licões de estrutura - vitor amaral lotufo

7/22/2019 Lices de Estrutura - Vitor Amaral Lotufo

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Vitor Amaral Lotufo - 1

A regra da proporo

Gaudi disse A base de todo raciocnio a regrade trs, a proporo matemtica, o silogismo. O ho-mem deve recorrer a essas maneiras; primeiro supe o

conhecimento de uma coisa para depois encontrar outraque nos sirva de base firme. Primeiro se avana um ppara depois avanar o outro (Conversaciones conGaudi- Cesar Martinell ). A ferramenta mnima da mate-

mtica a regra de trs,isto para resolvermostodos nossos problemasde matemtica, precisa-mos de uma nica ferra-menta, tudo que existe amais so sub rotinas, somecanismos que quandoaplicados equivalem a cen-tenas de aplicaes da re-gra de trs.

A regra de trs a regra da proporo, da harmonia, por esta razoos grandes construtores de antigamente eram sempre artistas, eles entendi-am de proporo e conseguiram construir grandes pontes, templos, etc. Aregra de trs diz que se conhecemos trs elementos, pela proporo entreeles, conheceremos o quarto que desconhecido.

Assim :

Sabemos que 1 m de concreto pesa 2500 kg, quanto pesar 2 m de concreto?x kg de concreto est para 2500 kg de concreto, assim como 2 m est para 1 m, para encontrar

a soluo multiplicamos 2 por 2500 e dividimos por 1.A regra de trs, a regra da proporo, que relaciona grandezas diretamente e inversamente pro-

porcionais, quanto maior a quantidade de concreto e quanto maior for seu peso maior ser o resultado ese 2 m de concreto pesassem os 2500 kg menor seria o resultado final.

Um dos casos mais importantes de proporo o da DIVINA PROPORO:a est para b assim como b

est para c, que pode ser represen-tada por um segmento dividido em

duas partes de tal forma que o seg-mento total est para o maior peda-o assim como este est para o me-nor pedao, que chamada tambmde seo urea

Ou seja (1+V5)/2 est para1 assim como 1 est para (1-V5)/2que d aproximadamente

1,618 / 1 = 1 / 0,618

Os gregos foram encontran-do repetidamente na natureza e na geometria essa proporo, da a batizaram com o nome de DIVINA,

por exemplo , a altura do cho ao nosso umbigo divide nossa altura nessa proporo, a diagonal de um


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Vitor Amaral Lotufo - 2pentgono e seu lado seguem essa proporo.

Fibonacci ( 1175-1250 ) idealizou uma seqncia de nmeros: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89.... ( o prximo a soma dos dois anteriores ) que est intimamente relacionada com a regra decrescimento na natureza. A diviso entre dois nmeros da seqncia tende divina proporo, porexemplo dividindo-se 89 por 55 temos 1,618..., dividindo-se 55 por 89 temos 0,6179...

Alm da regra de trs, para resolver os problemas estru-

turais precisamos conhecer as relaes matemticas dos tringu-los, tais como semelhanas entre tringulos:

Dois tringulos so semelhantes quan-do tem ngulos iguais, e seus lados sero

proporcionais entre si.Eratostenes ( 200 AC ) calculou o dimetro da Terra

com bastante preciso, usando as relaes de semelhana de tringulos . A histria conta que Eratstenesmorava em Alexandria no Egito e soubera atravs de relatos de viajantes que no dia 21 de junho ao meiodia, o sol iluminava o fundo dos poosem Assuan, cidade que ficava a 800 km

ao sul de Alexandria. Como em nenhumdia ou hora do ano os raios de sol ilumi-nam o fundo dos poos em Alexandria,nesse dia Eratstenes colocou uma es-taca perpendicular ao cho e mediu suasombra ao meio dia, concluindo que oraio da Terra estava para a altura de suaestaca assim como a distncia entre asduas cidades esto para o tamanho dasombra da estaca.

Outra soluo interessante por

semelhana de tringulos , a extrao de raizquadrada graficamente:

Marcamos numa reta o nmero que que-remos extrair a raiz quadrada e acrescenta-

mos uma unidade. Traamos um semi crculo, com o centro so-bre a reta e levantamos uma perpendicular entre a unidade e onmero, e construmos assim dois tringulos que so semelhan-tes, pois os dois so tringulos retngulos e a soma de ngulosdos dois tringulos perfaz 90.

Ento, a unidade / raiz quadrada = raiz quadrada / nmeroque queremos extrair a raiz quadrada.

Podemos ver claramente no desenho ao lado por que


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Vitor Amaral Lotufo - 3(a+b) tem como resultado a + 2 . a . b + b.

Pitgoras: a = b + c.

Todas as estruturas so construidas com tringulos, o tringulo aunidade mnima das estruturas, com eles podemos desenhar, construir e

calcular toda e qualquer estrutura.Todos os polgonos podem ser divididos em dois ou mais tringulos

e todos os tringulos podem ser divididos em pelo menos dois tringulosretngulos.

Por esse motivo que a trigonometria to importante para a gente.Como todos os tringulos retngulos podemser construidos dentro de uma semi circun-ferncia, adotando-se um dimetro como hi-

potenusa, e o terceiro vrtice ocupando al-gum ponto da prpria circunferncia, pode-

mos sempre determinar o tamanho dos ca-tetos em relao hipotenusa e os outrosdois ngulos internos.

O esquema clssico dessa relao quedefine o que o seno, co-seno, tangente,etc, o de uma circunferncia com raio igual hipotenusa ou igual a 1 para obtermos n-meros para essas relaes:

O seno a medida vertical, o co-senoa horizontal, a 45 so iguais , e simetrica-mente a partir da os valores invertidamentese repetem.

A tangente a diviso do seno peloco-seno, tambm aparece graficamente comoo segmento que tangencia a circunfernciaque vai do eixo horizontal at encontrar o

prolongamento da hipotenusa.Para que possamos trabalhar bem com

tringulos e propores, importante termosbem claro como funcionam as operaes.

Existem duas operaes somar e di-

minuir, ou podemos dizer que existe s umasomar positivamente e negativamente.

As operaes de multiplicao e divi-so podem ser entendidas como sub rotinasda operao principal, isto quando multi-

plicamos fazemos vrias operaes de somaao mesmo tempo e a diviso fazer vriasoperaes de diminuio ao mesmo tempo.

Podemos associar tambm as opera-es ao movimento, por exemplo um nme-

ro um valor fixo no tempo e no espao, ouseja um ponto sem movimento, quando aoinvs de um nmero temos uma varivel ( x


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Vitor Amaral Lotufo - 4), temos um ponto se deslocando no espao, representado por uma linha,quando multiplicamos uma varivel por outra associamos um movimentocom um outro movimento no espao, e assim por diante. Com a tcnica daintegrao e da derivao, conseguimos avanar um movimento ou diminuirum movimento com uma equao inteira.

ArquimedesArquimedes viveu em Siracusa (Sicilia-Itlia) quando esta pertencia

Magna Grcia e foi o primeirop a calcular a rea de um permetro irregular,a rea de um crculo, a superfcie e o volume de uma esfera, de um cone, deum parabolide, o valor deetc.

Para obter essesresultados utilizou a tcnica de retalhar o objeto declculo em pedacinhos pequenos, quanto menoresmaior a preciso.

Para calcularArquimedes dividiu o crculo em

setores e empilhou-os como no desenho ao lado epercebeu que aumentando o nmero de divises iriaobter um retngulo medindo Raio por vezes o Raio,ou R

No se apavore quando tiver de aplicar uma fr-mula, as frmulas so seqncias de propores ondeexistem comparaes diretamente proporcionais (tudoo que est em cima na comparao) e comparaesinversamente proporcionais (tudo o que est em bai-xo).

O tringulo como pea fundamental das estruturas

Vamos construir um tringulo com trs tbuas , colocando um prego em cada vrtice e podemosverificar que o tringulo uma figura estvel, no se deforma sem se romper.

Pregando uma quarta tbua, verificamos que resulta um quadriltero instvel, com cinco, seis oumais tbuas ficar mais instvel ainda.

Se colocarmos uma tbua como diagonal do quadriltero, ele ficar estvel, porque temos doistringulos formando o quadriltero. Ficar estvel tambm se colocarmos dois pregos num dos vrtices

porque com esse novo prego construmos dois tringulos formados por esses dois pregos mais os dos

vrtices adjacentes.Nosso problema de estabilidade no termina por a. Se colocarmos o tringulo em p ele cair paraalgum dos lados, isso porque toda e qualquer estrutura um objeto tridimensional, logo nosso objetoestrutural mnimo ser um tetraedro que uma figura espacial formada por quatro tringulos.

Para facilitar a compreenso das estruturas vamos estudar as peas estruturais nos trs planos dastrs dimenses, um de cada vez (xy, xz, yz), isto vamos examinar primeiro o plano vertical frontal oulongitudinal o vo e a altura estrutural, depois o plano vertical lateral as dimenses transversais da estru-tura e finalmente o plano horizontal.

As foras so representadas por vetores, para som-los e dividi-los usamos o mtodo do parale-logramo, a resultante ou a fora a ser dividida uma das diagonais do paralelogramo e divide este em doistringulos com lados iguais.

Quando somamos duas foras, obtemos uma resultante que equivalente aquelas duas e semprepodemos dividir uma fora qualquer em duas outras quaisquer, respeitando a regra do paralelogramo, as


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Vitor Amaral Lotufo - 5duas foras resultantes so equivalentes primeira.

A definio de fora massa vezes acelerao, ento correto anotar kgf que no caso de pesosrepresenta massa vezes a acelerao da gravidade.

Comearemos ento pelo tringulo que contm o plano do vo principal

O problema estrutural mais tpico vencer um determinado vo, por exemplo co-

brir um espao, construir uma ponte etc. En-to vamos comear por a:

A preteno construir um pequenomodelo utilizando uma corda e uma vara de

bamb, e mostrar que toda e qualquer estru-tura que existe no mundo ter um comporta-

mento igual, e o problema s fica mais complexo quando precisamos encontrar onde que supostamenteestaro a corda e o bamb dentro de uma viga de concreto armado.

Vamos amarrar uma corda entre duas rvores. As rvores so os apoiosou pilares e a corda vai vencer o vo entre essas rvores. Ao dependurar-mos pesos na corda verificamos que sua forma vai se alterando conforme a

posio e o valor dos pesos.A corda como flexvel, altera sua for-

ma, porque no resiste a esforos de compres-so, somente os de trao, ento ela acaba as-sumindo a forma da resultante que chamadatambm funicular ( do latimfuniculumou cor-do ).

Primeiramente vamos colocar um peso de 100 kg bem no meio dacorda, verificamos que o peso puxou para baixo a corda.Os 100 kg se dividem em duas foras T e T , que esticam a corda e esta no se movimenta por

que est presa s rvores ento, a corda descarrega T e T nas rvores.Vamos decompor essas foras em for-

as horizontais e verticais, inclusive as da de-composio do peso de 100 kg. Esta ltimadecomposio estamos fazendo para dramati-zar que T e T so responsveis por uma par-te do peso, no caso a metade e por foras ho-

rizontais H e H que atuam no ponto da corda exatamente onde se encontra dependurado o peso.

A soma das verticais V e V sempre ser igual aos 100 kg. Neste caso particular em que o pesoest justamente no meio elas so iguais, mas se o peso de 100 kg estiver fora do centro elas no seroiguais; porm as horizontais sero sempre iguais , pois se no forem iguais, a corda no ficaria parada,estaria se movimentando.

Repare que as horizontais junto s rvores apontam para dentro denotando compresso entre elase as do meio da corda apontam para fora denotando trao.

Tendo entendido como funciona a estrutura, podemos calcula-la que o ato de atribuir quantidadesde fora para as peas componentes da estrutura, para depois dimensiona-la, que escolher materiais equantifica-los para que aguentem as foras encontradas. Notem que qualquer procedimento de clculo edimensionamento precedido pelo projeto, que no caso a corda amarrada a duas rvores num determi-


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Vitor Amaral Lotufo - 6nado comprimento que produz uma dada flecha.

Clculo da estrutura

Para calcularmos essa estrutura, ou a corda, devemos:1- Somar o valor dos pesos que dependuramos na corda e o peso da prpria corda, teremos

ento, o valor total das foras verticais que atuam nessa estrutura. Neste caso vamos desprezar o pesoprprio da corda, ento o total ser os 100 kgf.

2- Medir os ngulos que as pontas da corda formam com os apoios (as rvores). Pois essesngulos que determinaro os valores das foras T e T, que decompostas determinam as horizontaisque as rvores devem resistir. A soma das foras verticais dos dois apoios ser sempre igual ao total de

peso na estrutura, calculado no item 1.Sabemos tambm que as foras horizontais so iguais e contrrias (a mesma fora horizontal que a

parte esquerda da corda aplica na rvo-re, a da direita tambm aplica com senti-do contrrio na outra rvore.

3- Marcamos as duas foras hori-zontais, o tamanho no importa pois des-conhecemos o valor, basta que sejam demesmo tamanho. A partir da marcamosos paralelogramos de foras, e obtemosassim os tamanhos das foras verticaisque chegam nas rvores. Neste casocomo o peso est centralizado (a cordachega com o mesmo ngulo nas duas r-vores), as foras verticais obtidas tem o

mesmo tamanho.4- Sabemos o valor total das for-as verticais (1) e sabemos que este va-lor igual a soma do tamanho das duasverticais encontradas .

Para determinar o valor das forasque atuam na estrutura vamos comparardois tringulos semelhantes.

Um desses tringulos o tringulode foras H, T e P/2 do qual s conhe-

cemos P/2, o outro tringulo um trin-gulo semelhante ao primeiro, do qual co-nhecemos as medidas, no caso o abc,sendo que neste caso a a medida dametade do vo e b a altura estrutu-ral, que a distncia entre o binrio deforas de trao, isto entre as horizon-tais que tracionam e as horizontais quecomprimem. Agora aplicar regra de trs:

H est para a assim como P/2est para b e para descobrirTbasta des-

cobrircpor Pitgoras e comparar comT.

Podemos tambm resolver tudo


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Vitor Amaral Lotufo - 7por desenho, basta atribuir uma escala para a fora conhecida que P e depois comparar seu comprimen-to com as demais foras.

Para exemplificar vamos considerar que o vo entre as rvores de 10 metros, portanto a iguala5 metros e a altura estrutural b de 1,75 metros ento,

H = 5 m x 50 kg / 1,75 m que dar 142,86 kg e T= 151,35kg pois (T) = (H) + (P/2)

Dimensionamento da estrutura

Depois de encontradas as foras que atuam na estrutura, passamos ao dimensionamento que verificar quedimenses os materiais construtivos precisam ter. Para isso precisamos de dados sobre osmateriais que estamos utilizando, e que geralmente so fornecidos pelos institutos de pesquisa.

Quando se atribue um determinado valor para a resistncia de um material, no o valor mdio deruptura desse material, porque es-taramos aceitando que grande par-te das estruturas pudessem ruir;esse valor deve ser um dado se-guro, por exemplo a madeiraPeroba Rosa deve resistir a umafora de 85 kg kg/cm no sentidode seu eixo longitudinal, provavel-mente para rompermos uma peadessa madeira precisaremos impri-mir uma fora muito maior.

Repare que a maior foraque a corda precisa resistir jus-tamente T e T ou 151,35 kg.

Aps consultarmos uma tabela de cordas, encontramos a corda desisal de 1/4 de polegada de dimetro que aguenta 140 kg, ento conclumosque ela no suficiente para aguentar os 151,35 kg de fora, ento ou colo-camos duas cordas de 1/4 ou escolhemos a seguinte mais grossa que a de5/16 de dimetro que suporta at 225 kg.

Vamos fazer o mesmo exerccio com o peso


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descentralizado:

Agora temos dois tringulos geomtricos e dois de foras.Sabemos queP + P = 100 kg eP est para b ( altura estrutural) assim como H est para a, entoP = 1.75 m x H / 2 m, ou sejaP = 0,875 x H eP = 1,75 m x H / 8 m ou sejaP = 0,21875 H.Como H igual a H e dividin-do-se P por P temos P=4 x P,como P + P = 100 kg,P1 = 80 kg e P = 20 kgSabendo-se P e P, comparamosos tringulos como fizemos no

caso anterior.H est para 2 m assim como 80kg est para 1,75 mH = 91,43 kg, portanto T que a maior fora que a corda tem deaguentar vale 121,49 kg.

Agora podemos usar a corda de 1/4 de dimetro, pois ela aguenta 140 kg.

Sistemas autoportantes

Um sistema autoportante um conjunto estrutural estvel por si prprio, por exemplo quase atotalidade de nossos objetos so autoportantes, pois no dependem de algo fora deles para que mante-nham a sua integridade.

Este sistema estrutural formado somente pela corda no um sistema autoportante, pois descar-rega nos apoios alm das foras verticais tambm as horizontais, e se as rvores forem retiradas essesistema no tem condies de se autosustentar.

Para transforma-lo num sistema autoportante, podemos colocar uma barra na horizontal (por exemplouma vara de bambu). A corda deve seramarrada nas pontas do bambu, e esteficar apoiado nas rvores, mas sem

transmitir as foras horizontais para as r-vores, o bambu que se encarregar de-las, ficando as rvores somente com afuno de transmitir as foras verticais

para o solo.Agora fica bem claro que entre os

apoios da corda h compresso e quemvai suportar as foras de compresso sero bambu, e a altura estrutural a ser consi-derada a distncia entre o eixo do bam-

bu, pois a corda comprime toda a seodo bambu, mas devemos considerar o eixo pois por onde passa a resultante de compresso, e na parte


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Vitor Amaral Lotufo - 9tracionada que a corda tambm devemos considerar o eixo da corda.

Repare que quanto mais esticarmos a corda, diminumos a altura estrutural e as foras horizontais eoblquas vo ficando maiores, e quantomais solta a corda, a altura estrutural iraumentar e as foras vo diminuir (as for-as verticais no se alteram).

Chamamos de altura estrutural adistncia mxima entre as foras horizon-tais. Neste caso entre as horizontais decompresso no eixo do bambu e as detrao no eixo da parte mais baixa dacorda onde o peso est dependurado.

Viga Vago

Esse conjunto corda bambu, chamado tambm de viga vago, assim chamada por ser bastanteusada nos vages de trem e inclusive em carroerias de caminhes e em telhados.

Nesse conjunto corda bambu, s devemos colocar cargas somente na corda, pois ela conseguetransportar cargas verticais para os apoios, se colocarmos pesos sobre o bambu, ele passar a trabalhar flexo, isto a mesma pea o bambu, trabalhar trao e compresso, ele sozinho constituir umaviga autoportante, no transmitindo carga nenhuma corda.

A desvantagem disso que no bambu, uma parte far o mesmo papel que faz a corda, isto carregar pesos para os apoios e comoa altura estrutural do prprio bambu pe-quena, o ngulo que a corda interna do

bambu chegar aos apoios, ser com uma

inclinao muito aguda resultando em for-as horizontais e oblquas muito grandes.

Se quisermos colocar pesos dire-tamente sobre o bambu, basta colocar-mos apoios sob estes pesos de forma aque estes os descarreguem sobre a cor-da.

Quando vamos desenhar e resol-ver o paralelogramo de foras numa viga,

importante considerarmos que as resultantes das foras percorrem o eixo das peas estruturais, ento

no exemplo a fora de compresso que percorre a pea de bambu deve ser presumida atuando no eixolongitudinal da pea e a fora de trao percorre o eixo da corda, salvo se houver excentricidade naposio de alguma fora.

Existe uma forma ideal para a curvatura da corda, a curva resultante ou funicular.Para sabermos qual esta forma, basta construirmos um modelo em escala, a corda pode ser

representada por um fio leve e os pesos no precisam estar na escala, basta que sejam iguais entre si, casohouvesse um peso maior bastaria que este fosse proporcional aos outros. As distncias entre os pesosdevem ser proporcionais s medidas reais.

Caso a distribuio dos pesos seja uniforme ao longo da horizontal, a curva que a corda vai dese-nhar ser uma parbola pois a equao y = x justamente a equao de uma curva (y) desenhada paravalores distribudos ao longo de uma linha (x).

Ento conforme a distribuio tpica das cargas j podemos antever que tipo de curva ser a idealcomo resultante. Como vimos se a carga for concentrada , a forma da curva funicular ser a de um


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Vitor Amaral Lotufo - 10tringulo, se for distribuda ao longoda horizontal ser uma parbola, sefor ao longo da prpria funicular seruma catenria, catena em latim querdizer corrente, ento a catenria acurva natural desenhada pelas cor-

rentes, desde que estejam suportan-do s o prprio peso ou pesos dis-tribudos ao longo de sua curva.

No exemplo ao lado a vigavago recebe os 100 kg distribudoslinearmente em quatro partes de 25kg cada, a curva ideal desenhada

pela corda ser a de uma parbola, que pode ser facilmente desenhada, adotando-se no meio o dobro daaltura estrutural, marca-se um ponto a partir da une-se aos pontos de apoio e divide-se cada uma dasretas que so tambm tangentes parbola junto aos apoios em quantas partes se queira e une-se cada

parte de um lado com a do outro lado, unindo-se a 1 de um lado com a ltima do outro e assim pordiante.Observe que mesmo tendo diminudo a altura estrutural, em funo da carga ser distribuda as

horizontais continuaram do mesmo tamanho que no caso anterior.Ao olharmos a viga vago de lado ou em corte podemos perceber que quando as cargas estavam

aplicadas sobre a corda, apesar de sua exgua dimenso, tnhamos uma situao estvel pois se algumafora agisse lateralmente, a tendncia da corda voltar para a situao primitiva; mas quando a carga estapoiada no bambu, e houver alguma fora lateral, o bambu poder se deslocar para o lado, empurrandoa corda para o outro, pondo em risco a estrutura, neste caso o ideal seria termos um tringulo estruturaltambm nesse plano, perpendicular ao eixo da estrutura principal.

Isso acontece pela diferena caracterstica entre as foras de trao e de compresso.Apesar de podemos considerar que a fora de compresso a que se forma frente de um corpo

em movimento e a de trao a que se forma atrs, e que so iguais com sinais opostos, na verdade comoatuao tem caractersticas bem diferentes.

A fora de trao faz com que o que est sendo tracionado procure a trajetria da direo datrao, enquanto que a de compresso procura afastar o que est sendo comprimido de sua trajetria.Esta caracterstica das foras de compresso vai provocar o que se chama FLAMBAGEM.

Para resistir flambagem ser preciso existir uma dimenso estrutural no plano perpendicular aoeixo da fora.

por isso que podemos deitar numa rede, podemos nos balanar em segurana, mas subir, ficarem p numa rede ser perigoso.

Aprendendo estrutura deitado numa rede

J que falamos em rede, vamos calcula-la edimensiona-la.

Os ganchos que seguram a rede esto no mesmo n-vel, e a pessoa que est na rede est bem no meio e pesa100 Kg. Esse peso vai caminhar pela rede, at os ganchosnas paredes.

A direo das foras que a rede vai descarregar nosganchos ser exatamente a da tangente da curva que a redefaz no ponto em que a rede entra em contato com os gan-


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Vitor Amaral Lotufo - 11chos.

A grandeza dessas foras tangentes ser mai-or quanto mais esticada estiver a rede (quanto maiorfor o ngulo entre a rede e a parede), pois a fora

peso (fora vertical) que a rede descarrega em cadagancho vai ser igual a 50 Kg (metade do peso para

cada lado), no depende da inclinao da rede aochegar no gancho, ser exatamente a metade do pesototal que atua sobre a rede em virtude de conside-rarmos a carga bem no meio da rede e, os ganchosnivelados.

Para sabermos quanto vale H e T , basta desenharmos na escala (com os ngulos certinhos), oumedir o ngulo de chegada da rede (o ngulo formado pela tangente rede exatamente no ponto onde eladescarrega a fora no gancho, que no nosso exemplo de 30.

tangente de 30 H/P e vale 0.577 ento H = 50 kg x 0.57 ou seja H = 28.87 kg e T = 50 kg / cos30 ou seja T = 57.74 kg

Chegamos ento a concluso que a parede tem de aguentar a fora de aproximadamente 29 Kg nahorizontal, e de 50kg na vertical.A rede tem de resistir fora T que de aproximadamente

58 kg.Vamos supor que essa parede fraca e no podemos des-

carregar foras horizontais, ela somente aguenta foras verticais,Para isso vamos colocar uma barra na horizontal entre os gan-chos, essa barra tem de resistir a fora de 29 Kg (de compresso)que a componente horizontal.

Antes de colocarmos essa barra horizontal, as paredes fa-zem parte da estrutura destinada a vencer o vo conjuntamentecom a rede, quando colocamos a barra, a funo da parede passaa ser de simplesmente fornecer a reao vertical. Repetindo, ao colocarmos uma barra horizontal paraabsorver as foras horizontais, essa barra conjuntamente com a rede forma um conjunto estrutural auto-

portante

Vamos chamar ento esta estrutura autoportante, capaz de vencer um vo, de:

CICLO ESTRUTURAL. lgico que a rede sem a barra tambm forma um ciclo estrutural, mas este ciclo pertencem as

paredes, as fundaes, e o solo, que vo resistir s foras horizontais da rede que as esto puxando paradentro, isto , a rede sem a barra horizontal precisa das paredes para formar um ciclo estrutural.

Ento , um ciclo estrutural formado por um conjunto de foras de compresso e de trao. Paraque esse conjunto esteja estvel preciso que as foras de trao e de compresso tenham o mesmovalor. Um ciclo estrutural estar ento sempre em equilbrio, e estar sempre descarregando foras emoutros ciclos estruturais.

Observe que as foras indicadas no desenho, as que passam pela rede, pela parede ou pela barra,so sempre as resultantes das foras que percorrem sua seo, e sempre passando pelo eixo de atuaodessa resultante.

Mais uma coisa: Se a pessoa que estiver na rede estiver sentada bem no meio dela, a rede assumiruma forma mais triangular e se a pessoa estiver deitada, essa forma vai ser arredondada. A forma da redevai variar conforme a distribuio do peso sobre ela, ento, os elementos estruturais flexveis assumem

formas adequadas a resistir melhor as cargas a que esto submetidos, assumem a forma da resultantefunicular.


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Catenria

Como dissemos anteriormente, a corda sem carregar nenhumoutro peso que no seja o prprio, vai desenvolver uma curvaturacaracterstica que se chama catenria, a curva natural da resultantede cargas distribudas ao longo da prpria curva.

Essa curva tem uma frmula cartesiana que y = a . cosh (x /a), no se assustem cosh co-seno hiperblico, o co-seno que co-nhecemos vem de relaes de um tringulo numa circunferncia, ohiperblico em funo de uma hiprbole equiltera, as calculadoras cientficas normalmente tem essafuno, ela est relacionada com o algarismo neperiano e = 2,71828...e as funes senh e cosh podemser definidas assim:

Como podemos ver,h um problema para manejarmos essacurva que o fatora, que um afastamento da curva em relao aoeixo dos x, e entra tambmna relao que fornece o fa-

tor do seno e do co-seno hi-perblico.

Esse fatora na ver-dade um fator de escala

para a curva, isto a curvatem uma nica forma, mas comparando com uma corda suspen-sa, o fatora equivale a esticar mais ou menos a corda.

Para idealizarmos uma catenria devemos fixar um vo euma flecha, da munidos de uma calculadora, vamos experimen-tando valores para o fatora, alimentando sempre o x, que ser a metade do vo,

at obter o y (a flecha que desejamos), a partir da, fixando um valor para a teremosuma equao da nossa catenria em mos.Exemplo: sabemos que a nossa corda com um peso no meio apresentou uma

flecha de 1,75 m, a metade do vo 5 m ento por Pitgoras a hipotenusa valeaproximadamente 5,30 m, dobrando-se esse valor, temos o comprimento total da corda 10,60 m, ocomprimento de uma catenria a derivada de sua frmula que y = a.senh x/a, mas ateno ocomprimento da metade da corda pois vai do zero at o x. Vamos experimentando valores para a at queencontramos o valor de 8,4 que colocado na frmula vai dar um valor para y de 5,30 m.

Agora vamos aplicar o valor encontrado para a na frmula da catenria para encontrarmos o valorde y ou seja a flecha que a corda far sem o peso de 100 kg:

y = 8,4 . cosh ( 5 / 8,4 ), que vai ser igual a 1,53 m.Para sabermos a fora horizontal que a corda exerce nas rvores, precisamos saber com quengulo a corda chega s rvores.

A frmula = 2 . arc tg- ( tgh (x / (2 . a))) =32,25.A fora horizontal H P ( peso da corda)/2 . tg 32,25, a corda de 5/16 de dimetro pesa 0,05 kgf

por metro linear ao peso da metade de 10,60 metros ser 0,265 kg. A fora horizontal H ser ento de0,420 kg.Quando a corda est com o peso de 100 kg, o correto somar as duas foras horizontais ou seja

0,420 + 142,86 = 143,28 kg. No altera muito o resultado porque o peso da corda muito pequeno emrelao aos 100 kg. Ufa!!

No se desespere, A catenria no uma curva to diferente assim da parbola, o prprio Galileu,

achou que a curva desenhada pelas correntes eram parbolas.Para curvas com flechas at de 1/3 do vo, podemos trabalhar com parbolas que a diferena ser

muito pequena..


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Estruturas penseis ou dependuradas

Na viga vago as cargas ficam apoiadas na corda ou no tirante.Ficar apoiado ou dependurado a mesma coisa, tudo so apoios. Nas pontes penseis as cargas

ficam dependuradas nos cabos.Na foto desta ponte projetada por Thomas Telford, sobre o estreito de Menai, podemos ver que aponte est dependurada por tirantes em grandes correntes que so responsveis em vencer o vo.

Vemos tambm que os tirantes esto espaados regularmente, ento a carga da ponte uniforme-mente distribuda nas correntes, sendo assim as correntes desenham a forma de uma parbola.

A figura da parbola tem a seguinte caracterstica: Dobramos a sua altura no ponto de sua mximainflexo, da traamos retas at os ps da parbola. Essas retas sero tangentes parbola no ponto ondeesta alcana os apoios.

Para fazer um exerccio calculando esta estrutura, precisamos estabelecer alguns dados:Esta ponte vence um vo de 174 metros, ela tem 21,75 metros de altura (pela escala da fotografia).Para calcular a estrutura da ponte, precisamos estimar quais as cargas que atuam, imaginamos que

ela tenha como peso prprio mais as cargas que ela precisa aguentar, algo em torno de 2.500 toneladas.As 2.500 toneladas vo se dividir indo a metade para cada conjunto de correntes (so dois con-

juntos) e novamente a metade para cada apoio: 625 ton. Essas foras verticais chegam aos apoios atravsdas correntes e como no caso da rede, che-ga por foras tangentes aos pontos onde ascorrentes atingem os apoios.

Ento basta comparar as foras como tringulo desenhado na foto ao lado:

A fora horizontal est para a metadedo vo (87 metros) assim como 625 ton est

para o dobro da altura estrutural da ponte(43,5 metros). Resolvendo esta regra de trsteremos 1.250 ton para a fora horizontal, eusando Pitgoras encontramos o valor dafora tangente que quanto as correntes de-vem aguentar: Raiz quadrada de 625 ton +1250 ton, ou seja 1398 ton.

Esta ponte no autoportante pois ascorrentes esto fixadas fundao, que pre-cisam suportar o equivalente fora hori-

zontal que de 1250 ton.Repare que, nas laterais, as correntesque vo de cima das torres de apoio fun-dao fornecem a fora horizontal contrriano topo dos apoios, e faz isso atravs de umaoutra fora tangente, que gera uma outra for-a vertical de 625 ton, ento os apoios de-vem aguentar duas foras de 625 ton (vezesdois porque so dois conjuntos de correntesque chegam aos apoios), totalizando 2.500ton para cada apoio.

Numa estrutura costumamos falar s dovo principal, mas preciso reconhecer que


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Vitor Amaral Lotufo - 14existem outros aspectos no to importantes mas que tambm devem ser observados. Por exemplo ostirantes que dependuram a ponte esto espaados de determinada distncia que determina um pequenovo, preciso que exista um sistema de vigas para vencer esse vo e transmitir o peso da ponte para ostirantes. Ento podem existir vrios outros vos que fazem parte da estrutura e precisam ser observados.

As fotos abaixo mostram a fbrica de papel em Mntova projetada por Pier Luigi Nervi.Nervi nesse projeto , utilizou o mesmo conceito das pontes penseis, para que sua planta e suas

laterais ficassem livres de pilares, permitindo uma maior liberdade para a instalao da fbrica.Quatro conjuntos de cabos, sustentam toda a cobertura que fica dependurada atravs de tirantes. interessante notar que o travamento horizontal dos cabos feito na prpria laje de cobertura, e a

proporo entre os balanos e o vo central, aproximadamente 1 : 4 : 1, sugere a inclinao dos pilares,a carga vai ser menor nos pilares se estes estiverem na posio ideal que a bissetriz do ngulo formado

pelos cabos.Carga uniformemente distribu-

da leva a curvatura dos cabos for-ma parablica, e para o mesmo ra-ciocnio da ponte sobre o estreito de

Menai.As foras que atuam na estru-tura so proporcionais ao tringulodesenhado sobre a elevao lateral,tendo-se as medidas da metade dovo (125 m) e da altura estrutural (25m) dobrada (50 m) e bastacompar-las com a metade do totaldas cargas verticais (250 m . 30 m .350 kg/m / 2 = 1312,5 ton)

Ento:A fora horizontal est para

125 m, assim como 1312,5 ton estpara 50 m = 3281,25 ton, dividido por quatro sistemas de cabos. Esse tipo de estrutura precisa ter umtravamento horizontal para no se deslocar para a frente para atrs e para os lados.

ARCOS

Nas suas primeirasconstrues os seres huma-

nos utilizaram coisas auto-portantes para vencer vos,por exemplo troncos de r-vores, pedaos de pedrasetc. Mas logo perceberamque precisavam de pedrasou madeiras muito grandes

para conseguirem vos gran-des.

Tiveram ento de inventar uma maneira de organiz-los de modo que com vrios pedaos peque-nos, conseguissem produzir algo que conseguisse atravessar vos grandes.

Provavelmente o arco foi uma das primeiras solues encontradas.O exemplo mostra uma funicular de um arco feito com pedras, em que estas esto dispostas segun-


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Vitor Amaral Lotufo - 15do o caminho da resultante funicular, isto , cada pedra estcolocada exatamente com seu centro de gravidade onde pas-sa a resultante das cargas da pedra que est exatamente aci-ma.

P1 o peso da pedra de cima, esse peso decom-posto em duas foras, C1 a da esquerda , esta fora vai

somar com P2 que o peso da segunda pedra produzindoC2. fundamental que o centro de gravidade da terceira

pedra esteja na direo desta resultante C2 (para que o arcono queira cair nem para fora nem para dentro), C2 entovai se somar a P3 que o peso da terceira pedra formandoC3 que se junta a P3, para formar C4, que a fora que osistema descarrega no cho. O cho precisa oferecer reaoigual e oposta a C4para que o arco no afunde no cho.Dividimos C4em duas foras uma horizontal H4e outra ver-tical V4, pois se o cho no tiver capacidade de absorver

H4, ser preciso colocar um tirante.Esse sistema est em equilbrio porque as pedras estocolocadas exatamente na posio da resultante em cada tre-cho.

Essa curva chama-se funicular porque como seu prprionome diz a curva natural de um cordozinho, ou de umacorrentinha, ento, a mesma figura feita com uma seqncia de esferas de cabea para baixo fica emequilbrio e as mesmas foras vo ocorrer, s que com o sinal invertido, isto , onde havia trao agoratem compresso e vice-versa.

Vemos com este exemplo que a curva natural para uma corrente, uma corda, um cabo etc., omesmo desenho de uma curva ideal para um arco de mesmo vo, mesma flecha, mesmas cargas, ressal-vando-se que a direo das cargas convergem para campos opostos, mas na escala de nossas constru-es isso irrelevante. H uma outra diferena que j foi dita anteriormente com respeito flambagem,que s existe com peas submetidas compresso.

Gaudi percebeu a utilidade desse conceito e o utilizou para encontrar formas naturais para suasestruturas construindo modelos invertidos, de cabea para baixo, pois como os fios, correntinhas etc., soflexveis , eles procuram a sua forma ideal para resistir s cargas.

Conhecendo a forma ideal para resistir trao basta desenhar invertido o modelo e considerarcompresso onde havia trao e vice-versa. Nos exemplos anteriores da corda e da rede, para ficaremestruturas autoportantes preciso haver uma barra horizontal para resistir s foras de compresso,liberando os apoios dessa funo; no caso dos arcos tambm s se tornar uma estrutura autoportante se

tiver um tirante na parte inferior, liberando a fundao desta funo.Os arcos atirantados so vigas como outra viga qualquer , uma viga que vence um vo que vai de

um ao outro apoio e sua altura estrutural vai do eixo por onde passa a resultante das foras de compres-so at o eixo do tirante. No estamos acostumados a identifica-los como vigas pois o mais usual usarmos o vazio interior do arco e no utilizar a parte debaixo do seu vo.

Clculo de um arco

Quando o arco segue a forma da curva natural resultante, em nenhuma parte do arco vai haver flexo(compresso em uma face e trao na face oposta).

A curva ideal, ou natural no precisa percorrer exatamente o eixo do arco mas deve ficar dentro dotero interno de sua seo, caso contrrio vai comear a gerar trao em uma das faces.

Esta ponte construida em pedra vence um vo de 10 m e tem como altura estrutural 2,10 m (a altura


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Vitor Amaral Lotufo - 16entre o eixo do arco que trabalha a com-

presso e o nvel da base do arco que tra-balha trao).

No existe um tirante submerso, masa fundao precisa fazer o trabalho do ti-rante, isto no deixar o arco abrir.

A seqncia de clculo seguir exata-mente igual a da corda:

1- Carga total vertical sobre a pon-te. Precisamos sempre estimar qual a car-ga total que pode pesar sobre o arco maiso seu prprio peso. A largura da ponte de 3 m, multiplicando-se pelo vo de 10 mtemos como de rea pesando em cima doarco 30 m, supondo-se uma carga de

1500 kg por m, teremos um total de 45000 kg.

2- Determinar as tangentes e seus ngulos na chegada do arco nos apoios. Um arco com arelao altura estrutural sobre o vo menor que 1/3 tem curvas catenria e parbola muito prximas.Podemos ver pela foto que existe um aterro nas pontas do arco, isso significa uma forma para a curva

natural um pouco mais para uma circunferncia do que para uma catenria, enfim vamos simplificar econsiderar que a curva uma parbola, ento como fizemos anteriormente, vamos dobrar a altura estru-tural e liga-la com as bases do arco, surgindo tringulos de catetos 5 m por 4,20 m.

3- Comparar o tringulo de foras, desse tringulo s conhecemos a fora vertical que de45000 kg, dividida por dois (metade vai para cada apoio), com o tringulo geomtrico 5 m por 4,20 m

por 6,53 m( 6,53 a hipotenusa, encontrada usando-se Pitgoras).4- Comparando os dois tringulos descobrimos quanto vale a fora horizontal e a inclinada. Assim:22500 kg est para 4,20 m assim como a fora horizontal est para 5,00 m, que d 267856 kg, e a

inclinada: 22500 est para 4,20 assim como a fora inclinada est para 6,53 m que d 17228 kg.5- Dimensionamento.Agora devemos ver quanto material precisamos usar:A pedra precisa aguentar a maior das foras que de 17228 kg, as normas de construo recomen-

dam aumentar em 40% as cargas encontradas como medida de segurana, teremos ento 24119 kg ou25000 kg. dividindo pela seo da ponte que de 50 cm (espessurado arco) por 3,00 m (largura da ponte) teremos 15000 cm, dividindo-se 25000 kg por 15000 cm teremos 1,666 kg por cm. A pedra resis-te mais do que 100 vezes essa carga, mas a ponte foi construida assim

por que o arco trabalha compresso e precisa resistir tambm flam-

bagem (ser visto mais para a frente).

Vigas duplo arco

Nos arcos, como nas vigas vago, s podemos colocar cargasneles e no sobre o tirante, pois estando na horizontal no conseguirfazer com que nenhuma carga caminhe atravs dele prprio at os apoios.Mas se encurvarmos o tirante, ficaremos com dois arcos, um de traoe outro de compresso, neste caso podemos dividir as cargas entre osdois arcos e ficaremos com uma viga vago onde as duas partes so

encurvadas como vemos na foto ao lado, a ponte est dependuradaem cabos formando um arco de trao e tambm num arco superior decompresso.


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Neste caso consideramos que da carga total da ponte, uma parte caminha pelo arco de compressoe outra pelo arco de trao, indo depois metade da carga total para cada apoio.

O arco de compresso produz foras horizontais para fora que so equilibradas pelas horizontais

para dentro produzidas pelo arco de trao, de resto procedemos da mesma forma que nos casos ante-riores.Muito bem, esta ponte uma viga tracionada na face de baixo e comprimida na face de cima, mas no

o caso tpico de flexo porque as foras de trao e compresso esto bem localizadas em peas quetrabalham s compresso ou s trao.

Nesta ponte, vemos que a carga uniformemente distribuda ao longo de uma linha que a prpriaponte, ento, podemos concluir que a curva natural para os dois arcos o da parbola, tanto para o detrao como para o de compresso.

Calculamos ento como na ponte sobre o Menai, com a diferena que agora desenhamos tringulospara cima do eixo central da ponte e para baixo, e como naquele caso comparamos o tringulo geomtri-co com o de foras.

Trelias

Mais ou menos a mesma coisa ocorre com astrelias. Para que as barras da trelia no precisemtrabalhar flexo, as cargas devem somente ocor-rer nos ns, como mostra o desenho ao lado. Pelodesenho de cima podemos perceber que nas treli-as existem vrios arcos de trao e compresso.

Bem no meio vemos um de trao que est de-pendurado como se fosse uma rede no primeiro arcode compresso. Este se apoia num outro arco detrao que por sua vez est dependurado em outroarco de compresso, e assim por diante. O ltimo

precisa de um ltimo tirante.Existem muitas possibilidades para a configura-

o de uma trelia, mas a regra bsica arco com ovazio para baixo trabalha compresso, quando ovazio do arco est para cima, o arco trabalha tra-o, e repare que no centro passam trs arcos de

compresso e de trao, isso significa que as barrashorizontais da rea central sero as mais solicitadas, as foras que passaro por elas sero maiores.

Se as pernas de um arco tiverem uma inclinao negativa, isto os ps para dentro, j no mais


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Vitor Amaral Lotufo - 18um arco, ento no limite suas pernas podem estar na vertical.

Para calcular uma trelia, basta ir caminhando do centro para as bordas e aplicando o que j fizemoscom a rede e com os arcos, incluindo as novas cargas que forem aparecendo.

Assim no exemplo ao lado, bem no centro, temos uma carga de 100 kg dependurada num arco detrao, essa fora vai se dividir em duas de 57,7 kg tracionando as duas barras, mas importante obser-var que como j vimos com a corda, nesse passo aparecem tambm duas foras horizontais que vo ter

a contrapartida no apoio em cima.Estas barras esto dependuradas num arco de compresso e descarregam nesse arco as foras de

57,7 kg, que se dividem em duasforas de 57,7 kg , as horizon-tais se contrape, enquanto queas outras descem pelo arco quese apoia num outro arco de tra-o. Nesses apoios, existemoutras cargas de 100 kg, que sedividem em duas, uma horizon-

tal de trao de 57,7 kg e outratambm de trao de 115,5 kg,que se somam as duas em quea fora que vem do arco decompresso se divide ambas de57,7 kg.

As horizontais se contraba-lanam, as outras caminham atos pontos de apoio de arco detrao.

Este arco de trao estdependurado em um outro arcode compresso, que recebe en-to os 173,2 kg, que se dividemem duas foras. As horizontaisde 173,2 kg se contrape asoutras descem pelo arco at osapoios da trelia.

Nos apoios estas foras de173,2 kg se dividem em hori-zontais de 86,6 kg que se con-

trape e em verticais de 150 kgque vo pelos apoios at as fun-daes.

Ao somarmos todas as ho-rizontais de trao e compres-so, que passam pelo centro datrelia vemos que elas so iguaisde sentidos opostos e valem230,9 kg.


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Tesoura

A tesoura comummente usada para estrutu-rar telhados um tipo de trelia.

Como em qualquer trelia, para melhor

performance, as cargas devem chegar nos ns,nunca no meio das barras.

No desenho ao lado vemos cargas de, porexemplo 1000 kg trazidas pelas vigas para a te-soura, ignoramos as que chegam diretamente aosapoios.

Essas cargas de 1000 kg se dividem e per-correm a estrutura.

Como a tesoura foi desenhada com as per-nas formando ngulo de 30 com a horizontal,

cada carga de 1000 kg de divide em duas outrasiguais de 1000 kg.As que percorrem as pernas da tesoura, vo

para os apoios, as outras duas percorrem as pe-as intermedirias da tesoura, encontram-se nomeio e se dependuram no pendural.

Pelo pendural chegam ao topo da tesouradividem-se em duas tambm e caminham pelas

pernas at chegarem aos apoios.Quando chegam aos apoios dividem-se em

horizontais e verticais.Notem que so trs verticais em cada apoio

de 500 kg cada uma pois no total temos 3000kg de carga vertical (dividido por dois igual a1500 kg), as horizontais valem 500 kg dividido

por tangente de 30 ou 866 kg. Como so trsforas o total vai ser de 2598 kg que a foraque traciona o tirante.

Passam pelas pernas 3 foras de 1000 kg,totalizando 3000 kg de compresso e o pendu-ral 1000 kg trao e as peas inclinadas 1000

kg compresso.Se esta tesoura for construida com a madei-

ra peroba que aguenta 85 kg/cm, precisaremospara as pernas algo em torno de 36 cm de se-o, e para o tirante sero necessrios 32 cm, fora as partes recortadas para a execuo dos encaixes.

Usando o prprio corpo para entender como funciona uma estrutura

Sempre que falamos de estrutura, o que vem em nossa mente o sistema mais comum de seestruturar um edifcio hoje em dia, ou seja um sistema de pilares, vigas e lajes.

Para entendermos como esse sistema funciona, vamos imaginar que uma pessoa em p representaum pilar, e quando vamos cumprimentar essa pessoa, nossos braos ficam como se formassem umacorrente ligada por nossas mos.


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Vitor Amaral Lotufo - 20Pedimos para uma outra pessoa colocar um peso sobre nossas mos

(por exemplo que se apie em nossas mos), percebemos que nossosombros querem se aproximar.

Descobrimos ento que alem de aguentar o peso (que uma cargavertical) em nossas mos, vamos ter de resistir a uma fora horizontal quefaz com que nossos ombros se aproximem.

Agora escoramos o ombro de nosso companheiro com o braoesquerdo e vice-versa, pronto, solucionamos o problema da fora

horizontal.Os braos

direitos queformam umaespcie decorrente, estos e n d otracionados pela

ao do peso eos esquerdoscomprimidos.

As vigasf u n c i o n a ma s s i m ,compresso na

parte de cima e trao na parte de baixo. Construmos ento com nossoscorpos um sistema de vigas e pilares.

Quanto maior for a distncia entre as partes tracionadas ecomprimidas to menores sero as foras horizontais.

Se agora levantarmos o brao direito sem soltarmos as mos, faremosuma espcie de arco.

Mais uma vez pedimos para a outra pessoa colocar um peso sobrenossas mos (se dependurar por exemplo), vamos sentir agora em nossos

braos direito foras de compresso e percebemos surgir uma fora detrao fazendo com que nossos ombros se afastem.

Para completar nosso esquema, seguramos com a mo esquerda oombro de nosso companheiro e vice-versa. Agora nossos braos esquerdostrabalham trao, impedindo que nossos ombros se afastem. Veja queesse o esquema de funcionamento de uma tesoura de telhado.

Podemos sobrepor esses dois esquemas mostrados, segurandomos esquerdas em cima e mos direitas em baixo, s que agora devemosdividir o peso, parte do peso para as mos de cima parte para as mos de

baixo (para solucionarmos isto, podemos segurar com ambas as mosuma barra, por exemplo um cabo de vassoura, para que o peso colocadoem cima seja aguentado tambm pelas mos de baixo).

Esse o esquema de funcionamento de qualquer viga. Na partede cima haver compresso, na parte de baixo trao.

Os braos quando esto na posio horizontal no esto suportandonenhum peso, pois lembrando do paralelogramo de foras, se colocarmos

um peso sobre algo reto, sem espessura, no h como fazer aparecer umareao contrria, ento estes braos que esto na horizontal s vo resistir foras horizontais.


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Vitor Amaral Lotufo - 21Muito bem, mas como calcular uma estrutura desse

tipo:O peso se divide em duas foras (paralelogramo de

foras) e estas caminham pelos braos at chegarem aosombros, exatamente na tangente dos braos com osombros, a se dividem novamente em foras verticais que vai

pelo nosso corpo at o cho e outras horizontais que serode compresso ou de trao conforme a posio dos braosque esto suportando o peso. IMPORTANTE: Quantomenor o ngulo dos braos com a horizontal, maiores seroas foras horizontais, pois as verticais no se alteram.

Para quantificarmos as foras que atuam nessasestruturas, podemos faz-lo pelo desenho ou pelamatemtica.

Pelo desenho, basta desenharmos numa escalaqualquer a situao estrutural, atribuindo ao peso uma seta

com um tamanho que representar o peso em alguma escala,por exemplo: cada centmetro da seta representar umquilograma fora, depois s completarmos o

paralelogramo de foras e medirmos as foras resultantesem centmetros.

Para a soluo matemtica, basta resolvermos oparalelogramo, utilizando Pitgoras ou trigonometria.

A soma das foras verticais nos apoios ser sempreequivalente ao total do peso. Se o peso estiver fora docentro ou se os apoios estiverem fora de nvel as duas forasF1 e F2 nos apoios sero desiguais, porem sua soma sersempre igual a do peso total.

Neste caso o peso est bem no meio e os apoiosesto nivelados, podemos ento resolver matematicamente,usando a trigonometria, para isso, basta sabermos quantovale o ngulo a entre a linha do peso e a de F1, por exemplo35, ento, cos a = (metade do peso ou V1 )/ F1, com issosaberemos o valor de F1, agora, sabendo F1 calcularemosquanto vale H1, H1 = sen a . F1

Colocando nmeros: se a = 35 e se o peso for de 20kg, F1 = 10 kg / cos 35 ou, F1 = 12,21 kg, e H1 = sen

35 . 12,21 kg, ou H1 = 7 kg.Neste exerccio somente a parte tracionada que

transportava o peso, por que a comprimida estava numa reta horizontal, sem capacidade portanto detransportar uma carga vertical. Quando tanto a parte comprimida como a tracionada tem condies detransportar as cargas para os apoios, como na foto ao lado, o peso vai se dividir , sendo que P1 fazaparecer C1 e C2 comprimindo os braos que esto para cima, e P2 faz aparecer T1 e T2 tracionandoos braos que esto na parte de baixo. C1 se compe com T1 , tendo como resultante s a vertical P/2 e da mesma maneira C2 com T2.

Ao invs da fora horizontal ser resistida pelos outros braos, podemos convocar outraspessoas para nos ajudar a resistir s foras horizontais.


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Vitor Amaral Lotufo - 22Enxergamos agora estruturas semelhantes s pontes penseis e s catedrais gticas.

Ponte sobre o Rio Menai, projeto de Thomas Telford

CONSTRUINDO CPULAS COM OS BRAOS

Um novo experimento: Precisamos agora de nomnimo trs pessoas, mas ser melhor quatro ou mais,cada um levanta a sua mo direita e segura as mos dosdemais no alto.

Algum de novo faz peso sobre as mos queesto no alto, todos vo sentir fora empurrando parafora, para que isso seja evitado, todos seguram osombros do vizinho com o brao esquerdo.

Pronto, est construida uma cpula, o peso sobrea cpula representados pelos braos direitos sofremcompresso e descarregam nos ombros na direo datangente do brao direito com os ombros (neste caso a direo do prprio brao). Estes ento jogamnos ombros uma fora inclinada que faz com que as pessoas se afastem.

Quando eles seguram os ombros do vizinho com os braos esquerdos, eles esto dividindo afora que chega em duas, uma vertical que desce pelo corpo para o cho, e outra horizontal quetraciona os braos esquerdos, mas agora ningum se afasta porque foi formado um anel de trao.

O prximo exerccio exatamente ao contrrio, uma das pessoas est suspensa pelos outros, entoeles tem de formar um anel de compresso com os braos esquerdos, os braos direitos esto recebendoo peso dessa pessoa.

Nave da Catedral de Gloucester


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CPULAS

H alguns milhares de anos o homem constri c-pulas, dentre as inmeras cpulas construidas uma dasque mais se destaca a do Pantheon em Roma, cons-truido entre 118 e 128 DC com 43m. de dimetro e omesmo de altura. uma construo to espetacular queat hoje est em perfeito estado e, foi um feito to incr-vel que seu vo livre s foi igualado mil e trezentos anosaps por Brunelleschi em 1420-1436 na cpula de San-ta Maria del Fiore em Florena.

Nesses 1300 anos, provvel que com a quedado imprio Romano e a conseqente fragmentao do

poder entre os senhores feudais, no houvesse necessi-dade de

grandes espaos cobertos para reunir multides, mas impor-

tante era construir muros e torres.No fim da Idade Mdia com a construo das cate-

drais, era preciso novamente saber como construir grandesvos. Mas este conhecimento j no estava mais disponvel,havia se perdido pelo tempo. Nesses 1300 anos foi feito umgrande vo ,a Santa Sofia, Istambul (Constantinopla) com 32metros de vo livre em 532-537 DC, mas na Europa por voltado ano 1000, um grande vo tinha cerca de 12 metros.

Imaginem o sentimento de inferioridade dos construto-res e arquitetos daquela poca que conheciam o Pantheon e

no conseguiam super-lo em seu vo livre. Dizem queBrunelleschi ficou mais de um ano estudando em seus mnimos detalhes at descobrir todos os seussegredos. Para termos uma idia de seu tamanho,

Notre-Dame de Paris quase cabe dentro do Pantheonna largura e na altura, lembrando que Notre-Dame dividida em cinco vos.

Brunelleschi ao construir Santa Maria del Fiorelibertou o arquiteto do 1400 para o Renascimento.Agora podiam olhar os romanos de igual para igual,tinham o mesmo poder que Michellangelo vai con-

firmar na cpula do Vaticano, 100 anos mais tarde.Na cpula do Pantheon foi usado um sistemade nervuras em tijolos formando vazios como numalaje nervurada, para sem perder altura estrutural di-minuir o peso da estrutura. As paredes so duplas eo espao entre elas foi preenchido com um tipo deconcreto ciclpico, em algumas partes centrais fo-ram utilizadas nforas vazias.

Brunelleschi considerou que era importante o usodos vazios para diminuir o peso da estrutura.

Devemos lembrar que a grande inveno do g-

tico consiste no uso de nervuras estruturais e materi-ais de vedao para preenchimento dos vazios.

Ele fez ento duas cpulas uma interna e outra


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Vitor Amaral Lotufo - 24externa, interligadas por meio de nervuras horizontais e verticais, inclusive permitindo uma escada interna

para acesso ao lanternim da cpula. Com isso ele produziu uma espcie de laje nervurada com grandealtura estrutural (espessura par resistir flambagem) e conseqentemente menor peso.

Brunelleschi tambm deu cpula uma forma mais parecida com a parbola em revoluo, pois jtinha observado no gtico que a forma ogival era mais forte que a circular.

No tempo de Brunelleschi e Michellangelo, no se dispunha de materiais que resistissem bem trao

como por exemplo os aos que existem atualmente. Naquela poca os materiais mais utilizados eram otijolo e a pedra, que resistem bem a compresso, mas muito pouco a trao. Por esse motivo precisaramdesenhar suas cpulas de modo que os esforos de trao ficassem bem diminutos e para isso fizeram o

perfil das cpulas acompanharem o caminho resultante da funicular das foras. Funiculum quer dizercordo, quando suspenso assume naturalmente por ser mole, a curva da resultante das foras provocadas

pelo seu prprio peso.A forma dessa curva funicular pode ser conseguida facilmente reproduzindo em um modelo a forma

e o sistema de carregamento da cpula a ser estudada, utilizando materiais que no ofeream resistnciaa compresso ( por exemplo uma corrente ) e invertendo-se a posio do modelo, pendurando de cabea

para baixo, como podemos ver no modelo ao lado construido no Laboratrio de Estruturas Leves (IL),

em Stuttgart por Frei Otto e sua equipe. No se tem notcia que essa tcnica fosse conhecida na poca daconstruo do Pantheon nem de Santa Maria del Fiore.Nesse modelo, na foto debaixo, podemos ver com correnti-

nhas as resultantes funiculares das foras relativas ao prprio pesodo Pantheon, simulados por pequenos pesos dependurados nas pr-

prias correntinhas.Na foto de cima, o modelo aparece invertido.As fotos do modelo mostram de maneira simtrica foras que

na de baixo so de trao, na de cima so de compresso; porem, importante reparar que as correntinhas no fazem uma perpendi-cular com o plano de onde esto dependuradas, isto significa que ascorrentinhas esto puxando para dentro os pontos onde esto pre-sas portanto esto comprimindo horizontalmente esse plano.

Na foto de cima (onde as foras atuam ao contrrio) e querepresenta a posio certa da cpula, esse plano est sendo tracio-nado.

Ento, na fundao sempre vai haver alguma componente ho-rizontal de trao, ou a prpria fundao absorve essas foras hori-zontais ,ou dever haver um anel de trao na fundao.

Lembre-se que a inverso pode ser feita porque h simetriaentre os esforos de trao e os de compresso, a fora de com-

presso no topo do Pantheon tem a mesma grandeza das de traona fundao o que muda o sentido.

O Pantheon inteiro pode ser pensado como uma grande laje, onde a parte comprimida est ao longoda cpula e a tracionada estaria na altura da fundao e a parte utilizada o interior dessa grande laje.

verdade que a fora peso tem sua direo para o centro da terra, ento as verticais no soexatamente paralelas, mas essa diferena na escala das nossas construes desprezvel.

A forma interna da cpula do Pantheon a de uma meia esfera , que no a melhor forma parasuportar seu prprio peso ( a melhor forma e que o modelo vai indicar ser uma figura prxima de umacatenria em revoluo).

Algum tempo aps sua construo, a cpula de Santa Maria del Fiore comeou a apresentar

trincas; depois de algumas tentativas de reparo ao longo destes ltimos sculos, Pier Luigi Nervi foichamado para dar o seu parecer sobre as trincas.Ele sugeriu que a diferena de temperatura causada pela incidncia do sol provoca dilataes diferen-

tes nas duas cpulas.; e diz que nenhuma obra de arquitetura eterna nem as pirmides do Egito. Uma


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Vitor Amaral Lotufo - 25construo nasce, vive e morre, como tal, um dia ficaremos privados dessa magnfica cpula, mas, secontinuarmos a encunhar as trincas, provavelmente estaremos encurtando sua existncia.

Este fato s nos mostra que ela assim , e assim que devemos admir-la, smbolo do incio dorenascimento, vencendo de novo um vo que s os romanos haviam se aventurado, e, vencendo inaugurauma nova poca, produzindo uma nova forma com uma estrutura mais leve , que vai servir de modelo paraMichellangelo 100 anos mais tarde cobrir o Vaticano.

Nervi projetoumuitas obras primas, en-tre elas o PalazzetoDello Sport para aolimpada de Roma em1960, que tambmuma cpula nervuradacom 67m. de dimetrofeita em argamassa ar-mada e concreto arma-

do. As placas que formam a cobertura foram pr-fabricadas em argamassa armada (concreto com cerca de1.5 a 2 cm de espessura, armado com tela metlica), for-mando em seu bojo nervuras que foram posteriormente ar-madas e concretadas.

Interessante a forma com que Nervi dramatizou oapoio da cpula em pilares com a forma de Y, que pare-cem braos abertos que a amparam, tendo um p a frenteoutro atrs.

Gaud

Quem melhor se utilizou desse conhecimento foi Gaud (Antoni Gaud1852-1926) que executou projetos, estudando sua forma em modelos inverti-dos, como podemos ver ao lado.

Acima um desenho da igreja da colnia Guell e abaixo seu modelo execu-tado de cabea para baixo. O desenho foi produzido a partir de fotografias domodelo invertido.

Gaud como nenhum outro arquiteto, entendeu to bem o funcionamento

estrutural, em seus projetos vamos encontrar toda sorte de solues estruturais,que por vezes aquilo que pensamos ser um simples enfeite, ou um mero caprichoformal, na verdade assume determinada forma objetivando maior qualidade es-trutural.

Somente a parte inferior dessacapela foi construida, que chamadade cripta Guell, mas nessa parte quefoi construida podemos observar ele-mentos estruturais incrveis como pila-res de pedra macia colocados forada vertical e um sem nmero de septos

em forma de arco construidos em tijolos, cuja posio e formaforam encontrados no modelo.


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O COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DAS CPULAS

O comportamento estrutural dascpulas muito simples, para come-ar vamos imaginar que queremosconstruir uma cpula muito pequena,a mais simples possvel, apoiamos uma

pedra sobre outras trs pedras, tere-mos algo parecido com um tetraedro,observe que se as pedras forem como

bolas de bilhar, ao colocarmos a decima, as trs vo se afastar e, nossa

pequena cpula estaria desfeita.Vamos ento passar uma fita adesiva ligando as trs bolas ; agora sim conseguimos construir uma

pequena cpula.A fita adesiva vai trabalhar como um anel de trao evitando que as bolas de baixo se afastem. Mas,

um tetraedro uma cpula? Repare que a bola de cima cobre o espao vazio entre as trs bolas da base,ento uma cpula sim. a cpula mais elementar possvel.

Se conseguirmos entender como a mais elementar funciona, depois s ir aos poucos tornando maiscomplexo o problema.

Se agora colocamos quatro bolas na base ou cinco bo-las, continuamos a ter uma cpula com mais espao livreno meio, porem a bola de cima vai ficar cada vez mais para

baixo. Isso far com que a fora que a bola de cima des-carrega nas de baixo fique mais inclinada, tornando a com-

ponente horizontal cada vez maior, ento quanto mais aba-

tida a cpula maior ser a fora de trao na fita adesiva.Se colocarmos mais camadas de bolas, comearemosa modificar a curvatura da cpula. Conforme o perfil decurvatura da cpula ela precisar de mais outros anis detrao. Porem se o seu perfil for exatamente o caminho daresultante das cargas que a carregam, s haver foras decompresso nas paredes da cpula.

Vamos percorrer agora um outro caminho para entendermos o funcionamen-to estrutural das cpulas. Para isso vamos examinar o que acontece quando apoia-

mos uma escada na parede:Dividimos o peso P em duas foras, uma -H e uma T, esta caminha pelaescada at atingir o cho, onde dividida em duas a P que o peso e uma horizontalH que deve ser anulada por uma reao causada pelo atrito da escada com o cho.A outra fora -H anulada por uma reao igualda parede. A fora -H de mesma intensidadeque a H.

Agora vamos colocar outra escada em oposio primeira,pronto temos um arco, a fora -H da direita se ope -H da esquer-da. No cho, se quizermos ignorar a capacidade de atrito, basta unir-mos os ps das escadas com um tirante (uma corda por exemplo).

Se imaginarmos que esse desenho representa um corte de umcone, ao invs de um tirante podemos colocar uma cinta em volta da

base do cone.


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Vitor Amaral Lotufo - 27Ao invs de um cone agora vamos ver como

funciona uma pirmide, construida com tijolos, pelodesenho vemos que uma metade de octaedro.

Primeiramente precisamos saber o peso decada uma das quatro partes, que tem como formaum tringulo de base 2,50 m dividido pela metade

da raiz quadrada de 2, que vai ser 3,54 m, e dealtura 3,06 m (no octaedro todas as arestas soiguais, e por Pitgoras encontramos o valor da al-tura), porm pelo projeto vemos que uma pare-de na expessura de um tijolo onde estes vo se

projetando a cada fiada para dentro, ento va-mos considerar a altura como 2,50 m.

A rea de cada parte ser 3,54 m x 2,50 mdividido por 2, que dar 4,425 m, que multipli-cado pelo peso especfico de uma parede de um

tijolo de expessura 400 kgf, mais uma carga aci-dental de 50 kgf pom m, teremos um peso totalpara cada face da pirmide 1991,25 kgf, acresci-do de 40%, conforme recomenda a norma tere-mos um peso de 2800 kgf, que a fora V repre-sentada no desenho.

Essa fora V a decomposio da T que a fora que percorreu a face da pirmide, a outracomponente H, comparando-se o tringulo ge-omtrico com o de foras vamos ter que H = 1,77

m x 2800 kgf dividido por 2,50 m que vai dar 1982,4 kgf, aprox. 2000 kgf.A base da pirmide precisa funcionar como uma viga deitada para transportar essa fora horizontal

( que na verdade distribuida e no concentrada) para os apios que sero foras opostas e iguais dasoutras faces, ento a metade do valor de H, 1000 kgf, o que a cinta que envolve a base da pirmide

precisa resistir.Agora vamos colocar uma segunda escada apoiada em cima da primeira, formando um determina-

do ngulo de forma que a fora horizontal H1 no p da escada de cima seja igual a fora -H(P1+P2). Essa uma situao de equilbrio instavel com certesa,mas a fora que a escada de cima empurra a de

baixo a mesma que a de baixo empurra a de cima.Repare que a escada de baixo tem de carregar tam-

bm o peso da de cima, por isso que ficou P1+P2.Se trocarmos a parede por outras duas es-

cadas simtricas, temos um arco com quatro ele-mentos, que tambm estar em equilbrio instavel,mas em equilbrio.

Essa a idia de como podemos calcular ascpulas, dividimos as cpulas em partes, em quantomais partes dividirmos, mais preciso vai ficar o cl-culo.

Se H1 fosse maior que H(P1+P2) seria ne-

cessrio colocar um tirante ou se for uma cpulaseria necessrio um anel que resistisse trao.Vamos agora ver um exemplo de uma cpula


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Vitor Amaral Lotufo - 28dividida em planta em oito partes ou setores e vertical-mente em quatro partes, lembrando que em quanto mais

partes dividirmos mais o poliedro resultante se parecercom uma esfera.

No corte podemos observar que a figura igual adas duas escadas sobrepostas, a diferena que agora a

Fora H1 supera a H2 resultando uma fora para foraH1-H2, isto h uma tendncia da cpula em abrir parafora, nesse lugar devemos colocar cintas resistentes trao dando a volta em toda a cpula na altura de H1 ena base para segurar H2..

Para quantificarmos que foras de trao essascintas precisam resistir, devemos nos dirigir ao desenhoem planta, e da mesma maneira como vimos no caso da

pirmide, dividimos por dois as foras H2 e H1-H2, sque agora precisamos decompor essas foras nas dire-

es das cintas nos setores contiguos, aparecendo assimC1 e C2, como em cada setor surgiro essas duas for-as o total da fora de trao na cinta ser a soma dovalor das duas.

CPULAS NATURAIS

Como vimos as cpulas naturais so aquelas que tem a forma da resultante funicular, nestas em todaa cpula em qualquer direo s existem esforos de compresso, trao s existe onde ela interrompi-

da, ou seja na sua base. Ento onde a cpula interrompida, h necessidade de existir um anel de trao,ou algo que o substitua.

Clculo do anel

Como exerccio vamos calcular o anel necessrio para a base de uma cpula em tijolos comuns, naespessura de meio tijolo, com o dimetro de 7 metros e altura de 4,25 metros, pelo eixo dos tijolos, coma forma de uma catenria em revoluo.

1- Dividimos a cpula (vista superior) em setores, quanto mais pedaos dividirmos maior ser a

exatido do resultado. Vamos dividir por exemplo em doze setores de 30 cada, da mediremos a rea dasuperfcie de cpula de cada setor, para sabermos a carga que cada um representa.

2- Medimos o desenvolvimento de cada setor da base at a ponta. No nosso caso 5,85 metros.Dividimos essa medida em partes iguais por exemplo em seis intervalos de 0,975 m.

Para desenharmos o seu desenvolvimento marcamos no corte da cpula essas medidas e medimosa que distncia esses pontos esto do eixo vertical, vamos encontrar raios que multiplicados por2 . edivididos por12, daro a largura do setor naquele determinado ponto.

No nosso caso vamos obter para o raio de 3,50 m, 1,83 m; para o raio de 3,17 m, 1,66 m; para ode 2,76 m, 11,45 m; para o de 2,30 m, 1,20 m; para o de 1,67 m, 0,87 m, para o de 0,94 m, 0,49 m.

3- Medimos a rea de cada trapsio e do tringulo final, e obtemos assim a rea total de um setor,

que multiplicado por uma carga de peso prprio mais uma carga eventual que deve ser prevista e teremosento o total da carga vertical que cada setor da cpula entrega para a fundao.


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Vitor Amaral Lotufo - 29A rea total do se-

tor de 6,42 m e multi-plicada por 280 kg/m(peso de cada m de al-venaria de meio tijolo)mais 50 kg (cargas

eventuais), obtemos acarga vertical do setor2118,6 kg.

4- Montamos oparalelogramo de foras,indicado no corte da c-

pula acima e obtemos afora horizontal H.

Vamos comparardois tringulos semelhan-

tes um de foras e outrode medidas, para encon-trar o valor de H.

H est para a for-a vertical de 2118,6 kgassim como a meia lar-gura da cpula 3,50 m,est para a altura em queo eixo da cpula encon-tra a tangente que passa

pela sua base 11,15 m,H = 665 kg.

5- Examinandoagora a fora horizontal

pela vista superior, ve-mos que h uma situao

semelhante a que havia com o peso na corda, a fora H est tracionando a corda que agora estamoschamando de anel de trao, e ao invs desta corda estar presa a rvores, ela est presa aos setorescontguos, estes por sua vez esto tracionando os seguintes e assim por diante at dar a volta completa.

Para calcular o valor dessas foras A, s comparar o tringulo do setor com o tringulo das forasA com H, ou A est para 3,50 m assim como H( 665 kg) est para 1,83 m H( 665 kg), ento A = 1272

kg.6- Dimensionamento: Se optamos por executar um anel com ao CA-50 ( ao para Concreto

Armado com resistncia de 50 kg/mm), precisamos de 25mm de ao ( 1272 kg / 50 kg/mm) ou sejauma barra com 6,2 mm de dimetro.

Ateno: No estamos aplicando os coeficientes de segurana indicados pelas normas.Se quisermos resultados com maior preciso ou adotamos as frmulas matemticas, ou dividimos

em mais setores, a estaremos nos aproximando ao processo que Arquimedes usou para calcular a super-fcie de uma esfera etc.

As frmulas da catenria so as seguintes:Para o desenho da cpula y (a altura ou 4,25 m) = a . cosh(x/a) - a.

No sabemos o valor de a , um parmetro da escala da curva, isto a curva tem um s desenhomas o fator de ampliao que a que vai dar a proporo entre um vo e uma altura escolhida, que nonosso caso 3,50 m de raio ou 7,00 m de dimetro e 4,25 m de altura.


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Vitor Amaral Lotufo - 30Para descobrir o valor de a, temos de ir experimentando a at obtermos com x = 3,50 m , um y =

4,25 m, para este caso o valor ser 1,9 para a.Para o comprimento da catenria c = a . senh(x/a) ou 5,8437...mImportante lembrar que nessas frmulas a catenria est de cabea para baixo e o eixo dos y passa

pelo meio, ento as frmulas nos do uma metade da curva. importante tambm saber, veremos issomais para a frente, a catenria no exatamente o perfil natural para uma cpula sem outro carregamento

que no seja seu prprio peso, mas muito prximo, pois temos um tringulo esfrico e no um arco.

Cpula hemisfrica

A cpula hemisfrica no uma curva natural, nosegue o desenho da resultante funicular, entoela apresenta flexo em alguns trechos ou seja trao e compresso num mesmo trecho em faces opostas.

A foto ao lado uma reproduo de um modelo feito por Leonardo Da Vinci para estudar ocomportamento das cpulas. le amarrou cordes a trechos de uma cpula e equilibrou-os com pesosatados a esses cordes. Esses pesos daro uma noo do esforo que os anis devem aguentar.

Se estivermos trabalhando por exemplo com tijolos, ser necessrio colocar anis de ao pois a

alvenaria suporta bem compresso, mas frgil com respeito trao.Para entendermos onde devemos colocar esses anis, vamos primeiro imaginar um modelo de

cabea para baixo feito por exemplo com correntinhas, ele vai assumir a forma de uma catenria emrevoluo, se quisermos que o modelo assuma a forma de uma meia esfera, vamos precisar colocar anisque forcem as correntinhas para fora, pois a esfera mais bojuda que a catenria, e ser mais fcilcomear por baixo, isto colocar primeiro o anel mais baixo, depois um outro mais para cima e assim pordiante, finalmente poderemos ter um modelo de cabea para baixo deuma meia esfera.

Vamos fazer o mesmo caminho, s que agora com a cpula do

lado certo e vamos comear de cima para baixo, colocando primeiroum anel em cima e depois outros mais para baixo.

Entre um anel e outro a cpula est apta a resistir somente com-presso, portanto necessrio que a curvatura natural esteja contidano interior de sua espessura.

O que vamos fazer o indicado esquematicamente ao lado. Aparte de cima quer cair empurrando para fora e a parte de baixo quer

cair empurrando para dentro. Se a for-a que quer cair para dentro for maior

que a que quer cair para fora, a prpriacpula capaz de resistir pois trata-sede compresso no anel horizontal, masse ocorrer o inverso, precisamos de um anel de trao.

Vamos colocar anis, conforme mostra o desenho, de 15 em 15por exemplo.

Esta uma cpula construida em forma de hemisfrio . Vamos calcu-lar o peso de cada uma das partes de um setor esfera em tijolos na espessu-ra de meio tijolo.

No desenho acima a parte superior representa a cpula vista em cor-te e a inferior representa a cpula em vista de cima.

Pela vista de cima vemos a cpula dividida em 12 setores de 30cada, e na vista em corte vemos cada setor da hemisfrio dividido em 6

partes de 15 cada.


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Vitor Amaral Lotufo - 31No se assuste com o desenho porque no to complicado

assim. Na parte superior teremos ento 12 tringulos um de cadasetor, que vamos chamar de parte A, que formam um casquete es-frico, que tem como frmula para clculo de sua rea: s = 2 . . . . . . R( R - ( R . sen)) que dividido por 12, dar a rea de cada trin-gulo esfrico.

Em seguida para baixo outras 12 partes em forma de trapsio esfrico de cada setor que chama-mos de parte B, depois outras 12 partes C, depois D, E, e finalmente outros 12 trapsios parte F. Paraclculo da rea dessas outras partes, calculamos a rea de um novo casquete esfrico com o ngulorespectivo e depois descontamos a rea do casquete acima, a diferena dividida por 12 ser a rea decada trapsio esfrico daquela parte.

Ento:sA = 2 . . 3,50 ( 3,50 - ( 3,50 . sen 15)) = 0,219 msB = 2 . . 3,50 ( 3,50 - ( 3,50 . sen 30)) = 0,640 msC= 2 . . 3,50 ( 3,50 - ( 3,50 . sen 45)) = 1,020 msD = 2 . . 3,50 ( 3,50 - ( 3,50 . sen 60)) = 1,328 m


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Vitor Amaral Lotufo - 32sE = 2 . . 3,50 ( 3,50 - ( 3,50 . sen 75)) = 1,547 msF = 2 . . 3,50 ( 3,50 - ( 3,50 . sen 90)) = 1,660 m

1- Vamos calcular a carga de cada uma das partes de cada setor. A parte A tem como rea 0,219m, como a alvenaria de meio tijolo pesa 280 kg por m e vamos somar uma sobrecarga de 50 kg/mteremos 330 kg. A norma pede que aumentemos as cargas de clculo em 40% ento a carga total a ser

prevista por m ser de 462 kg, que multiplicado pela rea sA 0,219 m2 = 101 kgRepetimos a mesma operao para as partes B,C,D,E e F, e encontraremos para a parte B: 296kg, para a parte C: 471 kg, para a parte D: 614 kg, para a parte E: 715 kg e finalmente para a parte F:767 kg.

2- A parte A descarrega sua carga Ano topo da parte B, com a inclinao de 7,5 com a horizontal,gerando a fora horizontal HA que empurra para fora o tpo da parte B. A fora H igual ento a 101kg dividido por tg 15 = 377 kg.

A parte B empurra o p da parte A com a componente horizontal HB de sua carga que vale 296 kgdividido por tg 15 = 1105 kg. A resultante uma fora HB - HA, que empurra para dentro com 728 kg,no h necessidade de reforos pois os tijolos suportam bem compresso (acima de 30 kg/cm).

Vamos descer mais um degrau: O p da parte B empurra para fora o topo da parte C com acomponente horizontal H A+Bde sua carga mais a da parte A : 101 kg + 296 kg = 397 kg dividido portg 30 = 688 kg.

A parte C empurra para dentro o p da parte B com a componente horizontal HCque vale a cargada parte C: 471 kg dividido por tg de 30 = 816 kg, que como no caso anterior maior que HA+B, ecomprime o anel com 816 kg - 688 kg = 128 kg.

Vamos descendo os degraus de anel em anel sempre calculando a componente horizontal da somadas cargas de todas as partes que esto acima, e diminuindo da componente horizontal da carga da parteque est embaixo.

Ento, o p da parte D empurra para fora com a componente horizontal HA+B+C+D da soma dascargas A+B+C+D: 101 kg+ 296 kg + 471 kg + 614 kg = 1482 kg dividido pela tg 60 =856 kg.

O topo da parte E empurra para dentro o p da parte D com a componente horizontal HE, quevale a carga da parte E: 715 kg dividido pela tg de 60 = 413 kg.

Agora h uma fora resultante ( HA+B+C+D) - HE, que empurra para fora com 856 kg - 413 kg =443 kg. Esta fora est indicada no desenho na parte inferior esquerda vista em planta, estamos indicandos uma delas mas em todas os 12 setores em que dividimos a hemisfrio haver uma fora destas, vamosdividi-la em duas componentes T que sero realmente as foras que o anel de trao precisa suportar eelas valem metade da fora ( HA+B+C+D) - HE: 443 kg/2 ou 221,5 kg dividido pelo seno de 15 = 856kg .

5- Dimensionamento: Os aos usados em construo so os CA (Concreto Armado) e o maiscomum o CA-50 que cada mm de seo resiste 50 kg. A norma pede que por segurana diminuamos

a resistncia nominal em 15%, o que significa que o CA-50 deve sofrer um esforo mximo de 43,5 kg trao (ou compresso). Para resistir os 856 kg precisaremos de : 856 kg / 43,5 kg/mm = 20 mm deseo de ao ou seja uma barra com mais de 5,1 mm de dimetro, ou duas ou mais barras que somadasresultem na mesma seo.

Devemos repetir a mesma operao para dimensionarmos os outros anis.Estamos assumindo que a curva entre um anel e outro uma curva natural, ou seja que a curva

natural percorre o tero mdio de cada trecho de esfera entre dois anis.Se dividirmos em mais partes e em mais setores poderemos ter maior preciso na colocao dos

anis de trao.Se quisermos evitar todo esse clculo podemos obter os resultados atravs de um desenho bem

feito e numa escala adequada, lgico que devemos compensar a impreciso do desenho com maioresndices de segurana.

Resumo


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Em todos os casos que mostramos at agora, procuramos resumir a atuao da estrutura a duaspartes uma superior que resiste compresso e outra inferior que resiste trao, e essas duas se encon-tram nos apoios, formando aquilo que denominamos de ciclo estrutural.

Existem foras externas que atuam nesse ciclo estrutural, as mais comuns so as foras peso, masqualquer agente externo pode estar agindo com foras sobre esse ciclo estrutural.

Para quantificarmos que foras esto agindo internamente no ciclo estrutural, primeiramente preci-samos identificar as externas.

Interrompemos o ciclo estrutural no ponto em que queremos quantificar as foras internas. Se forexatamente no apoio esse ponto nico, se for em outro lugar estaremos interrompendo numa mesmalinha a parte comprimida e a parte tracionada.

Sabemos que as foras internas tem sua direo exatamente nas tangentes das curvas do cicloestrutural onde foram interrompidas, e so resultantes da atuao de dois pares de componentes queagem naqueles pontos.

Cada par de componentes formado de um lado pela resultante das foras externas que chegamquele ponto, que pode ter valor zero se as foras

externas s caminham poruma das partes do ciclo,e de outro lado por for-as que so iguais nasduas partes do ciclo mascom direes opostas.

Como conhecemoso valor das foras exter-nas, basta resolvermos os

paralelogramos que quantificaremos as foras internas da estrutura, do cicloestrutural.

Em todos estes casos a resultante das foras de trao e de compresso passam exatamente peloeixo das peas estruturais e as peas trabalham com toda a sua seo resistindo somente trao ousomente compresso.

Nas peas macias, o ciclo estrutural no aparece to em evidncia, precisaremos ento encontrarpor onde passam as resultantes das foras de trao e compresso e avaliar que fora essas peas podemsuportar, o caso das peas submetidas flexo.

Flexo

Denomina-se flexo quando uma mesma pea trabalha com trao e compresso ao mesmo tem-

po, uma das faces estar sendo tracionada enquanto a outra estar sendo comprimida.A pea isoladamente apresentar um ciclo estrutural. Ento nos remetemos mais uma vez aos casos

mostrados acima.Porm, a trao e a compresso no estaro separadas fisicamente, vai haver uma tran-

sio entre um mximo de trao numa face e na outra um mximo de compresso e entre elasum ponto onde no h trao nem compresso. E as resultantes de trao e compresso, noestaro no eixo da pea, mas passaro por caminhos que precisaremos determinar.

O desenho ao lado indica com um sistema de linhas, a nuance entre as foras de trao e compres-so.


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Vitor Amaral Lotufo - 34A curva mais interna, com a abertura para cima representa, como se fosse uma curva de nvel, uma

regio em que h um mnimo de trao e medida que os arcos vo ficando mais externos vo caminhan-do para o mximo de trao.

Simetricamente, o arco mais interno com a abertura voltada para baixo indica um nvel de mnimacompresso e medida que os arcos crescem, eles re-

presentam compresso cada vez maior.

As figuras indicam situaes diferentes para trstipos de carregamento diferentes.

Quanto mais prximas as linhas, menos ma-terial a pea tem para resistir s foras internas.

No primeiro exemplo claramente a seo mais crticaest no meio do vo, enquanto que no terceiro exem-

plo, a seo mais crtica est sob a carga.Examinando um corte da parte central da viga no

primeiro exemplo, vamos notar de baixo para cima, ummximo de trao que vai diminuindo medida que se

aproxima do meio da seo onde chega a zero, pas-sando compresso crescendo at chegar a um mxi-mo de compresso na parte de cima.

Colocando num grfico:Cada quadradinho equivale a uma unidade de rea multiplicado por uma unidade de fora, ento

teremos no meio uma unidade de rea vezes uma unidade de fora (para cima compresso para baixotrao), a seguir uma unidade de rea vezes duas unidades de fora (curva de nvel 2), depois umaunidade de rea vezes trs unidades de fora, e assim por diante, at uma unidade de rea vezes 6 defora.

Precisamos localizar as resultantes, pois no final para o clculo, precisamos saber qual a distnciaentre a resultante de trao da de compresso.

As resultantes estaro no plano do eixo vertical da viga e dividem exatamente ao meio a quantidadede quadradinhos, ento elas distam da metade da viga, a metade dessa altura dividido por raiz quadradade dois.

A capacidade que essa viga tem de resistir trao e compresso ser reduzida para a metade, poispodemos verificar pelo grfico que a parte mais externa da viga pode suportar um mximo enquanto quea parte o central no vai suportar nada, vale a mdia.

Se toda a metade da viga pudesse trabalhar a um mximo de trao ou compresso, sua capacida-de seria medida multiplicando-se sua rea pela taxa mxima que suporta .

Comparando-se esse resultado com o que ela efetivamente pode suportar mostrado no grfico,constatamos que uma viga de seo re-

tangular s vai poder ser exigida com ametade da carga mxima.

A viga pode ter outras formas deperfil, o que vai alterar sua capacidadede resistncia e a posio das resultan-tes.

Se a viga tiver o perfil circular, sresistir a 1/4 da resistncia especficanominal, e as resultantes ficaro mais pr-ximas do centro, reduzindo a altura es-

trutural. No grfico ao lado foram representadas em cada nvel a quantidade de rea vezes o nvel detenso (de 1 a 6).


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Vitor Amaral Lotufo - 35As resultantes dividem nmeros iguais de quadradinhos, ento estaro entre os nveis 3 e 4, mais

prximas do nvel 4, podemos considerar com segurana que as resultantes distam 1/4 da altura (dime-tro) do centro da viga.

A partir do momento que conseguimos determinar a posio das resultantes e a quantidade decarga mxima que as partes tracionada e compri-mida so capazes de suportar, podemos calcular

uma viga fletida da mesma maneira que os casosque j vimos anteriormente.

Clculo de uma viga demadeira

Na figura abaixo est representada uma vigade peroba com a bitola de 6 x 16 cm, percorrendoum vo de 2,50 m, recebendo uma carga total de 800 kg.

1- Conforme vimos anteriormente o ponto mais crtico est no centro do vo, pois onde as curvasde nvel de fora passam mais prximas umas das outras, e as resultantes de trao e de compressodistam a altura da viga dividido por raiz de 2, que ser igual a 11,3 cm.

Poderamos desenhar as duas resultantes como duas parbolas iguais que se encontrariam nosapoios, mas basta desenharmos uma delas considerando a outra como uma reta, o importante manter adistncia da altura estrutural entre elas.

Sabemos que se dobrarmos a altura estrutural e ligarmos com os apoios, estaremos desenhando astangentes parbola da resultante de trao. Obtemos ento um tringulo de medidas formado pelametade do vo, pelo dobro da altura estrutural e pela tangente.

2- Representamos a metade da carga ou seja 400 kg num dos apoios e representamos o paralelo-gramo de foras, aparecendo ento a fora T na tangente parbola e a fora H, que a fora horizontalque a fora T gera no apoio.

3- Comparamos esses dois tringulos que so semelhantes.P/2 est para o dobro da altura estrutural assim como H est para a metade do vo, ou seja H =

400 kg . 1,25 m / 0,226 m

= 2213 kg.

4- Como vimos an-

teriormente a seo retan-

gular na parte comprimida

e na parte tracionada s

aguentam a metade da car-

ga nominal que de 100 kg

/ cm para a peroba, portanto a viga resiste na seo tracionada ou na comprimida (6 x 8 cm) 48 cm

vezes 50 kg ou seja 2400 kg, como este valor supera o solicitado, a viga suportar a carga de 800 kg pelo

vo de 2,50 m.


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licões de estrutura - vitor amaral lotufo

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