(x)=0,xR;b)Asriedasderivadasnouniformementeconvergenteem qualquer intervalo a que pertena zero . 14 -b) S (0) = 0 e S (0) = 6 ;c) S(x) = 312 42 2x xx ( )(-1 < x < 1) . 15 - F(x) =a r c t g x nnn( / )221 = . 17 - a) 2 /6 , 2 /12e 2 /8. 18 - a) - log (1 - x ) ,para-1 x < 1;b)xx ( ) 12 ,para-1 0, existe= ( ) tal que, d ( ' x ," x ) < e ' x ," x B d [f ( ' x ) ,f ( " x)] < ; como, de certa ordem em diante,d ('px ,"px ) < , tem-se ,a partirdamesmaordem,d [ f ('px ) ,f ("px )] < , o que prova serlimd [ f ('px ) ,f ("px )]= 0 . Inversamente,admita-se queparaquaisquer 'px, "px B tais que,lim d ('px, "px ) == 0 ,se tem tambmlim d [ f ('px ) ,f ("px )]= 0 . Vejamos queento, a funo f ( x ) uniformemente contnua no conjunto. 182 Se,porabsurdo,talnoacontecesse,haveriaum0 relativamenteaoqual,para qualquer> 0 , existiriam pontos'x , "x

Btais que, d ('x , "x ) < ed [ f ('x ) ,f ("x )] 0 ; considerando ento,p = 1/p , existiriam pontos 'px, "px Btais que, d ('px, "px ) < 1/ped [ f ('px ) ,f ("px )] 0, sendo ento lim d ('px, "px )= 0 ,sem que em correspondncia se tivesse, lim d [ f ('px ) ,f ("px )]= 0 , o que seria contrrio hiptese admitida inicialmente. Logo,f ( x ) dever ser unifor-memente contnua em B como se queria provar. Embora,emgeral,umafunopossasercontnuanumconjuntosemqueaseja uniformementecontnua,vamosestudaroteoremadeHeine-Cantorondesegarante queumafunocontnuanumconjuntolimitadoefechadosempreuniformemente contnua nesse conjunto. Teorema 11 : Sendof ( x ) funo de A Rn em Rm contnuano conjunto limitado e fechado B A, entof ( x ) uniformemente contnua em B (Heine-Cantor) Demonstrao : Sejaf ( x ) contnua no conjunto limitado e fechado B e considere-se porabsurdoqueno uniformementecontnuanesseconjunto .Existiria ento certo > 0tal que, qualquer que fosse > 0 , sempre haveria pontos'x , "x

Bde modo a ser, d ('x , "x ) < ed [ f ('x ) ,f ("x )] Em particular com p = 1/p , existiriam pontos 'px, "px Btais que, d ('px ,"px ) < 1/ped [ f ('px ) ,f ("px )] . 183Como a sucesso'px limitada existe uma sua subsucesso px ' com limite a B e v-se com facilidade que , lim px ' =ad (px ' ,px " )=||px ' px " || < 1/p lim px " = a Por outro lado,lim f (px ' ) = lim f (px " ) =f ( a ) devido continuidadedef ( x )ema B, daqui resultando, limd [ f (px ' ) ,f (px " )]=lim|| f (px ' ) f (px " )||=0 , em contradio com a condiod [ f ('px ) ,f ("px )] que deveria ser verificada para todo o naturalp N . 11 - Noo de contraco. Teorema do ponto fixo Dada a funof ( x ) de ARn emRmdiz-se que se trata de uma funo contnua segundo Lipschitznoconjunto B Ase e s se existe um realc > 0 tal que, || f ( ' x ) f ( " x ) || c . || ' x" x ||, quaisquerquesejam' x ," x B.muitofcildeprovarque,sendof( x )uma funo contnuasegundo Lipschitz no conjuntoB a uniformemente contnua , no sendo porm a inversa verdadeira. Dada a funof ( x ) de ARn emRn ,tal funo diz-se uma contraco se e s se: i)f (A) ARn ; ii) A funo verifica a condio de Lipschitz com0 m , ||px-mx || ||px-1 px || +||1 px-2 px || + ... +||1 + mx-mx || ( cp - 1 + cp - 2+...+cm) . ||1x-0x || ccm1||1x-0x || . Por ser0 < c < 1 , tem-se que a sucesso realde termo geralum = cm tende para zero e, portanto, ||px-mx || ccm1||1x-0x || m > p ,tem-se a seguinte desigual-dade: ||px-mx || < . Tal significa que a sucesso pxverifica a condio de Cauchy; portanto, existe a = lim pxe claro quea A (por ser A um conjunto fechado) . Por serpx = f (1 px )effuno contnua em a (note-se que, sendoffuno contnua segundoLipschitznoconjuntoA,aiuniformementecontnua,logocontnuaem qualquerponto pertencenteaesseconjunto), tem-se a= f ( a ), ou seja, o pontoa= lim px do conjunto A uma soluo da equaof ( x ) =x. Para concluirque o pontoaobtido anteriormente a nica soluo em A da equaof ( x ) =x, considere-seuma eventual soluo alternativa b A ; tem-se, f ( a ) =a f ( b ) =b|| a -b || = || f ( a ) -f ( b ) || c . || a -b || (1 - c) . || a -b ||0 ; por ser 1 - c > 0 , resulta || a -b || 0 , o que implica || a -b || = 0, ou seja,a=b. 18512. Exerccios 1 - Utlize a definio de limite segundo Cauchy para mostrar que, a) l i mxy 00 x yx y2 22 2+= 0;b)l i mxy + 0

1x y += 0 . 2 - Dada a funofdeR2 emRtal que, f (x , y) =312x x racional ou y racionalx y x e y irracionais,.( ) , e os conjuntos, A = {(x , y): x Qy Q } e B = {(x , y): x R - Qy R - Q }, a)UtilizeadefiniodelimitesegundoHeineparadeterminarossublimitesdafuno no ponto de coordenadasx = y = 1, relativos aos conjuntos A e B ; b)Para(a,b)R2,emquecondiesexistelimitedafunonopontoemcausa? Justifique. 3 - Considere a funof (x , y) =x . (y + x) -1 e o ponto (0,0) . a) Calcule os sublimites defno ponto dado, relativos aos conjuntos, M = {(x , y) :y = 2 xx 0} , N = {(x , y) :y = 3xx 0} e R = {(x , y) :y =x2 - xx > 0} ; b)DetermineoconjuntoSdossublimites(prpriosouimprprios)dafunonoponto dado; c)Faceaosresultadosdasalneasanteriores,quepodeafirmarsobreaexistnciado limite da funo no ponto em causa ? Justifique. 4 - Considere a funo,f (x , y) =x yy x 22 , ecalculeosrespectivossublimitesnopontodecoordenadasx=y=0,relativosaos seguintes subconjuntos: a) Recta de equaes paramtricas,x = t,y = 2t ; b) Curva de equaes paramtricas,x = t,y = t 3. 5 - Considere a seguinte funo, 186 f ( x , y , z)=11 + +z xy x . a) Utilize os conjuntosA = {(x , y , z) :x = 0 ,y = t,z = (t 1) + 1} ( 0) para mostrar que qualquer real diferente de zero sublimite da funo no ponto (0 , 1 , 1) ; b) Mostre que tambm 0 , +e - so sublimites da funo no mesmo ponto. 6 - Determineoparmetrorealde modo que a seguinte funo tenha limite no pon-to (1 , 1) : f ( x , y)=++ +) , ( ,110 , 0 ,22y x outrosyxx y e y xy xy x. 7 - Considere a seguinte funo, f ( x , y)=2 4 44 4) ( y x y xy x + . a) Mostre que existem e so iguais os limites sucessivos da funo na origem ; b) Mostre que a funo no tem limite na origem . 8 - Calcule os seguintes limites ou prove a sua inexistncia : a)l i mxy 00 sen xy ;b) l i mxyz001

x x y z xx y21+ ++ ; c) l i mxy 00y . sen (1/x) ; d)l i mxyz++1

x y zx y+ + 1; e)l i mxyz110

x yx y z+ 2 ;f)l i mxy 10

x y xy x+ .; g)l i mxy 00

xx y x58 2 2+ ( ); h)l i mxyz120

x y zx y++ + 12 2. 9 - Calculando os limites sucessivos, mostre que no existem, a)l i mxy 00

x x yx y3 24 4+ ;b)l i mxy 10 ( ) ( ) x y xy x + 1 11 . 187 10 - Estude a existncia de, l i mxy 01 x yx y33 313 1+ + . 11 - Mostre que no existe, l i mxyz110

z x y zx y z x+ + +( ) 112, calculando os possveis limites sucessivos at encontrar dois que sejam distintos. 12 - Considere a funo,f (x , y) = [sen (1/x) , 1/y , sen (1/y)] , com domnio no seguinte subconjunto de R2 :A = {(x , y) :x 0y 0}. Determine o conjunto dos sublimites (prprios ou imprprios) da funo no ponto de coordenadasx = y = 0 . 13 - Estude a continuidade da seguinte funo, na origem, f (x , y) =y x xx/ ,,=00 0 , estudandotambmacontinuidadedasfunesparciaisf(x,0)ef(0,y), respectivamente emx = 0ey = 0 . 14 - O mesmo que no exerccio anterior para a funo, f (x , y) =xx yx yx y2 22 200 0++ = =,,. 15 - Determine os pontos de descontinuidade das seguintes funes reais de duas vari-veis reais, a)f (x , y) =y x x e xy xy x2 21 01 01. ,,, + ==; b)f (x , y) = (y2 - 4 y+ 3) . sen (1/x) . 16 - Estude a continuidade das seguintes funes nos conjuntos indicados: a)f (x , y) = ( ) ,,x y y xy x2 2 10 = ,emR2eB = {(x , y) :y = x} ; 188b)f (x , y , z) = x y z x y zz x y zx y z outros x y z+ + < + , , ,, , ,, ( , , )0 0 01 0 0 01 emB = {(x , y , z):x 0 , y 0 , z 0} e R3 . 17 - Justifique a existncia de mnimo e mximo absoluto da funo , f (x , y) = 3 x+4 y , em B = {(x , y): x2 +y2 2} . 18 - Sejaffuno de A = [0 , 2 [emR2, tal quef ( t ) = (cos t,sen t) . a) Mostre quef (A) = B = {(x , y) :x2 + y2 = 1} ; b) Mostre quef contnua em A ; c) Mostre que existe a funo inversa f 1 deBem Rtal que , f 1(x , y) = t:t [0 , 2 [cos t = xsen t = y; d) Calcule f 1(1 , 0) ; e) Calcule os sublimites seguintes, l i mxyx y B100( , )f 1(x , y)el i mxyx y B101( , )f 1(x , y), em que , B0 = {(x , y): (x , y) By > 0} eB1 = {(x , y): (x , y) By 0} ; f) Utilize os resultados das alneas anteriores para mostrar que, emborafseja contnua em A , a sua inversa no contnua emB = f (A) . 19 - Estude a continuidade uniforme das seguintes funes nos conjuntos indicados: a)f (x , y) = x/y , emA = {(x , y):y > 0}eB = {(x , y): 0 < x < 1 , 1 y < 2}; b)f (x , y , z) = xx y z2 2 2+ + , emB = {(x , y , z):x2 + y2 + z2 = 1} . 18920 - Com a funof (x, y) = x + ye o conjunto B = {(x , y) : 0 x 1 , 0 y 1} para mostrar que uma funo pode ser uniformemente contnua num conjunto sem que a verifique a condio de Lipschitz.

21 - Considere-se a funofde R2 em R2 tal quef (x , y) = (x2 , y2) . a) Determine as solues da equaof (x , y) = (x , y) ; b) A funo f (x , y) poder ser uma contraco ?Justifique. RESPOSTAS : 2 - a) Sublimite relativoaA = 3esublimite relativo aB = 0 ; b) Existe limite para a funo no ponto (a , b) se e s sea = 0oub = 2 . 3 - a) Sublimites:relativoaM , 1/3 ;relativoaN , 1/4; erelativo aR , + ; b) S = R {- , + };c) A funo no tem limite no ponto (0 , 0) . 4 - a) 0; b) 0 . 6 - = 1/4 . 8 - a) No existe ; b) 0 ;c) 0; d) No existe ;e) No existe ; f) 1/2; g) No existe ; h) 1/3 . 10 - No existe . 12 - S = {(u , v , w): -1 u 1 ,v= ,-1 w 1 } . 13-Afunonocontnuanaorigem.Asfunesparciaisf(x,0)ef(0,y)socontnuas, respectivamenteemx = 0ey = 0 . 14 - A funo no contnua na origem, a funo parcialf (x , 0)no contnua emx = 0e a funo parcialf (0 , y) contnua emy = 0 . 15 - a) Todos os pontos (0 , b) , com b R e ainda os pontos (1 , b) com b diferente de 0 e de 1; b) Todos os pontos (0 , b) , com excepo de (0 , 1)e(0 , 3) . 16 - a) No contnua em R2 , contnua em B ;b) Contnua emB , no contnua em R3 . 17 - Funo contnua no conjunto limitado e fechado B . 18 - d) 0 ; e) Sublimite em relao a B0 = 0e sublimite em relao aB1 = 2. 19 - a) No uniformemente contnua emA , mas uniformemente contnua em B ;b) uniformemente contnua. 19021 - a) (0 , 1),(1 , 0),(0 , 0) e (1 , 1) ;b) No pode ser uma contraco, porque o teorema dopontofixogarantirianessecasoqueaequao f(x,y)=(x,y) teriauma e uma s soluo. 191CAPITULO VII DERIVAO E DIFERENCIAOEMRn 1. Derivadas parciais de funes reais denvariveis reais Sejaf x ( )= f (x1 , x2 , ... , xn )uma funodeA RnemR e considere-se um pontoa= (a1 , a2 , ..., an ) A .Fixando x2= a2,x3 = a3, ... ,xn= an ,considere-seafunoparcial1 (x1 )=f(x1 ,a2 ,...,an )eadmita-sequedefinidaemcertavizinhana| a1 - 1 , a1 + 1 |.Caso exista finita a derivada da funo parcial 1 (x1 ) emx1 = a1 , 1 (a1 ) = l i ma h ahh101 1 1 1 11+ ( ) ( )= =l i mf a h a a f a a ahhn n101 1 2 1 21+ ( , , , ) ( , , , ) L L , orespectivovaloraderivadaparcialdef x ( ) emrelaoax1nopontox =a e representa-se por qualquer dos smbolos, fxa1

((( ) , f ax1'( ) ou | |) ( 1 axf D, podendo evidentemente na simbologia, sempre que seja conveniente evidenciar as coor-denadas, substituir-se apor (a1 , a2 , ... , an ) . Se eventualmente a funo parcial 1 (x1 ) apenas for definida em certa semi-vizinhana dea1,spodedefinir-seumadasderivadaslateraisdestafuno(direitaouesquerda, conforme os casos) e ento este o valor que se toma para derivada parcial def x ( )em relao ax1 no ponto x =a. Adefiniodederivadaparcialdef x ( ) emrelaoaqualqueroutravarivelxj no ponto x =a anloga : fxja

(((( )= l i mf a a h a f a a ahhj j n j nj j + 01 1( , , , , ) ( , , , , ) L L L L , caso este limiteexista finito ; claro que, tal como na derivada parcial em relao ax1 , tambm agora so utilizadas as seguintes simbologias alternativas, fxja

(((( ), f axj'( ) ou| |D fxaj( ) . 192Se a funo f (x1 , x2 , ... , xn ) tiver derivada parcial em relao axj em todos os pontos doconjuntoXj A,chama-sefunoderivadaparcialdef x ( ) emrelaoaxj funo que a cada x Xj associaf xxj'( ) ; esta funo usualmente representada por, fxj ,fxj'ouD fxj . Comonadefiniodecadaf x x xx nj'( , , , )1 2L somantidasconstantesasvariveisxi comi j (ou seja, o acrscimohtem nulas todas as suas coordenadas excepo de hj ), as derivadas parciais podem ser obtidas pelas regras usuais de derivao das funes reais de varivel real. Assim, por exemplo, f (x , y , z) =3 x y+ z x y- 2 yf y z yf x z xf x yxyz'''= += + =33 2. Caso a funof x x xx nj'( , , , )1 2Ladmita, por sua vez,derivadas parciais em relao axi nospontosdoconjuntoXji XjA,entof xx xj i''( ) serasegundaderivada parcialdef x ( ) emrelaosvariveisxjexi(porestaordem).Paraasegundas derivadas parciais usam-se os smbolos, fx xj i'' , 2fx xj iouD fx xj i2 , com a particularidade de, parai = j , serem usados , fxj2''emvezde fx xj j'', 22fxjemvezde 2fx xj j D fxj22emvezde D fx xj j2. Apartirdassegundasderivadasparciaispodemdefinir-seasderivadasparciaisde terceira ordem , fx x xj i ''' , 3fx x xj iouD fx x xj i 3 , sendo a notao simplificada - mediante o uso de expoentes simblicos para as variveis dederivao-quandoduasoumaisderivaesconsecutivassejamfeitasemrelao mesma varivel, como se exemplifica: 31 22fx x em vez de 31 2 2fx x x, 193313fx emvez de 31 1 1fx x x,

Etc.. A partir das terceiras derivadas parciais podem definir-se as quartas derivadas parciais e assim por diante, conquanto vo sendo possveis as sucessivas derivaes. Devenotar-sequeemprincpioaderivadaparcialdecertaordememrelaoacertas variveis depende da ordenao destas. Ou seja, tem-se por exemplo, 31 2 1fx x x 3122fx x, porqueoprimeiro smbolo representaa terceira derivada da funof x ( ) , primeiro em relao ax1 , depois em relao ax2 e finalmente em relao de novo ax1 , enquanto queosegundosmbolorepresentaaterceiraderivada def x ( ) duas vezes seguidas em relaoax1edepoisemrelaoax2.Ouseja,nasduasterceirasderivadasem confronto entram as mesmas variveis de derivao, o mesmo nmero de vezes, mas por ordemdiversa;eemtaiscasosasderivadasemcausanosonecessariamenteiguais, questo que adiante ser retomada. 2. Derivadas segundo vectores para funes reais denvariveis reais Sejaf x ( )= f (x1 , x2 , ... , xn )uma funodeA RnemR e considere-se um pontoa= (a1 , a2 , ... , an ) INT A. Sendo u= (u1 , u2 , ... , un ) um vector no nulo de Rn , chama-se derivada def x ( )no pontox=asegundo o vectoruao limite (caso exista): f au'( ) = l i mf a t u f att + 0( . ) ( )= = l i mf a t u a t u a t u f a a attn n n+ + + 01 1 2 2 1 2( . , . , , . ) ( , , , ) L L . Quando em particular u= (1, 0 , ... , 0 )tem-se quef au'( )=f ax1'( ) ;paraovector u= (0, 1 , ... , 0 ) tem-se f au'( )=f ax2'( ) ; e assim sucessivamente para os restantes vectores da seguinte base de Rn : {(1, 0 , ... , 0 ) ,(0, 1 , ... , 0 ) ,..., (0, 0 , ... , 1 )} . Note-sequetalcomopossvelaexistnciadederivadaparcialemrelaoaalgumas dasvariveissemqueexistaemrelaoaoutras,tambm,maisgeralmente,podem existir derivadas num ponto segundo certos vectores e no existirem segundo outros. 194Vejamos por exemplo o caso da funo, f (x , y) = x y xy x,,=003 ; tem-se para o ponto(0 , 0) e segundo um vector no nulo u= ( u1 , u2 ) , fu'( , ) 0 0=l i mf t u t u ftt 01 20 0 ( . , . ) ( , ) =l i mf t u t utt 01 2( . , . ) = =l i mt u t utul i mt utnao existe u utt= = 01 210231 20 00 0. . .,.~, , assim se concluindoquefu'( , ) 0 0sexiste(e nula)segundovectoresu= ( u1 , u2 ) tais queu1 0 . Dadoovectornonulou ,aovectorversu =uu|| ||1chama-seversordeu e bvio que || versu || = 1. A derivada def x ( )no pontox=asegundo o vector versu , ouseja,) ('a fu vers,casoexista,chama-sederivadaemx =a dirigidasegundoa direco do vectoru . Tem-se, ) ('a fu vers=ta f u vers t a fm i lt) ( ) . (0 += ta f uut a fm i lt) ( )|| ||1(0 + = =|| ||1|| ||1) ( )|| ||1(0uuta f uut a fm i lt + = =*) ( ) . * (|| ||10 *ta f u t a fm i lut +

=) (|| ||1'a fuu , ouseja:aderivadaemx =a dirigidasegundoadirecodovectoru igualao produto do inverso da norma do vectorupela derivada da funo emx=asegundo o vector u. 3. Diferenciabilidade de funes reais denvariveis reais 195 Sejaf x ( )= f (x1 , x2 , ... , xn )uma funodeA RnemR e considere-se um pontoa= (a1 , a2 , ... , an ) INT A(ponto interior do domnio da funo). Diz-se quef x ( ) diferencivel no pontoase e s se existe um > 0 , tal que, com || || h< , f a h f a ( ) ( ) + = k h h hi iin+=|| || . ( ) 1 , em queki R , h= (h1 , h2 , ... , hn )el i m hh 0 ( ) = 0 .Casof x ( )seja diferencivel ema= (a1 , a2 , ... , an ) INT A, duas concluses so imediatas: a) A funo contnua emaporque, fazendo h 0no segundo membro da igualdade que exprime a diferenciabilidade, se obtm de imediato, l i m f a hh +0( )=f a ( ), igualdade que traduz a continuidade def x ( )em x=a; b) As constanteskique figuram no segundo membro da igualdade podem facilmente ser interpretadoscomoasderivadasparciaisf axi'( ) ,cujaexistnciaficaportanto assegurada em caso de diferenciabilidade : com efeito, tomando por exemploh = ( h1 , 0 , ... , 0 ) na igualdade que exprime a diferenciabilidade , obtm-se, f (a1 + h1 , a2 , ... , an )-f (a1 , a2 , ... , an )=k1 . h1 + | h1| . ( h1 ) , donde resulta, parah1 0 , f a h a a f a a ahn n( , , , ) ( , , , )1 1 2 1 21+ L L= khhh1111+ | |( ) , ou ainda, f ax1'( )= l i mh10 f a h a a f a a ahn n( , , , ) ( , , , )1 1 2 1 21+ L L= =l i mh10 | khhh1111+ | |( ) |= k1 + 0=k1, assim se concluindo quek1=f ax1'( )como se pretendia mostrar ; e do mesmo modo se pode concluir quanto s restantes derivadas parciais da funo no pontox=a. 196Note-se que, no entanto, a continuidade da funo no ponto em causa em conjunto com a existncia das suasn derivadas parciais nesse mesmo ponto, no suficiente para garan-tir a diferenciabilidade, como mostra o seguinte exemplo. A funo, f (x , y) = x xy x,,=00 , contnua e admite derivadas parciais no ponto (0 , 0) : fx'( , ) 0 0=l i mf h fhh 00 0 0 ( , ) ( , )=l i mhhh 0 = 1 , fy'( , ) 0 0=l i mf k fkk 00 0 0 ( , ) ( , )=l i mkkk 0 = 1 ; no entanto, a funo no diferencivel na origem porque de, f (h , k)-f (0 , 0)=h . 1+k . 1+ h k2 2+. ( h , k), tira-se, ( h , k)=f h k h kh k( , ) +2 2 =++= =kh khhh kh2 22 200 0,, , e v-se com facilidade que l i mhk00 ( h , k)no nulo. Sendof x ( )diferencivel em x=a(ponto interior do domnio da funo), tem-se, f a h f a ( ) ( ) + =f a h h hx iini'( ) . || || . ( ) +=1 , coml i m hh 0 ( ) = 0 , e a expressof a hx iini'( ) .=1 recebe o nome de diferencial def x ( ) em x=asegundo o vectorh , ou seja , | |d f ah( ) =f a hx iini'( ) .=1 = fxhiaiin

((=( ).1 , constituindo uma aproximao - a menos de um infinitsimo de ordem superior a || || h-da diferenaf a h f a ( ) ( ) + . 197Quandof x ( ) sejadiferencivelemtodosospontosdeumabertoA,adiferencialda funo num ponto genricox Asegundo o vectorhrepresenta--se por, | |d f xh( ) =f x hx iini'( ) .=1 = f xxhiiin( ).=1 , podendo ainda usar-se a seguinte representao matricial, | |d f xh( ) =| |f x f x f xx x xn 1 2' ' '( ) ( ) ( ) L .| |h h hnT1 2L = = f x ( ).H, em que H = | |h h hnT1 2Lrepresenta uma matriz coluna (transposta de uma matriz linha)cujoselementossoascoordenadasdovector h .Amatriz linha f x ( )== | |f x f x f xx x xn 1 2' ' '( ) ( ) ( ) Ldesigna-se por gradiente da funof x ( ) . Paraumafunodiferencivelnumpontointeriordorespectivodomnio,tem-seo seguinte, Teorema 1 : Sendof x ( )diferencivel em x=a(ponto interior do domnio da fun-o) e sendo u0 , tem-se, f au'( )=f a ux iini'( ) .=1 =| |d f au( ), ouseja,aderivadaemx =a segundoovectoru coincidecomadiferencialda funo no mesmo ponto asegundo o mesmo vectoru Demonstrao : Pela diferenciabilidade def x ( )emx=a, tem-se, com certo > 0e para|| || h< , f a h f a ( ) ( ) + =f a h h hx iini'( ) . || || . ( ) +=1 , com ( ) 0=l i m hh 0 ( ) = 0 , Tomando h= t .u,com| t | < / || || u, obtm-se, f a t u f a ( . ) ( ) + = t f a u t u t ux iini. ( ) . | | . || || . ( . )'+=1 , coml i m t ut 0 ( . ) = 0 . Ento, com0 < | t | < / || || u, resulta, 198f a t u f at( . ) ( ) + = f a uttu t ux iini'( ) .| |. || || . ( . ) +=1 , e passando ao limite quandot 0 , em ambos os membros , resulta imediatamente, f au'( )=f a ux iini'( ) .=1 =| |d f au( ), como se queria provar. Comocomentrioaoteoremaqueacabadeserdemonstradoconvirreferirquepode existirf au'( )sem que a funo seja diferencivel e, nesse caso, esta derivada pode ser distinta do valor dado pela expresso do enunciado do teorema. o que acontece com a funo, f (x , y) = x yx yx yx y2 22 2 3/22 200 0( ),,++ = = , no ponto(0 , 0) .Para u= (1 , 1) , tem-se, fu'( , ) 0 0=l i mf t ttt 00 ( , )= l i mtt t t 042 3/22 ( ) . =24 ; por outro lado, fx'( , ) 0 0=l i mf hhh 00 0 ( , )=0 ,fy'( , ) 0 0=l i mf kkk 00 0 ( , )=0 ,sendo portanto, fu'( , ) 0 0= 24 fx'( , ) 0 0. 1 +fy'( , ) 0 0. 1=0 . 4. Condio suficiente de diferenciabilidade O teorema seguinte d uma condio suficiente de diferenciabilidade de uma funo num ponto interior do respectivo domnio. Teorema 2 : Sendof x ( )uma funodeA RnemR e a INT A, se existem finitas asnderivadas parciaisfxi'em x =a e, alm disso, sen - 1 dessas derivadas parciaisexistemfinitasemcertaV ( a )esocontnuasnopontoa ,entof x ( ) diferencivel nesse ponto 199Demonstrao : Admita-se, para facilitar a notao, que as n - 1 derivadas a que se refere o enunciado sofx2' ,fx3' ,..., fxn' . Esta suposio em nada diminui a generalidade dademonstraoporque,casoasn-1derivadasemcausanosejamasrelativass vari-veis x2 , x3 , ... , xn , podemos sempre, por reordenao conveniente das variveis, reconduzir tal caso situao suposta. Notemosemprimeirolugarquesendoa =(a1 ,a2 ,...,an ),h =(h1 ,h2 ,...,hn )e || || h < , ento comxi pertencente ao intervalo de extremidadesai , ai + hitem-se que, ix= (a1 + h1 , a2 + h2 , , ai - 1 + h i - 1 ,xi, ai + 1 ,, an) V ( a ) , uma vez que, || ix-a || =0 0 ) (2 212221+ + + + + + +L Li i ia x h h h 0 02 212221+ + + + + + +L Li ih h h h || || h < E note-se ainda que o resultado anterior vlido parai = 2 , 3 , , n . Passe-se agorapropriamentedemonstrao doteorema .Devido existncia em V ( a )dasderivadasparciaisfx2',fx3',...,fxn',recorrendoaoresultadosuprae supondo que|| || h< , tem-se, 2 (x2 )=f (a1 + h1 , x2 , a3 , ... , an ) regular no intervalo deextremidades a2 ea2 + h2 ; 3 (x3 )=f (a1 + h1 , a2 + h2 , x3 , ... , an ) regular no intervalo deextremidades a3 ea3 + h3 ; ... n (xn )=f(a1 +h1,a2 +h2,...,an-1 +hn-1,xn )regularnointervalodeextremidades an ean + hn . Da existncia de derivada parcialf ax1'( ) , obtm-se a igualdade, 1)f (a1 + h1 , a2 , a3 , ... , an)-f (a1 , a2 , a3 , ... , an)= =h1 . | f ax1'( )+ 1(h1 )|,com l i mh10 1(h1 ) = 0 . Aplicando aseguir oteoremadeLagrangesfunes reais de varivel real 2 (x2 ) , 3 (x3 ) , ... , n (xn ) que vimos serem regulares nos intervalos indicados eatendendoainda continuidade emx= a das derivadasfx2' ,fx3' ,..., fxn' , obtm-se as seguin-tesn-1 igualdades : 2002)f (a1 + h1 , a2 + h2 , a3 , ... , an)-f (a1 + h1 , a2 , a3 , ... , an) = = h2 .f a h a h a ax n21 1 2 2 2 3'( , . , , , ) + + L = (0 < 2 < 1) =h2 . | |f a h hx22 1 2'( ) ( , ) + , coml i mhh1200 2 ( h1 , h2) = 0; 3)f (a1 + h1 , a2 + h2 , a3 + h3 , ... , an)-f (a1 + h1 , a2 + h2 , a3 , ... , an) = = h3 .f a h a h a h ax n31 1 2 2 3 3 3'( , , . , , ) + + + L = (0 < 3 < 1) =h3 . | |f a h h hx33 1 2 3'( ) ( , , ) + , coml i mhhh123000 3 (h1 , h2 , h3 ) = 0; ..................................................................................................................... n)f (a1 + h1 , a2 + h2 , ... , an + hn )-f (a1 + h1 , a2 + h2 , ... , an-1 + hn-1 , an) = = hn .f a h a h a h a h a hx n n n n nn'( , , , , , . )1 1 2 2 3 3 1 1+ + + + + L =(0 < n < 1) =hn . | |f a hx nn'( ) ( ) + ,com l i mh 0nh ( )= 0. Somando membro a membro as igualdades 1) , 2) , ... n) , obtm-se, aps as simplifica-es a efectuar no primeiro membro, f (a1 + h1 , a2 + h2 , ... , an + hn )-f (a1 , a2 , ... , an) = = | |f a h h h h h h h h h hx i n n nini'( ) . . ( ) . ( , ) . ( , , , ) + + + += 1 1 1 2 2 1 2 1 21 L L= =f a h h hx iini'( ) . || || . ( ) +=1, com , ( ) h=|| ||) , , , ( . ) , ( . ) ( .2 1 2 1 2 2 1 1 1hh h h h h h h h hn n nL L + + + ( 0 h ) Atendendo igualdade obtida, bastar provar que l i m hh 0 ( )= 0 ,para ficar demons-trado que f x ( ) diferencivel no ponto x=a. Ora, tendo em conta que| hi | || || h, obtm-se, 201 | ( ) h | | 1 ( h1 ) | + | 2 ( h1 , h2 ) | +...+ | n ( h1 , h2 , ... , hn ) | , ou ainda, l i mhhhn12000... || 1 ( h1 ) | + | 2 ( h1 , h2 ) | +...+ | n ( h1 , h2 , ... , hn ) | |=0 l i mhhhn12000... | ( ) h |=0 l i m hh 0 ( )= 0. Oteoremaqueacabadeserdemonstradoadmiteosseguintescorolrios,osquais envolvem a noo de funo de classe C r num aberto . Diz-se que f x ( ) de classeC r no abertoA se e s se admite derivadas parciais contnuas at ordemrem todos os pontos do conjunto aberto A . Posto isto, tem-se : Corolrio 1 : Qualquer funo de classe C1 no abertoA diferencivel em todos os pontos deA Demonstrao : Dado qualquera A = INT . A(A aberto) ,existeumavizinhana V ( a ) Aem cujos pontos as derivadas parciais da funo so contnuas. Verificam-seassim,pormaioriaderazo,ashiptesesdoteorema2relativamenteaopontoaconsiderado e, assim, a funo diferencivel nesse ponto. Corolrio2:QualquerfunodeclasseC rnoabertoAdiferenciveletem derivadas parciais at ordem r -1 diferenciveis em todos os pontos do conjunto A Demonstrao :Quer a funo, quer as suas derivadas parciais at ordemr - 1 admi-tem primeiras derivadas parciais contnuas no aberto A , ou seja, so de classe C 1nesse aberto . Logo, pelo corolrio 1, so diferenciveis em todos os pontos de A . 5. Derivao parcial e diferenciabilidade de funes deA RnemRm Oexpostoanteriormentepodegeneralizar-sesemdificuldadeaocasodasfunesvectoriaisde varivel vectorial, ou seja, funes deA Rnem Rm . Em primeiro lugar, vejamos o conceito de derivada parcial. Sendo, f x ( )= | |f x f x f xmT1 2( ) ( ) ( ) L, uma funo deA Rnem Rm(que como se sabe pode ser representada por uma matriz coluna de funes deA Rnem R ), define-se , 202f axj'( ) = l i mf a a h a f a a ahhj j n j nj j + 01 1( , , , , ) ( , , , , ) L L L L , caso o limite exista finito. Note-se que agora o numerador da razo incremental a dife-renadedoisvectoresdeRmequeportantoolimiteemcausaexisteseesse existirem osmlimites , f ai xj'( ) = l i mf a a h a f a a ahhi j j n i j nj j + 01 1( , , , , ) ( , , , , ) L L L L , i = 1 , 2 , ... , m, cada um correspondenteauma das coordenadas def x ( )em Rm . Por outras palavras, existirf axj'( ) seesseexistiremasmderivadasparciaisf ai xj'( ) dasmfunes reais den variveis reaisf xi( )e, em caso de existncia,f axj'( )ser um vector deRm

cujascoordenadassoprecisamenteasderivadasparciais(emrelaovarivelem causa)dascoordenadasf xi( ) emx =a .Matricialmente,serepresentarmosos vectoresdeRm pelasmatrizescolunasdasrespectivascoordenadas,podemosento representarf axj'( )do seguinte modo: f axj'( )= | |f a f a f ax x mxTj j j1 2' ' '( ) ( ) ( ) L. Anoodederivadanumpontoa Rn segundoumvectornonulou Rnpode tambm generalizar-se sem qualquer dificuldade para o caso das funes deA Rnem Rm : f au'( )= l i mf a t u f att + 0( . ) ( ) , e,talcomonocasodasderivadasparciais,conclui-sequef au'( ) existeseesse existirem asmderivadas emasegundo o vectorudas m funes reais den variveis reaisf xi( )e, em caso de existncia,f au'( )ser um vector deRmcujas coordenadas so precisamente as derivadas emasegundo o vectorudas coordenadasf xi( ) : f au'( )= | |f a f a f au u m uT1 2' ' '( ) ( ) ( ) L. Vejamos finalmente a generalizao da noo de funo diferencivel. Sendof x ( )= | |f x f x f xmT1 2( ) ( ) ( ) L uma funo deA Rnem Rm e aum ponto interior do domnioAda funo , diz-se quef x ( ) diferencivel no ponto a203se e s se existe uma transformao linear Tde Rn em Rm tal que, para|| || h < (com certo > 0) , f a h f a ( ) ( ) + =T h h h ( ) || || . ( ) + , com l i m hh 0 ( ) =0. AT h ( )chama-se diferencial da funof x ( )emx=asegundo o vectorh , ou seja, | |d f ah( )=T h ( ). SendoT = | ki j |a matrizm x n que representa a transformao Te sendo, H = | |h h hnT1 2LeE=| | 1 2( ) ( ) ( ) h h hmTL , asmatrizescolunasquerepresentam,respectivamente,osvectoresh e ( ) h ,a igualdade vectorial que traduz a diferenciabilidade def x ( )emx=apode escrever-se do seguinte modo:

| |f a h f a f a h f a f a h f am mT1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + L= =T . H+ || || h. E= =k k kk k kk k knnm m mn11 12 121 22 11 2LLLL

(((((( . hhhn12M

(((((+|| || h. 12( )( )( )hhhmM

(((((( , equivalendo por sua vez a condiol i m hh 0 ( )=0 a ser, l i m hh 01 ( )=l i m hh 02 ( )= =l i m hhm0 ( )= 0, Anotaomatricial permite imediatamente concluir que a diferenciabilidade def x ( )emaequivale verificao conjunta das seguintesmcondies: f a h f ai i( ) ( ) + =k h h hi j j ijn. || || . ( ) +=1 ,com l i m hhi0 ( ) = 0 , i = 1 , 2 , ... , m; 204ouseja,equivalediferenciabilidadeconjuntaemx =a dasmfunesreaisden variveisreaisf xi( ) ,coordenadasdef x ( ) .Estaconclusopermite,porsuavez, identificar os elementoski j da matriz T : ki j=f ai xj'( ) (i = 1 , 2 , ... , m;j = 1 , 2 , ... , n ) , sendo portanto, T= f a f a f af a f a f af a f a f ax x xx x xmx mx mxnnn1 1 12 2 21 21 21 2' ' '' ' '' ' '( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )LLLL

(((((( , matrizquesedesignaporMatrizJacobianadef x ( ) -oudosistemademfunes f xi( )-no pontox =a . Por outro lado,em notao matricial, a diferencial def x ( )emx =apode representar-se como segue:

| |d f ah( )= f a f a f af a f a f af a f a f ax x xx x xmx mx mxnnn1 1 12 2 21 21 21 2' ' '' ' '' ' '( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )LLLL

(((((( . hhhn12M

(((((= = | || || |d f ad f ad f ahhmh12( )( )( )M

(((((( =| | | | | || |d f a d f a d f ah hmhT1 2( ) ( ) ( ) L. Finalmente,tendoematenoodispostonoteorema1,conclui-sequeemcasode diferenciabilidade de f x ( )emx =a, f au'( )=| |f a f a f au u m uT1 2' ' '( ) ( ) ( ) L= =| | | | | | | |Tu m u ua f d a f d a f d ) ( ) ( ) (2 1L = | | ) (a f du . 6. Diferenciabilidade de uma funo composta Vamos agora estudar um teorema que d a regra de diferenciao da funo composta e como corolrio a regra de derivao parcial da funo composta. Este teorema generaliza aregradederivaojconhecidaparaacomposiodefunesreaisdevarivelreal, caso j estudado anteriormente. 205Teorema 3 : Sendoy=g x ( ) = | g1 ( x ) , g2 ( x ) , ,gm ( x ) |Tfuno deA Rn

emRmew=f y ( ) umafunodeBRmemR ,admita-sequeg x ( ) diferencivel em certo ponto a INT. Ae quef y ( ) tambm diferencivel no ponto correspondenteb =g a ( ) quesesupeserpontointeriordodomnioBdafuno f y ( ) .Entoa tambmpontointeriordodomniodafunocompostafog,esta funo diferen-civel nesse ponto e tem-se, | |d f o g ah( ) ( ) = = =(((

njjmjx yh a g b f1 1' '. ) ( . ) ( . Demonstrao:Devidocontinuidadedeg x ( ) emx =a (porsetratardefuno diferencivel nesse ponto), tem-se: > 0 , = ( ) :x V ( a ) A g x ( ) V ( b ) . Comoporhipteseb pontointeriordodomnioBdafunof y ( ) ea ponto interiordodomnioAdeg x ( ) ,podetomar-sesuficientementepequenodeforma que V ( b ) Be o = ( ) cuja existncia assegurada pela condio de continui-dade tambm suficientemente pequeno de forma que V ( a ) A ; e ento, para tais e a condio que define a continuidade de g x ( ) emx =apermite escrever,x V ( a ) g x ( ) V ( b )B,ouseja,afunocomposta | |f o g x ( ) =| |f g x ( ) definidaparatodoox V ( a ),oqueprova,sera pontointeriordodomniode| |f o g x ( ) .Emtudooquesesegue,consideraremossempre(semnecessidadede qualquermenoexplcita)queoacrscimoh verificaacondio|| h ||0.x B,conjuntamentecomadiferenciabilidadeda funo em B, garantem que a funo positivamente homognea nesse conjunto. P7:Sendof x ( ) funodiferencivelnoabertoB,conjuntoaverificaracondio, x B > 0 .x B , se f x ( ) verifica a identidade de Euler em B , ento a funo positivamente homognea nesse conjunto Demonstrao: Sejax B e defina-se a seguinte funo de , para > 0 : 213 g() =f x ( ) - . f x ( ), emqueoparmetrorealdosegundomembrodaidentidadedeEulerquepor hipteseseverifica.Derivandoobtm-se,usandoaregradederivaodeumafuno composta, g () =x f x f xi xini. ( ) . . ( )' =11 , e ento, . g () = x f x f xi xini. ( ) . . ( )'=1 . Dado verificar-se a identidade de Euler em B , tem-se, . g () = . ( ) . . ( ) f x f x = | | . ( ) . ( ) f x f x = = . g() . Fazendo agora () = g()/com > 0e derivando, obtm-se, () = g g ' ( ) . . . ( ) 12 = g g ' ( ) . . ( ) + 1 = 0 , sendoportanto()constantenointervalo|0,+|.Ecomo,(1)=g(1)=0, conclui-se que () = 0no intervalo | 0 , + | . Dai decorre que, com > 0,g() = 0 ;atendendo definio de g() resulta finalmente, g() =f x ( ) - . f x ( ) = 0 , ou seja,f x ( ) = . f x ( )para > 0 . Fica assim provado quef x ( ) positivamen-te homognea no conjunto B. 8. Teorema dos acrscimos finitos 214Apresentam-seseguidamenteduasgeneralizaesdoteoremadosacrscimosfinitos (teorema de Lagrange), j estudado para o caso das funes reais de varivel real. Teorema 4 : Sendof x ( )uma funo deA Rn em R , existindo as respectivas deri-vadas parciais em todos os pontosx V ( a )esendohum vector tal que|| || h< , tem-se : f a h f a ( ) ( ) + =h f a h a ax n 1 1 1 1 21. ( . , , , )'+ + L+ + + + h f a h a h a ax n 2 1 1 2 2 2 32. ( , . , , , )' L... + + + + + h f a h a h a h a hn x n n n n nn. ( , , , , . )'1 1 2 2 1 1L , com0 < 1 < 1 , 0 < 2 < 1 , ...,0 < n < 1 (1 Verso do teorema de Lagrange) Demonstrao : Devidoexistncia na vizinhanaV ( a ) das derivadas parciais fx1' , fx2', ... ,fxn' e supondo que || || h < , uma argumentao semelhante utilizada na parte inicial da demonstrao do teorema 2 permite concluir que : 1 (x1 ) = f (x1 , a2 , ... , an ) regular no intervalo de extremidadesa1 e a1 + h1 , 2 (x2 ) = f (a1 + h1 , x2 , ... , an ) regular no intervalo de extremidadesa2e a2 + h2 , ... n (xn ) = f (a1 + h1 , ... , an-1 + hn-1 , xn ) regular no intervalo de extremidades an ean + hn . Aplicando o teorema de Lagrange s funes 1 (x1 ), 2 (x2 ) , ... , n (xn ) nos intervalos indicados, tem-se: f (a1 + h1 , a2 , ... , an )-f (a1 , a2 , ... , an ) = h f a h a ax n 1 1 1 1 21. ( . , , , )'+ L , f (a1 + h1 , a2 + h2 , ... , an )-f (a1 + h1 , a2 , ... , an ) = = h f a h a h a ax n 2 1 1 2 2 2 32. ( , . , , , )'+ + L , ... f (a1 + h1 , ... , an + hn)-f (a1 + h1 , ... , an-1 + hn-1 , an ) = = h f a h a h a h a hn x n n n n nn. ( , , , , . )'1 1 2 2 1 1+ + + + L , com0 1,2 (x - 1)(y - 1) . |(y - 1) . h +(x - 1) . k|; - Parax 1,0 . 16 -a) Matriz Jacobiana = 2 223 32 2x yy x xx y+

(((( ;b) Diferencial=2 223 32 2x h y ky x h x kx h y k++ ++

((((( ) . 17 -a) Matriz Jacobiana =

(((((((((tttt1222 ;b) Diferencial=

(((((((((t htt ht h1222. 18 -z s e n tt'= 2 42 . 19 -w eus u v' =+ 8 ,w evs u v'= + 8,w ess u v' . =+ 88. 21 -Matriz Jacobiana=2 4 2 2 4 41 2 4 1 2 2 2 4 42 2 4 2 1 2 4 2 4x y u x y x w y wy x u y x w w y x wy u x u y x y w w x w+ + + + + + + + +

(((( , em quex=u + v + w2 e y=u2+ v + w2 . 22 -Matriz Jaccobiana=4 1 2 11 4 3 2u vu v+ +

((. 23 - F(0)= 443(directamente)eF(0)=0(regradederivaodafunocomposta);aobtenoderesultadosdiferentespermiteconcluirquef(x,y)nodiferencivelna origem . 24-F(0)=1(directamente)eF(0)=1(regradederivaodafunocomposta);pode concluir-sequeascondiesestudadasquegarantemavalidadedaregradederivaode uma funo composta no so condies necessrias mas apenas suficientes . 25 - a) Homognea de grau-1em sentido restrito; b) Homognea de grau 0 em sentido res-trito;c) Positivamente homognea de grau 1; d) Positivamente homognea de grau -2 . 26 - Para = -3/2 e= 13/2,a funo positivamente homognea de grau2 . 27 - Aidentidadeprovadasignificaqueafuno f (x , y)positivamentehomognea de grau 2 . 29 - F (t) = - 4 . | sen (2 t ) +t . cos ( 2 t )|, F (t) = - 4 . | 3 . cos (2 t )- 2 t . cos ( 2 t )|. 236 30 -F f s e n x s e n y c o s xx u' '( , ) . = ,F f s e n x s e n y c o s yy v' '( , ) . = , F f s e n x s e n y c o s x f s e n x s e n y s e n xxuu 222 " " '( , ) . ( , ) . = , F F f s e n x s e n y c o s x c o s yx y y x uv" " "( , ) . . = = F f s e n x s e n y c o s y f s e n x s e n y s e n yyvv 222 " " '( , ) . ( , ) . = . 31 - = 1 = 2= 1/2. 32 - = 1 = 2= h l o g hh l o g h ++( ). ( )11. 35 - 5,12 (valor calculado com= 0 ) . 36 - 1,99 (valor calculado com= 0 ) . 37 - fx y"( , ) 0 0 0 = ;as primeiras derivadas parciais no so diferenciveis na origem . 38 -fx' no definida em nenhuma vizinhana da origem . 39 -fx y"( , ) 0 0 0 = efy x"( , ) 0 0 1 = ;asprimeirasderivadasparciaisnosodiferenci-veis na origem . 237CAPTULO VIII DIFERENCIAISDEORDEMSUPERIORFRMULADETAYLOREAPLICAES 1. Diferenciais de ordem superior Trataremosapenasocasodasfunes deARnemR , sendo que o caso geral das funes deARnemRm se obtm a partir das respectivascomponentesoucoordenadas ,cadaumadasquais uma funo deARnemR . Sejaf (x1 , x2 , ... , xn )uma funo deARnemR , comAconjunto aberto. Sendo f x ( )diferencivel emA , sabemos j que, para qualquer pontox A , | |d f xh( )= f xxhiiin( )=1 =f xh'( ). Admitamosadicionalmentequeasprimeirasderivadasparciaisdef x ( ) so diferenciveis no aberto A- o que em particular fica garantido sef x ( ) for de classe C2

noabertoemcausa-.Assim,paracadavectorh Rn ,afuno | |d f xh( ) = f xh'( ) ,consideradacomofunodex =(x1,...,xn ),diferencivelnoabertoA, sendo a sua diferencial num ponto genricox Ae segundo um vectorkdada por,

| | { }d d f xhk( )=f xxhxkiiinj jnj( )|\

|.||==11 = = 21 1f xx xh ki ji jinjn( )= = , representandoigualmenteestaexpressoaderivadadef xh'( ) ,numpontogenrico x Ae segundo um vectork .Ou seja, numa notao mais simplificada, | |d f xh k2( ) =f xh k"( )= 21 1f xx xh ki ji jinjn( )= = . Quando sejak=h, obtm-se em particular, 238| |d f xh h2( ) =f xh h"( )= 21 1f xx xh hi ji jinjn( )= = , sendo usual neste caso a seguinte simplificao de notao: | |d f xh2( )=f xh"( )= 21 1f xx xh hi ji jinjn( )= = , e falando-se ento de segunda diferencial def x ( )emx A segundo o vectorh, ou de segunda derivada emx A segundo o mesmo vector . Voltandofunof x ( ) deARnemR,seelaadmitirderivadasparciaisat segunda ordem diferenciveis no aberto A - o que, em particular, fica garantido sef x ( )fordeclasseC3noabertoemcausa-,podemosdefinirapartirde | |d f xh2( ) aterceira diferencial da funo no pontox A segundo o vectorh : | |d f xh3( )=f xh"'( )= ini i ii i iininf xx x xh h h3 1 2 31 2 31 2131 1 = = = ( ) . E assim por diante. Se a funof x ( )de ARnemRadmitir derivadas parciais at ordemr -1 diferenciveis no aberto A - o que, em particular, fica garantido sef x ( )fordeclasseC rnoabertoemcausa-,podemosdefinirar-simadiferencialda funo no pontox A segundo o vectorh : | |d f xrh( )=f xhr ( )( )= = LLLininri i i ii i i iininr rrf xx x x xh h h h= = = = 1 1 1 13 1 2 31 2 31 2 ( ) . Tendoematenoasexpressesindicadasparaassucessivasdiferenciais(ederivadassegundovectores ) , obtm-se as seguintesrelaesqueadiante sero utilizadas:

| |d f xh .( )=| | . ( ) d f xhou f xh .'( )= . ( )'f xh ,

| |d f xh2 .( )=| |2 2. ( ) d f xhou f xh ."( )= 2. ( )"f xh , ...

| |d f xrh .( )= | | r rhd f x . ( ) ou f xhr .( )( )= rhrf x . ( )( ) . Em particular, com = -1 , obtm-se : 239

| |d f xrh ( )= | | ( ) . ( ) 1r rhd f x ou f xhr( )( )= ( ) . ( )( )1rhrf x. Tambm em particular, fazendo =|| || heversh = 1 h (quando seja =|| || h 0),tem-se : | |d f xrh( )=| |d f xrvers h .( )= r. | |d f xrvers h( ), ou ainda , f xhr ( )( )= r.f xvers hr ( )( ) . 2 . Frmula de Taylor Admita-sequef x ( ) temderivadasparciaisatordemmdiferenciveisemcerto abertoA Rn,o que em particular fica garantido se a funo for de classe C m+1 emA . Seja a Aehum vector tal que, qualquer que sejat |0 , 1| , x=a t h + . A . Em particular ,se o abertoAse limitar a ser uma vizinhana de um pontoa , seja ela V ( a ) , acondio precedente cumpre-se se o vector hfor tal que|| || h< , como facilmente se verifica. Coma Aeh nascondies referidas, considere-se a funog(t) = f a t h ( . ) +, para- 0suficientementepequenodeformaater-se a t h + . Apara- 2 y2 >y2 e negativa para 2 y2> x >y2 . Comof (0 , 0) = 0 , conclui-sequeaorigemnopodeserminimizantenemmaximizante:casofosseminimizante, 251deveriater-sef(x,y)0emcertavizinhanadaorigem;casofossemaximizante, deveria ter-se f (x , y) 0 em certa vizinhana da origem. Termina-seapresentandoumdiagramaqueresumeatcnicaaaplicarnadeterminao dos extremantes interiores. Sendo, (a)==0 ) , , , (0 ) , , , (2 1'2 1'1nnxn xx x x fx x x fKLK (b) | | = = = =nrininiri i iri i irhrh h hx x xx fx f d1 12112 12 1) () ( LLL veja-se o diagrama da pgina seguinte . 252Resolver o sistema (a) para determinar os pontos de estacionaridade interiores do domnio da funo Para cada pontoa de estacionaridade determinar a primeira das diferenciais sucessivas (b) que no identicamente nula No existe, so todasExiste e tem ordem Existe e tem ordem nulas:mparmmpar : - Caso Duvidoso- O pontoa no extremante Esta diferencial Esta diferencial Esta diferencial definida positiva:semidefinida definida negativa: - O pontoa mini - - O pontoa maxi- mizantemizante

semidefinida positiva: semidefinida negativa: determinam-se os vectores determinam-se os vectores no nulos que a anulam no nulos que a anulam (vectores singulares)(vectores singulares) Para certo vector singularsa primeira diferencial sucessiva de ordem superior amque no se anula tem ordemmpar: - O pontoa no extremante

Para certo vector singulars aPara certo vector singulars a primeira diferencial sucessiva primeira diferencial sucessiva de ordem superior a m que no de ordem superior a m que no se anula tem ordem par e ne- se anula tem ordem par e po- gativa: sitiva: - O pontoa no extremante - O pontoa no extremante Para todos os vectores singularess a Para todos os vectores singularess aprimeira diferencial sucessiva de primeira diferencial sucessiva de ordem superior am que no se anula ordem superior am que no se anula tem ordem par e positiva:tem ordem par e negativa: - Caso Duvidoso - Caso Duvidoso Para todos os vectores singularessas sucessivas diferenciais de ordem superior a m so todasidenticamente nulas: - Caso Duvidoso 253 4. Estudo da convexidade e concavidade Como se sabe, o conjunto A Rndiz-se convexo (ou conexo por segmentos) se e s se quaisquer que sejam os pontosa ,b A , o conjunto, S( a ,b ) = { x x a b : . . , ,