limites
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Professora: Valéria Rosado Pinheiro
www.matematicaetecnologia.com.br
Limite
2
A noção intuitiva de limite
Considere um carro que pode se deslocar para e esquerda ou para direita, como ilustra a imagem abaixo:
3
Pode-se fazer o carro aproximar-se o quanto quisermos doprédio, porém o carro não pode ultrapassar a parede doprédio. Assim, o prédio é o limite para a trajetória docarro.
4
Outra maneira de estudar limite utilizando a idéia intuitiva é estudando o comportamento de uma função y=f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente , ao seu domínio.
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Imagine uma placa metálica quadradaque se expande uniformementeporque está sendo aquecida. Se x é ocomprimento do lado, a área da placaé dada por A = x² .
Exemplos:
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X 2,97 2,98 2,99 2,999999
A=x² 8,8209 8,8804 8,9401 8,999994
Note que, quanto mais x se avizinha de 3, a área A tende a 9.
Expressamos isto dizendo que quando x se aproxima de 3, x²se aproxima de 9 como um limite.
Simbolicamente escrevemos:
9lim 2
3
x
x
7
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos darvalores a x que se aproximem de 1,pela sua direita (valores maiores que 1)e pela esquerda (valores menores que1) e calcular o valor correspondentede y.
8
9
Investigue o comportamento de umafunção f definida por f(x)=x+2para valores de x próximos de 1.
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Definição
Seja uma função definida em um intervalo aberto contendo a
(exceto possivelmente no próprio a) e seja L um número real. O
limite de f(x) quando é igual a L é denotado por:
Lxfax
)(lim
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12
Calcule o limite abaixo usando
a definição:
Exemplo:
1lim1
xx
13
Calcule o limite abaixo usando
a definição: )54(lim3
xx
14
A fim de que não tenhamos que
voltar repetidamente à definição de
limite para provarmos ...Lxfax
)(lim
Teoremas
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Apresentaremos os teoremas
algébricas do limite de uma função.
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1ª Teorema
Se C pertence a R e f é a função
definida por f(x)=c, para todo x
real, então ccax
lim
17
Calcule o limite de f(x)=3
quando x tende para 2.
Exemplo:
18
2ª Teorema
Se C pertence a R e
,então Lcxfcxfcaxax
.)(lim.)](.[lim
Lxfax
)(lim
19
Calcule o limite de f(x)=3.(x+2)
quando x tende para 1.
Exemplo:
20
3ª Teorema
Se e
,então
ML
xgxf
xgxf
axax
ax
)(lim)(lim
)]()([lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
21
Calcule o limite de y=(x+3)+(x+2)
quando x tende para 1.
Exemplo:
22
4ª Teorema
Se e
,então
ML
xgxf
xgxf
axax
ax
)(lim)(lim
)]()([lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
23
Calcule o limite de y=(x+3)-(x+2)
quando x tende para 1.
Exemplo:
24
5ª Teorema
Se e
,então
ML
xgxf
xgxf
axax
ax
.
)(lim).(lim
)]().([lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
25
Calcule o limite de y=(x+3).(x+2)
quando x tende para 2.
Exemplo:
26
6ª Teorema
Se ,
,então *,)]([lim NnLxf nn
ax
Lxfax
)(lim
27
Calcule o limite de y=(x+3)²
quando x tende para 1.
Exemplo:
28
7ª Teorema
Se e
,então
M
L
xg
xf
ax
)(
)(lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
29
Calcule o limite de y=(x+3)/x²
quando x tende para 1.
Exemplo:
30
8ª Teorema
Se ,
,então *0,)(lim NneLcomLxf nn
ax
Lxfax
)(lim
31
Calcule o limite de
quando x tende para 7.
Exemplo:
3 )1( xy
32
9ª Teorema
Seja f uma função logarítmica de
bx aabx
logloglim
xxf alog)(
33
Dado
Exemplo:
xxf 3log)(
Calcule o limite desta função
quando x tende para 2.
34
Limites de uma função polinomial
Teorema : )()(lim afxfax
35
Calcule o limite de y=3x²-5x+2
quando x tende para 2.
Exemplo:
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Exercício
A função produção de um
certo bem em relação à
quantidade de matéria prima, em
quilogramas é dada por:
2
4)(
2
x
xxP
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Determine e interprete a
produção quando se tem 2
quilogramas de matéria prima.
Continuação do exercício
38
Limites Laterais
O comportamento em algumasfunções, quando x estápróximo de a, mas assumevalores menores que a, édiferente do comportamentoda mesma função, quando xestá próximo de a, mas assumevalores maiores que a.
39
Exemplo
Na função
12
12
14
)(
xsex
xse
xsex
xf
Atribua valores próximos de 1, à
esquerda de 1 e à direita de 1.
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x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
f(x) 3,1 3,01 3,001 -1 -0,99 -0,9
Observe que, se x esta próximo de 1, à esquerda de 1, então os valores da função estão próximos de 3, e se x está próximo de 1, à direita, estão os valores da função estão próximos de -1.
41
Definição (1)
Seja f uma função definida em um
intervalo aberto de a pela direita,
será L e escrevemos.
Lxfax
)(lim
ba,
42
Definição (2)
Seja f uma função definida em um
intervalo aberto de a pela esquerda,
será L e escrevemos.
Lxfax
)(lim
ba,
43
Seja f uma função definida em um
intervalo aberto contendo a, exceto
possivelmente em a, tem-se que,
...Lxfax
)(lim
Teoremas
44
... Se somente se,
Lxfax
)(lim
continuação
Lxfax
)(lim
Isto significa que se os limites laterais forem iguais, afunção tem limite no ponto. Se forem diferentes, não temlimite neste ponto.
45
Exemplo
Considere a função 2
1)(
xxf
Atribua valores próximos de 2, e
verifique se existe limite neste ponto.
46
Repare que quando x tende a 2 pela direita (ou seja, x > 2), cresce infinitamente de modo positivo e quando x tende a 2 pela esquerda(ou seja, < 2), decresce infinitamente de modo negativo.
47
Limite Infinito
48
1ª Teorema
Se C pertence a R e f é a função
definida por f(x)=c, para todo x
real, então ccx
lim
49
Calcule o limite de f(x)=3
quando x tende para infinito.
Exemplo:
50
Produto com infinito
51
2ª Teorema
Se C pertence a R e
,então Lcxfcxfcxx
.)(lim.)](.[lim
Lxfx
)(lim
52
Calcule o limite de f(x)=3.(x+2)
quando x tende para infinito.
Exemplo:
53
Soma e subtração com infinito
54
3ª Teorema
Se e
,então
ML
xgxf
xgxf
axax
ax
)(lim)(lim
)]()([lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
55
Calcule o limite de y=(x+3)+(x+2)
quando x tende para infinito.
Exemplo:
56
4ª Teorema
Se e
,então
ML
xgxf
xgxf
axax
ax
)(lim)(lim
)]()([lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
57
Calcule o limite de y=(x+3)-(x+2)
quando x tende para infinito.
Exemplo:
58
5ª Teorema
Se e
,então
ML
xgxf
xgxf
axax
ax
.
)(lim).(lim
)]().([lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
59
Calcule o limite de y=(x+3).(x+2)
quando x tende para infinito.
Exemplo:
60
6ª Teorema
Se ,
,então *,)]([lim NnLxf nn
ax
Lxfax
)(lim
61
Calcule o limite de y=(x+3)²
quando x tende para infinito.
Exemplo:
62
Quociente com infinito
63
7ª Teorema
Se e
,então
M
L
xg
xf
ax
)(
)(lim
Lxfax
)(lim Mxgax
)(lim
64
Calcule o limite de y=(x+3)/x²
quando x tende para infinito.
Exemplo:
65
8ª Teorema
Se ,
,então *0,)(lim NneLcomLxf nn
ax
Lxfax
)(lim
Obs.:
66
Calcule o limite de
quando x tende para infinito.
Exemplo:
3 )1( xy
67
9ª Teorema
Seja f uma função logarítmica de
aa x
xlim
xaxf )(
68
Dado
Exemplo:
xxf 2)(
Calcule o limite desta função
quando x tende para infinito.
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Indeterminação
Em situações em que as regras
operatórias não se pode aplicar, diz-se que
há indeterminação e é preciso recorrer a
outras estratégias para descobrir o limite
(caso exista).
70
Indeterminação do tipo
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
71
Resolução:
72
Indeterminação do tipo
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
Tipos de casos (1)
73
Indeterminação do tipo
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
Tipos de casos (2)
74
Indeterminação do tipo
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
Tipos de casos (3)
75
Indeterminação do tipo
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
No caso de indeterminações destetipo, deve-se simplificar a fração,substituindo por outra equivalente.
76
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
Exemplo:
77
Indeterminação do tipo
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
Neste caso, basta transformar afração e um dos casos anteriores.
78
Consideremos o limite,
Este limite gera uma indeterminação
Para resolver este problema, iremos por em
evidência o termo de maior grau.
Exemplo:
79