UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃOCENTRO DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS EXATAS E

NATURAISDEPARTAMENTO DE CIENCIASPROGRAMA DARCY RIBEIRO

PROF (A).:FRANCISCO RABELO

ACADÊMICO.: ZAQUEU OLIVEIRA SILVA 

T. V. I

CIDELÂNDIA-MA2014

ZAQUEU OLIVEIRA

T.V.I – TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

CIDELÂNDIA-2014

UM POUCO DA HISTÓRIA

O Teorema do Valor Intermediário é também conhecido como Teorema de Bolzano, em homenagem ao matemático tcheco Bernhard Bolzano ( 1781 - 1848), que o demonstrou analiticamente. Embora já ha muito conhecido e utilizado, só no início do século XIX, o TVI foi demonstrado, antes disso todos se apoiavam numa justificativa geométrica. Bolzano nasceu e morreu na cidade de Praga, e embora fosse padre tinha ideias contrarias às da igreja. Lastimavelmente, suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos.

DEFINIÇÕES DE FUNÇÃO CONTÍNUA E DESCONTÍNUA

Seja uma função f:| a,b| → R e a<c<b. Afunção f é contínua no ponto C, se Lim f(x )existe, quando x → c e é igual a f(c), ou de umaforma mais concisa:

Se não existe Lim f(x ) ou se existe Lim f(x )quando x → c, mas Lim f(x ) ≠ f(c), dizemos que afunção f é descontínua em x = c. Que são as

famosas funções de Dirichlet.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FUNÇÕES

Na sequência, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas.

Contínua Descontínua

TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO (TVI)

Se f é contínua sobre o intervalo fechado[a,b]e L é um número real tal que f(a)<L<f(b) ou f(b)<L<f(a), então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que f(c)=L.

APLICAÇÕES

Prove que: f(x)= x - 2x - x + 1 tem raiz real ⁴ ³no intervalo [ 0 , 1]. Resolução 1) É contínuo 2) função Polinomial Logo ∃ c ∣ f(c)=0, então c ∈ [ 0, 1]

APLICAÇÕES

Seja g:[-1,3] → R g(x) = x³- x² - 1 ; então g assume o valor ¼.

1)É continua2) Função Polinomial Logo existe pelo menos uma raiz real para a

equaçãog(-1)= -3 < 0 e g(3)= 17 > 0

APLICAÇÃO DE BOLZANO

Uma das aplicações mais pitoresca do TVI é no problema de existência de raízes reais para uma equação. Por exemplo, podemos mostrar que o polinômio tem pelo menos uma raiz real no intervalo [0; 2], usando simplesmente o fato de que

q(0) = -5 < 0 e q(2) = 3 > 0.

Esse mesmo raciocínio pode ser usado para provar,analiticamente, que todo polinômio p(x) acoeficientes reais de grau impar tem ao menosuma raiz real. De fato, podemos supor:

e, neste caso, e

Como toda função polinomial é contínua,naturalmente existem números reais a e b tais quep(a)<0 e p(b)>0. Daí,pelo TVI ,existe talque

APLICAÇÕES

Mostre que x³ - 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma solução real.

Solução: Seja f (x ) = x³ - 4x + 8: Temos que f e uma

função contínua e como f ( 2) = 8 > 0 e f ( 3) = -7<0

pelo Teorema do anulamento existe c ∈ ( 3; 2) tal

que f (c ) = 0; ou seja, c é uma solução da equação (de fato c ∈ ( 2:649436; 2:649435)).(Interação verificada pelo método de Newton)

Método de Newton

Método de Newton

TEOREMA DO VALOR MÁXIMO (KARL WEIERSTRASS)

Se f é uma função contínua sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e também o seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isto é o mesmo que garantir a existência de valores x1 e x2 em [a,b] tal que para todo x em [a,b]:

f(x1) = m < f(x) < M = f(x2)

OBSERVAÇÃO E EXEMPLO

f(x)=sen(x) definida sobre [-π,π], possui máximo em x=-π e x = π/2 e mínimo em x = -π/2 e x=π.

REFERÊNCIAS

BRITO,Frederico Reis Marques de. Consequências Interessantes da Continuidade.Universidade Federal do Goias-UFG. Disponível em http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/frederico.reis.pdf

CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Os Teoremas de Weierstrass e Bolzano. ICMC- USP disponível em http://www.icmc.usp.br/pessoas/andcarva/sma301/Aulas/Aula15.pdf

SODRÉ, Ulysses.Matemática Essencial.Londrina-PR.disponivel em http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/continua/continua.htm

DOERING, Claus I.Introdução a Analise Matemática na Reta.Universidade do Rio Grande do Sul – URGS. Disponível em http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/NE-1.02.pdf