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35 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo

em Refrigeração e Climatização

IFRS – Campus Rio Grande

Funções

A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por exemplo, como

escrevemos o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado

dependendo do tempo? E se o móvel está em movimento retilíneo

uniformemente variado? Como representar o número de habitantes de uma

cidade em função do tempo? E a quantidade de calor transferido entre

duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos relacionar essas

grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e analisar

gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se

relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que

relacionam duas variáveis, geralmente usaremos x e y. Em que a variável

x é chamada de independente e y de dependente.

1. Definição de função.

Duas grandezas, x e y, em que x A e y B, A e B conjuntos não vazios, se relacionam como uma função se:

I – Todo x se relaciona com algum y B.

II – Cada x se relaciona com exatamente um y B.

O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se existir

uma expressão que relacione y a x, chamamos de lei da função.

Notação: f: A B

y = f(x)

Exemplos: 1. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto

dos números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área, f: A B

é função?

2. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f

associa a mulher com quem possui relacionamento romântico, f: A B é

função?




3. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais.

Se f associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A B é uma função?

4. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais.

Se f associa cada pessoa com sua altura em metros, f: A B é uma

função?

5. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos

números reais. Se f associa cada equação com suas soluções, f: A B é

uma função?

Observação:1 - O conjunto dos y B, tais que existem algum x relacionado a eles chama-se conjunto imagem. 2.Nosso objeto, nessa disciplina, é

estudar funções cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos.

Exemplo: 1. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens 1 a

4, anteriores?




2. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto

dos números inteiros. Se f relaciona cada equação de segundo grau com

o número de soluções reais, f: A B é função? Caso afirmativo

determine o conjunto imagem.

3. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado.

Determine o conjunto imagem da função.

4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro.

Determine o conjunto imagem.

5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos

do plano que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de

45º com o sentido positivo do eixo x. Determine o conjunto imagem da

função.




2. Gráficos de funções.

Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não

esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o

gráfico de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de

funções. Também poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico.

(a)

(b)

(c)

(d)




(e)

(f)

Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior

número de detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio

e contradomínio da função são os reais.

3. Domínio de uma função.

Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da

mesma, pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a expressão

uma função.

Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f

seja função.

(a) f: A ℝ (b) f: A ℝ

xy x

1y




Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só existem

duas restrições:

I – Divisão por zero;

II – Radicando negativo em raiz de índice par.

Podemos ter combinações dessas restrições.

Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f

seja função.

(a) f: A ℝ (b) g: A ℝ

2xy 1²x

1y

(c) f: A ℝ (d) h: A ℝ

4x42xy

5x3

1y

(e) f: A ℝ (f) g: A ℝ

1x2²x

3xy

2x

1

1x

1y




Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar

domínios com outras combinações destas restrições.

4. Função afim.

É todo função que pode ser escrita na forma:

f: ℝ ℝ y = ax + b

Em que a e b são constantes reais.

Já estudamos esta função como a equação reduzida da reta. Sabemos o

significado de a, coeficiente angular e b, coeficiente linear. Para

completar o estudo desta função veremos: estudo do crescimento, raiz

da função e o estudo do sinal.

4.1. Estudo do Crescimento.

Estudar o crescimento de uma função é indicar os valores de x em que a

função é crescente, decrescente ou constante.

Agora, se a função for afim, ela não terá mudança no comportamento, ou

ela é sempre crescente, sempre decrescente ou constante.

Função crescente Função constante Função decrescente

0 < < 90º = 0 90º < < 180º

tan > 0 tan = 0 tan < 0 a > 0 a = 0 a < 0




Resumindo:

a > 0 função afim crescente x ℝ

a = 0 função afim constante x ℝ

a < 0 função afim decrescente x ℝ

Exemplo: Determine o crescimento das funções afim, cujas leis são:

(a) 6x4

3y (b) 7xy

4.2 Raiz da função afim.

Em geral, raiz de uma função, é o valor de x em que y = 0. Assim se a

função é a afim:

y = ax + b ax + b = 0 a

bx

Não precisamos ter isso como uma fórmula. Apenas sabendo a definição

de raiz, chegamos na equação muito simples de resolver.

Exemplo: Determine a raiz das funções abaixo:

(a) f: ℝ-{2} ℝ (b) f: ℝ ℝ

2x

7x3y

y = 4x - 10




4.3. Estudo do sinal.

Estudar o sinal de uma função é indicar os intervalos do domínio, ou

seja, valores de x, em que a função, ou seja, y, assume valores positivos,

negativos ou nulos. Observe o gráfico abaixo. As regiões em rosa

correspondem aos valores de x em que o gráfico está acima do eixo ox,

ou seja, y>0. As regiões em azul correspondem aos valores de x em que o

gráfico está abaixo do eixo ox, ou seja, y < 0. E os pontos estão no

eixo ox, ou seja, y = 0.

Se a função é afim, temos quatro possibilidades:

(a) a > 0 (b) a < 0

(c) a = 0 e b > 0 (c) a = 0 e b < 0




Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo:

(a) y = 2x – 4 (b) y = 4 – 8x

2. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja

função.

(a) f: A ℝ (b) g: A ℝ

x3

1xy

8x31x4y

3. Resolva as inequações abaixo, em ℝ:

(a) 2 < 2x – 6 < 10




3x2x36

5x4

(b)

5. Exercícios.

1- Determine o maior subconjunto dos reais que torna as expressões abaixo

em funções:

a 4x)x(f

lRA:f

b

1x2

3x2)x(g

lRA:g

c x212x)x(h

lRA:h

d

1²x

3xx)x(g

lRA:g

24

2- Determine o domínio de cada gráfico abaixo. Analise se os gráficos

abaixo são referentes a funções, considerando o seu domínio. Justifique

sua resposta. No caso de função determine o conjunto imagem.

a b




c d

3 Responda:

a. Uma função afim pode não ter raiz? Em que situação?

b. O gráfico de uma função afim é uma reta. E toda reta pode ser

definida como uma função afim?

4 Resolva as inequações abaixo, em ℝ:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

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