IINSTITUTOSUPERIORDEECONOMIAEGESTO CURSODEMATEMTICAAPLICADAECONOMIAEGESTO ANLISEMATEMTICA I ELEMENTOSDEANLISEREAL Volume 1 Por : Gregrio Lus II PREFCIO O presente texto destina-se a apoiar a disciplina de Anlise Matemtica I do curso de MatemticaAplicadaEconomiaeGestodoInstitutoSuperiordeEconomiae Gesto. Parte significativa dos assuntos includos neste texto integram os programas do Ensi-noSecundrio.Aabordagemfeitanessesprogramasnoentantoquaseexclusiva-mente operacional, sendo os conceitos e a fundamentao da maior parte das regras de clculoapresentadosdeformameramenteintuitiva,emqueousofrequenteda calculadorasubstituiorigordasdefiniesedasdemonstraesparaevitaraquiloa que os pedagogos chamam a excessiva formalizao da anlise . Impe-seassimquetaistemassejamretomadosnoprimeiroanodoscursos superiores,paraumaapresentaomaisrigorosaeparaseremcomplementadoscom alguns desenvolvimentos ainda no objecto de estudo anterior. Para alm da abordagem terica dos temas em estudo, o texto inclui ainda, no final de cada captulo, exerccios e respectivas solues. Os exerccios marcados com * so de resoluomaisdifcilpodendoserignoradospelosalunosmdios.Aconselha-se contudo a sua resoluo aos alunos mais interessados. Amaiorpartedosexercciosincludostmsidoutilizadosnosltimos30anosnas aulasprticasdasdisciplinasdeMatemticadosprimeirosanosdoscursos ministradosnoInstitutoSuperiordeEconomiaeGesto,tornando-seimpossvel referenciar a sua provenincia ; para alm destes h ainda exerccios originais e outros que foram retirados ou adaptados da bibliografia indicada no final. Cadacaptulotemumanumeraoindependenteparaospontos,teoremase propriedades. Nas referncias feitas no texto subentende-se que os pontos, teoremas e propriedadespertencemaoprpriocaptulo,salvoquandoexpressamenteseja indicado o contrrio . III Esteprefcionopoderiaterminar sem uma referncia aos professores que ao longo dosltimos60anoscontribuiramdecisivamenteparaatradioqueoensinoda matemtica tem nesta escola de economia e gesto. Correndo o risco de injustamente esqueceralguns,citam-seaquiosProfs.MiraFernandes,BentoCaraa,LeitePinto, Vicente Gonalves, Jos Ribeiro de Albuquerque e Bento Murteira. Lisboa, 22 de Maio de 2002 Antnio Gregrio Lus IV NDICE CAPTULO I Nmeros Reais 1.Introduo ...12.Supremo e nfimo de um conjunto ..13.Nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais .23.1 Nmeros naturais ...23.2 Nmeros inteiros e racionais ..53.3 Radiciao em R 63.4 Existncia de reais no racionais ...84.Representao decimal dos nmeros reais ..104.1 Representao decimal dos reais no negativos 104.2 Algoritmo para obteno da dzima de um racional no negativo .124.3 Dzimas infinitas no peridicas e nmeros irracionais .144.4 Representao de nmeros reais negativos 145.Exerccios 15 CAPTULO II Noes Topolgicas em R 1.Distncia e vizinhanas ...182. Conceitos topolgicos bsicos 183. Teorema de Bolzano Weierstrass .264.Conjuntos limitados 265. Ampliao de R . Pontos imprprios ..286.Exerccios 29 CAPTULO III Sucesses de termos reais 1.Generalidades ..322.Conceito de limite. Teoremas fundamentais ...333.Sublimites. Teoremas fundamentais ...374.Regras elementares para clculo de limites 414.1 Soma, produto e quociente .414.2 Potncia de expoente natural ..434.3 Raiz de ndice natural .434.4 Potncia de expoente racional positivo ..44V4.5 Potncia de expoente nulo ..454.6 Potncia de expoente racional positivo ..465.Clculo de limites por enquadramento 466.Exponencial de base natural. O nmero e de Neper ...486.1 Introduo ..486.2 O nmero e de Neper .506.3 Definio e propriedades da exponencial de base natural .527.Logaritmos de base natural .588.Definio e limites das potncias de expoente irracional ...609.A exponencial de base b 1 ...6210.Frmulas de Bernoulli para o clculo de limites .6311.Alguns infinitsimos e infinitamente grandes notveis ..6812.Teoremas subsidirios .7013.Exerccios 73 CAPTULO IV Sries de termos reais 1.Introduo ...812.Exemplos notveis de sries ...832.1 Srie geomtrica .832.2 Sriea+2 a r++n a r n-1 + .. 832.3 Sries redutveis ou de Mengoli .842.4 Srie exponencial ...863.Propriedades elementares das sries ...874.Condio necessria e suficiente de convergncia de uma srie 915.Critrios de convergncia para sries de termos no negativos ..925.1 Introduo ..925.2 Critrios gerais de comparao ..935.3 Critrio de Dirichlet ...965.4 Critrio da razo. Critrio de DAlembert .985.5 Critrio da raiz. Critrio de Cauchy ...995.6 Teorema de Kummer .1015.7 Critrio de Raabe ...............................................................................1025.8 Critrio de Gauss 1056. Convergncia absoluta e convergncia simples ..1067.Estudo da convergncia de sries no absolutamente convergentes ...1097.1 Sries alternadas decrescentes ...1097.2 Critrios de Abel e Dirichlet ..1128.Propriedades especiais das sries absolutamente convergentes ..1148.1 Comutatividade ..1148.2 Teorema de Riemann .1168.3 Associatividade generalizada .1218.4 Multiplicao de sries absolutamente convergentes . Srie produto de Cauchy ...1259.Clculo aproximado da soma de uma srie .1279.1 Introduo ..1279.2 Majorao do resto de ordem p para sries absolutamente conver-gentes ..1289.3 Majorao do resto de ordem p para sries alternadas decrescentes .13110. Exerccios 133VI CAPTULOV Sries de potncias de termos reais 1.Estudo da convergncia ..1392.Exerccios 141 CAPTULOVI Funes reais de varivel real. Limites e continuidade 1.Introduo ... 1432.Definio de limite de uma funo num ponto ..1463.Condio necessria e suficiente para existncia de limite finito ...1474.Sublimites. Limites laterais .1485.Regras de clculo de limites de funes .1516.Limites das funes trigonomtricas e suas inversas ..1537.Continuidade pontual ..1568. Descontinuidades 1589.Continuidade num conjunto. Propriedades especiais das funes cont-nuas .15910.Continuidade da funo inversa ..16311.Continuidade uniforme. Teoremade Heine Cantor 16412.Exerccios 167 CAPTULOVII Clculo Diferencial em R 1.Definio de derivada de uma funo num ponto ...1762.Interpretao geomtrica do conceito de derivada ..1793.Regras de derivao 1833.1 Introduo. Regras da soma, do produto e do quociente ...1833.2 Regra de derivao de uma funo composta 1853.3 Regra de derivao da potncia em geral ...1883.4 Regras de derivao das funes exponencial, logartmica e expo-nencial potncia ..1903.5 Regras de derivao das funes trigonomtricas .1923.6 Regras de derivao de uma funo inversa . Aplicao s funes trigonomtricas inversas .1934.Primeira derivada. Derivadas de ordem superior 1965.Funes diferenciveis 1986. Teoremas fundamentais sobre funes regulares 2016.1 Extremantes relativos ou locais e extremantes absolutos de uma funo .2016.2 Funes regulares. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy .2027.Algumas aplicaes das derivadas ..2077.1 Levantamento de indeterminaes .2077.2 Estudo da monotonia e extremantes ...2157.3 Estudo da convexidade e concavidade ...2188.Exerccios 222 CAPTULOVIII Aproximao polinomial de funes 1.Polinmios de Taylor ..230VII2.Frmula de Taylor ...2313.Formas especiais do resto ...2334.Aplicao da frmula de Taylor no estudo dos mximos e mnimos .2365.Exerccios 238 CAPITULO IX Primitivas 1. Generalidades. Primitivao imediata e quase imediata . 241 2. Primitivao por partes 244 3. Primitivao por substituio . 245 4. Exerccios 247 BIBLIOGRAFIA 252 1CAPTULO I NMEROSREAIS 1. Introduo Admite-seoleitorjfamiliarizadocomaspropriedadesbsicasdocorpoordenadoe completo dos nmeros reais, razo pela qual nos limitaremos a apresentar alguns tpicos que eventualmente podero no ter sido objecto de estudo anterior. Assim,emprimeirolugardiscutiremososconceitosdesupremoenfimodeum subconjuntodeRefaremosrefernciaaochamadoaxiomadosupremo,bemcomoa algumas consequncias que dele decorrem. Apresentaremos em seguida alguns subconjuntos importantes de R, a saber os conjuntos N (dos nmeros naturais),Z(dos nmeros inteiros)eQ (dos nmeros racionais) com osquaissupostamenteoleitorjconviveu,abordandoemespecialalgunsaspectosem que eventualmente o convvio no foi to ntimo quanto desejvel. Abordaremos finalmente algumas questes importantes, como o caso da representao decimaldosnmerosreais,dequeoleitor,emborapossaestarfamiliarizadocomos aspectos prticos, quase certamente desconhece a fundamentao terica. 2. Supremo e nfimo de um conjunto. Axioma do supremo SendoA Rno vazio ,chama-semajorantedeAaqualquerrealk Rtalque : x A ,xk . Claro que , sendokmajorante do conjunto A, qualquerk* > k igualmenteummajorante do mesmo conjunto. Um conjunto que admite majorantes diz--semajorado,oulimitadosuperiormente;conjuntonomajoradodiz-setambmno limitado superiormente ou ilimitado superiormente. Constituipropriedadefundamentaldo conjunto R a seguinte, usualmente conhecida por axiomadosupremo(axiomadacontinuidadeoudacompletude):Qualquer subconjunto no vazio de R que seja majorado admite um majorante menor que todos os demais, o qual se designa por supremo do conjunto. Dado um conjuntoA Rno vazio, chama-se minorante deA a qualquer realk R tal que : x A ,xk .Claro que ,sendokminorante do conjunto A, qualquerk* 0, x: - 0, x: x< + . 3. Nmeros naturais, inteiros,racionais e irracionais 3.1 - Nmeros naturais Um subconjuntoA Rdiz-se indutivo se s se ,x Ax + 1 A . So exemplos deconjuntosindutivosA=[1,+[eoprprioR;soexemplosdeconjuntosno indutivoseA = ] -1 , 2] eo conjunto R- dos reais negativos. fcilverque ,dadaumaclasse {S} deconjuntosindutivos ,entooconjunto S=IS tambm um conjunto indutivo: com efeito, x S ,x S ,x + 1 Sx + 1 S. Considerandoagoraaintersecodetodososconjuntosindutivosaquepertenceo nmero 1, obtm-se um subconjunto de R que ser designado por conjunto dos nmeros naturaiseserepresentarporN.Apartirdaspropriedadesdosnmerosreaisetendo em conta a definio dada do conjunto N ,podemdemonstrar-se diversas propriedades dosnmerosnaturais.Semqualquerpreocupaodeserexaustivoemaisattulode exemplo, demonstram-se a seguir algumas delas que o leitor j conhece. P2 : Um o menornmero natural Demonstrao : Por construo do conjunto dos nmeros naturais tem-se que 1 N(N umaintersecodeconjuntostaisqueatodoselespertenceoreal1).Paraverquese trataefectivamentedomenornmeronatural,bastanotarqueumdosconjuntos indutivos a considerar na interseco que d o conjunto N precisamente A = [ 1 , + [ = = { x :x Rx 1} . 3P3:Qualquernmeronaturalntemumnicosucessorn+ =n+1quetambmum nmero natural Demonstrao : Quen+ natural resulta imediatamente de sern N e N um conjunto indutivo. Quen+ nico resulta da sua definio e da unicidade da adio em R . P4 : Nmeros naturais diferentes tm sucessores diferentes Demonstrao : Bastar provar quen+ = m+ n = m . Ora, n+ = m+ n + 1 = m + 1 n = m , sendo a segunda implicao uma propriedade conhecida da adio em R (lei do corte). P5 : Um no sucessor de nenhum nmero natural Demonstrao:Sefosse1=n+= n + 1 , com certo n Nesse nseria o real0 e ento, contrariamente ao estabelecido na propriedade P2 o menor natural no seria1 . P6 : : SeA N indutivo e 1 A ,entoA = N Demonstrao:ComoAindutivoe1A,esteconjuntoumdosqueentramna intersecodeconjuntosindutivosquepermiteobteroconjuntoN.Ento,NAe como por hipteseA N ,resultaA = N . estapropriedadequefundamentaochamadomtododedemonstraoporinduo finita.SendoC(n)umacondioen uma varivel natural , admita-sequeacondiose transforma numa proposio verdadeira paran = 1 e que, C(n)verdadeiraC(n+1) verdadeira ; ento, designando por A o conjunto dos valores n que tornam verdadeira a condio C(n), tem-se : 1 AeA indutivo ,logoA = N , ou seja, a condio torna-se uma proposio verdadeira para todo on N . P7 : O conjuntoNno majorado Demonstrao:SeNfossemajorado,comonovazio,teriasupremos=SupN. Ento : 1) n N,n s; 2) > 0, n N:s - < n s . Escolhido = 1 , existirian1 Ntal ques - 1 < n1 s , donde resultarian1 + 1 > se, portanto,s no poderia ser o supremo de N (seria excedido pelo sucessor den1). P8 :Dadosa , b Resendo a>0: 1) Existe n N tal quen a >b; 2) Existem Ntal quem a b (Propriedade Arquimediana) 4Demonstrao :Bastaprovar 1), porque obviamente 1) 2). Se no existissen Ntal quen a >b ,seria n a bparatodoon N ;dairesultaria , por sera>0 ,nb/apara todon N e ento N seria majorado, contrariamente ao estabelecido na propriedade P7. P9 : Qualquer nmero natural maior que 1 sucessor de um e de um s nmero natural Demonstrao:a)ProvemosemprimeirolugarquesemNem>1,entom sucessor de certo naturalp N . Paratalbastarprovar que se m > 1 no sucessor de nenhump N ,entom N .

Considere-seoconjuntoN* = N - {m}evejamosque :1) 1 N* , porque 1 N em 1 ;2) N* indutivo, porque dadop N*tem-sep Ne p m , logop+1 Nep+1 m(se fossep+1 = m ,mseria sucessordecertonaturalp N ) ,ouseja ,p+1 N* .MassendoN* indutivo e 1 N*, tem-se N* = N(propriedade P6)eentom N como se queria provar. b)Secertonaturalm>1fossesucessordosnaturaisnepdistintostalviolariao dispostonapropriedadeP4,ficandoassimprovadaasegundapartedademonstrao (qualquer naturalm > 1 sucessor deum snatural). P10 : Entre um nmero naturalne o seu sucessor n+ = n+1 no existe qualquer natural Demonstrao : Vai fazer-se a demonstrao por induo finita. Paran = 1 a propriedade obviamente verdadeira: se entre1e1+ = 1 + 1 existisse um certo naturalp , ter-se-ia1 1/m). b)Vejamos agora o caso em queb 0 . Neste caso o intervalo] -b , -a [encontra-se nas condies consideradas na alnea a), pois, a < b 0 0 -b< -a ; existeportantoumracionalrtalque-b 1 , tem-sequeb = 1 + ccomc > 0e,portanto, por ser k > 1 , x > bxk>bk = (1 + c)k>1 + k c>1 +c = bx A . Existe portanto = Sup A .Vejamos que no pode ter-se , nem k < bnem k>b , s restando portanto a hiptese de ser k = b o que provar a existncia da raiz =bk . a)Nopodeter-se k 0ea propriedadearquimediana(propriedadeP8)garantiriaaexistnciadeumnatural ntal que,( b - k ) . n(1+ )k - k , ou seja ,b - k( ) 1 + k kn. Ento seria, ( + 1/n ) k = k k k k kkk kC n C n C n + + + + 1122 21 1 1 . . ( / ) . . ( / ) ... . ( / ) [ ] k k k k kkkC C C n + + + + 11221 . . ... . ( / ) = =][ k k kn + + ( ) . ( / ) 1 1 k+b - k=b ; existiria portanto um real= + 1/n Amaior que o supremo deste conjunto o que impossvel. b) No pode ter-se k>b . Com efeito se assim fosse,seria k - b > 0e a propriedade arquimediana (propriedade P8) garantiria a existncia de um naturalntal que,( k - b) . n(1+ )k - k ,ou seja , k b( ) 1 + k kn. Porser = Sup A , existeum certot Atal que - 1/n < t e, por ser 1 ennatural , tem-set > - 1/n 0 ; ento, tk >( - 1/n)k = = k k k k k kkk kC n C n C n + + 1122 21 1 1 1 . . ( / ) . . ( / ) ... ( ) . . ( / ) > >[ ] k k k k kkkC C C n + + + 11221 . . ... . ( / ) = =][ k k kn + ( ) . ( / ) 1 1 k- k + b =b ; mas ento o referidot ,supostamente pertencenteaA , verificaa condio tk > be, portanto,nopodepertencer aA . Estacontradioresultadeseteradmitido que k>b . 8 B) Estuda-se agora com facilidade o caso em que0 1eoresultadodaalneaA)garanteaexistnciadeumpositivotalque k =1/b; ento o real positivo = 1/ser tal que, k = 1/ k = b , ficando, tambm neste caso, garantida a existncia da raz positiva de ndice kdo realb . C) No caso em queb = 1 , tem-se1k = 1 qualquer que seja o naturalke fica tambm garantida a existncia da raiz positiva de ndice k da unidade. Continuando a considerar o problema da existncia da raiz bk , no caso em queb > 0 , podemos concluir que, para alm da raiz positiva cuja existncia j demonstramos, existe ainda uma raiz negativa no caso em que o ndice k seja par. Com efeito, sendoa raiz positiva de ndicekdo real b , caso k seja par existe ainda uma raiz negativa de ndice k para o mesmo b que precisamente o real-:(- )k = (-1)k. k= k= b . No caso de serb = 0 , tem-se evidentemente 0k = 0 . No caso de serb < 0 , sekfor mpar existe uma raiz negativa de ndicek do realb :sendoaraizpositivadendicekdoreal-b > 0 ,tem-se , k= -be ,portanto ,(-)k=(-1)k. k=- k =b,ouseja,nestecaso-seraraiz(negativa)dendice impar kdo real negativo b . Subsiste como impossibilidade o caso em queb < 0e o ndice da raiz par, pois nesse caso a existncia da raiz no permitida pela regra dos sinais da multiplicao. 3.4 - Existncia de reais no racionais Estamosagoraemcondiesdeestabeleceraexistnciadenmerosreaisquenoso racionais, os quais se designam correntemente por nmeros irracionais. Oprimeironmeroirracionaldequeprovavelmenteseteveconhecimentoonmeroreal 2. A demonstrao mais antiga conhecida de que o nmero2no racional atribudaaEuclides(?)eummodelodesimplicidade.Vejamoscomoraciocina Euclidesparaprovarquearaizquadradade2noracional.Seofosse,seria representvelporumafracodetermosnaturaisn/m(porque2 >0equalquer racionalpositivooquocientededoisinteirospositivos,ousejadedoisnmeros naturais);epodemosconsiderarqueestafunojfoisimplificadaomaispossvelde forma a que os seus termossejamprimosentre si .Seriaento(n/m)2 = 2 ,donde se tirarian2 = 2m2 o que implicaria quen2 teria de ser par ; mas ento tambmnseria par (uma vez que o quadrado de um natural mpar mpar), ou seja, serian = 2pe, portanto, ter-se-ia(2p) 2 = 2m2 ; desta ltima igualdade resultariam2 = 2p2 , ou seja,m2 seria pare o mesmo aconteceria ento com m ; mas ento os naturais n e m primos entre si seriam ambos pares, ou seja divisveis ambos por 2 o que evidentemente uma contradio, que resulta de se ter admitido que2 um nmero racional.9 Comargumentossemelhantespodeestabelecer-seairracionalidadedemuitosoutros reaisdotipobk.Nosepensepormqueosnmerosirracionaisspodemser provenientesdoclculoderazesdenmerosinteirosoumesmoracionais;emcerto sentido que ser esclarecido quando estudarmos os nmeros cardinais infinitos, podemos dizer que a maioria dos nmeros irracionais no so o resultado do clculo de razes de racionais. PodemosagorademonstrarumapropriedadesemelhanteaP12,oqualgarantea existncia de pelo menos um irracional (logo de uma infinidade)emqualquer intervalo]a,b[R.Ademonstraoaefectuarpraticamentedecalcadadadoteorema2, apenas sendo necessrio um ligeiro ajustamento. P13 : Em qualquer intervalo aberto] a , b [R, coma 0 , o m que intervm na demonstrao, em vez de ser escolhido no conjunto no majorado N de modo a respeitar ao mesmo tempo as desigualdadesm > 1/cem > 2/ b, escolhido no conjunto no majoradoM = {2 . p : p N} com respeito pelasmesmasdesigualdades.Ademonstraoseguedepoistalqualcomonocasode P12, concluindo-se no final que existe, r = (h - 1) . (1/m)] a , b [ , s que agora, contrariamente ao verificado no caso de P12, o nmero r obtido irracio-nal:com efeito, serfosse racional , como positivo, seriar = / com , N ;e entocomom =2 . p com certop N, seria, r = / =hp 12 . 2=.( ).hp 1 , e portanto2seria racional o que j sabemos no ser verdade. Corolrio : Em qualquer intervalo] a , b [ R , coma < b, existe uma infinidade de nmeros irracionais Demonstrao : Tal qual a do corolrio de P12. 4. Representao decimal dos nmeros reais 4.1 - Representao decimal dos reais no negativos Supe-seoleitorjfamiliarizadocomarepresentaodosinteirosnonegativos (naturaisezero)nabase10,medianteousode10smbolosprpriosparaos10 primeiros inteiros no negativos : Zero (0); Um (1) ; Dois (2) ; ... ; Nove (9) . 10Dadoumnmeroreala0,sejaa0omaiorinteiroquemenorouigualaoreala (comoa 0 ,claro quea00 ). Determinado a0 ,sejaa1o maior inteiro tal que, a0 +a1 /10a ; claro quea1=0 , 1 , 2 , ... , 9 : no poder ter-sea1 10 , pois ento seriaa a0+ 1ea0no teria sido o maior inteiro que menor ou igual ao real a . Determinadosa0ea1 , sejaa2o maior inteiro tal que, a0 +a1 /10 +a2 /10 2a ; sendo,talcomonocasodea1 ,a2 =0,1,2,...,9.Emgeral,tendosido determinados,a0 ,a1 ,a2 , ... ,an-1,sejaan, o maior inteiro tal que, a0 +a1 /10 +a2 /10 2 + ... +an-1 /10 n-1+an /10 n a ; claro que, tal como no caso dos anteriores ai , tem-se an=0 , 1 , 2 , ... , 9 . SejaSao conjunto de todos os nmeros reais (racionais), rn = a0+ a1 /10 + a2 /10 2 + ... + an-1 /10 n-1+ an /10 n( n =0 , 1 , 2 , ... ) , obtidospeloprocessodescritoapartirdoreala.Trata-sedeumconjuntonovazioe majoradopeloreala,existindoportantoorespectivosupremoemR,a =SupSa . Vejamosque exactamentea = a :se fossea < a , ter-se-ia,a - a> 0e existiria ento um inteiromtal que0 < 1/10 m < a - a e, por outro lado,seria, rn = a0 +a1 /10 +a2 /10 2 + ... +an-1 /10 n-1+an /10 n a < a ; para n =0 , 1 , 2 , ... ; em particular, seria, com o m referido, rm + 1/10 m=a0 +a1 /10 +a2 /10 2 + ... +(am +1) /10 m a + 1/10 m < a , e assim am no teria sido o maior inteiro tal que, a0 +a1 /10 +a2 /10 2 + ... +am-1 /10 m-1+am /10 m a , como se exige na definio deam . Note-se que, nesta construo, osan no podem ser todos iguais a 9 de certa ordem em diante. Com efeito, sean = 9paran > k , ter-se-ia, rn = a0 +a1 /10 +... +ak /10 k + 9/10 k+1+...+9/10 n; ento o supremo dosrn seria, 11a= Sup Sa = rk + Sup {9/10 k+1+...+9/10 n: n > k} , e como, 9/10 k+1+...+9/10 n = 1/10 k-1/10 n , conclui-se que, a= Sup Sa =rk+1/10 k= a0 +a1 /10 +... +(ak + 1)/10 k , e entoakno teria sido o maior inteiro tal que, a0 +a1 /10 +... +ak /10 k a , como se exige na definio do ak . Em concluso: Qualquer reala 0sepoderepresentarpor uma sucesso de inteiros,a0 ,a1 ,a2 ,...,an ,...determinadospeloprocessoindicado;essesinteirosso utilizados para escrever a chamada dzima representativa de a, ou seja,a = a0 , a1 a2 ...an ...em que a vrgula separa a parte inteira da parte decimal ; como se disse,a0 um inteiromaiorouigualazeroecadaumdosajsituadosdireitadavrgulaumdos dgitos0, 1, 2 , ... , 9 , no podendo ser todos iguais a 9 de certa ordem em diante. Sendoaebdoisreaisnonegativosdistintoselesnopodemserrepresentadospela mesmadzima:casocontrrioosconjuntosSaeSbreferidosanteriormenteseriam coincidentes e teriam portanto o mesmo supremo, ou seja, seria a = Sup Sa = Sup Sb= b . Inversamente, dada a dzimaa0 , a1 a2 ... an ... , com a0 inteiro no negativo e os outrosaj no todos iguais a 9 de certa ordem em diante, existe um certo reala representado por tal dzima. Com efeito, fazendo, rn = a0 +a1 /10 +... +an /10 n, n = 0 , 1 , 2 , 3 , ..., fcil ver que o conjunto B dosrn majorado ( um majorantepor exemplo o inteiro a0 +1)e representando porao respectivo supremo v-se com facilidade queB = Sa, ou seja, a dzima de que se partiu representa esse real no negativo a . Para terminar, ainda um pormenor importante.Se no processo de construo do conjuntoSa se obtiver, para certo m, a0 +a1 /10 +... + am /10 m = a , sernecessariamentean=0paran>m.NestecasooconjuntoSaserfinitoea dzima que representa o realaser,a = a0 , a1 a2 ... am 0 0 0 ... , podendoseromitidososzeros direita deam e escrever-se simplesmente, a = a0 , a1 a2 ... am ; diz-se ento que a dzima finita. Neste caso especial o real , 12 a =a0 +a1 /10 +... + am /10 m , ser racional. Pode portanto dizer-se que as dzimas finitas representam sempre nmeros racionais, mas a inversa no verdadeira pois, como veremos no ponto seguinte, existem racionais representados por dzimas infinitas (1) . 4.2 - Algoritmo para obteno da dzima de um racional no negativo Sejarum racional no negativo. Entor = /, com e inteiros positivos. O algoritmodadivisodepor,continuadoindefinidamenteenquantoseobtiverem restos significativos, permite obter a dzima que representa o racionalr = / : a) Como se sabe, para dividir por comea-se por determinar o maior inteiro a0 tal que,a0 . e determina-se em seguida o resto, r1 = - a0 . que, como se sabe, s pode serr1 = 0 , 1 , ... , -1 .Se for r1 = 0 ,a diviso termina e nesse caso=a0 .concluindo-se ento quer = /= a0 inteiro. Caso seja, r1 = 1 , ... , -1 , b) Calcula-se10 r1e procura-se o maior inteiro a1 tal quea1 . 10 r1 . Claro que deversera1 9,porquea1 10implicaria,10r1a1 .10,ouseja,r1, quandoanteriormenteseviuserr1 1. Em concluso, qualquer racional no negativo pode-se representar por uma dzima finita ou infinita peridica. Po exemplo: 1/8 = 0,125 ; 1/3 = 0,333333 ... = 0, (3) ;41/66 = 0,62121212 ... = 0,62(12) . Inversamente,podever-sesemgrandedificuldadequequalquerdzimafinitaou peridica representa um racional. Os exemplos seguintes sugerem como pode obter-se a representao fraccionria de um racional a partir da respectiva dzima, tanto no caso da dzima ser finita, como no caso de ser infinita peridica. 14a) 1,255 = 1 +2/10+5/10 2+5/10 3 =1255 / 1000 = 251/ 200; b) 0,21888 ... = Sup { 2/10 + 1/10 2+ 8/10 3+ ... + 8/10 n: n 3} = =21/100+Sup {8/10 3+ ... +8/10 n: n 3}= =21/100+Sup { 8 10 8 101 1 103 1/ //+ n:n 3}== 21/100+ 8 101 1 103// = 21/100+8 / 900= 197/900 . 4.3 - Dzimas infinitas no peridicas e nmeros irracionais Faceaoexpostoem4.2conclui-sequequalquernmerorepresentvelporumadzima infinitanoperidicanecessariamentenoracional,ouseja,irracional.Assim,por exemplo, o nmero representado pela dzima, 21,10110111011110 ...=21, a1 a2 a3... an ... , com, an = 0321 2 31,( ), , , ...,nm mmoutros n=+ = , irracional . 4.4 - Representao de nmeros reais negativos A representao por dzimas extensiva aos numeros reais negativos. Com efeito, sendoaR-tem-se-aR+esendo-arepresentadopeladzima,a0 ,a1 a2 a3 ...an..., representa-sea por- a0 , a1 a2 a3... an .... 155. Exerccios 1 - Indique se so majorados, minorados e limitados os subconjuntos de R seguintes : a) A = { x :| x 3 | = 2 . | x | }; b) B = { x: x 0x / x -1 0 talque ] m- , m+ [ A = . 4-SejaAumsubconjuntodeR,novazioemajoradoesejaaorespectivosupremo. Mostre que para qualquer real > 0, o conjunto ] a- , a+ [ Anovazio. Sendo a A , mostre que o conjunto ] a- , a+ [ Ano pode ser finito. 5 - Sendo A e B subconjuntos de Rmajorados, prove que, Sup ( A B ) = Mx { Sup A,Sup B } . Sendo A e B subconjuntos de Rminorados, prove que, Inf ( A B ) = Mn { Inf A,Inf B } . 6 - Sendo A e B conjuntos majorados, considere o conjunto, C = { x + y: x Ay B }. Mostre queC majorado e queSup C = Sup A + Sup B . 7 - Prove, por induo finita, as seguintes identidades em N : a) 1 + 2 + 3 + ... + (n+1) = ( ) ( ) n n + + 1 22; b) 12 + 22+ 32+ ... + (n+1)2= ( ) ( ) ( ) n n n + + + 1 2 2 36; c) n3 + 3 n2 + 2 n = 6 k , com certok N . 16 8*-SendomNprove,porinduofinita,queonmerodesoluesinteirasno negativas da equaox1+x2+...+xn= m dado porCmn m + 1 . Nota :Uma soluo inteiranonegativadaequaodadaumnuplodevalores(a1,a2,...,an )que verificam a equao e tais que cadaai um inteiro no negativo. 9 - Um nmero naturaln diz-se par se e s se existe um naturalktal que n = 2k ;diz-se mpar se e s sen+1 par. Posto isto, a) Mostre que 2 par e 1 impar ; b) Mostre que um dado natural no pode ser ao mesmo tempo par e mpar; c) Mostre que um dado natural ou par ou mpar (no h terceira hiptese). 10 - Utilize o teorema da boa ordenao em N para provar as seguintes propriedades: a) Qualquer subconjunto deNque seja majorado tem mximo; b) Qualquer subconjunto deZque seja minorado tem mnimo; c) Qualquer subconjunto de Z que seja majorado em mximo. 11 - Dado um real a qualquer, mostre que existe um e um s n Ztal quen a < n+1 . 12 - Sendomeninteiros, comm 0en > 0, mostre que existem inteiros q erno negativostaisque,m=n q + r e r < n . Mostre ainda que tais inteirosqerso nicos. 13 - Sendomum inteiro no negativo, prove que existem inteiros p erno negativos tais que,m = p2 + r e r < 2p + 1 . Mostre ainda que tais inteirosperso nicos. 14 - Provequesexumracional diferente de zero eyum irracional, entox + y ,x . y ex / yso nmeros irracionais; mostre tambm, usando exemplos convenientes, que sendoxeyirracionaisx + y ,x . y ex / ypodem no ser irracionais. 15 - Mostre a raiz quadrada de 5 um nmero irracional. 16 - Sabendo que qualquer n Npode ser factorizado do seguinte modo, n =a a ak kpkp1 21 2... , com osai primos e oski N , a) Prove que a condio necessria e suficiente para que n seja quadrado perfeito que os expoenteskisejam nmeros pares ; 17b*) Prove que se n no for quadrado perfeito, enton um nmero irracional. 17 - Escreva as dzimas que representam os seguintes nmeros racionais: a)31/15 ;b)7/13;c)366 / 300 . 18-Representeporfracesirredutveisosracionaisrepresentadospelasseguintes dzimas: a) 1,2234 ;b) 0,228 ; c) 0,141414 ... = 0, (14);d) 0,5333 ... = 0, 5(3) . 19 - Quais das dzimas seguintes representam um nmero irracional : a) 1, a1 a2 a3 ... an ... ,coman =21,,n parn impar; b) 12, a1 a2 a3 ... an ... ,coman = 3 + 2 . (-1)n; c) 0, a1 a2 a3 ... an ... ,coman =1121 2 30,( ), , , ...,nm mmoutros n=+ =. RESPOSTAS : 1 - a) Limitado, supremo = mximo = 1enfimo = mnimo = -3 ; b) Limitado, supremo = 1 ,nfimo = -1 , no existem nem mximo nem mnimo do conjunto. 17 - a) 2 , 0(6) ;b) 0 , (538461) ;c) 1,22. 18 - a) 6117 / 5000;b) 57 / 250 ;c) 14 / 99 ; d) 8 /15 . 19 - Apenas a dzima c) representa um nmero irracional. 18CAPTULO II NOESTOPOLGICASEMR 1. Distncia e vizinhanas Ao nmerorealnonegativod(x,y) = | x y | chama-se distncia entre os nmeros reais x e y . So imediatas as seguintes propriedades: P1 : d(x, y) = 0 x = y ; P2 : d(x, y) = d(y, x)(simetria); P3 : d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (desigualdade triangular). A propriedade P3 pode demonstrar-se como segue, utilizando a desigualdade modular da soma : d(x, y) = | x y | = | (x z) + (z y) || x z | + | z y | d(x, z) + d(z, y). Dado o reala Re sendo > 0ao conjunto (intervalo), V (a) = { x : d(x, a) 0: V (a) V (b)= . 2. Conceitos topolgicos bsicos Definem-se seguidamente os conceitos topolgicos mais importantes: a) Diz-se quea R ponto interior de um conjuntoA Rse e s se existe uma certa V (a) contida no conjunto A . O conjunto dos pontos interiores de um conjunto Adesigna-seporinteriordoconjuntoerepresenta-seporINTA,podendo evidentementeserINTA=(nadaobrigaaqueumdadoconjuntotenhapontos interiores). b) Diz-se quea R ponto fronteiro de um conjuntoA Rse e s se em qualquer V (a) existem pontos do conjunto A e pontos do complementar de A. O conjunto dos pontos fronteiros de um conjunto A designa-se por fronteira do conjunto e representa-se por FRONT A , podendo evidentemente serFRONT A =. c) Diz-se quea R ponto exterior ao conjuntoA Rse e s se existe uma certa V (a) contida no complementar do conjunto A . O conjunto dos pontos exterioresaoconjuntoA designa-se por exterior do conjunto e representa-se por EXT A , podendoevidentemente ser EXT A =. 19 d)Diz-sequeaRpontodeacumulaodeumconjuntoARseesseem qualquer V (a) existe pelo menos um ponto de A distinto de a. O conjunto dos pontos deacumulaodeAchama-sederivadodeAerepresenta-seporA,podendo evidentemente serA =. e)Chama-seadernciaoufechodoconjuntoAuniodoseuinteriorcomasua fronteira, ou seja,Ad A =INT A FRONT A. Excepto no caso de A ser vazio, tem-se sempreAd A. f) Um conjuntoA Rdiz-seaberto se e s se coincide com o seu interior, ou seja,A = INT A . Dado que em qualquer caso (A aberto ou no) sempre se temINT A A ,para provar queA aberto bastar provar queAINT A. g)UmconjuntoARdiz-sefechadoseessecoincidecomasuaaderncia,ou seja, se e s se, A = Ad A = INTAFRONTA . Apartirdestesconceitosbsicospodemosenunciarumasriedepropriedades,a maioriacomdemonstraomuitosimples,semnoentantotermosapreocupaode exaustividade.Algumasoutrasseroapresentadascomoexerccionofinaldo captulo. Vejamos ento: P6 : INTAFRONTAEXTA=R Demonstrao: evidente, dadas as definies de interior, fronteira e exterior de um conjunto ; qualquer ponto de espao respeita uma e uma s das definies a), b) ou c). P7 : EXT A = INTA Demonstrao: tambm evidente, dado que um ponto a EXT A se e s seexiste uma V (a) contida no complementar de A e tal equivale a ter-sea INTA. P8 : FRONTA=FRONT A Demonstrao:Bastaatenderdefinio:a FRONTAse e s se em qualquer V (a) existem pontos de A e pontos de A ,o que equivale a sera FRONT A. P9 : SeAB ,entoAB Demonstrao :Tomando a A ,tem-se que em qualquer vizinhana de a existe pelomenosumpontodeAdistintodeae,portanto,dadoter-seAB,tambm existe pelo menos um ponto de B distinto desse mesmoa, ou seja, a B. P10 :( A B ) =A B 20Demonstrao : Por serA (A B)e B (A B) ,a propriedade P9garante queA (A B) e B (A B)o que implica a incluso, AB (A B) , faltandoportantoprovarainclusocontrriaparasepoderconsiderarprovadaa igualdadedoenunciado.Provemosentoque(A B) A B .Deveremos provar que, a (A B)a AB, mas no caso presente torna-se mais fcil provar a implicao equivalente, a AB a (A B). Para tal, considere-sea AB, ouseja,a A ea B ;existe ento uma V(a)sempontosdeAparaalmdoprprioaeexisteumaoutraV(a)sem pontos deBpara alm do prprioa ;tomando= mn { , } emV (a) no se encontram pontos nem deAnem deB , para alm do prprio a ; ento existe uma vizinhana de a sem pontos deA Bpara alm do prprio a , ou seja, a (A B) , como se queria provar. P11 : As vizinhanasV (a)so conjuntos abertos Demonstrao :Dadob V (a),tem-sed(a, b) < . Tomando, =d(a, b) > 0 , vejamos queV (b) V (a) .Com efeito, usando as propriedades P2eP3 , x V (b)d(x, b) < = d(a, b)d(x, b) +d(a, b) 0, n:n > n un V (u). Consoanteusejafinito, mais infinito ou menos infinito, a condioun V (u)pode escrever-se respectivamente| un u | < , un > 1/ ou un < - 1/ . Assucessescomlimitefinitodizem-seconvergentes e as sucesses convergentes para zerodizem-seinfinitsimos.Tendoemcontaadefiniodelimite,conclui-sede imediato que un converge para o realu se e s se a sucessovn = un u um infinitsi-mo. Conclui-se com facilidade quelim un = u(finito) lim | un | = | u | ; esta implicao resulta de imediato do facto de ser| | un | - | u | | | un - u | , desigualdade sobre mdulos cujajustificaose deixa ao cuidado do leitor .Note-se, no entanto,que pode existir lim|un|semqueexistalimun,comomostraoexemplodasucessoun=(-1)n.No entanto,tem-sequelimun=0equivalealim|un|=0,comofacilmenteseconclui recorrendo definio de limite. Estudam-se seguidamente alguns teoremas importantes sobre limites. Teorema 1 :Sendo lim un = uev uno pode ter-selim un = v (unicidade do limite) Demonstrao : Comv u possvel , escolhendo > 0suficientemente pequeno, ter duas vizinhanas V (u) e V (v) sem elementos comuns (disjuntas). Ora, sendolim un = u tem-seun V (u) de certa ordem em diante no podendo portanto ter-seun V (v) de certa ordem em diante, ou seja, no pode ter-selim un = v . 34Teorema 2 :Sucesso com limite finito limitada Demonstrao : Sendo lim un = u (finito), tem-se de certa ordemmem diante un V1 (u) =| u 1 ,u + 1 |, sendoportantoasucessomajoradapor=Mx{u1,u2,...,um,u+1}e minorada por= Min { u1 , u2 ,...,um,u 1 }. Note-sequeainversadoteoremaprecedentenoverdadeiracomomostraocasoda sucesso limitada un = (-1)n . Teorema3:Sendounumasucessocrescente,existesemprelimun,finitosea sucessoformajorada,+nocasocontrrio.Sendounumasucessodecrescente, existe sempre lim un , finito se a sucesso for minorada, -no caso contrrio Demonstrao : Sejau1 , u2 , ... , un , ... uma sucesso montona crescente. Se a sucesso noformajorada,tem-sequeparaqualquer>0existecertotermodeordemnque excede1/ ; dado tratar-se de uma sucesso crescente, tem-se ento, a partir da referida ordemn,un > 1/, ou seja,lim un = + . Seasucessoformajorada,sejaUoconjuntodosreaisquesotermosdasucesso; claroque Uigualmentemajoradoetemportanto supremo , = Sup U . Vejamos que se tem precisamente lim un = . Fixado um qualquer > 0 , existe pelomenos umx Utal que, - < x , caso contrrio - seria um majorante de U inferior ao respectivo supremo; esse x ser um certo termo da sucesso, seja ele o termo de ordemn .Ento,devidomonotoniacrescentedasucessotodosostermosapartirdessa ordem pertencemao intervalo | - , | , ou seja,n > n | un - | < , o que implicalim un = . Tratando-sedeumasucessomontonadecrescente,umaargumentaosemelhante conduz s seguintes concluses: se a sucesso no for minorada, tem-se lim un = - ; se for minorada, tem-selim un = = Inf U , em que U designa como no caso da monotonia crescente o conjunto dos reais que so termos da sucesso . Asconclusesprecedentessubsistemnocasodamonotoniasocorrerapartirdecerta ordem, como facilmente se compreende , pelo que se pode enunciar o seguinte, Corolrio : Sendoun uma sucesso crescente de certa ordem em diante, existe sempre lim un , finito se a sucesso for majorada, +no caso contrrio. Sendoun uma sucesso decrescentedecertaordememdiante,existesemprelimun,finitoseasucessofor minorada, -no caso contrrio Nosteoremasseguintesintervmumacondioimportanteverificadaporcertas sucesses. Uma sucesso de nmeros reais verifica a condio de Cauchy se e s se, 35 > 0, n:n >m > n| un - um | < . Prova-se com facilidade que as sucesses convergentes verificam a condio de Cauchy. Teorema4:Sendolimun=u(finito),entoasucessounverificaacondiode Cauchy Demonstrao : Por ser lim un = u (finito) , tem-se, > 0, n:n > n| un - u | < /2 . Considerandon >m > n, temos ento , | un - um | = | un - u + u - um || un - u| + | u - um | < /2 + /2 = , ficando assim provado que a sucesso verifica a condio de Cauchy. No teorema seguinte vamos ver que, inversamente, se uma sucesso verifica a condio deCauchy.entotemlimitefinito.Comvistaafacilitarademonstrao,vejamosdois resultados que nela sero utilizados: a)SeumasucessoverificaacondiodeCauchy,entoelalimitada.Comefeito, fixado por exemplo = 1 , existe uma ordemn1 tal que, n >m > n1| un - um | < 1, ou seja , fixando porexemplom =n1+ 1 , tem-se ,paran > m , um - 1 , tomando > 0 tal queSup X - Inf X - > , ter-se-ia, (Sup X - /2) - (Inf X + /2)> , e haveria elementosx , x Xtais que, x >Sup X - /2ex< Inf X + /2 , donde resultaria, x - x> (Sup X - /2) - (Inf X + /2)> , oqueseriacontrriohiptesedequaisquerdoiselementosdeXdiferirememvalor absoluto por menos de . 36Posto isto, podemos enunciar e demonstrar o, Teorema 5 : Seun verifica a condio de Cauchy , ento existe finito lim un Demonstrao : SejaXn o conjunto dos termos da sucesso com ordens de n em diante (inclusiv o n). Como se disse na alnea a) das consideraes que precedem o teorema, a sucessolimitada(porquesupostamenteverificaacondiodeCauchy)edadecorre que os conjuntos Xn so limitados. Por outro lado, tem-seX1 X2 ...Xn ...eento, fazendo ln = Inf Xn e Ln = Sup Xn , resulta :l1l2 ... ln ...eL1L2 ... Ln ... ; existem portantol= lim lneL = lim Ln (ver teorema 3)e claro quel L ; almdisso , leL sofinitos porqueln e Lnso sucesses limitadas (tem-se l1ln LnL1). ApartirdaordemnosconjuntosXnverificamaseguintepropriedade:quaisquerdoisdos seus elementos diferem em valor absoluto por menos de ,porque se tratade dois termos up e uk com ordens maiores que n e porque a condio de Cauchy (supostamente verificadapelasucesso)garantequenessecaso|up-uk| n . Ento dever ser0 L- l donde resulta, devido arbitrariedade do valor de ,L = l . Vejamosagoraqueprecisamentelimun=L=l.Comoparacadan,xnpertenceao conjuntoXn,tem-seln un Ln edelimln=l=L=limLnresultaentopor enquadramento (ver adiante) que tambmlim un = L = l , como se queria provar. O teorema est demonstrado. Osteoremasqueaseguirsedemonstramrelacionamoconceitodelimitedeuma sucesso com algumas noes topolgicas j estudadas. Teorema 6 :SendoA R ,a condio necessriaesuficienteparaquea (a R , a = +oua = - )seja ponto de acumulao deA que existaexista uma sucesso xn de elementos de A, com infinitos termos distintos de a, tal quelim xn=a Demonstrao:Acondionecessria.SendoapontodeacumulaodeA,em qualquer V (a) existe pelo menos um x apertencente aA. Tomando enton =1/n , tem-se que em V1/n (a) existe umxn apertencente ao conjunto A. Vejamos que se tem lim xn=a : dado um qualquer > 0 ,tem-separan > n (comcertaordem n ) que 1/n < eportanto, n > nxn V1/n (a) | V1/n (a)V (a) | xn V (a), assim se concluindo quelim xn=a . Acondiosuficiente.SeexisteumasucessoxndeelementosdeAcominfinitos termosdistintosdeatalquelimxn=a,vejamosqueapontodeacumulaodeA. DadaumaqualquerV (a)nelaseencontramtodosostermosxn decertaordemem 37diante (por ser lim xn= a ) e portanto, dado haver infinitos termos da sucesso distintos de a ,nela se encontra pelo menos um elemento de A distinto de a , logo a ponto de acumulao do conjunto A , como se pretendia provar. Teorema 7 : Um reala aderente de um conjunto A Rse e s se existe uma suces-soxnde elementos deAtal quelim xn = a Demonstrao:SeaAdA=AA,ouaAouaA.Noprimeirocaso,a sucessode termo geralxn = a Atem por limite o ponto a ; no segundo caso, ou seja, sea A ,o teorema 6 garante que existe uma sucessoxn de elementos deAque tem por limite o ponto a. Inversamente, se existe uma sucessoxn de elementos deAque tem por limite o ponto a, das duas uma: ou os termos da sucesso so todos iguais a a de certa ordem em diante e entoa A;ou h infinitos termosxn distintos de ae ento pelo teorema 6 tem-sea A; em qualquer dos casosa Ad A= A A . Teorema 8 : Um conjuntoA R fechado se e s se, qualquer que sejaa sucessoxn de elementos deA com limitereal , esse limite pertence ao conjunto A Demonstrao:SeAfechado,entoA=AdA.Sejaxnumaqualquersucessode elementos de A tal quea = lim xn(a R ); ento, pelo teorema 7, esse realapertence aAd A , logo pertence aA . Inversamente,separaqualquersucessoxndeelementosdeAcomlimiterealesselimite pertence aA , ento A =Ad A (ou seja, A fechado). Basta provar queAd A A , porqueainclusocontrriasempreverdadeira.OradadoumqualqueraAdA,o teorema 7 garanteaexistnciadeumasucessoxn de elementos deAecom limite reala = lim xn e portanto, por hiptese,a A . Fica assim provada a incluso desejada. 3. Sublimites. Teoremas fundamentais D-seonomedesubsucessodasucessou1,u2,...,un,...aqualquersucesso... , , ... , ,2 1 nu u u em que osn constituem uma sucesso estritamente crescente de nmeros naturais. Claro que se lim un = u , tambmlim nu =u ,porquese apartirde certaordemn setemunV(u),apartirdessamesmaordemtem-setambmnu V (u) , porquen > nn n >n . Note-se que esta propriedade vlida mesmonocasomaisgeralemquenumasucessodenmerosnaturais,noneces-sariamentecrescente,desdequelimn =+:comefeito,sendon aordema partir daqual se temun V (u)e sendok a ordem a partir da qual se tem n> n,resulta quen > kn >nnu V (u) , assim se concluindo quelim nu =u . 38Oslimitesdassubsucessesdeumasucessodechamam-sesublimitesdasucesso original. O teorema seguinte tem grande utilidade prtica na determinao dos sublimites de uma sucesso : Teorema9:Dadaasucessounconsiderem-seasseguintessubsucessesemnmerofinito : ... , , ... , ,2 1 nu u u , comlimite ... , , ... , ,2 1 nu u u , comlimite . ... , , ... , ,2 1 nu u u , comlimite eadmita-sequecadatermoundasucessoestnumaenumasdassubsucesses consideradas. Nessas condies, nenhum , , , pode ser sublimite deun , ou seja, a sucesso apenas admite os sublimites , , , Demonstrao:Dado,,,fixe-se>0suficientementepequenodetal formaqueavizinhanaV()notenhapontosemcomumcomnenhumadas vizinhanas V () , V () , ,V () . Todos os termos de nuexcepto quando muito umnmerofinitodelespertencemaV();todosostermosde nuexceptoquando muitoumnmerofinitodelespertencemaV();etc.Comoassubsucessessoem nmero finito e nelas se encontram todos os termos de un , pode concluir-se que quando muito apenas um nmero finito de termosunpodero pertencer aV (),o que exclui a possibilidade de ser sublimite da sucesso. Comoaplicaodoteoremaanterior,considere-seasucessoun=(-1)n.n+n.Nas duassubsucesses,u2ncomlimite+eu2n-1comlimite0,encontram-setodosos termos da sucesso original e, portanto, esta apenas admite como sublimites0e+ . Note-se ainda que o teorema anterior deixa de ser vlido se as subsucesses referidas no enunciado forem em numero infinito. Por exemplo, no caso da sucesso, 1 , 1 , 1/2 , 1 , 1/2 , 1/3 , 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 ,, 1 , 1/2 , , 1/m, , considerando as subsucesses, 1 , 1 , 1 , , 1 , ,com limite igual a 1 1/2 , 1/2 ,, 1/2 ,, com limite igual a 1/2 1/3 , 1/3 ,, 1/3 ,, com limite igual a 1/3 . 39 1/m , 1/m ,, 1/m ,, com limite igual a 1/m .. cada termo da sucesso original figura numa e numa s das subsucesses ; no entanto a sucessodadaadmitetambmosublimite0dadosernuloolimitedaseguintesubsu-cesso da sucesso dada : 1, 1/2 , 1/3 , 1/4 , . Estudam-seseguidamentealgunsimportantesteoremasenvolvendooconceitode sublimite. Teorema10:Qualquersucessoundenmerosreais,admiteumasubsucesso nu montona Demonstrao : SejaKo conjunto dos naturais tais quen > un > u .SeKfor infinito, sejam 1< 2 nue resulta ento, tomandop = n+1 > n , un+ 1> nu , o que prova sernu uma subsucesso crescente deun . Caso K seja finito, seja1 = 1 + Mx KseK e1 = 1seK = ; como1 K , resultadadefiniodeKaexistnciadeumnatural2 >1talqueu u 2 1 (caso contrrio seria 1 K ) ; e como, por sua vez, 2 K , resulta igualmente a existncia de3 >2 >1talqueu u u 3 2 1 ;prosseguindodestemodo,obtm-seuma subsucesso un montona decrescente. So corolrios imediatos deste teorema: Corolrio 1 : Qualquer sucesso un de nmeros reais, admite uma subsucesso nu com limite (finito ou infinito) Demonstrao : Resulta imediatamente do teorema anterior, conjugado com o teorema 3. Corolrio 2 : Qualquer sucesso limitada un de nmeros reais, admite uma subsucesso nucom limite finito Demonstrao:Resultadocorolrioanteriorconjugadocomofactodeumasucesso limitada no admitir subsucesses com limites infinitos. Teorema 11 : Para que um certob(b R , b = +oub = - ) seja sublimite de uma sucesso real xn necessrio e suficiente que para qualquer V (b) e qualquer inteiro m, exista um inteirok >mtal quexk V (b) 40 Demonstrao:Acondioevidentementenecessria.Vejamosqueigualmente suficiente.Supondoacondioverificada,defina-seasubsucesso nxdexnpela seguinte condio: 0 = 1e n o menor inteiro maior quen-1 que faznx V1/n (b). Como 1/n < a partir de certa ordemn , tem-se nx V1/n (b) V (b) , a partir dessa mesma ordem, ou seja, b = lim nx , logo b sublimite de xn . Teorema 12 : A condio necessria e suficiente para que uma sucesso tenha limite que no admita dois sublimites distintos. Demonstrao:Queacondionecessriaficoudemonstradonasconsideraesque imediatamenteprecedemoconceitodesublimite.Comoseviuento,selimun=u, tambmlim nu =u , qualquer que seja a subsucesso nu. Vejamos que a condio tambm suficiente. Admita-se ento que a (real , +- ) o nicosublimitedasucessoun.Casoasucessounnotivesseacomolimite,ento existiriaumcerto>0talqueunV(a)parainfinitosvaloresden,sejamelespor ordemcrescente1,2,...,n,...;acorrespondentesubsucesso nunopoderia evidentementeteracomolimitenemcomosublimitemasadmitiriaumsublimite(pelo corolrio 1 do teorema 10) o qual seria assim distinto de a ; este sublimite seria tambm um sublimite da sucesso inicial un , contrariando-se assim a hiptese assumida de a ser o nico sublimite desta sucesso. Teorema13:OconjuntoSdossublimitesfinitosdeumasucessoxnumconjunto fechado Demonstrao:PodemossuporqueS,poisnocasodeSservazioobviamente fechado.ParaprovarqueSfechadobastarprovarqueSS.DadoaS,em qualquerV (a) existe pelo menos umx apertencente aS , por definio de ponto deacumulao.Claroqueessex,porpertenceraS,serlimitedeumacerta subsucesso nxde xn . Fazendo = - d(x , a)> 0 ,tem-se que todos os termos de nxseencontramemV (x)decertaordemnemdiante;ento,dadoumqualquer inteiro m,basta escolhern0 a verificar0n>men0 > npara se ter, comk = 0n>m ,d(xk , a)d(xk , x )+d(x , a)0e considerando um valor positivo tal que| v | - > 0 , tem-se, 0 0eu 1 , tem-selim (un / u)= 1 e ento aplicando o resultado obtido em b), limu unk/ = 1 lim uunkk = 1lim unk=uk; d) Quando sejau = + , tem-se, > 0 , n:n > nun> 1/ k unk > 1/ limunk = + . Tem-sesempre,portanto,limunk=l i m unkdesdequeseconvencionequanto alnea d) :+ k=+ . 2 Caso : un < 0para todos ou alguns dos n . Neste caso k deve ser mpar para se assegurar a existncia deunk no campo real . Ento: a) Quando sejau = 0 , o argumento da alnea a) do 1 caso aplica-se tal e qual; 44 b) Quando sejau = 1 , tem-seun 0decertaordem em diante e ento a desigualdade|unk - 1|| un - 1| , obtida na alnea b) do 1 caso, vlida dessa ordem em diante concluindo-se como ento que limunk = 1 ; c) Quandosejau > 0eu 1 ,omesmo argumento que foi usado na alnea c) do 1 caso conduz alimunk = uk ; d) Quando sejau = +,limunk = + como na alnea d) do primeiro caso; e) Quandosejau 0e aplicandoosresultadosdas alneasb) e c), resultalim knu =ku , donde resultalimunk = uk . f) Quando sejau = - , tem-se, > 0 , n:n > nun< -1/ k unk< -1/ limunk = - . Tem-se sempre, portanto,limunk =l i m unkdesde que se convencione quanto s alneas:+k= +e k= - (k mpar) . 4.4 Potncia de expoente racional positivo Vejamosprimeiro,comointroduo,adefiniodepotnciadeexpoenteracional positivo. Dador Q+ sabe-se quersepoderepresentar por uma fraco irredutvel ,r = p/q , comp, q N . esta representao que vai ser usada para definir potncia de expoenteracionalpositivo: ar =ap q. Comestadefinioar( r > 0 )carecedesentidoquandosejaqparea < 0 ( repare-se que, sendoqpar ento ptem de ser mpar porquep/q supostamente uma fraco irredutvel ) . Estadefiniodepotnciadeexpoenteracionalpositivocoerentecomadefinio relativaaocasodeexpoentenatural,ouseja,comr=nnaturaltem-ser=n/1e, portanto,ar =an1=an = a . a . ... . a(n factores) . Tambm facilmente se constata que as regras operatrias conhecidas sobre potncias de expoentenaturalseestendem,comestadefinio,spotnciasdeexpoenteracional positivo. Assim, por exemplo, comr = p/qes = m/n , caso tenham sentido areas, tem-se: ar. as = ap q. amn= apn q n.am q q n= apn m q q n + ; 45casoqnepn + mq no sejam primos entre si dividem-se ambos pelo respectivo mximo divisorcomumkassimseobtendoosquocientesequesonmerosnaturais primos entre si :qn = kepn + mq = k; ento, ar. as= apn m q q n += a =a/= ar + s, porquea fraco irredutvel /representa o racional, /=(k) /(k)=pn mqq n+= (p/q) + (m/n) = r + s. Note-seaindaquenoselevantamproblemasdeexistnciadassucessivasrazes envolvidasnaargumentaoprecedente:seqounsopares,devesera0ea existncia das sucessivas razes fica assegurada ;se q e n so mpares, caso em que pode sera < 0 ,qneso mparese fica tambm assegurada a existncia das razes em causa. Repare-se tambm que a igualdade, apn . amq = apn+ mq , justificada pela regra de multiplicao de potncias da mesma base e expoente natural. Vejamos ento o caso do limite da sucesso (un )r , comr Q+ . Sendo u o limite deun ,admita-se que a representao fraccionria irredutvel de r p/q . Caso sejaun 0para todos os n , tem-se igualmenteu 0e ento, aplicando o exposto em4.2e4.3 : lim (un )r=limunp q = l i m unp q= up q =ur = (lim un)r , comaconveno(+)r=+.Casosejaun 0) o significado dado em 4.4. Nos casos em que ar (r > 0) carea de sentido (vistos em 4.4), o mesmo acontece com a-r, acrescendoagoraumnovocasoespecficorelativoaoexpoentenegativo:trata-sedo caso em que a = 0 , pois seria0 -r = 1/0 r = 1/0 (veja-se em 4.4 que, com r > 0 ,0 r = 0 ). Comestadefinio,asregrasoperatriassobrepotnciasdeexpoenteracionalpositivo ounulo,transmitem-seaocasodaspotnciasdeexpoenteracionalnegativo,como facilmente se verifica. Sendolim un = u , vejamos ento o que sucede comlim (un )-r , quando seja-rracional negativo.Supondoaexistnciade(un)-r,existetambm(un)realmdissoun 0, efectuando-se portanto o clculo de lim ( un )-r usando a relao, lim ( un )-r = lim1/ (un) r, conjugandooquesedisseem4.4sobrelim(un)rcomaregradolimitedoquociente. Quando sejalim un = u 0 , conclui-se que , lim ( un )-r = lim1/(un) r= 1/ ur = u-r , com a conveno ()-r = 0 . Fica indeterminado o caso em que lim un = 0 , o qual exige uma anlise cuidada do modo comoun tende para zeroedo valordoexpoente nega-tivo -r ; o limite pode ser + , -ou pura e simplesmente no existir. 5. Clculo de limites por enquadramento Admita-sequeun wn vndecerta ordem k em diante. fcil concluir que, sendo lim un = lim vn = u R , tambmlim wn = u . Comefeito , verificando-se| un - u | < e | vn - u | < das ordensp eqem diante, respectivamente, tem-se, n > pu - qu - 1, tem-sebn =an - 1 > 0 , donde an = bn + 1 , combn > 0 . Ento,a = (1 + bn )n 1 + n bn , ou seja ,0 < bn (a - 1)/ n , donde resulta de imediato por enquadramento que lim bn = 0 , ou ainda,liman = 1 . 47Visto o caso a > 1 ,o caso 0 < a < 1 imediato :tem-se1/a > 1 ,logolim1/ an = 1e, portanto, liman =lim 11/ an = 1 . Quanto ao casoa = 1 , bvio que tambmliman = 1 . 2)Clculodelim(1+a/n2)n,emqueaR.Designandoporanotermogeralda sucesso, tem-se : an= 1121 231 122436 2+ + + + + nann n ann n n ann nnannn.( )!( ) ( )!( ) ...! = = + + + + ++ 1 112111231112112233an nan n nann nnnan nnn( )!( ) ( )!( ) ( ) ( )!; ento, paran > | a | , 0 | an - 1 | | | | | | | | | anananannn+ + + +2233 = | |(| | | | | |)anananannn + + + +12211 = = | || || |ananannn11 | || |anan11=| || |an a ; e dado que,lim| || |an a =0 , resulta por enquadramento,lim | an - 1 |=0 , ou seja,lim an = 1 . 3) Clculo delim( / ) 12+ a rnrn , em que rn uma sucesso de nmeros racionais com limite +e a R. Sendo pn o maior inteiro que menor ou igual arn , pn rn rn -1). Coma > 0 , tem-se a partir de certa ordem (desde quern pn > 0 ), 1 ( / ) 12+ a rnrn ( / ) 12 1++a pnpn =( / ) . ( / ) 1 12 2+ + a p a pnpnn ; porserpnumasucessodeinteirostalquelimpn=+elim(1+a/n2)n =1(ver exemplo 2), conclui-se que, lim( / ) . ( / ) 1 12 2+ + a p a pnpnn = 1 , 48 donde, por enquadramento,lim( / ) 12+ a rnrn = 1 . Coma < 0 , tem-se a partir de certa ordem (desde quern pn >| | a ), 1 ( / ) 12+ a rnrn ( / ) 12 1++a pnpn =( / ) . ( / ) 1 12 2+ + a p a pnpnn , e um argumento semelhante ao utilizado no caso a >0 , permite concluir que tambm no caso em anlise,lim( / ) 12+ a rnrn = 1 . Coma = 0 , v-se directamente que, lim( / ) 12+ a rnrn= 1 . 6. Exponencial de base natural. O nmero e de Neper 6.1 Introduo Vamosmostrarqueexistelimite finito paraasucesso xn = (1+ x/n)n , comx > 0 . Tem-se, xn= 1121 231 12233+ + + + + xn n xnn n n xnn nnxnnn( )!( ) ( )!( ) ...! = = + + + + ++ 1 112111231112112 3xnxn nxn nnnxnn( )!( ) ( )!( ) ( ) ( )!, e escrevendoestas igualdades paran+1 , podemos compararxn com xn+1 e concluir que as parcelas que tm a mesma potncia de x so maiores em xn+1 e , alm disso,xn+1 tem ainda uma parcela positivaa mais no final. Ento,xn 0 xn 1 + x , conclui-se quelim xn > 1 . Podemos agoraestudarda existnciade lim (1+ x/n)n ,no casoemquex < 0( no caso de serx = 0 bvioqueolimiteexisteeigual unidade) . Dex < 0resulta-x > 0 , existindo portanto lim (1- x/n)n . E como, (1+ x/n)n . (1- x/n)n =(1- x2/n2)n ,obtm-se, (1+ x/n)n = ( / )( / )112 2x nx nnn,donde se conclui pela existncia de, lim (1+ x/n)n =11 l i m x nn( / ) (finito) , 50dadoqueasucessodonumeradortendepara1(conformeexemplo2doponto3.)e existe significativo o limite do denominador ( como vimos maior que 1). Portanto,emresumo,existefinitolim(1+x/n)n ,qualquerquesejaxR . Este limite serretomadomaisadianteparafuturosdesenvolvimentos.Designando-oprovisoria-menteporE(x),dasconsideraesprecedentesresultamdeimediatoasseguintes propriedades : 1)ParaqualquerxR,tem-seE(x)=1/E(-x).Estarelaofoiobtidaparax 0 , tem-se- x < 0 , dondeE(-x) = 1 / E(x)e estarelao equivalente a E(x) = 1 / E(-x) ; 2) Para x > 0 , tem-se como vimos E(x) > 1 ; parax < 0 , dada a relao referida em 1) , tem-seE(x) < 1 . 6.2 O nmeroede Neper Retome-se a sucessoxn = (1 + x/n)neconsidere-se x = 1. Obtm-se assim a sucessoan = (1 + 1/n)nque como vimos tem limite finito. Designaremos esse limite pela letrae : e=lim (1 + 1/n)n . Como a sucessoan = (1 + 1/n)n estritamente crescente, os seus termos daro sempre valoresmenoresquee.Aproveitandoamajoraoquesefezem6.1paraasucessoxn=(1+x/n)n(nocasox>0),podemosenquadraronmeroedeformaa calcularoseuvalorcomaaproximaoquesedeseje.Oraviu-sequeostermosda sucesso xn (supondox > 0 )so majorados por, Mm = Km+xmxmm! +111 , com, Km = 12 3 12 3 1+ + + + +xx x xmm! ! ( )! , eemquemdesigna um qualquer inteiro maior ou igual a x . Como no caso em anlisex = 1 , podemos tomar um qualquerm 1 para majorar os termosdasucesso. Assim, param = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 obtm-se os majorantes (deixam-se os clculos ao cuidado do leitor): M1= 3 ;M2= 2,75 ;M3= 2,7222 ... ;M4= 2,71875 ;M5= 2,718333 ... . Tem-seento,tomandoporexemplom=5,an 0 ), tem-se ento, 111++|\|.|pnpn 11+|\|.|rnrn 111+|\|.|+pnpn. Dado que,lim1111++|\|.|+pnpn =lim11+|\|.|pnpn =lim11+|\|.|nn = e , por serempn epn + 1 sucessesde inteiros ambas com limite+ , obtm--se, lim111++|\|.|pnpn = lim 1111111++|\|.|+++ppnpnn=e /1 =e lim111+|\|.|+pnpn =lim 11+|\|.|pnpn.11+|\|.|pn=e . 1 =e , dondeseconcluipor enquadramento que, lim 11+|\|.|rnrn =e . 52Vejamos agora o caso em quelim rn = - . Tem-se, 11+|\|.|rnrn.11+|\|.|rnrn= 112|\|.|rnrn 11+|\|.|rnrn=11112+|\|.||\|.|rrnrnrnn( ); delim rn = -resultalim (- rn ) = +e ento, lim11+|\|.|rnrn= e /1 = e , poiscomoseviunoexemplo3doponto5.asucessododenominadortendeparaa unidade. Oleitormaisatentopodernestemomentoperguntar:masaargumentaoprecedente noseriaaplicvelsernfosseumasucessodeirracionais?Aparentementesim,maso problema que neste momento do nosso estudo no definimos ainda o que significa uma potncia de expoente irracional, ou seja,( / ) 1 1 + rnrn carece de sentido quando rn no for racional. O conhecimento intuitivo que o leitor eventualmente tenha sobre o signifi-cado de uma potncia de expoente irracional no suficientemente rigoroso para o nosso estudo.Maisadiantedefiniremosdeforma rigorosaoconceitodepotnciadeexpoente irracionaleveremosqueadefiniodadagaranteque,comrnatenderparamaisou menos infinito,lim( / ) 1 1 + rnrn = e , mesmo que os rn no sejam racionais . 6.3 Definio e propriedades da exponencial de base e (base natural) Retomamos aqui o lim (1 + x/n)nestudado em 6.1. Viu-se que tal limite existe para todo oxR,sendoentotallimiterepresentadoporE(x)eestudadasduasdassuas propriedades.Vamosdeseguidaestudardeformamaiscompletaaspropriedadesde E(x), comeando pelas duas j vistas anteriormente. P1 : Tem-se E(x) = 1/E(-x) , qualquer que sejax R P2 : Parax > 0 ,tem-seE(x) > 1 ;para x = 0, tem-se E(x) = 1 ; para x 0 ,qualquer que sejax R Demonstrao:Bastaprovaradesigualdadedoenunciadoparax0 E(-x) > 1, obtm-se0 < E(x) < 1parax < 0 . P4: Sendo rn umasucessodenmerosracionaiscomlimite+ou - ,tem-se E(x) = lim( / ) 1 + x rnrn 53Demonstrao : Para x > 0 a demonstrao tal qual a que foi efectuada em 6.2para o casoparticularx=1|note-seque,deacordocomadefiniodadaparaonmeroe,E(1) = e | . Parax = 0 , o resultado bvio. Resta o caso x < 0 . Neste caso - x > 0 e note-se que se rnse encontra nas condies do enunciado (sucesso de racionais com limite mais ou menos infinito), o mesmo acontece com-rn ; ento, E(x) = 1 / E(-x) = lim 11 |\|.|xrnrn= lim( / ) 1 + x rnrn , dadoqueapropriedadevlidapara-x>0comasucesso-rnnascondiesdo enunciado. P5 : Tem-se E(x+ y) = E(x) . E(y) , quaisquer que sejam x,y R Demonstrao : Note-se que, (1 + x/n)n . (1 + y/n)n =12+++|\|.|x ynx ynn = =B n Bx ynn nBx ynn nnBx ynn n nn nn+ ++ +(( 1222 2402121 1 ( )!( ) ...! , em que por comodidade de notao se fez, Bn - j = 1 ++|\|.|x ynn j, paraj = 0 , 1 , 2 , ... , n . Uma vez quelim (1 + x/n)n . (1 + y/n)n = E(x) . E(y)elim Bn= E(x+y), a propriedade ficar provada se demonstrar que a sucesso, un =n Bx ynn nBx ynn nnBx ynn nn nn ++ +(( 1222 2402121 1 ( )!( ) ...! , tendeparazero. Tem-se, 0 | un | nnn nny xBnn nny xBn nny xB n2042221| || |!1 ... ) 1 ( | || |! 2) 1 ( | || |+ ++ , e como, paraj = 1 , 2 , ... , n , 54| Bn - j | = j nny x++ 1 j nny x|.|\| ++| |1 nny x|.|\| ++| |1, podemos escrever, 0 | un | 1 ++|\|.|| | x ynn. | nx ynn n x ynn nnx ynnn| | ( )!| | ( ) ...!| |224 2121 1++ +| = =1 ++|\|.|| | x ynn.1 12+|\|.|(((| | x ynn ; ora, como se viu no exemplo 2 do ponto 5. , tem-se, lim12+|\|.|| | x ynn =1 , e, portanto, lim1 ++|\|.|| | x ynn.1 12+|\|.|(((| | x ynn = E( | x + y | ) . 0= 0 , assimseconcluindoporenquadramentoquelim | un | = 0 ,ouseja,que lim un = 0 , como se pretendia provar. P6 :Sendor umnmeroracionalqualquer , tem-se que E(r. x) = |E(x)| r Demonstrao : Comr = 0, a igualdade bvia. Com r 0 , tem-se, E(r. x) = lim 1 +|\|.|r xnn= lim 1 +|\|.|(((xn rn rr//=l i mxn rn rr1 +|\|.|(((//=|E(x)| r, dado ser n/r uma sucesso de racionais a tender para mais ou menos infinito (consoante o sinal de r). P7 : Sendorum nmero racional qualquer, tem-seE(r) =er Demonstrao:Trata-sedeumcorolrioimediatodapropriedadeanterior.Comefeito, fazendo na igualdade da propriedade anterior x = 1 e atendendo a que E(1) = e , obtm-seE(r) = E(r.1) = |E(1)| r= er . Estamos agora em condies de dar significado a ex quando x seja irracional. Faz-se por definioex = E(x) ,qualquerquesejax R .Apropriedade P7 garanteque, parax 55racional,aigualdadedaex osignificadoqueresultadadefiniojconhecidade potncia de expoente racional;parax R - Q , a igualdade amplia a noo de potncia de basee aocaso de expoente irracional . Ou seja, para x racional e igualdadeex = E(x) um teorema (propriedade P7) ; paraxirracional a mesma igualdade uma definio. Claro que as propriedades de E(x) so agora, com esta definio, as propriedades de ex ; assim, a)ex = 1/e-x , qualquer que sejao realx ( P1 ) ; b)x > 0ex > 1 ; x = 0ex = 1 ; x < 00 0 , 1 n1, 1 ex, porquez > 0 ez >1 . P12 : Dadaumasucessoxn denmerosreais , tem-se limexn=+ seesse lim xn =+ ;etem-se limexn= 0se e s se lim xn = - Demonstrao:a)Casodolimite+.Sendolimxn=+,tem-sexn>0decerta ordememdianteeento,dessamesmaordememdiante,tem-sequeexn>1+xn , desigualdade quepermite concluir quelimexn= + . Inversamente, selimexn= + , dado > 0 , determine-se a ordem n a partir da qual exn>e1/ ;paran > ntem-seento xn > 1/(caso se tivessexn 1/ , a propriedade P11 obrigaria a serexne1/ ), podendo portanto concluir-se quelim xn =+ . b) Caso do limite nulo. Tem-se: limexn= 0 limexn= + ( porqueexn 0 )lim (- xn ) = + limxn = - , como se queria provar. P13 : Dado um qualquer b R+ , existe um e um s R tal que e =b Demonstrao:ApropriedadeP12garanteapossibilidadedeexassumirvalores arbitrariamentegrandes(bastaparataltomarvaloresdexsuficientementegrandes)e valorespositivossuficientementeprximosdezero(bastaparataltomarvaloresdex negativos suficientemente grandes em mdulo). Ento dado b R+ , existem valores e tais que e 0 , sex 0 e expoente racional r qualquer , cujo significado j conhecemos , dada pela igualdade precedente. Vamos precisamente usar essa igualdade, cujo segundo membro tem significado mesmo comrirracional,paradefinirpotnciadeexpoentequalquer(racionalouirracional)e base positiva. Comr R ,racional ou irracional, eb > 0 , br =er l o g b. Claroque,comovimos,pararracional,estaigualdadedabrosignificadousualj anteriormente estudado . As propriedades das potncias de expoente racional e base positiva so conservadas com este alargamento da noo de potncia. Assim, por exemplo, a)Com e reaisebreal positivo, b . b= el o g b .el o g b = el o g b l o g b += =el o g b ( ) + =b+ ; b) Com e reaisebreal positivo, ( b )= ( )el o g b =el o g el o g b( ) = el o g b = b, sendo as duas ltimas igualdades justificadas pela definio de logaritmo natural ; c) Com realebreal positivo, b = el o g b =1el o g b = b1; d) Com realeb ec reais positivos, 1) b < c > 0log b 0erracional qualquer, a exigncia de serrracional pode igualmente ser dispensada. Com efeito, com r racio-nal ou irracional tem-se, log br = loger l o g b= r log b, por definio de logaritmo natural. Vejamosagoraoclculodelim(un),comun>0e0qualquer(racionalou irracional).Nocasoparticulardeserracionalasconclusesaquevamoschegar deverocoincidircomasanteriormenteobtidas(aplicadasaocasoparticulardeabase serpositiva).Note-seaindaquequandoseja=0,olimitedapotnciasemprea unidade. Tendo em conta que, lim (un)= limel o g un, 62aspropriedadesdaexponencialelogaritmodebasenaturalpermitemtirarasseguintes concluses, em queudesignalim un : lim (un)=u se u for finito positivose u ese u ese u ese u e,,,,,+ = + >= + + = 0 ;(+) = 0 , se < 0 ;0 = 0 , se > 0; 0 = + ,se < 0 . 9. A exponencial de baseb 1 Sendob > 0eb 1 ,tem-se como vimos no ponto 8. quebx =ex l o g b para todo ox R . As propriedades da exponencial de base b so as que j foram estudadas no ponto anterior no mbito do alargamento da noo de potncia de base positiva a um expoente qualquer (racional ou irracional).Tendo em contaquelim nub=limeu l o g bn e aplicando as propriedades relativas a limites da exponencial e logaritmo de base natural, conclui-se (designando por u o limite da sucesso un) :lim nub=ub , desde que se convencione , b+= + ,seb > 1 ;b+= 0 ,seb < 1 ;b- = 0 ,seb > 1 ; b- = + ,seb < 1 . Pode igualmente definir-se logaritmo de base positivab 1: dadox R+ , existe um e um s tal que b= x ; com efeito, por definio de logaritmo natural e de potncia de base positiva, tem-se, x=el o g xeb=el o g b , eentoacondiob= xequivaleaserlog x = log b , aqualpermiteobtero desejado (nico) ; ao valor de tal queb=x (cuja existncia e unicidade acaba de serestabelecida)chama-selogaritmodexnabaseberepresenta-seporl o g xb,calculando-se o seu valor pela igualdade, x g o lb = =b g o lx g o l , em que os logaritmos do segundo membro so os logaritmos naturais. 63Para terminar o presente ponto considere-se o clculo de um limite do tipo, lim( )nvnu, comun > 0(Limite da exponencial potncia). Este limite pode calcular-se usando a igualdade, lim( )nvnu = lim nu g o lnve. Sendou = lim un ev = lim vn, tem-se em geral , lim( )nvnu = vu= ( )nv m i lnu m i l, desde que se convencione, 0 v = 0e (+) v= +,se0 < v +; 0 v = +e(+) v= 0,se- v < 0; u+= +e u -= 0 , se1 < u +; u+= 0e u -= + , se0u< 1. H,noentanto,aconsiderarosseguintescasosdeindeterminao,queresultamdas indeterminaes que podem surgir ao calcular lim vn . log un e queso: 00 , (+)0 , 1+ e 1- . 10. Frmulas de Bernoulli para o clculo de limites Vodeduzir-seasfrmulasdeBernoulliqueserevelamteisparalevantamentode indeterminaes no clculo de limites envolvendo exponenciais e logaritmos. Retome-se a igualdadeex = lim (1 + x/n)n, comx R . Tem-se, (1+ x/n)n=1121 231 12233+ + + + + nxnn n xnn n n xnn nnxnnn( )!( ) ( )!( ) ...!, e designem-se porkn ( ) os coeficientes, kn ( )=n n n knk( ) ... ( ) + 1 1 = 1 1111 ( ) ( )nkn k = 1 , 2 , ... , n. Para cadakfixokn ( ) uma sucesso emne bvio quelimkn ( )= 1 . 64Fixe-seonaturalmeseparem-senodesenvolvimentode(1+x/n)nasprimeirasm parcelas dasn - m + 1 restantes, obtendo-se ento: ( / ) .! ( )!! ( ) ( ) ...( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 12 11 1 2122111+ = + + + + ++ ++ + ++ +((+x n xx xmxmxmxm m nn n nmmnmmnmnn mnn ou seja, ( / ) .! ( )! !( )( ) ( ) ( ) ( )1 12 112211+ = + + + + + x n xx xmxmxn n nmmnmmn , em que, mnx( )( )= mnmnn mnnxmxm m n( ) ( ) ( )( ) ( ) ...++ + ++ ++1 1 21 . Passando ao limite em n ( m fixo) em ambos os membros, obtm-se no primeiroex e, no segundo, o bloco das m primeiras parcelas tende para, 12 12 1+ + + +xx xmm! ( )!, porquecadaumdoskn ( )(k=1,2,...,m-1)tendecomseviuparaaunidade.A parcela residual, xmxmmn!( )( ) , dosegundomembrotemtambmdeterlimitefinito(porqueadiferenadeduas sucessescomlimitefinito) , oquepermiteconcluirqueexistetambmfinito olimmnx( )( ) ; com efeito, comx 0 , xmm! 0 lim xmxmmn!( )( ) finitolimmnx( )( )finito ; comx = 0 ,mnx( )( )= mn ( ) e claro que lim mnx( )( ) =lim mn ( )= 1 . Fazendo, mx ( )=lim mnx( )( ), podemos ento escrever, como resultado da passagem ao limite em n , ex= 12 12 1+ + + +xx xmm! ( )!+xmxmm!( ) . Note-se agora que, por ser kn ( ) 1 , a expresso que define mnx( )( )permite obter, 65| mnx( )( )-mn ( )|| | | |( )| |( )xmxmxmn mn m++++ ++1 1 122 ; quando sejam + 1 > | x |, tem-se portanto: | mnx( )( )-mn ( )|| | | |( )| |xmxmxmn mn m+++ + +1 11111| || |xmxm++111=| || |xm x + 1 , a passando ao limite em n obtm-se, | mx ( )- 1| | || |xm x + 1 ,param + 1 > | x | . As consideraes precedentes permitem-nos demonstrar com facilidade o seguinte, Teorema 15 : Tem-se, ex= 12 12 1+ + + +xx xmm! ( )!+xmxmm!( ) e para cada sucesso xn de valores de x que tenda para zero, tem-se lim m nx ( )= 1 Demonstrao:Aigualdadedoenunciadofoijestabelecidanasconsideraesque precedem o teorema, faltando apenas provar a segunda parte. Sendolim xn = 0 , tem-se a partir de certa ordem n1 , | xn | < 2 ;entofixandoumqualquerm N ,ser semprem+12>|xn|(apartirdaordemn1)e,portantoadesigualdadequeprecedeo teorema permite escrever, | m nx ( )- 1| | || |xm xnn+ 1 ,paran > n1, da resultando por enquadramento quelim m nx ( )= 1 . A igualdade do teorema pode ser escrita comm = 1 , 2 , 3 , ... , conforme as convenin-ciasdeclculo.Epodeserusadanoclculodelimitesemqueintervenhaexnesejalim xn = 0 .Assim por exemplo , comm = 1 , exn pode ser substituido por, 11+ x xn n ( ) ,sendo quelim xn = 0 lim 1( ) xn = 1; comm = 2 , exnpode ser substituido por, 1222+ + xxxnnn!( ) ,sendo quelim xn = 0 lim 2( ) xn = 1. Nosexemplosdeaplicaoemquenohajaperigodeconfusosobrequalasucesso envolvida,escreve-se1emvezde1( ) xn,2emvezde2( ) xneassimpor diante, para no sobrecarregar a notao. 66Vejamos dois exemplos de aplicao. 1) Clculo de lim ( en 1/- 1). n . Comolim 1/n = 0 , tem-se: lim ( en 1/- 1)=lim ( 1 + 1n .1 - 1 ). n=lim1 = 1 . 2) Clculo delim ( 21/n- 1 - 1/n). n2 . Comolim 1/n = 0 , tem-se: lim ( 21/n- 1 - 1/n). n2 =lim | en l o g ( / ) . 1 2 -1-1/n| . n2 = = lim12 22112222+ + (( l o gnl o gn nn! = = limn l o gl o g( )!2 12222 + ((=- . Combasenoteorema15voobter-seduasfrmulasaplicveisaoslimitesdos logaritmos: Teorema 16 : Tem-selog (1 + x ) =x-x2 . (x) e para cada sucesso xn de valores de x que tenda para zero, tem-selim ( xn ) = 1/2 Demonstrao : Considere-se a funo, (x) = x l o g xxxx +=( ),/ ,101 2 02 . Da definio de (x) resulta que parax 0eparax = 0 , log (1 + x ) =x-x2 . (x) . Considere-se agora uma sucesso xn de valores de x com limite nulo. Sexn 0 de certa ordem em diante, tem-se a partir dessa ordem, ( xn ) = x l o g xxn nn + ( ) 12= 1 1 11 12+ ++ x l o g xxn nn( )( ) = =| |e l o g xel o g xnl o g xnn( )( )( )1121 11++ + ; aplicando a frmula do teorema 15 (no numerador com m = 2enodenominadorcom m = 1), obtm-se: ( xn ) =| |1 1121 11 1 12212+ + ++ ++ + l o g xl o g xl o g xl o g xnnnn( )( )!( )( ) =1221 , 67e como, lim xn = 0lim log (1 + xn ) = 0 lim 1 =lim 2 = 1 , obtm-se,lim ( xn ) = 1/2 . Sexn =0decertaordememdiante,tem-se(xn )=1/2apartirdessaordem|ver definio de (x)| e ento tambm lim ( xn ) = 1/2 . Enfim, se h infinitos xn 0einfinitosxn = 0 , h duas subsucessesxn exn e, para cada uma delas, lim ( xn) = 1/2e lim ( xn) = 1/2 ,peloquetambmnestecaso, lim (xn ) = 1/2 . Corolrio 1 : Tem-selog (1+ x) =x . (x)e para cada sucesso xn de valores de x que tenda para zero, tem-selim ( xn ) = 1 Demonstrao : Resulta imediatamente do teorema 16. Com efeito, log (1 + x ) =x-x2 . (x) =x . | 1 -x . (x)| =x . (x) , com(x) = 1 -x . (x) . Sendolim xn = 0, conclui-se logo que lim ( xn ) = 1, como se pretendia provar. Corolrio 2 : Tem-se(1+ x) = 1+ . x . (x) e para cada sucesso xn de valores de x que tenda para zero, tem-selim (xn ) = 1 Demonstrao : Tem-se, pelas frmulas do teorema 15 e corolrio 1 do teorema 16, (1+ x) = el o g x ( ) 1+ = 1 + 1. . log (1 + x) = 1 + 1. . x . (x) , em que 1 depende de . log (1 + x) , logo de x . Fazendo, (x)=1.(x) , obtm-se ento,(1+ x) = 1+ . x . (x). Sendo agoraxn umasucessodevaloresdexcom limite nulo, tem-se que nulo olim log (1+ xn ) e portantolim 1 = 1 ;por outro lado,lim ( xn ) = 1, assim se concluin-do quelim (xn ) = 1 . Tal como se disse a propsito do teorema 15, quando na aplicao do teorema 16 e seus corolriosnohouverperigodeconfusoquantossucessesenvolvidasnosclculos, escreve-se em vez de (xn ) , em vez de ( xn ) e em vez de ( xn ). Vejamos alguns exemplos de aplicao. 1) lim n2. | log (1 + 2/n) - 2/n|=lim n2. (2/n- . 4/n2 - 2/n) = = lim (-4) = -2 . 682) lim n.|log (n + 1) - log n|= lim n . log (1 + 1/n) = lim(n . . 1/n) = 1 . 3) limn . ( 1 1 + / n- 1)= lim n . | (1 + 1/n)1/2 - 1|= = lim n . | 1 + (1/2).(1/n).- 1|=lim (1/2).= 1/2 . 4) lim n . |1 1 13+ + l o g n ( / )- 1|= lim n . | 1+(1/3).log (1+1/n).- 1|== limn . | (1/3). (1/n) . .|= lim (1/3). .= 1/3 . 11. Alguns infinitsimos e infinitamente grandes notveis Estudam-se seguidamente alguns infinitsimos e infinitamente grandes notveis. a)Com0|a|0implica que m nx ( ) > 0 . Ento, exn >xmnm11 ( )! , para n > n1 , edividindoambososmembrosdestadesigualdadeporxn(sempreparan>n1), obtm-se, ! ) 1 (1> mxxemnnnx ; ora ,m > + 1implicaque o limite do segundo membro da desigualdade igual a + (relembre-sequelimxn=+)e,portanto,tambm,lim(exn/ nx )=+,comose queria provar. d)Sendolimxn=+,tem-selim(xn /logxn)=+(osnmerostendemmais depressapara+quequalquerpotnciapositivadosrespectivoslogaritmos).uma consequn-cia imediata do resultado anterior : com efeito, se lim xn = + ,tambmlim log xn= +e ento, lim= = ) (nnx g o lnnx g o lem i lx g o lx + , pelo resultado obtido em e) . 7012. Teoremas subsidirios Oteoremaseguinteeseuscorolriossodegrandeutilidadenoclculoprticode limites. Teorema 17 : Sendoynestrictamente crescente com limite + , ento, lim x xy yn nn n++11 =klim xynn =k comkfinito, k = + , ouk = - Demonstrao:a)Vejamosprimeiroocasodolimitefinito.Fixado>0,existeuma ordemm = ntal que , paran > m , k - /2 m ,oquesempreseconsegueporser ,porhiptese,lim yn = + . Escrevendo a desigualdade precedente para os naturaism+1 , m+2 , ... ,n-1 (comn m +2 ), obtm-se: k - /2 m , An = a1+a2 + ... +am+am+1+ ... + an Bn = b1 + b2 + ... + bm + bm+1+ ... + bn = b1 + b2 + ... +bm+am+1+ ... + an , donde resulta, paran >m , An - Bn = ( a1+a2 + ... +am )-( b1 + b2 + ... + bm ) = k(constante), ou ainda,An = Bn + k(com k constante) ; esta ltima igualdadepermiteconcluir quelim An finito se e s se o mesmo acontecer com lim Bn . Em concluso, a convergncia de uma das sries implica a da outra e o mesmo se pode dizer quanto divergncia. P3 :As sries =1 nnue =+1 np nu( p N ) so da mesma natureza (ambas convergentes ou ambas divergentes) Demonstrao:RepresentandoporSneSn,p ,respectivamente,ostermosgeraisdassucessesdassomasparciaisdassriesdoenunciado, tem-se, Sn = u1+u2 + ... +un e Sn,p =up+1+up+2 + ... +up+n, e bvio que Sp+n = ( u1+u2 + ... +up ) +Sn,p . Comop fixo, a soma dentro do parentisis no segundo membro da igualdade uma constante, o que permite concluir, lim Sn =lim Sp+n finito lim Sn,pfinito , donde se tira a concluso do enunciado. Como comentrio ao resultado estabelecido na propriedade anterior, convm referir que asrie=+1 np nu usualmentedesignadaporsrierestodeordempdasrie =1 nnu :a primeira srie pode considerar-se que foi obtida a partir da segunda por supresso dosp termos iniciais desta . A propriedade afirma que uma srie e a correspondente srie resto deordemp(compN)sodamesmanatureza(ambasconvergentesouambas divergentes).Nocasodeconvergncia,aigualdadeestabelecidanodecorrerda demonstraodapropriedade,ouseja,Sp+n =(u1+u2 +...+up)+Sn,p,permite concluir que, =1 nnu = lim Sn =lim Sp+n = ( u1+u2 + ... +up ) +lim Sn,p= = ( u1+u2 + ... +up ) + =+1 np nu . Podemos assim enunciar, 89 P4:Asomadeumasrie,quandoconvergente,igualsomadosseuspprimeiros termos mais a soma da respectiva srie resto de ordemp Ainda no caso de convergncia, a partir da igualdade =1 nnu = ( u1+u2 + ... +up ) + =+1 np nu , pode concluir-se, passando ao limite em p, que, =1 nnu = lim ( u1+u2 + ... +up ) +lim=+1 np nu , e comolim ( u1+u2 + ... +up )= =1 nnu ,resultaquelim=+1 np nu = 0 . Ou seja, P5 : A soma da srie resto de ordem p de uma srie convergente tende para zero quando p tende para infinito P6 : Sendo=1 nnu e =1 nnvconvergentes, ento tambm converge a srie( ) u vn nn+ =1 e tem-se quanto s respectivas somas a igualdade: =+1) (nn nv u= =1 nnu + =1 nnv Demonstrao:RepresentandoporUn,VneWnostermosgeraisdassucessesdas somas parciais, respectivamente, das sries =1 nnu ,=1 nnv e =+1) (nn nv u , tem-se: Wn= (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) +...+ (un + vn ) = Un + Vn . E ento, =1 nnue =1 nnvconvergentes lim Un e lim Vn finitos lim Wn= lim Un+lim Vn finito =+1) (nn nv uconvergente e =+1) (nn nv u= =1 nnu + =1 nnv . A propsito da propriedade que acaba de ser apresentada convm notar que a soma termo atermodesriesdivergentespodeoriginarumasrieconvergente.Porexemplo, somandotermoatermoassriesdivergentes = 1) 1 (nne =11) 1 (nnobtm-seuma srie com todos os termos nulos que obviamente convergente (tem soma igual a zero). 90P7 :Sendo =1 nnu uma srie convergente e k um qualquer real, tem-se que=1) (nnu k igualmente convergente e =1) (nnu k= k .=1 nnu Demonstrao : Representando porUn eWn os termos gerais das sucesses das somas parciais, respectivamente, das sries =1 nnue =1) (nnu k , tem-se : Wn= k u1+ k u2+...+ k un= k .Un. E ento, =1 nnuconvergente lim Unfinitolim Wn=k . lim Unfinito =1) (nnu kconvergente e =1) (nnu k= k .=1 nnu. Como consequncia imediata das propriedades P6 e P7, tem-se: P8 : Sendo=1 nnue =1 nnvconvergentes e e nmeros reais, ento tambm converge a srie =+1) (nn nv u e tem-se a seguinte igualdade: =+1) (nn nv u = .=1 nnu + .=1 nnv A propriedade seguinte fundamenta a possibilidade de associao de termos consecutivos nas sries convergentes: P9: Associando-se termos consecutivos em srie convergente, mantm-se a convergn-cia e a soma Demonstrao : Considere-se a srie =1 nnue associem-se nela os 1 primeiros termos, os2-1seguintes,os3-2seguinteseassimsucessivamente.Obtm-seassimuma nova srie =1 nnvcom termos, v1 = 12 1 u u u + + + v2 = 22111 u u u + + ++ + v3 = 32212 u u u + + ++ + ... vn = n n nu u u + + +++2111 91... Tem-seento,representandoporUneVn,respectivamente,ostermosgeraisdas sucesses das somas parciais das sries =1 nnue =1 nnv : Vn=v1 +v2 +...+vn = Un. Se a srie =1 nnu for convergente, tem-selim Un finito ; como Un uma subsucesso de Unser tambm finito lim Vn = limUn= lim Un , igualdades que ao mesmo tempo provam a convergncia da srie=1 nnve que a soma desta igual soma da srie inicial =1 nnu . Convmreferir,apropsitodapropriedadequeacabadeserdemonstrada,quea associaodetermosconsecutivosemsriedivergentepodeoriginarumasrie convergente.Assim,porexemplo,associandocadaumdostermosdasrie divergente=11) 1 (nncom o termo seguinte (o primeiro com o segundo, o terceiro com o quarto, etc.) obtm-se uma srie com termos todos nulos que obviamente convergente. 4. Condio necessria e suficiente de convergncia de uma srie Com base na condio necessria e suficiente de convergncia de uma sucesso, conclui-se imediatamente que: Teorema1:Acondionecessriaesuficienteparaaconvergnciadasrie =1 nnu que, > 0 , n :n > m > n | um+1 + um+2+...+ un | < Demonstrao : A srie =1 nnuser convergente se e s se for convergente a sucesso das somasparciais,Sn =u1+u2 +...+un.Eestasucessoserconvergenteseesse verificar a condio de Cauchy, ou seja, se e s se, > 0 , n :n > m > n | Sn - Sm | < ; mascomoSn-Sm =um+1+um+2 +...+unresultalogodeimediatoacondiodo enunciado. Vejamos, como exemplo de aplicao deste teorema, que divergente a srie harmnica =1/ 1nn . Atendendo a que, comn > m , 92 | 11121m m n ++++ +|nm n , tem-se, tomando em particularn = 2 m >m 1 , | 111212 m m m ++++ +|mm2 = 1/2; ento, fixando por exemplo= 1/3 , no existe uma ordemn1 tal que , n > m > n1 | 11121m m n ++++ +| < 1/3 , porque, para todo om , tomandoem particularn = 2 m >m , tem-se como se viu, | 111212 m m m ++++ +| 1/2. 5. Critrios de convergncia para sries de termos no negativos 5.1 - Introduo Oestudodaconvergnciadeumasrieeclculodarespectivasomadirectamenteapartirda definio tarefa normalmente impraticvel. A obteno de uma expresso para o termo geral da sucessodassomasparciaisquepermitaoclculoprticodorespectivolimite(paraassimse achar a soma ou inferir a divergncia), s muito excepcionalmente possvel. Oscasosestudadosnoponto2.,emquefoipossvelestudaraconvergnciadassriesdadase calcular a respectiva soma pela definio, no so a regra. Pornorma,oestudodaconvergnciadeumasriefaz-sepormtodosindirectos(critriosde convergncia)enoclculoda soma o melhor que se consegue o seu clculo aproximado com um grau de preciso fixado previamente. Vamos estudar seguidamente alguns critrios de convergncia aplicveis s sries de termos no negativos,deixandoaquestodoclculoaproximadodasomadeumasrieparatratamento posterior. Emboraoscritriosdeconvergnciaquevamosestudarsejamdeduzidosnahiptesedeos termos das sries envolvidas serem todos no negativos, eles so tambm aplicveis quando: a) A srie em questo tenha termos no negativos de certa ordemp em diante pois, neste caso, os critrios so aplicveis srie resto de ordem p (que ter ento apenas termos no negativos) e as concluses que se tirem sobre a convergncia ou divergncia desta so aplicveis srie inicial; b)Asrieemquestotenhatermosnopositivosdecertaordempemdiantepois,nestecaso, multiplicando os termos da srie por -1 , obtm-se uma srie da mesma natureza (convergente ou divergentecomoainicial)cujostermossononegativosdaordempemdianteequalse aplicam, portanto, como se disse em a), os critrios de convergncia que vamos estudar. Faceaoqueacabadeserdito,podeconcluir-sequeoscritriosquevamosestudarsnoso aplicveis quando a srie em questo tenha uma infinidade de termos positivos e uma infinidade 93determosnegativos.Aindaassim,oscritriosqueestamosreferindosoaplicveiscomo veremosnadetecodeumamodalidadeespecialdeconvergncia(achamadaconvergncia absoluta que adiante definiremos). 5.2 - Critrios gerais de comparao Considere-seumasrie =1 nna determostodosnonegativos.RepresentandoporAnotermo geral da sucesso das somas parciais, tem-se, An = a1 + a2+...+ an a1 + a2+...+ an + an+1 = An+1 , por seran+1 0 (por hiptese a srie tem termos todos no negativos). Mas sendo crescente, a sucessoAnterlimitefinito(seformajorada)ou+(senoformajorada);ouseja,sriede termostodosnonegativos,ouconvergenteoudivergenteinfinita(somaiguala+),no podendo ser divergente oscilante. Esta concluso importante para o que vai seguir-se. Teorema 2 : Sendo0 an bnpara todo on, tem-se : a) =1 nnb convergente =1 nna convergente ; b)ann =1divergentebnn =1divergente Demonstrao:a)RepresentandoporAneBn , respectivamente, os termos gerais das sucesses dassomasparciaisdassries =1 nna e =1 nnb ,tem-seAnBn (porqueporhipteseanbn para todo o n); mas ento, pelas consideraes que precedem o enunciado do teorema, tem-se: =1 nnb convergente , bn 0ean 0Bnsucesso majorada ean 0 Ansucesso majoradaean 0 =1 nnaconvergente . b)Decorredea).Comefeito,se =1 nnb forconvergente,entoasrie =1 nna nopoderser divergente(conformeseprovounaalneaanterior);portanto,adivergnciadestaimplicaa divergncia daquela. Corolrio1:Oenunciadodoteoremavlido,mesmoqueoenquadramento0 an bn se verifique apenas de certa ordem em diante Demonstrao : Sendo p a ordem a partir da qual se verifica o enquadramento 0 an bn , as implicaesdoenunciadodoteoremasovlidasparaassriesrestodeordempdassries envolvidas. E como uma srie e a respectiva srie resto de ordempso da mesma natureza, as implicaes so evidentemente vlidas para as sries originais. Corolrio 2 : Sendoan 0 ,bn >0 e an / bn k(comk > 0) de certa ordem em diante, tem-se: a) =1 nnb convergente =1 nna convergente ; 94b) =1 nna divergente =1 nnb divergente Demonstrao:Ascondiesdoenunciadogarantemque0 ank.bndecerta ordem em diante e ento: a) Pela propriedade P7, a convergncia de =1 nnbimplica a de =1) (nnb ke a desta implica a de =1 nna (corolrio 1); b)Pelocorolrio1,adivergnciade =1 nna implicaade =1) (nnb k eadestaimplicaade =1 nnb (pois se esta ltima srie fosseconvergente , tambmoseria=1) (nnb k , pela proprieda-de P7). Corolrio 3 : Existindo nmeros positivos c e d tais que0 0 ek =lim an / bn , ento: a) Com k = 0 , =1 nnb convergente =1 nna convergente ; b) Com k = + , =1 nnb divergente =1 nna divergente ; c) Com k 0 , + , as sries so da mesma natureza (ambas convergentes ou divergentes) 95Demonstrao : a) Comk = 0,tem-sean / bn < de certa ordem em diante e ento o corolrio 2 assegura a concluso. b) Comk = + , tem-sean / bn > 1/, ou seja , bn / an < de certa ordem em diante e ento o corolrio 2 assegura de novo a concluso. c) Comk 0 , + , tem-se, fixando > 0tal quek - > 0 , 0 0e ainda, de certa ordem em diante, nnnnbbaa1 1 + +, ento : a) =1 nnb convergente =1 nna convergente ; b) =1 nna divergente =1 nnb divergente Demonstrao : Da desigualdade do enunciado decorre que, ababnnnn++11 , para n > m (com certo m) , ou seja,an / bn uma sucesso decrescente de certa ordemm em diante. Ento,n > mababnnmm++11 = k, sendo as implicaes a provar asseguradas pelo corolrio 2. Vejamos alguns exemplos de aplicao do teorema 2 e seus corolrios. A) Exemplos de aplicao directa do teorema 2 : 1) A srie=1 nna divergente, porque1 1nne diverge a srie =11nn . 2) A srie = + 12) 1 (1n n convergente, porque, 0 < 112( ) n +< 11 n n ( ) + =1 11 n n+, e converge a srie redutvel=||.|\|+111 1nn n . 96 B) Exemplos de aplicao do corolrio 4 : 3) A srie =121n n convergente, porque, lim 11 122// ( )nn+=lim( ) nn+122 = 1 , e, como se viu no exemplo 2), converge a srie= + 12) 1 (1n n . 4)Asrie =+ +1) 1 ( . ) 1 (1nn g o l ndivergente.Comefeito,asrieredutvel, | |=+ +1) 2 ( ) 1 (nn g o l g o l n g o l g o l divergenteeportantotambmdivergeasrie | |=+ +1) 1 ( ) 2 (nn g o l g o l n g o l g o l, uma vez que esta se obtm da precedente multipli-cando os seus termos por-1 . Ora, lim ) 1 ( . ) 1 (1) 1 ( ) 2 (+ ++ +n g o l nn g o l g o l n g o l g o l== lim((+++ +) 1 () 2 (. ) 1 ( . ) 1 (n g o ln g o lg o l n g o l n=1 , como o leitor pode concluir (o clculo do limite indicado constitui um bom exerccio de reviso). O corolrio 4 assegura portanto a divergncia da srie =+ +1) 1 ( . ) 1 (1nn g o l n . C) Exemplo de aplicao do corolrio 5 : 5) A srie=125 nnn convergente, pois coman = nn25 ebn =( / ) 4 51 n ,tem-se, aannnbbnnnnnn+++=+ = + =121 221155 151 145( )( / ) , e=11) 5 / 4 (nn convergente (srie geomtrica de razo 4/5). 5.3 - Critrio de Dirichlet 97Trata-sedeumcritrio especial de comparao com a srie =1/ 1nn cuja natureza tem portantodeserestabelecidapreviamente . Jantes vimos, a ttulo de exemplo, algunscasos particulares desta srie: com = 1, a srie diverge, o mesmo acontecendo com ==1/2;com=2,vimosqueasrieconvergente.Vamosseguidamentefazero estudo completo desta srie: a)Com1,tem-se1/n1/necomo =1/ 1nn diverge,oteorema2asseguraa divergncia de =1/ 1nn ; b) Com > 1 , a srie redutvel, = ((+11 1) 1 (1 1n n n , convergente e dado que, lim1 1111 1n nn + ( )=lim nnn. 111+|\|.|((( = = lim nn. 1 1111 +|\|.|((( = limnn. ( ) . 1 1111 ++ (( = - 1 > 0 , ocorolrio4doteorema2permiteconcluirque =1/ 1nn(>1)igualmente convergente. Podemos ento enunciar: Teorema 3 : Dada a srie =1 nna , coman 0 , calcule-se (caso exista), = lim ann1/ =lim n. an. Ento: a) Se for = 0 , com > 1, a srie converge ; b) Se for = + , com 1, a srie diverge ; c) Se for 0 , + :c1) Com > 1 , a srie converge ; c2) Com 1, a srie diverge (Critrio de Dirichlet) Demonstrao : Resultaimediatamentedocorolrio4do teorema 2 ,considerandobn = 1/ne notando que 11/ nn=convergeou diverge consoante seja > 1 ou 1 . 98 Note-sequeocritrio do teorema 3 permite as duas seguintes situaes inconclusivas: = 0e 1 ; = +e > 1 . 5.4 - Critrio da razo. Critrio de DAlembert O corolrio 5 do teorema 2 e o facto de as sries convergentes terem termos gerais que tendem para zero, permitem demonstrar o seguinte: Teorema 4 : Dada a srie =1 nna , coman >0 , a)Seexisteumnmeropositivor 0tal que - > 1 . Por definio de limite ter-se-, a partir de certa ordem, 1 < - 0, tem-se: limc nnc nnnnnn++++1111. ( )!( )! =lim c nnnnn( )( )+ ++111 =lim cnnnn+ ( ) 1 = c / e . Ento,seforce,asriediverge;nocasoc=e, embora o limite seja unitrio, dado que, e .nnnn( ) +1 = e .11 1 ( / ) + nn>1 , a aplicao directa do teorema 4 permite concluir divergncia. 5.5 - Critrio da raiz. Critrio de Cauchy O teorema 2 permite ainda deduzir um outro critrio de convergncia de larga aplicao prtica. Trata-se de critrio da raiz e do seu corolrio (critrio de Cauchy). Teorema 5 : Dada a srie =1 nna , coman 0 , a) Seexisteumnmeropositivor< 1tal que ,a partir de certa ordem, se tenha, ann r < 1 ,ento a srie converge; b) Se, para infinitos valores dense tem,ann 1, ento a srie diverge (Critrio da raiz) Demonstrao : a) Tem-seapartirdecertaordemanrnecomo, com0 0tal que + < 1 . Apenas um nmero finito de termos da sucessoun=ann podem exceder + ; caso contrrio existiria uma subsucesso deuncom todos os termos a exceder + e claro que tal subsucesso admitiria um sublimiteu + ;useria tambmsublimite da sucesso un=ann queteriaassimumsublimitesuperioraorespectivolimitemximo,oqueimposvel. Tem-se ento, a partir de certa ordem, ann< + < 1 , e a alnea a) do teorema 5 garante a concluso. b)Sendo>1,escolha-se>0talque->1.Pordefiniodelimitemximo, existeumasubsucessodeun=anncomlimiteeportantotem-se,parainfinitos valores en, ann> - > 1 , e a alnea b) do teorema 5 garante a concluso. Note-sequeocritriodocorolrioprecedente(critriodeCauchy)inconclusivo quandoseja,=limmxann=1.Noentanto,nestecaso,seseverificarann 1parainfinitosvaloresden,aaplicaodirectadoteorema5garanteadivergnciada srie. Notaimportante:Noscasosmaiscorrentesexistelimanneportantoocritrio aplica-se comlimann=lim mxann . 101Vejamosdois exemplos de aplicao. 1) Para a srie, =12.nn ne c , com c > 0 , tem-se, limc en n n2.=lim cn. e=0 0 111,,,< ce cc. Logo a srie converge se0 < c < 1 e diverge sec 1 . 2). Para asrie, | |= +1) 1 ( 31nnn , no existe, lim| |13 1 + ( )nnn =lim 13 1 + ( )n , No entanto, como,lim mx13 1 + ( )n = 1/2 < 1, fica garantida a convergncia da srie. 5.6 - Teorema de Kummer Oteoremaseguinteconstituiumresultadodenotvelsimplicidadeegeneralidadeque nosirpermitirdeduzirposteriormentenovoscritriosdeconvergncia,autilizar quando os critrios j estudados sejam inconc