funcao e limites
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Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites UEMS - Nova Andradina-Informática
CURSO DE:
SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA
DISCIPLINA:
CÁLCULO I
Funções e Limites
Informática
Prof: Marcio Demetrius Martinez
Nova Andradina – 2010
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites UEMS - Nova Andradina-Informática
Prof. Marcio
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O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO
1 - FUNÇÃO 1.1 O que é uma função
Uma função matemática é, essencialmente, uma forma especial de se fazer uma correspondência entre elementos de dois conjuntos.
Definição:
Entendemos por uma função f uma terna
(A, B, ba )
Em que A e B são dois conjuntos e ba , uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B.
O conjunto A é o domínio de f e indica-se por fD , assim A= fD . O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B
associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que
f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem
de f e que se indica por .Im f
fDxxff /)( Im
Uma função de f de domímio A e contradomínio B é usualmente indicada por :f (leia: f de A em B).
Uma função de uma variável real a valores reais é uma função :f , onde A e B são subconjuntos de R (reais).
Seja :f uma função. O conjunto
AxxfxG f /))(,(
denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números
reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o
lugar geométrico descrito pelo ponto (x,f(x)) quando x percorre o domínio de f.
Tipos particulares de funções
Função Constante
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .
Exemplos: a) f(x) = 5; b) f(x) = -3; c) Quem é o domínio e o conjunto imagem de f?
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a 0 .
Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Funções Crescente e Decrescente
Definição:
Função crescente: f é uma função crescente quando: fDxx 21 , se
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
Função decrescente: f é uma função decrescente quando: fDxx 21 , se
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b 0 f é dita função afim . 3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a . 4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear . 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a > 0 , então f é crescente . 7) se a < 0 , então f é decrescente . 8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.
Exemplos:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.
Exercício: 1. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2
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c) 0 d) 3 e) -3
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo . 2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a yv = - /4a , onde = b
2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) . 6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a. 7) ymax = - / 4a ( a> 0 ) 8) ymin = - /4a ( a < 0 ) 9) Im(f) = { y R ; y > - /4a } ( a > 0 ) 10) Im(f) = { y R ; y < - /4a} ( a < 0) 11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax
2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
Exemplos
1 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então: a) o seu valor máximo é 1,25 b) o seu valor mínimo é 1,25 c) o seu valor máximo é 0,25 d) o seu valor mínimo é 12,5 *e) o seu valor máximo é 12,5.
SOLUÇÃO: Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.
Portanto, poderemos escrever: y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3) y = a(x + 2)(x - 3)
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem: 8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
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8 = a(1)(-4) = - 4.a Daí vem: a = - 2
A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3) y = -2x
2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12
Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12. Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo. Isto já elimina as alternativas B e D.
Vamos então, calcular o valor máximo da função. = b
2 - 4ac = 2
2 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Logo, a alternativa correta é a letra E.
2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível? *a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2
SOLUÇÃO: Seja x o número procurado. O quadrado de x é x
2 .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .
Podemos escrever: y = - x
2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).
Assim, xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2 Logo, a alternativa correta é a letra A .
Funções Modulares
Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:
Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio
Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Exemplo 1: Determinar o domínio da função
Resolução:
Exemplo 2: Determinar o domínio da função
Resolução:
0 se ,
0 se ,)(
xx
xxxf
3||
1)(
xxf
}3ou 3|{ :Resposta
3ou 3 3|| 03|| :Então
.03|| se IR em possível é só 3||
1 que Sabemos
xxIRxD
xxxx
xx
|1|2)( xxf
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Gráfico
Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:
x y=f(x)
-1 1
-2 2
0 0
1 1
2 2
Gráfico da função f(x)=|x|:
1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é –4. 2. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto (-3, -1) e de coeficiente linear igual a 8? 3. Construa o gráfico das seguintes funções e determine o domínio e a imagem:
a) 4x2
1)x(f d)
3
x52)x(f
b) x22)x(f e) 0x,x
0x,x)x(f
2
se
se
c) 5)x(f f) 23
x2)x(f
4. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com 3t2S , em que S indica a posição do corpo (em metros)
no instante t (segundos). Construa o gráfico de S em função de t.
5. Considere a função :f definida por 3x5)x(f ; sem construir o gráfico, responda:
a) Qual é a figura do gráfico de f? b) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo x? c) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo y? d) f é função crescente ou decrescente?
6. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) Escreva a função que fornece o custo total; b) Calcule o custo de 100 peças. 7. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P (em watts) que um certo
gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação 2P(i) 20i 5i= - , em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa
o gerador, determine o número de watts que expressa a potência P quando i = 3 ampères.
8. Atribuindo para x os valores –1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5, construa o gráfico da função definida por x4x)x(f 2. A seguir, responda
com base no gráfico ou na lei da função. a) A concavidade fica para cima ou para baixo? b) Qual é o vértice dessa parábola?
}31|{ :Resposta
31 1212 212
212 2|1| 2|1| 0|1|2 :Então
.0|1|2 se IR em possível é só |1|2 que Sabemos
xIRxD
xxx
xxxx
xx
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c) Em que ponto a parábola intersecta o eixo y? d) Em quantos pontos ela intersecta o eixo x? Quais são esses pontos?
e) Essa função é crescente ou decrescente? f) Qual é a imagem dessa função?
g) Determine se )3f(19f,7
9f,
3
7f e são maiores, menores ou iguais a zero.
h) Existe x tal que 3)x(f ? Em caso positivo, determine x?
9. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3,-2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2,-4); em seguida,
verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:
a) 4x8x2)x(f 2 b) 4x8x2)x(f 2
c) 4x8x2)x(f 2
10. A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute,
seja dada por t6th 2, determine:
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? 11. Determine o vértice, os pontos que interceptam os eixos Ox e Oy, o valor máximo (mínimo), o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) 3x2x)x(f 2 d) x6x)x(f 2
g) 3x4x)x(f 2
b) 1x2x)x(f 2 e) 16x10x)x(f 2
h) 1x4x4)x(f 2
c) 5x3x)x(f 2 f) 4x)x(f 2
12. :f é a função quadrática definida por 4x5x)x(f 2.
:g é a função quadrática cujo gráfico é:
13. Seja RR:f a função dada por: 2x)x(f e seja RR:g a função dada por
h
)x(f)hx(f)x(g , com 0h
. Nessas condições, )x(g é igual a :
a) h b) x c) 2x d) 2x + h e) x + h
Se , então é igual a: (A) 1 (B) 2 (C) 3
(D) 4 (E) 5
14. Se a função é tal que então é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
15. Na equação fizemos , então o valor de é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
16. Montar a função que representa:
a) a quantidade de material (área) usada numa caixa sem tampa, de base quadrada, com 2l de volume.
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b) o volume da caixa sem tampa, que se consegue a partir de uma chapa quadrada, com 2m x 2m , recortando os quatro cantos
quadrado e dobrando as bordas.
17. . Uma papelaria cobra R$ 0,10 por cópia em sua máquina de fotocópia, até 100 cópias. De 100 até 250 o valor por cópia cai para R$ 0,08 e para um número de cópias superior a 250 é cobrado R$ 0,05 por cópia. Nesta situação podemos perceber que para cada faixa de quantidade de cópias tiradas tem-se um valor diferente a pagar pela cópia.
Para facilitar a cobrança, o proprietário quer montar uma tabela para saber direto quanto vai receber de em cliente pelas cópias. Monte a função que representa a situação. 18. .Determinar o domínio das seguintes funções:
a) 24 xy [-2,2]
b) 4 73 xxy [-3,7]
c) 1x
xy (-oo,-1) U [0,+oo)
d) 25,42 xxy [-5,2]
19. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico
a. f(x)= -x+2 b. f(x) = -x/2 + 1 c. f(x)= -x/2 + 2 d. f(x)=4x e. f(x)= -x
20.. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:
a = 0 ; b = 0
a. a > 0 ; b > 0 b. a < 0 ; b > 0 c. a > 0 ; b = 0 d. a > 0 ; b < 0
21. A representação da função y = -3 é uma reta :
a. paralela aos eixo das ordenadas b. perpendicular ao eixo das ordenadas
c. perpendicular ao eixo das abcissas d. que intercepta os dois eixos
e. nda
22. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :
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a. a < 2 b. a < 0 c. a = 0 d. a > 0 e. a = 2
23. O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?
a. y = 2x - 3 b. y = - 2x + 3 c. y = 1,5 x + 3 d. 3y = - 2x e. y = - 1,5x + 3
24. - Considere a função f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:
a. vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);
b. f possui dois zeros reais e distintos;
c. f atinge um máximo para x = 1;
d. gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
e. nda
25. Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia , contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função
x
xxf
150
300)( . Se o número de funcionários para distribuir,
em um dia, as contas de luz foi 75, qual a porcentagem de moradores que a receberam?
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Limite
Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x y = 2x + 1
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y = 2x + 1
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1).
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b).
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
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Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que
procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:
Se g: IR IR e g(x) = x + 2, 1
lim ( )x
g x =1
lim 2x
x = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Exemplos:
1) Analise da equação 3 2
3 6
2f xx
x x
Ilustração Gráfica
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antes de 2 depois de 2
X F(x) X F(x)
1,9 1,20333333 2,1 1,47000000
1,99 1,32003333 2,01 1,34670000
1,999 1,33200033 2,001 1,33466700
1,9999 1,33320000 2,0001 1,33346667
1,99999 1,33332000 2,00001 1,33334667
1,999999 1,33333200 2,000001 1,33333467
Quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 1,3333 ou seja, 4
3 está f(x).
Fatorando f(x) teremos 2( 2)
3( 2)
x xf x
x. Se x 2 temos a equação y = 21
3 x , sendo o gráfico uma parábola com ponto omitido em 42,
3.
Então:
3 2
2
2 4lim
3 6 3x
x x
x
2)
2x)x(f
3)x(flim 1x
1x
2xx)x(g
2
3)x(glim 1x
3) 4lim (2 3) 2(4) 3 8 3 5x x
4) 2 2
3lim ( 1) ( 3) 1 9 1 10x x
5) 7lim 2 7 2 9 3x x
6) 25lim 6 6x
7) 2
1
2 ( 1)( 2)lim 3
1 1x
x x x x
x x
Então:
Notação Significação intuitiva Interpretação gráfica
lim ( )x a
f x L Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x
suficientemente próximo de a e x a
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Exercícios: Ache o limite:
1. 2
lim (3 1)x
x
2. 4
limx
x
3. 100
lim 7x
4. 1
limx
5. 1
4lim
2 1x
x
x
6. 2
3lim 2x
x
7. 3
lim ( )x
x
8. 7
lim100x
9. lim( 1)x
10. 5
2lim
4x
x
x
11.
2
2
4lim
2x
x
x
12.
2
21lim
2 5 7r
r r
r r
13.
2
4
16lim
2x
x
x
14.
3
2
8lim
2h
h
h
15. 22
4lim
2 8z
z
z z
16.
2
23
2 3lim
7 12x
x x
x x
17. 25
5lim
10 25x
x
x x
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1) Propriedades Operatórias dos Limites Sejam f(x) e g(x) funções limitadas
P1 AAax
lim onde A constante
P2
)(lim)(lim)()([lim xgxfxgxfaxaxax
P3
)(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfaxaxax
P4 )(lim.)(.lim xfAxfAaxax
P5 )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
P6 n
ax
n
axxfxf )](lim[)]([lim
P7 nax
n
axxfxf )(lim)(lim
P8
)(lim
)](lim[)]([lim )(xg
ax
xfxfax
xg
ax
P9 O Limite da Função Polinomial:
01
1
1 ......)( axaxaxaxf n
n
n
n
quando x tende a a é igual a f(a).
2) Calcule o valor dos limites utilizando suas propriedades:
a) 3
4
2
2lim
x
x
x R:
4
7
b) 42
13lim
2
23
1 xx
xxx
x R: 6
c) x
x
x 3
5lim
5 R:0
d) 2
limx
32
23
42
822
xx
xx R: 2
Formas Indeterminadas
00 ;1;0;.0;;;
0
0
3) No cálculo de limites podem ocorrer indeterminações do tipo 0/0, o que não significa ausência de limites, os quais podem ser determinados recorrendo à construção de gráficos ou utilizando operações algébricas elementares. Nestas condições, calcule o valor dos limites, se existirem:
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a) 1
limx
23
12
2
xx
x R: -2
b)
0limh
h
xhx 33
R: -3x2
c) 5
limx
5
252
x
x R: -10
d) 0
limx
x
xx
4
2
R: 4
1
e) 5
limx
5
52
x
xx R: - 5
f) 3
limx
3
652
x
xx R: 1
g) 0
limx
x
x 33 R:
6
3
h) 2
limx
22
2
x
x R: 4
i) 4
limx
2
321
x
x R:
3
4
j) 1
limx
1
6
1
23xx
R: 2
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
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s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa)
bb)
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Use os teoremas sobre limites para determinar o limite quando existir
1. 2
15limx
2. 15
2limx
3. 2
limx
x
4. 3
limx
x
5. )43(lim4
xx
6. )13(lim2
xx
7. 34
5lim
2 x
x
x
8. 13
12lim
4 x
x
x
9. 4
1)52(lim x
x
10. 5
2)13(lim x
x
11. 100
3)93(lim x
x
12. 50
2
1)14(lim x
x
13. )723(lim 3
2xx
x
14. )895(lim 2
4xx
x
15. )4)(3(lim 2
2xx
x
16. )97)(43(lim3
xxx
17. )1416,3(lim xx
18. 7
11
2
1lim xx
19. 92
16lim
4 x
x
x
20. 7816
364lim
3
2
2
1 xx
xx
x
21. )325(lim 2
4xx
x
22. )5)(2(lim 23
3xxx
x
23. 34
2lim
21 xx
x
x
24.
2
4
24
1 32
6lim
xx
xx
x
25. )1()1(lim 29
2xx
x
26. 63lim 4
1xx
x
27. 276
352lim
2
2
2
1 xx
xx
x
28. 8
2lim
32 x
x
x
29. 2
2
2 2
2lim
x
xx
x
30. 65
32lim
2
2
2 xx
xx
x
31. 16
8lim
4
3
2 x
x
x
32. 4
16lim
16 x
x
x
33. )1)(3(
)4)(3(lim
3 xx
xx
x
34. 1
)3)(1(lim
2
1 x
xx
x
35. 2
4lim
2
2 x
x
x
36. 3
362lim
23
3 x
xxx
x
37. 752
lim2
2
1 xx
xx
x
38. 127
32lim
2
2
3 xx
xx
x
39. 2
16lim
2
4 x
x
x
40. 25
5lim
25 x
x
x
41. 2
8lim
3
2 x
x
x
42. 4
8lim
2
3
2 x
x
x
43. 82
4lim
22 xx
x
x
44. 2510
5lim
25 xx
x
x
45. 7
49lim
2
7 x
x
x
46. 5
25lim
2
5 x
x
x
47. 32
94lim
2
2/3 x
x
x
48. 19
13lim
23/1 x
x
x
49. 492
1683lim
2
2
4 xx
xx
x
50. 36254
20173lim
2
2
4 xx
xx
x
51. 372
9lim
2
2
3 xx
x
x
52. 94
278lim
2
3
2
3 x
x
x
53. 1
1lim
1 x
x
x 54.
1
1lim
3
1 x
x
x
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18
55. 562
32lim
23
2
1 xxx
xx
x
56. 1616173
810112lim
23
23
4 xxx
xxx
x
57. 34134
3252lim
23
23
3 xxx
xxx
x
58. 23
10lim
2
23
2 xx
xxx
x
59. 1
1
1lim
2
1 xx
x
x
60.
6
1
1lim
xx
x
61. 5
2lim
4
2/3
16 x
xx
x
62. 3/4
3/2
8 4
16lim
x
x
x
63. 3 2
445lim xx
x
64. 44lim 4
2xx
x
65. 32
3
3 1
352lim
x
xx
x
66. 5limx
x
x
67. x
x
x
164lim
0
68. 11
11lim
0 xxx
69. 1
2lim
5
2
1 x
xx
x
70. 64
107lim
6
2
2 x
xx
x
71. )9)(43(lim 32
3xxx
x
72. 32
223 43lim xx
x
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19
Repostas dos exercícios
1. 15
2. 2
3. -2
4. 3
5. 8
6. 7
7. 5
7
8. 7
13
9. 81
10.-16 807
11. 0
12. 1
13. -13
14.36
15. 5 202
16. 150
17. -3,1416
18.11
2 7
19. -23
20. -1
21. 75
22. -174
23. 2
1
24.4
9
25. -3
26. 10
27. -7
28. 1
12
29. NE
30. NE
31. 8
3
32. 8
33. 2
7
34. 4
35. 4
36. 19
37. 9
1
38. -4
39. 32
40.1
10
41. 12
42. 3
43. NE
44.NE
45. 14
46. -10
47. -6
48. NE
49. 7
16
50. 1
51. 5
6
52. 9
2
53. 2
1
54. 3
55. -1
56.3
4
57. 17
11
58. -15
59. 2
60. 64
61. 7
72
62. 16
3
63. -2
64. 28
65. -2
66. 0
67. 8
1
68. 1
2
69. 5
3
70. 1
64
71. -81072. 8
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20
LIMITES LATERAIS
Notação Significação intuitiva Interpretação gráfica
LxfLimax
)(
(limite mínimo)
Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x
suficientemente próximo de a e x<a
LxfLimax
)(
(limite máximo)
Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x
suficientemente próximo de a e x>a
TEOREMA DOS LIMITES LATERAIS
LxfLimax
)( LxfLimax
)( = )(xfLimax
O teorema nos diz que o limite de f(x), quando x se aproxima de a, existe se e somente se ambos os limites laterais existem (direito e esquerdo) e são iguais. Exemplos:
1) Estude os limites laterais para 1
12)(
2
x
xxxf
ou seja, ache )(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
2) Esboce os gráficos da função f definida por:
2
3 x, se x 1
f(x) 4, se x 1
x 1, se x 1
ache )(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
3) Esboce os gráficos da função f definida por:
1 se ,2
1 se ,4)(
2
2
xx
xxxf
ache )(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
4) Esboce os gráficos da função f definida por: 3 se ,10
3 se ,12)(
xx
xxxf
ache )(lim3
xfx
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
CONCEITO DE LIMITE INFINITO
Vamos analisar a equação 2
1
xxf
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21
Usando limites laterais, temos:
a) )(lim2
xfx
X 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
F(x) 10 100 1000 10000 100000 1000000
Quanto mais x se aproxima de 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite.
2 quando , 2
1 ou
2
1lim
2x
x-xx
b) )(lim2
xfx
X 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
F(x) -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Quanto mais x se aproxima de 2 pela esquerda, f(x) aumenta sem limite.
2 quando , 2
1 ou
2
1lim
2x
x-xx
Vamos analisar a mesma equação
2
1
xxf Para )(lim
2xf
x
Pelo TEOREMA DE LIMITES LATERAIS, não existe limite, pois os limites a direita e a esquerda são diferentes. EXEMPLOS:
Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como + , - ou NE (não existe).
)(lim)();(lim)();(lim (a)-ax
xfcxfbxfaxax
1. 3
5)(
xxf a = 3
2. 2
1
1)(
xxf a = 1
3. 2)4(
3)(
x
xxf a = -4
CONCEITO DE LIMITE NO INFINITO
Vamos analisar a equação X
xf1
2
Consideremos agora valores para x que se tornam cada vez mais grande.
X 10 100 1000 10000 100000 1000000
F(x) 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
Podemos tornar f(x) tão próximo de 2 quanto quisermos escolhendo x suficientemente grande. Denota-se este fato por:
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22
xxx
quando ,2 x
12 ou 2
12lim
Consideremos agora valores para x que se tornam cada vez mais pequeno para X
xf1
2
X -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
F(x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
Podemos tornar f(x) tão próximo de 2 quanto quisermos escolhendo x suficientemente pequeno. Denota-se este fato por:
xxx
quando ,2 x
12 ou 2
12lim
Vamos analisar a mesma equação X
xf1
2
Para )(lim xfx
)(lim xfx
TEOREMA DE LIMITE NO INFINITO
Se k é um número racional positivo e C é um número real arbitrário, então:
0limkx x
C e 0lim
kx x
C,
desde que kx seja sempre definido
O teorema é útil para o estudo de limites de funções racionais. Especificamente, para achar )(lim xfx
ou )(lim xfx
para
uma função racional f.
Primeiro dividimos numerador e denominador de )(xf por nx , em que n é a mais alta potência de x que aparece no
denominador, e em que seguida aplicamos os teoremas específicos de limites.
EXEMPLOS
a) 2
1lim
xx
b) 4
2lim
xx
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23
c) xx
11lim
d) 23
52lim
4
2
xx
x
x
e) 14
52lim
3
2
x
xx
x
1. Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como + , - ou NE (não existe).
)(lim)();(lim)();( xfcxfbxfaxax
-ax
lim (a)
1. 4
5)(
xxf a = 4
2. x
xf4
5)( a = 4
3. x
xxf
5)( a = -5
4. 3)52(
8)(
xxf a =
2
5
5. 2)8(
3)(
x
xxf a = -8
6. 7
5)(
xxf a = 7
7. 2)3(
1)(
xxxf a = 3
8. 6
2)(
x
xxf a = -6
9. 2
2)(
2
2
xx
xxf a = -1
10. 2
1
1)(
xxf a = -1
2. Determine o limite se existir:
1. )843(lim 2xx
x R: +
2. )4845(lim 23xxx
x R: -
3. )3(lim 34xx
x R: +
4. )53(lim xx R: -
5. 742
135lim
2
2
xx
xx
x R: 2
5
RESPOSTAS nº 1
1. - , + , NE
2. + , - , NE
3. + , - , NE
4. - , + , NE
5. - , - , -
6. - , + , NE
7. + , + ,
8. + , - , NE
9. + , - , NE
10. - , - , -
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24
6. x
x
x 32
74lim
R: 3
7
7. xx
x
x 54
32lim
3
2
R: 0
8. 3
2lim
2
x
x
x
R: -
9. 14
13lim
2
2
x
xx
x R: 4
1
10. 32
2lim
2
3
x
xx
x R: -
11. 26
3lim
3
3
x
xx
x R: 2
1
1. Calcule o limite, se existir:
2
3
22
2
0
9
0
2
3
12lim
3
2lim
6
( 5) 25lim
9lim
3
2 2lim
12lim
3
x
x
h
t
t
x
x x
x
x
x x
h
h
t
t
t
t
x x
x
2
21
2
4
21
1 1
2lim2
1 2lim
1 1
lim 5 2 3
2lim
4 3
x
x
x
x
xx
x x
x x
x
x x
2
21
3
21
2
22
4
2
2
9
2lim
3 2
1lim
1
6lim
4
16lim
2
81lim
3
x
x
t
x
x
x x
x x
x
x
t t
t
x
x
x
x