Leis de Biot-Savart e de Ampère

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• Vimos que uma carga elétrica cria um campo elétrico e que este

campo exerce força sobre uma outra carga.

• Também vimos que um campo magnético exerce força sobre uma

carga somente quando ela está em movimento.

Será também verdade que uma carga elétrica cria um campo

magnético somente quando ela está em movimento? A resposta é sim.

2

Campo magnético gerado no ponto P por UMA carga puntiforme com

velocidade constante

permeabilidade do vácuo 3

Forças entre dois prótons que se movem: dois prótons se deslocam

paralelamente ao eixo Ox em sentidos opostos, com a mesma velocidade v. No

instante da configuração indicada na figura a seguir, determine a força elétrica e a

força magnética sobre o próton da parte superior e calcule a razão entre os módulos

dessas forças.

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Campo magnético gerado pelo próton da parte

inferior:

Portanto:

Força elétrica sobre o próton da parte superior:

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c: velocidade da luz

Força magnética sobre o próton da parte superior:

Portanto, a razão entre o módulo da força

magnética e o módulo da força elétrica é dada por:

Portanto, quando a velocidade v for pequena em comparação à velocidade

da luz c, a força magnética será muito menor do que a força elétrica. 6

Campo magnético de um elemento de corrente

O campo magnético total produzido por diversas cargas que se movem é a

soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais. 7

Considere que existam n partículas carregadas por unidade de volume em um fio

condutor. A grandeza n denomina-se concentração de partículas; sua unidade SI é

m-3 . Então, a quantidade de carga dQ em um volume diferencial dV = A dl pode ser

escrita como:

Tal que:

Mas,

8

Tal que:

“Lei de Biot-Savart”

Vista “frontal do fio”: ele está

perpendicular ao plano desta página.

O símbolo X indica

que a corrente está se

movendo para dentro

do plano desta página.

Então:

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Exemplo 1: campo magnético produzido por um condutor retilíneo de

comprimento 2a transportando uma corrente. Especificamente, analisemos o

campo magnético produzido no ponto P da figura a seguir.

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Resolução da integral:

11

Uma situação limite: fio de comprimento a muito maior do que x, ou seja,

limite de um fio muito longo.

Para um fio muito longo, temos esquematicamente que:

12

Podemos utilizar a simetria do problema! Semelhante ao que observamos no caso do

campo elétrico resultante sobre o eixo central de um anel, aqui ocorrerá o cancelamento

mútuo dos campos magnéticos nas direções y e z da figura acima (ou seja, no plano do

anel). Assim, restará apenas a componente ao longo da direção x.

Exemplo 2: campo magnético de uma espira circular de raio a percorrida

por uma corrente I. Especificamente, analisaremos o campo magnético

produzido no ponto P da figura a seguir.

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Pela simetria do problema:

: ângulo entre e !

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Momento magnético

O campo magnético produzido no ponto P é então dado por:

15

Linhas de campo magnético ao redor de uma espira circular percorrida por

uma corrente.

Possível localização do

ponto P do exemplo

anterior.

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Ou seja, uma espira percorrida por corrente produz um campo magnético

semelhante ao de um ímã em forma de barra, com um pólo norte e um pólo sul. O

momento de dipolo magnético da espira, cujo sentido é dado pela regra da mão

direita, aponta do pólo sul para o pólo norte, isto é, na mesma direção que o

campo magnético no interior da espira.

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Campo magnético de uma bobina circular

Suponha agora que, em vez de uma única espira, existam N espiras acopladas, todas

com o mesmo raio e percorridas pela mesma corrente I. Nesse caso, teremos o que

chamamos de bobina. Tomando como referência o resultado de uma única espira, o

campo magnético ao longo do eixo central da bobina, a uma distância x do centro, é

dado por:

Momento de dipolo magnético (ou simplesmente

“momento magnético”) da bobina, com A = 𝑎2 sendo a

área de cada espira.

Então:

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Lei de Ampère

• Para o problema da determinação do campo elétrico, verificamos que, em

situações com elevada simetria, era mais fácil o uso da lei de Gauss.

• Analogamente, existe um modo mais prático para determinar um campo

magnético produzido por uma distribuição de correntes com simetria

elevada. Porém, a lei que nos permite fazer isso, chamada de lei de Ampère,

possui um caráter bastante diferente da lei de Gauss.

A partir do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada, a lei de

Gauss relaciona campos elétricos com distribuições de cargas elétricas:

Lei de Gauss: “O fluxo elétrico total através de qualquer superfície

fechada é igual à carga elétrica total (líquida) existente no interior da

superfície dividida por .” 19

Como já vimos, podemos definir um fluxo magnético. Porém, nesse caso, uma

vez que não temos “cargas magnéticas” (monopolos), a chamada lei de Gauss

para o magnetismo assume o seguinte formato:

A lei de Ampère não é formulada em termos de um fluxo magnético, mas

definida com base em uma integral de linha de B em torno de uma trajetória

fechada, designada por

Para darmos continuidade à formulação da lei de Ampère, voltemos ao exemplo

de aplicação do slide 10.

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Mostramos que o campo magnético

no ponto P é dado por:

No limite de a >> x, por sua vez,

temos que:

Campo magnético produzido por um condutor retilíneo de comprimento 2a

transportando uma corrente. Especificamente, analisemos o campo magnético

produzido no ponto P da figura a seguir.

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Logo, no limite de fios muitos longos, em qualquer ponto ao longo de uma

circunferência de raio r, centralizada no condutor, o módulo do campo

magnético será dado por:

22

Considere agora a vista frontal de um condutor com corrente saindo do plano desta

página:

Mas:

Portanto:

23

Nesse caso, podemos escrever:

24

Portanto:

Mas:

Assim:

25

De uma forma geral, para qualquer trajetória englobando um condutor, teremos que:

Mas:

Então:

Portanto:

26

Mas:

Então:

Neste caso, a variação do ângulo θ durante uma

volta completa através do percurso de

integração é zero. Portanto:

Se a trajetória não englobar um condutor percorrido por uma corrente, teremos:

27

Assim, podemos enunciar a lei de Ampère da seguinte maneira:

Com Iinte sendo a corrente total dada pela soma algébrica das correntes

no interior ou englobadas pelo percurso de integração.

Embora a lei de Ampère, que, como vimos, pode ser demonstrada a partir da lei de

Biot-Savart, tenha recebido o nome do físico francês André-Marie Ampère (1775-

1836), ela foi na realidade proposta pelo físico inglês James Clerk Maxwell (1831-

1879).

O círculo no símbolo da integral indica que a

integração deve ser realizada para uma curva

fechada, conhecida como amperiana.

amperiana

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Regra da mão direita da lei de Ampère

Envolva a amperiana com a mão direita, com os dedos apontando no sentido

da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal

positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo.

Se o sinal do campo magnético, obtido via lei de Ampère, for negativo, isso

indicará apenas que o sentido correto do campo ao redor dos fios é oposto ao

adotado durante o cálculo.

E se a amperiana envolver mais de um fio?

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E se as correntes englobadas pela amperiana se cancelarem? Isso indicará um

campo magnético nulo em todos os pontos da amperiana?

Nos dois casos acima, o da esquerda por cancelamento das correntes englobadas

pela amperiana, o da direita pela ausência de correntes, teremos que:

É importante salientar que o resultado acima não significa necessariamente que

B = 0 em todos os pontos do percurso, mas apenas que a soma algébrica das

correntes no interior do percurso de integração é igual a zero. 30

Cilindro condutor longo de raio R

Um condutor cilíndrico longo, de raio R, conduz uma corrente I. A corrente está

uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro. Determine o módulo

do campo magnético em função da distância radial r para todos os pontos dentro

(r < R) e fora do condutor (r > R).

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1. Dentro do cilindro (r < R)

Como a corrente está uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro,

podemos escrever que:

Assim:

Mas:

Portanto:

32

2. Fora do cilindro (r > R)

Neste caso:

Assim:

Mas:

Portanto:

33

Graficamente, temos:

34

Forças entre fios paralelos (percorridos por correntes no mesmo sentido)

35

O campo produzido pelo fio inferior é dado por:

Em termos vetoriais, podemos escrever o campo

magnético atuando no fio superior da seguinte

maneira:

Assim, o vetor força magnética atuando no fio superior será:

Portanto:

Ou seja, cada um dos dois fios é submetido a

uma força de atração cujo módulo, por unidade

de comprimento, é dado por: 36

Solenóide

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Consideraremos aqui um “solenóide ideal”: campo magnético uniforme no interior do

solenóide e nulo fora dele.

38

A última figura do slide anterior é equivalente à figura deste slide. A única diferença

está no sentido da corrente elétrica (e, consequentemente, o sentido do campo

magnético).

39

Portanto:

40

Considerando que o solenóide tem n espiras por unidade de comprimento, podemos

escrever que:

Assim, o módulo do campo magnético no interior de um solenóide ideal é dado por:

41

Toróide (“solenóide toroidal”)

42

Considerando que há N espiras no enrolamento do toróide,

podemos escrever que:

Assim:

Mas:

Portanto:

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O magneton de Bohr – magnetismo em escala atômica

• Considerando o modelo atômico em que os elétrons orbitam os núcleos com um

raio de órbita r, o movimento eletrônico pode ser visto como formando uma

espira de corrente. Tal espira, por sua vez, dará origem a um campo magnético,

como vimos nos slides 13 – 17, com um momento magnético orbital

característico. Além disso, um elétron possui momento magnético de spin.

Momento angular

Momento magnético

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Para encontrarmos a corrente associada ao movimento do elétron, notamos que o período

orbital T (o tempo que o elétron leva para completar uma órbita) é dado por:

Assim, a corrente I pode ser escrita como:

O momento magnético da “espira” formada pelo movimento orbital do elétron é dada por

O momento angular associado ao movimento orbital do elétron, por sua vez, é dado por

Portanto:

“Magneton de Bohr”, em homenagem ao físico

dinamarquês Niels Bohr, que propôs um modelo

atômico com órbitas eletrônicas quantizadas

(conhecido como ‘modelo de Bohr’) em 1913. 45

Em sistemas de muitos átomos, muitos momentos magnéticos orbitais e de spin se

somam vetorialmente, podendo produzir uma resultante igual a zero. Um ‘ferromagneto’

apresenta uma magnetização espontânea abaixo de uma temperatura crítica: todos os

momentos magnéticos se alinham ao longo de uma direção única, no mesmo sentido.

Representação esquemática:

Ferromagnetismo:

Temperatura crítica para o aparecimento

do estado ferromagnético: “temperatura

de Curie” - TC.

Em caráter macroscópico, o alinhamento

de momentos magnéticos dará origem,

por exemplo, a um ímã.

Momentos magnéticos alinhados

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