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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA

PROJETO PIBEG

Unidade

Zeros de funções reais

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1 – Introdução 1.1 – Isolamento das raízes 1.2 – Refinamento

2 – Método da Bisseção 2.1 – Interpretação Geométrica 2.2 – Algoritmo 2.3 – Estimativa do Número de Iterações 2.4 – Estudo da Convergência

3 – Método do Ponto Fixo 3.1 – Interpretação Geométrica 3.2 – Estudo da convergência do MPF 3.3 – Algoritmo 3.4 – Ordem de convergência do MPF

4 – Método de Newton - Raphson 4.1 – Interpretação Geométrica 4.2 – Estudo da convergência do MNR 4.3 – Algoritmo 4.4 – Ordem de convergência do MNR

Sumário:

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1 – Introdução

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Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um número r para o qual uma função f (x) seja zero, ou seja, f (r)=0.

Este número é chamado zero ou raiz da função f (x) e pode ser real ou complexo. Em nossos estudos r representará uma raiz real.

Graficamente, os zeros reais são representados pelos pontos de interseção da curva com o eixo Ox, conforme figura abaixo:

f(x)

x1r 2r 3r

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O objetivo desta unidade é o estudo de métodos numéricos

para a resolução de equações não-lineares, as quais não possuem

solução analítica.

Exemplo: )()( xsenexf x A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação

inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através

de um processo iterativo do tipo:

n,...,1i),x(Fx

xdado

1ii

0

F(x) é chamada função de iteração.

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Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas fases:

Fase I - Localização ou isolamento das raízes: Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém uma única raiz;

Fase II - Refinamento: Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo [a,b], melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada.

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1.1 – Fase I: Isolamento das raízes

Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função.

A precisão desta análise é o pré-requisito para o sucesso da fase II.1.1.1 - Análise Gráfica

Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos:

i) Esboçar o gráfico da função f (x) e localizar as abscissas

dos pontos de interseção da curva com o eixo ; xo

Exemplo: 39)( 3 xxxf

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10

20

30

40

1r 2r 3r

]3,2[

]1,0[

]3,4[

3

2

1

r

r

r

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ii) A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x de interseção das duas curvas, pois

).()(0)( rhrgrf

Exemplo: 0)( xexf x

Resolução:

xxh

exg

exx

x

)(

)(

]1,0[r

-2 -1 0 1 2 3 4-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

h(x)

g(x)

r

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1.1.2 – Análise Teórica

Nesta análise usamos freqüentemente o teorema de Bolzano:

“Seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) < 0,

então existe pelo menos um ponto x = r entre a e b que é zero de f (x)”

Graficamente:

ab

1r2r

f(x)

x

1r2r

3ra

b

f(x)

x

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Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar o sinal em [a, b], então existe uma única raiz neste intervalo.

Graficamente:

f(x)

x

a

b

f(x)

xab

],[,0)(' baxxf ],[,0)(' baxxf

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Podemos aplicar este teorema atribuindo valores para x e analisar o sinal de f (x).

Exemplo: f(x) =

- Analisando a mudança de sinal podemos concluir que existe pelo

menos uma raiz dentro dos intervalos indicados.

- Derivando a função descobrimos que conserva o sinal em cada um dos intervalos, portanto cada raiz é única no intervalo.

393 xx

x -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4

f(x) - - + + + - - + +

93)(' 2 xxf

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Observação

Se f (a) f (b) > 0 então pode existir ou não raízes no intervalo [a,b].

Graficamente:

f(x)

x

f(x)

x

x

f(x)

a b1r 2r

a b1r

a b

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1.2 – Fase II: Refinamento

Esta fase consiste em aproximarmos uma raiz r dentro dointervalo [a, b] através de um método iterativo.

Um método iterativo é uma seqüência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos, cada ciclo recebe o nome de iteração.

Estas iteração utilizam valores obtidos em iterações anteriorespara encontrar uma nova aproximação para a raiz.

Estes métodos fornecem uma aproximação para a raiz exata.

1.2.1 – Critérios de parada

Durante a aplicação de uma método para determinar-se uma raiz, necessitamos que uma certa condição seja satisfeita para

estabelecer se o valor de xi está suficientemente próximo de r.

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rix

f(x)

x

||

|)(|

rx

xf

i

i

rix x

f(x)

|)(|

||

i

i

xf

rx

i) || rxi

ii) |)(| ixf

O valor de xi é raiz aproximada com precisão se:

Nem sempre é possível ter as duas exigências satisfeitas

simultaneamente, analisemos os casos abaixo:

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|| 1ii xx

i

ii

x

xx 1

Como não conhecemos o valor da raiz r para aplicar o teste

i) |xi – r| < , usamos freqüentemente os conceitos de erro

absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada.

a) Erro absoluto:

b) Erro relativo:

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2 – Método da Bisseção

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Condições para aplicação:

-A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém pelo menos uma raiz, ou seja, f (a) f (b) < 0.

-Caso o intervalo contenha duas ou mais raízes, o método encontrará uma delas.

O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo

inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas divisões de [a, b] ao meio.

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f(x)

x

Iteração 1:

2.1 – Interpretação Geométrica

ra0

b0x0

a1

b1

x0 = (a0 + b0)2

f (x0) > 0

a1 = a0

b1 = x0

r a1 , b1]

Iteração 2:

x1 = (a1 + b1)2

x1

f (x1) < 0

a2 = x1

a2

b2 = b1

b2

r a2 , b2]

Iteração 3:

x2 = (a2 + b2)2

x2

f (x2) < 0

a3 = x2

a3

b3 = b2

b3

r a3 , b3]

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2.2 – Algoritmo

Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) f (b) < 0.

1) Dados iniciais:

a) intervalo inicial [a, b]; b) precisão

2) Se (b – a) < , então escolha para r FIM. ]. ,[ bax

3) k = 1

4) 2

baxk

5) Se , faça Vá para o passo 7 0)()( kxfaf .kxa

6) .kxb

7) Se (a – b) < , escolha para r FIM. ].,[ bax

8) k = k +1. Volte ao passo 4.

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2.3 - Estimativa do número de iterações

0a 0b

1a 1b

2

ab 00

2a2b

20011

2

ab

2

ab

3a 3b

30022

2

ab

2

ab

k00

2

ab

Dada uma precisão e um intervalo [a, b], vamos determinar quantas

iterações k serão efetuadas pelo método da Bisseção até que

bk – ak < . Sendo k um número inteiro.

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kab

k ,2log

log)log( 00

Deve-se obter o valor de k tal que , ou seja: kk ab

0000 2

2

abab kk

00log2logab

k

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2.4 - Estudo da convergência da Bisseção:

Seja f (x) uma função contínua em [a, b], onde f (a) f (b) < 0.

O método da bisseção gera três seqüências:

não-decrescente e limitada superiormente por tal que:

:}{ ka 0b IRttak

k

lim

:}{ kb não-crescente e limitada inferiormente por tal que:

0a IRssbk

k

lim

:}{ kx por construção temos que kbxaba

x kkkkk

k

,2

A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude doanterior, assim temos:

kkk

abab

200

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Aplicando o limite temos:

kk

kk

kk

kk

kkkk

k

abab

abab

limlim0limlim

02

lim)(lim 00

Seja = t = s o limite das duas seqüências, aplicando o limite na seqüência xk temos que:

22limlim kk

kk

k

bax

Então t = s

Resta provarmos que é zero da função, ou seja, f ( ) = 0.

Em cada iteração k temos que , então:0)()( kk bfaf

0)(0)]([0

)]([)()()lim()lim(0

)(lim)(lim)()(lim0

2

2

ff

fsftfbfaf

bfafbfaf

kk

kk

kk

kk

kkk

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3 – Método da Iteração Linear

(Método do Ponto Fixo)

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,2,1),( 1 ixx ii

Seja f (x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz r da equação f (x) = 0.

O Método da Iteração Linear (MIL ou MPF) consiste em transformar f (x) = 0 em uma equação equivalente x = (x), onde (x) é uma função de iteração.

A partir de uma aproximação inicial gerar uma seqüência . de aproximações sucessivas através do processo iterativo dado por:

0x}{ kx

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3.1 - Interpretação Geométrica

Graficamente, uma raiz da equação x = (x) é a abcissa do ponto de intersecção da reta y = x e da curva y = (x)

0x1x2xr

xy )(xy

f(x)

x

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31 6)(a) xx

Existem várias funções de iteração para esta equação, por exemplo:

converge não

3.1772)088.12(6

088.12625.26

625.25.16

6

33

32

31

31

x

x

x

x

converge

635.1632.16

632.1651.16

651.15.16

6

33

32

31

32

x

x

x

x

5.1 dado 0 x

32 6 b) x

1

6 c)

23

x

xx

16 d)

24

e)

Exemplo: Encontre uma função de iteração (x) para a seguinte equação .063 xx

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Analisemos alguns casos de função de iteração:

x0x1x

f(x))(x

2x

Não Converge

x0x1x2x

f(x)

)(x

Não Converge

x0x1x2x

f(x) )(x

Converge

f(x)

x0x1x

)x(

Converge

2x

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Teorema 2:

i) e são contínuas em I)(x )(' x

IxMx ,1|)('|ii)

Ix 0iii)

então a seqüência gerada converge para a raiz r.}{ kx

3.2 – Estudo da Convergência do MIL

Para que o MIL forneça uma solução da equação f (x) = 0 é necessário que a seqüência gerada , dada por , seja convergente.

}{ kx )(1 kk xx

A convergência será dada pelo seguinte teorema:

Seja r uma raiz da equação f (x) = 0, isolada num intervalo I centrado em r. Seja (x) uma função de iteração para a equação f (x) = 0. Se:

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Demonstração

r é uma raiz exata da equação f (x) = 0.

Assim, e, )(0)( rrrf

para qualquer k, temos: )(1 kk xx

)()(1 rxrx kk

x)é contínua e diferenciável em I, então, pelo Teorema do Valor Médio, se existe entre e r tal que:,Ixk kc kx

)()())((' rxrxc kkk

Portanto, comparando (1) e (2), resulta

)()('1 rxcrx kkk

(1)

1) Provemos que se então :, kIxk ,0 Ix

(2)

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Então, ,k

|||||)('|||1

1 rxrxcrx kkkk

ou seja, a distância entre e r é estritamente menor que a distância entre e r e, como I está centrado em r, temos que se . então

1kxkx

,Ixk .1 Ixk

Por hipótese, então ,0 Ix ., kIxk

2) Provemos que :lim rxk

k

De (1) , segue que:

|||||)('||| 0001 rxMrxcrxM

( está entre e r )0c 0x

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|||||||)('||| 02

1112 rxMrxMrxcrxM

|||||||)('||| 0111 rxMrxMrxcrx kkk

M

kk

Então, pois 0 < M < 1.0||lim||lim 0

rxMrx k

kk

k

Assim,

.lim0||lim rxrx kk

kk

( está entre e r )kc kx

( está entre e r ) 1c 1x

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3.3 – Algoritmo do MIL

Considere a equação f (x) = 0 e a equação equivalente x = x)

1) Dados iniciais:

0xa) : aproximação inicial;

2) Se faça FIM. ,|)(| 10 xf .0xr

3) i = 1

4) )( 01 xx

5) Se 11 |)(| xf

ou se 201 || xxentão faça FIM. .1xr

6) 10 xx

7) i = i +1. Volte ao passo 4.

b) e : precisões.1 2

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3.4 – Ordem de convergência do MIL

Definição: Seja uma seqüência que converge para um número r e seja o erro na iteração k.

}{ kxrxe kk

Se existir um número p > 1 e uma constante C > 0, tais que

Ce

ep

k

k

k

||

||lim 1

então p é chamada de ordem de convergência da seqüência e C é a constante assintótica de erro.

}{ kx

Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de convergência do processo.

(2)

keCe pkk para|||| 1

De (2) podemos escrever:

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Provaremos que o MIL tem convergência apenas linear.

Conforme foi demonstrado, temos que:

))(('1 rxcrx kkk

)('1k

k

k crx

rx

Tomando o limite quando k

)('))(lim(')('limlim 1 rccrx

rxk

kk

kk

k

k

1|| e )('lim 1

CCr

e

e

k

k

k

Então para grandes valores de k o erro em qualquer iteração é proporcional ao erro na iteração anterior, sendo ’(r ) o fator de proporcionalidade.

Portanto,

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4 – Método de

Newton - Raphson

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No estudo do método do ponto fixo, vimos que:

i) uma das condições de convergência é que onde I contém a raiz r;

,,1|)('| IxMx

ii) a convergência do método será mais rápida quanto menor for |’(r)|.

Com a finalidade de acelerar e garantir a convergência, o MNR procura uma função de iteração x) tal que ’(r) = 0. Partindo da forma geral para x), iremos obter a função A(x) tal que ’(r) = 0.

)()()( xfxAxx )(')()()('1)(' xfxAxfxAx

)(')(1)('

)(')()()('1)('

rfrAr

rfrArfrAr

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Então, dada f (x), a função de iteração representada por

)('

)()(

xf

xfxx

22

2

)]('[

)('')(

)]('[

)('')()]('[1)('

xf

xfxf

xf

xfxfxfx

Assim,

donde tomamos

)('

1)(0)(')(10)('

rfrArfrAr

)('

1)(

xfxA ).0)(' que (desde rf

será tal que ’(r) = 0, pois como podemos verificar:

0)]('[

)('')()('

2

rf

rfrfr

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4.1 – Interpretação Geométrica

0x

1x2x

0L

1L

f(x)

x

f (x)

r

Dado o ponto traçamos a reta tangente à curva neste ponto, dado por

))(,( ii xfx )(xLi

))((')()( iiii xxxfxfxL

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4.2 – Estudo da Convergência do MNR

Teorema 3:

Sejam f (x), f’(x), f’’(x) contínuas num intervalo I que contém a raiz x = r de f (x) = 0. Suponha que f’(r) 0.

Então, existe um intervalo contendo a raiz r, tal que se . a função de iteração

convergirá para a raiz.

,II ,0 Ix

)('

)(1

k

kkk xf

xfxx

Demonstração

Devemos provar que as hipóteses do Teorema 2 estão satisfeitaspara

)('

)()(

xf

xfxx

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i) Afirmação: (x) e ’(x) são contínuas em .1I

Assim, no intervalo , tem-se que f (x), f ’(x) e f ’’(x) são contínuas e f ’(x) 0. Então (x) e ’(x) são contínuas em

II 1

.1I

ii) Afirmação: |’(x)| < 1, 2Ix

Por hipótese, f ’(r) 0 e, como f ’(x) é contínua em I, é possível obter tal que f ’(x) 0, II 1

.1Ix

Concluindo, conseguimos obter um intervalo , centrado em r, tal que (x) e ’(x) sejam contínuas eme |’(x)| < 1, .

II 2

2I

2Ix

Como ’(x) é contínua em e ’(r) = 0, é possível escolher tal que |’(x)| < 1, de forma que r seja seu centro.

1I2IxII 2

2)]('[

)('')()(' e

)('

)()(

xf

xfxfx

xf

xfxx Temos:

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4.3 – Algoritmo do MNR

Seja f (x) = 0.1) Dados iniciais:

a) aproximação inicial;:0x

b) precisões: e 21

2) Se , faça .FIM 10 |)(| xf 0xr

3) k = 1

4) )('

)(

0

001 xf

xfxx

5) FIM . faça

|| seou

|)(| Se1

201

11 xrxx

xf

6) 10 xx

7) k = k + 1 Volte ao passo 4.

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4.4 – Ordem de Convergência do MNR

Seja a função de iteração (x) desenvolvida em série de Taylor,em torno de x = r:

],[,!2

)()("

!1

)()(')()(

2

rxrxrxr

rx

mas,

)(

)(

0)('

1ii xx

rr

r

Generalizando para , resulta: 1ix

],[,!2

)()(")( 11

211

1 rxrx

rx iiii

i

ou,

2

112

11

2

)(")(

2

)("i

iii

ii eerxrx

2

)("limlim 1

21

i

ii

i

i e

e

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se, Cr

rrx iii 2

)("

2

)(" 111

portanto Ce

e

i

i

i

2

1

lim

Assim para i suficientemente grande pode-se escrever:

21 ii eCe

ou seja, o erro da iteração do MNR é proporcional ao quadrado do erro da iteração anterior. Por isso, diz-se que a convergência é quadrática, ou seja, p = 2.