lab. 4 – laboratório de resposta em frequência1eng04006/trabalhos/trabalho4.pdfdiagrama de...

LABORATÓRIO DE SISTEMAS E SINAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Professor: Luís Fernando Alves Pereira 1

Lab. 4 – Laboratório de Resposta em Frequência1 Análise do Diagrama de Bode Construção do Diagrama de Bode Diagrama de Bode de uma Função Resposta em Frequência Identificação Experimental da Função Resposta em Frequência Método da Resposta em Frequência Análise do Diagrama de Bode

Para construção do diagrama de Bode, é conveniente escrever a função resposta em frequência G(j) na forma fatorada , tal como:

)1j()1j)(1j()1j()1j)(1j(

K)j(Gn22221

m11211o

(4.1)

Observa-se que em (4.1), no caso de não existirem raizes em zero nos polinômios do numerador e do denominador, Ko representará diretamente o ganho de G(j) na frequência ω=0, também conhecido como ganho DC da função resposta em frequência. Uma vez que a metodologia estabelecida para o traçado do diagrama de Bode baseia-se na respostas em frequência de cada um dos termos que compõe (4.1), interessa-nos analisar o comportamento em frequência das três classes de termos dadas a seguir:

1. jKo (4.2)

2. 11j (4.3)

3.

1

r

2

r1j2j

(4.4)

Construção do Diagrama de Bode

O Matlab possui uma função denominada bode.m para construir diagramas de Bode. Como parâmetros de entrada desta função deve-se passar um vetor contendo os coeficientes do numerador da função resposta em frequência e um outro vetor contendo os coeficientes do denominador da função resposta em frequência. Exemplo: Considere LTI representado pela seguinte função resposta em frequência:

1 Este material foi reproduzido parcialmente com base nas notas de aula do curso Análise de Sistemas de Controle, de autoria dos professores Luís Fernando Alves Pereira e José Felipe Haffner.




)100j)(1j(10j)j(G

(4.5)

Para construir o diagrama de Bode deste sistema utiliza-se o comando: >> bode(num,den) Onde

num = [1 10] é o vetor que contém os parâmetros do polinômio do numerador de (4.5), 10j e den = [1 101 100] é o vetor que contém os parâmetros do polinômio do denominador de (4.5), ou seja

100j101j)100j)(1j( 2 .

Fig. 4.1: Diagrama de Bode da função resposta em frequência apresentada em (4.5).

Pode-se observar que a função bode.m produz automaticamente a escala de frequência em

radianos por segundo. Eventualmente pode-se necessitar observar o comportamento da função resposta em frequência em uma escala de frequência mais ampla que a gerada automaticamente pela função bode.m. Como a escala de frequência geralmente abrange deste valores muito pequenos até valores elevados é usual representá-la em escala logarítmica. Para gerar o vetor de frequências utiliza-se a função logspace.m, ou seja:

>> w=logspace(-2, 4, 1000);

O comando anterior gera o vetor w, com 1000 elementos e com a faixa de frequência variando de 0.01 rad/s (10-2) até 10000 rad/s (104). Sendo assim, os dois primeiros parâmetros da função são os expoentes de dez e o último o número de pontos considerado.

Utilizando a função bode.m e inserindo o vetor de frequência pode-se analisar o diagrama de Bode dentro da região especificada (0.01 rad/s até 10000 rad/s), como pode ser observado na Figura 4.2.

>> bode(num,den,w)




Fig. 4.2: Diagrama de Bode da função resposta em frequência (4.5) com a escala de frequência

especificada pelo vetor w.

Além da função bode.m construir o diagrama de Bode, ela pode fornecer um conjunto de parâmetros de saída que são:

mag: representa o valor da magnitude da função resposta em frequência para cada uma das frequências utilizadas para confecção do diagrama de Bode (escala normal);

fase: representa o valor da fase da função resposta em frequência para cada uma das frequências utilizadas para confecção do diagrama de Bode (em graus);

w: representa o vetor de freqüência utilizado para gerar as curvas de magnitude e fase. >> [mag, fase, w] = bode(num, den, w);

Quando a função bode.m é utilizada na forma mostrada acima, ela não gera a figura relativa ao diagrama de Bode.

Quando é especificada a frequência, o parâmetro de entrada e de saída da frequência é o mesmo.

Em muitas situações o uso da função bode.m não satisfaz plenamente, e é necessário construir um script para produzir o diagrama de Bode. O algoritmo deste script é: Obs: A função aula4.m, cujo script é apresentado no Anexo A, implementa o algoritmo para contrução de diagrama de Bodes.

1. Gerar o vetor de frequência (use logspace.m). 2. Definir os vetores num, e den a partir da função resposta em frequência. 3. Gerar os dados de magnitude e de fase (use bode.m).

4. Transformar a magnitude para decibéis (use log10.m)

>> magdB= 20*log10(mag);

5. Gerar o gráfico de magnitude (use semilogx.m) A função semilogx é equivalente a função plot porém utiliza automaticamente uma escala logarítmica no eixo das abscissas. A função grid.m produz uma escala logarítmica no gráfico.




6. Gerar o gráfico de fase (use semilogx.m)

Construir os gráficos da magnitude e de fase na mesma figura tal como a função bode.m (use o comando subplot)

7. Verificar se o script funciona corretamente ( use bode.m)

i. Observar que para classe de termos (4.3), no ponto de interseção das assíntotas de baixa e alta frequências, as assíntotas diferem da curva real de magnitude em 3.0 dB, para o caso das frequências onde se encontram as raízes do numerador de (4.1) (zeros da função resposta em frequência), e em –3.0 dB para o caso das frequências onde se encontram as raízes do denominador de (4.1) (polos da função resposta em frequência).

ii. Observar para classe de termos (4.3), que a curva assintótica tem declividade de 45o para 1 , e que as curvas real e assintótica diferem de +11o e –11o para 2.0 e 5 respectivamente.

iii. Observar que para esta classe de termos, frequências uma década abaixo do ponto de quebra praticamente não exercem influência nas curvas de magnitude e fase.

Fig. 4.3a: Curva de magnitude assintótica e real considerando 1j10)j(G .




Fig. 4.3b: Curva de fase assintótica e real considerando 1j10)j(G .

A terceira classe de termos representa as parcelas da função resposta em frequência compostas por raízes complexas. Para análise destes termos, algumas informações serão obtidas da família de curvas apresentadas na Figura 4.4, obtidas a partir da seguinte função de transferência de segunda ordem:

2rr

2

2r

j2)j()j(G

(4.6)

que pode ser convenientemente rescrita na forma

1/j2/j

1)s(Gr

2r

(4.7)

i. Verifique que em (4.7), na freqüência r ,

21)j(G .

ii. Determinar a faixa de valores de coeficiente de amortecimento em que um sinal de entrada do tipo tsenA)t(u r1 , aplicado a (4.7), resultará em um sinal de saída em regime permanente do tipo )t(senA)t(y r2 com 1A/A 12 . Utilizar o esquema em Simulink proposto na Figura (4.5).




Fig. 4.4: Família de curvas de magnitude e fase de (4.7), considerando pólos complexos, variando o

coeficiente de amortecimento.

Fig. 4.5: Simulação de um sistema de 2º ordem utilizando o Simulink.

Identificação Experimental da Função Resposta em Frequência O método consiste na coleta de dados do processo e seu processamento. Os dados necessários

consistem da amplitude e fase do sinal de saída do processo em relação a um sinal de entrada senoidal com amplitude constante e frequência variável. Com os dados disponíveis desenha-se o diagrama de Bode. Uma vez obtida as características da resposta em frequência, a função resposta em frequência do sistema pode ser obtida diretamente pela análise dos pontos de quebra, das frequências de corte e das declividades dos gráficos de magnitude e fase da função em cada faixa de freqüência. A escolha da frequência de varredura do sinal de entrada deve ser compatível com a dinâmica do processo.




Exemplo da Aplicação do Método:

Num sistema desconhecido foi levantada a resposta em freqüência, utilizando sinais de 1rad/s até 1000 rad/s. Alguns resultados do teste estão apresentados na Tabela 4.1.

Magnitude Fase (graus) Freqüência (rad/s)

0.1310 -10.8498 1.0000

0.0196 -204.7406 10.9998

0.0001 -242.1626 104.8799

0.0000 -266.6259 1000.0000

Tab. 4.1: Alguns resultados armazenados no arquivo de dados .

A função teste2.m, cujo script é apresentado no Anexo B, implementa todas as etapas realizadas no processo de identificação da função de transferência a partir dos dados de magnitude e de fase obtidos empregando o método da resposta em freqüência.

1º Passo : Análise do diagrama de Bode do processo desconhecido.

Verificando o gráfico da fase na Figura 4.5 pode-se observar a presença de um pólo duplo ou um pólo complexo na freqüência de 5 rad/s, pois a fase varia de 0º a 180º em uma década.

Fig. 4.6: Diagrama de Bode de um processo desconhecido.




No gráfico de magnitude, o pico na curva de magnitude que ocorre na freqüência de 5.0 rad/s determina que o polo é complexo e seu fator de amortecimento é calculado com base no valor do referido pico, isto é

14.12)j(G s/rad 0.5 dB (4.8)

59.18)j(G s/rad 0.1 dB (4.9)

24.0102

120/0.1G0.5G

O pólo complexo pode ser representado pela seguinte função resposta em frequência

2rr

2

2r

rj2)j(

)j(G

(4.10)

Logo, a primeira aproximação da função resposta em frequência, sendo c = 5.0 rad/s e =0.24, é dada por:

25j4.2)j(25)j(G

21

(4.11)

2º Passo: Traçar o diagrama de Bode entre a diferença dos dados do processo e os dados obtidos com a função resposta em frequência aproximada G1(jω).

Pela análise da Figura 4.7 percebe-se a existência de um pólo próximo a 90 rad/s.

Logo deve-se acrecentar um pólo na função resposta em frequência aproximada. A nova função resposta em frequência é a seguinte:

90j90

25j4.2)j(25)j(G

22

(4.12)

Fig. 4.7: Diagrama de Bode entre a diferença dos dados reais e os obtidos através de G1(jω)..




3º Passo: Traçar o diagrama de Bode entre a diferença dos dados do processo e os dados obtidos com a função resposta em frequência aproximada G2(jω). Pela análise da Figura 4.8 percebe-se a existência de um pólo próximo a 9.0 rad/s e de um zero próximo a 30 rad/s. Para manter o ganho unitário acrescenta-se um fator de 0.30 (9/30).

Fig. 4.8: Diagrama de Bode entre a diferença dos dados reais e os obtidos através de G2(jω).

Logo deve-se acrecentar um pólo e um zero na função de transferência aproximada. A nova

função de transferência é:

9j30j

3.090j

9025j4.2)j(

25)j(G23

(4.13)

4º Passo: Traçar o diagrama de Bode entre a diferença dos dados do processo e os dados obtidos com a função de transferência aproximada G3(jω). Pela análise da Figura 4.9 verifica-se que o erro no gráfico de fase reduziu significativamente, porém existe um erro médio de aproximadamente –19 db (ou 0.11) no gráfico de magnitude. Portanto para reduzir este erro deve-se ajustar a função resposta em frequência para

9j30j

3.090j

9025j4.2)j(

2511.0)j(G24

(4.14)




Fig. 4.9: Diagrama de Bode entre a diferença do processo e G3(jω).

Reescrevendo (4.14) obtém-se

)25j4.2)j)((90j)(9j(

)30j(25.74)j(G

24

(4.15)

A Figura 4.10 mostra que o erro entre o processo e a função resposta em frequência G4(jω) é

relativamente pequeno. A Figura 4.11 mostra o diagrama de Bode construido com o os dados do processo e com G4(jω). Observa-se que ambas as curvas são muito semelhantes e pode-se considerar G4(jω) uma boa aproximação do processo.

Fig. 4.10: Diagrama de Bode do erro entre o sistema e G4(jω).




Fig. 4.11: Diagrama de Bode do sistema e da função resposta em frequência G4(jω).

A título de comparação e validação do método proposto para a identificação da função resposta em frequência de sistemas LTI , é apresentado na equação (4.16) a função resposta em frequência do sistema

)25s2s)(70s)(7s()20s(70

)s(G 2

(4.16)




Anexo A Neste anexo são apresentadas as funções do MatLab utilizadas nesta apostila.

%1º passo: Construção do vetor freqüência. wmin= -2; %0.01 rad/s wmax= 3; %1000 rad/s n= 1000; %numero de pontos do vetor freqüência w=logspace(wmin,wmax,n); %2º passo: Função de transferência. % % s+10 % G(s) = ----------------- % (s+1)(s+100) % num=[1 10]; den=[1 101 100]; %3º passo: Gerar os dados de magnitude e de fase. [m,f,w]=bode(num,den,w); %4º passo: 4. Transformar a magnitude para decibéis. mdb=20*log10(m); %5º passo: Gerar o gráfico de magnitude figure(1) subplot(2,1,1) semilogx(w,mdb) ylabel('Magnitude [dB]') title('Diagrama de Bode') axis([0.01 1000 -80 0]) % ajusta escala do gráfico grid %6º passo: Gerar o gráfico de fase subplot(2,1,2) semilogx(w,f,'-w') xlabel('Freqüência [rad/s]') ylabel('Fase [graus]') axis([0.01 1000 -180 0]) % ajusta escala do gráfico

grid




Anexo B %1º passo:Gerar dados do sistema %e plotar o diagrama de Bode figure(1) br1=conv([1 7],[1 70]); br=conv(br1,[1 2 25]); ar=[70 70*20]; [MAGr,PHASEr,Wr]=bode(ar,br,1:0.1:1000); MAGdbr=20*log10(MAGr); magmaxr=max(MAGdbr); subplot(2,1,1) semilogx(Wr,MAGdbr,'-r') title('Diagrama de Bode') text(10,-12.14,'<--- -12.14') text(0.35, -18.59,'-18.59 --->') ylabel('20log(M)') grid subplot(2,1,2) semilogx(Wr,PHASEr,'-r',[5 7],[-100 -100],'-r',... [7 10],[-100 -50],'-r') text(10,-50,'5 rad/s') ylabel('Fase (graus)') xlabel('Freqüência (rad/s)') grid %2º passo 1º aproximação da FT figure(2) b1=[1 2.4 25]; a1=25; [MAG1,PHASE1,W1]=bode(a1,b1,Wr); MAGdb1=20*log10(MAG1); %magmaxr=max(MAGdbr); subplot(2,1,1) semilogx(W1,MAGdbr-MAGdb1,.... '-r',[90 900],[-30 -50],'-r') text(120,-30,'<--- 20 db/década') title('Diagrama de Bode') ylabel('20log(M)') grid subplot(2,1,2) semilogx(W1,PHASEr-PHASE1,'-r',... [30 300],[-40 -85],'-r',[10 30],[-40 -40],'-r',... [300 1000],[-85 -85],'-r',90,-60,'ok') text(120,-60,'<--- 45º/década') ylabel('Fase (graus)') xlabel('Freqüência (rad/s)')

grid %3º passo 2º aproximação da FT figure(3) b2=conv([1 90],b1); a2=90*a1; [MAG2,PHASE2,W2]=bode(a2,b2,Wr); MAGdb2=20*log10(MAG2); %magmaxr=max(MAGdbr); subplot(2,1,1) semilogx(W2,MAGdbr-MAGdb2,'-r',... [1 9 30 1000],[-18.90 -18.90 -30 -30],'-r') text(10,-18.9,'<--- 9 rad/s') text(8,-30,'30 rad/s --->') text(30,-25,'<--- 20db/década') title('Diagrama de Bode') ylabel('20log(M)') grid subplot(2,1,2) semilogx(W2,PHASEr-PHASE2,'-r') ylabel('Fase (graus)') xlabel('Freqüência (rad/s)') grid %4º passo: 3º aproximação da FT figure(4) b3=conv([1 9],b2); a3=a2*0.3*[1 30]; [MAG3,PHASE3,W3]=bode(a3,b3,Wr); MAGdb3=20*log10(MAG3); %magmaxr=max(MAGdbr); subplot(2,1,1) semilogx(W3,MAGdbr-MAGdb3,'-r') title('Diagrama de Bode') ylabel('20log(M)') grid subplot(2,1,2) semilogx(W3,PHASEr-PHASE3,'-r') ylabel('Fase (graus)') xlabel('Freqüência (rad/s)') grid %5º passo: Ajuste do Ganho DC da FT figure(5) b3=conv([1 9],b2); a3=a2*0.3*0.11*[1 30];




[MAG3,PHASE3,W3]=bode(a3,b3,Wr); MAGdb3=20*log10(MAG3); %magmaxr=max(MAGdbr); subplot(2,1,1) semilogx(W3,MAGdbr-MAGdb3,'-r') title('Diagrama de Bode') ylabel('20log(M)') grid subplot(2,1,2) semilogx(W3,PHASEr-PHASE3,'-r') ylabel('Fase (graus)') xlabel('Freqüência (rad/s)') grid %6º passo: Comparação dos resultados obtidos

figure(6) [MAGr,PHASEr,Wr]=bode(ar,br,1:0.1:1000); [MAG4,PHASE4,W4]=bode(a3,b3,1:0.1:1000); MAGdbr=20*log10(MAGr); MAGdb4=20*log10(MAG4); subplot(2,1,1) semilogx(Wr,MAGdbr,'-r',W4,MAGdb4,':b') title('Diagrama de Bode') ylabel('20log(M)') grid subplot(2,1,2) semilogx(Wr,PHASEr,'-r',W4,PHASE4,':b') ylabel('Fase (graus)') xlabel('Freqüência (rad/s)') grid

lab. 4 – laboratório de resposta em frequência1eng04006/trabalhos/trabalho4.pdfdiagrama de...

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