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UNESPAR – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ
Campus União da Vitória
FRANCIELLE DE FÁTIMA KRINSKI
A MATEMÁTICA POR TRÁS DOS PARADOXOS
UNIÃO DA VITÓRIA 2014
1
FRANCIELLE DE FÁTIMA KRINSKI
A MATEMÁTICA POR TRÁS DOS PARADOXOS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual do Paraná – Campus de União da Vitória. Orientadora: Prof. Dra. Michele Regiane Dias Veronez.
UNIÃO DA VITÓRIA 2014
2
RESUMO
Nesse trabalho apresentamos uma proposta de ensino que tem como foco tratar de matemática em alguns paradoxos. Sendo assim, em um primeiro momento abordamos um estudo teórico o qual engloba o contexto histórico de paradoxos, paradoxos na Matemática e paradoxos nas aulas de Matemática. Tomando alguns paradoxos como estudo, desenvolvemos uma proposta de ensino que viabiliza, a partir de tais paradoxos, encaminhar uma discussão em torno dos conteúdos matemáticos necessários para solucioná-los. Contudo, tais conteúdos transitam entre as propostas curriculares do Ensino Médio e do Ensino Superior. Com esta proposta objetivamos proporcionar aos professores uma forma de se trabalhar Matemática; forma esta, que considera os paradoxos como meio de abordar conteúdos matemáticos. Palavras-chave: Paradoxos. Conteúdos Matemáticos.
3
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4
1 SOBRE OS PARADOXOS ...................................................................................... 6
1.1 O QUE SÃO PARADOXOS E QUAIS SUAS ORIGENS HISTÓRICAS .... 6
1.2 PARADOXOS NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA ..................................... 9
1.3 OS PARADOXOS NAS AULAS DE MATEMÁTICA ................................... 15
2 ALGUNS PARADOXOS E O ENSINO DE MATEMÁTICA: NOSSA PROPOSTA 16
2.1 PARADOXO DE ZENÃO: AQUILES E A TARTARUGA ............................ 16
2.2 PARADOXO DA TINTA ................................................................................... 27
2.3 PARADOXO DE SÃO PETESBURGO ......................................................... 30
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 33
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 35
APÊNDICE A - O Problema dos Três Amigos ....................................................... 36
APÊNDICE B - Problema do Relógio ..................................................................... 38
APÊNDICE C - O Problema do Viajante ................................................................. 40
APÊNDICE D - Paradoxo do Aniversário ............................................................... 42
4
INTRODUÇÃO
Com o desenvolvimento da sociedade como um todo, tem-se que
atualmente o professor deve buscar novas formas de ensino que despertem o
interesse dos alunos e que auxiliem no desenvolvimento do raciocínio e na formação
de pessoas críticas. Muito se discute que as aulas de matemática precisam ser
interessantes de maneira a despertar a atenção dos alunos. Além disso, que nelas
os mesmos tenham oportunidade de aprender através do próprio “esforço”, de
pensar sobre o assunto em si, e não apenas “copiarem e reproduzirem”.
Considerando que se torna cada vez mais necessário despertar a atenção e
o interesse dos alunos nas aulas, vislumbrando o aprendizado deles, é que
desenvolvemos esta proposta de ensino que segue apresentada neste Trabalho de
Conclusão de Curso (TCC) em dois capítulos, além da Introdução e Considerações
Finais.
Optamos pelo tema “paradoxos”, por acreditar que este tema é pouco
explorado nas aulas de Matemática e que, de certa forma, a existência de muitos
dos paradoxos causa certa “surpresa” dentro desta ciência. Cabe ressaltar que a
escolha por desenvolver meu TCC acerca deste tema se deu a partir de
interlocuções com a orientadora do trabalho e, que tal sugestão, veio ao encontro do
meu interesse em aprender algo mais sobre a Matemática. De antemão, fiquei
entusiasmada pelo fato de ter a oportunidade de elaborar uma proposta de ensino
que viria a tornar possível a aprendizagem de conteúdos matemáticos através deste
assunto.
Outro aspecto que fortaleceu o interesse em estudar sobre os paradoxos
deve - se ao fato de diversas situações, que aparentemente, pela “nossa” lógica, nos
parece verdade, acabam tornando - se falsas depois de estudadas com atenção.
Isso culminou no interesse de elaborar uma proposta de ensino voltada ao ensino de
matemática através de paradoxos, uma vez que a existência deles dentro da
Matemática é intrigante, podendo assim despertar o interesse dos alunos em
aprender através deles.
Para desenvolver tal proposta inicialmente realizamos um estudo da
matemática existente em certos paradoxos, ou seja, estudamos a matemática que
permitia solucionar ou compreender esses paradoxos. Assim, no primeiro capítulo
trazemos considerações teóricas sobre os paradoxos, sua origem e classificação, e
5
também abordamos alguns paradoxos matemáticos, bem como o uso dos mesmos
em sala de aula, a fim de ensinar Matemática. Já no segundo, apresentamos nossa
proposta de ensino que tem como objetivo abordar conteúdos matemáticos do
Ensino Superior e Ensino Médio, a partir de paradoxos.
De forma detalhada, apresentamos na seção 2.1 um paradoxo, cuja
matemática explorada pode ser trabalhada em sala de aula em cursos de nível
superior, possivelmente em aulas de Cálculo Diferencial e Integral, podendo ser
ensinado e/ou exemplificado os conteúdos relacionados à Série, Série Geométrica,
Série Convergente e Série Geométrica Convergente.
Ainda se tratando do ensino em nível superior, na seção 2.2, apresentamos
a matemática por trás do paradoxo da tinta, que pode ser utilizado em aulas de
Cálculo Diferencial e Integral, podendo abranger os temas “área de superfície”,
“cálculo de volume através de rotação por um eixo em específico” e integrais
impróprias, também servindo para ensinar e/ ou exemplificar tal conteúdo
matemático.
Na seção 2.3 trazemos um paradoxo que pode vir a auxiliar alunos do
ensino médio a compreender os princípios básicos do conteúdo relacionado à
probabilidade, de maneira que reflitam sobre a “situação” dada em tal seção, além
de possibilitar aos estudantes uma possível “nova visão” relacionada a dúvidas e
incertezas.
Por fim, trazemos as referências.
6
1 SOBRE OS PARADOXOS
1.1 O QUE SÃO PARADOXOS E QUAIS SUAS ORIGENS HISTÓRICAS
A origem etimológica da palavra paradoxo, que significa “contrária a
opinião”, é grega (𝜋𝛼𝜌𝛼𝛿𝜊𝜉𝜊𝜈/𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜𝑥𝑜𝑛), sendo uma composição entre o prefixo
𝜋𝛼𝜌𝛼 (para), que significa contra, juntamente com o sufixo 𝛿𝜊𝜉𝜊𝜈 (dóxa), que
significa “opinião” (MORIN, 1809 apud BALIEIRO FILHO, 2010). Desta maneira,
paradoxo seria uma proposição contraditória que possui sentido, levando em
consideração a intuição comum.
De acordo com Balieiro Filho (2010), um paradoxo “designa uma afirmação
ou crença contrária às expectativas, opiniões ou senso comum e a intuição, que
provoca de imediato uma reação de surpresa e perplexidade” (p.2).
No dicionário de língua portuguesa encontramos a seguinte definição de
paradoxo:
PARADOXO (cs) s.m. 1. Conceito que é ou parece contrário ao senso comum. 2. Absurdo. 3. Filos. Afirmação que vai de encontro a sistemas ou pressupostos que se impuseram como incontestáveis ao pensamento. pa. ra. do. xal (cs) adj.2g (FERREIRA, 2001, p. 548).
Paradoxos, portanto, consistem em afirmações consistentes, que
aparentemente são interpretadas de maneira que parecem falsas ou desconexas,
fazendo com que sejam rejeitadas, ou ainda, uma afirmação aparentemente falsa,
mas, quando interpretada, possui contexto que nos convence de que é verdadeira.
Um exemplo de paradoxo é a frase “Esta afirmação é falsa”, pois, se a frase
é verdadeira, é falsa e se for falsa, é verdadeira, tornando-se assim, paradoxal.
Os primeiros paradoxos foram formulados na Filosofia da Grécia Antiga,
sendo o paradoxo do mentiroso o mais antigo de todos, segundo Balieiro Filho
(2010). A autoria de tal paradoxo é atribuída, geralmente, ao filósofo grego Euclides
de Megara, que viveu entre os anos 450 e 380 antes de Cristo. De modo geral, o
paradoxo do mentiroso está associado ao seguinte questionamento, a uma pessoa
considerada mentirosa: Mente quando diz que mente? Se esta pessoa responde que
não mente, então estará mentindo, pois um mentiroso que diz não falar mentiras
mente. Se ela diz que mente, então estará falando a verdade, portanto não é uma
pessoa mentirosa.
7
Epiménides de Creta fez uma “adaptação” de tal paradoxo, reformulando-o
da seguinte maneira: Todos os cretenses são mentirosos. Neste caso, como
Epiménides é de Creta, automaticamente, é mentiroso. Se, com esta afirmação ele
está falando a verdade, ele será mentiroso, porém, está falando a verdade. Se a
frase é falsa, todos os cretenses são verdadeiros. Por consequência, a frase de
Epiménides não pode ser falsa, tampouco verdadeira.
Segundo Quine (1976) citado por Dorta (2013), existem três categorias de
paradoxos: Antinomias, Paradoxos Verídicos e Paradoxos Falsídicos.
Antinomias são paradoxos que resultam de uma contradição entre duas
proposições, em que cada uma delas é racionalmente defensível. Pode-se citar
como exemplo de antinomia o caso dos adjetivos autológicos. Um adjetivo se diz
autológico quando se aplica a si mesmo; caso contrário se diz heterológico. Assim,
por exemplo, “português” e “polissílabo” são adjetivos autológicos de nossa língua,
pois se aplicam a si mesmos, ao passo que os adjetivos “francês” e “monossílabo”,
por não se aplicarem a si mesmos, são heterológicos. Isso posto, o adjetivo
“heterológico” é autológico ou heterológico? Se o adjetivo "heterológico" for
autológico, então ele é heterológico. Essa situação é impossível. Se o adjetivo
"heterológico" for heterológico, então ele não é heterológico. Essa outra situação
também é impossível.
Paradoxos Verídicos são paradoxos que representam situações que
parecem impossíveis, mas que, apresentam conclusões verdadeiras. Para Quine
(1976) apud Dorta (2013), quando decifrado, um paradoxo verídico deixa de ser
paradoxo para a pessoa que conseguiu desvendá-lo. O paradoxo do aniversário é
um exemplo de paradoxo verídico. Este paradoxo afirma que dado um grupo de 23
(ou mais) pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão
a mesma data de aniversário é de mais de 50%. Chega-se a tal conclusão
realizando cálculos de probabilidade, desprezando variações na distribuição
(nascidos em anos bissextos, variações semanais) e considerando como hipótese
que todos os aniversários são prováveis de forma igualitária. Porém, as datas de
aniversários não são eventos que têm a mesma chance de ocorrer, então, calcula-se
a probabilidade de que todos os aniversários ocorram em datas diferentes.
Já os Paradoxos Falsídicos, são paradoxos cuja conclusão é sempre falsa e
o erro está em alguma premissa ou inferência. Tem-se como exemplo deste tipo de
paradoxo, o paradoxo da flecha de Zenão. Neste paradoxo um arqueiro está a
8
determinada distância de um alvo. Admitindo que a flecha ao ser lançada percorra
sempre a metade do caminho restante, a flecha chega ao alvo? Zenão argumenta
que nesse caso o movimento é uma ilusão, pois a flecha está sempre parada, uma
vez que, segundo ele, um objeto em voo ocupa espaço igual a si mesmo, ou seja,
não está em movimento.
Existem também paradoxos que nos são apresentados em forma de
problemas a serem resolvidos. (A solução de tais problemas estão presentes nos
apêndices)
Três amigos sentaram em uma mesa de bar e receberam a conta no
valor de trinta reais. Cada amigo deu dez reais ao garçom, que se dirigiu logo em
seguida, ao caixa. Em seguida, o garçom retornou à mesa, dizendo que houve um
engano, e que a conta não foi de trinta reais, mas sim vinte e cinco reais. Os amigos
ficaram contentes por ter sobrado cinco reais para eles, mas, como a divisão de
cinco reais entre os três amigos não daria exata, resolveram que cada um ficaria
com um real, e retornaram dois reais para o garçom, de gorjeta. Desta maneira,
cada amigo contribuiu com nove reais, já que um real foi retornado para cada, ou
seja, vinte e sete reais, uma vez que 3 × 9 = 27. Esses vinte e sete reais, somados
com os dois reais da gorjeta do garçom resultam em vinte e nove reais, mas, a
quantia inicialmente paga pelos amigos, foi de trinta reais. O que aconteceu com o
real que está faltando?
A maior parte das pessoas acreditam que o melhor relógio é aquele
que marca com mais frequência a hora correta. Se lhe entregassem dois relógios,
um que atrasasse um minuto por dia, e outro que não funciona, qual relógio
escolheria?
Um viajante precisava pagar sua estadia de 7 dias em um hotel.
Porém, só tinha uma barra de ouro para pagar. O proprietário do hotel fez a seguinte
proposta para o viajante: recebo o pagamento em ouro, mas você terá que pagar
uma diária de cada vez e só poderá cortar a barra exatamente duas vezes. De que
forma o viajante pagou sua estadia no hotel?
Normalmente, os paradoxos do tipo citado acima, são utilizados como
“pegadinha”, a fim de fazer com que a pessoa questionada sobre, passe muito
tempo refletindo sobre uma possível solução para tal.
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1.2 PARADOXOS NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA
Na Matemática, os paradoxos também se fazem presentes e alguns,
inclusive, desencadearam o desenvolvimento de teorias matemáticas.
É paradoxal que, embora a Matemática tenha a reputação de ser um assunto que não tolera contradições, na realidade, ela tem uma longa história vivendo em contradições. Esta é bem mais vista nas extensões de noção de número que tem sido realizada durante 2500 anos. Desde a limitada noção de conjunto de números inteiros, frações, números negativos, números irracionais, números complexos, números transfinitos, cada extensão, à sua maneira, superou um conjunto de exigências contraditórias. (KLEINER e MOVSHOVITZ-HADAR 1994, apud BALIEIRO FILHO, 2010. p. 1754)
O caso do número √2 é um exemplo de paradoxo na época dos pitagóricos
que trouxe contribuições para a Matemática, pois a existência dos números
irracionais, até então, era desconhecida. Ainda, os pitagóricos defendiam a ideia de
que era possível representar todos os números racionais na reta. A descoberta de
um número, cuja diagonal de um quadrado de lado unitário não era possível de ser
representada na forma 𝑝
𝑞, tal que 𝑝, 𝑞 pertencessem ao conjunto dos números
inteiros e 𝑞 ≠ 0 foi uma surpresa, já que para os pitagóricos tudo dependia dos
números inteiros (EVES, 2011, p. 106). Naquela época, este caso poderia ser
considerado um paradoxo, pois a existência de √2 era inoportuna para os
pitagóricos, pois eles desconheciam as ferramentas necessárias para provar
dedutivamente as propriedades deste número, entretanto, não poderia ser negado o
fato de que tal número correspondia à medida da diagonal de um quadrado cujo lado
media uma unidade de medida.
A descoberta da incomensurabilidade da diagonal e o lado de um quadrado teve consequências de longo alcance para a matemática grega. Por um lado positivo, inspirou Eudoxo a fundamentar uma sofisticada teoria da proporção que se aplicava a ambas as grandezas comensuráveis e incomensuráveis. Esta, por sua vez, motivou Dedekind, mais de dois milênios depois, a definir os números reais pelos cortes de Dedekind. Por um lado negativo, ela direcionou a matemática grega (pelo menos na sua parte mais produtiva do período clássico) de uma colaboração harmoniosa de número e geometria para uma preocupação quase exclusiva com a geometria. (KLEINER e MOVSHOVITZ-HADAR 1994, apud BALIEIRO FILHO, 2010. p. 1754)
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Pode-se citar também, os números transfinitos de Cantor. Números
transfinitos, são os números cardinais dos números infinitos. Em outras palavras,
dois conjuntos se dizem equipotentes, se, e somente se, eles podem ser colocados em correspondência biunívoca. Se dois conjuntos são equipotentes, diz-se que eles têm o mesmo número cardinal. Os números cardinais dos números finitos podem ser identificados com os números naturais. Os números cardinais dos conjuntos infinitos recebem o nome de números transfinitos (EVES, 2011, p. 662).
Em 1874, George Cantor iniciou uma série de publicações, em sua maior
parte em revistas alemãs de matemática, Mathematische Annalen e Journal für
Mathematik, nas quais apresentou o desenvolvimento inicial da teoria dos números
transfinitos. De acordo com Eves (2011),
antes dos trabalhos de Cantor os matemáticos aceitavam apenas um infinito, denotado por algum símbolo como ∞, o qual era empregado indiscriminadamente para indicar o “número” de elementos de conjuntos como o dos números naturais e dos números reais. Com esses trabalhos introduziu-se uma nova visão que resultou, entre outras coisas, numa aritmética e numa escala para as infinidades (p. 662).
Em 1897, houve a descoberta de paradoxos na teoria dos conjuntos de
Cantor. Com base nas informações obtidas em Eves (2011), “[...] Cantor havia
logrado provar que, dado um número transfinito qualquer, sempre existe um número
transfinito maior, de forma que, assim como não há um número natural máximo,
também não há um número transfinito máximo” (p. 674).
O paradoxo está presente no fato de, considerando um conjunto que
abrange todos os conjuntos possíveis, e que nenhum dos conjuntos possui mais
elementos que o conjunto formado por conjuntos (conjunto universo), como seria
possível existir um número transfinito maior do que o número transfinito deste
conjunto? Em outras palavras, considerando um conjunto universal U, formado por
todos os conjuntos, ele terá cardinalidade máxima. Pelo Teorema de Cantor1, a
cardinalidade de U é menor do que a cardinalidade das partes de U, contrariando a
hipótese inicial da existência de um conjunto de todos os conjuntos, tornando-se
assim, um paradoxo.
1 A cardinalidade de um conjunto qualquer A, é menor do que a cardinalidade do conjunto
das partes de A. logo, dado qualquer número cardinal, sempre existe um número cardinal maior que o número cardinal dado.
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Outro paradoxo matemático que também contribuiu para o desenvolvimento
da Matemática, presente no Discorsi de Galileu, é o paradoxo da roda de Aristóteles
(Figura 1). Suponha que a circunferência maior tenha feito uma revolução completa
ao rolar numa linha reta de 𝐴 a 𝐵, de maneira que 𝐴𝐵 é igual ao comprimento desta
circunferência. Então, a circunferência menor, presa a maior também fez uma
revolução completa, de modo que 𝐶𝐷 é igual ao comprimento da circunferência
menor. Segue-se então que as duas circunferências possuem comprimentos iguais.
Figura 1: Roda de Aristóteles. Fonte: EVES, 2011.
De acordo com Mello (2002),
[...]seria impossível girar a circunferência de ambos os círculos sobre AB e CD "simultaneamente sem escorregar". Se o círculo maior girar sem escorregar sobre AB, então o círculo menor irá "patinar para a frente" sobre CD. Por outro lado, se o círculo menor girar sem escorregar sobre CD, então será o círculo maior que irá "patinar para trás" sobre AB.
Além de paradoxos que contribuíram para o desenvolvimento da
Matemática, existem também, paradoxos que surgiram nesta ciência durante o
desenvolver de teorias como forma de questionamentos. É o caso do paradoxo de
Russel, citado a seguir.
Consideremos duas classes de conjuntos: os conjuntos que fazem parte de
si mesmos e os conjuntos que não fazem parte de si mesmos. Representemos por
M o conjunto formado por conjuntos que fazem parte de si mesmos, e por N, o
conjunto de todos os conjuntos que não fazem parte de si próprios. Questiona-se se
N é ou não, parte de N, pois, se é parte de si próprio, então N é parte de M, e não de
N, não sendo parte de si mesmo. Por outro lado, se N não é parte de si próprio,
então, N é parte de N e não de M, sendo assim parte de si. Ambos os casos levam a
uma contradição, tornando-se assim, um paradoxo. Tal paradoxo foi descoberto por
Bertrand Russel, tendo, a seguinte formulação, de maneira compacta:
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Seja X um conjunto qualquer. Então, pela definição de N,(𝑋 ∈ 𝑁) ↔ (𝑋 ∉ 𝑋).
Para o caso em que X é N, tem-se que (𝑁 ∈ 𝑁) ↔ (𝑁 ∉ 𝑁).
Tal paradoxo tornou-se famoso, e portanto ganhou algumas versões. Uma
delas, de autoria do próprio Russel, em 1919, ficou conhecida como o Paradoxo do
Barbeiro:
Considere uma pequena cidade aonde há apenas um salão de barbearia.
Nem todos os homens da cidade vão ao barbeiro, assim, a população masculina da
cidade pode ser dividida em dois grupos: os que se barbeiam e os que não se
barbeiam e vão ao barbeiro. Então, o barbeiro faz a barba de todos os homens que
não barbeiam a si mesmos. Surge então a pergunta: o barbeiro barbeia a si próprio?
Se não fizer a própria barba, ele deve fazer a própria barba, pois vai ao
barbeiro, mas ele é o único barbeiro da cidade, ou seja, ele faz a sua barba. Mas se
ele faz a própria barba, entra no grupo dos que não fazem a própria barba (por isso
vão ao barbeiro). Assim, se ele faz a própria barba, ele não faz a própria barba.
Podemos encontrar também paradoxos referentes à geometria. Considere o
triângulo isósceles 𝐴𝐵𝐶, (Figura 2), no qual a base 𝐴𝐵 = 12 e altura 𝐶𝐷 = 3. Há um
ponto 𝑃 em 𝐶𝐷 tal que 𝑆 = 𝑃𝐶 + 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 é um mínimo.
Figura 2:Triângulo 𝐴𝐵𝐶. Fonte: EVES, 2011.
Denotando 𝐷𝑃 por 𝑥, tem-se 𝑃𝐶 = 3 − 𝑥 e 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = (𝑥2 + 36)1
2, pois
𝑃𝐴2 = 𝑥2 + 62
𝑃𝐴 = (𝑥2 + 36)12.
Então
𝑆 = 3 − 𝑥 − 2(𝑥2 + 36)12
e
13
𝑑𝑆
𝑑𝑥= −1 − 2𝑥(𝑥2 + 36)−
12.
Fazendo 𝑑𝑆
𝑑𝑥= 0, encontra-se 𝑥 = 2√3 > 3 e 𝑃 está fora do triângulo, no
prolongamento de 𝐶𝐷, donde, não há ponto 𝐶𝐷 algum para o qual 𝑆 é um mínimo.
Além de paradoxos alusivos à conceitos de geometria, encontramos
paradoxos que relacionam conceitos do cálculo tal como a série alternada
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯,
que quando agrupada da forma
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ⋯,
tem soma 𝑆 = 0. Por outro lado, quando agrupada da forma
1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − ⋯
a soma 𝑆 = 1.
Existem argumentos que consideram como resposta para tal questão a
média aritmética entre 0 e 1, ou seja, 1
2, uma vez que ambas as respostas são
consideráveis.
Também é possível mencionar a soma 𝑆 da série convergente
1
(1)(3)+
1
(3)(5)+
1
(5)(7)+
1
(7)(9)+ ⋯,
Que sendo agrupada da forma
𝑆 = (1
1−
2
3) + (
2
3−
3
5) + (
3
5−
4
7) + (
4
7−
5
9) + ⋯
possui soma
𝑆 = 1 −2
3+
2
3−
3
5+
3
5−
4
7+
4
7−
5
9+ ⋯
𝑆 = 1,
já que todos os termos se cancelam, depois do primeiro termo.
Tal série pode também, ser agrupada da seguinte forma:
𝑆 =(
11 −
13)
2+
(13 −
15
)
2+
(15
−17)
2+
(17 −
19)
2+ ⋯
tendo, desta forma a soma
𝑆 =1
2−
1
6+
1
6−
1
10+
1
10−
1
14+
1
14−
1
18+ ⋯
𝑆 =1
2 ,
14
uma vez que todos os termos se cancelam, depois do primeiro. Sendo assim, 1 =1
2 .
Além de paradoxos, também encontra-se na Matemática sentenças que se
confundem a estes, mas, por sua vez, não são paradoxos. São as chamadas
falácias. De acordo com o dicionário de língua portuguesa, falácias são “enganos,
logros”. Ou seja, são afirmações que nos enganam por possuir algum erro que
“passa despercebido”. Em seguida, citaremos algumas destas “sentenças
enganosas”.
Dado o seguinte teorema: Se duas frações são iguais e têm
numeradores iguais, então elas também têm denominadores iguais.
Se, considerarmos a equação
𝑥 + 5
𝑥 − 7− 5 =
4𝑥 − 40
13 − 𝑥
e realizando a subtração do lado esquerdo da igualdade, tem-se que
(𝑥 + 5) − 5(𝑥 − 7)
𝑥 − 7=
4𝑥 − 40
13 − 𝑥.
A partir daí, considera-se que (𝑥 + 5) − 5(𝑥 − 7) = 4𝑥 − 40, sendo uma
escolha equivocada, ficando então, a equação da seguinte maneira:
4𝑥 − 40
7 − 𝑥=
4𝑥 − 40
13 − 𝑥 .
De acordo com o teorema, 7 − 𝑥 = 13 − 𝑥. Ou ainda, 7 = 13.
Nesta falácia, o “erro despercebido”, está no fato de “transformar”−4𝑥 + 40
em 4𝑥 − 40. Caso contrário, a solução desta equação seria 5 + 5√22 ou 5 − 5√22.
É claro que
3 > 2.
Se multiplicarmos ambos os termos da desigualdade por log (1
2), teremos
3 log (1
2) > 2 log (
1
2)
ou
log (1
2)
3
> log (1
2)
2
.
Consequentemente,
(1
2)
3
> (1
2)
2
15
ou
(1
8) > (
1
4).
Nesta falácia, o erro está presente no fato em que despreza-se o valor de
log (1
2) ≈ −0,3.
1.3 OS PARADOXOS NAS AULAS DE MATEMÁTICA
A matemática é uma ciência exata, sendo assim, tratá-la em sala de aula de
maneira significativa, exata, objetiva, precisa, expressiva pelos símbolos, torna-se
frequente, o que não significa que sempre é a melhor maneira.
Apresentar fundamentos históricos para os alunos, de maneira que possam
vir a contribuir para a construção de seu significado, é uma sugestão para dar
ênfase nas bases teóricas na tentativa de atribuir sentido ao conteúdo. De acordo
com Machado (2004), citado por Pinto (2010), “não é possível ensinar somente a
moral da história, desprezando-se a história. Um bom professor de matemática ou
de qualquer outro tema, deverá ser necessariamente um bom contador de histórias:
preparar uma aula é construir uma narrativa pertinente” (p.1).
Uma alternativa para trazer para a sala de aula com o propósito de chamar a
atenção dos alunos, despertar o interesse e, ao mesmo tempo construir o significado
de conteúdos matemáticos para os mesmos, é o uso dos paradoxos em sala de aula
para ensinar matemática.
Entre as histórias que podem ser contadas e os problemas com os quais a matemática lida, os paradoxos desemprenham importante papel, pois estão entre os quais chamam a atenção, além de serem bastante instrutivos e muitas vezes também “desconcertantes”. O apelo causado pelos paradoxos na matemática é difícil de ser explicado em poucas palavras, provavelmente vem do fato de que uma contradição surge como uma surpresa completa ao ser tratado no escopo de uma ciência considerada tão rigorosa e exata (PINTO, 2010, p.10).
Alinhadas à ideia de Pinto (2010), de que utilizar paradoxos em sala de aula
pode despertar o interesse, atenção, curiosidade, meditação, discussão e diferentes
linhas de raciocínio dos alunos, realizamos nossa proposta de ensino que segue
apresentada no capítulo a seguir.
16
2 ALGUNS PARADOXOS E O ENSINO DE MATEMÁTICA: NOSSA PROPOSTA
Optamos por fazer neste trabalho uma proposta de ensino pautada em
paradoxos. Em outras palavras, a proposta apresentada neste trabalho versa sobre
paradoxos como meio de introduzir determinados conteúdos matemáticos.
Juntamente com o encaminhamento proposto abordamos definições,
cálculos e teoremas pertinentes aos conteúdos abordados.
2.1 PARADOXO DE ZENÃO: AQUILES E A TARTARUGA
Suponhamos que Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe
dá cem metros2 à frente antes de iniciar uma corrida. Para ganhar a corrida, Aquiles
deve compensar a vantagem de cem metros dada à tartaruga, mas, fazendo isso,
chega ao ponto onde a tartaruga começou a correr, tendo esta, tempo para avançar
dez metros. Quando Aquiles corre dez metros, a tartaruga já avançou um metro e
assim sucessivamente. Este paradoxo está ilustrado na Figura 3.
Figura 3: Representação animada de Aquiles e a tartaruga. Fonte:http://1.bp.blogspot.com/-RcLpNblZHKU/Ubk36i8se-I/AAAAAAAAAB4/qZ9meKClyu4/s1600/achilles-tortoisa.png
2 Na época de Zenão, não havia padrão para metro, era usada como unidade de medida,
estádios. No trabalho será utilizado metro, devido a conveniência e também pelo fato de ser a medida padrão atualmente.
17
O professor poderá iniciar a realização da tarefa com seus alunos discutindo
com os mesmos, a interpretação que o próprio Zenão deu ao seu paradoxo:
Zenão afirmava que o movimento não ocorreria, admitindo a hipótese de
subdivisibilidade infinita do tempo e do espaço. Utilizando o argumento de infinitos
movimentos simultâneos da tartaruga e de Aquiles, acreditava-se que ele nunca
alcançaria a tartaruga.
Levando em consideração apenas os argumentos de que o espaço é
infinitamente divisível, e pensando na movimentação de Aquiles e da tartaruga –
Aquiles dá 100 metros de vantagem à tartaruga, mas, quando ele percorre esses
100 metros, a tartaruga já está 10 metros na sua frente. No instante em que ele
atinge esses 10 metros, a tartaruga já está 1 metro adiantada. Logo depois, quando
ele atinge esse um metro, a tartaruga percorre 1
10 de metro. Chegando a esse
1
10 de
metro, ela já está 1
100 metros na sua frente. Em seguida, ela está
1
1000 metros à frente,
e depois 1
10000 metros, mais adiante,
1
100000 metros, e depois
1
1000000 metros à frente
de Aquiles, e assim por diante – seguindo este raciocínio, somos levados a acreditar
que Aquiles nunca ultrapassará a tartaruga, pois, como escrito anteriormente,
sempre que ele atinge a posição em que a tartaruga se encontrava, a mesma já teria
percorrido certo espaço, de maneira que, quando esta ‘fosse’ alcançada, a tartaruga
não estaria mais ali, estando mais à frente.
Figura 4: Representação em metros da distância entre Aquiles e a tartaruga.
Fonte: A autora.
18
O argumento de Zenão era que o movimento era uma ilusão, devido ao fato
de que Aquiles teria que realizar tal processo infinitamente para poder alcançar e
ultrapassar a tartaruga, percorrendo então, uma distância 𝑑𝑛:
𝑑𝑛 = 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + ⋯ + 𝑑1000 + 𝑑1001 + ⋯ + 𝑑100000 + ⋯ .
Levando a um tempo total de
𝑡𝑛 = 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡1000 + 𝑡1001 + ⋯ + 𝑡100000 + ⋯ .
De posse dessas relações é possível propor aos alunos o desenvolvimento
de uma resolução, a fim de solucionar o paradoxo, uma vez que a concepção de
Zenão não é aceita, pois contraria a realidade. Sabe–se que Aquiles ultrapassará a
tartaruga.
Após o professor propor a construção de uma forma alternativa de
solucionar o paradoxo, espera–se que os alunos, com o apoio do professor,
considerem os seguintes dados:
Aquiles é 10 vezes mais rápido que a tartaruga, ou seja,
(01) 𝑣𝐴 = 10𝑣𝑇 .
em que,
𝑣𝐴 = Velocidade de Aquiles;
𝑣𝑇 = Velocidade da tartaruga;
A Figura 5 representa a vantagem 𝑑1 da tartaruga em relação a Aquiles,
considerando que, no instante 𝑡0, ambos correm no mesmo sentido.
Figura 5: Posições iniciais de Aquiles e a tartaruga, 𝐴0 e𝑇0, respectivamente.
Fonte: a autora.
Espera-se que os alunos tenham conhecimento de relações entre
velocidade, deslocamento e tempo, uma vez que tal tema é abordado geralmente,
nos primeiros anos do Ensino Médio.
19
Sendo a velocidade média de um corpo dada pela razão entre o
deslocamento ∆𝑥, que neste caso é representado pela distância percorrida 𝑑, e o
intervalo de tempo 𝑡 que tal deslocamento ocorre, para atingir a posição 𝑇0 inicial da
tartaruga, Aquiles precisará de um tempo
(02) 𝑡1 =𝑑1
𝑣𝐴
em que:
𝑡1: o tempo para alcançar a posição inicial da tartaruga;
𝑑1: a distância percorrida por Aquiles;
𝑣𝐴: a velocidade de Aquiles.
Espera–se que os alunos percebam que o instante 𝑡0 é o mesmo tanto para
Aquiles quanto para a tartaruga:
Como no instante 𝑡0, tanto Aquiles, como a tartaruga correm no mesmo
sentido e iniciam a corrida neste momento, pode-se dizer então que
(03) 𝑡1 =𝑑2
𝑣𝑇
em que,
𝑡1: é o tempo que a tartaruga percorre até Aquiles alcançar a sua posição
inicial;
𝑑2: é a distância percorrida pela tartaruga;
𝑣𝑇: é a velocidade da tartaruga.
Alguns questionamentos como – Aquiles começa a correr antes, depois, ou
no mesmo instante que a tartaruga? Ambos correm na mesma direção, ou em
direções opostas? – podem contribuir para que os alunos cheguem à conclusão de
igualar as equações (02) e (03).
De (02) e (03), tem–se que 𝑑1
𝑣𝐴=
𝑑2
𝑣𝑇. Em outras palavras, quando Aquiles
alcança a posição inicial da tartaruga, ela já percorreu a distância
(04) 𝑑2 = 𝑑1
𝑣𝑇
𝑣𝐴.
20
Figura 6: Posições de Aquiles e a tartaruga após 𝑡1. Fonte: a autora.
Aquiles demorará 𝑡2 para alcançar a distância percorrida pela tartaruga, ou
seja
(05) 𝑡2 =𝑑2
𝑣𝐴
Substituindo (04) em (05), temos
𝑡2 = 𝑑1
𝑣𝑇
𝑣𝐴∙
1
𝑣𝐴
(06) 𝑡2 = 𝑑1
𝑣𝑇
𝑣𝐴².
Substituindo (02) em (06), temos
𝑡2 = 𝑡1𝑣𝐴 ∙𝑣𝑇
𝑣𝐴²
(07) 𝑡2 = 𝑡1
𝑣𝑇
𝑣𝐴
Pela definição de deslocamento, dada anteriormente,
𝑑3 = 𝑣𝑇𝑡2.
De (06),
𝑑3 = 𝑣𝑇 ∙ 𝑑1
𝑣𝑇
𝑣𝐴²
𝑑3 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
2
.
Ou seja, no tempo em que Aquiles alcançou a posição 𝑑2 da tartaruga, ela já
terá avançado a distância
(08) 𝑑3 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
2
.
21
Figura 7: Posições de Aquiles e a tartaruga após 𝑡2. Fonte: A autora.
Para Aquiles alcançar a distância 𝑑3 percorrida pela tartaruga, precisará de
um tempo
𝑡3 =𝑑3
𝑣𝐴.
Substituindo de (08),
𝑡3 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
2
∙1
𝑣𝐴
(09) 𝑡3 = 𝑑1
𝑣𝑇2
𝑣𝐴3 .
𝑡3 = 𝑡1𝑣𝐴 ∙𝑣𝑇
2
𝑣𝐴3
(10) 𝑡3 = 𝑡1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
2
.
Mas, neste intervalo de tempo, a tartaruga já terá percorrido uma distância
𝑑4 = 𝑣𝑇𝑡3.
Substituindo de (09),
𝑑4 = 𝑣𝑇 ∙ 𝑑1
𝑣𝑇2
𝑣𝐴3
(11) 𝑑4 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
3
.
Para Aquiles alcançar a distância 𝑑4 percorrida pela tartaruga, precisará de
um tempo
𝑡4 =𝑑4
𝑣𝐴.
Substituindo de (11),
𝑡4 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
3
∙1
𝑣𝐴
(12) 𝑡4 = 𝑑1
𝑣𝑇3
𝑣𝐴4 .
22
𝑡4 = 𝑡1𝑣𝐴 ∙𝑣𝑇
3
𝑣𝐴4
(13) 𝑡4 = 𝑡1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
3
.
Mas, neste intervalo de tempo, a tartaruga já terá percorrido uma distância
𝑑5 = 𝑣𝑇𝑡4.
Substituindo de (12),
𝑑5 = 𝑣𝑇 ∙ 𝑑1
𝑣𝑇3
𝑣𝐴4
(14) 𝑑5 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
4
.
Para Aquiles alcançar a distância 𝑑5 percorrida pela tartaruga, precisará de
um tempo
𝑡5 =𝑑5
𝑣𝐴.
Substituindo de (14),
𝑡5 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
4
∙1
𝑣𝐴
(15) 𝑡5 = 𝑑1
𝑣𝑇4
𝑣𝐴5 .
𝑡5 = 𝑡1𝑣𝐴 ∙𝑣𝑇
4
𝑣𝐴5
(16) 𝑡5 = 𝑡1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
4
.
Mas, neste intervalo de tempo, a tartaruga já terá percorrido uma distância
𝑑6 = 𝑣𝑇𝑡5.
Substituindo de (16),
𝑑6 = 𝑣𝑇 ∙ 𝑑1
𝑣𝑇4
𝑣𝐴5
(17) 𝑑6 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
5
.
A Tabela 1 representa a relação entre o instante 𝑡𝑛 e a razão entre a
velocidade de Aquiles e a velocidade da tartaruga, e a relação entre a distância 𝑑𝑛
23
(da tartaruga em relação a Aquiles) e a razão entre a velocidade de Aquiles e a
velocidade da tartaruga.
TABELA 1 - Relação entre o instante 𝑡𝑛 e a razão entre a velocidade de Aquiles e a velocidadeda tartaruga, e a relação entre a distância 𝑑𝑛 e a razão entre a velocidade de Aquiles e a velocidade da tartaruga.
𝒏 𝒕𝒏 𝒅𝒏
𝟏 𝑡1 = 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
0
𝑑1 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
0
𝟐 𝑡2 = 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
1
𝑑2 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
1
𝟑 𝑡3 = 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
2
𝑑3 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
2
𝟒 𝑡4 = 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
3
𝑑4 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
3
𝟓 𝑡5 = 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
4
𝑑5 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
4
⋮ ⋮ ⋮
𝒏 𝑡𝑛 = 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
𝑛−1
𝑑𝑛 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
𝑛−1
𝒏 + 𝟏 𝑡𝑛+1 = 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
𝑛
𝑑𝑛+1 = 𝑑1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
𝑛
⋮ ⋮ ⋮
Fonte: A autora.
Devido ao fato de Aquiles ser dez vezes mais rápido que a tartaruga,
sabemos que, independente da velocidade do mesmo, 𝑣𝑇
𝑣𝐴= 0,1
𝑚
𝑠 então, a partir de
relação de 𝑑𝑛 (Tabela 1), tem-se que a distância entre ambos diminui, logo,
podemos inferir que este processo é infinito.
Após 𝑛 repetições, obtém-se a seguinte situação:
𝐼𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑡1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴) + 𝑡1 (
𝑣𝑇
𝑣𝐴)
2
+ ⋯ + 𝑡1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
𝑛−1
+ ⋯.
24
Figura 8: Posições de Aquiles e a tartaruga após 𝑡𝑛. Fonte: A autora.
A partir desta relação é possível apresentar aos alunos a definição de Série
Infinita, conforme segue:
Figura 9:Definição de Série Infinita. Fonte: Thomas, 2009. p. 80.
Aproveitando a definição, o professor poderá pedir para que os alunos a
compararem com a situação do 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡, na intenção de que eles compreendam
que tal situação exemplifica a definição ao representar o 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡, como uma série
infinita
Definição: Dada uma sequência de números {𝑎𝑛} uma expressão da forma 𝑎1 +
𝑎2 + +𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ é uma série infinita. O número 𝑎𝑛 é o n-ésimo termo
da série. A sequência{𝑎𝑛} definida por
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
⋮
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑛
𝑛
𝑛=1
é a sequência de somas parciais da série na qual o número 𝑆𝑛 é a n-nésima
soma parcial. Se a sequência de somas parciais convergir para um limite 𝐿,
dizemos que a série converge e sua soma é 𝐿. Nesse caso, também
escrevemos
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑛 = 𝐿.
+∞
𝑛=1
Se a sequência de somas parciais da série não converge, dizemos que a série
diverge.
25
∑ 𝑡1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
𝑛−1∞
𝑛=1
.
Como esta série é geométrica, o professor tem a oportunidade de apresentar
a forma geral de uma série com esta característica (Figura 10).
Figura10: Definição de Série Geométrica. Fonte: Thomas, 2009. p. 80.
A série geométrica que representa o 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡, possui razão 𝑟 =𝑣𝑇
𝑣𝐴, e
primeiro termo 𝑎 = 𝑡1.
A partir das definições acima, os alunos poderão concluir, assessorados pelo
professor, que para solucionar o paradoxo de Zenão, basta saber se a série que
representa o 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 é convergente, e, caso seja, para qual valor converge.
Neste momento, torna-se possível a apresentação do teorema que diz
respeito a convergência da Série Geométrica (Figura11).
Figura 11: Teorema. Fonte: Leithold, 1994. p. 708.
Da definição, no nosso caso, a série será convergente se 𝑣𝑇
𝑣𝐴< 1, ou ainda,
𝑣𝑇 < 𝑣𝐴. Como a hipótese do paradoxo (Aquiles é 10 vezes mais rápido do que a
tartaruga) satisfaz essa condição, tem-se que ∑ 𝑡1 (𝑣𝑇
𝑣𝐴)
𝑛−1∞𝑛=1 é convergente e que o
tempo total para Aquiles alcançar a tartaruga é dado por
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑎
1 − 𝑟=
𝑡1
1 −𝑣𝑇
𝑣𝐴
.
Uma série geométrica é da forma
∑ 𝑎𝑟𝑛−1
∞
𝑛=1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 + ⋯,
onde 𝑎 e 𝑟 são números reais fixos e 𝑎 ≠ 0. A série também pode ser escrita
como ∑ 𝑎𝑟𝑛∞𝑛=1 , sendo 𝑟 a razão.
Teorema: A série geométrica converge para a soma 𝑎
1−𝑟 se |𝑟| < 1, e a série
geométrica diverge se |𝑟| ≥ 1.
26
Como 𝑎 = 𝑡1 e 𝑟 =𝑣𝑇
𝑣𝐴,
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑡1
1 −𝑣𝑇
𝑣𝐴
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑡1
𝑣𝐴 − 𝑣𝑇
𝑣𝐴
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑡1𝑣𝐴
𝑣𝐴 − 𝑣𝑇.
Dado que 𝑑1 = 𝑡1𝑣𝐴, o tempo que Aquiles levará para alcançar a tartaruga é
dado por:
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑑1
𝑣𝐴 − 𝑣𝑇.
Nas hipóteses do paradoxo, não está contida a velocidade de Aquiles,
portanto, consideramos para solucioná-lo, a velocidade do homem mais rápido do
mundo até então, ou seja, a velocidade de Usain Bolt.
Se considerarmos a distância inicial entre Aquiles e a tartaruga sendo
100 𝑚, a velocidade de Aquiles sendo 12,19 𝑚/𝑠3 e a velocidade da tartaruga
1,219 𝑚/𝑠, já que Aquiles é dez vezes mais rápido que a tartaruga, teremos:
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑑1
𝑣𝐴 − 𝑣𝑇
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =100 𝑚
12,19 𝑚/𝑠 − 1,219𝑚/𝑠
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =100 𝑚
10,971 𝑚/𝑠
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ≈ 9,115.
Ao obterem esta solução, os alunos podem chegar à conclusão que Aquiles
ultrapassará a tartaruga após 9, 115 segundos.
A partir deste paradoxo, os alunos terão possibilidade de compreender
conceitos de velocidade, série, convergência de série, assim como utilizar tais
conteúdos para solucioná-lo, de maneira que permita explorar, aplicar e interpretar a
“matemática” necessária para realizar tal solução.
3 Para determinar esta velocidade, utilizamos a velocidade do homem mais rápido do
mundo (Usain Bolt) até este momento (ano 2014).
27
2.2 PARADOXO DA TINTA
Se uma área infinita, limitada pela hipérbole 𝑥𝑦 = 𝑎², uma ordenada 𝑥 − 𝑏 e
o eixo das abscissas é girada em torno do eixo 𝑥, o volume do sólido gerado com
essa rotação pode ser finito. Dado que tal área é infinita, seria necessária uma
quantidade infinita de tinta para poder pintá-la, porém, bastaria uma quantidade finita
de tinta para poder preenchê-la, uma vez que o volume é finito.
Buscando discutir tal paradoxo o professor poderá instigar os alunos a
pensar a respeito do volume de um sólido (Figura 12) originado a partir da rotação
em torno de um eixo específico. Neste caso, o eixo das abscissas.
Figura 12: Definição de volume de um sólido de revolução pela rotação em torno do eixo das abscissas. Fonte: Thomas, 11 ed. p.432.
Considerando a título de ilustração, 𝑥𝑦 = 14, ordenada 𝑦 = 1, e o eixo das
abscissas, teremos que:
𝑉 = 𝜋 ∫1
𝑥2 𝑑𝑥
∞
1
Como decorrência, o professor tem a oportunidade de abordar a definição de
Integral Imprópria, ilustrado na Figura 13.
4 Optamos pela função 𝑦 =
1
𝑥, por querermos trabalhar com o paradoxo da trombeta do Anjo Gabriel,
que é representada pela rotação desta curva em torno do eixo das abscissas. Porém, para a realização do trabalho,
não encontramos referências que fundamentassem a existência de tal paradoxo. Desta maneira, não o citamos no
trabalho, mas utilizamos a função 𝑦 =1
𝑥 para resolvermos o paradoxo da tinta, por satisfazer as hipóteses do
paradoxo.
𝑉 = ∫ 𝜋[𝑅(𝑥)]²𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Esse método para calcular o volume de um sólido de revolução
geralmente é denominado método do disco, pois uma seção
transversal é um disco circular de raio 𝑅(𝑥).
28
Figura 13: Definição de Integrais Impróprias. Fonte: Thomas, 11 ed. p.612.
A partir da definição de integral imprópria e de discussões estabelecidas
com a turma espera-se que os alunos notem que devem utilizar a condição
apresentada no item 1 da Figura 13. Sendo assim, o volume será dado por
𝑉 = 𝜋 lim𝑟→∞
∫1
𝑥²𝑑𝑥
𝑟
1
𝑉 = 𝜋 lim𝑟→∞
(−1
𝑥)|
1
𝑟
𝑉 = 𝜋 lim𝑟→∞
1 −1
𝑟
𝑉 = 𝜋
Ou seja, o volume do sólido é igual a 𝜋 unidades de volume.
Em outras palavras, seriam necessárias 𝜋 unidades de volume de tinta para
preencher o sólido originado pela rotação desta curva em torno do eixo 𝑥.
Definição Integrais Impróprias
Integrais com limites infinitos de integração são Integrais Impróprias.
1. Se 𝑓(𝑥) é contínua em [𝑎, ∞), então
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑏→∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∞
𝑎
2. Se 𝑓(𝑥) é contínua em (−∞, 𝑏], então
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑎→−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
−∞
3. Se 𝑓(𝑥) é contínua em (−∞, +∞), então
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
∞
−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
−∞
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑐
onde 𝑐 é qualquer número real.
Em todos os casos, se o limite é finito, dizemos que a integral imprópria
converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe,
dizemos que a integral imprópria diverge.
29
Levando em consideração que no paradoxo existe a afirmação de que a
área da superfície rotacionada é infinita, o professor poderá aproveitar o para
apresentar a expressão (Figura 14) que permite calcular a área desta superfície.
Figura 14: Definição de área de superfície de revolução em torno do eixo 𝑥. Fonte: Thomas, 11 ed. p. 470.
Assim sendo, os alunos têm a oportunidade de calcular a área da superfície
originada de tal rotação, conforme segue:
𝐴 = 2𝜋 ∫1
𝑥√1 + (−
1
𝑥2)
2
𝑑𝑥
∞
1
𝐴 = 2𝜋 ∫1
𝑥√(1 +
1
𝑥4) 𝑑𝑥
∞
1
𝐴 = 2𝜋 ∫√1 +
1𝑥4
𝑥 𝑑𝑥
∞
1
.
Para resolver esta integral será necessário considerar o caso em que ∀ 𝑥 ∈
ℝ, 1 +1
𝑥4 > 1, e, portanto, estabelecer a seguinte comparação:
2𝜋 ∫√1 +
1𝑥4
𝑥 𝑑𝑥
∞
1
> 2𝜋 ∫𝑑𝑥
𝑥.
∞
1
Resolvendo 2𝜋 ∫𝑑𝑥
𝑥
∞
1, temos
𝐴 = 2𝜋 ∫𝑑𝑥
𝑥
∞
1
𝐴 = 2𝜋 lim𝑟→∞
∫𝑑𝑥
𝑥
𝑟
1
𝐴 = 2𝜋 lim𝑟→∞
ln 𝑥|1𝑟
Se a função 𝑓(𝑥) ≥ 0 é continuamente derivável em [𝑎, 𝑏], a área da
superfície gerada pela rotação da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) em torno do eixo 𝑥 é
𝑆 = ∫ 2𝜋𝑦√1 + (𝑑𝑦
𝑑𝑥)
2
𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 2𝜋𝑓(𝑥)√1 + (𝑓′(𝑥))²𝑑𝑥
𝑏
𝑎
.
30
𝐴 = 2𝜋 lim𝑟→∞
ln 𝑟
𝐴 = ∞.
Como
2𝜋 ∫√1 +
1𝑥4
𝑥 𝑑𝑥
∞
1
> 2𝜋 ∫𝑑𝑥
𝑥,
∞
1
conclui-se que
𝐴 = 2𝜋 ∫
√1 +1
𝑥4
𝑥 𝑑𝑥
∞
1
= ∞.
Em outras palavras, a quantidade de tinta necessária para pintar a superfície
desse sólido, é infinita.
As discussões possibilitadas a partir de tal paradoxo favorece que definições
de cálculo de área e volume de superfície sejam estudadas de um ponto de vista
diferente, ou seja, partir da curiosidade em compreender o que está posto no
paradoxo. Nesse sentido, o paradoxo da tinta viabiliza exemplificar o cálculo de
volume de um sólido através da rotação no eixo das abscissas, juntamente com o
cálculo da área da superfície desse sólido.
2.3 PARADOXO DE SÃO PETESBURGO
O paradoxo de São Petersburgo está baseado no jogo de São Petersburgo,
o qual aponta que uma moeda equilibrada é jogada até o resultado ser Cara.
Quando isto acontece na n-ésima jogada (isto é as n-1 jogadas prévias foram coroa)
o jogador recebe 2𝑛 valor da moeda local5.
Por exemplo, faz-se seis jogadas, nas cinco primeiras saem “coroa” e a
última dá “cara”. Tem-se então, com 6 lançamentos, 5 coroas e 1 cara. Pelo
paradoxo de São Petersburgo, o prêmio será 26 , o que equivale a 64 reais.
Sugere-se que ao realizar o jogo em sala de aula, o professor organize os
alunos em duplas. Cada dupla deve ter uma moeda em mãos, tendo, ainda que
pagar ao professor cem reais para poder jogar. Para tal, os alunos ganharão
dinheiro de mentira do professor, tendo assim, cada integrante da dupla dinheiro de
4 Por conveniência, será utilizado como moeda, o Real.
31
brincadeira em mãos, podendo então, realizar as jogadas por determinado tempo
estipulado pelo professor, fazendo as anotações referentes às jogadas sem levar em
consideração a recuperação do dinheiro.
Para a realização da análise deste paradoxo, o professor pode propor que
os alunos façam as jogadas sugeridas e iniciem uma discussão acerca do jogo ser
vantajoso ou não de ser jogado.
Após passar o tempo determinado pelo professor para os alunos jogarem,
eles poderão, através de suas anotações acompanhar o que o professor explicará.
Admitindo como lance inicial para entrar no jogo a quantia de 100 reais,
analisemos o paradoxo da seguinte maneira:
Considerando 𝑛 como sendo o número de lançamentos e o lucro, dado por
𝐿 = 2𝑛 − 100 a quantia a ser recebida com as jogadas, tem-se para uma jogada
resultante em cara, o prêmio de 21 = 2 reais, para 2 jogadas, sendo a segunda
resultante em cara, 22 = 4 reais, para a terceira jogada sendo cara, 23 = 8 reais,
para a quarta, 24 = 16 reais, e assim por diante.
E ainda, consideremos que a probabilidade de dar cara é igual a
probabilidade de dar coroa, ou seja, 1
2.
Sendo assim, a probabilidade de o jogador ganhar 2 reais no primeiro
lançamento, é igual a probabilidade de cair cara na primeira jogada, ou seja, 1
2. O
jogador ganha 4 reais se obtiver uma coroa e uma cara com probabilidade de (1
2)
2
=
1
4. Ganha 8 reais se obtiver duas coroas e uma cara, com probabilidade de (
1
2)
3
=1
8.
Recebe 16 reais com 3 coroas e uma cara, com probabilidade de (1
2)
4
=1
16, e assim
sucessivamente.
Neste caso, a esperança de ganho será a soma infinita dos valores
possíveis multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. Ou seja:
𝐸 = 𝑥1 Pr(𝑋1) + 𝑥2 Pr(𝑋2) + 𝑥3 Pr(𝑋3) + ⋯ + 𝑥𝑛 Pr(𝑋𝑛) + ⋯.
sendo,
𝐸 = Esperança;
𝑥𝑛 = Valores possíveis;
Pr(𝑋𝑛) = Probabilidade de ocorrência dos valores possíveis;
Tem-se então que
32
𝐸 = 2 ∙1
2+ 22 ∙ (
1
2)
2
+ 23 ∙ (1
2)
3
+ ⋯ + 2𝑛 ∙ (1
2)
𝑛
+ ⋯
𝐸 = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯
𝐸 = ∞.
Portanto, o lucro esperado no jogo é infinito.
Nesse momento, sugere-se que o professor convide seus alunos para
jogarem novamente, sob a condição de pagar cem reais para poder entrar no jogo.
Então cada aluno entregará, para continuar jogando, essa quantia, anotando o que
ocorreu nas jogadas, como anteriormente, levando em consideração a recuperação
deste dinheiro. Em seguida, o professor poderá solicitar a análise das anotações que
seus alunos fizeram como na primeira vez em que jogaram, porém a ênfase da
análise desta vez, é a recuperação do dinheiro investido para entrar no jogo.
Consideremos agora a probabilidade de ganhar mais do que a quantia paga
para entrar no jogo. Sendo 2𝑛 o ganho, e o custo para entrar no jogo maior do que
26 = 64 e menor do que 27 = 128, ou seja, 26 < 100 < 27, portanto, para o ganho
ser maior do que o custo para entrar no jogo, 𝑛 ≥ 7.
Sendo assim, a probabilidade de se obter 7 ou mais lançamentos é igual a
1 −1
2− (
1
2)
2
− (1
2)
3
− (1
2)
4
− (1
2)
5
− (1
2)
6
= 0,015625.
Novamente, o professor pode pedir aos alunos para analisarem os
resultados que obtiveram, questionando-os a respeito do jogo, se realmente é ou
não vantajoso jogá-lo, levando em consideração a análise realizada em sala de aula.
A intenção é de levar os alunos concluírem que não é vantajoso participar de tal
jogo.
Tal paradoxo pode ser trabalhado em uma turma do Ensino Médio, pois
requer dos alunos conhecimentos de probabilidade simples. Sugere-se, inclusive,
que tal paradoxo seja proposto com o objetivo de iniciar esse conceito. A análise de
situações como essa são importante de serem discutidas no contexto de sala de
aula porque favorecem que os alunos transfiram as reflexões suscitadas nesse jogo
para situações cotidianas nas quais precisam tomar decisões de diversas natureza.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho apresenta uma proposta de ensino cuja temática é
“paradoxos”. Consideramos ser uma temática interessante de se trabalhar em sala
de aula, devido ao fato de, primeiramente ser algo que possa vir a despertar a
atenção e o interesse dos alunos e pelo fato de algumas teorias matemáticas terem
se desenvolvido a partir de paradoxos, como citado na sessão 1.2.
A realização deste Trabalho de Conclusão de Curso, intitulado “A
Matemática por trás dos Paradoxos” teve como motivação o interesse de fazer algo
pouco comum no âmbito de trabalhos acadêmicos, ou seja, apresentar uma
proposta de ensino que envolvesse paradoxos para ensinar Matemática, seja nos
níveis de ensino Médio ou Superior. Contudo, reconhecemos que este trabalho tem
algumas limitações, algumas delas, devido à escassez de materiais com
embasamento teórico acerca do termo paradoxos e de sua inclusão nas salas de
aula de Matemática.
Mesmo assim, com a elaboração e desenvolvimento deste trabalho, ampliei
meus horizontes em relação a como escrever uma proposta de ensino, uma vez que
não possuía a menor noção de como, de fato, poderia realizá-la. Se desenvolveria a
parte matemática dos paradoxos e, em seguida, daria instruções de como incluí-nos
na sala de aula, ou se faria algo parecido com o que é colocado no desenvolvimento
de um plano de aula. Porém, o receio quanto à escrita da proposta foi sendo
minimizado com a ajuda de minha orientadora, que, em conversa sobre o assunto e
dando-me instruções, colaborou muito para o meu entendimento quanto a escrevê-
la.
Posso afirmar que a elaboração do trabalho em si contribuiu para minha
formação sob os seguintes fatores:
Passei a analisar aspectos em problemas matemáticos que,
anteriormente apenas me pareciam aplicáveis a conteúdos em si, como algo que
pudesse vir a ser utilizado de maneira que os alunos ficassem intrigados, a ponto de
sentirem vontade de entender mais sobre o tema, e com isto, o professor ter a
chance de utilizar esse querer do aluno, a seu favor. Tive a oportunidade de realizar
uma proposta de ensino para o nível superior de ensino, e com isso, olhar para os
conceitos abordados nos paradoxos segundo uma ótica diferente da estudada
durante a graduação.
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Aprendi sobre aspectos históricos relacionados à matemática, que
possivelmente não teria estudado caso não realizasse este trabalho.
Em suma, foi gratificante e de grande valia a elaboração deste trabalho
devido ao fato de auxiliar-me quanto aos meus conhecimentos em matemática,
quanto às expectativas e oportunidades de vivenciar um momento no qual o
professor “banca o empreendedor” e aproveita as chances que têm para envolver os
alunos com conceitos matemáticos a partir de temas diversos, no nosso caso, com
os paradoxos.
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REFERÊNCIAS
BALIEIRO FILHO, I. F. Alguns Paradoxos da Matemática: Um Resgate Histórico e Possibilidades para o Ensino e Aprendizagem. In: XXXIII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional. V.3, 2010, São Paulo, p. 1752-1758.
DORTA, F. Os Paradoxos e as aulas de Matemática: Algumas Reflexões e Sugestões. 2013, 148 f. Dissertação (Mestrado em Matemática). Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2013.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H.Domingues. 5. ed. Campinas: Editora Unicamp, 2011.
FERREIRA, A. B. H. Mini Aurélio Século XXI. 5 ed. Rio de Janeiro:Editora Nova Fronteira, 2001.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Cyro de Carvalho Patarra. 3 ed. Editora HarbraLtda, 1994.
PINTO, C. F. Jogos, Desafios e Paradoxos para Sala de Aula: Uma ótima ferramenta para motivar seus alunos. In: X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador, 2010.
MELLO, J. L. P. Matemática: surpreenda - se com a roda de Aristóteles. Folha de São Paulo, ____, ____, 12 set 2002. Disponível em< http://www1.folha.uol.com.br/folha/educacao/ult305u10593.shtml> acesso em 12/10/2014.
MONTEIRO, L. C. S. Paradoxo de Zenão: Perspectivas para Educação Matemática na Interpretação da Variação do Problema. In: Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Curitiba, 2013.
THOMAS, G. B. Cálculo. Tradução de Luciana do Amaral Teixeira e Leila Maria Vasconsellos Figueiredo. 11 ed. São Paulo: Pearson, 2009.
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APÊNDICE A - O Problema dos Três Amigos
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Três amigos sentaram em uma mesa de bar e receberam a conta no valor de
trinta reais. Cada amigo deu dez reais ao garçom, que se dirigiu logo em seguida, ao
caixa. Em seguida, o garçom retornou à mesa, dizendo que houve um engano, e
que a conta não foi de trinta reais, mas sim vinte e cinco reais. Os amigos ficaram
contentes por ter sobrado cinco reais para eles, mas, como a divisão de cinco reais
entre os três amigos não daria exata, resolveram que cada um ficaria com um real, e
retornaram dois reais para o garçom, de gorjeta. Desta maneira, cada amigo
contribuiu com nove reais, já que um real foi retornado para cada, ou seja, vinte e
sete reais, uma vez que 3 × 9 = 27. Esses vinte e sete reais, somados com os dois
reais da gorjeta do garçom resultam em vinte e nove reais, mas, a quantia
inicialmente paga pelos amigos, foi de trinta reais. O que aconteceu com o real que
está faltando?
Neste paradoxo, a maneira como a situação de devolução do dinheiro está
posta e o modo como somos levados a pensar nos induz ao erro de acreditar que
este um real que está faltando “desapareceu”, pois trinta reais menos três reais é
igual a vinte e sete reais, sendo esses três reais a quantia que voltou para cada
amigo e, vinte e sete reais menos dois reais (dado ao garçom de gorjeta) é igual
vinte e cinco reais, valor este da conta.
Na verdade, dado que a conta foi num total de vinte e cinco reais, somando
esses vinte e cinco com os três reais que cada amigo recebeu da divisão, tem-se
25 + 3 = 28. Esses vinte e oito reais, somados aos dois reais que o garçom recebeu
de gorjeta, resulta em trinta reais (28 + 2 = 30).
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APÊNDICE B - Problema do Relógio
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A maior parte das pessoas acreditam que o melhor relógio é aquele que
marca com mais frequência a hora correta. Se lhe entregassem dois relógios, um
que atrasasse um minuto por dia, e outro que não funciona, qual relógio escolheria?
O relógio que atrasa um minuto por dia, para marcar novamente a hora
correta, deverá atrasar 720 minutos. Como ele atrasa um minuto por dia, levará 720
dias para atrasar estes 720 minutos.
Em contrapartida, o relógio que não funciona marca a hora correta duas
vezes por dia.
Assim sendo, o melhor relógio seria aquele que não funciona, pois este marca duas
vezes por dia a hora correta, enquanto o que atrasa um minuto por dia, levará
aproximadamente 2 anos para marcar novamente a hora correta.
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APÊNDICE C - O Problema do Viajante
41
Um viajante precisava pagar sua estadia de 7 dias em um hotel. Porém, só
tinha uma barra de ouro para pagar. O proprietário do hotel fez a seguinte proposta
para o viajante: recebo o pagamento em ouro, mas você terá que pagar uma diária
de cada vez e só poderá cortar a barra exatamente duas vezes. De que forma o
viajante pagou sua estadia no hotel?
Na primeira vez que ele corta a barra, este pedaço deverá ter 1/7(um sétimo)
da barra total.
Em seguida, deve cortar pela segunda e ultima vez, sendo que cada parte
deverá ter respectivamente 2/7(dois sétimos) e 4/7(quatro sétimos) do total da barra.
Então, o pagamento deve ser feito da seguinte forma:
1ª diária: paga com 1/7 da barra.
2ª diária: paga com 2/7 da barra e recebe o 1/7 da barra de volta.
3ª diária: paga novamente com 1/7 da barra.
4ª diária: paga com 4/7 da barra e recebe de volta 3/7 da barra (sendo
dois pedaços: 1/7 e 2/7 da barra).
5ª diária: paga com 1/7 da barra novamente.
6ª diária: paga com 2/7 da barra e recebe 1/7 da barra de volta.
7ª diária: paga com 1/7 da barra.
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APÊNDICE D - Paradoxo do Aniversário
43
Dado um grupo de 23 (ou mais) pessoas escolhidas aleatoriamente, a
chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%.
Para a solução de tal paradoxo, seguimos os princípios de probabilidade
apresentados no livro de Harald Cramér, Elementos da Teoria da Probabilidade e
algumas de suas aplicações.
Sendo 𝑃(𝐴) a probabilidade de os aniversários ocorrerem na mesma data (𝑃
é a probabilidade e 𝐴 é o evento, no caso, as datas de aniversário que coincidem),
queremos saber qual é a probabilidade do evento oposto, ou seja, o evento que
ocorre sempre que 𝐴 deixa de ocorrer, uma vez que
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴∗) = 1,
sendo 𝑃(𝐴∗) o evento oposto.
Desta maneira, a probabilidade de que todos os aniversários ocorrerem na
mesma data dada por
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴∗).
Como citado na sessão 1.1, o paradoxo é resolvido com maior facilidade
calculando a probabilidade da não ocorrência do evento, ou seja, calculando a
probabilidade dos aniversários não ocorrerem na mesma data. Então, considerando
que as datas de aniversário não dependem umas das outras para ocorrer, sendo
assim, eventos independentes e que 𝑃(𝐴∗) pode ser dado por 𝑛 eventos
independentes, podemos então utilizar o produto das probabilidades individuais dos
eventos de cada pessoa, sendo representada por
𝑃(𝐴∗) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐴3) ∙ … ∙ 𝑃(𝐴𝑛)
para obtermos 𝑃(𝐴∗).
Como estamos calculando 𝑃(𝐴∗), a primeira pessoa pode fazer aniversário
em qualquer dia do ano, ou seja, em qualquer um dos 365 dias do ano. Desta
maneira, 𝑃(1) =365
365= 1 ou 𝑃(1) = 1 −
0
365= 1, uma vez que 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴∗) = 1.
A segunda pessoa pode fazer aniversário em qualquer data, exceto a data
do aniversário da primeira pessoa, então 𝑃(2) =364
365= 99,73 ou 𝑃(2) = 1 −
1
365=
99,73. A terceira pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia do ano, exceto nos
dias em que a primeira e a segunda pessoa fazem aniversário. Desta forma, 𝑃(3) =
363
365= 0,9945 ou 𝑃(3) = 1 −
2
365= 0,9945.
44
A quarta pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia do ano, exceto nos
dias do aniversário da primeira, segunda e terceira pessoas. Então, 𝑃(4) =362
365=
0,9918 ou 𝑃(4) = 1 −3
365= 0,9918. A quinta pessoa pode fazer aniversário em
qualquer dia do ano, exceto nos dias em que a primeira, a segunda, a terceira e a
quarta pessoas fazem aniversário, então 𝑃(5) =361
365= 0,9890 ou 𝑃(5) = 1 −
4
365=
0,9890.
A sexta pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia do ano, exceto nos
dias do aniversário da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta pessoas. Então,
𝑃(6) =360
365= 0,9863 ou 𝑃(6) = 1 −
5
365= 0,9863. A sétima pessoa pode fazer
aniversário em qualquer dia do ano, exceto nos dias em que a primeira, a segunda,
a terceira, a quarta, a quinta e a sexta pessoas fazem aniversário, então 𝑃(7) =
359
365= 0,9836 ou 𝑃(7) = 1 −
6
365= 0,9836.
Nota-se uma regularidade relacionada aos dias de aniversários distintos das
pessoas. Podemos então, presumir que, para um grupo de 𝑛 pessoas, sendo 𝑛 ∈
ℕ; 𝑛 ≤ 365, 𝑃(𝑛) = 1 −𝑛−1
365.
E ainda,
𝑃(𝐴∗) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐴3) ∙ … ∙ 𝑃(𝐴𝑛)
𝑃(𝐴∗) = 𝑃(1) ∙ 𝑃(2) ∙ 𝑃(3) ∙ … ∙ 𝑃(𝑛)
𝑃(𝐴∗) = (1 −0
365) ∙ (1 −
1
365) ∙ (1 −
2
365) ∙ … ∙ (1 −
𝑛 − 1
365).
De outra maneira
𝑃(𝐴∗) =365
365∙
364
365∙
363
365∙
362
365∙
361
365∙ … ∙
365 − (𝑛 − 1)
365.
𝑃(𝐴∗) =365!
(365 − 𝑛)!∙
1
365𝑛
𝑃(𝐴∗) =365!
(365 − 𝑛)! 365𝑛.
Considerando 𝑛 = 23, temos que
𝑃(𝐴∗) =365!
(365 − 23)! 36523
𝑃(𝐴∗) =365!
(342)! 36523
𝑃(𝐴∗) =365 ∙ 364 ∙ 363 ∙ 362 ∙ 361 ∙ 360 ∙ 359 ∙ 358 ∙ 357 ∙ 356 ∙ 355 ∙ 354 ∙ 353 ∙ 352 ∙ 351 ∙ 350 ∙ 349 ∙ 348 ∙ 347 ∙ 346 ∙ 345 ∙ 344 ∙ 343 ∙ 342!
(342)! 36523
45
𝑃(𝐴∗) =364 ∙ 363 ∙ 362 ∙ 361 ∙ 360 ∙ 359 ∙ 358 ∙ 357 ∙ 356 ∙ 355 ∙ 354 ∙ 353 ∙ 352 ∙ 351 ∙ 350 ∙ 349 ∙ 348 ∙ 347 ∙ 346 ∙ 345 ∙ 344 ∙ 343
36522
𝑃(𝐴∗) =364
365∙
363
365∙
362
365∙
361
365∙
360
365∙
359
365∙
358
365∙
357
365∙
356
365∙
355
365∙
354
365∙
353
365∙
352
365∙
351
365∙
350
365∙
349
365∙
348
365∙
347
365∙
346
365∙
345
365∙
344
365∙
343
365
𝑃(𝐴∗) = 0,9972 ∙ 0,9945 ∙ 0,9918 ∙ 0,9890 ∙ 0,9863 ∙ 0,9836 ∙ 0,9808 ∙ 0,9781 ∙ 0,9753 ∙ 0,9726
∙ 0,9699 ∙ 0,9671 ∙ 0,9644 ∙ 0,9616 ∙ 0,9589 ∙ 0,9562 ∙ 0,9534 ∙ 0,9507 ∙ 0,9479
∙ 0,9452 ∙ 0,9425 ∙ 0,9397
𝑃(𝐴∗) = 0,4926.
Fazendo 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴∗), temos que dado um grupo de 23 (ou mais)
pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terem a
mesma data de aniversário é de
𝑃(𝐴) = 1 − 0,4926
𝑃(𝐴) = 0,5074.
Em outras palavras, dado um grupo de 23 (ou mais) pessoas
escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terem a mesma data
de aniversário é de 50,74%, ou seja, mais de 50%.
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