AULA EXPOSITIVA

LIMITES

Professora Aparecida de Cássia O. Lima

IDEIA INTUITIVA DE LIMITE

Consideremos uma figura de forma quadrada e

de área igual a 1.

1

1

Vamos colorir de azul metade dessa figura:

área colorida: ½

Vamos colorir de laranja metade do que restou

em branco:

área colorida: ½ + ¼ = ¾

Vamos colorir de verde metade do que restou

em branco:

área colorida: ½ + ¼ + ⅛ = ⅞

Continuando esse processo sucessiva e

indefinidamente, a região colorida vai preenchendo

quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se

aproximando de 1, ou seja, vai tendendo a 1.

½ , ¾ , ⅞ , , , . . .

Quando dizemos que a área da região colorida

tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem

no entanto assumir esse valor.

Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1.

1615

3231

LIMITES

Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar

o comportamento de uma função à medida que ela

se aproxima de alguns valores, sempre relacionando

os pontos x (domínio) e y(f(x) imagem). Ou seja, analisar

o comportamento de uma função na vizinhança de um

determinado ponto, mas não exatamente no ponto dado.

Qual o valor que uma função f(x) qualquer

quando x se aproxima de um determinado valor?

DEFINIÇÃO DE LIMITE

Consideremos uma função f(x) definida para valores de x

próximos de um ponto a sobre o eixo x, mas não

necessariamente definida no próprio ponto a.

Suponhamos que exista um número L com a propriedade

de que f(x) fica cada vez mais próximo de L quando x se

aproxima mais e mais de a.

f(x)

a

L

Nessas circunstâncias, dizemos que L é o limite de f(x)

quando x tende a a e expressamos isto simbolicamente

escrevendo :

lim f(x) = L

x → a

Se não existe um número L com essa propriedade,

dizemos que f(x) não tem limite quando x tende a a, ou

que o lim f(x) não existe.

x → a

Se pudermos tornar os valores de f(x) próximos de L (tão

próximos de L quanto quisermos), tomando x

suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a)

mas não igual a a.

x f(x) = x + 3

2 5

1,5 4,5

1,25 4,25

1,1 4,1

1,01 4,01

1,001 4,001

1,0001 4,0001

4)(lim1

xfx

Estudemos o comportamento da função f(x) quando x

estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.

x f(x) = x + 3

0 3

0,25 3,25

0,75 3,75

0,9 3,9

0,99 3,99

0,999 3,999

Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.

Pela esquerda Pela direita

4)(lim1

xfx

4

1 x

y

Note que, à medida que os valores de x se aproximam de 1,

por valores menores que 1 (pela esquerda) ou por valores

maiores que 1 (pela direita), f(x) se aproxima de 4.

De acordo com o exposto, podemos dizer que:

O limite de f(x) quando x tende a 1 pela esquerda é

igual a 5, e indicamos por: lim f(x) = 4 x → 3—

O limite de f(x) quando x tende a 1 pela direita é

igual a 5, e indicamos por: lim f(x) = 4 x → 3+

Os limites à esquerda e à direita são chamados de

limites laterais.

Assim, de maneira simplificada: lim f(x) = 5 x → 3

Veja outro exemplo: seja y = f(x) = 2x + 1. Calcule: lim f(x)

x→1

Aproximação à esquerda Aproximação à direita

x y

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados,

ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x→1)

implica em (y → 3). Assim, diz-se que:

3)12(lim)(lim

11

xxf

xx

Neste caso o limite é igual ao

valor da função.

Esta afirmação não é válida para

toda e qualquer situação.

3)1()( lim1

fxfx

O que ocorre com f(x) quando x = 1?

y

x 1 5

3

2

Lim f(x) = L = 2 x 1

Lim f(x) existe, mas não coincide com f(1) x 1

x 1

y

5

2

1

Calcular o limite não é calcular o valor da

função em um ponto.

Para o limite existir no ponto observado, os

limites laterais devem ser iguais:

se e somente se e Lxf

ax

)(lim

Lxfax

)(lim

Lxfax

)(lim

LIMITE LATERAIS – CONDIÇÃO DE

EXISTÊNCIA DO LIMITE

Dada a função f: IR IR, definida por:

1,3

1,1)(

xparax

xparaxxf

Determinar, graficamente, )(lim1

xfx

4

2

1

2)(lim1

xfx

4)(lim1

xfx

Não existe limite de f(x), quando x tende para 1

Considere a função f(x), representada no gráfico a

seguir, determine:

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

)(lim6

xfx

)(lim6

xfx

Dado o gráfico de f(x):

3

5

-3

3

-2 x

f(x)

3.5 f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlim

limlim

2x0x

3x3x

Encontre:

Dado o gráfico de f(x):

Encontre:

g(x))

g(x)) g(x)e)

g(x)d)g(x)c)

g(x)b)g(x)a)

lim

limlim

limlim

limlim

4x

1x5x

5x2x

2x2x

-

-

g

f

EXEMPLO

Dada a função f(x) definida por f(x) =

representá-la graficamente e verificar no gráfico os limites:

a) lim f(x) d) lim f(x)

b) lim f(x) e) lim f(x)

c) lim f(x) f) lim f(x)

x + 1, se x > 2

x2 + 1, se x ≤ 2 e x ≠ – 1

x → – 2

x → 0

x → – 1

x → 2 –

x → 2 +

x → 2

EXERCÍCIO

ATIVIDADE

Dado o gráfico da função f(x) e as afirmações seguintes,

quais são verdadeiras? y

f(x)

x

x →1

c

b

f(x)

0 a

a) lim f(x) = b d) lim f(x) = c

b) lim f(x) = c e) lim f(x) = c

c) lim f(x) = 0 f) Não existe lim f(x)

x → a

x → a

x → a x → a

x → a +

x → a –

5

4

3

2

1

– 2 – 1 0 1 2 3 x

y

x + 1, se x > 2

x2 + 1, se x ≤ 2 e x ≠ – 1 f(x) =

a) lim f(x) d) lim f(x)

b) lim f(x) e) lim f(x)

c) lim f(x) f) lim f(x)

x → – 2 x → 2 –

x → 2 + x → 0

x → – 1 x → 2

ATIVIDADE

Seja o gráfico da função f(x). Determine, se

existir:

a)

b)

c)

d)

e)

Uma função f é contínua em um número x0 se

Para isto, devem ser satisfeitas as seguintes condições:

1. f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f)

2.

3.

)()(lim afxfax

Continuidade de uma função em um número

)()(lim afxfax

)()(lim afxfax

Uma função f é contínua em um intervalo aberto

se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

a) b)

c)

Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.

As seguintes funções são contínuas para todo o

número de seus domínios:

Polinômios

Funções trigonométricas

Funções trigonométricas inversas

Funções Exponenciais

Funções Racionais

Funções Logarítmicas

Funções raízes

1. Vamos averiguar se a função f é contínua no ponto x=1

sendo

2. Seja g a função definida por x=-2 e vamos averiguar se g é contínua no ponto

Portanto, quando se trata de um limite procurado

dentro de um intervalo contínuo, encontramos o seu

valor por uma substituição direta.

Exemplo:

4 )lim3x

a

42x )lim3x

b

2-x

4-x² )lim

2x

c

2

3 )

2

2xlim

x

xxd

2x )lim7x

e

3

9 )lim

9x

x

xf

Seja

3 x7,-3x

3 x,1)(

xxf

Encontre:

f(x) )lim-3x

a f(x) )lim3x

b f(x) )lim3x

a

Seja

2 t2t,

2t0 t²,

0 x,2

)(

t

xf

Encontre:

f(x) )lim0x

a f(x) )lim1x

b f(x) )lim2x

a