objetivo: definir corrente elétrica e densidade de correte definir a lei de biot-savart definir a...

...............Unidade 2 Campo Magnéti co Estacionário................

André Luis Lapoll i

Campo Magnético EstacionárioObjetivo:

•Definir corrente elétrica e densidade de correte•Definir a Lei de Biot-Savart•Definir a Lei de Ampère•Calcular o campo magnético a partir da Lei de Biot-Savart•Calcular o campo magnético através da Lei de Ampère

• Introdução

• Corrente e densidade de correte elétrica

• Lei de Biot-Savart

• Lei Circuital de Ampère

• Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual.

Hayt – cap 8

André Luis Lapolli – URL:http://www.lapolli.pro.br



EqF

• IntroduçãoA carga elétrica pode produzir dois tipos de campo:

Campo Elétrico: Basta a sua presença.Campo Magnético: Gerado apenas quando a carga está em

movimento

Isto foi descoberto por Oersted na experiência que verificou o movimento de uma agulha magnética na presença de um fio percorrido por uma corrente elétrica.

Força elétrica sobre uma carga na presença de um campo elétrico é dada por

Força magnética sobre uma carga na presença de um campo magnético é dada por

BvqF

)(/

teslaTsCm

NB



• Introdução

LocalUnidade T

(tesla)

Estrela de neutrons 108

Eletroimã 1,5

Barra imantada 10-2

Superfície da terra 10-4

espaço 10-10

Menor valor de blindagem

10-14

Intensidade do campo magnético em alguns locais do universo.



q – carga do elétronn - número de portadores de carga por unidade de

volume.V- Volume do cilindro J - Densidade de corrente (corrente/Área (A)v - velocidade de arrastamento dos elétronsDt - intervalo de tempo que os elétrons levam para

atravessar o comprimento l delimitado

• Corrente e densidade de correte elétricaCorrente elétrica é a quantidade de cargas que atravessa a secção transversal de um condutor por unidade de tempo.

DQ

l

t

Qi

)(ampéreAs

Ci nqVQ Carga total

lAV t

Qi

t

nqlAi

=vnqvAi

vnqJ

nqvA

i

Velocidade de derivaVelocidade de migração A

iJ JAi AdJi




A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por uma carga elétrica que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga e a velocidade da mesma, perpendicular ao plano da carga e ponto, à uma certa distância, satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4p.

24 R

avqH R

Onde:H – Campo magnéticoq – carga elétrica.v – velocidade da cargaR – distância da carga ao ponto onde se deseja calcular o

campo magnético.

[H]=A/m (ampère/metro)




Força magnética entre duas cargas pontuais.

2

)(´´

4

1´´

R

avvqqHvqF R

Lembrando que B é o vetor indução magnética ou densidade de fluxo.

[B]=Wb/m2 (weber/ metro quadrado)

HB

Constante de permeabilidade

mA

Wb

.10.4 7

0 Permeabilidade no vácuo.

HvqF

24 R

avqH R




24 R

avdqdHd R

Usando a Memória:

dt

ldvd

dtvdld

.

24 Rdt

aldqdHd R

24 R

alIdHd R

24 R

avqH R




A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por um elemento de carga que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga perpendicular ao plano da carga e ponto satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4p.

24 R

aLIdHd R

Onde:dH – Campo magnético elementarI – corrente elétrica.dL – comprimento elementar do filamentoR – distância do elemento de carga IdL ao ponto onde se

deseja calcular o elemento de campo magnético.

[H]=A/m (ampére/metro)




I1

PdL1

aR12

R12

dH2

212

12112 4 R

aLdIHd R

Não é possível resolver experimentalmente



Portanto vamos nos restringir ao caso estacionário onde a corrente é constante no tempo e, portanto a densidade de cargas não varia em função do tempo.


tJ

Lembrando a equação da continuidade.

Como a densidade de cargas não varia no tempo.

0 J

Aplicando-se o teorema do divergente: v a

adAA

0 v A

AdJJ

0A

AdJ




A corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é zero, e esta condição pode ser satisfeita somente pela consideração de um fluxo de corrente em um percurso fechado.É esta corrente fluindo em um circuito fechado que deve ser a nossa fonte de experiência e não o elemento diferencial

24

ˆ

R

aLIdH R

A Lei de Biot-Savart pode ser expressa como fontes distribuídas como densidade de corrente J e densidade de corrente superficial K.

[J]= A/m2 – corrente que flui em uma camada de espessura infinitesimal.

[K]=A/m – densidade de corrente superficial.

LId




Se K for uniforme então I, corrente total na largura b é dada por:

KbI Medida perpendicular ao fluxo da corrente

Para o caso não uniforme: KdnI

Elemento infinitesimal de caminho atravessado pela corrente que está fluindo

dvJdsKlId

São os elementos de corrente do filamento, da superfície e do volume.

Consequentemente podemos escrever a lei de Biot-Savart das outras duas formas

s

R

R

dSaKH

24

ˆ

v

R

R

dvaJH

24

ˆ

I

b

dn

K

dsK

dvJ




Exemplo 1:O campo magnético produzido por um filamento infinitamente longo de corrente I a uma distância r perpendicular ao mesmo é:

r H

x

y

z

lId

da

R

24

ˆ

R

alIdH R

dzald zˆ

22

22

ˆˆˆ

ˆˆ

z

aaz

R

Ra

zR

aazR

zR

z

0 3

ˆˆˆ

4

2dz

R

aazaIH zz

0 2/3222

ˆ

z

dzaIH

0 2/3

2

22

12

ˆ

z

dzaIH




0 2/3

2

22

12

ˆ

z

dzaIH

y

z

z

)(sec1)(

)(sec)(

22

2

tg

ddztgz

2/

0 2/32

2

2)(sec

)(sec

2

ˆ

daI

H

022

ˆ

2

ˆ

cos2

ˆ

)sec(2

ˆ

2/

0

2/

0

2/

0

sensenaI

HsenaI

H

daI

HdaI

H

a

IH

2




y

z

12ˆ4

cosˆ4

2

1

sensenaI

H

daI

H

x

2

1

Para o caso em que o elemento de corente seja finito:




Exemplo 2:O campo magnético produzido por uma espira de corrente I a uma distância perpendicular z do plano da espira.

r

IdL

dH

I

x

y

z

z rr

dld

dald

ddl

ddl

ˆ

22

22

ˆˆˆ

ˆˆ

z

aza

r

ra

zr

azar

zR

z

Aplicando a lei de Biot-Savart

2

02/3222

)ˆˆ(ˆ

44

ˆ

z

azaadI

r

alIdH zR

2

0

2

02/322

2

02/322

ˆˆ4

)ˆˆ(

4dazda

z

I

z

azadIH z

z




2

0

2

02/322

2

02/322

ˆˆ4

)ˆˆ(

4dazda

z

I

z

azadIH z

z

0 (zero)Pois a soma vetorial em torno do plano xy é nula. za

z

IH ˆ

4

22/322

2

2

zaI

H ˆ2

No centro da espira quando z=0

Observa-se que o campo magnético é sempre perpendicular ao plano da espira e no eixo de simetria, ou seja, eixo central.

zaz

IH ˆ

22/322

2




Análoga à Lei de Gauss, a Lei circuital de Ampère permite o cálculo de campos magnéticos para casos de simetria.

Esta lei estabelece que a integral de linha de H em qualquer percurso fechado é exatamente igual a corrente enlaçada pelo percurso.

enlIldH

Corrente envolvida pelo percurso.



• Lei Circuital de Ampére

Exemplo 1:O campo magnético a uma distância r de um filamento que conduz uma corrente estacionária I.

rfdl H

I

x

y

z IldH

rdf dl

dald

ddl

ddl

ˆ

2

2

ˆ

2

0

IH

IH

IdH

IdaH



Exemplo 2: Verificação da validade da lei de Ampère.Lei de Ampère aplicada a uma espira circular de raio r que conduz uma corrente estacionária I.


r

dl

I

x

y

z

z

D C

BA

dl

dl

dl

IldH

z

z

x

x

Lei de Ampère

H




A

D

D

C

C

B

B

A

ldHldHldHldHldH

Lei de Ampère

Os lados AB, BC e CD possuem campos desprezíveis.

0 D

C

C

B

B

A

ldHldHldH

Restou o caminho DA. Lembrando que dl=dzaz.

dzaHldH zˆ

Utilizando o resultado de H da espira calculado no Exemplo 2 de lei de Biot-Savart:

zaz

IH ˆ

22/322

2




2/322

2 ˆˆ

2 z

dzaaIldH zz

É uma integral de resolução

trigonométrica.

2/3

2

2

12

z

dzI

y

z

z )(sec1)(

)(sec)(

22

2

tg

ddztgz

2/

2/

2/

2/

2/

2/2/32

2

cos2sec2sec

sec

2

dIdIdI

II

sensenI

senI

)11(

22222

2/

2/

Provado a Lei de Ampère!!!!! IldH




Para que se satisfaça a Lei de Ampère é necessário que se satisfaça as seguintes condições:1. Para cada ponto do circuito, H deve ser tangencial ou normal

ao percurso.2. H possui o mesmo módulo em todos os ponto ao longo do

percurso onde é tangencial.




Para o percurso de raio r onde a<r<b:

I é uniforme para o condutor central;-I é uniforme para o condutor externo.

2

IH

Se r<a então: 2

2

aIIenl

Onde a corrente calculada é:2

2

aJI

JI

AdJI

enl

enl

2

2

aJ

J

I

Ienl

2

2

a

IIenl




Para r<a: 2

2

22 a

IIH enl

22 a

IH

Se r>c a corrente total é nula e portanto .0H

Finamente se b<r<c:

´IIIenl )(

)(´22

22

bcJI

bJI

)(

)(´

)(

)(´

22

22

22

22

bc

bII

bcJ

bJ

I

I

)(

)(

)(

)(1

)(

)(´

22

22

22

22

22

22

bc

cII

bc

bI

bc

bIIIII

enl

enl

)(

)(

2

2

22

22

bc

cIH

IH enl




Corrente elétrica que flui sobre uma superfície.

z

x

yna

ld

ld

ld

L0 L

1xHld

1 1’

2 2’

3 3’

2xH

zyaKK ˆ

enlIldH

Partindo da Lei de Ampère e utilizando o caminho :

1-1’-2’-2-1.

LKLHLH

dlHdlHldH

yxx

L x

L

x

)0()0( 21

0

20 1

yxxyxx KHHLKLHLH 2121

0z 0z

Para o caminho: 3-3’-2’-2-3.

yxx KHH 23

13 xx HH

O campo magnético possui mesmo módulo tanto acima como abaixo da lâmina e possuem sentidos opostos.




Matematicamente: 12 xx HH 2

2 yxyx

KHKH

02

1

02

1

zKH

zKH

yx

yx Considerando-se o vetor unitário aN

vetor normal à superfície, pode-se determinar o campo magnético pela seguinte expressão.

NaKH ˆ2

1

Colocando-se uma segunda superfície com corrente em sentido oposto tem-se:




K1 = -Ky ay

K2 = -Ky ay

Hx1 (z < -d/2 )

Hx1 (-d /2 < z < d/2 )Hx2 (-d /2 < z < d/2 )

Hx2 (z < -d/2 )

Hx1 (z > d/2 )Hx2 (z > d/2 )

H = K x aN (-d/2 < z < d/2 )

Entre os planos de corrente elétrica os campos magnéticos, produzido por cada conjunto de filamentos, se somam vetorialmente.

Acima ou abaixo, externamente aos planos, o campo total é nulo




Aplicação da Lei de Ampère a um solenoide infinitamente longo de raio a e densidade de corrente K=Kaaf.

IldH

zHld

a

b

c

dld

ld

ld

ld

IldHldH

ldHdlHldH

a

d

d

c

c

b

b

a z

0

00

LKLHdlHldH az

b

a z

zaaKH ˆ

a0H

a




Solenoide formado de n espira e comprimento d e raio a. O procedimento de cálculo e semelhante ao caso anterior a despeito da corrente filamentar.

IldH

IldHldH

ldHdlHldH

a

d

d

c

c

b

b

a z

0

00

zH

c

dld

ld

ld

ld

a

b

nidHdlH z

b

a z zad

niH ˆ No interior do solenoide. É

bom lembrar que este resultado é aproximado.




Campo magnético produzido pelos tóroides.

aa

KH a ˆ0

No interior do toróide.

a

niH ˆ

2

Externamente o campo magnético para ambos os casos é nulo.



Lembrando a Lei de Ampère:

• Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual

enlIldH

Corrente enlaçada.

Ad

ld

Circulação de H

A

AdJldH

A

AdFldFLembrando o Teorema de Stokes.

AA

AdJAdH

JH

2ª equação de Maxwell aplicada à condições estáticas.

É possível chegar à mesma conclusão partido da Lei de Biot-Savart. Isto fica como exercício para os alunos.



• Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual

Nas mesmas condições

0ldE 0 E

Portanto 3ª equação de Maxwell

aplicada à condições estáticas.

objetivo: definir corrente elétrica e densidade de correte definir a lei de biot-savart definir a...

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