linearizacao de controle
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8/18/2019 Linearizacao de Controle
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Do Balanço de Massa:
Acumulo= Entra−Sai
dvdt = F ¿− F out
No Estado Estacionário:
dv
dt =0
Ou seja:
F out = K ∗√ hss
dv
dt =0→F ¿− F out =0
F ¿− K ∗√ hss=0
hss=( F ¿ K )2
Considerando que a área do tanque é constante:
dv
dt = F ¿− F out
A∗dhdt
= F ¿− F out
A∗dhdt = F ¿− K ∗√ h
d h
dt =
1
A∗( F ¿− K ∗√ h )
⏟f
( F ¿,h )
Onde:
f ( F ¿, h)=1
A∗( F ¿− K ∗√ h )
Linearizando no entorno do Ponto de Operação:
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d ∆ h
dt | F ¿ss
,hss
=∂ f ( F ¿ ,h )
∂ F ¿ | F ¿ss
,hss
∗∆ F ¿+ ∂ f ( F ¿, h)
∂h | F ¿ss
,hss
∗∆ h
Le!rando que no "":
F ¿ss= F ¿
hss=( F ¿ K )2
Lo#o:
∂ f ( F ¿ ,h )
∂ F ¿
| F ¿ ss,h ss
❑
=
∂( 1 A∗( F ¿− K ∗√ h ))∂ F ¿
| F ¿ ss,h ss
❑
= 1
A
∂ f ( F ¿ ,h )
∂ h | F ¿ ss,h ss
❑
=
∂( 1 A∗( F ¿− K ∗√ h ))∂ h
| F
¿ ss,h ss
❑
=−
K
A∗1
2∗h
−12 |
F ¿ ss,h ss
❑
= − K
2∗ A∗√ hss
$ Equação de Linearização é portanto:
d ∆ hdt | F ¿ ss,h ss=
∂ f ( F ¿ ,h )∂ F ¿ | F ¿ ss,h ss
∗∆ F ¿+ ∂ f ( F ¿, h)
∂h | F ¿ ss,h ss∗∆ h
d ∆ h
dt | F ¿ ss,h ss=1
A∗∆ F ¿−
K
2∗ A∗√ hss∗∆ h
Pode até de%nir ∆ h= x :
d xdt = 1
A∗∆ F ¿− K
2∗ A∗√ hss∗ x
Para se #erar a &unção de 'rans(er)ncia de Controle:
G ( s )=∆out (s)
∆∈(s) =
∆ h(s)∆ F ¿(s)
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{d ∆ h
dt | F ¿ss
,hss
=1
A∗∆ F ¿−
K
2∗ A∗√ hss∗∆ h
∆ hss(0)=0
s∗∆ h (s )−∆ h (0 )=1
A∗∆ F ¿(s)−
K
2∗ A∗√ hss∗∆ h(s)
"endo:
∆ h (0 ) →0
*earranjando:
s∗∆ h (s )+ K 2∗ A∗√ hss
∗∆ h(s)= 1 A∗∆ F ¿ (s )
(s+ K 2∗ A∗√ hss )∗∆ h ( s)=1
A∗∆ F ¿ (s)
Do conceito da &unção de 'rans(er)ncia:
G ( s )= ∆ h ( s)∆ F ¿ (s )
=
1
A
(s+ K 2∗ A∗√ hss )
$l#uns al#e!risos +ultiplicando e cia e e !ai,o por2∗ A∗√ hss
K -:
∆out (s)∆∈(s)
= ∆ h (s )∆ F ¿(s)
=
1
A
(s+ K 2∗ A∗√ hss)× 2∗ A∗√ hss
K
×2∗ A∗√ hss
K
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∆h ( s)∆ F ¿ (s)
=
2∗√ hss K
((2∗ A∗√ hss K )∗s+1)De%nindo:
G ( s )= ∆ h ( s)∆ F ¿(s )
=Ganho
( τs+1 )
Lo#o τ :
τ =2∗ A∗√ h
ss K