P\

r.Q"

Lineabilidade de (l:onjuntos em Espaços

de Funções e de Zeros de Polinõmios

Geraldo Perlino Júnior

DISSERTAÇÃO APRESENTADAAO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICADA

UNIVERSIDADEDESAOPAULOPARA

OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTREEM

MATEMÁTICA

Área de Concentração:Análise

Orientador: Profa. Dra. Mary Lilian Lourenço

São Paulo, 19 de agosto de 2005

Lineabilidade de Conjuntos em Espaços

de Funções e de Zeros de Polinâmios

Este exemplar corresponde à redação

final da dissertação devidamente corrigida

e defendida por Geraldo Perlino Júnior

e aprovada pela comissão julgadora.

São Paulo, 26 de agosto de 2005

Banca examinadora

© Profa. Dra. Xlaiy Lilian Lourenço INIE-USP

e Prof. Dr Humberto Daniel Carrión Villarroel INIE-USP

8 Prof. Dr. Ai'y Orozhnbo Chiacchio UNICANIP

A minha esposa b/lárcia, aos meus pais

Geraldo e Elza e ao meu irmão Wagner,

dedico esta dissertação.

.z\gradeamentos

A minha professora e orientadora, À/laiy Lilian Lourenço, pela sugestão do tema e

orientação. Eu aprendi muito com seu estilo de lesionar matemática.

Aos meus pais, Gerando e Elza, pelo amor deles, pela grande dedicação à minha

educação, a eles devoto toda minha admiração, apreço e respeito.

Ao meu irmão, Wagner, por todo o carinho, companheirismo e pelo suporte ao longo

da minha formação escolar e da minha vida.

A minha esposa, h/lárcia, por todos os momentos de alegria, de realizações, de su.

peração nos momentos de dificuldades, de compreensão, de sacrifícios e pelo apoio incon-

dicional em tudo sem o qual esse trabalho não poderia ser realizado.

Aos amigos Fernanda Estavam, Nettza lanches, Pedro Levit Kauffnlann e David Ar

mando Zavaleta Villanueva: que me ajudaram na dissertação de diversas formas.

Resumo

O objetivo deste trabalho é estudei a existência de espaços vetoriais gerados por funções

patológicas definidas em IR, a saber:

e Funções / : ]R ----, ]R diferenciáveis em todo domínio mas não monótonas em ne-

nhum intervalo do domínio.

e Funções / : ]R ---} R ditas fortenaente Darboux, ou seja, para qualquer intervalo aberto

/ C R, /(.r) = R.

Além destas funções, estudaremos alguns exemplos de polinâmios homogêneos reais

definidos em ]R" e de polinâmios 2--homogêneos deÊnidos em espaços de Banach reais -E

de dimensão infinita cujos conjuntos de todas as raízes contenham espaços vetoriais. Os

resultados estudados aqui estão descritos em l31 e l41.

Abstract

The main purpose of this work is to study the existence of in6nite dimensionar vector

spaces generated by sets of two patho]ogica] functions defined on ]R, as follow:

8 Everywhere differentiab]e nowhere nlonotone functions / : ]R

. Strong]y Darboux fünctions / : ]R i.e., for any open interva] / C ]R, /(/) =R

Besides, we study some exanlp]es of rea] honlogeneous po]ynoinia]s defined on ]R" and

2-hol))ogeneous polynolnials definecl on illfinite dimensiollal real Banac1l spaces E whose

sets of all zeros contam vector spaces. All the results presented in this work are described

in Í3j and l41.

/

Índice

l

l Conjunto das I''unçõesem Nenhum Intervalo

1.1 Definições e Resultados Preliminares

l ') FllnpÃoc Fn tXYVuu x wu

1.3 Existência de Funções DNÀ/l(R)

Diferenciáveis Definidas em R e Não Monótonas]

7

8

10

18

2 Conjunto das F'unções ];'ortemente Darboux

9 1 FllnpÃnc dn T)nrhnilvX qÍVUU UU W WX V V Lblb

2.2 0 Conjunto de Cantor e a Função de Cantor

2.3 Função Fortemente Darboux

25

25

29

33

3 Conjunto das Raízes de Polinõmios Homogêneos Reais

3. 1 Apli('anões N,lultilineares

3.2 Polinõmios Honiogêneos

3.3 Polinõinios Honiogêneos Defiuiclos em R'"

41

42

47

51

Vll

Índice

3.4 Polinõmios 2-Homogêneos Definidos em Espaços de Banach de DimensãoInfinita.. ......... ...... ................. ... 59

Referências Bibliográficas 67

Introdução

"0 século X/X, que se orgulha da invenção do vapor e da evolução, poderia

derivar um título mais legítimo à fama da descoberta da matemática pura."

Bertrand Russell, International Monthly, 1901.

O século X/X, conhecido como a /dado do Rigor, foi o marco inicial da fundamentação

dos conceitos matemáticos e da descoberta de novas estruturas matemáticas como, por

exemplo, o surgimento de uma nova álgebra por Boole e de uma geometria não euclidiana

por Lobachevsky.

Nesse contexto, a análise também sofreu profundas e decisivas transformaçõesl entre

elas, podemos citar a definição mais precisa de números reais dada por Dedekind e as idéias

apresentadas por \Veierstrass e Méray de desvincular o cálculo da geometria e bases-lo

somente no conceito de número. A linguagem precisa e lógica tomou litgar dos artifícios

heurísticos e conceitos intuitivosl como exemplo desse fato, podemos citar a definição dada

por reine, influenciado por \Veierstrass, de limite de uma função por "épsilon e delta

como usamos atualmente. De modo mais incisivo, o próprio conceito de "função" também

sofreu modificações desde a primeira metade do século X/XI as funções deixaram de ser

entes matemát.ecos puramente at.relados à geomet.ria para tomarem uill caráter arbitrário

na coirespõndencia entre conjtmtos se aproximando da definição que conhecemos hoje eiii

dual uma das confirmações desse fato é o surgimento das funções patológicas, ou seja,

funções que violam, pelo menos, uma propriedade válida (luase que universalmente (ulTI

dos piinleiros exemplos é a função de Diiiclilet). Esse bre'ç'e histórico bem como a (ilação

l

2 Introdução

acima foram extraídos de l61. Esses tipos de funções são um dos tópicos que constitui este

trabalho de dissertação.

Mais precisamente, este trabalho, dividido eln 3 capítulos, tem por objetivo estudar,

além da existência de espaços vetoriais contidos nos conjuntos das raízes de polinõnlios

reais homogêneos, a existência de espaços vetoriais contidos em conjuntos de funções

patológicas definidas em R juntamente com a função identicamente nula, isto é, vamos

estudar quando um conjunto formado por funções patológicas é lineável (do inglês

ZáneaóZe) cuja definição é apresentada no capítulo 1. Estes tópicos foram estudados nos

textos cientíâcos l21, 131, 141 e li41.

No capítulo 1, estudamos as funções diferenciáveis em todo domínio R mas não

monótonas em nenhum intervalo bem como apresentamos algumas propriedades relati-

vas às derivadas dessas funçõesl sobre esse assunto, estudamos o texto jlSI. Doravante,

estas funções serão chamadas de ])NÀ/(]R). O capítulo se encerra com um teorema sobre

a existência de espaços vetoriais formados por funções -DNiM(R) juntamente com a função

identicamente nula. Este tópico está baseado no texto científico l41.

No capítulo 2, estudamos as funções fortemente Darboux começando por apre-

sentei dois exemplos que aparecem em j13l; o primeiro, como fato histórico, dado porLebesgue (provavelmente ele foi o primeiro matemático a apresentar um exemplo de tal

função) e o segundo, mais elaborado, para nos auxiliar na conclusão do capítulo comum resultado sobre a existência de um espaço vetorial gerado por funções fortemente

Darboux. Este tópico está baseado no texto científico l4li observamos que em l41, estas

funções são denominadas everywhere surjective functions; porém, usamos o mesmo

termo adotado em l91 (funções fortemente Darboux).

No capítulo 3, que é dedicado inteirament.e aos polinõinios homogêneos definidos em

espaços de Banach reais, destacamos as aplicações mult.ilineares estabelecendo lml teorema

relat.ivo à. caracterização de continuidade dessas aplicações com os polinõinios homogêneos

associados a elasl esse assunto está tratado em j191, referência que estaremos usando no

decorrer dest.e trabalho. Estudamos, também, alguns exemplos de poliiiõmios homogéneos

P : IR"' - os conjuntos das raízes contêm espaços vetoriaisl esse tópico está baseado

em l21 e l3li poi fim, para espaços de Banach -E separáveis, verificamos que existem-t

Introdução 3

polinõmios homogêneos P : E R tais que os conjuntos P 1(0) contenham espaços

vetoriais de dimensão infinitas esse tópico é tratado em l21.

Notação

Vamos usar neste

No:

]R:

Bn:

rBn:Bz:E*:

Ed

trabalho as seguintes notações:

O conjunto dos números naturais

O conjunto dos números inteiros não negativos

O conjunto dos números reais

A bola unitária aberta de um espaço normado E sobre R

A bola aberta de raio r > 0 de um espaço normado E sobre IR

A bola unitária fechada de um espaço normado E sobre IR

O dual topológico de um espaço formado .E munido da norma usual

O espaço .E x .E x x .E

O espaço das aplicações d-lineares contínuas de Ei x .E2 x

em -F sendo -Ei, .E2, . . . , .Ed e -F espaços normados

O espaço dos polinõmios d-homogêneos contínuos de E em F

1 1, se iSímbolode Krõneckersendo (5í{ = -1 j '

1. 0, se i #.j

d

L(Et,...,Ed ;F) x Ea

P('E;F)

'Jij

À(M):D.V.M ( ]R )

A [ineabi[idade do conjunto ]A]

O espaço 'çetorial das funções diferenciáveis e não monótonas ein

nenhum int ervalo de R

O conjunto de t.odas as funções com domínio e cont.ra-domínio em IR

O espaço vet.oiial das funções fortement.e Darboux

A caidinalidade do conjunt.o IR

/'(R;R)/'D ( IR ) :C

5

CAPÍTULO I

Conjunto das Funções DiferenciáveisDefinidas em R e Não Monótonas emNenhum Intervalo

O objetivo deste capítulo é estudar a existência de um espaço vetorial de dimensão

infinita contido no conjunto formado pela função nula e por todas as funções/ : R ---> R diferenciáveis em todo domínio mas não monótonas em nenhum intervalo.

Este tópico está baseado no texto científico l41. Estas funções são chamadas de funçõesDNM(R).

O primeiro exemplo de uma função DNÀ/(R) foi dada por Kõpcke em 18891 talfunção pode ser vista em j141, pág. 412-421. Seguiram-se vários artigos a respeito deste

assunto culminando com um está-tdo mais aprofundado dado por Denjoy em 1915. Pala

maiores detalhes, citamos l8j e suas referências. A função de Kõpcke é, no entanto, muito

elaborada; outros exemplos apareceram mais recentemente (citamos aqui l41 e j151) comconst.ruções mais simples.

No desenvolvimento do estudo de fullções DN.A/(IR), usamos l41 colho text.o básico

cine, por sua vez, ampliou o trabalho elaborado por Katznelson e Stromberg jlSI. Para

este estudo, denotainos por Z).V.M(R) o conjLmto de todas as funções Z)JVi\'/(R).

Apresentamos, agora, uma definição que servirá de base para a obtenção dos principaisresultados:

7

Conjunto das -libações Diferenciáveis Definidas em R e Não Monótonas em8 Nenhum Intervalo

Definição 1.1. Sda X o c07Üunto de todas as /uniões de$nidas em latbl ou ]R. Z)ada

umü dote'rminada prof'r'iedade, dizemos que 'üm subconjunto M de X jo'rmüdo T)or junções

que satÍs/agem taZ propriedade é lineável se À/ U {0} contiver um espaço uetodaJ de

dámerzsâo í7zánita e dizemos que é n-lineável se contiver um espaço uetohaZ de dimensão

n , n C N. Se .«ãstã, « mó«{m« c«d{««Zàd.de d. «p.ç. «to«á.Z, d.no*'mos po, À(A/) '

dizemos qwe esta é a lineabilidade rdo inglês ZíneabãZ tg/,) de .A/.

O estudo de um conjunto que tem a propriedade de ser lineável, estamos atribuindo,

também, a nomenclatura de lineabilidade. Da teoria dos conjuntos, sabe-se que a.existência da cardinalidade associada a qualquer conjunto requer o axioma da escolha e

que será considerado válido nesse trabalho; portanto, na definição de lineabilidade acima

apresentada, a existência da máxima cardinalidade de um espaço vetorial está ligada ao

fato de se poder ou não determina-la.

Posto isso, baseado no texto científico l41, demonstra-se que o conjunto formado por

funções .D.VA/ (]R) é lineável. Para tal demonstração, apresentamos, a seguir, os conceitos

e resultados prévios envolvidos de acordo com o referido texto científico.

1.1 Definições e Resultados Preliminares

Para o estudo das funções .DNÀ/(R) vamos usar conceitos que, em sua maioria, são

relativamente simples mas que apresentamos aqui com o objetivo de esclarecer quais resul-

tados vamos usar ao longo deste capítulo. A construção de funções Z)]VÀ4(R) apresentadas

neste capítulo é baseada em séries de funções e, portanto, algumas definições e resultados

preliminares sobre esse assunto nos auxiliarão no est.udo desses tipos de funções.

Definição 1.2. Unia seqtzência de /uniões (/«)«, ./« : .A Ç R ----' IR converge unifor-memente em ,4 pata ?zma /unção ./ : .A ----.* ]R se, dado c > 0, ] n.. C N faZ qüe

Vn > n. :::::> 1/,.(;«) ./'(z) < c, Vz C ,4.

Existe un] critério para a convergência uniforme de uma seqiiência. cle fullções; antes

de apiesentá-lo, vamos int.roduzir a seguinte defillição:

[.] Definições e Resultados ]])re]iminares 9

Definição 1.3. Uma sequência de /uniões (/n)., /n : Á Ç IR amada de

seqüência de Cauchy se, dado c > 0, ] n. C N ta/ que para qtza squer

m, ,' > ,'. ::+ s«-P l/.(:«) - .h(z)l < .

Segue, entã.o, o critério mencionado:

Teorema 1.4. [/ma seguêncáa de /uniões (/.)«, .h : .4 Ç ]R ---, R converge unl@z'mi-

me'rate em A para f se,e somente se, é unia sequência, de CauchU.

zC..'4

Demonstração : (-::+) Seja (/n)« uma seclüência de funções, /n : ,4 Ç IR ----* R,

que converge uniformemente em .A para .f. Dado c > 0, encontramos n. € N tal que

n > n. -+ suP l/n(Z) - .f(z)l < i. Logo, para todos m,n > no, sup l./h(sç) - .h(z)l $zeA Z #e.,4

SUPI/m(Z) -- /(z) + suP l/(z) -- /n(Z)l < ;1 + ; = c. Conseqüentemente, (/n). é umaze.,4 zC.4 Z Z

sequência de Cauchy.

(-f::=) Seja (/n). de Cauchy. Então, para cada z C .4, (/n(z))« é uma seqüência de Cauchy

em R. Logo, (/n(z))« converge para, digamos, /(z) C IR, isto é, .Jiin. /n(Z) = /(Z),VZ C .4.

Para mostrar que converge uniformemente em ,4, seja dado c > 01 então, ]n. C N tal que

m,n > n. -::> SUP l/m(Z) -- /n(z) < c. Fazendo m --, oo, obtemos

SUP l/(a;) -- /n(Z) < C, Vn > n.. Logo, /n ---* ./' uniformemente em .4.zC,4

O resultado seguinte nos traz um critério de convergência para alguns tipos de série

de funções e que será usado posteriormente no teorema 1.16.

Teorema 1.5. (Teste -- M de Weierstrass) : Sda (a.). uma seqüêncía de números re-

ais não nega uos Éa/ que >: a. conuáãa. Sda (/n)«, /n : .A Ç R ---"-' R, uma seqüêncÍa de

.&«çõe; f«/ q« l/.(z)l 5; '«, V« c N, Vz C ..4. Enlào }l: l.f.l e >, /. ;ã. ««z/o««.m.nfe

conueryerzfes em .A.

ln

l l

l)emonstracão Para a. seqiiência (./:.). dada: seja uma se(liiência de

C;on.junto das -libações Diferenciáveis De/unidas em R e Não -i\monótonas em10 Nenhum Intervalo

funções definidas em À. Dado c > 0, seja n. C N tal que }. aj < c. Então, Vm,n C NJ ='no

E.j=i .j=i

oo oo

E.j=n+l .j=n+l

l }' /] l são seqüências de Cauchy e, pelo teorema 1.4, segue o resultado.\J--'t / 7Z

E /J(")l - l/n--:(") +

E aj < e, Vz C ,4. Logo,

tais que n > n > n., temos Â(«)

$ 1/«--:(z)l + . . .+ l./',.(z)l $ /J(z)l 5;

n

n

+ /,.(z) $

1.2 F'unções Fat

A principal ferramenta para provarmos que o conjunto .D.V.A,4(R) das funções dife-renciáveis em R mas não monótonas em nenhum intervalo de R é lineável é um teorema

relativo à diferenciação de séries uniformemente convergentes. A proposta desta seção é

apresentar este teorema; para isso, vamos usar funções com determinadas propriedades

que definiremos a seguir:

Definição 1.6. Seja ./' : R --* ]R unia /unção ãntegráueJ em todo ántemalo lai ól C IR. Se

ezãste -H C (0; oo) taJ que, para cada a < b,

(Í-L-) l / /(t)dtl $ -H . mina l/(')l , l/(Z,)l }b

a(1.1)

dizemos que / é fat.

Definições 1.7. Sda / uma /unção /at para algum -H > 0 dado em (1.1). O número

Hj ÇH) é chamado de ta\ness dü junção f. Ulíta, jamtniü F de funções fat éc/camada de uniformemente fat se

Hr = suP(H.f) < «,

Grosso Díodo, se unia. função é /al, então o seu valor médio sobre qual(quer intervalo

não pode sei " muito iliaioi " quando comparado aos seus valores aios extienios desteint.eivalo.

].2 Funções .Iht

Uma outra propriedade especial relativa às funções é apresentada a seguir

Definição 1.8. Uma /unção p : IR IR par, positiva e continua taZ que p(lzl) .1 0quando z - amada de função escalada.

Observação: (p(lzl) 1 0 (quando z é equivalente a g ser crescente em (

e decrescente em 10; oo) e . lim p(z) = O.lzl: +oo

Exemplos 1.9. (;omo ezemp/os de /Mações isca/abas podemos catar.

.) /(z)

Ó) /(z) )'', Va C (0; .«)

'«;ol

O próximo resultado nos dá uma condição suficiente para o /atness

Proposição 1.10. Sela y uma /unção essa/ada; se ezãste -1( > 0 taJ que para todo b > 0,

-i l p(t)dt $ K(pl.b),

e'ntão (p é jat e H.p $ '2K, sendo H.p o Jat'n,ess da. junçõ.o tp

desi.gualdade (1. 1) podemos tomar H = K

b

0

Para 0 < a < b, da

Demonstração : Seja lai ól C IR, a < b, um intervalo qualquer de R. Como p é uma

função par, podemos supor, sem perda de generalidade, que lal < b. Há, então, 2 casos aconsiderar:

i) --b < a $ 0

J:-à 11««« - Ç;q Çll«««-* ll««Á,

Á) (/''«.*,'' *P(t)dt ' b - a) Jo (p(t)dt $ -i.Üt:-iSó . K . p(b) $: ZKp(b)

ii) 0 $ a < Z):

Fazendo a substituição linear t = f(z)« * (v) «, '.«.;:

]2 Nenhum Interna/oe Não Monótonas em

*'',-., ''',-'.''«':«,".' '';',-.:;*'«, «-.(T) ;..Como p é decrescente em l0; .x), p(t(z)) $ p(z). Portanto:

-ü+-à J p(t)dt - l.)l) .(p(t(.»d- $ \ .[.p(«)ú« $: K ' p(õ)

Logo, y é fat e .Hç, 5; 2.K

Exemplo ]-.]].. Toda/unção essa/ada da /omza g(t) = (1 + ltl) ', 0 < a < 1 é/at

De fato, seja b > 0; então:

l@ l /' õ--gÚ - úh . eJ!:;ll - gJJ; [@ + n':-''

(z'+11= .L n'-i . .Lb(l- a) ' 1- a

Então, .f/P$ Í::=

Através de uma função escalada, podemos construir um conjunto de funções a saber:

Definição 1.12. Para uma /unção escalada 'p, seja É(p) o conjunto das /u7zções da

/olha >ll:cjp(Àj(z aj)) com n C N, cj,Àj reais positivos e aj C IR, V.j = 1, 2,' . . ,n.,'ls /uniões em Z,(p) são chamadas de p-funções.

Exemplo 1.13. C'07zsidere p(t) - -V/l -+.. M ' cj = Àj = 1, 1 $ .j 5; 3 e ai = --1, c12 = 0 e

al :: 1. ; desta j07ma, um dos eLententos de L(.p) é dado pela juiLção q expressa da seguinte

'n}. a.TLe'L'i'a :

n

lJ

].2 hinções Fat ]3

Figura 1.1: Esboço dos gráficos das funções p e W

Para que -L(g) seja uniformemente fat, basta impor apenas uma condição sobre r:

Proposição 1.14. Se uma /unção isca/ada g é /at, então a /amz2áa de /uniões L(p) é

ünãfor'demente fat. AtéTrt disso, H.p -- HL(và

Demonstração : Considere q'(z)

arbitrários. Considere .A := Íi.i.-8- ./ ©(z)dz. Então:

n

- >: cjP (.àj aj)) , $' C L(p) e 1«; ól C ]R

"'$-:-a.Z Eq«o.(« «Ja«

Vamos estabelecer as seguintes mudanças de variáveis g/j = yj(z) = Àj(z -- aj),

, r}. Com isso, dyj = À,(/.t, VJ = 1, 2, - - . , n. e é claro queyj(Z,) - z/j(«)

Àj (b - .)

c: fUJlb\

n. )..sstm A j,,.., pl.yj)dyj.

Como a função ç é fat., t.emos:

b n

-6?:-aJ. "ü,(« «,»-"'

VJ 1,

vj

C:oirÜunto das libações Diferenciáveis Deílnidas em R e Não Monótonas em114 Nenhum Inl;ervalo

.4 $ }, SJlqllli;ZliÇlg..H,.minÍp(z/j(b)), 'p(Z/j(a))} - H- ?:Í cj'minlp(yj(b)), ç'(Z/j('))}li.2)

Nuas

n. 'n

E.j=i .j=iE cj minÍy(Z/j(ó)), p(3/:j(a)) }q'(«) - qp(yj(a)) ? (1.3)

n 'n

®(Z') = >1: 'jp(yj(Z')) ? }: cj minlg(yj(Z')), ç(3/j(a))} (1.4).j=i .j=t

. rb

/Assim q' é fat.

Sendo ® arbitrária, temos que -H.P $ /{p, VQ c L(p), ou seja, .HL(P) ' sup . JI/q' 5; HP.q' CL(9)

Assim, L(y) é uniformemente /at e como p € L(p), segue que Hv, = Hz,(P)'

De (1.2), (1 3) e (1.4) temos que ''! ' Íi:a) q'(:«)dz $ HP minlq'(a);W(b)}.

e

Para uma função escalada p dada, podemos exibir r-funções com determinadas pro-

priedades como most.ra a proposição seguinte e que serão úteis na próxima seção em que

se mostra a existência de funções -uNiA/(IR).

Proposição 1.15. (Flexibilidade de L(p)); Soam p uma /unção essa/ada arZ)ãlráha,

« C N, n ««Ím"o; ««{; t nt« {ajl;.: ' n ante««/« «Z,e,to; {/, - (yj,Õj)};-: """'

0 < lyj < #j,VJ = 1, 2, ' ' ' , n. .Então ezãste uma /uzzção q' € Z(p) ta/ que:

ã) \P(aj) C /l, V.j = 1, 2, . - . ,n

iiJ \P(=) < .max {&jl: Vz C Rl$j$1n

Demonstração : i) Considere JJ intervalos cont.endo aj, l $ j $ rz dois a dois

disjuntor. Considere, t.anibém, é > 0 tal cine ( < .!11;ip.{lÜj pjl}. Definimos as funções

1.2 -Zi'uniões -Zibt ]5

q'j(z) - cj'p(Àj(z -- aj)), Vj - 1, 2, . . - , n tais que cj = !Qi'f c/2 e com os Àj suficien-

temente grandes tais que ©j(z) $ ã;, Vz g .4. Por fim, considere ©(z)Vz C IR.

Então, 'Pj('-.f) - cjq'(0) - yj + ; Como ©i(aj) > 0, segue que ®(aj) > g/j.

Por outrolado,

E1=1 i=l

q'(aj) Wj(aj) + Eq':(«j - y, + ; + q':(':j) -$ z/j +; +ã(" - i) -

n 'n

=3/j+c--ã;<3/j+c<yj+ j Z/j=©jé

Assim, ®(aj) c b.

ii) Primeiramente, vamos considerar z C .Á pa-ra algum ã, l $ á 5; n. Lembrando-se

que p(:z;) $ ç(0),Vz C R, temos

a'(') - 'p:(") + }: 'p*(") - %iÍ- ' p(À:(" '-:)) + >: 'pj(") $k:=1 ' * / k:=l

; /: + ã + á;(" - i) < 1/: + ' < ©:

Assim, como z foi escolhido arbitrariamente em Jt, segue que ü(z) < Úi, para todo

z C J.. Como J, foi escolhido arbitrariamente, segue q'(z) < max Õi, pa-ra todon

Z n

Para z çl U Ji, temos que Q(z) - >1. 'Pj(z) $ 5; n - 5 < c. Como € < Új par'

todo l $ .j $ n, conseqiientemente Q'(z) < in $nl#i}, para t.odo z C R.

n

lt

Para demonstrar (lue o conjunto Z).V.A4(R) é lineável, vamos apresentar o teorema a

seguir deferente à diferenciação de séries uniformemente convergentes, porém envolvendo

tuna família de funções /at. Este resultado é análogo ao t.eoieina clássico de diferenciação

cle séries e que pode ser encontrado, por exemplo, em j18j, pg. 304.

Cl:oiÜunto das -Zibnções Diferenciáveis Definidas em R e Nâo IUlonótonas em16 Nenhum Intervalo

Teorema 1.16. Sda >: a'.(z) üma séhe de /uniões sobre IR de c/asse C: taZ gue, para

«Zgum z. C R, >1:'P.(z.) c'"«{ü«. P«« «d« n , ;d' W« - @l.. Se {@« : n C N} é um«

seqilêbcia de fuTtções positiva,s união'rme'me'nte fat com

a C IR, então;

' J

para atg'üm

}: ®. («) - .F(") é anil/07memenÍe convergente em cada intemalo ZÍmãtado de R

''/ ' \') ''

Em partácuZar, se }: ©.(z) - s(z) < oo, Vz C R, então F'(z) - s(z),Vz CR

/

]n

Demonstração : i) Considere b ? maxllal, lz.l} e seja .H = sup Hn com J7n sendo

o /atness de ©«, Vn. Para lzl $ b, seguen€N

'D.(z) ®«(0)

5; lal.H-q'.(«)+la-zl.n'-W.(a)$(2lal+l:«l).H' q'«(«) $3b.H '}«(«);

então, pelo teste-N'l de Weierstrass (ver teorema 1.5), a série }. IO«(z) (>«(0)l converge

uniformemente em l--ói ól. Como, por hipótese, >,(b«(z.) converge, podemos escrever)o ')o oo ')o

>l:@.(0) - >1:õ«("o) - }l: lq'-("o) 'D«(0)l L'go, }: ®.(0) """rg' e, co«seqüe«-n :: l n :: 1 ?1 -: 1 n -:l

tement.e, >1. (b-(z) é unifoimeinente convergente em l--ói ól pala alguma função F. Assim,

a afirmação á) está provada.

ii) Dado c > 0 arbit.rário, considere iV C N tal que ,,>1: W«(a) < €

Pela continuidade das 9., Vn C N, existe uni õ > 0 tal que, VÀ C IR com lhl < õe

n=l

n::l

1.2 -1ibnções Fat

n $ Ar, tenhamos:

g«(" + h) - q'«(")l < iik

Considerando, sem perda de generalidade, que h > 0 (para h < 0 a demonstr

análoga), obtemos:

l fa+/l 1 1 ra+ã

i.Z w.(t)'ít-a'«(") 5; ii .Z I'p«(t) -'p«(')lat

Pela desigualdade(1.5), temos:

Ã/.''' "«Ud'-«.(.) !-ÚComo, por hipótese, (I''n = Q- : n C N , segue que:

F(« + h) - -F(«)S

h

Ê [».('--'l:?d© "«(«) - E; /I'" ".u~n::l

a+h lw.(t)at a'«(.) 1 1 5;

.a+À 'l 1 1 oo r. /..a+h

l n=1 L'' 'ra J l

$'.(t)'ít-'p«(")l + >: li'/ ü'.(t)at

a+/l l oo r. pa-.bb l l oo

do fat.o de {®,. : n C N} é uniformemente /at, t.einos:

ee-J:-q -/-íd -- E ". "«@ -- x#\-D «:

e ,, He e ee

a'.(t)at- Q«(«) + }l:a l n-JV+l

À /l ''"©.ua* + E ©.(«)r? = ]V + ]

De (1.6) e

< + -+- -- = c' 9 '2N 2(H + l) 2(H + l)

(1.5)

l>ll: ©«(«) - h'n::l n

w.(«n,=l

w.(.)

a+h

ü,, (t)at l +

IVC

sl $ +2N

rl,=]

CoiÜunto das -Zibnções Diferenciáveis Deânidas em R e Não Monótonas em]8 Nenllum Intervalo

1.3 Existência de Funções DNM(R)

Nesta seção, vamos apresentar um resultado sobre a existência de funções -DNÀ/(IR)

usando seqiiência uniformemente /at de ç-funções. O objetivo é mostrar que o conjunto

Z).V.M(R) é lineável.

Teorema 1.17. Sda (y.). uma seqüêr cia esthtamente crescente de ,'úmeros reais

conuery ndo para l [a/ que yO :: 0. Sega So :: .[a(')}j l u.ma seqüêncãa de números rea s

dois a dois distintos e, para cada { C N, sqa .S, :: {a(i)}m : UmZ COnJUnto ./i'rzíto de ntímeras

reais dois a does d sfántos. ..Além disso, sup07zAamos gue os conjuntos {Silí.o sejam dois

a dois dãsjuntos. Então, ezàste uma função F diferenciáuet em ®. ta! que:

i,) 0 < F'(z) $ 1 , para todo z C R.

ü) r''(aS')) - l

ãád) r''('$o) - y: ,

; para todo .j c N

para todo .j = 1, 2, , rní e { = 1, 2,

Demonstração : Para cada { C N e cada intervalo /. = (yi i;3/{), consideremos a

se(lüência (yi,x;)x; estrit.amante crescente tal que 3/í,t C .ri,Vk C No e .lim Z/i,x; = 3/i.

Seja p uma função escalada com a mesma propriedade apresentada na proposição l.lO.

Tomand(»se o intervalo (Z/i;o; Wi;i) e o conjunto S: U {a:o)}, temos que, pela proposição

1.15, existe uma função .fi = Qi C -L(p) tal (lue:

1.1)/i(a$O) C(Z/:,o;Z/:,:), para

1.2) /:(aln) C (3/-,o; i/..:).

1.3) .fi(t) < yi i, Vt C R

Tom«lido-se, apoia, os intervalos lpi;t -

(«:;- «.(«}'b; «:;, - ".(«j'b), j - :, :,J = 1, 2 e o conjLuito St u S2 u {am); aSO)}

função -l'2 C É(ç) tal que:

".(«}'b;«-;, b),J- :,,,-'' ,"':,,«:. («,;- «-(«}'b;«:;,

no'çainent.e pela pior)osição 1.15, existe unia

1.3 Existência de Funções DNM(R)

-)

b)

.)

d)

",(«}:b ; («;- («}:b;«:;, ":(«j:b) p---j- :,,

",(«}'b '(«,;: («}'b;«,;, («I'b) p»«.j- -,,,

":(.j'b ' («,;- («I'b;«,;, ":(~$'b) p,--J - :,,q',M ': ::J!:. { (y:;: - w-(«j:b) , (g,;, («l:b) , (v,;,

l$1$m2l$s$2

,'rnl

m2

W:('-!Q))},Vt C R

Definimos, então, a função /2 :: ©i + ü2. Com isso, temos

ll.l) /2(ajO) C (Z/i,i;yt.2), para .j - 1,2

/2(aj:)) C (y,,t;g/2,2), para .j ' 1,2

11.2) /2(aj')) C (g/2,t;y2,2) para .j = 1,2

7nl

7n2

11.3) /2(t) < y2.2, Vt C IR

Procedendo de forma indutiva, podemos construir uma seqiiência (W«). com

q'. C L(p), Vn C N e, portanto, obtermos uma seqüência (/.). com

rz = 1, 2, . . tal que:

iV.l) ./«(aj:)) C (3/i,« i;yl,.), para J ' 1,2 mi

/.(aj:)) C (Z/:.«-i;y2,«), para .j - 1,2 m2

./.(aj")) C (y..« i;y««), para .j - 1,2- m.

N'.2) /n(al')) C (Z/..«-t;#.,.), para .j ' 1,2''' ,nN'.3) /.(t) < g/..., Vt C R

Por coiistiução, ./:.(f) < 1 e q'«(f) > 0, Vf C ]R, Vn C N. Então, Vt C IR, a série

converge ( t.oda se(iiiência naonótona e limitada é ('onvergente) para, digamos, ./(t). ' Como

ü. é contínua e Ilimitada em IR, podemos definir (>.(.r) = / @«(t)dt, V/}. C N. Desta.

forma, temos as seguintes condições:

C

w«(t)

(;adjunto das libações Diferenciáveis Definidas em R e Não Monótonas em20 Nenhum Intervalo

e Pela proposição 1.14, (©.)« é uma seqüência uniformemente /at de funções positivas

cuja série >1, W«(t) converge para ./(t),Vt C R

e Para qualquer b > 0, considerando lzl 5; b, temos lq'.(z)l = 1 / q'.(t)dtl $

lzl . H . W«(b) $ b ' H ' ©«(b); pelo teste-NI de Weierstrass, a série >.õ«(z) converge

uniformemente em l--ói ól.

. Pelo teorema l.i6, existe uma função r' tal que -F(z) = >1: '}«('ç) e F''(z) - ./(").Segue, então:

i) 0 < F'(z) = lim /n(z) $ 1, Vz C R7Z ---+ 00

Ü) l Jin.y.,«-: $ .1i«:/n(ajQ) (a$Q) $ Jl11g;.z/«,. (ajQ)/t ---+ oo

v.j c N

iii) Z/{ - llm yi,«-i 5; l!:k/n(aj:)) = -F'(aj{)) $ 11m y{,« - y{, .j = 1,2, . . . ,m{ e

Z

0

á - 1,2,

Logo, F'(a$a) = z/i, Vj = 1, 2, mi e á= 1,2,

Como conseqiiência deste teorema, temos o seguinte resultado:

Teorema 1.18. Sejam .4+, À , .,'l' stzbcozÜuntos enzlmeráueis de IR disyuzztos dois a dois

Então, ezãste Ilha .função -H di/erenciáueJ em R ta/ que IX'(z)l 5; 1: Vz C R e.

á) H'(z) > 0 , se z C ..4''

fí) H'(z) < 0 , se z C ,4'

iÜ) H'(:«) « « C .4'

1.3 Existência de Funções DNM(R) 21

Demonstração : Seja (3/.). uma seqiiência estritamente crescente de números reais

convergindo para l tal que Z/o = 0. Para cada { C N e cada intervalo /, = (3/{-tl y{), consi-

deremos a seqiiência (y{,k)t estritamente crescente tal que 3/{,k C /i, Vk C No e .lim 3/{.x; = g/{

Seja p uma função escalada dada como na proposição 1.10. Sejam .4o,

Á' = U SÍ subconjuntos enumeráveis de ]R dois a dois disjuntor, sendo S;' = {aji)}mi:

e SÍ = {/3l{)}«Z:. conjuntos finitos de números reais para todo { C N. Pelo teorema 1.17,existem duas funções diferenciáveis F' e (l; tais que:

b) G' (z)

G' (al0 )

l}

.A-'' - U8'- .

Vz C ..4''' U .A' b) G'(aç)

VJ = 1,2,...,n{ G'(al:)) V)= 1,2,...,míe ã= 1,2,... e á= 1,2,...

0<F'(z) $1, VzCR 0<G'(z) $1, VzCIR

Observamos que F'(z) < 1,Vz C .A e G'(z) < 1,Vz C .4+. Considerando a função

H(z) (:«) - G(:«), temos:

. V:. C .4''', n'(z) G'(z) (z), com 0 < G'(z) < 1. 1,ogo, H'(z) > 0.

. Vz C .'!-, H'(z) G'(z) = F''(z) - 1, com 0 < F''(z) < 1. Logo, n'(z) < 0.

. VzC.A', H'(«)-f''(z) G'(z)-1-1-0.

«) F''(:«) l

r''(4o) - y:

Podemos, desta forma, construir uma função Z).Nib/(IR) dependendo apenas da natu

reza dos subconjuntos enumera.veis ton-Lados no teorema anterior.

Corolário 1.19. Ehãste uma /unção dli/erenc áueJ em R que não é morzótorza em nenhumánfema/o de IR.

Demonstração : Considere conjunt.os .,4+, ..'! , .A' que sejam densos em IR e dois a

dois disjuntosl poi exemplo, podemos tomar Á+ = 1+QX/'2, .4 = --1+(Qv2 e .,4o = (Qv/ã,

sendo a + Qv''2 = {a + q y/2 l a € (Q, q € (Q}. Usaiiclo o teorema 1.18, existe uma função

H (lue é diferenciáç'el eili iR mas não monótona ein nenhum intervalo do domínio.

CoJrljunto das -]ibnções Diferenciáveis Definidas em ]R e Não ]\monótonas em22 Nenhum Intervalo

Podemos construir um espaço vetoria] contido em D.V.A4(]R) U {0} apenas escolhendo,

convenientemente, os conjuntos densos enumeráveis .4+, Á' e .4o do corolário 1.191 isto

pode ser visto através do seguinte teorema:

Teorema 1.20. O co@unto Z).V.A't(R) é /{neáue/.

Demonstração : Consideremos a seqiiência de ternas de conjuntos dois a dois dis-

juntor {..4Á; , .4i. , .AE} com as seguintes propriedades:

1) .AI, .Ai e .Ail são enumeráveis e densos em ]R, Vk CN

2) (.A:' u .Ai u .4í) c .AZ-..: vk cN

Um exemplo de sequência destes conjuntos é a seguinte

a) 'iZ

b) ..'li

k + Q.v/ã, VA c N

-k + QVã, VÉ c N

"2*: - ": - "; - «, - (* -- ; -- ~Ó) , «* ' ~l

.4?C2

Pelo corolário 1.19, para cada k, existe uma função /à definida e diferenciável em R enão monótona em intervalo nenhum tal que:

á) PI(:«) > 0, se z C .41

ãá) FI(z) < 0, se «; c .Aiáá{) -a(.) - 0, se « c .A2

Pela construção destas funções, t.einos que {FklE;: é linearmente independente pois,

para quaisquer escolares ai: a2, . . . , a., t.ais que >. c1l ' Fk = 0, t.einos:

0 d(z), V:' c Rk-l

Tomando-se zi C .4t U ,'ii', t.emos que zl C A2,Vk = 2: 3,

q(z-) Vk 3:''',,';logo,a..FÍ(:--)

n

n. e, coiii isso,

Ek-2

0. Então. ak &(/) 0

1.3 Existência de Funções DNM(R) 23

Vz C RI tomando-se, agora, z2 C À; U .4;, obtemos, analogamente, c12 /'2(z2) = 0 :-:>

a2 :: 0. Continuando esse processo, podemos concluir que a3 ::; a4 " ' . = cv. :: 0 :-::>

{FklE:: é linearment.e independente.

Resta most.rar que se F'(z) = >,akFt(z) com ak não nulos para k = 1,2,

então F' é não monótona em nenhum intervalo de IR, Vrz C IN. Como definido:

«(z)>0,sezC.4Í, «(:«)<0,se:«C..4Í e FÍ(z) sezC.4?.

Então, VzC (.4fU.AÍU.4?), Ft(:«) 2,3,' ',n. Logo, F''(z)

Vz C (.4+ U.Ai U ,4?). Suponhamos, sem perda de generalidade, que ai > 0; então,

F'(aç)>0,se:z;C.4;', -F'(z)<0,sezC.4Í e -F'(z)=0,sezC.4?.Desta forma, F é não monótona em nenhum intervalo. Portanto, Z).V.M(IR) é lineável

n

k l, 7Z')

CAPÍTUI,0 2

Conjunto das Funções IF'ortementeDarboux

O objetivo deste capítulo é provar que a lineabilidade (ver definição 1.1) do conjunto de

todas as funções fortemente Darboux, que denotamos por /Z)(IR), é 2'. Os resultados

estudados aqui foram baseados em l41.

2.1 Funções de Darboux

Até a segunda metade do século X/X, acreditava-se que toda função contínua

/ : R ------, R era definida como uma função que tivesse a propriedade de assumir todos os

valores entre quaisquer dois valores da sua imageml em outras palavras, uma função tal

que a imagem de qualquer intervalo do domínio era um intervalo ou um ponto.

Essa propriedade, atualmente, é conhecida como propriedade do valor interme-diário ou propriedade de Darboux. Em 1875, Darboux most.iou que t.oda derivada

tem a propriedade do valor int.ermediário e apresentou vários exemplos de derivadas des-contínuas.

Por isso, funções (lue possuem esta propriedade são chamadas de funções de Dar-

boux. Pala considerações sobre este tema., citamos l71, 181 e suas referências.

De maneira mais geral, para definirmos uma função de Darboux. usamos o conceito

25

26 Conjunto das Funções -lRortemente Darboux

de conjunto conexo cuja definição é a seguinte

Definição 2.1. S©a (X,r) um esp.ço topo/ógáco. Z)ãzemos gue (X,.'-) é conexo se não

existem abertos não pagãos C/ e y tais que U íl y = 0 e U U V = X

A partir disso, podemos definir funções de Darboux e fortement.e Darboux

Definições 2.2

ã) Sd«m (X, rx) e (y, ,-*) doã' «p"ç" topoZógãc«. U«.« /unçã.

/ : (X, ,x) - ,v) é dãt« função de Darboux se, V-E C X conezo, /(E) Cye conexo.

ãi) C/ma /unção / : R ---, R é dita fortemente Darboux se, para quaisquer

«,b C R, « < b e todo 3/ C R, e«êste z C («; b) t.Z q«e /(z)

No item i), se X = y = R com a topologia usual, então esta definição é equivalente a

propriedade do valor intermediá.rio.

Podemos relacionar funções contínuas, de Darboux e fortemente Darboux através da

seguinte proposição:

Proposição 2.3. Se / é /ortemente Z)arbouz, então para toda /unção contáh a

g : 'R. j-\- g é jorteTÍLente Darboul +:::+ j-} g é de Darbonl.

Demonstração : A implicação (::::>) é trivial. Para a outra implicação, temos:

Para qualquer intervalo limit.ado / C IR aberto, g é limitada. Por hipót.ese,

/(/) = IR. Ent.ão, / + g não é liinitt\da medi inferiormente nem superioiinente ein /, caso

cont.rário, deveríamos ter l/(z) < Ig(z)l+l(/+g)(z) < iA/, para algum iA/ € R (absurdo);

coil] isso, Vy C ]R, exist.em ..4, B C ]R tais que .4 < y < B e a, b C / tais que (./ + g)(a) = .A

e (/ + g)(Z,) = B. Portanto, existe uin 7 entre r/ e b tal que (./ + g)(z) = y pois (./' + g) é

de Darboux. Logo, (./' + g)(/) = R.

2. IZ -Zibnções de Darboux 27

A hipótese da função g ser contínua na proposição anterior é essencial uma vez que, se

tomarmos, por exemplo, g = --/ (sendo ./ uma função fortemente Darboux, / também

o será e, portanto, totalmente descontínua, ou seja, sem nenhum ponto de continuidade),

obtemos / + g = 0 ( função identicamente nula) e, por conseguinte, .f + g é uma função

de Darboux, mas não é fortemente Darboux. Outros resultados sobre funções fortemente

Darboux podem ser vistos, por exemplo, em l91 no capítulo 7.

De acordo com as definições 2.2 itens i) e ii), podemos concluir que toda função forte-

mente Darboux é de Darboux. Agora, nem toda função de Darboux é continuai abaixo,apresentamos dois contra-exemplos que comprovam esse fato:

Exemplos 2.4

i) Sej. f : W. -- W. u«a fu«-ção de$«-id., p":

«'-;i«(:), ''«:#o0, se z := 0.

/(«) - -l

Desta fo'rmü, Q dehuada, f' de f é cone(n\J,Q eln todos os po'fetos do domínio, e=ceto

para = :; QI no e'nta'nto, como de'm,onstrob Darbou=, f' é upríta f' nção de Dctrbon=.

ií) Função de Lebesgue

Uma função de Dürboul pode ser totalmente descont'ínua, ou selva, não ter nenhum

ponto de continuidade. H. Lebesg'ue li'71, pg. 9'1, foi, prouctuelmente, o prã'rneiro

mate'rnático a, aprese'r\tür 'uwl exemplo de uma função de Darbou= totalme'r\te des-

confáÍzua com a seguínfe propriedade;

É. Para ./ : jOill ---} jOill e para quaisquer a,b € 10iil, a < b e lodo

y C 10;11, e«ã;t. :.m « C («;b) f«/ q« /(z)

Antes de apresentarmos a j'unção de Lebesglte, ressaltamos que ela pode ser conside-

ra,dn, conto tina furLção fortemente DarboKI se restri\gixmos o domínio e n i'rnagentpara l0i lj; segue, aqui, saa descrição;

Seja z ?zm número real arbiÉráüo en} 10; 11 escüÉo rza/arma de szza expansão decáma/

[ aia2as . . Se = é ]]]n 7tÚMCTO racional, ua.mos escreve-!o sempre na .for'ma

28 (l;oiÜunto das -libações -lilortemente Darboux

expandida de dízima pehódãca (podeha ser feita avtatogamente se considerássemos

x escuto n,a, fo'r"m,CL decimal com um número $\ito de dígitos não autos). Vamos

e.t.b.Z"., o «Jo, de /(z) dep.nd n . 0, «:«;«; . . . é o« não um nám". "'í-«/.

Os dígitos de = comi irai,ces pares Scüm resemados para, os dígitos da 'lmügeTTt de l

Teta f quando escuta. no, jo'rma, de erpü'r\são decimal..

P(zra quctlquer z := 0,aicz2(zs''' c jOill, considere o zzumero z := 0,(zta3(zs - e

Damos de$nãr a /uzzção / : l0i ll --} l0i ll em ter'mos de z como;

0, se z := 0, ala3(z5 ' ' ' e iz'r(zcíozzaZ)'

0,a2n (z2n+2 (z2n+4''' ) se z := 0,(zlcz3aS' ' ' e Taczon(zJ com o

phmeãro Feri'odo começando por a2.-i, rz C N.

Como de$nida, acima, f possui, Q pro'p'dedade L. De fato, para quctlquer enter'bato

aberto / C l0i ll dado, podemos tomar n C N s2zácientemente grande e escoZÀer

dz'gatos ai,a2, ' ,a2..i tais que / contenha 0,ai a2 ' ' 'a2..i e todos os ntímeros

da/or'ma 0, al a2 ' ' ' a2n-l a2n ' ' ' começando sempre Feios mesmos 2n l pdmeáros

dígitos.

Sda, agora, 3/ = 0,btb2b3 ' . . C l0i il arbitrado. Mamas mostrar que existe z C /

t Z gu ./'(z) P«« ôsso, e«.ZA'mo; dÜít" ":«+:, ":«--;: a:«+;, ' ' "n«.nàenÉ'-rne7Zte tais qUe 0: (Zla3C15 ' ' ' a2n l(Z2n+l(Z2n+3 ' ' ' Sq(z per'zo(isco co'in pr'imezro período

começando por al«-l; temos, desta, fo'r"mü, ql e o número procurctdo é

« «:a,«; ''«:..:Z':a:....:Z':"'«+; . . . /(:«)

Obsememos q'ue f de$nidct asse'rrt é descontínua em todos os T)Oitos do domínio.

O gráDco G/ /(z)) z c 10; tl} é .Ze«o no quadrado t'Rifa o, ou sda,

a.r = 10; ll x 10; 11 emZ)ora cada segmento z;ertÍca/ {z} x 10; 11 encontre G.r em ape7 as

um po'nto.

Como o objetivo deste capítulo é provar que a lineabilidade do conjunto de t.odas as

funções fortement.e Darboux é 2c, vamos, pi'imeirament.e, api'esCUtai' lun exetliplo de uma

função / : iR ---, R desse tipo. Para tal, vaiiios precisar usar, entre outros conceitos, o

conjLuito de Cant.or e a função de Cantor (lue descrevemos na próxima seção.

2.2 0 C;oiÜunto de (Jantou e a -li'unção de (:actor 29

2.2 O Conjunto de Clantor e a Função de Cantor

Nesta seçã.o, vamos introduzir o conjunto de Cantor apresentando algumas proprie-

dades relativas ao seu "tamanho" e a função de Cantor que será largamente usada quando

apresentarmos o exemplo de uma função fortemente Darboux já mencionada

Conjunto de Cantor C'

O conjunto de Cantor C' é obtido, a partir do intervalo fechado l0i 11, através de uma

sequência de eliminações de intervalos abertos como indicado nas etapas abaixo:

1')

2')

Eliminação do intervalo aberto (;; ;) depois de dividir o intervalo 10; 11 em trêssubintervalos de mesmo comprimento

Cada um dos intervalos fechados restantes l0i ;l e l;i ll é dividido em três subin-tervalos de mesmo comprimento eliminando-se seus intervalos abertos centrais,1 2. ,7 8.1 --: -- ) e ( --: -- l'9' 9' ' ~9' 9'

3')

4')

Cada um dos intervalos fechados restantes l0i 1l, l2 ll l2 71 e l8i ll é divididoem três subintervalos também de mesmo comprimento eliminand(»se seus intervalos

,'«'"; ««'-,:; (i; :o, (á; ;), (:; :) : (:; :).Continuando este processo indefinidamente, o conjunto de Cantor C' é o comple-

menta.r da união de todos os intervalos abertos retirados, isto é, C' = 10i ll \ U /«

com /i, /2, - - . , /,:, . . . os intervalos abertos removidos.ln

Antes de apresentarmos algumas propriedades do conjunto de Cantor, vamos usar as

seguintes definições:

Definição 2.5. Um conyunlo A C R é dito de medida nula se, para todo c > 0,

«l;*' «m« /amzlã« '-me,á«/ d' á«f.,«/o. «be,to; {.r: : í c N} f«/ qu.

,4 c U/: . }: lp: «:l «:: .

Definição 2.6. t/m corzjur [o .4 C R é alfa raro se lodo ãnfema]o aberto fera suóinlema.Zo

disj'ul\to de A ou, aqui'ualentemen,te, se o tn,tenor do seu fecho é vazio.

l ll l

30 CoJljunto das Funções -lbrtemente Darboux

Podemos , agora, estabelecer a seguinte proposição:

Proposição 2.7. .Ekáste uma bÜeção entre o conjunto de C'andor O e o íntemalo l0i lj;

além disso, o cova'unto Ci é perfeito, raro e de med'ida anta.

Demonstração : Para demonstiarmos essa proposição, lembramos que um conjunt.o

é perfeito se é fechado e todos os seus pontos sã.o de acumulação, ou seja, um conjunto

perfeito não tem pontos isolados.

Primeiramente, na construção de C', foram removidos intervalos abertos e soment.e

eles; a união desses intervalos é um conjunto aberto; o conjunto O', sendo o complementar

deste conjunto aberto dentro do intervalo fechado l0i 11, é, portanto, fechado.

Denotemos por pontos extremos de um intervalo (fechado, aberto ou semi-aberto)

aos pontos da fronteira deste intervalo. Os pontos !xtremos de cada intervalo abertoeliminado na construção de C ( por exemplo ;, ;, ;, i, etc.) não foram removidosl logo,

eles pertencem ao conjunto C'; já sabemos que C é fechado e, com isso, os pontos de

acumulação dos pontos extremos também estão em C'. Por exemplo, na construção do

conjunto (7 por etapas como descritas anteriormente, partindo-se de i, na segunda etapa

de intervalos abertos removidos, o ponto extremo mais próximo é ã ;: 4 ÕI esse, por

sua vez, na etapa seguinte, tem um ponto extremo mais próximo igual a Jr " 3 9 + 27;continuando indefinidamente este processo, obtemos uma seqüência de pontos extremos

cujo ponto de acumulação é ; ã + ;; -- - . . = ;. Portanto, há pontos de acumulação que

não são pontos extremos dos intervalos removidos. O conjunto de Cantor C' é formado

pelos pontos extiemos de todos os intervalos i-enlovidos e pelos pontos de acumulaçãocomo descritos acima.

Unia caract.erística interessante em relação aos núilleios pert.eiicent.es ao conjunto C'

é que, (quando escritos na base 3, podem ser iepiesentados sem contei o algarismo l

ent.re seus dígitos. Por exemplo, t.odo número escrito.na forma de expansão ternária cujo

primeiro dígit.o t\pós a vírgula é l está. ent.re ; e i(inclusive) e (lue está. cont.ido no

primeiro interva:jo fechado cujo interior foi removido na const.ração cle C'. .Já os núnleios

do intervalo l0; =il collieçam com o dígit.o 0 após a vígula, enquanto (lue, pala o intervalo

li; 11, couleçani com o dígito 2. De\en:tos ressalt.ar que { =(0, 1000.)3 -(0,0222 .)3

2 l ]

2.2 0 CoJrljunto de (Jantar e a -Zibnção de (Jantou

e i=(0,2000' ..)3 -(0, 1222 .. .)3 e, portanto, são números em C' e que podem ser

representados sem conter o dígito 1. Já para o intervalo l0i =il, todos os números entre

: =(0,0100. - .)3 -(0,00222' ' ')3 e Õ -(0, 02000' ' ')3 -(0, 01222 ')a apres'ntam o

segundo dígito, quando escrito na sua. forma de expansão ternária, igual a 1. E, mais uma

vez, foram removidos, exceto seus pontos extremos. Essa observação vale, analogamente,

para todos os demais pontos que possuem uma representação com somente 0 e 2 entreseus dígitos.

Como cada número pertencente ao conjunto C' pode ser representado somente por

dígitos 0 e 2 quando escritos na base 3, podemos dividir cada dígito por 2 obtendo um novo

número formado somente.por 0's e I's. Esse novo número passa sçr, agora, interpretado

nabase 2. Por exemplo, ã -(0,0222' ')3 nos fornece o número 5 =(0,0111-.-)2.

Esta correspondência não é injetora pois, por exemplo, :Í = (0, 2000. . .)3 fornece

também o número l; = (0, 1000 .)2. Isto ocorre para todos os extremos dos interva-

los removidos e somente para eles. Podemos, portanto, concluir que existe uma corres-

pondência biunívoca entre o conjunto de Cantor (.7, exceto por um conjunto enumerável

formado por um dos pontos extremos de cada intervalo removido e o conjunto de todos

os números reais , exceto por um conjunto enumerável formado por um dos números que

possuam duas representações na base 2. Por meio de uma correspondência biunívoca entre

estes dois conjuntos enumeráveis, obtemos uma bijeção entre o conjunto de Cantor e ointervalo jOill.

Pai-a mostrar que C' é um conjunto perfeito basta mostrar que cada um de seus pontos

é de acuntulação. Logo, basta mostrar que.os pontos extremos são de acumulação; De

fato, consideremos, por exemplo, o ponto ?Í; à sua esquerda, há um intervalo l0i ;l de

comprimento 5i deste intervalo, removemos o intervalo (91 9) restando o intervalo l9; 31

adjacente ao ponto :i. O seu con-Lpriniento é, portanto, igual a ã Repetindo este pro-

cedimento, o próximo intervalo adjacente a ; tem comprimento igual a ;;. Podemos

continuai indefinidamente este processos pala qual(luer vizinhança de i, existe um inter-

32 (l;oiljunto das Funções -lbrtemente Darboux

velo fechado de comprimento, ;;, para algum n c N suficientemente grande, adjacente

a ; e que não foi removido até uma certa etapa. Esse intervalo, por sua vez, contém

um ponto extremo diferente de : e que pertence ao conjunto C'. Logo, q é ponto deacumulação. Argumentação similar pode ser feita para qualquer outro ponto extremo.

Disso, concluímos que C' é fechado com todos os seus pontos sendo de acumulação. C'

é perfeito.

Vamos, agora, mostrar que O é raros para qualquer intervalo aberto / contido em l0i ll

de comprimento m > 0, podemos determinar n C N tal que :i; < m após a n-ésima etapa

na construção de C' como descrita anteriormente de modo que / contenha um intervalo

fechado de comprimento ;=; desse intervalo fechado, removido o intervalo central aberto,

concluímos que existe um aberto contido em / e que não contém nenhum ponto de C;como / foi tomado arbitrariamente, temos que C' é raro.

Após.a n-ésima etapa, o comprimento total dos intervalos fechados não removidos é

igual a (;)"; com isso, a medida do conjunto de Cantor O é igual lim (lj)" - 0 Portanto,o conjunto de Cantor C' tem medida nula.

F\unção de Cantor q)

Agora temos todos os requisitos para definir a função ® de Cantor:

Paratodo z=(0,aia2as-..)3cC' com a. =0ou2, n=1,2,' ',seja

a'(«) - o,TTT. .),Pode-se verificar que, para quaisquer zi, z2 C C', zl < z2 temos

d'(zl) = '}(z2) +:::> zi = (0,ala2a3 . a.0222' ')3 e z2 = (0,atadas-..a.200 );

Em out.ras palavras, (1)(zl) = (b(.T2) se, e somente se, ri e z2 são pontos extieinos de

uni mesmo inten,'alo aberto removido.

Por fim, definimos, para todo z C 10; 11 \ C', 'D(z) = '>(zl) = '1'(z2) para o intei"t'alo

abeit.o ienlo'ç'ido (zi;z2) ao qual z pertence, ou seja, 'D é constante no fecho de cadaiiiteivalo t\bert.o removido.

2.3 Função -li'orteinente Darboux 33

Pode-se verificar, então, que ® é não decrescente, contínua com derivada ®' = 0,

V:« C 10; il \ a ( não existe ®'(z), Vz C C').

Para mais informações e propriedades relativas ao conjunto e à função de Cantor ver,por exemplo, l51 e j131.

2.3 Função Fortemente Darboux

Vamos começar esta seção apresentando uma função fortemente Darboux e, a partir

dela, atingirmos o objetivo deste capítulo que é exibir um espaço vetorial de dimensão 2'

em FZ)(R) U {0}. Vamos descrevê-la por etapas:

1) Definimos uma função g : (0; 1) ---, 1R dada por:

,'«,-'.[«(.'«, !:sendo (D a função de Cantora então, para o conjunto de Cantor C, temos

glc' n (o; l)j - R.

2) Para qualquer intervalo aberto / (a; b), definimos o seguinte conjunto

c'/ «):« : :« c c' n (o; i)} c .r

Não é difícil observar que o conjunto (;/, como foi definido, tem medida nula

3) Definimos uma função sobrejetora g/ : C'/

g.(") - g(Í-;=)

4) Finalmellte, deânimos a função / : IR --, R como segue:

a) Para qualquer .z; C Z, ./:(z) = 0. Definimos, agora, a secliiência (U.)..N de con-

junt.os abertos da seguint.e maneira: Ut = R \ Z, ou seja., t/i é a união de todos os

34 (l;oJTÜunto das .libações librtemente Darboux

intervalos abertos da forma (nl n + 1), Vn C Z; para cada um desses intervalos, que

denotamos de maneira geral por /, seja O/ o conjunto de medida nula como descrito

acima.

b) Pata cada z pertencente a cada um desses conjuntos (;/, definimos ./(z) = g/(z)e denoteinos por Z)i o conjunto formado por t.odos esses pontosl como definido,

podemos concluir que Di tem medida nula. Seja Ua C Ui o subconjunto onde a /

ainda não foi definida. Logo, como Ue é um conjunto aberto, podemos escrevê-lo

como união disjunta de intervalos abertos. Para cada um desses intervalos / de U2

seja C/ o conjunto de medida nula como descrito no item 2).

c) Para cada i pertencente a cada um desses conjuntos O/, definimos /(]ç) = g.r(z)

e denotemos por l)2 o conjunto dos pontos z tais que vale essa última igualdades

como definido, podemos concluir que l)2 tem medida nula.

d) Seja U3 C U2 o subconjunto onde a / ainda não foi definida. Para esse subcon-

junto executamos, de maneira análoga, os passos 4b) e 4c) descritos acima. Efetu-

amos o mesmo processo para cada elemento da seqüência (Un)«CN com Un+l C U.,

Vn C N. A função ./ fica, então, definida no conjunto de medida nula U Z)«.

e) Por fim, definimos a ./' igual a zero para todos os demais pontos onde ela ainda

não foi de6nida. (Por exemplo, todos os pontos da forma n + ;, Vn C N). Desta

forma, a função / é identicamente nula exceto num conjunto de medida nula.

n€N

A função / assim definida é fortemente Darbouxl de fato, para qualquer intervalo aberto

J C IR, existe um n C N suficientemente grande tal que U. contém-n um dos intervalos

abertos / descritos acima com / Ç u. n J. Portanto, tomando-se o subconjunto C/ C /

'e:nos /(O/) /(J)

Nosso objetivo, agora., é apresentar o principal resultado desse capít.ulo (lue é 'ç'erifi(ar

(lue a lineabilidade do conjunto /.D(R) é 2'. Pala isso: vaDIos, primeirainent.e, verificar

que podemos obter uni espaço vetorial contido eln /'D(IR) U {0} usando compostas de

funções sobrejet.orai com unia função fortemente Darboux fixada. Para atingirmos esses

objetivos, vamos precisar cle algu]is iesult.aços préviosl o !)rin]eiro deles é un] leda (lue

será usado eni todos os demais resultados dest.e capít:illo.

2.3 .Zibnção Fortemente Darboux 35

Lema 2.8. Sejam C'i, (:'2, - . . , Cm 'm subcozÜunfos não vazios de IR e dástánÍos dois a dois

Então, esçãste Á; € {1,2,..- ,m} taJ que (%\Oí#g, Vã #k.

Demonstração : A demonstração é feita poi indução sobre m:

e Para m = 2, seja C'i # C21 sem perda de generalidade, podemos tomar A = 2 observando

que C2 \ C': # 0.

e Suponhamos válido pala m subconjuntos. Então, sem perda de generalidade, po-

demos assumir A=m le obtermos O.-i\(lã #O, Vã C {1,2,..- ,m--2} ou, deoutra

forma, existem z{ C IR tais que zi C C.:.i \ Cí, Vã C {1, 2, . . . , m -- 2}.

e Vamos provar para m subconjuntos não vazios distintos dois a dois:

Analisemos em relação à a..i . Há duas possibilidades:

1) Se O«-i çl C'., então existe z. C R tal que z. C O..i \ O.. Logo, para essecaso, podemos tomar k :;; m -- l.

2) Se O«-i C C'., então existe z..i C R tal (lue z.-i C (3. \ G. i. Logo, zi CC'. \ (a, Vá € {1, 2, . . . , m -- lj} e podemos tomar k :; ml o lema está demonstrado.

Vamos aplicar este lema para mostrar que existe um espaço vetorial contido no con-

junto formado pela função identicamente nula e por todas as funções sobrejetoras

/ : IRN -----, R.

Proposição 2.9. EzÍste um suóespaço ueforíaJ S confãdo em /(IRn; R) com as seguintes

propüedades:

a) Toda, fuítção não '«tala de S é sobrejetora

b) dias 2c , sen,do c Q, cctrdi-nulidade de :R.

Demonstração : Sejam 0 # r € 1R fixado e um conjunto não vazio C' C R aibittário

Definimos umtt função .f/c : iRn ---, R como:

) - ç',(p) ' ll x.(..))c

lZ

HcÇly, = \ : ll .

36 Coirlljunto das -Zibnções -Flortemente Darboux

sendo p, : R ---, IR dada por g,(g/) = e'y -- e 'v e Xc a função característica de C'

Não é difícil ver que a p, é sobrejetora. Afirmamos que -Hc também é sobrejetora. De

fato, Vs C R, escolhemos a C ]R tal que p,(a) = s e, tomando-se z = (a, b, b, b, . . . ) C IR~

pata algum b C C', temos /lc(z) = s.

Seja .A := {-llc : g # C' C R} um conjunto de funções sobrejetoras como definidas

acimal vamos denotar por S o espaço vetorial gerado por .4, ou seja, S := 1..41 e verificar

que S satisfaz as condições da proposição:

Seja m C N arbitrário; tomemos, então, C'i,C'2, . . - ,(.J. m subconjuntos de IR não

vazios e distintos dois a dois. Sejam ÀI, . . . , À. escolares tais que >1, Àj.Hq = 0 (#) com

.[[/c, C .,'], VJ. Como (]]. # OJ para ã # .j, podemos assumir, sem perda de generalidade,

que, V.j < m, existam z.j C IR tais que zj C C'« \ OJ (lema anterior). Para

Z ZI,Z2,,''' ,]çm-2,Zm l,Z«- l,Zm-l'..) C R~, obtemos:

lJ

}: .XJA3 (") p,(i) ' >:1.xj

m 2

11 xcJ(«:)0 11 xcJ(««-:)l{ =?n, -- l

P,(1) - .x,«

Logo, À. = 0 pois p,(1) # 0. Desta forma, temos de (+) que }: ÀJHci = 0.

Agora, assumindo que Vj < m--l existam 3/j C R tais que yj C (l;.-t\CJ e considerando

y yi,3/2,,'' ' ,ym-3,Z/m-2,Z/m-2, ' ' '), obtemos À«-l

Continuando esse processo, unia vez que é finito, obtemos À,« 2 :: À. 3 =

= Ài = 0. Logo, {-17c:, . . . , ./:/c;.} c Á é linearmente independente.; como esse conjunto

foi tonaado arbitrariamente em .,4, ('oncluímos que .A é lineariiient.e independente. Usando,

seno perda de generalidade, os lnesn'Los conjuntos C'i, C2, - . . , (-;,n, vamos, agora, verificar

(lue Vb c S \ {0} cona h = >1, a.jHcJ' j c \ {0}, h é sobrejetoi'a:

l

lJ

lJ

Dado .s C R arbit.bário, escolhemos a C IR tal que p,(a) = -=-. Então, tomando-seZ'?n

z = (a,zi,.t2,,' ,'r,,- 2,z«. i,:z:«, i,...) c ]R''; coill z.j C C',« \ (]j como apresent.aços

ant erioimente, temos:

2.3 Função Fortemente Darboux 37

m in 7n--2 oo

h(;) - >ll:«jx.;;(') - ç',(«) ' }:l'j ll x.,(«:) ' ll xcJ(',«-:)l - -à ' «. -'.j=1 .j=1 {=1 {-m--l 'm

Desta forma, h é sobrejetora. Resta mostrar que a cardinalidade de Á é 2' para a

conclusão dessa proposição. N/las isso segue diretamente do fato que o conjunto das partes

de IR tem cardinalidade 2' e, portanto, dãmS = 2'

Estamos interessados, agora, em encontrar um espaço vetorial contido no conjunto

formado pe[a função identicamente nu]a e por todas as funções sobrejetoras / : ]R ----» IR.

Para isso, vamos usar a proposição anterior juntamente com o fato de existir uma bijeção

de IRN em R que descreveremos a seguir. Antes de apresentarmos um resultado que nos

garanta essa bijeção, vamos introduzir a seguinte definição:

Definição 2.10. Z)aços does corÜunÉos ..'l e B, dizemos qae .4 e .B possuem a mesma

cardinalidade ou que À é equipotente a .B e {ndácamos por Á = .B se existe üma

função bijetora, entre el.es.

Posto isso, de acordo com o que foi exposto sobre o conjunto de Cantor, podemos

concluir que a cardinalidade do conjunto C' é igual a do intervalo l0i ll cujo valor é c.Logo, C' é um conjunto não enumerávell na verdade, esta conclusão já poderia ter sido

obtida pelo fato de que o conjunto de Cantor é perfeito e não vazio (aplicação do teorema

da categoria de Barre).

O teorema seguinte nos permite dizer que não é necessá.rio exibir uma função bijetora

para mostrar que dois conjuntos sejam equipotentes:

Teorema 2.11. (Cantor-Scllrõder-Bernstein); Dados dois conluri.[os X e y, se X é

e(l\tipotente Q uma, parte de 'r e 'r é eq'ttipotente ü 'Lema parte de X, então X e Y são

e quilo tentes .

1) D l-ri n n c+ r n r ã '\ Ver, por exemplo, jll, pg. 8-9

38 CoJrljunto das Funções -F'ortemente Darboux

Este teorema nos diz que se apresentarmos uma função injetora de X em y e uma outra

injeção de y em X, a equipotência entre estes conjuntos fica configurado. Um importante

exemplo de aplicação deste teorema para- esse trabalho é o seguinte:

Exemplo 2.12. RN = IR

Demonstração : Consideremos a função / : R --, (0, 1) definida por

/(") - Íi-P' v" € in

Z

Como ./ é bijetora, temos ]R = (0, 1). Aârmamos que, RN = (0, 1)N; de fato, tomandc}

se a função © : IRN ---, (0, 1)N dada por

Q'(zl,z2: ) - (/(«:), /(.:), . .),

sendo .f como definida acima, temos que © é bijetora.

Seja a função G : (0, 1) definida por G(z) = (z,0,0, -).

Como deânida, G é injetora. Resta, então, encontrar uma função injetora

F:(0,1)N 1). Para isso, lembremos que(0, 1)N = {(z«)«2o : z« C(0, 1),Vn C No}.

Consideremos z« = 0, zilzT . - . zE ' ' ' , a expa-nsão binária cola {k : zt = 1} sendo um

conjunto infinito.

Vamos definir a função h : N - No por /z(m) = (n, k), com m = 2' ' (2k + l).

Certamente, h é bijetora; finalment.e podemos definir a função F' como F(z) = z,

sendo :« =(z«)«?0 e ' = 0,z:;:;3 ''':m '' ' com :« = zÍI e('n,k) = h(m)

Para verificarmos que F é injetora, tomemos :r = (:z;.)., 3/ = (Z/«)« C (0, 1)N, z # y; com

isso, exist.e rz C N t.al que z. # 3/« sendo z« = 0, zêlzT - - .zÍI ' ' . e y. = 0,#onlyf ' ' -yíl

alas isso implica que existe k C N tal elite zÍI # #il; como F(z) = z = 0, zlz-2z'3 ' ' ' z,«

f'(g) 0,2-227a'''2,"..., te:nosq«e:«E #?«, (z)#F(y).

Logo, F é injetora.

e

O corolário seguinte é unia conseqiiên('ia cliieta deste exemplo e da proposição anteiiot

2.3 -1ibnção Fora;emente Darboux 39

Corolário 2.13. Ezãs e um suZ)espaço velada/ V corztãdo em /(IR; IR) com as seguintes

T) ropüedndes :

ü) Toda j'ün,ção não bula. de V é sobre:jetora

b) dámV = 2'

Demonstração : Sabemos que existe uma função bijetora A : R ---+ RN. Logo,

podemos tomar a função -H : R --e--* RN -!!S R que é sobrejetora uma vez que .fl = .#c o h

(composta de sobrejetoras). Para o conjunto .4 definido na proposição anterior, sejam.B := {.Ho o h : R --, R /7a C .4} e y := 1-al. Agora, para provar que .B é linearmente

independente e que gera um espaço de funções sobrejetoras, usamos o mesmo raciocínio

da proposição 2.9. Basta, então, verificar que a cardinalidade de .B é 2'l isso pode ser

comprovado pela bijeção @ : .A --., .B definida por @(JI/c) = -Hcoh. Portanto, dámy = 2'

Agora, de modo simples, compondo cada função do espaço vetorial y com uma função

fortemente Darboux (como, por exemplo, a que foi apresentada no início dessa seção),

finalmente podemos demonstrar o resultado principal deste capítulo:

Teorema 2.14. 4 /íneaó{/idade do conjunto /l)(R) é 2'

Demonstração : Tomemos uma função / c /.D(IR) arbitrária porém, fixada; seja

Z) := {.ll o ./: : .H C .B} sendo B o conjunto definido no corolário anterior. Afirmamos que

o espaço vetorial W gerado por 1) é un] subconjLmto de /'2)(1R) U {0} com dimensão 2':

Tomemos uma função não nula g = >. q(HJ o /) com HJ c B e DJ c R, VJ. Sejam

s C IR e / C R uin int.ervalo aberto arbiti-á.rios. Precisamos encontrar Z C / tal queg(/) Então:

n

lJ

g = }: 4(X, ' ./') = (}: 01 H.) ' /.j=i .j=i

Chamando de G = }, .4,r&, t.emos (lue G C y\l0} e g = Go.f. Como G é sobrejetora,

existe íZ C R tal que G(d) = s. Agora podemos encontrar J € / tal que ./(/) = (/ (isto é

lJ

40 CoiÜunto das -libações llortemente Darboux

possível pois a / é fortemente Darboux). Logo

g(z) (c; . .f)(/) G(/(Z))

Agora estamos em condições de mostrar que a lineabilidade de /Z)(IR) é 2', ou seja,

q«. .xl.rp(IK) 1 - 2':

Sabemos da teoria dos conjuntos que a cardinalidade do conjunto de todas as funções

g : ]R -----, R é 2'. Logo, a cardinalidade de /D(IR) deve ser, no máximo, igual a 2'. Por

outro lado, existe uma bijeção é : B --- D dada por @(-H) = H o .f comprovando que

dãmW = 2'. A demonstração está concluída.

CAPÍVUI.0 3

Conjunto das Raízes de Polinâmios]Slomogêneos Reais

Vimos, nos capít.ulos anteriores, que os conjuntos formados pela função identicamente

nula e pelas funções patológicas (funções fortemente Darboux e funções diferenciáveis e não

monótonas em nenhum intervalo) contêm espaços vetoriais de dimensão infinita, ou seja,

são conjuntos lineáveis. Agora, vamos estudar a existência de espaços vetoriais contidos

nos conjuntos dos zeros de polinõmios. Os autores do texto científico l41 também adotam o

termo n-lineável para os conjuntos das raízes dos polinõmios homogêneos quando contêm

espaços vetoriais de dimensão igual a n e denotam por lineável quando os espaços vetoriais

têm dimensão infinita. Citamos aqui os trabalhos l21 e l31 e suas referências que abordam

este tema. A última seção desse capítulo está voltada para os polinõmios 2-homogêneos P

definidos em espaços de Banach reais de dimensão infinitas para tais funções os conjuntos

P 1(0) são lineáveis dependendo do tipo de espaço de Banach considerado.

Para apresentarmos exemplos destes conjunt.os, necessitamos, primeiramente, de algu-

mas definições e resultados prévios sobre polinõmios homogêlieos e aplicações multilineares

(para mais informações sobre esse assunto ver, por exemplo, j191 e 1201).

41

42 (conjunto das Raizes de Polínõmios Homogéneos R.Cais

3.1 Aplicações Multilineares

O objetivo desta seção é estudar as aplicações mult.ilineaies, uma vez que elas estão

intrinsicatnente ligadas aos polinõmiosl aqui, é apresent.ada uma caracterização de conti-

nuidade das aplicações multilineares pois todos os polui-tõmios tratados neste capítulo serão

assumidos, quando necessário, contínuos. Os resultados estudados nesta. seção podem ser

encontrados, por exemplo, em j191 e em 1201

Definição 3.1. Sejam d C N e -Ei, . - . , Ea, f' R-espaços uetohaãs. [/ma apZàcação

,'l : Ei x . . . x EÚ --..> F é dita uma aplicação d-linear se as aplicações

z{ ----., .4(zl,.-. ,z:, '. ,zó) /terem Zàneares de .E, em F, Vá = 1,2,''' ,d

Mantos denotar o ]R-espaço uetohaZ de todas as apZàcações d-Zãneares de Ei x . x Ea

em F por L.QEt,- ,Ea,F). Quando E - E\ -- E.z -- ... -- Ea, den,otamos stm-

p'e.m.«te p« Z,. ('E;/') ., g-«do f' - R, p« L. ('E). Po, «-e«ção, e««-«.o; -L.('-E;/') sed e«fã. L..(:.E;.F) (.E;F').

Sejam -Ei, E2, . . . , Eó espaços normados sobre IR cujas normas denotamos por l llz.,{ = 1, 2, . . - , d, respectivamente. Assim, o produto cartesiano Ei x . . . x EÓ também é um

espaço normado quando munido de qualquer umas das seguintes normas:

max llzillE:l<Í<m

lzll. -(llz-llpE.+-..+llz.llpZ.)i,(i $P<'"),

com z = (zi, . . . , zó) c Ei x . . . x EÚ. Estas normas são equivalentes e cada uma delas

induz a topologia produto em Ei x . . . x .Ea. rFrabalharemos com a norma. ll . 11« que, por

simplificação, será denotado por . 11. Quando for necessário o uso de outra norma, ela.

será escrita na filma (lue foi apresentada acima.

1«

O próximo teoretna nos apresent.a algumas equivalências sobre a continuidade de uma

aplicação inultilineai:

Teorema 3.2. Sqa d C IV. Se .EI,.E2,...,.Eh e F sâo espaços n07'medos sobre IR eA : E\ x . . . x Ed -----, F tina aplicação mttttitinear, elttão são erluiuatentes:

a,) .4 é corzfírzlza

3.IZ Aplicações Multa.lineares 43

b) ,4 é contígua na origem;

c) .Ezãs*e «'"'« constante À/ > 0 [aJ que ll.'](z:,...,zd) $ À/llz: ---llza p«a

qualquer (zi, . - - , za) C Ei x . . . x -Ea.

T)Pmnn qt rn r ãn a) :» b) Evidente

b) :> c) Para qualquer z = (zi, . . . , za) C -Ei x . . . x EÓ, se zi - 0, então

,4(0,z2,. . .,za) = 4(0 + 0,z2,... ,za):::> .A(0,z2,.. .,zó) = 0. De modo análogo, temos

que, se zi = 0, para algum á = 2, . . . , d, então .A(zl, . . . , z:, . . . , za) = 0 e o resultado fica

satisfeito VM € R.

Suponhamos, agora, que, para z -(zi,.. . , za) c .8t x. ..x .EÚ, zi # 0, Vã = 1,2, .. ., dl

por hipótese, dado c > 0, existe d > 0 tal que Vz = (zi,...,zó) C -Ei x ... x Eó,

zll $ .5 -:+ l.4(aç) l 5; c. Desta forma, Vz = (zi,z2, . . . , gça) C .Ei x . . . x Ea, tomando-se

g/ C .Et x .. x -Eatalquey;: (k.(5.ri! ,...,k.õ.-íi--'l paraalgum escalar k comk ' ' llz-ll'' '' ' ' l«.

0 < lkl $ 1, temos que

IZ/ll - it . õ $ õ. Co-n isso, ll.4(Z/)ll $ ' -+' 11..'l(';:,... ,z.)ll $ TÊF;-ãi ' lla:ll . . . ll«all.

Tomando-se ]M = Íi;Í;i:--lji, obtemos a desigualdade proposta em c).

c)::> a) Sejamr.BE.x..xE. abolaabertade Ei x . . x Eaderaior > 0ea=(al,. .,ad) C r.BE.*--*E.. Então, Vz(zl,...,zd) C rBr.* .*E,, temos que

zÍll $ 1zl <r e, como l aí l 5; llall <r, á= 1,...,d, segue:

,'!(«)

.A(«) -

,4(«) .4(zl -- ai,r2,

+ . - . + ,4(al ,

,4(zl -- ai,z2

+ . . . + ll.4(a:,

.\ /ll:« -

+

, «.) + .4(«: , ;«, - ":, .

"~ -, :'. -- «d) -:+

-.)ll + l .4(«-, z2 - "'

, "a-:, zu «a)ll 5;

. . . llz.ll + wll«- l - ll:

1«. :11 . 11z. «-ll 5;

«.)

,4(a)l 5; «.)ll

< ri«, «,ll...l «.+ a.rll«- l

44 Conjunto das Raízes de Polinâmios Homogêneos Reais

$ JM.,' '(11:«:-«:11+...+11«.-«.11)$

5; m' . ,'': . ll:« - «ll:.

Como z foi tomado arbitrariamente eln r-BE.x...xE., t.emos que .4 é uniformemente

contínua em r.Br:*...*E., Vr > 0. Logo, Á é contínua.

Observação: O teorema anterior mostrou que toda aplicação d-linear é uniforme-

mente contínua sobre conjuntos limitadosl no entanto, exceto para o caso linear, nenhuma

aplicação d-linear .4 não nula é uniformemente contínua, ou seja, deve ocorrer:

Para .5 > 0, existe c > 0 tal que, para z - (zi,...,zd) C .Ei x . ...Ea com llzll < .5,

tenhamos ll-.4(z)ll ? c

De fato, seja .4 uma aplicação d-linear não nula, d ? 2. Então existe (zi, z2, . . . , za)

tal que ll.4(zi, z2, . . . , zÚ)ll > r > 0. Cada zi é, então, não nulo. Se c = r, para qualquer

õ > O, podemos escolher À C R tal que 0 < IÀI < n-==-n, ou seja, llÀzill < õ. Com isso,

, za)ll IÀzi < õ.l

Mas

1..'!(«: +À.:,x'...,«.) .'i(«:,T,...,«aii l.4(.X:«:, 9, . . . , za) l/\

..'!(:.:, :«:, . . . , z.)lj > ,

Logo, .A não é Lmiformemente cont.ínua.

E claro que se uma aplicação n:tultilinear é cont.ínua, então ela é contínua ein cada

variável sepaiadanlentel porém, a recíproca nem sempre é verdadeira. como mostra o

seguinte exelllplo:

Exemplo 3.3. Sela .E = Cz,.(l0; il), o espaço uetoHa./ das /]]r].iões coníz'nuas de l0; 11

.«. R mw«ãdo 'í" "om.-. ll:«ll - / :«(t)lat. .A «plãc«ção B € Z,.('E) de$«id« p«

nl.=, u) = 1 =(t)ul.t)a.t é sepaTadame7tte coTtt,íTI'tta, Tala.s ttão é corta-ívtüa.

0l

0

rl

3.] Aplicações -Z\fultilineares 45

Vamos ver primeiro que -B é separadamente contínua. Para cada z de -E fixo, temos

-B(z,3/) $ / 1«(t)l .IZ/(t)lata / l«ll.IZ/(t)lat- llzll. / IZ/(t)lat- ll«ll.llZ/ ,

ou seja, é cont.ínua na segunda variável. Da mesma forma mostramos que .B é contínua na

primeira variável. Assim, B é contínua separadamente. Para ver que -B não é contínua,

consideremos a sequência

l ll

0 0 0

0

lse 0 < t <

n2l<t < lse

n2

Vemos, então, que<'

1««1 :(« o''-iPortanto, (z., z.) --, 0. Mas

/que nao converge para zero.

'Ç««.«nà-l Q« «;o''* -;,

Porém, se cada espaço -Ei definido no teorema 3.2 é de Banach, temos, então, uma

caracterização da continuidade de uma aplicação multilinear com relação a continuidadeem cada uma de suas variáveis:

Teorema 3.4. Sejam .i:i, .E2, . . . , -Eó espaços de l?anão/z e .l? tlm espaço zzoz'made

Então, .4 C l,.(.Et, . . . , EÚ; .F) é contMua se, e somente se, é co thüa em cada uarááue/.

T) n m n n ç= 1- r n rãn'y" Ver, por exemplo, em j191, pg. 12 a 14

(boro\ária 3.5. Uma multa.linear (1l e está de.finada em llm produto de espaços de dome?tsão

./i7zãfa é sempre comi'n?lrz.

46 Conjunto das Raízes de Polinõmios IHomogêneos Reais

Demonstração : Basta observar que, nesse caso, cada espaço é de Banach e toda

linear definida em espaço de dimensão finita é contínua.

Na seção seguinte, vamos trabalhar com polinâmios homogêneos definidos ein espaços

de dimensão finita (Ei = IR",Vã, m C N) enquanto que polinâmios 2-homogêneos defini-

dos em espaços de Banach de dimensão infinita serão tratados na seção 3.41 para esses

casos, vamos assumir que os polinõmios sejam cont.ínuos. Portanto, estaremos sempre

trabalhando com aplicações multilineares contínuas.

Denotamos por Z' (.EI, - . . , .E.i; .F) o subespaço das transformações multilineares

contínuas de .L. (-EI, . . . , .E.zl f'). Da mesma forma, quando E = .Ei = - - . = EÓ, escreve-

mos -L ('-E; F') e, quando F = R, denotamos L (.EI, . - . , Ed; /') por -L (.EI, . . - , Ed). Para

'Z """emos É(.E; F).

Como estamos interessados em polinâmios, restringimo-nos ao caso E :: .Ei =

Ed. Como base para esse estudo, usamos aplicações multilineaies simétricas cuja deânição

é a seguinte:

Definição 3.6. Soam E e F' IR-espaços uefohais. Uma apZícação d-Zãnear

,'l: .E' --,.F édÍI«simétrica seVz:,. ,zó € E, ..'l(z:,... ,za)(z.,W,qa ç. Sa sen,do Sa o gT"upo de per'mutações de d el.e'mentes.

,z.@),

Denotamos por I'.. (d-E; F) o espaço das transformações d-lineares simétricas de Ea

em r'. Para .E e F normados, denotamos por L. (dE; F) o espaço das aplicações d-linearessimétricas cont.ínuas de Eu ein F

Com o objetivo de simplificar a notação, para qualquer aplicação multilinear

,4 C L.('-E; F), \amos usar a seguinte convenção:

Definição 3.7. Soam E e F' espaços z;eforãriis sobre IR. Sdanz À C l,.('.E; F) ekc N,k5;d. Vzi,...:zX; € E eV7zi,. ,ilx:C N corrzn,i+. +lz.x; =d, de»n.amos

n i'i;e:es /l2t;e;e.s

,4K='"'=: Ç;''''a,.4

rikuezes

ç=:''"=i') « .zz lse d=0

3.2 Po.línõmios liomogêneos 47

Com essa not.ação, podemos entmciar o teorema que nos mostra que uma aplicação

multilinear simétrica depende apenas de seus valores na diagonal do espaço .Edl ela será

útil no estudo dos polirlâmios.

Teorema 3.8. (Fórmula de Polarização); Sejam E e F IR-espaços uetohaãs e

.4 C -L.. ('-E; -F). .E«tâ., '":, . . ,«. € E, ''m«.

À(zl, ,«.) ÀE«ci = j: l

.. . ,'l(.:.: +

Dem.onstração : ver, por exemplo, em j191, pg. 20 e 21.

A partir das transformações multilineares definimos polinõmios homogêneos

3.2 Polinõmios ]lomogêneos

O objetivo dest.a seção é apresentar um teorema referente a uma caracterização de

continuidade dos polinõmios homogêneos definidos em espaços de Banach .EI tal caracte-

rização será usada na seção 3.4 enquanto que, na seção 3.3, estaremos trabalhando com

polinõmios definidos em E ;= R"

Definições 3.9. Sejam E e F' R-espaços uetoMaàs

a,) Dizemos que uma função P . E é um T)o\inõm'lo homogéneo de grau d (ou

um, po\titânio d-homogéneo ) se existe uma, aplicação d-\ineür A l Ed ---, F ta\ que

PÇI) -- Alü para todo l ç: E. Dizemos qlte P é o po\inâTi\io d-homogéneo associa,do

a .'\ ou que A é um.a trens.f07maçãa d-Linear associada a P

b) Dizemos que Kmü Junção P . E -----, F é um po\àkõmto de grau d se P pode sel

íepleseTttado como

P = Eo+ Pt+...+ Pa

sen,do Pj € P. Ç] E\ F) para cada j 0. 1 d, cor7} Pa # 0

48 Conjunto das Raízes de Polinõmios Homogêneos Reais

Denotainos por Pa (dE; /') o espaço vetorial de todos os polinâmios d-homogêneos de

.E em F. Quando f' = R, escrevemos apenas Pa ('-E). Para d = 0, P(z) = .Az' = ..4 C r'

sendo uma função constante.

Com o próximo teorema, vamos restringir as multilineares associadas a um polinõmiohomogêneo:

Teorema 3.10. Sda«. E e F R-espaços uetoàaãs e d € N. Se P € Pa ('-E;F'), então

ezãste uma única aplicação d-linear sã'méthca .,'!. € .h. (d-E; .F) taJ que

P(r) z' P«« todo z C .E.

Demonstração : Basta tomarmos a aplicação d-linear simétrica ,4. definida por:

,za) - 1 >, À('ç.m,.A,(zl, ,z.@)

Desta coima, temos .4.(z') = P(z) e fica, assim, mostrada a sua existência. Sejam,

agora, .Ai e .A2 duas aplicações d-lineares simétricas associadas a P; então, pela fórmula de

polarização, é imediato que Ài(zi, . . . , za) = .42(zl, . . . , za), V(zl, . . . , za) C Ei x . . . x Eó

Isto mostra a unicidade da aplicação simétrica associada a P

Com isso, podemos estabelecer uma importante relação entre os espaços -L«(aEI F) e

Pa(d.E; f') como mostra. a seguinte proposição:

Proposição 3.11. .4 /unção .4 n P é um {somor$smo de espaços uefohaàs entre

Z..;('.B; F') e Pa('E; r'), P«',« cada d C N.

Demonstração : A bijeção é collse(liiência imediata do t.eolema anterior. Palainostiar blue a função é linear, tomemos ,4i: .A2 € Z,..(aE; f'), a C R e .r C E. Tomando-se

os polinõinios Pi, P2 € Pa(dEI F') associados a .Ai e À2, respectivamente, temos:

(aP-+&)(z) -+.42)z' -z'+,'!,.,'(.«)+P2(.r)

3.2 PoJínõmios liomogêneos 49

O seguinte teorema. fornece critérios para a continuidade de um polinõmio d-homogêneo

Teorema 3.12. Soam E e F espaços nozwzados sobre R. Soam d C N, P C Pa('-E; F) e

A C L.;qdE.. F) ctssociüda Q P. Ente,o, as seg'ui'ates afirmações são equivalentes:

a) ..'! C -L,('.E; F'),

b) P C P(dE\ F);

c) P é contín'uo 'n,ü origem;

© E«ãs*' «'m« ««.t-t.M>0, t Zqu l P(z) $M l«I'p««q-Zq««zcE

Demonstração : Para d = 0, as eqiüvalências são triviais uma vez que o polinõmio

P é constante. Suponhamos d 2. 1:

a) :+ b) Evidente.

b) ::> c) Evidente

c) ::> d) Por hipótese, dado c > 0, existe (5 > 0 tal que, Vz c -E com l zll $ õ,

P(z)ll 5; c Para qualquer z C .E não nulo, tomando-se Z/ = k . ã. TÍil;lt para algum escalark com 0 < kl 5; 1, temos que llZ/ll :; tl . (5 5; (i. Desta forma,

IP(z/)ll $ ' -::> 11.4 l.t . õ - iÍ:n',l ll $ . -:> 11.'i(';')ll 5; naS-@ . ll«ll' llzll' -:>

:::+ llP(z)ll 5; i\./ - llzll': Vz C E não n«lo.

Como P(0) = 0, obtemos a desigualdade proposta em d).

d) ::> a) Sejam zl, . . . , za c E não nulos arbitrários. Dado (i > 0, seja

«- (Õ..!L' l.-:E : õ . ÍÍ=h) c .E'. Por hipót"', sej- ]v > 0 t-i q«e llP(«)ll $ i\J . l :,ll',

dual(suei T C .Él; e, usando a fórmula de polarização, obt.enlos

50 Conjunto das Raízes de Polinõmios Homogêneos Reais

l.A (3/)l l <cí =j: l

l<i<d

,bEn'ci = :t: l

\ d

.. «(.:.,Ú*..'...'Ú)

.':';Ü* .-*' .'Ú) '

<ci = :1: 1 i'- ' 'Eh -'- + .. . õi:h)il' $

: ;b E «ci =J: l

.':''Ü * +ii õi:hii

d

;hx« õa.da À:'."' õ dad!

-:;, .i' . üÍlllirlÍi3p $ ]1:;.:-e -:; ll.'i(":, . . . , «.)li $ azia ll«:il . . . ll«.l

Como essa desigualdade vale também se zi:: 0 para. algum í = 1, . . . , d, pelo teorema

3.2, a aplicação simétrica Á é contínua.

O teorema ant.erior inost.rou que, en] qualquer conjunto limitado, um polinõmio lio-

mogêneo é contínuo se, e somente se, é limitado.

A proposição seguinte mostra que os polinõniios cont.ínuos são uniformemente contínuos

em conjuntos limitados:

Proposição 3.13. Soam E, f' espaços n07"ma.dos sobre IR e P C P(a.EI F). Erzfão P é

IL-nifoime'meTI.te cotttíll li.o sobre os \imitados.

3.3 PoJinõmios Homogéneos DeHnidos em R" 51

Demonstração : Seja .4 uma aplicação d-linear associada a P. Para qualquer r > 0,

seja rBZ a bola aberta de -E de raio r. Tomando-se z C r-BE arbitrariamente, temos que

lz 1 < r e como .A é contínua, pelo teorema 3.2, existe uma constante À4 > 0 tal que

P(z)ll = 1.A(z')l $ À/ llzll' $ .a'r . r'-: . ll:z;ll. Chamando de -A4i = &/ . r'-:, temos

P(z)ll 5; À/i ' llz e, com isso, P é uniformemente contínuo ein r.BE, Vr > 0. Como

cada subconjLtnto limitado de .E está contido em rBE pa-ra algum r > 0, temos que P éuniformemente contínuo em cada limitado de .E.

As aplicações multilineares com que vamos trabalhar são contínuasl desta forma, po

demos concluir que os polinõmios associados a elas também o são.

Denotamos por P ('E; F) o subespaço vetorial de Pa ('.D; F') formado pelos po-

linõmios d-homogêneos contínuos de -E em F. Quando -F = R, usamos a notação P ('.E)

3.3 [E)o]inâmios Homogêneos ])efinidos em ]R"

Nesta seção, estamos interessados em estudar os conjuntos das raízes de polinõmios

reais homogêneos quanto ao fato deles conterem espaços vetoiiais, ou seja, serem lineáveisl

vamos, aqui, considerar E = IR". Lembramos que, pa-ra qualquer funcional linear definido

em IR", o núcleo é um hiperplano de R". Então, para qualquer funcional / c (R"y,

temos que / :(0) é (m -- l)-lineável.

Pala os polinõmios 2-homogêneos, usamos algumas definições e resultados da álgebra

linear relacionados às aplicações bilineares.

Definição 3.14. Sejam E am IR-espaço uetoràaJ de dãmerzsão rz ? l e

B = {ei: e2, . - . : e.} {zma base de E. Par'a cada Á C L (2.E), de$ziimos a matriz de .'l enl

re/anão ã Z,ase ordenada B como l.4lB = (.A(eí, e.j)):.j perterzce7zle à il/«(R), o espaço dasntalüzes rz x rz sopre R.

Enl pait.icular: existe uni isomoifismo entre Z, ('.E) e iA/.(R). De fato, basta definiiinos

a traí:formação T : Z, ('E) --, .A/«(R) por T(.4) = lAIa.

52 Conjunto das Raízes de Polinõmios Homogêneos Reais

O próximo resultado relaciona aplicações bilineares simétricas e matrizes diagonais

Teorema 3.15. Seja E um IR-espaço uetoNa/ de dimensão n ?. 1. Se,4 C Ls (2.E), erztão existe u'ma base .B de E faZ que IÀIB é ama malha dãagona/

T)nmnnc+ rnpãn'y" Ver, por exemplo, j101, pg. 229

Podemos, então, determinar a dimensão de um espaço vetorial formado pelas raízes

dos polinõmios reais 2-homogêneos definidos em R" sabendo-se apenas as quantidades de

auto-valores da matriz simétrica ..'! associada a P:

Proposição 3.16. Sda P C P ('R"). Então p':(0) é r-Jineáue/ com

r -: min {p, nl+z sendo p, n e z as quantidades de auto-ua/ares, respectivamente posiÉÍuos,

rtegatiuos e matos da matiz simétrica associada a P

Demonstração : Seja IÁ.l c M.(R) a matriz simétrica associada a P. Então, l.4.l

é diagonalizávell seja B = {ei, e2, ' ' ' , e«} a base ordenada de R" tal que a matriz l.4.IB

é diagonal com (Àj)j:::i os seus aut(Fvalores colocados da seguinte maneira:

a) Os auto-valores positivos (Àj);-i são os elementos ajj = Àj da matriz IÁ.IB(p auto-valores positivos).

b) Os auto-valores negat.avos (--Àj);=pn+:, Àj > 0, .j = P + l,P + 2,

elementos ajj = Àj da n-matriz l.A.IB (n aut(Fvalores negativos).

, P + n, são os

c) Os auto-valores nulos são os eleinent.os ajj para .j - p + n. + 1, p + rz + 2,

(z auto-valores :«tios).

/n.

Co:«o P(:«) A.(«, z), Vz C R'", te:-s

'h) -".p,,o- l

vj - 1, 2, . - - ,pVJ = P + 1, . . - , p+n.

V.j = P + r} + l, - . . ,n].

3.3 Po/in(imios Homogéneos DeHnidos em IR" 53

Suponhca.mos que p 5; n (para p ? n, a demonstração é análoga). Então,

para .j - l, . . . ,p, segue:

'.--. l - .A. l '. -- ep+j, ej +

ej) + .A. e,+j l + .4,ej ep+j, ej l +

*«,(«h

-*,*.*.* (Ú)'' *..Com isso, t.odos os vetores da forma l ej +

j - 1, 2, - . . ,p.

Além desses vetores, eí C p''(0), Vã = p+n+l,gerado pelo conjunto

ontido em P 1(0) e tem dimensão igual a r =

l x. l x,N -51--ep+t. ez 'F N -5;--ep+z, ' ' , ep

está c

C P :(0), para todo

, m. Desta forma, o espaço vetorial

+ eme2P) eP+n+l

p + z. Portanto, P :(0) é r-lineável

No que segue, vamos exibir exemplos de 'ç'dores de r dado na proposição 3.16

Exemplos 3.17. Pa.ra todos os ezenzpZos, vamos corzsãderar q e P € P(2R"') e

« . . - ,z,,.) C R'" «',.bit«áüo.

1) Seja P(z) = 'X' =2]. Então, a aplicação bilinear simétrica tem como niatTiz diago-

n.al a ptópTia lr atTiz l.densidade de ordem m. Cone isso, p - m e n. = z :; 0. Logo0l

54 Conjunto das Raízes de Polinâmios Homogêneos Reais

P9 Sda P(:«) 1)jzj. P«d.md. «.J'g.mente « gue /o{.Bato n« 'í'm-s-

[ração da proposição 3.-Z6, concZuãhos qwe r = 11 l sendo lal o maior ãnteãro,

menor ou ãgaa/ a a, Va C IR.

lJ

3) Sda, Vm ? 3, P(z) = z? + 2z2z3. .Então, V3/ = (g/i,3/2, ' ' , g/.) C R", a ap/ãcação

bãZ cear sàméthca associada a P é dada por .4,(]ç, g/) = ziyi+z2g/3+za3/2; da de$n ção

3./.g, considerando-se a base canónica de R", temos;

l o oo o lo l o

0

0

0Á,]...

o o o ... o'm. x 7n.

Z/ogo, t07rz(zzzdo-se u'reza b(zse -B = {UI , U21 ' ' ' t Um} /07'm(z(í(z por auto-velares, a 7izal7'zz

diagonal é:

l o oo l o

o o l

0

0

01..4,l«

o o o ... o7n,X7n

Nestecaso, p=2,n::lez= m 3 ::::> r=1+m--3 -::> r=m 2.

Po(demos ueT, comi ôsso, gue o conlu7ZtO {2/l + U3)U4lU5, ' ' ' ,Uin} gera um esp(zço

uetohaZ de dimensão m -- 2 contido eni P':(0). Portanto, P '(0) é (m -- 2)-

liTteáuel.. Para ueü$cação, basta. calcular P Tios el.emet\tos deste co liu to gerado-r:

P(«- + «3 ) .'{, («: + «,, «: + «;) .4.(u:, u.)+.A.(«-, «;)+.'l.(«;, u:) +,4.(-,, u;) -:>

-::> P(«- + «;) + o + o - l - o

,4/ém disso, P(ui) = ..'!,(uí, ui) = 0, Vi = 4, 5, - - . , m

3.3 Polinõmios liomogêneos Definidos em R" 55

Pala polinõmios d-homogêneos com d ímpar ?. 3, vamos usar o conceito de polinõmios

simétricos, a saber:

Definição 3.18. Sda P C P(alR"); dizemos que P é um polinõmio d-homogêneo

simétrico « P(z:, . . . , z«) - P (z«U, ' ' , :««(«)) p«« t.d" p'«n«[.ção «- de S«

Observamos que o polinâmio 2-homogêneo definido no exemplo 3.17 item 1) ésimétrico.

Como a saIBa, a diferença e o produto de dois polinõmios homogêneos simétricos (não

necessariamente de mesmo grau) deÊnidos em R" apresentam a propriedade de serem

invariant.es com relação a qualquer permutação de S., podemos, naturalmente, estender

o conceito de simetria para polinâmios como mostra a seguinte definição:

Definição 3.19. Sega P : IR" -----} IR um poZãnómio de grau d; dizemos que P é wm

poHnõmio simétrico se P(zl, ' . ' , z.) = P (Z«W, - ' ' , Z«(m)) para toda per'mutação «-

de Sm

Apesar da semelhança de nomenclatura, não se estabelece uma relação aparente entre

as aplicações multilineares simétricas e os polinõmios simétricos uma vez que o conceito

de simetria ligado a estes dois entes matemáticos é de natureza distinta um do outro.

Uma propriedade relativa aos polinâmios simétricos é que podemos substituir suas

variáveis originais por outras variáveis convenientesl nesse sentido, introduzimos, agora,

cert.os tipos de funções que são utilizadas para reescrever um polinõmio simétrico:

Definição 3.20. Pa.ra z = (zi, z.) C R'", soam

.'-(z) - z: + «: + . . . + ",.In -- l 171

«,(«) - >: >1: «'".í=i.j=í+t

«,. (.'-) - «:«, . ' ' ",.

Estas .funções ai,i :; l,' ' , lrl, que também são exemplos de patina-mãos homogêTleos

.sim.éfrícos, frio c/tarrzn.da.s de funções simétricas elementar'es.

56 Conjunto das Raízes de Polinõmios Homogêneos Reais

O teorema seguinte nos garante que é sempre possível substituir as variáveis de um po-

linõmio simétrico pelas variáveis ai's; antes de passarmos diretamente à sua demonstiaçã.o,

apresentamos o seguinte fato:

Seja / : R ---} R um polinâmio com raízes zi, z2,

por

z. e definido na.variável z, dada

/(;) -:«-).(z z,).-.(;-z«) z" :+ +(-1)"a.

C0111 :rl)al'2) , z. C ]RI se tomarmos z. 0 e, em seguida, dividirmos por z, obtemos

(; «:) (, «,) (, «.-:) z"-: - (a:).,"'' + + (-1)"':(a.-:).

sendo (a{). a expressão de ai para Zm - 0. Logo, cada (ai). é uma função simétrica

elementar expressa nas primeiras (m -- 1) variáveis.

Segue o teorema citado:

Teorema 3.21. (Teorema Fundamental das Funções Elementares): Todo

po/ãnómão sáméthco P : ]R'" --+ IR de grau d pode ser escNlo como

P(:«:, - . . , z.) ,..)

com ai , { = L,2:- . - ,m sendo as junções simétricas elementares e Q um potãnõm'io de

grau d, V(m, d) C N x No.

Demonstração : Para a prova do teorema, vamos usar indução sobre m:

e Pai'a m = 1, o teorema é verdadeiro pois, sendo oi = zi, todo polinõmio P(z) é

simétrico e P(zl) = P(oi).

e Asstunimos que o t.eoreina seja válido para polinõinios definidos ein at.é (rr} -- l)

variáveis (m > 1)

e Vamos provar ])ara 7}} vai'iáx.'eisl para tal, vamos usar indução sobre (/:

e Pai'a (Z :: 0, o polinõnüo P é constante enl rn variáveis e o resultado é ti'ivial

e Suponhamos válido pai'a t.odor os polinõniios de grau < (/ enl rn vai'iáveisl lesta

nlost.iar que vale i)ara polinõniios de grau d eiii m variáveis.

3.3 Po.linõmíos -ZTomogêneos Definidos em IR'" 57

e Seja dado P : ]R" - polinõmio simétrico de grau dl tomando-se

z. = 0, temos P(zl,z2, ,aç«-i,0) = R((oi).,(a2).,-.. ,(a« i).) para algum po-

linõmio simétrico R pois, neste caso, R tem grau $ d em (m 1) variáveis, sendo

(oi)o, ã = 1, . . , (in 1) as funções simétricas elementares em (m 1) variáveis. Portanto,

considerando-se o mesmo polinõmio -R mas, agora, definido nas variáveis o-l , a2, ' ' ' , O'm l,

o polinõmio R (ai, o-2, , o. ,) também tem grau 5; d.

Seja, agora, S : ]R'" polinõillio definido por:

S(zl,z2: "m-:, '':m) - P(:«:, Z:, , ",«-:, :«,.) - -R (a:, a,, ,a.-i)

Com isso, Sésimétricolcomo P temgrau d e R temgrau$d nasvariáveis

oi, o2, , o«.-i e, portanto, grau $ d nas variáveis zi, z2, ' ' , z..i, temos que S tem

grau $ d. Além disso, para Zm - 0, S(ZI,Z2, ' ' ' ,Z. i,0) = 0. Logo, todos os termos

de S contêm T,.; como S é simétrico, todos os termos também contêm zl, z2, ' ' ' , Zm l.

Desta forma, fatorando todos os termos de S por zl - z2 ' ' ' Zm-l ' Zm ;: am, obtemos

S(zl,z2, ,z. i,z.) = o-,«. g(zl,z2,' ,z. i,z.), sendo g um polinâmio simétricode grau $ d -- m < d. Se d < m, então g = 0 e podemos escrever P(açl,...,z«) =

Q(al, o-2, . , a.) = Q(al, o-2, . . . , o-a, 0, 0, . . . , 0) ficando o teorema, assim, demonstrado.

Vamos supor que d ? ml desta forma, por hipótese de induçã.o sobre d, g pode ser expresso

em termos das funções simétricas elementares ai, a2, ' , a.:

g(zl,z2: , :-,« :, :«,.) - I' (a:, a2 ,««)

com W sendo um polinâmio de grau $ d -- nl

Podeilaos, então, esc'rever P como:

P(z1, l2 ",. -,;«,,.) S(«-,z2,' ,:',« :,«,,,)+R(.--,a,(a-, a:: ' . . , a.) + R ('-, a,, 0'rll -- l

Desta forma, o lado direis.o da última igualdade tem grau 5; d e, poi hipótese, P t.enl

grau di logo, o lado direito tem grau d.

58 Conjunto das Raízes de Polinõmios Homogêneos Reais

Estamos interessados, na verdade, em escrever P em termos das variáveis >: z},

ã;= 1, 2, . . . , m, as potências semelhantes de zi. O método de Newton, como apresentado

em jll], garante que podemos reescrevê-lo nessas variáveis como um outro polinõmio de

mesmo grau usando fórmulas matemáticas simples que relacionam as variáveis ai e >ll: z}

Isto pode ser visto através do seguinte corolário:

lJ

lJ

Corolário 3.22. Todo po/{nómáo slméthco P : IR" -+ R de grau d pode ser escutocomo

P(z:, :«:,' .. , z«) - q(s:, .:,'.. , s«)

e q 'üm po\inõmio de grau d

Demonstração : Podemos relacionar todos os termos si com as funções simétricas

elementares ai, . . . , ai da seguinte maneira:

SI := 0'l, Si Si-l ' 0'l -+" Si 2 '(J'2 + (-1):':s: a:-: + (-ly á . a: 0, Vá 5; m

e

si -- s{ l ' o'l + +(-1)"..-..". 0, VÍ > m,

ou seja, podemos escrever de maneira única cada ai em termos de si, s2,

Logo, temos:

,s., Vá

P(zl, z2, , #,«) Q (a:, a2, , a«--) - q (.:, s2,

Esse resultado nos permite determinar a dimensão dos espaços vetoriais formados pelas

raízes de polinõmios simétricos reais d-homogêneos com d ímpar:

Proposição 3.23. Seja P : IR" ---, IR tlrzi poZãnómào sÍméthco d-Àomogêneo com d

ú«p«. .E«tã., p''(o) é l:l -/{«.á«z.

3.4 Polinõmios 2-.1iomogêneos DeHnidos em -E;spaços de .13anach deDimensão Infinita 59

T") o rn n n c+ r n r' nnu \#xx xv Axu u x u:g uv Do exposto acima, podemos escrever,

Vz = (zi, r2, , z.) € ]R'", P(«:, , :«.)

Em outras palavras, escrevemos P(]ç) - }. a.a

sendo a. C IR e todas as parcelas de P tomadas para todo a = (ai,a2, ' . ,a.) tais

que lat + 2a2 + . . . + ma. :: d. Importante ressaltar que, se d 5; m, então o polinõmio

q é escrito apenas nas d primeiras variáveis dessas potências semelhantes de zi. Agora,

para cada a fixado, como d é ímpar, não pode ocorrer cvj = 0, VJ ímparl portanto, pelo

menos, um dos aj's deve ser ímpar para .j ímparl desta forma, podemos concluir que cada

parcela P se anula nos vetores da forma (ei -- e2), (e3 -- e4), , (e2lTl-i e2lTI) sendo

{e{ : á = 1,2,- .. ,m} a base canónica de R'"

Logo, l(ei -- e2), (e3 -- e4), ' ' ' , (e2lTl-t ' e2lTI)l c p':(0) e tem dimensão l-TI.

3.4 Polinõmios 2-Homogêneos DeHnidos em Espaçosde Banach de Dimensão Infinita

Na seção anterior, apresentamos exemplos de polinõmios homogêneos reais cujos con-

juntos das raízes contêm espaços vet.oriais de dimensão finita n e, portanto, são n-lineáveisl

porém, quando um poliilõnlio P está defil-tido em um espaço de dimensão infinit.a, pode-

mos, ei-n alguns casos, mostrar que p'i(O) é lineável.

Est.a. seção t.ein como objetivo apresentam um resultado sobre os conjLmtos das raízes

dos polinõmios 2-hoinogêneos que são lineáveis dependendo funclament.alment.e clo tipo cle

espaço em que estejam definidos. Est.e resultado se encontra no texto cient.ífico l21.

Pt\ra tal. necessitados, piimeii'anlente. dos seguintes lemas:

60 Conjunto das Raízes de Polinâmios Homogêneos Reais

Lema 3.24. (Lema de Zorn) : Seja X um cozÜunto parcialmente ordenado com a pro-

p'r'iedade que cada, subconlÍuTtto totalme'n,te onde'n,a,do adTTtite uma. cota supehor. Então, Xcontém um e/ementa mazãma/.

Observação: Para definições de cada. um dos entes matemáticos citados acima no

lema, ver, por exemplo, j101, pg. 71 e 72.

Lema 3.25. cegam E um espaço noz'nado de dimensão ã7z#nãfa e y C E um subespaço

de dãmeTtsão $nital eíttão, para quaisq'üer z.by C E \.V, existe uma cama, co'ntínua unindo

z a # e ãnteãramenfe cona da em .E \ V

Demonstração : Sejam z,Z/ c E\ V. Consideremos B := {ui, u2, ' ' , u.} uma base

de l/' e X := {ul, u2, ' ' ' , u.n, ]ç, y} um conjunto de .E. Assim, somente duas possibilidades

devem ocorrer, a saber: X é linearmente independente ot-i X é linearmente dependente.

e Suponhamos que X seja um conjunto linearmente independente. Seja

@ : ]O; l] ---, -E o segmento de reta unindo z a 3/, ou seja, @(t) = tz + (l t)g/, t c 10; il;vamos provar (lue '#(10; 11) c E \ b'. Se existisse um vetor u c b' tal que u c @(10; 11)

entãou= >1,aí'ui = to'z+(l--to) y, com ai C IR,Vã eto € 10;11; logo,

>l. a{ . ui to ' z -- (l to) ' y = 01 pelo fato de X ser linearmente independent.e, deveria

ocorrer to = 0 e to = 1(absurdo). Conseqüentemente, Ó(10; 11) C .E \ }' e @ é a função

procurada.

l?'n

lt

e Suponhamos, agora, que o conjunto X, como definido anteriormente, seja line-

armente dependente.; por hipótese, {ui,u2,' ,t;«,z} e {ui,u2,' ,u.,g} são conjun-

tos linearmente independentesl colmo dome = oo, existe um vetor z C .E tal que{ul, u2, ' ' ' , un, z, z} e {ul, u2, ' ' ' , un, #, z} são conjuntos linear'mente independentes. Con.

sideremos os segment.os de teta. éi : 10; 11 Ó2 : l0i ll ---, E t.ais que @i(0) = z,

éi(1) = z: @2(0) = z e é2(1) = g/. Assim, éi(l0; il) C E \ y e Ó:(10; 11) C E\ y. Seja

Q : l0i ll -----} .Él; definida poi

l ó:(2t) - 2t:+ (i - 2f)«

q'(t) - <

2@,(t)-y -t);+(2t-l)#, se:5;t$1

3.4 Polinõmios 2-1Jomogêneos Definidos em Espaços de Banach deDimensão Infinita 6]

Como definida, q' é uma curva contínua e tP(l0i 11) C .E \ V. Assim, © é a função

procurada.

Necessitamos, para a obtenção do principal resultado desta seção, da seguinte definição

relativa às funções:

Definição 3.26. Z./ma /unção .f : .E ---.> R é dãÉa definida positiva se

/(a) ? 0, V:« C .E e /(z) z

A proposição seguinte, aparentemente natural e simples, mostra-nos que existem pc-

linâmios 2-homogêneos cujos conjuntos das raízes sejam n-lineáveis mas não lineáveis de

acordo com a natureza do espaço de Banach real ao qual estes polinõmios estão definidos.

Segue, então, a proposição

Proposição 3.27. Sega E um espaço de Barraca real, são equivalentes

E admite um polinõmio 2-homogéneo contínuo de$nido posãtãuo

Existe uma, i'r\5eção co'r\t'ínua, de E em um es'paço de Hi\bert.

c) Existe um potinõmio 2-howtogêneo P de$nido em E cujo conjunto das raízes está

coTttido num subespaço de dimensão limita de E.

Demonstração : a) ::> b) Seja Á a aplicação bilinear simétrica associada ao po-

linâmio definido positivo 2-hoinogêneo P; seja (EI <, >) um espaço pré-Hilbert com pro'

dut.o interno definido como < z, y >= .A(z, 3/), Vz, 3/ C E. Tomemos llí o espaço de Hilbert

complet.ado de (E; <, >) com t\ norma ll . l proveniente do produto interno. Definimos

a injeção J : E como .j(z) = z, (late é contínua pois:

lj(z) I' lll:«lll' z,z> ,4(Z,Z) 5;llPll-ll.«ll:-::>

:::+ lll.Í(:«)lll 5; v/l p H. ll z ll

62 Conjunto das Raízes de Polinõmios Homogêneos Reais

b) + c) Por hipótese, existem -H (Hilbert) e .j : .E uma injeção contínua

tal que .j(a) = z. Seja .4 : .E x .E ---, IR a aplicação bilinear simétrica definida por

,4(z, Z/) =< .j(z),.j(y) >; o polinâmio 2-homogêneo P : E ---, R associado a .4 é, então,

dado por P(z) =< .j(z),.j(z) >. Logo:

P(z) o -:>< .j(z), .j(z) >: 0 -:> .j(z) 0 :-+. z o ::+ p':(o)

c) ::> a) Vamos considerar que dome = oo; para espaços -E de dimensão finita, a

solução é trivial. Seja P um polinõmio 2-homogêneo cujo conjunto das raízes esteja contido

num subespaço de dimensão finita y C -E com uma base {ui, u2, ' ' ' , u.}. Primeiramente,

observamos que P(z) é sempre positivo ou sempre negativo para todo z C -E \ V

Se não, existiriam z,Z/ C SZ\v, a esfera unitária de E \ V, tais (lue P(z) < 0 < P(Z/).

Agora, pelo lema 3.25, existe uma função @ : 10, 11 ----, E \ y contínua tal que @(0) = z e

@(1) = y; então, teríamos P o @(t) = 0 para algum t C 10; 11. Com isso, @(t) C V'' (absurdopo's '#(t) C E \ }').

Desta forma, sem perda de generalidade, podemos assumir que P(z) > 0, Vz c .E \ VPara a condição P(z) ? 0, Vz C E e P(z) = 0 ::::> z = 0, o próprio P seria o polinõmio

procurado. Vamos considerar, agora, que P não atenda essa última condição. A partir

disso, vamos construir um polinõmio 2-homogêneo Q definido positivo em E. Como

}'' - lui,u2, ' ' , u.l, então existem g{ € y*, l $ { $ n com g{(uJ) = õíj. Pelo teorema de

Hahn-Banach (ver, por exemplo, j161, pg. 221- 222), existem /, C .E* tais que /,it, = gí,pala todo l $ ã 5; n. Consideremos n- : .E --., V' dada por:

«(.)

n

>: ./\ (")«:í-l

Desta forma, n é mina projeção linear contínua e nos alcxiliará a construir uin polinõiltio

definido posit.ivo ein E.

Como Br, a bola unitária fechada de y, é compacta, existe ulli zo C IBv t.al (lue

P(:0) $ P(z),Vz C -Bv; consideren-os P(zo) = --a, com Q ? 0. Como dãm L' < 'x, *s

nonllas consideitldas eni V são e(lui'ç'alentesl desta fontia, exist.e c > 0 tal cine

lit'll < V/C. fIlE'jje, com ll . jje a nol'nla euclidiana eln y, pai'a cada 7 C L''. Elit.ão: pai'a cada

3.4 Po/inõmios 2-1iomogêneos De/unidos em Espaços de Banach deDimensão Inânita 63

uí, temos

n 'n 11,.112

1«11' $ c - >1: .#(«) -::: >1: .#(«) 2 Er{-l {-l

Consideremos, agora, o polinõmio 2-homogêneo Q definido por:

Q(«) - P(«) + (a + i) ' c ' >1: .#(")

n

lZ

(3.1)

Então, Q(z) > 0,Vz c .E \ V'. Vamos mostrar que Q é positivo em y; consideremos

arbitrariamente z € SV, a esfera unitária de VI então, l z 11= 1 e, da inequação 3.1, temos

Com isso, Vz C SV, temos::

n

>l: .#(«) ?

C2(z) ? a + (a + 1) ' c ' }:#(") -:> Q(a) ? 1, V-' C SV. Por outro lado, sabemos

que Q(Àz) = À'C?(z), para Vz C E, VÀ C R; com isso, Q(z) ? 0,Vz C t''. Portanto,

Q(z) 2. 0, Vz c .E. Além disso, se existisse z C y não nulo tal que Q(z) - 0, entãopoderíamos toma-lo, sem perda de generalidade, em Svl porém isso não pode ocorrer pois

sabemos que Q(z) ? l,Vz C Sv.

Logo, Q(]ç) = 0 -:> z = 0 e Q é um polinõmio 2-homogêneo definido positivo.

'n

lZ

Finalmente, segue o principal resulta.do desta seção

Teoienla 3.28. Seja -E wm espaço de BazzacA real que não admite üm po/ínómào

2-homogêneo de$nido positilio. Então, para cada P C P (2E) , existe um subespaço So de

E de dimen.sào {-ítlirtita P\s. = 0.

Demonstração : Suponhamos que .E não admita uin polinõnüo 2-homogêneo de-

finido positivo e t.omemos P C P (2E) arbitrário. Seja .S = {S C .E : S é subespaço de

E e qs = 0ll S não possui soment.e {O} como eleinent.o pois: como E não admit.e uin

polinâmio 2-homogêneo definido positivo. pala P C P(2E), exist.e z C .E \ {0} tal que

64 Conjunto das Raízes de Polinâmios Homogêneos Reais

P(z) $ 0. Se P(z) = 0, então o espaço lzl C S; se P(z) < 0, então, podemos tomar

g/ C -E tal que {z, Z/} seja linearmente independente e P(Z/) 2 0 (existe esse Z/ pois, caso

contrário, o conjunto das raízes de P teria dimensão finita e, pela proposição anterior, .E

admitiria um polinõmio 2-homogêneo definido positivo - absurdo). O segmento que une

z a g/ possui um elemento z # 0 tal que P(z) = 0. Nesse caso, lzl C .S.

Como foi definido, .S é parcialmente ordenado por inclusão. Seja Z) = {S.}.e,\

( A um conjunto de índices) um subconjunto totalmente ordenado de S; então U Sa é cota

superior para .D Logo, pelo Lema de Zorn, S possui um elemento maximall denotamosesse elemento por So Vamos mostrar que dãmSo = oo:

Suponhamos que dãmSo = n para algum n C N e que .B = {ui, ' ' ' , u.} seja uma base

de So. Seja .4 : E x .E --, R a aplicação bilinear simétrica. associada a P. Consideremos

T = Í'l lerá, com Á. : .E ---, R funcionais lineares dados por .4.(y) = .4(z, Z/).

Afirmamos que So C T. De fato, seja y C So fixado. Então, Vz C So, z + g/ c So (So é

subespaço)llogo:

A

zelo

0 .'l(z + y, z + y) .4(z, z) + .4(z, g/) + ..'!(y, z) + .4(g, Z/)

0 + 2Á(z, 3/) + 0 = 2.4,(g/) -:+ .4,(Z/) = 0,Vz C So -+ y C ker.4,,Vz C So,

isto é, 3/ € T e, conseqüentemente, So C T. Notemos que, para todo z C So, se 3/ C T

e P(Z/) = 0, então, para quaisquer escaleres Ài e À2, temos P(Àiz + À2y) = À?P(z) +

2ÀiÀ2.4,(g/) + À2P(y) = 0. Logo, Z/ pertence a um subespaço de .S. Com isso, pela

maximalidade de So, g/ € So.

Afhmamos que So é complementado em TI de fato, seja. .B* = {gi, .. . ,g.} a base

dual da base -B de So. Então: pelo teorema de Hahn-Banach, existem /. C T* tais que

/-ls. = g:, ã = 1: . . . ,n. To:nando-se a fu"ção « : T So com T(z) - >:/.(z) ' t'i,t.emos que a é uma piojeção linear contínua e, conde(liientemente, So é complementadoem 7'l

Seja, então, o subespaço y de E tal que T :: So ©y. Como todas as raízes de qr est.ão

em So, ou Pir ou ql- é positivo em y. Suponhamos, então, sem per(ta de generalidade,

(lue qr é posit.ivo em y. Colho (/íyn.So = n., o seguinte politlõlnio 2-110niogêneo é definido

3.4 Polinõmios 2-1iomogêneos De/ínídos em -l:spaços de Banach deDimensão Infinita 65

positivo em 7':n

Q(«) («) +X:#("),lZ

(3.2)

No entanto, queremos mostrar que a hipótese assumida de So ter dimensão finita é

absurdas para isso, vamos exibir um polinõinio positivo definido 2-homogêneo contínuo

definido em E contrariando a hipótese inicial de E não admitir tal polinõmio. Nesse

sentido, vamos mostrar que T é complementado em .E da seguinte maneira:

Observemos que 7' :: Í''jker.4.,. pois Í'l terá, Ç Í'jker.4.. é trivial e, para cada{=1 zelo

z. C Í'lkerA«:, temos que Á(t'i;zo) - 0, Vá -:+ V#i C ]R, ..4

..'!(z;zo) So, isto é, .,4,(zo) Vz C So e, conseqüentemente, zo C Í) terá,.zCSo

O subespaço T assim definido tem codimensão finita em -E pois, considerando a

aplicação linear é : E definida por:

n

n

l2

@(«) ..'{.: (z) , ..'l. («), , .'l.. (z)),

temos ker @ = Í] ker.4.. = T. Então, @ determina um isomorfismo

@ : E/7' - Com isso, -E/7' tem dimensão $ n.

Assim, -E/7' tem dimensão finita, isto é, T tem codimensão finita em E e, sendo

fechado, segue que T é complementado em E.

Finalmente, tomando-se ar : E --» T uma projeção linear contínua, podemos definir

o seguinte polinõmio 2-homogêneo:

n

lZ

Q:(Z) («)+>1:A::(:"),

sendo (2 como definido na e(luação 3.2. Desta forma, podemos reescrever esse polinõiltio

definido em E como

'n

l

.-',,'{ $;..,,. ::::~,se z C T

66 Conjunto das Raízes de Polinõmios ]liomogêneos Reais

Portanto, a demonstração está concluída uma vez que Qt é um polinõmio 2-homogêneodefinido positivo contínuo.

Podemos a6rmar, através do seguinte exemplo, que se um espaço de Banach é se-

parável, então admite um polinõmio 2-homogêneo de6nido positivo.

Exemplo 3.29. Seja -E um espaço de l?anata rea/ separáueZ com {z.}.cw m suóc07%junto

d.m.o d. Z,./« -ãláM« .B,. P«« c«d« n, .d. @. C .E* «m l @« ll (z«)De$'rt'lhos o polinõmio 2-homogéneo P : E

,.«, -ÊWn

Se P(Z/) - 0 f'«« «Zg«m g € E \ {0}, .«tão P(«) - 0 p«« . «t« ««ãtá,.{. ,:; - .]L::-

/sto signz@ca gu Ó,(z) = 0,Vn C N. C'omo {#.}. é denso em .BZ, ezàstem u«/oÜ; 'Ze

n C N faãs que ll z z« ll< 1. .A/as, para tais n, segue

é«(« «.) :l @.(z) @.(z«) l @. . ll :« z.ll< l

(.bsu«do)

Observação: Nem todo espaço não enumerável satisfaz o teorema 3.281 por exemplo,

usando argumentação semelhante ao exposto no exemplo para. o espaço Z.o, verifica-se

que este espaço admite um polinõnlio 2-holnogêneo contínuo definido positivo (ver, por

exemplo, l21, pg. 13). Também em l21, o autor afirma. que os espaços co(1') e Z,(1'), p > 2,

com I' um conjunto não enumerável, at.endein ao teores-na 3.28. Com relação ao subespaço

So definido no mesmo teorema, uma questão natural é se So é também não separável; para

os espaços ZP(1'), p > 4, a resposta é afirinat.iva (ver, por exemplo, l21, pg. 14).

67

Referências Bibliográficas

Z. Abud e R. Alentar Contagens e escolhas na teoha dos conjuntos, INIE USP, (2003)

l21 R. \l. Aron, Án {ntroduct on to poZ3/nomials on .Banach spaces,, Extracto Nlath. 17

(2002). n' 3, 303-329.

l31 R. h/l. Aron, R. Gonzalo and A. Zagorodnyuk, Zeros o/ real poZZ/nomãaZs, Linear and

Multilinear Algebra 48 (2000), n' 2, 107-115.

R.hl. Aron, V. 1. Guraryi and J. B. Seoane, .Z;Íneabàlãt3/ and spaceabãZ ty o/ sets o/

/unctãons on R, Proc. Amer. }'lath Soc. 133 (2005), n' 3, 795-803.

R. P. Boas Jr., .A Phmer o/ .Rea/ Fbnctions,, The Carus Mathematical Monographs,

n' 13, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1960.

C. B. Boyer, HãstóHa da ]l/atemátãca, Edgard Blücher Ltda., Programa NacionalBiblioteca do Professor, MEC-FAE, 1994.

l71 A. M. Bruckner, Z)i#erent atada o/ Real Functíons, Lectures Notes in Math., vo1. 659

Springer-Verlag, Berlin, 1978.

l81 A. M. Bruckner and J. L. Leonard, Z)eóuatiues , Amer. Math. h/lonthly 73 (1966),

n' 4, part 11, 24-56.

l91 K. Ciesielski, Set 7'teor' /or t/ze H''orÀ;ing 7b/alÀemat cÍalz, London R/[athematical

Society Student Texto, vo1. 39, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

j101 F. U. Coelho e À/l. L. Lourenço, [/m C'urso de ÁZgeó7a Linear, Editora da Universida(cle São Paulo, 2001.

68 Referénc;as .13íb/iográílcas

jlll P. Dubreil. .4-'gtbre. Tome /.' Eqüit'a/entes. Opor'a./ons: Grolzpes. .-ln/zfau.r, C'cliPS.

Troisiàlne édition recue et augmentée. Préface de Gastoli Juba. Cahiers Sciel-ttifiques

Fase. XX, Gautier-Villars & cie.. Editeur-lmpriineur-Libraire, Pa.ris. 1963.

j121 J. .À. Gótica: /rzfroduccÍó7} a /a /n,fegraZ de .Leme.sgue en /a Recta. Programa Regional de

Desarrollo Científico y Tecnologico. Departamento de Asunt.os Científicos : Secretaria

General de la Organización de los Estados Americanos, W'ashington. D.C..1977.

j131 B. R. Gelbauin and J. bl. H. Olmsted, Cou7 tere=amples in .Ana13/sls, The hlathesis

Series, Holden-Dal' Inc., San Francisco, Calif., 1964.

j141 E. W'. Hobson, 7'teor' o/ Fü?zctions o/ .Real Uaríable /7. Dover, New York, 1957

jlSI Y. Katznelson and K. Stromberg, .Doer wAere di#erentáab/e. nou/fere morzotozze

.fünctÍons, Ater. Nlath. Monthly 81 (1974). 349-354.

E. Kreysig, /nfroductor Punctiona/ ÁnaZ3/sis wít/z dpp/ácatÍorzs, John Wiley & Sons,New York-London-Sydney, 1978.

H. Lebesgue, Zeçons sur / 7ntegrafãon, Gaut.ier-Villars 1904

j181 E. L. Limo, Curso de dná/{se HoZ. /, Projeto Euclides, Instituto cle Nlat.emática Purae Aplicada, Rio de Janeiro, 2000.

[iol J. Xlujica, Com.p/e:z; azia/g/sÍs in .Banal/z -spat:'es, NlathAmsterdan.

Stuclies 120 (1986) North-Holland,

L. Peiegrini. t'm Zcorema de HaAn-Banal/z para pr9/i?zómáos /zomogézzeos, Dissertação(le \destra(lo, IX[E-USP, (2001).