funcao e limites

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Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites UEMS - Nova Andradina-Informática CURSO DE: SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO I Funções e Limites Informática Prof: Marcio Demetrius Martinez Nova Andradina 2010

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Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites UEMS - Nova Andradina-Informática

CURSO DE:

SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA

DISCIPLINA:

CÁLCULO I

Funções e Limites

Informática

Prof: Marcio Demetrius Martinez

Nova Andradina – 2010

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O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO

1 - FUNÇÃO 1.1 O que é uma função

Uma função matemática é, essencialmente, uma forma especial de se fazer uma correspondência entre elementos de dois conjuntos.

Definição:

Entendemos por uma função f uma terna

(A, B, ba )

Em que A e B são dois conjuntos e ba , uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B.

O conjunto A é o domínio de f e indica-se por fD , assim A= fD . O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B

associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que

f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem

de f e que se indica por .Im f

fDxxff /)( Im

Uma função de f de domímio A e contradomínio B é usualmente indicada por :f (leia: f de A em B).

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função :f , onde A e B são subconjuntos de R (reais).

Seja :f uma função. O conjunto

AxxfxG f /))(,(

denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números

reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o

lugar geométrico descrito pelo ponto (x,f(x)) quando x percorre o domínio de f.

Tipos particulares de funções

Função Constante

Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .

Exemplos: a) f(x) = 5; b) f(x) = -3; c) Quem é o domínio e o conjunto imagem de f?

Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .

Veja o gráfico a seguir:

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FUNÇÃO DO 1º GRAU

Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a 0 .

Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Funções Crescente e Decrescente

Definição:

Função crescente: f é uma função crescente quando: fDxx 21 , se

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

Função decrescente: f é uma função decrescente quando: fDxx 21 , se

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

Propriedades da função do 1º grau :

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .

2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b 0 f é dita função afim . 3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a . 4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear . 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a > 0 , então f é crescente . 7) se a < 0 , então f é decrescente . 8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Exemplos:

1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

Exercício: 1. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2

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c) 0 d) 3 e) -3

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 0 .

Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;

y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo . 2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a yv = - /4a , onde = b

2 - 4ac

4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 .

5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) . 6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a. 7) ymax = - / 4a ( a> 0 ) 8) ymin = - /4a ( a < 0 ) 9) Im(f) = { y R ; y > - /4a } ( a > 0 ) 10) Im(f) = { y R ; y < - /4a} ( a < 0) 11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax

2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :

y = a(x - x1).(x - x2)

Exemplos

1 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então: a) o seu valor máximo é 1,25 b) o seu valor mínimo é 1,25 c) o seu valor máximo é 0,25 d) o seu valor mínimo é 12,5 *e) o seu valor máximo é 12,5.

SOLUÇÃO: Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever: y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3) y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem: 8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)

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8 = a(1)(-4) = - 4.a Daí vem: a = - 2

A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3) y = -2x

2 + 6x - 4x + 12

y = -2x2 + 2x + 12

Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12. Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo. Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o valor máximo da função. = b

2 - 4ac = 2

2 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100

Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Logo, a alternativa correta é a letra E.

2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível? *a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2

SOLUÇÃO: Seja x o número procurado. O quadrado de x é x

2 .

O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.

Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .

Podemos escrever: y = - x

2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.

O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).

Assim, xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2 Logo, a alternativa correta é a letra A .

Funções Modulares

Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:

Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio

Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Exemplo 1: Determinar o domínio da função

Resolução:

Exemplo 2: Determinar o domínio da função

Resolução:

0 se ,

0 se ,)(

xx

xxxf

3||

1)(

xxf

}3ou 3|{ :Resposta

3ou 3 3|| 03|| :Então

.03|| se IR em possível é só 3||

1 que Sabemos

xxIRxD

xxxx

xx

|1|2)( xxf

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Gráfico

Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:

x y=f(x)

-1 1

-2 2

0 0

1 1

2 2

Gráfico da função f(x)=|x|:

1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é –4. 2. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto (-3, -1) e de coeficiente linear igual a 8? 3. Construa o gráfico das seguintes funções e determine o domínio e a imagem:

a) 4x2

1)x(f d)

3

x52)x(f

b) x22)x(f e) 0x,x

0x,x)x(f

2

se

se

c) 5)x(f f) 23

x2)x(f

4. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com 3t2S , em que S indica a posição do corpo (em metros)

no instante t (segundos). Construa o gráfico de S em função de t.

5. Considere a função :f definida por 3x5)x(f ; sem construir o gráfico, responda:

a) Qual é a figura do gráfico de f? b) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo x? c) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo y? d) f é função crescente ou decrescente?

6. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) Escreva a função que fornece o custo total; b) Calcule o custo de 100 peças. 7. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P (em watts) que um certo

gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação 2P(i) 20i 5i= - , em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa

o gerador, determine o número de watts que expressa a potência P quando i = 3 ampères.

8. Atribuindo para x os valores –1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5, construa o gráfico da função definida por x4x)x(f 2. A seguir, responda

com base no gráfico ou na lei da função. a) A concavidade fica para cima ou para baixo? b) Qual é o vértice dessa parábola?

}31|{ :Resposta

31 1212 212

212 2|1| 2|1| 0|1|2 :Então

.0|1|2 se IR em possível é só |1|2 que Sabemos

xIRxD

xxx

xxxx

xx

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c) Em que ponto a parábola intersecta o eixo y? d) Em quantos pontos ela intersecta o eixo x? Quais são esses pontos?

e) Essa função é crescente ou decrescente? f) Qual é a imagem dessa função?

g) Determine se )3f(19f,7

9f,

3

7f e são maiores, menores ou iguais a zero.

h) Existe x tal que 3)x(f ? Em caso positivo, determine x?

9. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3,-2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2,-4); em seguida,

verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:

a) 4x8x2)x(f 2 b) 4x8x2)x(f 2

c) 4x8x2)x(f 2

10. A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute,

seja dada por t6th 2, determine:

a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? 11. Determine o vértice, os pontos que interceptam os eixos Ox e Oy, o valor máximo (mínimo), o domínio e a imagem das seguintes funções:

a) 3x2x)x(f 2 d) x6x)x(f 2

g) 3x4x)x(f 2

b) 1x2x)x(f 2 e) 16x10x)x(f 2

h) 1x4x4)x(f 2

c) 5x3x)x(f 2 f) 4x)x(f 2

12. :f é a função quadrática definida por 4x5x)x(f 2.

:g é a função quadrática cujo gráfico é:

13. Seja RR:f a função dada por: 2x)x(f e seja RR:g a função dada por

h

)x(f)hx(f)x(g , com 0h

. Nessas condições, )x(g é igual a :

a) h b) x c) 2x d) 2x + h e) x + h

Se , então é igual a: (A) 1 (B) 2 (C) 3

(D) 4 (E) 5

14. Se a função é tal que então é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

15. Na equação fizemos , então o valor de é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

16. Montar a função que representa:

a) a quantidade de material (área) usada numa caixa sem tampa, de base quadrada, com 2l de volume.

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b) o volume da caixa sem tampa, que se consegue a partir de uma chapa quadrada, com 2m x 2m , recortando os quatro cantos

quadrado e dobrando as bordas.

17. . Uma papelaria cobra R$ 0,10 por cópia em sua máquina de fotocópia, até 100 cópias. De 100 até 250 o valor por cópia cai para R$ 0,08 e para um número de cópias superior a 250 é cobrado R$ 0,05 por cópia. Nesta situação podemos perceber que para cada faixa de quantidade de cópias tiradas tem-se um valor diferente a pagar pela cópia.

Para facilitar a cobrança, o proprietário quer montar uma tabela para saber direto quanto vai receber de em cliente pelas cópias. Monte a função que representa a situação. 18. .Determinar o domínio das seguintes funções:

a) 24 xy [-2,2]

b) 4 73 xxy [-3,7]

c) 1x

xy (-oo,-1) U [0,+oo)

d) 25,42 xxy [-5,2]

19. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico

a. f(x)= -x+2 b. f(x) = -x/2 + 1 c. f(x)= -x/2 + 2 d. f(x)=4x e. f(x)= -x

20.. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

a = 0 ; b = 0

a. a > 0 ; b > 0 b. a < 0 ; b > 0 c. a > 0 ; b = 0 d. a > 0 ; b < 0

21. A representação da função y = -3 é uma reta :

a. paralela aos eixo das ordenadas b. perpendicular ao eixo das ordenadas

c. perpendicular ao eixo das abcissas d. que intercepta os dois eixos

e. nda

22. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :

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a. a < 2 b. a < 0 c. a = 0 d. a > 0 e. a = 2

23. O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?

a. y = 2x - 3 b. y = - 2x + 3 c. y = 1,5 x + 3 d. 3y = - 2x e. y = - 1,5x + 3

24. - Considere a função f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:

a. vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);

b. f possui dois zeros reais e distintos;

c. f atinge um máximo para x = 1;

d. gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.

e. nda

25. Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia , contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função

x

xxf

150

300)( . Se o número de funcionários para distribuir,

em um dia, as contas de luz foi 75, qual a porcentagem de moradores que a receberam?

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Limite

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.

Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1).

Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.

De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

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Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que

procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, 1

lim ( )x

g x =1

lim 2x

x = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Exemplos:

1) Analise da equação 3 2

3 6

2f xx

x x

Ilustração Gráfica

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12

antes de 2 depois de 2

X F(x) X F(x)

1,9 1,20333333 2,1 1,47000000

1,99 1,32003333 2,01 1,34670000

1,999 1,33200033 2,001 1,33466700

1,9999 1,33320000 2,0001 1,33346667

1,99999 1,33332000 2,00001 1,33334667

1,999999 1,33333200 2,000001 1,33333467

Quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 1,3333 ou seja, 4

3 está f(x).

Fatorando f(x) teremos 2( 2)

3( 2)

x xf x

x. Se x 2 temos a equação y = 21

3 x , sendo o gráfico uma parábola com ponto omitido em 42,

3.

Então:

3 2

2

2 4lim

3 6 3x

x x

x

2)

2x)x(f

3)x(flim 1x

1x

2xx)x(g

2

3)x(glim 1x

3) 4lim (2 3) 2(4) 3 8 3 5x x

4) 2 2

3lim ( 1) ( 3) 1 9 1 10x x

5) 7lim 2 7 2 9 3x x

6) 25lim 6 6x

7) 2

1

2 ( 1)( 2)lim 3

1 1x

x x x x

x x

Então:

Notação Significação intuitiva Interpretação gráfica

lim ( )x a

f x L Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x

suficientemente próximo de a e x a

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13

Exercícios: Ache o limite:

1. 2

lim (3 1)x

x

2. 4

limx

x

3. 100

lim 7x

4. 1

limx

5. 1

4lim

2 1x

x

x

6. 2

3lim 2x

x

7. 3

lim ( )x

x

8. 7

lim100x

9. lim( 1)x

10. 5

2lim

4x

x

x

11.

2

2

4lim

2x

x

x

12.

2

21lim

2 5 7r

r r

r r

13.

2

4

16lim

2x

x

x

14.

3

2

8lim

2h

h

h

15. 22

4lim

2 8z

z

z z

16.

2

23

2 3lim

7 12x

x x

x x

17. 25

5lim

10 25x

x

x x

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14

1) Propriedades Operatórias dos Limites Sejam f(x) e g(x) funções limitadas

P1 AAax

lim onde A constante

P2

)(lim)(lim)()([lim xgxfxgxfaxaxax

P3

)(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfaxaxax

P4 )(lim.)(.lim xfAxfAaxax

P5 )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

P6 n

ax

n

axxfxf )](lim[)]([lim

P7 nax

n

axxfxf )(lim)(lim

P8

)(lim

)](lim[)]([lim )(xg

ax

xfxfax

xg

ax

P9 O Limite da Função Polinomial:

01

1

1 ......)( axaxaxaxf n

n

n

n

quando x tende a a é igual a f(a).

2) Calcule o valor dos limites utilizando suas propriedades:

a) 3

4

2

2lim

x

x

x R:

4

7

b) 42

13lim

2

23

1 xx

xxx

x R: 6

c) x

x

x 3

5lim

5 R:0

d) 2

limx

32

23

42

822

xx

xx R: 2

Formas Indeterminadas

00 ;1;0;.0;;;

0

0

3) No cálculo de limites podem ocorrer indeterminações do tipo 0/0, o que não significa ausência de limites, os quais podem ser determinados recorrendo à construção de gráficos ou utilizando operações algébricas elementares. Nestas condições, calcule o valor dos limites, se existirem:

Page 15: funcao e limites

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15

a) 1

limx

23

12

2

xx

x R: -2

b)

0limh

h

xhx 33

R: -3x2

c) 5

limx

5

252

x

x R: -10

d) 0

limx

x

xx

4

2

R: 4

1

e) 5

limx

5

52

x

xx R: - 5

f) 3

limx

3

652

x

xx R: 1

g) 0

limx

x

x 33 R:

6

3

h) 2

limx

22

2

x

x R: 4

i) 4

limx

2

321

x

x R:

3

4

j) 1

limx

1

6

1

23xx

R: 2

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

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16

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

aa)

bb)

Page 17: funcao e limites

Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites UEMS - Nova Andradina-Informática

Prof. Marcio

17

Use os teoremas sobre limites para determinar o limite quando existir

1. 2

15limx

2. 15

2limx

3. 2

limx

x

4. 3

limx

x

5. )43(lim4

xx

6. )13(lim2

xx

7. 34

5lim

2 x

x

x

8. 13

12lim

4 x

x

x

9. 4

1)52(lim x

x

10. 5

2)13(lim x

x

11. 100

3)93(lim x

x

12. 50

2

1)14(lim x

x

13. )723(lim 3

2xx

x

14. )895(lim 2

4xx

x

15. )4)(3(lim 2

2xx

x

16. )97)(43(lim3

xxx

17. )1416,3(lim xx

18. 7

11

2

1lim xx

19. 92

16lim

4 x

x

x

20. 7816

364lim

3

2

2

1 xx

xx

x

21. )325(lim 2

4xx

x

22. )5)(2(lim 23

3xxx

x

23. 34

2lim

21 xx

x

x

24.

2

4

24

1 32

6lim

xx

xx

x

25. )1()1(lim 29

2xx

x

26. 63lim 4

1xx

x

27. 276

352lim

2

2

2

1 xx

xx

x

28. 8

2lim

32 x

x

x

29. 2

2

2 2

2lim

x

xx

x

30. 65

32lim

2

2

2 xx

xx

x

31. 16

8lim

4

3

2 x

x

x

32. 4

16lim

16 x

x

x

33. )1)(3(

)4)(3(lim

3 xx

xx

x

34. 1

)3)(1(lim

2

1 x

xx

x

35. 2

4lim

2

2 x

x

x

36. 3

362lim

23

3 x

xxx

x

37. 752

lim2

2

1 xx

xx

x

38. 127

32lim

2

2

3 xx

xx

x

39. 2

16lim

2

4 x

x

x

40. 25

5lim

25 x

x

x

41. 2

8lim

3

2 x

x

x

42. 4

8lim

2

3

2 x

x

x

43. 82

4lim

22 xx

x

x

44. 2510

5lim

25 xx

x

x

45. 7

49lim

2

7 x

x

x

46. 5

25lim

2

5 x

x

x

47. 32

94lim

2

2/3 x

x

x

48. 19

13lim

23/1 x

x

x

49. 492

1683lim

2

2

4 xx

xx

x

50. 36254

20173lim

2

2

4 xx

xx

x

51. 372

9lim

2

2

3 xx

x

x

52. 94

278lim

2

3

2

3 x

x

x

53. 1

1lim

1 x

x

x 54.

1

1lim

3

1 x

x

x

Page 18: funcao e limites

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18

55. 562

32lim

23

2

1 xxx

xx

x

56. 1616173

810112lim

23

23

4 xxx

xxx

x

57. 34134

3252lim

23

23

3 xxx

xxx

x

58. 23

10lim

2

23

2 xx

xxx

x

59. 1

1

1lim

2

1 xx

x

x

60.

6

1

1lim

xx

x

61. 5

2lim

4

2/3

16 x

xx

x

62. 3/4

3/2

8 4

16lim

x

x

x

63. 3 2

445lim xx

x

64. 44lim 4

2xx

x

65. 32

3

3 1

352lim

x

xx

x

66. 5limx

x

x

67. x

x

x

164lim

0

68. 11

11lim

0 xxx

69. 1

2lim

5

2

1 x

xx

x

70. 64

107lim

6

2

2 x

xx

x

71. )9)(43(lim 32

3xxx

x

72. 32

223 43lim xx

x

Page 19: funcao e limites

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19

Repostas dos exercícios

1. 15

2. 2

3. -2

4. 3

5. 8

6. 7

7. 5

7

8. 7

13

9. 81

10.-16 807

11. 0

12. 1

13. -13

14.36

15. 5 202

16. 150

17. -3,1416

18.11

2 7

19. -23

20. -1

21. 75

22. -174

23. 2

1

24.4

9

25. -3

26. 10

27. -7

28. 1

12

29. NE

30. NE

31. 8

3

32. 8

33. 2

7

34. 4

35. 4

36. 19

37. 9

1

38. -4

39. 32

40.1

10

41. 12

42. 3

43. NE

44.NE

45. 14

46. -10

47. -6

48. NE

49. 7

16

50. 1

51. 5

6

52. 9

2

53. 2

1

54. 3

55. -1

56.3

4

57. 17

11

58. -15

59. 2

60. 64

61. 7

72

62. 16

3

63. -2

64. 28

65. -2

66. 0

67. 8

1

68. 1

2

69. 5

3

70. 1

64

71. -81072. 8

Page 20: funcao e limites

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20

LIMITES LATERAIS

Notação Significação intuitiva Interpretação gráfica

LxfLimax

)(

(limite mínimo)

Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x

suficientemente próximo de a e x<a

LxfLimax

)(

(limite máximo)

Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x

suficientemente próximo de a e x>a

TEOREMA DOS LIMITES LATERAIS

LxfLimax

)( LxfLimax

)( = )(xfLimax

O teorema nos diz que o limite de f(x), quando x se aproxima de a, existe se e somente se ambos os limites laterais existem (direito e esquerdo) e são iguais. Exemplos:

1) Estude os limites laterais para 1

12)(

2

x

xxxf

ou seja, ache )(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

2) Esboce os gráficos da função f definida por:

2

3 x, se x 1

f(x) 4, se x 1

x 1, se x 1

ache )(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

3) Esboce os gráficos da função f definida por:

1 se ,2

1 se ,4)(

2

2

xx

xxxf

ache )(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

4) Esboce os gráficos da função f definida por: 3 se ,10

3 se ,12)(

xx

xxxf

ache )(lim3

xfx

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

CONCEITO DE LIMITE INFINITO

Vamos analisar a equação 2

1

xxf

Page 21: funcao e limites

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21

Usando limites laterais, temos:

a) )(lim2

xfx

X 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001

F(x) 10 100 1000 10000 100000 1000000

Quanto mais x se aproxima de 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite.

2 quando , 2

1 ou

2

1lim

2x

x-xx

b) )(lim2

xfx

X 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

F(x) -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000

Quanto mais x se aproxima de 2 pela esquerda, f(x) aumenta sem limite.

2 quando , 2

1 ou

2

1lim

2x

x-xx

Vamos analisar a mesma equação

2

1

xxf Para )(lim

2xf

x

Pelo TEOREMA DE LIMITES LATERAIS, não existe limite, pois os limites a direita e a esquerda são diferentes. EXEMPLOS:

Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como + , - ou NE (não existe).

)(lim)();(lim)();(lim (a)-ax

xfcxfbxfaxax

1. 3

5)(

xxf a = 3

2. 2

1

1)(

xxf a = 1

3. 2)4(

3)(

x

xxf a = -4

CONCEITO DE LIMITE NO INFINITO

Vamos analisar a equação X

xf1

2

Consideremos agora valores para x que se tornam cada vez mais grande.

X 10 100 1000 10000 100000 1000000

F(x) 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001

Podemos tornar f(x) tão próximo de 2 quanto quisermos escolhendo x suficientemente grande. Denota-se este fato por:

Page 22: funcao e limites

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22

xxx

quando ,2 x

12 ou 2

12lim

Consideremos agora valores para x que se tornam cada vez mais pequeno para X

xf1

2

X -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000

F(x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

Podemos tornar f(x) tão próximo de 2 quanto quisermos escolhendo x suficientemente pequeno. Denota-se este fato por:

xxx

quando ,2 x

12 ou 2

12lim

Vamos analisar a mesma equação X

xf1

2

Para )(lim xfx

)(lim xfx

TEOREMA DE LIMITE NO INFINITO

Se k é um número racional positivo e C é um número real arbitrário, então:

0limkx x

C e 0lim

kx x

C,

desde que kx seja sempre definido

O teorema é útil para o estudo de limites de funções racionais. Especificamente, para achar )(lim xfx

ou )(lim xfx

para

uma função racional f.

Primeiro dividimos numerador e denominador de )(xf por nx , em que n é a mais alta potência de x que aparece no

denominador, e em que seguida aplicamos os teoremas específicos de limites.

EXEMPLOS

a) 2

1lim

xx

b) 4

2lim

xx

Page 23: funcao e limites

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23

c) xx

11lim

d) 23

52lim

4

2

xx

x

x

e) 14

52lim

3

2

x

xx

x

1. Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como + , - ou NE (não existe).

)(lim)();(lim)();( xfcxfbxfaxax

-ax

lim (a)

1. 4

5)(

xxf a = 4

2. x

xf4

5)( a = 4

3. x

xxf

5)( a = -5

4. 3)52(

8)(

xxf a =

2

5

5. 2)8(

3)(

x

xxf a = -8

6. 7

5)(

xxf a = 7

7. 2)3(

1)(

xxxf a = 3

8. 6

2)(

x

xxf a = -6

9. 2

2)(

2

2

xx

xxf a = -1

10. 2

1

1)(

xxf a = -1

2. Determine o limite se existir:

1. )843(lim 2xx

x R: +

2. )4845(lim 23xxx

x R: -

3. )3(lim 34xx

x R: +

4. )53(lim xx R: -

5. 742

135lim

2

2

xx

xx

x R: 2

5

RESPOSTAS nº 1

1. - , + , NE

2. + , - , NE

3. + , - , NE

4. - , + , NE

5. - , - , -

6. - , + , NE

7. + , + ,

8. + , - , NE

9. + , - , NE

10. - , - , -

Page 24: funcao e limites

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24

6. x

x

x 32

74lim

R: 3

7

7. xx

x

x 54

32lim

3

2

R: 0

8. 3

2lim

2

x

x

x

R: -

9. 14

13lim

2

2

x

xx

x R: 4

1

10. 32

2lim

2

3

x

xx

x R: -

11. 26

3lim

3

3

x

xx

x R: 2

1

1. Calcule o limite, se existir:

2

3

22

2

0

9

0

2

3

12lim

3

2lim

6

( 5) 25lim

9lim

3

2 2lim

12lim

3

x

x

h

t

t

x

x x

x

x

x x

h

h

t

t

t

t

x x

x

2

21

2

4

21

1 1

2lim2

1 2lim

1 1

lim 5 2 3

2lim

4 3

x

x

x

x

xx

x x

x x

x

x x

2

21

3

21

2

22

4

2

2

9

2lim

3 2

1lim

1

6lim

4

16lim

2

81lim

3

x

x

t

x

x

x x

x x

x

x

t t

t

x

x

x

x