zeros reais de funções reais. métodos iterativos - zeros i. método da bissecção ii. método da...
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Zeros Reais de Funções Reais
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção II. Método da Posição Falsa III. Método do Ponto FixoIV. Método de Newton-RaphsonV. Método da Secante
Introdução Zero real da função real :
Comentário: Nesta aula estamos interessados somente em zeros reais de funções reais.
)(xf
0)( se de zero é real ff(x)
Introdução
Graficamente, os zeros reais de
são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo
)(xf
Ox
1
2
3
)(xf
x
Introdução
A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases.
Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz)
Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação iniciai até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)
)(xf
Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 1. Seja contínua em Se , então existe pelo menos um em que é zero de
)(xf ],[ ba0)()( bfaf
x ),( ba )(xf
)(xf
b x
a
Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 2. Seja contínua em . Se
e se existir, que preserva o sinal em , então este intervalo contem um único zero de
)(xf ],[ ba)(xf
),( ba)(xf
ab
)(xf
x
0)()( bfaf
Parte 1
Formas de se localizar as raízes de :
Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal.
Análise gráfica da função .
)(xf)(xf
)(xf)(xf
)(xf
Parte 1- Exemplo 1 / Método1
Seja . Sinais de
As raízes estão nos intervalos de mudança de
sinal de . Veja .....
39)( 3 xxxf )(xf
0)( f 0)100( f 0)10( f
0)5( f 0)3( f 0)0( f
0)1( f0)2( f
0)5( f
0)3( f
0)( f0)10( f
)(xf )3,5(1
Parte 1- Exemplo 1 / Método 2
Façamos o gráfico de
Novamente temos os intervalos dos zeros.
39)( 3 xxxf)(xf
x1234 1 2 3 4
Parte 1- Exemplo 1 / Método 3
Façamos o gráfico da função equivalente
Novamente temos os intervalos dos zeros
393 xx )(xf
x1234 1 2 3 4
3)( xxg
39)( xxh
32
1
Parte 1- Exemplo 2
Seja para . Sinais de Logo temos uma única raiz!!!!!Sinais de
Temos uma raiz no intervalo
xexxf 5)(
0para052/1)(1
xexxf x
0)0( f 0)3( f0)2( f0)1( f
)2,1(1
)(xf
0x
Parte 2 - Refinamento
Refinamento por métodos iterativos
Métodos iterativos=Seqüência de ciclos Iteração=um ciclo (loop) Iteração k depende da iteração anterior
k-1 Testes (critérios) verificam se resultado
da iteração k atingiu resultado esperado.
Parte 2 - Refinamento
Critérios de parada: está suficientemente próximo
da raiz exata?
Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo
kx
Parte 2 - RefinamentoDados iniciais
k=1
Cálculo da nova aproximação
A aproximação está suficientemente próxima da solução exata?
k=k+1
Cálculos finaisSim
Não
Critérios de parada
Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata .
Então, é a raiz aproximada com precisão ,
se: i) ou ii)
Não conhecemos Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii)simultaneamente.
kx
x x )(xf
Critérios de parada
Caso 1 Caso 2
)(xf
x
)(xf
x
x
)(xf
x
)(xf
xx
Critérios de parada
Note que satisfazer não implica que .
Note que satisfazer não implica que
. Métodos numéricos satisfazem os dois
critérios, preferencialmente. Programas estipulam um número
máximo de iterações (evitar looping)
x)(xf
)(xf
x
Critérios de parada – Método Geral
Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que
Então pode ser a
b
],[ ba
ab
ba ],[ xbax ],,[
],[ bax x
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da BissecçãoSeja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em , então o intervalo contem uma única raiz de .Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo ao meio sucessivamente.
)(xf ],[ ba0)()( bfaf
)( ab],[ ba
)(xf
)(xf ),( ba ),( ba
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da BissecçãoSeja com zero em As iterações são realizadas da forma
1)
2)
3) Continue o processo até que e
)(xf
01
01
00
0
0
0
0000
0
,
0)(
0)(
0)(
2xb
aa
xa
xf
bf
af
Sebbaaba
x então e com
],[ ba
12
12
11
1
1
111
1
,
0)(
0)(
0)(
2bb
xa
bx
xf
bf
af
Seba
x então
nn ba , ),( é nn bax
Método da Bissecção
b=b0a=a0 x0
||
a1||
x1
b2
||
a3
a2
||
b1
||
x2
||
b3
Método da Bissecção
I. Método da Bissecção-Exemplo Seja com e . Temos
Obtemos em dez iterações.
39)( 3 xxxf ]1,0[I 310
iteração x f(x) b-a
1 0.5 -1.375 0.5
2 0.25 0.765 0.25
3 0.375 -0.322 0.125
4 0.313 0.218 0.063
10 0.3369 0.00660 0.00098
3369.0x
0)1(e0)0( ff
Método da Bissecção
Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak
k=1 0 1 0.5 -1.375 0.5
k=2 0 0.5 0.25 0.765 0.25
k=3 0.25 0.5 0.375 -0.322 0.125
k=4 0.25 0.375 0.3125 0.218 0.0625
k=5 0.3125 0.375 0.34375 -0.0531 0.03125
k=6 0.3125 0.34375 0.32813 0.0822 0.015625
k=7 0.32813 0.34375 0.33594 0.01447 7.8X10-3
k=8 0.33594 0.34375 0.33984 -0.01934 3.9X10-3
k=9 0.33594 0.33984 0.33789 -2.4X10-3 1.95X10-3
k=10 0.33594 0.33789 0.3369 6.0X10-3 9.8X10-4
Note que (bk-ak)<
Método da Bissecção
I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em .
)(xf],[ ba 0)()( bfaf
)(' xf ba,
Método da Bissecção
I. Estimativa do numero de iteraçõesDada a precisão e um intervalo inicial , qual será o número de iterações para que .
Tomando o logarítmo da equação,
],[ ba kk ab
000011 222
abababab k
kkk
kk
2log
log)(log 00
bak
k
Método da Bissecção
I. Estimativa do numero de iterações - ExemploQueremos o zero da função no intervalo com precisão . O número de iterações a realizar pelo método da bissecção é:
210 ]3,2[
6.6301.0
2
2log
10log2)23(log
2log
log)(log 00
ba
k
1log)( xxxf
7 k
Métodos iterativos - Zeros
II. Método da Posição FalsaSeja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de .Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em .
)(xf ],[ ba0)()( bfaf
)( ab ],[ ba
)(xf
],[ ba
)(xf ),( ba),( ba
Método da Posição Falsa
II. Média Ponderada
Para e . Como , podemos supor que o zero está mais próximo de . Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de .
1 de que do 0 xx
]1,0[],[ ba
5)1( e 3)0( ff
39)( 3 xxxf
kx0x
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição FalsaSeja com um zero em .As iterações são realizadas da forma
1)
2) Continue o processo até que e .
)(xf
01
01
00
0
0
0
00
00000
,
0)(
0)(
0)(
)()(
)()(
xb
aa
xa
xf
bf
af
bfaf
afbbfax então Se
],[ ba
)( kxf kx
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - ExemploSeja com e .
Temos .
Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessitava de 10 iterações para tal precisão.
39)( 3 xxxf ]1,0[I 310
3376.0x
0)1(e0)0( ff
Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak
k=1 0 1 0.375 -3.2226 0.375
k=2 0 0.375 0.3386 -8.7902X10-3
0.3386
k=3 0 0.3386 0.3376 -2.2588X10-4
0.3376
Um dos critérios de parada foi atingido
Método da Posição Falsa
I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em .
Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.
)(xf],[ ba 0)()( bfaf )(xf
),( ba