leandro pedrosa rodrigues - universidade federal de goiás · 2013. 10. 21. · leandro pedrosa...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS – CAMPUS CATALÃO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO

Curso de Bacharelado em Ciências da Computação

FERRAMENTA WEB PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMASDE PROGRAMAÇÃO LINEAR ATRAVÉS DOS MÉTODOS

SIMPLEX E SIMPLEX EM DUAS FASES

Leandro Pedrosa Rodrigues

CATALÃO – GO

2013

LEANDRO PEDROSA RODRIGUES

FERRAMENTA WEB PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DEPROGRAMAÇÃO LINEAR ATRAVÉS DOS MÉTODOS SIMPLEX E

SIMPLEX EM DUAS FASES

Monografia apresentada ao Curso de Bacha-relado em Ciências da Computação da Uni-versidade Federal de Goiás – Campus Cata-lão, como requisito parcial para a obtenção doGrau de Bacharel em Ciências da Computa-ção.

Orientador:

Esp. Veríssimo Guimarães Júnior

Área:

Pesquisa Operacional

CATALÃO – GO

2013

Rodrigues, Leandro PedrosaFerramenta Web para Resolução de Problemas de Programação Linear através dos

métodos Simplex e Simplex em Duas Fases/ Leandro Pedrosa Rodrigues. – Catalão –GO, 2013.

145 f. ; 30 cm.

Orientador: Esp. Veríssimo Guimarães Júnior.

Monografia (Graduação) – Universidade Federal de Goiás – Campus Catalão,Departamento de Ciências da Computação, Curso de Ciências da Computação, 2013.

1. Pesquisa Operacional. 2. Programação Linear. 3. Simplex. 4. Simplex emDuas Fases. 5. RePPL. 6. Ferramenta Web. I. Guimarães Júnior, Esp. Veríssimo.II. Universidade Federal de Goiás – Campus Catalão. Curso de Bacharelado emCiências da Computação. III. Título.

LEANDRO PEDROSA RODRIGUES

FERRAMENTA WEB PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DEPROGRAMAÇÃO LINEAR ATRAVÉS DOS MÉTODOS SIMPLEX E

SIMPLEX EM DUAS FASES

Monografia apresentada ao Curso de Bacha-relado em Ciências da Computação pela Uni-versidade Federal de Goiás – Campus Catalão.

Trabalho aprovado em 20 de março de 2013.

Área: Pesquisa Operacional

Esp. Veríssimo Guimarães JúniorOrientador

Esp. Luiz Fernando Elias MartinezUniversidade Federal de Goiás

Dr. Thiago Alves de QueirozUniversidade Federal de Goiás

Catalão – GO

2013

Dedico este trabalho: primeiramente a Deus, minha esposa Kamila Gomes Araújo Pedrosa,

minha mãe Maria Lourdes Pedrosa Rodrigues, meu pai Luiz Rodrigues Sobrinho, meus

irmãos Luciomar Henrique Pedrosa Rodrigues e Luciana Rodrigues Pedrosa. Que sempre me

incentivaram e apoiaram para que os meus objetivos fossem alcançados.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por guiar meus passos e me dar a força e determi-

nação necessária para que pudesse concluir mais uma etapa da minha vida, me dando a

certeza de que os desafios estão presentes em nossas vidas para serem superados.

Agradeço minha esposa Kamila Gomes Araújo Pedrosa, aos meus pais Maria Lour-

des Pedrosa Rodrigues e Luiz Rodrigues Sobrinho e aos meus irmãos Luciomar Henrique

Pedrosa Rodrigues e Luciana Rodrigues Sobrinho que sempre me apoiaram.

Agradeço ao meu orientador, Professor Veríssimo Guimarães Júnior, pela orientação,

pelas revisões e por sempre estar ao meu lado durante o desenvolvimento desta monografia.

Você foi de suma importância para o meu crescimento profissional. Obrigado Professor.

Agradeço aos meus amigos da faculdade que compartilharam alegrias e tristezas nes-

tes longos anos de jornada da graduação. Quero agradecer em especial aos meus amigos do

RESEARCH-UFG, Fernando Antônio, Márcia Ribeiro, Hugo Sica, que compartilhamos boas

horas de estudos sobre SPL. Agradeço de coração aos meus amigos Luiz Gustavo (LG), Hugo

Sica e Rafael Ulhoa que me apoiaram, incentivaram para eu nunca desistir, que esteve quase

em todos os momentos comigo na faculdade. Quero agradecer também ao pessoal do CER-

COMP, que esteve comigo.

Agradeço a todos, que me ajudaram durante a minha graduação diretamente e indi-

retamente.

Agradeço a todos que oraram por mim, durante a realização deste trabalho até apre-

sentação.

Agradeço a todos.

Obrigado.

O temor do SENHOR é o princípio da sabedoria, e o conhecimento do Santo a prudência.

Provérbios 9:10

RESUMO

RODRIGUES, L. P.. Ferramenta Web para Resolução de Problemas de Programa-ção Linear através dos métodos Simplex e Simplex em Duas Fases. 2013. 145 f. Monogra-fia (Graduação) – Departamento de Ciências da Computação, Universidade Federal deGoiás – Campus Catalão, Catalão – GO.

Problemas de Programação Linear exigem um grau de conhecimento para en-contrar a solução ótima. Para amenizar a dificuldade que é imposta pelos Métodos Sim-plex e Simplex em Duas Fases para sua resolução foi criado uma ferramenta no intuitode auxiliar no entendimento e compreensão dos algoritmos, mostrando passo-a-passoa obtenção da solução ótima. No trabalho é abordado sobre a Programação Linear e osdois tipos de Método Simplex que são aplicados na ferramenta. Os resultados encontra-dos para os modelos mostraram a eficiência da ferramenta, que auxilia e complementao aprendizado dos respectivos métodos.

Palavras-chaves: Pesquisa Operacional, Programação Linear, Simplex, Simplex em DuasFases, RePPL, Ferramenta Web.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Diagrama de Caso de Uso para a RePPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 2 – Diagrama de Classe - Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 3 – Diagrama de Classe - Simplex em Duas Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 4 – Topo da Ferramenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 5 – Logo da Ferramenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 6 – Exemplo de Página Interna da Ferramenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 7 – Rodapé da Ferramenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 8 – Tela Principal da Ferramenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 9 – Tela Calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 10 – Tela Equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 11 – Exemplo de uma Tela de Resultado - Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55



Figura 14 – Tela de Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 15 – Tela de Resultado do Exemplo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 16 – Tela de Resultado do Exemplo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Montagem do Quadro Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Tabela 2 – Montagem do Quadro Simplex em Duas Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AIMMS — Advanced Interactive Multidimensional Modeling System

CSS — Cascading Style Sheets

DCC — Departamento de Ciências da Computação

HTML — HyperText Markup Language

IES — Instituição de Ensino Superior

LINDO — Linear, INteractive, and Discrete Optimizer

PHP — Personal Home Page

PL — Programação Linear

PO — Pesquisa Operacional

PPL — Problemas de Programação Linear

PROLIN — Sistema para Programação Linear

RePPL — Resolução de Problemas de Programação Linear

UFG — Universidade Federal de Goiás

UFV — Universidade Federal de Viçosa

LISTA DE SÍMBOLOS

V B — Variável Básica

V N B — Variável Não Básica

x — Variável de Decisão

F — Variável de Folga

E — Variável de Excesso

A — Variável Artificial

SUMÁRIO

1 Introdução 23

2 Estado da Arte 25

3 Fundamentação Teórica 29

3.1 Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1.1 Matriz Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1.2 Matriz Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1.3 Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1.4 Matriz Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1.5 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1.6 Adição de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1.7 Multiplicação por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2 Sistemas Lineareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.2.2 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.2.3 Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Programação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Método Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Método Simplex em Duas Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Ferramenta 47

4.1 RePPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Linguagens de Programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 Características Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.2 Topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.3 Página Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.4 Rodapé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.5 Interface da Tela Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.6 Calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.7 Tela Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Utilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Resultado 59

5.1 Funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Conclusão 63

Referências 65

APÊNDICE A Código Fonte do RePPL 67

A.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.2 Método Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.3 Método Simplex em Duas Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

23

CA

PÍ

TU

LO 1

INTRODUÇÃO

Na Segunda Guerra Mundial, o termo Pesquisa Operacional (PO) foi utilizado pela

primeira vez, quando líderes militares britânicos invocaram um grupo de cientista para au-

xiliar nos problemas de estratégia e de tática associados a defesa do país. O objetivo era

solucionar o problema de alocação dos recursos militares de maneira eficaz (LISBOA, 2002).

Os efeitos alcançados na guerra levaram um grupo de cientista da Força Área dos

Estados Unidos, liderada por George B. Dantzig, em julho de 1947, o desenvolvimento do

modelo de Programação Linear (PL) , e por consequência o desenvolvimento do método

computacional Simplex no final do verão de 1947 (DANTZIG, 1963). Desde o desenvolvi-

mento do algoritmo Simplex, a PL tem sido usado para resolver problemas de otimização

nas indústrias, nos bancos, na educação entre outros (WINSTON, 2003).

A PL é um planejamento de atividades sobre funções lineares, o qual tem como ob-

jetivo obter o resultado ótimo em um determinado problema chamado de Problema de Pro-

gramação Linear (PPL) (SANTOS, 2000). Para alcançar tal objetivo vários métodos podem

ser utilizados, dentre eles, podemos citar, o método gráfico, os métodos simplex e alguns

softwares já existentes como SOLVER (Microsoft EXCEL®), AIMMS® (Paragon Decision Te-

chnology) , LINDO® - Linear, INteractive, and Discrete Optimizer (LINDO Systems Inc.) (FI-

LHO, 2004) e o PROLIN (Universidade Federal de Viçosa - UFV) .

Para facilitar o entendimento e aprendizado sobre os métodos simplex, esse trabalho

propõe a construção de uma ferramenta Web, chamado de RePPL (Resolução de Problemas

de Programação Linear) para resolver os PPLs através dos métodos simplex. Um diferencial

dessa ferramenta, além de sua licença com código aberto, não há custo para aquisição da

ferramenta, é que essa ferramenta irá mostrar passo-a-passo cada fase da resolução partindo

da formulação até a solução do problema.

24 Capítulo 1. Introdução

A importância desse material didático-pedagógico será dedicada ao ensino das dis-

ciplinas de Pesquisa Operacional e suas variações dentro dos cursos de graduação e pós-

graduação da UFG (Universidade Federal de Goiás) e qualquer outra IES (Instituição de En-

sino Superior) que tiver interesse no assunto abordado, visto que essa ferramenta também

irá facilitar o aprendizado e o entendimento dos algoritmos simplex com um número maior

de variáveis e restrições do problema. Dependendo desse número de variáveis torna-se in-

viável a explicação e o acompanhamento dentro de uma sala de aula.

A decomposição desse trabalho será detalhado em mais 5 capítulos.

No capítulo 2 é apresentado o estado da arte do trabalho.

No capítulo 3 são apresentados os conceitos utilizadas para a implementação da fer-

ramenta.

No capítulo 4 é abordada a linguagem de programação utilizada, a implementação,

a interface e a utilização do RePPL.

No capítulo 5 é apresentado um cenário da utilização da ferramenta e os resultados

obtidos dos modelos matemáticos.

Por fim, as considerações finais no capítulo 6, do trabalho realizado, levantando os

resultados alcançados e trabalhos futuros.

Em anexo, estão disponibilizados os códigos fontes da ferramenta.

25

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LO 2

ESTADO DA ARTE

A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de proble-

mas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de várias

áreas científicas na concepção, planejamento ou operação de sistemas (LOESCH; HEIN,

1997). É utilizada para avaliar linhas de ações alternativas e encontrar as soluções que me-

lhor servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações.

Dois eventos motivaram o rápido desenvolvimento da Pesquisa Operacional. O pri-

meiro foi o desenvolvimento de um algoritmo simples para solucionar problemas de progra-

mação linear, denominado algoritmo simplex e proposto por (DANTZIG, 1963). O segundo

foi a proliferação dos microcomputadores e o rápido aumento em sua velocidade de proces-

samento.

Atualmente com os grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos, com o apoio

de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, é possível avaliar enor-

mes volumes de dados sobre as atividades. Além de seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa

Operacional é uma disciplina científica que se estende por praticamente todos os domínios

da atividade humana.

A Programação Linear (PL) tem inúmeras aplicações tanto na área teórica como em

situações reais. É uma técnica que utiliza instrumentos matemáticos que permitem a otimi-

zação de operações, e é largamente utilizada na resolução de problemas que tenham seus

modelos representados por expressões lineares. Problemas simples ou extremamente ela-

borados de PL podem ser resolvidos utilizando os métodos simplex e simplex em duas fases

(PRADO, 2007).

O interesse por esta área decorre da capacidade em modelar problemas reais e com-

plexos presentes em diversas outras áreas. Mesmo havendo diversos softwares para a resolu-

26 Capítulo 2. Estado da Arte

ção desses problemas, a implementação computacional direta dos métodos existentes nem

sempre são descritos na teoria e muitas das vezes não possuem uma abordagem adequada.

O desenvolvimento de uma ferramenta de otimização que seja capaz de resolver pro-

blemas reais, simples ou até mesmo complexos e de grande porte exige o conhecimento da

teoria de otimização, dos resultados relevantes da computação científica, de princípios de

engenharia de software e de tecnologias.

Através de uma pesquisa foram encontrados as seguintes ferramentas existentes para

a resolução de PPLs através dos métodos Simplex.

O Linear Programming - Simplex Applet é rodado sobre a plataforma java. Resolve

os seguintes problemas: Método Simplex, Simplex Revisado, Primal Dual e Dual Simplex.

Disponível apenas no idioma inglês. A forma de envio é na forma de texto do modelo ma-

temático, o que pode sujeitar a erro caso insira de forma errônea. Ele possui três tipos de

modo de visualização do resultado (SILVA, 1998):

• Alguns feedback: Mostra número de variáveis e números de restrições, indica qual mé-

todo está usando, indica a quantidade de iterações e solução encontra;

• Solução: Apenas mostra a solução encontrada;

• Quadro-a-quadro: Além do feedback, mostra o pivô e o quadro de cada iteração, sendo

que o quadro de maneira desorganizada;

O PHPSimplex calcula pelos métodos Simplex, Duas Fases e Gráfico. Disponível nos

idiomas inglês e espanhol. Ele mostra diretamente ou quadro-a-quadro. A forma de envio

através de um formulário (RUIZ, 2006).

O Simplex Method Tool calcula pelos métodos Simplex e Simplex em Duas Fases. Tem

disponível a versão inglês e espanhol. A forma de envio é na forma de texto do modelo mate-

mático, o que pode sujeitar a erro caso insira de forma errônea. Existem três tipos de modos

a serem exibidos: decimal, fração ou inteiro. Existe arrendondamento de no máximo 13 dí-

gitos para o modo decimal. Mostra apenas o quadro de cada iteração e a solução encontrada

(DINGLE; PURINTON; BALAN, 2010).

O MathsTools existe a versão para a plataforma Android. Além disso na versão Web

tem disponível a versão para os idiomas inglês e espanhol. Ele mostra a versão dual do mo-

delo matemático e mostra a solução quadro-a-quadro, indicando no quadro qual a variável

que sai e qual que entra de cada iteração, além de indicar o pivô e a solução ótima. Existe o

modo de visualização fração ou inteiro. (TOOLS, 2011).

O PROLIN - Sistema para Programação Linear utiliza o Simplex Revisado como al-

goritmo base. A forma de entrada de dados é através de texto do modelo matemático ou

27

arquivo .txt. Existe análise de sensibilidade da resolução como opção. Porém ao calcular a

solução do PPL, o próprio exemplo dado no site mostra um erro. (RIBEIRO et al., 1987).

Para o desenvolvimento da ferramenta, objetivo principal deste trabalho, um estudo

da teoria dos métodos Simplex e Simplex em Duas Fases será realizada paralelamente, jun-

tamente com algumas abordagens computacionais adequadas para a implementação efici-

ente da ferramenta. Além disso, como resultado dos estudos e da implementação da fer-

ramenta, esse trabalho poderá proporcionar uma motivação para que outras pesquisas em

desenvolvimentos de softwares para resolução de PPLs sejam iniciadas e continuadas.

29

CA

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LO 3

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo são apresentados os conceitos básicos para a formulação da ferra-

menta, entre eles, Álgebra Linear, Pesquisa Operacional, Programação Linear, Método Sim-

plex e Método Simplex em Duas Fases.

3.1 Álgebra Linear

Vários problemas nas áreas científicas, tecnológica e econômica são modelados por

matrizes e sistemas de equações lineares. No algoritmo simplex não é diferente. Para um

melhor entendimento esta seção revisará os conceitos de Álgebra Linear, tais como matrizes

e sistemas lineares que são abundantemente utilizados.

3.1.1 Matrizes

Nesta subseção serão apresentadas algumas definições e operações de matrizes (KOL-

MAN, 1999), as quais fazem parte do algoritmo simplex. Todas as definições são baseadas

no conjunto dos números reais. Dentre as definições estão:

Definição 1. Uma matriz m x n A é um arranjo retangular de mn elementos em m linhas

horizontais e n colunas verticais:

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...

am1 am2 · · · amn

A i -ésima linha de A é dada como:

30 Capítulo 3. Fundamentação Teórica

[ai 1 ai 2 · · · ai n

](1 ≤ i ≤ n)

A j -ésima coluna de A como:

a1 j

a2 j...

am j

(1 ≤ j ≤ m)

Se m = n dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n e os números a11, a22, · · · , anmformam a diagonal principal.

Exemplo 1. Um exemplo de uma matriz quadrada de ordem 2.

A =[

1 2

5 3

]

Uma matriz 1 x n ou n x 1 também é chamada de matriz linha ou matriz coluna,

respectivamente. Essa matriz pode ser chamada de um vetor de dimensão n e será denotada

por letras minúsculas em negrito.

Exemplo 2. Um exemplo de uma vetor de dimensão 3.

u =[

1 2 5]

ou v =

1

2

5

3.1.1.1 Matriz Diagonal

Definição 2. Uma matriz quadrada A = [ai j ] em que todos os elementos fora da diagonalprincipal são nulos, isto é, ai j = 0 para i 6= j , é denominada matriz diagonal.

Exemplo 3. Um exemplo de uma matriz diagonal.

B =[

2 0

0 1

]

3.1.1.2 Matriz Escalar

Definição 3. Uma matriz diagonal A = [ai j ] em que todos os elementos da diagonal prin-cipal são iguais, isto é, ai j = c para i = j e ai j = 0 para i 6= j , é denominada uma matrizescalar.

3.1. Álgebra Linear 31

Exemplo 4. Um exemplo de uma matriz escalar.

C =[

2 0

0 2

]

3.1.1.3 Matriz Nula

Definição 4. Uma matriz de ordem nxm onde todos os elementos são 0 , isto é, ai j = 0 ∀i , j ,é denominada uma matriz nula.

Exemplo 5. Um exemplo de uma matriz nula.

D =[

0 0 0

0 0 0

]

3.1.1.4 Matriz Identidade

Definição 5. Uma matriz diagonal A = [ai j ] em que todos os elementos da diagonal princi-pal são 1, isto é, ai j = 1 para i = j e ai j = 0 para i 6= j , é denominada uma matriz identidade.

Exemplo 6. Um exemplo de uma matriz identidade.

D =[

1 0

0 1

]

3.1.1.5 Matriz Transposta

Definição 6. Se A = [ai j ] é uma matriz mxn, então a matriz nxm, AT = [ aTi j ], onde

aTi j = a j i (1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m)

é chamada de transposta de A. Portanto, a transposta de A é obtida trocando-se as linhas

de A por suas colunas, ou vice-versa.

Exemplo 7. Sejam

E =[

4 −2 −30 5 −2

]

Então,

E T =

4 0

−2 5−3 −2


3.1.1.6 Adição de Matrizes

Definição 7. Se A = [ai j ] e B = [bi j ] são matrizes mxn, a soma de A e B é a matriz C mxn,definida por

ci j = ai j +bi j (1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m).

Em outras palavras, C é obtida somando-se os elementos correspondentes de A e de

B .

Exemplo 8. Sejam

A =[

1 −2 34 2 0

]e B =

[2 1 0

3 −1 4

]

Então,

A+B =[

1+2 −2+1 3+04+3 2+ (−1) 0+4

]=

[3 −1 37 1 4

]

3.1.1.7 Multiplicação por um Escalar

Definição 8. Se A = [ai j ] é uma matriz mxn, e r é um número real, então múltiplo escalarde A por r , r A, é a matriz mxn, B = [bi j ], onde

bi j = r ai j (1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m).

Em outras palavras, B é obtida multiplicando-se cada elementos de A por r .

Exemplo 9. Se r = 2

A =[

1 −2 34 2 0

]

Então,

r A = 2[

1 −2 34 2 0

]=

[(2)(1) (2)(−2) (2)(3)(2)(4) (2)(2) (2)(0)

]=

[2 −4 68 4 0

]

3.1.2 Sistemas Lineareas

Para a explicação sobre sistemas lineares é utilizado as definições de Biezuner (2008),

também utilizando o conjunto dos reais.


3.1.2.1 Equações Lineares

Definição 9. Uma equação linear em n incógnitas x1, x2, . . . , xn é uma equação da forma

a1x1 +a2x2 + . . .+an xn = b,

onde a1, a2, . . . , an ,b são constantes reais.

Uma solução para a equação linear acima é um conjunto de números reais s1, s2, . . . , sn

tais que quando substituímos

x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn

a equação é satisfeita.

Exemplo 10. Um exemplo de uma equação linear é

2x = 5

3.1.2.2 Sistemas de Equações Lineares

Definição 10. Um sistema de m equações lineares com n variáveis (ou incógnitas) é um

conjunto de equações lineares da forma

a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2

......

... = ...am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bk

(3.1)

onde ai j ,bk , para i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,nek = 1, . . . ,m, são constantes reais, chama-dos de coeficientes do sistema.

Usando a notação de matrizes, o sistema linear 3.1 pode ser representado pela equa-

ção matricial

AX = B , onde

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...

am1 am2 · · · amn


é a matriz dos coeficientes,

X =

x1

x2...

xn

é a matriz das incógnitas e

B =

b1

b2...

bm

é a matriz dos termos independentes.

Também pode-se representar o sistema AX = B pela sua matriz aumentada, ou seja,é formada pelos coeficientes das incógnitas de A e pelos termos independentes de B . Veja a

matriz aumentada de AX = B :

[A|B ] =

a11 a12 · · · a1n | b1a21 a22 · · · a2n | b2

......

... | ...am1 am2 · · · amn | bm

Definição 11. Uma solução do sistema linear AX = B é uma matriz coluna de números reais

S =

s1

s2...

sm

tal que todas as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos

x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn

Ou seja, S satisfaz

AS = B .


O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado de conjunto solução do sis-

tema.

Exemplo 11. O sistema linear

{3x1 + 2x2 = 901x1 + 4x2 = 80

é representado pela equação matricial

[3 2

1 4

] [x1

x2

]=

[90

80

].

Este sistema possui uma única solução

X =[

20

15

]

isto é,

x1 = 20,x2 = 15.

3.1.2.3 Método de Gauss-Jordan

O método de eliminação de Gauss é um dos métodos usados para resolver um sis-

tema linear. Ele consiste da derivação de um sistema específico de equações lineares que

tenha a mesma solução que o sistema original. O procedimento é converter a matriz au-

mentada do sistema em uma matriz identidade, aplicando uma sequência de operações de-

nominados de operações elementares. Tais operações são escolhidos de forma que a solução

do sistema não sejam alterada (LISBOA, 2002).

As operações elementares consistem em três operações básicas:

• Troca de Linhas: A troca de linhas corresponde a troca da posição das equações;

Li ↔ L j é a troca da linha i por linha j .


• Multiplicar uma linha por um número não nulo: Equivale a multiplicar um número

não nulo na equação correspondente que também não altera a solução;

Li ← kLi multiplicação da linha i pelo escalar k;

• Somar múltiplo de outra linha: Somar uma linha i a uma multiplicação de um escalar

pela linha j .

Li ← Li +kL j soma da linha j pelo escalar k à linha i ;

Para entender melhor sobre o escalonamento de Gauss-Jordan será mostrado um

exemplo.

Exemplo 12. Considere o sistema linear

4x1 + 8x2 = 1606x1 + 4x2 = 120

Esse sistema linear possui a matriz aumentada[4 8 | 1606 4 | 120

]

e pretendemos transformá-lo na matriz identidade

[1 0 | a0 1 | b

]

onde a,b são números reais que satisfazem a solução do sistema linear.

Para resolver este exemplo, são seguidos os seguintes passos:

1. L1 ← L1/4: Transformação do coeficiente de x1 da linha 1 em 1;Divide-se toda linha 1 por 4.

[1 2 | 406 4 | 120

]

2. L2 ← L2 −6L1: Transformação do coeficiente de x1 da linha 2 em 0;Subtrai-se da linha 2 pela linha 1 multiplicada por 6.

[1 2 | 400 −8 | −120

]

3.2. Pesquisa Operacional 37

3. L2 ← L2/8: Transformação do coeficiente de x2 da linha 2 em 1;Divide-se toda linha 2 por (-8).

[1 0 | 400 1 | 15

]

4. L1 ← L1 −2L1: Transformação do coeficiente de x2 da linha 1 em 0;Subtrai-se da linha 1 pela linha 2 multiplicada por 2.

[1 0 | 200 1 | 15

]

Solução encontrada para este sistema é

x1 = 10,x2 = 15.

3.2 Pesquisa Operacional

Segundo (WINSTON, 2003), a Pesquisa Operacional é uma abordagem científica para

a tomada de decisões que envolve um ou mais modelos matemáticos, que visa entender e

operar melhor um sistema (uma organização que trabalha para realizar um determinado

objetivo, como por exemplo, maximizar o lucro), geralmente sob alocação de recursos es-

cassos. Um modelo matemático é uma representação matemática de uma situação real, que

pode ser usado para tomar melhores decisões ou simplesmente para compreender melhor

a situação real.

Existem dois tipos de modelos: simulação e otimização. O modelo de simulação

procura oferecer uma representação do mundo real com o objetivo de permitir a geração e

análise de alternativas, antes da implementação de qualquer uma delas (ANDRADE, 2011).

O modelo de otimização busca encontrar os valores das variáveis de decisão que oti-

mizam (maximizam ou minimizam) uma função objetivo entre o conjunto de todos os valo-

res para as variáveis de decisão que satisfazem as restrições dadas (WINSTON, 2003).

Todos estes modelos são incluídos três conjuntos principais de elementos (LISBOA,

2002)

• Variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitas a serem de-

terminadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;

• Restrições: são as limitações físicas imposta no sistema;


• Função Objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em

função das variáveis de decisão

A formulação do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A fun-

ção objetivo e as funções de restrições podem ser lineares ou não-lineares. As variáveis de

decisão podem ser contínuas ou discretas(inteiras) e os parâmetros podem ser determinís-

tico ou probabilístico. Com tamanha diversidade de representações existem várias técnicas

para resolver cada tipo de modelo, como por exemplo, programação inteira, programação

dinâmica, programação não-linear e programação linear (LISBOA, 2002) sendo a PL que terá

enfoque neste trabalho, detalhada na seção 3.3.

Para desenvolver um estudo de PO, resumidamente, são necessárias seguir 6 fases

(HILLIER; LIEBERMAN, 2000):

1. Definir o problema e reunir os dados relevantes;

2. Formular um modelo matemático para representar o problema;

3. Desenvolver um procedimento para realização de soluções para o problema do mo-

delo;

4. Testar o modelo e refiná-lo, se necessário;

5. Preparar para a aplicação do modelo;

6. Implementá-lo;

Para a resolução na ferramenta é necessário que o usuário desenvolva até o passo 2,

que é a formulação de um modelo matemático e também que seja um modelo de Programa-

ção Linear.

3.3 Programação Linear

Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional bastante utilizada

em se tratando de problemas de otimização. Os problemas de Programação Linear buscam

a distribuição eficiente de recursos limitados para atender um determinado objetivo, em

geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso

através de uma função linear, denominada por "Função Objetivo".

Geralmente, o modelo de PL é utilizado como auxílio para a resolução de problemas

que envolvam alocação de recursos escassos ou para mesmo alcançar um certo objetivo.

Este problema pode ser resumido em maximização ou minimização de alguma variável de-

pendente, limitada a certas restrições.

3.3. Programação Linear 39

De acordo com Garcia, Guerreiro e Corrar (1997), o modelo matemático de um pro-

blema de otimização linear pode ser formulado como seguinte:

Maximizar ou Minimizar

Z = c1x1 + c2x2 + ...+ cn xn (3.2)

sujeito a:

a11x1 +a12x2 + ...+a1n xn ≤ b1(≥ ou =)a21x1 +a22x2 + ...+a2n xn ≤ b2(≥ ou =) (3.3)

...

am1x1 +am2x2 + ...+amn xn ≤ bm(≥ ou =)

Onde xi ≥ 0 e b j ≥ 0, para i = 1,2, ...n e j = 1,2, ...mEquação 3.2 é a função matemática que codifica o objetivo do problema e é denomi-

nada função objetivo;

Equação 3.3 são as funções matemáticas que codificam as principais restrições iden-

tificadas.

Z: função a ser maximizada ou minimizada (geralmente ganho ou custo), respei-

tando o conjunto de restrições;

xi : variáveis de decisão que representam as quantidades ou recursos que se quer

determinar para otimizar o resultado global;

ci : coeficientes de ganho ou custo que cada variável é capaz de gerar;

b j : quantidade disponível de cada recurso;

ai j : quantidade de recursos que cada variável decisória consome;

Os problemas de PL são geralmente expressos algebricamente na forma citada. A

resolução de PPL, na maioria das vezes, é feita através do método Simplex, o qual será expli-

cado na seção 3.4.

A construção e a resolução de um modelo matemático, no caso de PL (GARCIA;

GUERREIRO; CORRAR, 1997), pode-ser facilitada seguindo os quatro passos a seguir:

1. Determinar as variáveis de decisão;

2. Estabelecer o objetivo;

3. Determinar as relações básicas, especialmente as restrições;

4. Calcular a solução ótima;


3.4 Método Simplex

O Método Simplex é um algoritmo bastante popular para resolver problemas numé-

ricos de PL. O jornal Computing in Science and Engineering o considerou um dos 10 mais

importantes algoritmos descobertos no século 20 (DONGARRA; SULLIVAN, 2000).

Este método (algoritmo) é iterativo e é utilizado para encontrar algebricamente, a

solução ótima de um problema de PL de forma eficiente.

A solução ótima são os valores das variáveis que atendem todas as restrições do PPL

e que proporciona o lucro máximo ou custo mínimo.

O método Simplex evita a exploração exaustiva de soluções básicas assumindo os

seguintes princípios (LOESCH; HEIN, 1997):

• Apenas pesquisar soluções básicas compatíveis, pois, se há uma solução ótima limi-

tada, existe uma solução básica compatível ? correspondente ao ponto extremo da

solução ótima;

• Melhorar a cada etapa o valor da função objetivo, conduzindo-a a sempre tentar au-

mentar (caso maximização) ou diminuir (caso minimização) o valor da função obje-

tivo;

• Utilizar regras de parada que testem a situação em que: (i) a solução ótima tenha sido

alcançada; (ii) o caso de solução ótima ilimitada; (iii) não existência de uma solução

viável.

Para analisar os algoritmos Simplex e Simplex em Duas Fases é preciso compreender

sobre as variáveis e a solução ótima. Existem dois tipos de variáveis: as básicas (VB) e

não-básicas (VNB) . As básicas são aquelas que se encontram na base do quadro Simplex

e as não básicas são as variáveis restantes que não estão na base. A base é um conjunto

de n variáveis, onde n é a quantidade de restrições do modelo matemático. No início do

sistema, na formação do quadro, é composta pelas variáveis de folga. No entanto, ao calcular

o algoritmo, algumas delas poderão ser trocadas pelas variáveis de decisão sistema.

Além dos dois tipos de variáveis, as variáveis podem ser classificadas ainda:

• Variável de Decisão: são as modelo matemático. No trabalho será chamado de xi ,

onde n é a quantidade de variáveis do sistema e 1 ≤ i ≤ n;

• Variável de Folga: são aquelas adicionadas as restrições do tipo ≤ para se obter umaigualdade. No trabalho será chamada de F j onde j corresponde a linha da restrição,

de m restrições, ou seja, 1 ≤ j ≤ m;

3.4. Método Simplex 41

• Variável de Excesso: são aquelas adicionadas as restrições do tipo ≥ para se obter umaigualdade. No trabalho será chamada de Ek onde k corresponde a linha da restrição,

de m restrições, ou seja, 1 ≤ k ≤ m;

• Variável Artificial: são aquelas adicionadas as restrições do tipo≥ ou=para se ter umabase viável. No trabalho será chamada de Al onde l corresponde a linha da restrição

do tipo =, de m restrições , ou seja, 1 ≤ l ≤ m e Ak , onde k corresponde a linha darestrição do tipo ≥, de m restrições, ou seja, 1 ≤ k ≤ m;

Por outro lado, há dois tipos de soluções: a básica e a básica viável. A solução básica

é aquela cujo valores das variáveis não básicas são nulos e a solução básica viável é a solução

básica com todas as variáveis básicas não negativas.

A montagem do quadro do algoritmo Simplex é seguido pelas equações 3.2 e 3.3:

Seja um PPL de maximização na sua forma padrão contendo n variáveis de decisão

e m restrições, onde n,m ≥ 0:

Tabela 1 – Montagem do Quadro Simplex

Base x1 · · · xn F1 · · · Fm 2º MembroF1 a11 · · · a1n 1 · · · 0 b1· · · · · · . . . · · · · · · . . . · · · · · ·Fm am1 · · · amn 0 · · · 1 bmZ −c1 · · · −cn 0 · · · 0 0

Fonte: o autor.

Segundo Andrade (2011), são necessários 3 passos para iniciar o processo do método

simplex: a formulação do problema, montagem do modelo e a solução do modelo.

A formulação do problema consiste em montar o problema de acordo com queira

se produzir, se adequando pelas limitações. A montagem do modelo está na construção

do modelo matemático, determinando a função objetivo com suas respectivas restrições. A

solução do modelo é a resolução do problema para se encontrar o valor ótimo (ANDRADE,

2011).

Para resolver o problema, são necessários realizar os procedimentos descritos abaixo,

em (ANDRADE, 2011), para problemas de maximização.

Passo 1: Introduzir as variáveis de folga; uma para cada desigualdade.

Passo 2: Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as

variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função obje-

tivo transformada. Veja a tabela 1.


Passo 3: Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às

variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga.

Passo 4: Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica que

oferece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja,

tem o maior valor negativo). Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes

nulos ou positivos nesta linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver

coeficiente nulo, isto significa que ela pode ser introduzida na base sem aumentar o valor

da função objetivo. Isso quer dizer que temos uma solução ótima, com o mesmo valor da

função objetivo.

Passo 5: Para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o seguinte

procedimento:

a) Dividir os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da

coluna da variável que vai entrar na base. Caso não haja elemento algum positivo nesta

coluna, o processo deve parar, já que a solução é ilimitada.

b) O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anu-

lada, tornando-se variável não básica.

Passo 6: Usando operações válidas com as linhas da matriz, transformar o quadro

de cálculos de forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica

deverá se tornar um vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à

variável que está sendo anulada.

Passo 7: Retornar ao passo 4 para iniciar outra iteração.

3.5 Método Simplex em Duas Fases

A obtenção da solução básica compatível inicial é fácil quando todas as restrições

do modelo de PL são da forma (≤). Ao passar o problema para a forma padrão, as variáveisde folga entrarão com coeficiente +1 em cada restrição do modelo, constituindo uma base

canônica inicial (LOESCH; HEIN, 1997).

Porém, quando existem restrições da forma (≥), aparecem variáveis de excesso, cujocoeficiente é -1, as quais não constituem uma solução básica compatível. Como obter, então,

uma solução básica compatível inicial? Umas das técnicas empregadas para tal finalidade é

o Método Simplex em Duas Fases.

A montagem do quadro do algoritmo Simplex em Duas Fases é similar ao Simplex,

porém acrescenta as variáveis de excesso e artificial e a função objetivo artificial seguindo as

mesmas equações 3.2 e 3.3.

3.5. Método Simplex em Duas Fases 43

A função objetivo artificial é obtida somando os coeficientes das restrições que pos-

suem variáveis artificiais.

Seja um PPL na sua forma padrão contendo n variáveis de decisão e m restrições,

onde n,m ≥ 0. A montagem do quadro é apresentado na tabela 2.Este método é utilizado quando há restrições do tipo (≥) ou (=). Para que a solução

básica inicial não seja negativa, é preciso adicionar variáveis artificiais em cada uma dessas

restrições, as quais não terão significado algum para o problema real, porém são necessárias

para a resolução do PPL. Esta resolução utiliza o mesmo procedimento do método simplex,

mas é dividida em duas fases. A primeira fase consiste em encontrar a solução básica inicial.

Após essa fase, as variáveis artificiais e a função objetivo artificial são eliminadas do quadro

simplex dando início a segunda fase (ANDRADE, 2011).

Os procedimentos do Simplex em Duas Fases são mostradas a seguir (ANDRADE,

2011):

Primeira Fase

Passo 1 - Introduz as variáveis de folga ou de excesso, para as restrições do tipo (≤)ou (≥), respectivamente. Logo após, introduz as variáveis artificiais para todas as restriçõesdo tipo (=) ou (≥);

Passo 2 - Cria-se uma nova função objetivo artificial, formada da seguinte maneira:

a) Para todas as variáveis reais e de folga, o coeficiente da função artificial será a soma

dos coeficientes dessas variáveis, ou seja:

di =−(a1 j +a2 j + ...+am j )∗

b) Zero para as variáveis artificiais;

c) O valor inicial da função objetivo artificial é a soma dos termos independentes das

restrições;

* Obs.: Somente são incluídos os coeficientes das linhas com variáveis artificiais.


Tab

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2–

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=1a

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−∑ m i=1

bi

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3.5. Método Simplex em Duas Fases 45

Passo 3 - Monta-se o quadro de solução colocando-se a função objetivo artificial na

última linha. Veja a tabela 2;

Passo 4 - Aplica-se o Método Simplex normalmente, tomando como função objetivo

a última linha. Quando a solução ótima for atingida, dois casos podem ocorrer:

1. Za = 0: neste caso foi obtida uma solução básica do problema original e o processode solução deve continuar, desprezando-se as variáveis artificiais e os elementos da

última linha. É o início da 2 etapa do processo.

2. Za 6= 0: neste caso, o problema original não tem solução viável, o que significa que asrestrições devem ser inconsistentes.

Segunda Fase

Aplica-se o mesmo algoritmo Simplex do problema de maximização, observando

qual o tipo da otimização (maximização ou minimização), que determina como uma va-

riável entra e sai da base.

Caso seja de maximização, é verificado na linha da função objetivo para as variáveis

não básicas, qual o menor coeficiente negativo, e na minimização, é verificado o maior coe-

ficiente positivo para a entrada da nova variável básica.

47

CA

PÍ

TU

LO 4

FERRAMENTA

4.1 RePPL

Para encontrar a solução de um PPL foi desenvolvido a ferramenta Web, RePPL (Re-

solução de Problemas Programação Linear), que tem por objetivo encontrar a solução ótima

do PPL através dos Métodos Simplex e Simplex em Duas Fases, podendo o usuário escolher

passo-a-passo ou diretamente. A escolha passo-a-passo mostra desde a entrada do conjunto

de equações e inequações, a introdução das variáveis de folga (restrições ≤) ou de excesso(restrições ≥) e artificiais (para o método Simplex em Duas Fases e restrições ≥ e =), a mon-tagem do quadro simplex inicial, quais são as variáveis que devem entrar e sair da base e as

transformações do quadro simplex de tal forma que as colunas das variáveis que estão na

base se tornem um vetor identidade. Se a escolha for por executar diretamente, os cálculos

serão realizados implicitamente e apenas será mostrado o resultado final.

4.2 Linguagens de Programação

A ferramenta foi criado a partir da linguagem PHP (Personal Home Page) , que é uma

linguagem de script open source de uso geral (GROUP, 2001). Para o pleno funcionamento da

linguagem PHP é preciso que os códigos fontes estejam hospedados em um servidor. E por

isso, a ferramenta atualmente está hospedado no sítio www.leandropedrosa.com.br/reppl e

em funcionamento para utilização.

Além do PHP, foram utilizados HTML (HyperText Markup Language) e CSS (Casca-

ding Style Sheets) . O HTML é uma linguagem de marcação utilizada para produzir páginas

na Web, enquanto, o CSS é uma linguagem para estilos que define o layout de documen-

tos HTML (HTML.NET, ). Ou seja, o HTML destina-se unicamente a estruturar e marcar o

48 Capítulo 4. Ferramenta

conteúdo, ficando por conta das CSS toda a responsabilidade pelo visual do documento.

Em termos de armazenamento de dados não foi utilizado nenhum banco de dados

sendo as informações armazenadas no servidor enquanto aplicação está sendo executada.

A escolha da linguagem para a implementação da ferramenta foi devida a sua dispo-

nibilidade na Web e por sua interoperabilidade da plataforma do usuário.

4.3 Implementação

O diagrama de caso de uso mostra as funcionalidades da ferramenta. O usuário po-

derá utilizar o algoritmo simplex usando a ação de Calcular Simplex ou o algoritmo Simplex

Duas em Fases usando a ação de Calcular Simplex Duas em Fases. O diagrama de classe de

uso é mostrado na Figura 1.

Figura 1 – Diagrama de Caso de Uso para a RePPL

Fonte: o autor.

O diagrama de classe do algoritmo simplex, Figura 2, são mostrados todos os atri-

butos e métodos da classe ppl_simplex que são utilizados para o algoritmo simplex. Esta

classe é responsável pelo cálculo, montagem do quadro e as explicações passo-a-passo do

algoritmo simplex.

Aplicação do algoritmo Simplex em Duas Fases foi dividido em duas classes. A pri-

meira classe é justamente que faz o cálculo do algoritmo que se chama ppl_duasfases. E a

segunda faz o processo de visão, ou seja, a impressão do quadro e das explicações para a tela

do usuário. Estas duas classes são mostrada na Figura 3.

4.3. Implementação 49

Figura 2 – Diagrama de Classe - Simplex

Fonte: o autor.


Fig

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3–

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4.4. Interface 51

4.4 Interface

Nesta seção são apresentadas as características gerais e algumas telas da ferramenta.

4.4.1 Características Gerais

As características gerais da interface são:

• A interface de usuário deve ser simples, para facilitar o aprendizado da utilização da

ferramenta por parte dos usuários;

• Não será disponibilizada ajuda on-line para o usuário. A próprio ferramenta dispo-

nibiliza explicações detalhadas sobre o funcionamento. Porém, os usuários poderão

entrar em contato através da página de Contato;

• Exibição de erros caso a entrada de dados seja inválida, como o campo que aceita

apenas números, e o usuário entrar com caracteres alfa;

• A interface é dividido em 3 partes para todas as telas, sendo duas estáticas e uma di-

nâmica: topo, rodapé e centro, respectivamente. O topo e o rodapé são estáticas pelo

fato de não necessitar ser carregadas novamente, por terem o mesmo conteúdo em

todas as telas, evitando assim as requisições de imagens, visto que uma vez carregada,

se encontra armazenada no cache do navegador do usuário.

• A ferramenta tem largura mínima de 980 pixels para abrir sem ter a barra de rolagem na

horizontal e a altura tem dimensão automática, calculada através das páginas internas

da ferramenta juntamente com a altura do topo e rodapé.

4.4.2 Topo

A parte do topo é estático, Figura 4. Ela contém a logo da ferramenta, Figura 5, e a

parte do menu contendo os links: Home, Simplex, Simplex em Duas Fases, Calcular, Contato,

Sobre. O topo tem como padrão o fundo azul em várias tonalidades.

Figura 4 – Topo da Ferramenta

Fonte: o autor.


Figura 5 – Logo da Ferramenta

Fonte: o autor.

4.4.3 Página Interna

O centro é parte dinâmica da ferramenta. Nele é mostrado todos os conteúdos das

páginas, que são as páginas internas. O fundo do centro é na cor cinza. Um exemplo de

página interna é apresentado na Figura 6.

Figura 6 – Exemplo de Página Interna da Ferramenta

Fonte: o autor.

4.4.4 Rodapé

O rodapé, Figura 7, também é estático. Nela é mostrado os e-mails dos criadores, o

apoio da UFG e DCC . O preto é a cor de fundo do rodapé;

4.4.5 Interface da Tela Principal

A tela principal da ferramenta, Figura 8, apresenta na parte interna, uma breve ex-

plicação sobre a Ferramenta, o Simplex, o Simplex em Duas Fases e o Calcular, e apresenta

também os links para as respectivas páginas.

4.4. Interface 53

Figura 7 – Rodapé da Ferramenta

Fonte: o autor.

Figura 8 – Tela Principal da Ferramenta

Fonte: o autor.

4.4.6 Calcular

No link Calcular encontra-se as telas que fazem parte do Cálculo. Ela está dividida

em 3 telas. A tela inicial do Calcular, Figura 9, tem um formulário com a escolha do tipo do

método a ser calculado, a escolha se é direto ou passo-a-passo, a quantidade de variáveis e a

quantidade de restrições.

Na tela seguinte, Figura 10, encontra-se um formulário com a finalidade do pro-


blema, maximização ou minimização, e a entrada dos coeficientes da função objetivo e dos

coeficientes e termo independente das restrições.

A terceira tela está dividida em 3 partes, Figuras 11, 12, 13, é a tela de resultado.

Figura 9 – Tela Calcular

Fonte: o autor.

Figura 10 – Tela Equação

Fonte: o autor.

4.5. Utilização 55

Figura 11 – Exemplo de uma Tela de Resultado - Parte 1

Fonte: o autor.

4.4.7 Tela Contato

A tela de Contato, Figura 14, tem um formulário no qual o usuário poderá entrar em

contato enviando mensagens.

4.5 Utilização

Esta ferramenta funcionará da seguinte maneira: o usuário acessará primeiramente

o endereço eletrônico, o qual terá uma interface gráfica onde a comunicação visual com o

usuário será de fácil compreensão. O usuário entrará, no primeiro momento, com tipo de

método a ser calculado, se é passo-a-passo, a quantidade de variáveis e de restrições, Figura



Fonte: o autor.

9. Feito isso, aparecerá uma segunda tela, Figura 10 para entrada dos coeficientes da função

objetivo e das restrições, que podem ser ≤, ≥ ou =, as quais determinarão os acréscimosdas variáveis de folga ou excesso. Concluído esta etapa, a próxima tela, Figuras 11, 12, 13,

a ser mostrada é a resolução do modelo matemático, respeitando as condições de entrada

imposta pelo usuário. Nesta tela, caso a opção escolhida seja passo-a-passo, a ferramenta

4.5. Utilização 57


Fonte: o autor.

irá detalhar todos os passos do algoritmo Simplex até a solução ótima ser obtida.


Figura 14 – Tela de Contato

Fonte: o autor.

59

CA

PÍ

TU

LO 5

RESULTADO

Para verificar o funcionamento da ferramenta RePPL, será utilizado dois modelos

clássicos de PL de Andrade (2011).

5.1 Funcionamento

Para demonstrar o funcionamento da ferramenta na opção Simplex foi utilizado o

um exemplo de alocação de recursos bastante encontrado em todas as atividades empresa-

riais. Geralmente, deseja-se maximizar o lucro de um setor de produção, no qual recursos

disponíveis estão sujeitos a restrições (capacidade produtiva, disponibilidade de mão-de-

obra, estoque, etc) e os produtos estão sujeitos a condições de mercado (demanda máxima,

contratos de suprimentos etc).

Exemplo 13. Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro,

respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, respec-

tivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A é vendido por $120.00

e B por $100.00, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um rendimento bruto

máximo?

Para utilizar a ferramenta RePPL é necessário encontrar o modelo de otimização para

este problema de maximização. As variáveis do problema são x1, x2 que vão indicar qual a

quantidade de produtos "A"e "B"que devem ser produzidas para se obter o lucro máximo.

M ax LUC RO = 120x1 +100x2Sujeito a:

2x1 +x2 ≤ 90

60 Capítulo 5. Resultado

x1 +2x2 ≤ 80x1 +x2 ≤ 50x1 ≥ 0, x2 ≥ 0Inserindo os dados do modelo na ferramenta para a opção direta tem-se o resultado

apresentado na Figura 15:

Figura 15 – Tela de Resultado do Exemplo 13

Fonte: o autor.

Para demonstrar o funcionamento da ferramenta na opção Simplex em Duas Fases

foi utilizado o um exemplo de alocação para minimizar os custos em um setor de produção.

Exemplo 14. Uma transportadora possui dois tipos de caminhões: o tipo A com 2 metros

cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com

3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 me-

tros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quan-

tos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do

caminhão A custa $0.30 por km e o do B, $0.40 por km.

Novamente para utilizar a ferramenta RePPL é necessário encontrar o modelo de oti-

mização para este problema de minimização.

5.1. Funcionamento 61

As variáveis do problema são x1 e x2 que vão indicar quantos caminhões a fábrica

deverá alugar para atender aos pedidos ao menor custo possível.

Mi n CU ST O = 0.30x1 +0.4x2Sujeito a:

2x1 +3x2 ≥ 904x1 +3x2 ≥ 120x1 ≥ 0, x2 ≥ 0Inserindo os dados do modelo na ferramenta para a opção direta tem-se o resultado

apresentado na Figura 16:

Figura 16 – Tela de Resultado do Exemplo 14

Fonte: o autor.

63

CA

PÍ

TU

LO 6

CONCLUSÃO

Este trabalho mostrou a criação de uma ferramenta para a resolução direta ou passo-

a-passo de um PPL através dos métodos Simplex ou Simplex em Duas Fases, trazendo uma

alternativa para encontrar a solução ótima de modelos de otimização. Entendendo a di-

ficuldade dos alunos em compreender os métodos e também de encontrar softwares que

mostrassem passo-a-passo a obtenção da solução ótima de um PPL, a ferramenta conse-

guiu encontrar a solução ótima para os modelos apresentados. Vale salientar que essa ferra-

menta não substitui a abordagem e o ensinamento na sua parte escrita, mas auxilia nos seus

esclarecimentos.

Observando as características dos outros métodos citados no Capítulo 2, percebe-se

que esta ferramenta possui uma interface amigável, mostra a resolução dos PPLs do modo

passa-a-passo bem detalhado e informa no quadro simplex qual variável irá entrar na base

e qual deverá sair com suas respectivas justificativas.

Foi possível perceber que o resultado obtido proporciona um aprendizado e conhe-

cimento sobre os métodos Simplex e Simplex em Duas Fases.

Esperando que esse trabalho traga contribuição não apenas para estudantes da UFG,

mas para todos aqueles interessados no assunto abordado, fica como trabalhos futuros a

implementação dos métodos Dual Simplex e Big M na ferramenta.

65

REFERÊNCIAS

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GROUP, T. P. O que é PHP? 2001. Disponível em: . Acesso em: 22/02/2013. Citado na página 47.HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introduction to Operations Research. 7. ed. [S.l.]: McGrawHill Higher Education, 2000. 1220 p. Citado na página 38.

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KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.290 p. Citado na página 29.

LISBOA, E. F. A. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro, RJ - Brasil, Fevereiro 2002. Disponívelem: . Acesso em: 12/02/2013. Citado 4 vezes nas páginas23, 35, 37 e 38.

http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/sistemas_lineares.pdfhttp://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/reports/2007/R366part1.pdfhttp://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/reports/2007/R366part1.pdfhttp://www.zweigmedia.com/RealWorld/simplex.htmlhttp://www.zweigmedia.com/RealWorld/simplex.htmlhttp://dx.doi.org/10.1109/MCISE.2000.814652http://dx.doi.org/10.1109/MCISE.2000.814652http://dx.doi.org/10.1007/BF02614318http://php.net/manual/pt_BR/intro-whatis.phphttp://php.net/manual/pt_BR/intro-whatis.phphttp://pt-br.html.net/tutorials/css/lesson1.phphttp://www.ericolisboa.eng.br

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RUIZ, J. J. R. PHPSimplex. 2006. Disponível em: . Acesso em: 27/03/2013. Citado na página 26.SANTOS, M. P. dos. Programação Linear. Universidade do Estado de Rio de Janeiro, 2000.Disponível em: . Acesso em:12/02/2013. Citado na página 23.

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67

AP

ÊN

DI

CE

ACÓDIGO FONTE DO REPPL

Neste apêndice encontra-se os códigos fontes do método Simplex e do método Sim-

plex em Duas Fases.

A.1 Definições

Listing A.1: Definições

1

A.2 Método Simplex

68 APÊNDICE A. Código Fonte do RePPL

Listing A.2: Simplex

1

A.2. Método Simplex 69

47 * Armazena a quantidade de restrições que o usuário escolheu48 * @var int49 */50 private $restricao_qtd = 0;51

52 /**53 * Armazena a quantidade de variáveis de folga54 * @var int55 */56 private $folga_qtd = 0;57

58 /**59 * Armazena a quantidade de variáveis que foram para a base.
60 * É a somatória do total de folga com a artificial .61 * @var int62 */63 private $base_qtd = 0;64

65 /**66 * Armazena todas as informações do quadro .
67 * Contendo as informações do cabeçalho , variáveis da base , função

objetivo e função objetivo artificial68 * @var Array69 */70 private $linha = array ();71

72 /**73 * Armazena quais são as variáveis que estão na base , ou seja , as

não básicas .74 * @var Array75 */76 private $vnb = array ();77

78 /**79 * Armazena o tipo de finalidade do método .
80 * Maxiximização -> max
81 * Minimização -> min82 * @var String83 */84 private $finalidade = ’’;85

86 /**87 * Armazena a quantidade de variável totais (Variaveis , Folga ,

Excesso e Artificial )88 * @var int89 */90 private $variavel_total = 0;


91

92 /**93 * Armazena a chave que se encontra o maior valor negativo94 * @var Array95 */96 private $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key = array ();97

98 /**99 * Armazena o maior valor negativo que se encontra na função

objetivo100 * @var int101 */102 private $maior_valor_negativo_funcao_objetivo ;103

104 /**105 *106 * @var int107 */108 private $menor_valor_negativo_termo ;109

110 /**111 * Armazena o array com o menor valor negativo no termo112 * @var Array113 */114 private $menor_valor_negativo_termo_key = array ();115

116 /**117 * Array armazenando o coeficente da variável que entra na base118 * @var Array119 */120 private $coeficientes_variavel_entra = array ();121

122 /**123 * Array armazenando o texto que deve sair da base124 * @var Array125 */126 private $texto_sair_base = array ();127

128 /**129 *130 * @var bool131 */132 private $solucao_otima = false;133

134 /**135 *136 * @var Array


137 */138 private $variavel_total_ms = 0;139

140 /**141 * Método construtor da classe .
142 * É necessário enviar o POST do formulário para o funcionamento ;143 * @param Array $post O POST do formulário144 * @since 1.0145 */146 public function __construct ($post) {147 $this ->post = $post;148 $this -> metodo_tipo = isset ($post[’metodo_tipo ’]) ? $post[’

metodo_tipo ’] : 0;149 $this -> metodo_passo = isset ($post[’metodo_passo ’]) ? ($post[’

metodo_passo ’] == ’sim ’) ? ’sim ’ : ’nao ’ : ’nao ’;150 $this -> variavel_qtd = isset ($post[’metodo_variaveis_qtd ’]) ?

$post[’metodo_variaveis_qtd ’] : 0;151 $this -> restricao_qtd = isset ($post[’metodo_restricoes_qtd ’]) ?

$post[’metodo_restricoes_qtd ’] : 0;152 $this -> finalidade = isset ($post[’equacao_finalidade ’]) ?

$post[’equacao_finalidade ’] : ’max ’;153

154 // Chama o método verificaMetodo ;155 $this -> verificaMetodo ();156 }157

158 /**159 * Retorna a linha160 * @return int161 */162 public function getLinha () {163 return $this ->linha;164 }165

166

167 /**168 * Método para verificar o tipo de método que está sendo utilizado169 * @since 1.0170 */171 private function verificaMetodo (){172 if($this -> metodo_tipo == 1){ // Método Simplex173 $this -> folga_qtd = $this -> restricao_qtd ;174 }175 $this -> base_qtd = $this -> folga_qtd ;176 $this -> variavel_total = $this -> restricao_qtd + $this -> variavel_qtd

;177 $this -> variavel_total_ms = $this -> variavel_total ;


178 }179

180 /**181 * Método para montar a linha contendo todas as informações .
182 * Dentro dela são chamados outros métodos ;183 * @since 1.0184 */185 public function montaLinha (){186 $this -> montaLinhaCabecalho ();187 $this -> montaLinhaFolga ();188 $this -> montaLinhaZ ();189 }190

191 /**192 * Método para montar a linha cabecalho do quadro193 * @since 1.0194 */195 private function montaLinhaCabecalho (){196 // Linha Cabeçalho197 $this ->linha[ CABECALHO ] = array ();198 $this ->linha[ CABECALHO ][0] = NOME_BASE ;199 // Percorre cada variavel básica insere no cabeçalho200 for($i = 1; $i variavel_qtd ; $i ++){201 $this ->linha[ CABECALHO ][$i] = NOME_V_BASICA .’’.$i.’’;202 }203 $aux_cont = $this -> variavel_qtd ;204

205 // Percorre cada variavel folga insere no cabeçalho206 for($i = 1; $i folga_qtd ; $i ++){207 $j = $i + $aux_cont ;208 $this ->linha[ CABECALHO ][$j] = NOME_V_FOLGA .’’.$i.’’;209 }210 $aux_cont += $this -> folga_qtd ;211 $this ->linha[ CABECALHO ][ TERMO] = NOME_2_MEMBRO ;212 }213

214 /**215 * Método para montar a linha de folga216 * @since 1.0217 */218 private function montaLinhaFolga (){219 // Percorre a linha da variável de folga220 for($k = 1; $k base_qtd ; $k ++){221 // Linha De Restricao222 //if($this -> ordem_sinal [$k] == ’linha[$k] = array ();224 $this ->linha[$k ][0] = NOME_V_FOLGA .’’.$k.’’;


225 $restricao_aux_linha = ’restricao_ ’.$k.’_’;226 // Percorre cada variavel básica insere no cabeçalho227 for($i = 1; $i variavel_qtd ; $i ++){228 $restricao_aux_linha1 = $restricao_aux_linha .$i;229 $this ->linha[$k][$i] = (int)$this ->post[ $restricao_aux_linha1 ];230 }231 $aux_cont = $this -> variavel_qtd ;232

233 // Percorre cada variavel folga insere no cabeçalho234 for($i = 1; $i folga_qtd ; $i ++){235 $j = $i + $aux_cont ;236 $this ->linha[$k][$j] = ($k == $i) ? 1 : 0;237 }238 $aux_cont += $this -> folga_qtd ;239 $restricao_aux_linha_termo = $restricao_aux_linha .’2 membro ’;240 $this ->linha[$k][ TERMO] = (int) $this ->post[

$restricao_aux_linha_termo ];241 //}242 }243 }244

245 /**246 * Método para montar a linha função objetivo247 * @since 1.0248 */249 private function montaLinhaZ (){250 // Linha Função Objetivo251 $this ->linha[ NOME_FO ] = array ();252 $this ->linha[ NOME_FO ][0] = NOME_FO ;253

254 // Percorre cada variavel básica insere no cabeçalho255 for($i = 1; $i variavel_qtd ; $i ++){256 $fo_aux = ’fo_ ’.$i;257 $this ->linha[ NOME_FO ][$i] = (int)-$this ->post[ $fo_aux ];258 }259 $aux_cont = $this -> variavel_qtd ;260

261 // Percorre cada variavel folga insere no cabeçalho262 for($i = 1; $i folga_qtd ; $i ++){263 $j = $i + $aux_cont ;264 $this ->linha[ NOME_FO ][$j] = 0;265 }266 $aux_cont += $this -> folga_qtd ;267 $this ->linha[ NOME_FO ][ TERMO] = 0;268

269 }270


271

272 public function escreve (){273 if($this -> metodo_passo == ’sim ’){274 $this -> metodoSimplexPasso1 ();275 $this -> metodoSimplexPasso2 ();276 $this -> metodoSimplexPasso3 ();277 $this -> resolveMetodoSimplex ();278 } else {279 echo $this -> montaQuadroInicial ();280 $this -> resolveMetodoSimplex ();281

282 // $this -> apresentaSolucao ();283 }284 }285

286 private function resolveMetodoSimplex (){287

288 $coeficientes_variavel_entra = array ();289 $solucao_otima = false ;290 $texto_sair_base = array ();291 $iteracao = 1;292 $i = 1;293 $funcao_objetivo_aux = array ();294 for($k = 1; $k variavel_total ;$k ++){295 $funcao_objetivo_aux [$k] = $this ->linha[ NOME_FO ][$k];296 }297 $maior_valor_negativo_funcao_objetivo = min( $funcao_objetivo_aux );298 $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key = array_keys (

$funcao_objetivo_aux , $maior_valor_negativo_funcao_objetivo );299 $menor_valor_resulta_termo_array = array ();300 $verifica_limitacao = array ();301 for($i = 1;$i base_qtd ;$i ++){302 if($this ->linha[$i][ $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]]

linha[

$i][’termo ’]/ $this ->linha[$i][$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]] ,2 , ’.’,’’);

310 $texto_sair_base [$i] = $i.’.& ordf; linha: ’.$this ->linha[$i][’termo ’].’ / ’.$this ->linha[$i][$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]]. ’ = ’.


$menor_valor_resulta_termo_array [$i];311 }312 $coeficientes_variavel_entra [$i] = $this ->linha[$i][

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]];313 }314

315

316 if( in_array (true , $verifica_limitacao )){317 $menor_valor_negativo_termo = min( $menor_valor_resulta_termo_array

);318 $menor_valor_negativo_termo_key = array_keys (

$menor_valor_resulta_termo_array , $menor_valor_negativo_termo );319 $coeficientes_variavel_entra [’funcao_objetivo ’] =

$funcao_objetivo_aux [ $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key[0]];

320 $this -> maior_valor_negativo_funcao_objetivo =$maior_valor_negativo_funcao_objetivo ;

321 $this -> maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key =$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key ;

322 $this -> menor_valor_negativo_termo = $menor_valor_negativo_termo ;323 $this -> menor_valor_negativo_termo_key =

$menor_valor_negativo_termo_key ;324 $this -> coeficientes_variavel_entra = $coeficientes_variavel_entra ;325 $this -> texto_sair_base = $texto_sair_base ;326 // echo ’maior_valor_negativo_funcao_objetivo : ’; var_dump (

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo );327 // echo ’maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key : ’; var_dump (

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key );328 // echo ’menor_valor_resulta_termo_array : ’; var_dump (

$menor_valor_resulta_termo_array );329 // echo ’coeficientes_variavel_entra : ’; var_dump (

$coeficientes_variavel_entra );330 // echo ’menor_valor_negativo_termo_key : ’; var_dump (

$menor_valor_negativo_termo_key );331 // echo ’maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key : ’; var_dump (

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key );332 // echo ’Linha: ’; var_dump ($this ->linha);333

334

335

336 while (! $solucao_otima ){337

338 $this ->vnb[ $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]] = $this ->linha[ $menor_valor_negativo_termo_key [0]][0];

339 if($this -> metodo_passo == ’sim ’){340 $this -> metodoSimplexPassoIteracao ( $iteracao );341 $this -> metodoSimplexPasso4 ();


342 $this -> metodoSimplexPasso5 ();343 $this -> metodoSimplexPasso6 ();344 }345 for( $operacao = 1; $operacao metodo_passo == ’sim ’){347 $this -> metodoSimplexPasso6Operacao ( $operacao );348 }349 for($k = 1; $k base_qtd ;$k ++){350 // $mod = $k % 2;351 // $google_class = ($mod == 1) ? ’even ’ : ’odd ’ ;352 $google_select = ’’;353 //A operação na linha da variável que entra354 if( $operacao == 1){355 //Se a linha for igual da variavel que entra356 if($k == $menor_valor_negativo_termo_key [0]){357 $google_select = ’google - visualization -table -tr -sel ’;358 $this ->linha[$k ][0] = $this ->linha[’cabecalho ’][

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]];359 // $iteracao_meio .= ’’.$base[$i][’ nome ’].’’;

360 for($j = 1;$j variavel_total ;$j ++){361

362 if($j == $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]){363 if($this ->linha[$k][$j] == 0){364 $this ->linha[$k][$j] = 0;365 }else{366 $this ->linha[$k][$j] = $this ->linha[$k][$j

]/ $this ->linha[$k][$j];367 }368

369 }else{370 if($this ->linha[$k][$j] == 0){371 $this ->linha[$k][$j] = 0;372 }else{373 if( $coeficientes_variavel_entra [

$menor_valor_negativo_termo_key [0]] ==0){

374 $this ->linha[$k][$j] =0;375 }else{376 $this ->linha[$k][$j] =

number_format ($this ->linha[$k][$j]/$coeficientes_variavel_entra [$menor_valor_negativo_termo_key


[0]] ,2 , ’.’,’’);377 }378

379 }380 }381

382 }383 if($this ->linha[$k][ TERMO] == 0){384 $this ->linha[$k][ TERMO] = 0;385 }else{386 if( $coeficientes_variavel_entra [

$menor_valor_negativo_termo_key [0]] == 0){387 $this ->linha[$k][ TERMO] = 0;388 }else{389 $this ->linha[$k][ TERMO] = number_format ($this ->

linha[$k][ TERMO ]/ $coeficientes_variavel_entra [$menor_valor_negativo_termo_key [0]] ,2 , ’.’,’’);

390 }391 }392

393 }394 //A operação nas linhas do meio exceto da variável que entra395 }else if( $operacao == 2){// Fim da if( $operacao == 1)396 //Se a linha for igual da variavel que entra397 // echo ’k: ’.$k.’ $menor_valor_negativo_termo_key [0]: ’.

$menor_valor_negativo_termo_key [0].’
’;398 // echo ’Base nome: ’.$base[$k][’ nome ’].’
’;399 if($k != $menor_valor_negativo_termo_key [0]){400 // $base[$k][’ nome ’] = $this -> linha_titulo [

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]];401 $google_select = ’google - visualization -table -tr -sel ’;402 for($j = 1;$j variavel_total ;$j ++){403 // echo $k.’ ’.$j.’: ’.$base[$k][$j].’
’;404 // echo $k.’ ’.$j.’ $base[

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]][ $j]: ’.$base[ $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]][ $j].’
’;

405 $this ->linha[$k][$j] = number_format (( $this ->linha[$menor_valor_negativo_termo_key [0]][ $j]* (-$coeficientes_variavel_entra [$k])) + $this ->linha[$k][$j],2,’.’,’’);

406 }407 $this ->linha[$k][ TERMO] = number_format (( $this ->linha[

$menor_valor_negativo_termo_key [0]][ TERMO ]* (-$coeficientes_variavel_entra [$k])) + $this ->linha[$k][ TERMO ],2,’.’,’’);

408 }else{


409 }410 //A operação na linha da função objetivo411 }else if( $operacao == 3){// Fim da if( $operacao == 2)412

413 }414 }// Fim do for415 if( $operacao == 1 || $operacao == 2){416

417 }else if( $operacao == 3){418 for($i = 1;$i variavel_total ;$i ++){419 // echo $i.’ $base[

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]][ $i]: ’.$base[ $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]][ $i].’
’;

420 // echo ’$coeficientes_variavel_entra [termo ]: ’.$coeficientes_variavel_entra [TERMO ].’
’;

421 // echo $i.’ $funcao_objetivo [$i]: ’. $funcao_objetivo [$i].’<br >’;

422 // echo ’Multiplicacao : ’.( $base[$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]][ $i]* (-$coeficientes_variavel_entra [TERMO ])).’
’;

423 $this ->linha[ NOME_FO ][$i] = number_format (( $this ->linha[$menor_valor_negativo_termo_key [0]][ $i]* (-$coeficientes_variavel_entra [’funcao_objetivo ’])) +$this ->linha[ NOME_FO ][$i],2,’.’,’’);

424

425 }426 $this ->linha[ NOME_FO ][ TERMO] = number_format (( $this ->linha[

$menor_valor_negativo_termo_key [0]][ TERMO ]* (-$coeficientes_variavel_entra [’funcao_objetivo ’])) + $this ->linha[ NOME_FO ][ TERMO ],2,’.’,’’);

427 }428

429 if($this -> metodo_passo == ’sim ’){430 echo $this -> montaQuadroIteracao ($iteracao , $operacao );431

432 }433 }434

435 for($k = 1; $k variavel_total ;$k ++){436 $funcao_objetivo_aux [$k] = $this ->linha[ NOME_FO ][$k];437 }438 $maior_valor_negativo_funcao_objetivo = min( $funcao_objetivo_aux );439 $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key = array_keys (

$funcao_objetivo_aux , $maior_valor_negativo_funcao_objetivo );440 $menor_valor_resulta_termo_array = array ();441 for($i = 1;$i base_qtd ;$i ++){


442 if($this ->linha[$i][ $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]]linha[

$i][’termo ’]/ $this ->linha[$i][$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]] ,2 , ’.’,’’);

448 $texto_sair_base [$i] = $i.’.& ordf; linha: ’.$this ->linha[$i][’termo ’].’ / ’.$this ->linha[$i][$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]]. ’ = ’.$menor_valor_resulta_termo_array [$i];

449 }450 $coeficientes_variavel_entra [$i] = $this ->linha[$i][

$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key [0]];451 }452 $menor_valor_negativo_termo = min( $menor_valor_resulta_termo_array

);453 $menor_valor_negativo_termo_key = array_keys (

$menor_valor_resulta_termo_array , $menor_valor_negativo_termo );454 $coeficientes_variavel_entra [’funcao_objetivo ’] =

$funcao_objetivo_aux [ $maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key[0]];

455

456 $this -> maior_valor_negativo_funcao_objetivo =$maior_valor_negativo_funcao_objetivo ;

457 $this -> maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key =$maior_valor_negativo_funcao_objetivo_key ;

458 $this -> menor_valor_negativo_termo = $menor_valor_negativo_termo ;459 $this -> menor_valor_negativo_termo_key =

$menor_valor_negativo_termo_key ;460 $this -> coeficientes_variavel_entra = $coeficientes_variavel_entra ;461 $this -> texto_sair_base = $texto_sair_base ;462

463 $iteracao ++;464

465 if( $maior_valor_negativo_funcao_objetivo >= 0){466 $solucao_otima = true;467 }468

469 if($this -> metodo_passo == ’sim ’){470 $this -> metodoSimplexNovaSolucaoObtida ();471 }472 $this -> solucao_otima = $solucao_otima ;473 };


474 if($this -> metodo_passo == ’nao ’){475 $this -> montaQuadroFinal ();476 }477 $this -> apresentaSolucao ( $solucao_otima );478 }else{479 echo ’Solu& ccedil ;& atilde ;o

ilimitada
N& atilde ;o h& aacute ; nenhum elementopositivo na coluna da vari& aacute ;vel que vai entrar na base .’;

480 exit;481 }482 }483

484 /**485 * Método para montar o Quadro inicial486 * @return string Retorna o quadro pronto para ser imprimido487 */488 public function montaQuadroInicial (){489 $str = ’’;490 $str .= ’’;491 $str .= ’ Quadro Inicial ’;492 $str .= ’’;493 $str .= ’
’;494 $str .= ’’;

495 $str .= ’’;496 $str .= ’’;497 for($i = 0; $i < count ($this ->linha[ CABECALHO ]) -1;$i ++){498 $str .= ’’. $this ->linha[ CABECALHO ][$i].’’;

499 }500 $str .= ’’.$this ->linha[ CABECALHO ][ TERMO ].’’;

501 $str .= ’’;502 for($k = 1; $k base_qtd ;$k ++){503 $mod = $k % 2;504 $google_class = ($mod == 1) ? ’even ’ : ’odd ’ ;505 $str .= ’’;506 for($i = 0; $i < count ($this ->linha[$k]) -1;$i ++){507 $str .= ’’.$this ->linha[$k][$i].’’;

508 }


509 $str .= ’’.$this ->linha[$k][ TERMO ].’’;

510 $str .= ’’;511 }512 $str .= ’’;513 for($i = 0; $i < count($this ->linha[ NOME_FO ]) -1;$i ++){514 $str .= ’’.$this ->linha[ NOME_FO ][$i].’’;

515 }516 $str .= ’’.$this ->linha[ NOME_FO][ TERMO ].’’;

517 $str .= ’’;518

519 $str .= ’’;520 $str .= ’’;521

522 return $str;523

524 }525

526 /**527 *528 * @param int $iteracao529 * @param int $operacao530 */531 private function montaQuadroIteracao ($iteracao , $operacao ){532

533 $str = ’’;534 $str .= ’’;

535 $str .= ’’;536 $str .= ’’;537 for($i = 0; $i < count($this ->linha[ CABECALHO ]) -1;$i ++){538 $str .= ’’. $this ->linha[CABECALHO ][$i].’’;

539 }540 $str .= ’’.$this ->linha[CABECALHO ][ TERMO ].’’;

541 $str .= ’’;542 for($k = 1; $k base_qtd ;$k ++){543 $mod = $k % 2;


544 $google_class = ($mod == 1) ? ’even ’ : ’odd ’ ;545 if( $operacao == 1){546 $google_class_linha = ($this -> menor_valor_negativo_termo_key [0] ==

$k) ? $operacao .’op’ : $google_class ;547 }else if( $operacao == 2){548 $google_class_linha = ($this -> menor_valor_negativo_termo_key [0] !=

$k) ? $operacao .’op’ : $google_class ;549 }else{550 $google_class_linha = $google_class ;551 }552 $str .= ’’;553

554 for($i = 0; $i < count ($this ->linha[$k]) -1;$i ++){555 $str .= ’’.$this ->linha[$k][$i].’’;

556 }557 $str .= ’’.$this ->linha[$k][ TERMO ].’’;

558 $str .= ’’;559 }560 if( $operacao == 3){561 $google_class_linha = ’3op’;562 }else{563 $google_class_linha = ’z’;564 }565 $str .= ’’;566

567 for($i = 0; $i < count ($this ->linha[ NOME_FO ]) -1;$i ++){568 $str .= ’’.$this ->linha[ NOME_FO ][$i].’’;

569 }570 $str .= ’’.$this ->linha[ NOME_FO][ TERMO ].’’;

571 $str .= ’’;572 $str .= ’’;573 $str .= ’’;574 return $str;575 }576

577 private function montaQuadroFinal (){578 $str = ’’;


579 $str .= ’’;580 $str .= ’ Quadro Final ’;581 $str .= ’’;582 $str .= ’
’;583

leandro pedrosa rodrigues - universidade federal de goiás · 2013. 10. 21. · leandro pedrosa...

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