Jorge Costa Soares

Orientador: Prof. Doutor Miguel Costa

Departamento de Fsica, Faculdade de Cincias , Universidade do PortoMaio de 2008

Seminrio de Fsica

A Teoria da Relatividade, a experincia de

Pound-Rebka e o GPS

Agradecimentos

Gostaria de agradecer a algumas pessoas sem as quais a feitura deste seminrio

jamais teria sido possvel.

Ao Professor Doutor Miguel Sousa da Costa pelo apoio, extraordinria pacincia e

notvel dedicao demonstradas durante toda a feitura deste trabalho.

minha orientadora de estgio pedaggico, a Dra. Teresa Paula Costa, pelos vlidos

ensinamentos transmitidos que, em cada dia, me tornam melhor professor.

s minhas colegas de estgio pedaggico pela amizade, apoio prestado e dedicao

empreendida, em prol do nosso bem, como grupo de trabalho, durante todo este ano lectivo.

minha famlia e amigos pelo carinho, motivao e pacincia revelada nos momentos

mais difceis da caminhada que culminou com o trmino deste trabalho de seminrio.

Filipa, minha namorada, por todo o amor, carinho e incrvel compreenso

demonstrada, para comigo, nas alturas mais difceis e conturbadas deste meu percurso.

Dra. Judite de Almeida, por toda a imensa Fsica e, em particular, por toda a

Relatividade que me ensinou.

A todos os membros do IFIMUP, sem excepo, pelo vasto apoio prestado e teis

esclarecimentos.

A todos os elementos da Tuna de Cincias do Porto, por me terem sabido aceitar,

ouvir e compreender, nos nossos incontveis ensaios e actuaes, sempre que o meu cansao

falou demasiadamente alto.

A todos aqueles que, de uma maneira ou outra, me ajudaram e cujos nomes no

figuram nesta pgina.

O Seminrio de Fsica

O Seminrio de Fsica, tal como sucede com o seu homnimo de Qumica, tem o

intuito de fornecer ao professor estagirio a oportunidade de aprofundar o seu conhecimento

numa dada rea, geralmente com nfase bastante superior quela que dada ao longo do

percurso acadmico do mesmo. Daqui adveio a ideia associada escolha do tema que levou

realizao deste trabalho, com vista a conseguir ensinar mais e melhor Fsica, de um modo

consciente e devidamente fundamentado num conhecimento slido, da base at ao topo, tal

como convm e , sem dvida, uma das imagens de marca do Departamento de Fsica da

Faculdade de Cincias da Universidade do Porto.

Devo acrescentar que a Teoria da Relatividade , sem a menor dvida, algo deveras

fundamental, nos dias de hoje, nesta era digital, na qual o GPS desempenha um papel de

monta dado que, alm de ser abordado no currculo normal do ensino secundrio, faz j parte

do quotidiano e da cultura geral de imensas pessoas. Porm, de pouco serve a cultura geral

sem saber o que est por trs da tecnologia, o que faz trabalhar tudo o que esta encerra; sem

reconhecer e, minimamente, compreender toda a Cincia que soube criar tal tecnologia para a

dar a um mundo que a desejou acolher.

Posto isto, cabe aos cientistas e, nomeadamente, aos Fsicos, estarem sempre alertas e

informados acerca do mundo e de tudo quanto nele se passa, em termos cientficos e no s.

No que se pretenda criar algum que saiba tudo, pois isso no passaria de um sonho louco e

impraticvel. Apenas devemos tentar, de um modo humilde e consciente das nossas

limitaes, saber o mximo que pudermos acerca de tudo quanto desejarmos, sempre

dispostos a aprender visto que, tal como Einstein disse, um dia: O fenmeno mais

incompreensvel do mundo que ele seja compreensvel.

ndice

1. Introduo histrica ............................................................................................................... 1

2. Introduo terica ................................................................................................................. 3

2.1. As transformaes de Galileu e a Mecnica Clssica ................................................... 3

2.2. As transformaes de Galileu e a Teoria Electromagntica ......................................... 5

2.3. A experincia de Michelson-Morley ............................................................................. 7

2.4. Os Postulados de Einstein ............................................................................................. 9

2.5. Simultaneidade ............................................................................................................ 10

2.6. Alguns efeitos relativistas ........................................................................................... 12

2.6.1. O efeito da dilatao do tempo .......................................................................... 12

2.6.2 O efeito da contraco do espao ....................................................................... 13

2.7. As transformaes de Lorentz ..................................................................................... 15

2.8. A transformao da velocidade ................................................................................... 17

3. A experincia de Pound-Rebka e o desvio gravitacional .................................................... 19

4. O Sistema de Posicionamento Global (GPS) e a Teoria da Relatividade ........................... 22

4.1. Um caso simples em que a Teoria da Relatividade Geral desprezvel .................... 26

1

1. Introduo histrica Quando analisamos toda a histria da Cincia e, de modo particular, toda a histria da Fsica,

podemos facilmente constatar o enorme progresso que nesta tem ocorrido, nas ltimas

dcadas, tanto em termos tericos como em termos tecnolgicos, ou no fosse a tecnologia

uma filha, por vezes prdiga, da Cincia.

Recuando um pouco mais no tempo e contemplando os ltimos sculos, somos forados a

falar das duas revolues cientficas ocorridas aquando do incio do sculo passado: a

revoluo quntica, empreendida por Max Planck, e a revoluo relativista, levada a cabo por

Albert Einstein. Em boa verdade, tais revolues so a base de toda a Fsica Moderna,

designao que abrange os campos da Fsica cujo desenvolvimento apenas ocorreu aps o ano

de 1900. Estamos, portanto, perante uma nova abordagem, em termos de ideias-base,

linguagem e formalismos, comparativamente com aquela que ocorria antes do sculo XX. De

facto, at ao incio do sculo XX, todas as evidncias apontavam para que, quaisquer que

fossem os resultados experimentais, tais resultados poderiam ser correctamente explicados

pela Mecnica de Newton, pela Teoria Electromagntica de Maxwell, pela Termodinmica ou

pela Teoria Cintica dos Gases.

Newton agrupou, numa teoria mecnica bastante simples, as concluses das experincias

(mecnicas) de Galileu e a interpretao kepleriana das observaes astronmicas de Tycho

Brahe. No final do sc. XIX tal teoria encontrava-se bastante desenvolvida e fornecia, com

sucesso, a interpretao correcta de todos os fenmenos mecnicos, conhecidos at ento,

servindo de base Teoria Cintica dos Gases, a qual tinha removido muitos mistrios da face

da Termodinmica. Como veremos posteriormente, a Mecnica de Newton excelente para

descrever, com elevada correco, toda uma vasta gama de fenmenos, gama essa associada a

velocidades, v, muito baixas, ou seja, velocidades cujo valor muito inferior ao da velocidade

da luz no vazio, 2,99792458. 10m. s. O limite de validade da Mecnica newtoniana

, portanto, o limite das baixas velocidades (v

2

electromagntica. Porm, face viso da poca, completamente apoiada em fundamentos

mecnicos (newtonianos), no se podia conceber tal perturbao sem que esta se propagasse

num meio caracterstico - o ter - dotado de certas particularidades estranhas e exticas, visto

que no possuiria massa (pois sabia-se j que a luz se propagava no vazio) mas teria

propriedades elsticas para suster as vibraes inerentes ideia de onda e movimento

ondulatrio.

Apesar das inmeras dificuldades, o conceito de ter era muito mais atraente, ento, do que a

ideia de existirem perturbaes (ondas electromagnticas) a propagarem-se sem existir

qualquer meio de propagao. Deste modo e admitindo a existncia do dito ter, as

perturbaes propagar-se-iam a uma velocidade fixa, relativamente a tal meio de suporte,

semelhana do que sucede s ondas sonoras ao propagarem-se no ar. Julgava-se que as

experincias efectuadas com luz iriam permitir detectar o movimento absoluto de um corpo

num referencial absoluto: o referencial do ter. Contudo, tais espectativas caram por terra,

pelo ano de 1887, aquando da realizao da notvel experincia de Michelson-Morley. Essa

experincia tentava medir a velocidade (absoluta) da Terra, relativamente ao referencial

(absoluto) do ter, e fracassou, jamais sendo obtido qualquer resultado que se coadunasse

com a existncia de tal meio e inerente referencial. Em resposta a este fracasso mas ainda

considerando a existncia do ter e tentando reter, ao mximo, as teorias fsicas existentes na

altura, Lorentz, Fritzgerald e Poincar propuseram vrias hipteses, respeitantes ao que

poderia ocorrer a corpos que se deslocassem atravs do ter: a hiptese da contraco dos

corpos rgidos e a hiptese do abrandamento dos relgios. A descrio dos efeitos associados

a tais hipteses foi condensada, em algumas frmulas simples, vulgarmente denominadas por

transformaes de Lorentz. Todos os aparatos experimentais, construdos com o intuito de

medir movimentaes, relativamente ao ter, estavam sujeites a esses mesmos efeitos, que

neutralizavam quaisquer resultados esperados. Apesar de esta teoria ser consistente com as

observaes, possua o tremendo defeito de jamais poder ser verificada, experimentalmente.

Os fsicos de finais do sculo XIX encontravam-se instalados em ideias rgidas, supostamente

seguras e providas, tal como defendiam, de um carcter universal e inabalvel, sendo plena a

sua abrangncia. Altivamente, acreditavam que o Universo estava quase todo explicado,

faltando somente resolver certas questes de pormenor, no que dizia respeito aos valores de

algumas constantes, para se atingir a plenitude do conhecimento. O papel das geraes

vindouras seria, meramente, o de medir a prxima casa decimal. Tomavam modelos fsicos

como a prpria essncia da Natureza, esquecendo-se que esta infinitamente mais rica e sbia

que o mais correcto dos modelos elaborados pelo Homem. Foi isto o que ocorreu com a teoria

3

Fig. 1 Referencial cartesiano aplicado no estudo de um sistema mecnico simples.

de Newton que, conseguindo explicar uma largussima gama de fenmenos, alcanou um

patamar dotado de um carcter absoluto. Mesmo quando se tornou cada vez mais claro, em

finais do sculo XIX, que algo muito fundamental estava errado na teoria newtoniana, toda a

comunidade cientfica denotava tremenda relutncia em efectuar mudanas basilares, por

vezes necessrias ao correcto curso da Cincia. Em vez de operarem tais mudanas preferiram

modificar outros aspectos e parmetros, numa tentativa desesperada (e frustrada) para salvar,

intacto, todo um notvel legado com mais de 200 anos de idade.

Todavia, uma vasta srie de desenvolvimentos, tanto experimentais como tericos, fez com

que fosse necessrio rever, a fundo, as ideias vigentes, tanto no que se prende com o espao-

tempo absolutos (no caso da Teoria da Relatividade) como no que diz respeito continuidade

da matria (no caso das teorias qunticas), fazendo com que toda essa ftil segurana casse

por terra e levando a comunidade cientfica a tomar conscincia da nfima poro do Universo

que, efectivamente, conhecia.

2. Introduo terica

2.1. As transformaes de Galileu e a Mecnica Clssica Em Fsica Clssica pode-se indicar, perfeitamente, o estado de um sistema mecnico, para

qualquer instante de tempo t0, construindo um sistema de eixos coordenados e fornecendo

informao acerca dos valores das coordenadas e do momento linear, , das vrias partes do

sistema naquele instante, t0. Muitas vezes, porm, pode-se tornar necessrio fornecer tais

informaes relativamente a um novo sistema de eixos coordenados, que efectue translao

relativamente ao primeiro. H, todavia, que saber como se

transforma a descrio do sistema, feita em relao ao primeiro

sistema de eixos coordenados, para o caso do novo sistema de

eixos coordenados, bem como o que sucede s equaes que

regem o comportamento do sistema quando se efectua tal

transformao.

Tomemos o sistema mecnico mais simples possvel, ou seja,

uma partcula de massa m actuada por uma fora . Se

utilizarmos coordenadas cartesianas para efectuar a descrio

do que ocorre no sistema, em funo do tempo, teremos a situao patente na fig. 1. Usemos,

para descrever a partcula neste referencial, a notao (x, y, z, t), a qual indica que, num dado

4

Fig. 2 Referenciais cartesianos executando movimento rectilneo e uniforme.

instante t, a partcula toma x, y e z como coordenadas espaciais. Admitindo que conhecemos

ento, de acordo com as leis de Newton, vem:

onde Fx, Fy e Fz so as trs componentes do vector . Este conjunto de equaes diferenciais

governam o movimento do sistema e apenas so vlidas caso o referencial seja inercial.

Consideremos, agora, o problema de como descrever o sistema, do ponto de vista de um novo

referencial, no qual as coordenadas espaciais da partcula so x, y e z, sendo as origens de

ambos os referenciais coicidentes para 0 e executando o novo referencial translao,

relativamente ao primeiro, a uma velocidade uniforme, , paralela ao eixo dos xx (fig. 2). Se

nos interrogarmos sobre qual ser a relao entre (x, y, z, t) e (x, y, z, t), parece bvio que:

As quatro equaes anteriores so conhecidas como as transformaes de Galileu (aplicadas,

apenas, ao caso em que no ocorre rotao

do sistema) e constituem a resposta da Fsica

Clssica acerca de como se transforma a

descrio do sistema mecnico, feita em

relao ao primeiro sistema de eixos

coordenados, para o caso do novo sistema

de eixos coordenados, que executa

movimento de translao uniforme

relativamente ao primeiro.

Contudo, h ainda que saber o que sucede s equaes que regem o comportamento do

sistema quando se efectua tal transformao. Derivando, duas vezes, a primeira das

transformaes de Galileu em ordem a t e atendendo quarta transformao de Galileu,

teremos:

Para a segunda e terceira transformaes de Galileu vir, respectivamente:

5

Face ao exposto e multiplicando, agora, ambos os termos das equaes anteriores por m, vem:

O resultado anterior muito interessante, pois exprime a invarincia das leis de Newton (que

governam o comportamento do sistema mecnico) mediante as transformaes de Galileu. A

Mecnica newtoniana prev a equivalncia de todos os referenciais inerciais, em translao

uniforme, desde que apenas se estudem fenmenos mecnicos. de realar que as relaes

anteriores tomam a massa como constante, considerando os intervalos de espao e de tempo

absolutos, invariantes, jamais sofrendo mudanas de valor aps mudanas de referencial.

Mais adiante, neste trabalho, veremos que tal no verdade, quando abordarmos a Teoria da

Relatividade Restrita.

2.2. As transformaes de Galileu e a Teoria Electromagntica Os fenmenos electromagnticos so descritos, em Fsica Clssica, por um conjunto de

equaes diferenciais equaes de Maxwell - do mesmo modo que os fenmenos mecnicos

so discutidos por um outro conjunto de equaes diferenciais - as leis de Newton. No

faremos, neste trabalho, a aplicao das transformaes de Galileu nas equaes de Maxwell,

dada a grande extenso de clculos que isso acarretaria, face natureza de tais equaes.

Todavia, deve-se salientar que quando aplicamos as transformaes de Galileu em tais

equaes, estas modificam a sua forma matemtica, contrariamente ao que sucede s leis de

Newton. H, porm, que falar sobre o significado fsico de tal contrariedade, que se reveste de

extrema importncia por ter sido um ponto deveras relevante na gnese da Teoria da

Relatividade.

Tal como foi dito na introduo histrica do presente trabalho, aquando de uma primeira

contextualizao da Teoria Electromagntica de Maxwell, as equaes de Maxwell prevem

perturbaes electromagnticas que se propagam no espao com movimento de tipo

ondulatrio, dotadas de um valor de velocidade independente da frequncia da onda, em

meios de ndice de refraco constante, como o caso do vcuo. Vimos ainda, na introduo

deste trabalho, as principais caractersticas do ter, o suposto meio de propagao das ondas

electromagnticas, requerido pela viso mecanicista dos fsicos oitocentistas.

Assumia-se, nos finais do sculo XIX, que as equaes electromagnticas de Maxwell, eram

vlidas no chamado referencial do ter, pelo que a resoluo dessas equaes conduzia a um

valor de velocidade de propagao das ondas electromagnticas igual a c, resultado este que

apresentava tremenda concordncia com o valor da velocidade da luz medido, em 1849, por

6

Fizeau. Contudo, num novo referencial que efectuasse movimento de translao uniforme,

relativamente ao referencial do ter, tal valor de velocidade da luz mudaria, sendo maior ou

menor que c consoante o dito referencial se movesse em sentido oposto ou no mesmo sentido

da propagao da luz, respectivamente. No parece ser necessria a descrio detalhada da

relao prevista entre a velocidade da luz no referencial do ter ( ), a velocidade da luz no

novo referencial ( ) e a velocidade do novo referencial relativamente ao referencial do ter

( ), dado que pode ser correctamente resumida pela expresso seguinte:

O clculo da velocidade da luz no novo referencial, algo rebuscado, apenas completo aps

transformao das equaes de Maxwell e decorrente resoluo no novo referencial, concorda

plenamente com a constncia da velocidade da luz relativamente ao referencial do ter, c, e

com toda a intuio mecnica, bem patente na relao acima apresentada, entre as velocidades

V1, V2 e V3. essencial realar que, por trs de tal intuio mecnica, se encontram todos os

argumentos (intuitivos) que jazem nas transformaes de Galileu, argumentos esses que

foram utilizados para tentar justificar (e validar) a adio de velocidades no caso da Teoria

Electromagntica de Maxwell.

Recapitulando, podemos afirmar que os referenciais inerciais apenas eram equivalentes, para

a Fsica dos finais do sculo XIX, no que dizia respeito aos fenmenos mecnicos, perdendo

tal equivalncia no caso dos fenmenos electromagnticos, algo que decorria do facto de

existirem trs ideias em ntida contradio:

- a lei de transformao de velocidades ( ), elaborada a partir das

transformaes de Galileu, que tomava como base as ideias de espao e tempo absolutos;

- a total abrangncia do Princpio da Relatividade, aplicvel a fenmenos mecnicos

como a fenmenos electromagnticos;

- as equaes de Maxwell, nas quais estava expressa a constncia da velocidade da luz

no vazio, c, sendo esta uma constante universal.

Pelo menos uma das trs hipteses anteriores teria de ser posta de parte, pelo menos uma

delas teria de cair. Vejamos qual.

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2.3. A experincia de Michelson-Morley A clebre experincia de Michelson-Morley, levada a cabo no ano de 1887, provou ser de

extrema importncia para o desenvolvimento da Fsica. Esta experincia tentava provar a

existncia do ter e medir a velocidade (absoluta) da Terra, relativamente ao referencial do

ter, o qual se tomava como um referencial absoluto.

A ideia-base desta experincia era medir a velocidade da luz, segundo duas direces

perpendiculares, tal como esta era vista num referencial fixo em relao Terra. Baseando o

raciocnio na lei clssica de transformao de velocidades e luz do conceito do referencial

do ter, era fcil dizer que a velocidade da luz seria diferente para as duas direces

consideradas. A Terra descreve uma rbita aproximadamente circular em torno do Sol, com

uma velocidade orbital mdia sensivelmente igual a 30 km.s-1 e um perodo de translao que,

por definio, igual a um ano (terrestre). Seria uma hiptese irrealista pensar que o

referencial do ter acompanhava o movimento da Terra, sendo bem mais razovel e intuitivo

pensar que o dito referencial estivesse em repouso relativamente aos centros de massa do

Sistema Solar ou do Universo. No primeiro dos casos razoveis citados, a velocidade absoluta

da Terra seria da ordem de grandeza da sua velocidade orbital e a orientao do vector

velocidade mudaria ao longo do ano enquanto que, no segundo desses casos, tal velocidade

possuiria um valor ainda maior.

O aparato experimental utilizado consistiu, sucintamente, num sistema de trs espelhos, sendo

dois deles (E e E) totalmente espelhados, enquanto que o terceiro espelho (D) semi-

espelhado. Parte da luz, ao incidir em D, reflectida, enquanto que a restante transmitida,

seguindo o seu percurso. A poro reflectida ir ao encontro do espelho E enquanto que a

poro transmitida ir ao encontro de E. A distncia entre D e E igual distncia entre D e

E, sendo ambas iguais a L, o que elimina uma fonte de possvel desfasamento dos dois feixes

de luz. Assim, todo e qualquer desfasamento que exista entre tais feixes, aps regressarem a

D, apenas se pode dever a diferenas de velocidade da luz nas diferentes direces

percorridas, o que ter originado diferenas de tempo de percurso para cada caso. Deste

modo, poder-se- detectar interferncia no-construtiva no aparelho para onde os feixes sero

encaminhados aps passarem, uma segunda vez, por D. ainda importante deixar bem claro

que, na segunda passagem dos feixes no espelho D, o feixe transmitido uma poro daquele

que, de incio, foi reflectido, enquanto que o feixe reflectido uma poro do feixe que,

inicialmente, foi transmitido.

8

Fig. 3 Trajectos de dois feixes de luz num aparato esttico.

Fig. 4 Trajectos de dois feixes de luz num aparato em movimento segundo a direco DE.

Considerando, numa primeira abordagem, o caso em que o

aparato experimental se encontra esttico (fig. 3), se a

velocidade da luz for a mesma em todas as direces (como

advm das equaes de Maxwell) os tempos, e , que a

luz demora a percorrer os dois trajectos (viajar de D at E e

regressar a D, bem como viajar de D at E e regressar a D,

respectivamente) sero iguais, pelo que:

Analisando, agora, o caso em que o

aparato experimental de encontra em

movimento, com velocidade na

direco DE (fig. 4), ento podemos,

partida, pensar que o valor da

velocidade da luz ser diferente para

duas situaes distintas. Quando a luz

vai de D para E, tal valor igual a

. Contudo, quando a luz vai de

E para D, o seu valor iguala , atendendo, em ambos os casos, lei clssica de

transformao das velocidades, expressa em 2.2. Desta feita, o tempo que a luz demora a ir de

D at E e regressar a D ser:

2

2

1

1

Com base no esquema (fig. 4) e luz do Teorema de Pitgoras, pode-se verificar que:

2

2

Pelo que, resolvendo em ordem a , se obtm:

2

1

1

Avaliando a diferena existente entre e do modo seguinte:

1 1 ~10

9

verificamos que a sua ordem de grandeza acarretaria uma diferena de fase facilmente

detectvel pelo mtodo eleito (interferometria). Contudo, tal desfasamento, previsto pela

Fsica Clssica, nunca foi observado em nenhuma das ocasies nas quais Albert Michelson e

Edward Morley realizaram a experincia, tendo esta sido repetida em diversas alturas do dia,

nas vrias estaes do ano e em diferentes laboratrios. O resultado foi sempre nulo.

Tal como foi apontado na Introduo histrica do presente trabalho houve diversos cientistas

que, aps o fracasso da experincia de Michelson-Morley, procuraram explicaes para o

sucedido, tais como Lorentz, Fritzgerald e Poincar, elaborando certas hipteses, mais ou

menos plausveis. Faltava, porm, uma explicao cabal, que arrumasse de vez com o

conceito de ter e afirmasse a velocidade da luz tal como o que ela : uma constante

universal.

2.4. Os Postulados de Einstein Tudo quanto foi apresentado at ao momento parece ser consistente com a potencial

inexistncia do dito referencial do ter, o nico em que a velocidade da luz seria igual a c. Tal

como sucede para todos os referenciais inerciais e fenmenos mecnicos associados, todos os

referenciais em movimento de translao uniforme parecem ser equivalentes e possuir a

propriedade de neles se propagar a luz com uma velocidade constante, c, independente da

direco de propagao. Albert Einstein, no desejando apenas a aceitao de tal evidncia

mas, antes, a sua generalizao, publicou, pelo ano de 1905, um brilhante artigo no qual deu

Cincia dois postulados de mpar importncia, assumindo o Princpio da Relatividade como

princpio universal e a velocidade da luz como constante universal. Ora vejamos:

- o Princpio da Relatividade afirma que as leis que regem os fenmenos

electromagnticos, tal como as leis da Mecnica, so as mesmas em todos os referenciais

inerciais, estejam eles em repouso ou em movimento rectilneo e uniforme. Como tal, todos

os referenciais inerciais so completamente equivalentes;

- o Princpio da constncia da velocidade da luz afirma que a velocidade da luz no

vazio, c, constante e independente do movimento da fonte emissora, sendo um invariante

nesta classe de referenciais.

10

Einstein teve, ento, de optar: ou modificava as equaes de Maxwell ou modificava as

transformaes de Galileu, uma vez que, juntas, implicam o contrrio dos postulados. Como

as teorias de emisso tinham falhado, teorias essas que tentavam modificar as equaes de

Maxwell de modo a que a velocidade da luz permanecesse associada velocidade da fonte

emissora, Einstein escolheu modificar as transformaes de Galileu em favor das equaes de

Maxwell. Ao faz-lo, estava a pr em cheque os conceitos newtonianos de espao e tempo

absolutos, pelo que este foi um passo bastante arrojado, uma vez que ia, completamente,

contra toda a intuio da poca e implicava uma modificao compensatria das leis de

Newton, de modo a que o primeiro dos seus postulados permanecesse vlido, no captulo da

Mecnica. Mais adiante, neste trabalho, veremos os resultados aos quais a modificao das

transformaes de Galileu conduziu mas, primeiramente, iremos obter as novas equaes de

transformao: as transformaes de Lorentz. De facto, encontra-se contida nas

transformaes de Lorentz a essncia da Teoria da Relatividade Restrita, a qual apenas

aborda, os referenciais inerciais, se bem que Einstein conseguiu obter os mesmos resultados a

partir dos seus dois postulados.

2.5. Simultaneidade Consideremos a quarta transformao de Galileu, ou seja:

Esta equao, onde est bem patente o conceito de tempo absoluto defendido por Newton,

diz-nos que os intervalos de tempo so os mesmos para quaisquer dois referenciais, sejam eles

inerciais ou no-inerciais. Mas ser isso verdade? Para respondermos a esta questo temos de

investigar medies de tempo.

Se focarmos a nossa ateno na definio de escala de tempo de um nico referencial, o

processo bsico envolvido, em qualquer medida temporal que se deseje efectuar, uma

medida de simultaneidade. Se nos encontrarmos, por exemplo, numa estao de metro,

muito comum ouvirmos dizer que o metro chegou s sete horas. Porm, isso uma expresso

abreviada do que, de facto, sucedeu. A expresso completa (e mais correcta) deveria ser algo

do tipo: o comboio chegou quando um relgio, na sua proximidade, marcava sete horas.

Menos bvia , contudo, a determinao da simultaneidade de eventos que ocorrem em locais

diferentes, sendo este o problema-chave envolvido na criao de uma escala de tempo para

um dado referencial. Para obtermos uma escala de tempo vlida para todo um referencial

devemos ter uma distribuio de relgios, espalhada por todo esse referencial, de modo a que

11

Fig. 5 Ilustrao da definio de simultaneidade de Einstein.

exista sempre um relgio prximo, no qual ser efectuada qualquer medida de tempo. Os

relgios de tal distribuio devem encontrar-se sincronizados, ou seja, devem-nos permitir

afirmar que marcam a mesma hora, simultaneamente.

Para sermos realistas na escolha e desenvolvimento da escala de tempo do referencial temos

de utilizar processos reais de transmisso de informao, tais como ondas electromagnticas,

por vrios motivos:

- o valor da sua

velocidade coincide com o

limite mximo (conhecido)

de velocidade de

transmisso de informao;

- o seu valor

constante e pode ser

utilizado para criar a nossa

escala de tempo.

Assim fomos conduzidos definio de simultaneidade dada por Einstein e ilustrada na fig. 5:

Dois instantes de tempo, t1 e t2, observados em dois pontos, x1 e x2, num dado referencial

particular, so simultneos se existirem sinais de luz, simultanemente emitidos do ponto

mdio entre x1 e x2 e chegarem a x1 no instante t1 e a x2 no instante t2.

Equivalentemente, podemos pensar em dois sinais de luz, emitidos em x1 e x2, os quais

alcanam o ponto mdio no mesmo instante.

As definies anteriores misturam os tempos, t1 e t2, com as coordenadas espaciais, x1 e x2.

Todavia, na Teoria da Relatividade de Einstein, o termo simultaneidade no tem significado

absoluto, independente das coordenadas espaciais, tal como ocorre segundo com a teoria

clssica. Uma consequncia destas definies que dois eventos ditos simultneos, quando

vistos de um dado referencial, no so, geralmente, simultneos, quando observados noutro

referencial, movendo-se este ltimo relativamente ao primeiro. O problema da simultaneidade

far com que os observadores discordem, no que diz respeito ao intervalo de tempo decorrido

entre dois acontecimentos, medido nos respectivos referenciais, como veremos adiante.

12

Fig. 6 Procedimento associado medio de um mesmo intervalo de tempo com relgios em dois referenciais distintos.

2.6. Alguns efeitos relativistas Os dois postulados de Einstein apenas determinam que equaes devem ser utilizadas para

transformar as coordenadas de espao-tempo, de um referencial para outro, mas existem

diversos caminhos para serem obtidas essas equaes, pelo que tentarei faz-lo do modo mais

claro, instrutivo e segundo o qual os conceitos fsicos subjacentes adquiram maior nfase.

2.6.1. O efeito da dilatao do tempo Imaginemos que um observador O, movimentando-se com velocidade relativamente a um

observador O, deseja comparar um intervalo de tempo medido pelos relgios do seu

referencial com uma medida do mesmo intervalo de tempo feita pelos relgios do referencial

de O. Vamos assumir que ambos os observadores estabeleceram, numa situao inicial de

repouso relativo dos dois referenciais, que todos os relgios envolvidos se encontram

sincronizados e possuem a mesma taxa de variao temporal. aparente que a leitura

efectuada num relrio de O possa ser comparada com uma leitura de um relgio feita em O,

leitura essa que seja coincidente com a anterior, sem mais complicaes, ainda que,

posteriormente, O e O

efectuem movimento relativo.

Medidas de um dado intervalo

de tempo feitas com relgios

nos dois referenciais podem ser

comparadas tal como se ilustra

no esquema da fig. 6.

O observador O envia um sinal

de luz a um espelho que o

reflete e envia de volta ao ponto de partida. Tanto O como O, com os relgios C1 e C,

respectivamente, registam o tempo de transmisso do sinal. O diagrama apresentado no lado

esquerdo da fig. 6 mostra a sequncia de eventos do ponto de vista de O, enquanto que o

diagrama presente no lado direito da fig. 6 mostra, por sua vez, a sequncia de eventos do

ponto de vista de O. O intervalo de tempo que, para O, est compreendido entre os dois

eventos igual a 2, sendo . No caso do observador O o intervalo de tempo

compreendido entre os dois eventos igual a 2. Analizando o diagrama presente no lado

direito da fig. 6 parece ser aparente que:

13

Resolvendo a equao anterior em ordem a , vem:

Pelo que:

1

1

Atendendo a que , resulta:

1

1

Uma vez que obtm-se, por fim:

1

O interessante resultado anterior mostra-nos, claramente, que o intervalo de tempo decorrido

entre dois eventos, associados a um determinado fenmeno, relativo ao referencial eleito

para efectuar a descrio do fenmeno. Este efeito relativista tem o nome de efeito da

dilatao do tempo e ao intervalo de tempo medido num referencial que se encontre em

repouso relativamente a um dado acontecimento atribui-se a designao de tempo prprio.

Neste caso, o tempo prprio aquele que medido pelo observador de O, ou seja, .

2.6.2 O efeito da contraco do espao Consideremos a mesma experincia abordada em 2.6.1 e imaginemos, agora, a medio do

comprimento de uma barra colocada no referencial de O, com uma das extremidades

coincidente com o relgio C1 e a outra extremidade coincidente com o relgio C2.

Designemos por L o comprimento da barra no referencial de O, referencial esse em relao ao

qual a barra se encontra em repouso. O nosso objectivo medir L, isto , medir o

comprimento da barra tal como vista pelo observador de O. Neste referencial, a barra est a

mover-se na direco do seu prprio comprimento, L. Uma vez que a velocidade de O

relativamente a O igual a , a velocidade de O (e tambm, em face do que foi dito atrs, a

velocidade da barra) em relao a O deve ser precisamente igual a .

Seja t1 o instante no qual o observador de O v passar a parte dianteira da barra e t2 o

instante no qual o mesmo observador v passar a parte traseira da barra. Assim, para o

observador de O, o intervalo de tempo de passagem da barra igual a 2 e

relaciona-se com o comprimento da barra do seguinte modo:

2

14

Por sua vez, o observador de O v o observador de O movimentar-se com uma velocidade

igual a , percorrendo uma distncia L durante 2, donde:

2

Com base nas duas ltimas equaes, temos:

Como, em 2.6.1, tinhamos mostrado que:

1

resulta, por fim:

1

O resultado anterior permite-nos concluir que o comprimento de uma barra, comprimento

esse paralelo direco da velocidade da barra num determinado referencial (neste caso, o

referencial do observador de O), afectado por um factor 1 quando comparado

com o comprimento da mesma barra medido num referencial relativamente ao qual a barra se

encontre em repouso (neste caso, o referencial de O). A este efeito relativista atribui-se a

designao de efeito da contraco do espao ou contrao de Lorentz dado que a

equao 1 assemelha-se, em termos formais, equao proposta por

Lorentz para tentar explicar o fracasso da experincia de Michelson-Morley, se bem que

existem diferenas de monta, no que concerne ao significado dos termos presentes. Enquanto

que Lorentz associava v velocidade do corpo relativamente ao referencial do ter, neste caso

v representa o valor da velocidade relativa entre dois referenciais inerciais arbitrrios, O e O.

Ao comprimento da barra, medido num referencial em que esta se encontre em repouso,

atribui-se a designao de comprimento prprio. No presente caso, o comprimento prprio

corresponde quele que medido por O, ou seja, L.

At ao momento apenas vimos o que sucedia ao comprimento de uma barra quando tentmos

med-la num referencial relativamente ao qual ela se movia numa direco paralela ao seu

prprio comprimento.

Imaginemos, agora, uma situao semelhante quela com que inicimos 2.6.2, mas na qual

passam a existir duas barras de igual comprimento (quando medido em repouso relativo),

sendo tal comprimento perpendicular direco de , encontrando-se o observador O no

centro de uma delas e o observador O no centro da outra. Consideremos que as duas barras

so paralelas (fig. 7). Ser que o seu comprimento permanece inalterado ou, tambm nesta

15

Fig. 7 Representao de duas barras em movimento relativo de translao.

situao, igualmente afectado e sofre contraco, quando as barras efectuam movimento de

translao relativo? Ora vejamos, ento.

Suponhamos, para o efeito, que os

centros das barras coincidem, quando

as barras passam uma pela outra, e que

o observador O tem dois ajudantes, OA

e OB, os quais esto localizados nas

extremidades da barra. Esses ditos

ajudantes enviam raios de luz quando

A e B atravessam a linha definida por A e B, marcando a localizao dos pontos nos quais A

e B fazem tal travessia. Posteriormente, o observador O pode comparar o comprimento

com o comprimento . Atendendo simetria do sistema tudo indica que O ir receber os

sinais luminosos dos dois ajudantes em simultneo, o mesmo se passando com O. Deste

modo, o observador O deve concordar que OA e OB fizeram as suas medidas em simultneo

e, consequentemente, deve aceitar os resultados da medida.

Imaginemos, todavia, que O e O concluem que . Repitamos a experincia, mas

sendo, agora, o observador O a efectuar as comparaes de comprimento. Como o Princpio

da Relatividade estabelece total simetria entre todos os referenciais inerciais possvel que,

tanto O como O, concluam que , algo que contradiz o que fora anteriormente

afirmado. A nica concluso consistente . Daqui se conclui que as dimenses de

barras idnticas, vistas por qualquer observador, so as mesmas, independentemente de tais

barras estarem em repouso ou de se movimentarem, relativamente ao observador, numa

direco perpendicular do seu comprimento. Subtilmente, em 2.6.1, usamos j esta

concluso, ao afirmarmos que .

2.7. As transformaes de Lorentz Consideremos dois observadores, O e O, que vem o mesmo acontecimento enquanto se

movem, um em relao ao outro, com velocidade . No que se prende com os seus sistemas

coordenados a localizao e o tempo do acontecimento pode ser especificado por (x, y, z, t) ou

(x, y, z, t). As transformaes de coordenadas que procuramos tm de nos permitir

transformar as coordenadas (x, y, z, t), do referencial de O, nas coordenadas (x, y, z, t), do

referencial de O. Assumindo que a orientao dos dois sistemas de coordenadas e do vector

, referente velocidade de O relativamente a O, a indicada na fig. 8, definimos que,

16

Fig. 8 Representao de dois referenciais cartesianos, executando movimento rectilneo e uniforme, e coordenadas de um acontecimento genrico.

quando as origens de ambos os

referenciais coincidem,

0. A distncia entre as origens dos

dois referenciais igual a no

referencial de O e igual a no

referencial de O. A distncia x

medida no referencial de O

aparenta, todavia, vir diminuida

por um factor 1 quando vista do referencial O, pelo que O diria que a distncia,

paralela a , compreendida entre o seu plano yz e a posio do acontecimento, era igual a

1 , o que , por definio, a coordenada x do dito acontecimento. Assim:

1

Resolvendo em ordem a x, vem:

1

Desta feita, o observador O julga que o tempo t, lido no relgio presente no ponto x, y, z,

em repouso relativamente ao referencial de O, deve ser corrigido pelo factor

(que neste caso positivo), de modo a superar a falha de sincronizao existente entre esse

dito relgio e o relgio fixo na origem do referencial de O. Alm disso, os intervalos de

tempo medidos pelo relgio de O aparentam, para o observador O, estarem dilatados por um

factor igual a 1/1 . Como tal, o tempo t associado ocorrncia do acontecimento :

1

Substituindo x e resolvendo em ordem a t, obtm-se:

1

Reunindo os resultados e como os comprimentos perpendiculares a no so alterados, vem:

1

1

17

Fig. 9 Representao de dois refernciais em translao uniforme e uma partcula a mover-se em relao a ambos.

As equaes anteriores constituem as chamadas transformaes de Lorentz e, de acordo com

Einstein, devem ser usadas na transformao de coordenadas de espao-tempo de um

determinado acontecimento, descrito num referencial inercial O, para um outro referencial

inercial O.

Aps uma breve anlise das transformaes de Lorentz torna-se bvio que, para valores de

velocidade baixos, ou seja, nas situaes em que v

18

Fig. 10 Representao de um exemplo da adio de velocidades.

Atendendo ao facto de v ser uma constante, obtm-se:

1

1

1

1

Aps trabalharmos as equaes presentes nesta pgina, cujos clculos envolvidos so triviais,

apesar de extensos, alcanamos os seguintes resultados:

1

1

1

1

1

As equaes anteriores indicam-nos como transformar a velocidade observada, num dado

referencial, para o caso de outro referencial.

Note-se, primeiramente, que para valores de V e v muito inferiores velocidade da luz no

vazio, c, os quocientes / e / tendem para zero e as trs ltimas equaes anteriores

aproximam-se daquelas que, por

simples derivao em ordem ao

tempo, podem ser obtidas das

transformaes de Galileu. Outra

propriedade muito interessante das

equaes anteriores o facto de ser

impossvel escolhermos e tais

que V, o valor da velocidade

observada por O, seja superior a c. Considere-se, como exemplo elucidativo do que acabou

de ser dito, a situao esquematizada na fig. 10. Tal como o observador de O pode notar, a

partcula 1 tem uma velocidade cujo valor igual a 0,9c no sentido positivo do eixo dos xx,

enquanto que a partcula 2 dotada de uma velocidade de igual valor e direco mas sentido

oposto ao da velocidade da partcula 1. Procurando, agora, avaliar a velocidade da partcula 1

em relao partcula 2, temos de recorrer primeira das transformaes de velocidades

19

anteriores, relativa a deslocamentos segundo o eixo dos xx, de acordo com a qual iremos

obter:

0,9 0,9

1 0,9 0,91,801,81

Muito mais poderia ser escrito, no que concerne Teoria da Relatividade Restrita, at porque

no foi (nem ser) abordada, neste trabalho, a temtica inerente Mecnica Relativista nem a

clebre equivalncia entre massa e energia:

1

Apenas foram tratados os temas mais relevantes, visando o eficaz fornecimento de

explicaes simples para fenmenos que, em muitas situaes, so seriamente contra-

intuitivos, por no fazerem parte do nosso quotidiano, dado que, por exemplo, jamais algum

viajou, na Terra, a velocidades prximas de c.

3. A experincia de Pound-Rebka e o desvio gravitacional Antes de publicar, em 1915, a Teoria da Relatividade Geral, que se pode considerar uma

extenso da Teoria da Relatividade Restrita ao caso da gravitao, Einstein havia j deduzido

o efeito que a gravidade deveria possuir sobre a radiao electromagntica, nomeadamente no

que se prende com a frequncia e comprimento de onda da mesma. Seria, todavia, em

Harvard, no ano de 1960 (j aps a morte de Einstein), que Robert Pound e Glen Rebka

levariam a cabo uma experincia fantstica, que ficaria conhecida como a experincia de

Pound-Rebka, a qual procurava medir o desvio gravitacional sofrido pela frequncia da

radiao, ao propagar-se numa regio de campo gravtico varivel, tal como previsto pela

Teoria da Relatividade Geral.

A radiao, ao afastar-se da superfcie terrestre, sofre um aumento de comprimento de onda,

, e consequente diminuio da sua frequncia, , dado que o campo gravtico lhe retira parte

da energia,. Reciprocamente, quando a radiao se aproxima da superfcie terrestre, torna-se

mais energtica, sofrendo uma diminuio do seu comprimento de onda e consequente

aumento de frequncia, graas constncia da velocidade da luz, , sendo . Todavia,

face ao modesto valor do campo gravtico terrestre, tal efeito muito pequeno. Perante esta

dificuldade foi necessrio descobrir, primeiramente, uma fonte de radiao electromagntica

cuja frequncia fosse conhecida com alta preciso. Tal descoberta ocorreu quando, em 1958,

20

no Instituto Max Planck, na Alemanha, Mssbauer descobriu que os ncleos atmicos podem

sofrer decaimentos sucessivos, at alcanarem o estado nuclear fundamental, libertando

energia sob a forma de radiao . Se tais ncleos forem parte integrante da rede de um cristal

purssimo, de alta qualidade, todos os fotes so emitidos com a mesma energia. Uma outra

amostra desse cristal, cujos ncleos atmicos se encontrem no estado nuclear fundamental,

absorver a energia de uma fraco dos fotes , emitidos pela primeira amostra, fazendo-o

sob uma condio: ambas as amostras tm de se encontrar em repouso, relativamente ao

mesmo referencial inercial. Qualquer valor de velocidade relativa, existente entre as duas

amostras, far com que, graas a desvios de frequncia que surjam, por efeito Doppler, num

referencial relativamente ao qual a segunda amostra esteja em repouso, a radiao possua

um valor de energia diferente daquele que a amostra conseguiria absorver. Isto faz com que

no ocorra interaco da radiao com a dita amostra, dada a inexistncia da quantificao

energtica necessria para o efeito.

Pound e Rebka efectuaram, em boa verdade, uma variante dos mtodos de espectroscopia

Mssbauer, colocando uma amostra ( ) emissora de radiao no topo de uma torre,

instalando um detector na base da mesma torre, localizado 22,5m abaixo do emissor, segundo

a vertical. A energia, E, de cada foto emitido pela amostra de apresenta um valor

bastante elevado e definido, sendo 14,4. Medindo a taxa de deteco da radiao,

medida que induziram ligeiras oscilaes verticais no emissor, Pound e Rebka puderam

encontrar o valor da velocidade relativa, v, existente entre ambas as amostras, que

compensasse a mudana de frequncia causada pelo desvio gravitacional (para o azul, neste

caso) sofrido pela radiao durante todo o percurso existente entre o topo da torre e a base da

mesma. Deste modo, a amostra receptora pde absorver uma fraco dos fotes emitidos,

pelo que a quantidade de raios no absorvidos decresceu imenso, em face dos valores

apresentados pelo detector que se encontrava por baixo da amostra receptora. A variao na

absoro pde, assim, ser relacionada com a velocidade e fase de vibrao da amostra

emissora de radiao , bem como com a mudana de frequncia da radiao (devida ao

desvio Doppler sofrido pela mesma), a qual anulou os efeitos inerentes ao desvio

gravitacional. Vejamos como.

De acordo com a Teoria da Relatividade Geral sabemos que o intervalo de tempo, ,

medido por um relgio localizado a uma altura , relativamente superfcie terrestre, pode ser

relacionado com o intervalo de tempo, , medido por um relgio localizado na superfcie

terrestre, como veremos em seguida.

21

Consideremos:

1 2

Invertendo ambos os membros da equao anterior, obtm-se:

1

1 2

Efectuando a expanso binomial da raiz quadrada, vem:

1

1

ghc

Como: 1

e como: 1

teremos, para o caso do desvio gravitacional para o azul:

1 ghc

e, para o caso do desvio gravitacional para o vermelho:

1 ghc

No primeiro caso (desvio para o azul), a radiao torna-se mais energtica, ao ir na direco

do corpo (dotado de massa) criador do campo gravtico, contrariamente ao segundo caso

(desvio para o vermelho), no qual procura escapar aco desse mesmo campo. Caso a

radiao no sofresse qualquer desvio de frequncia, em consequncia do decrscimo da sua

energia, teramos a situao em que a sua frequncia e energia seriam constantes, ao longo do

tempo, graas ao facto de a radiao no se estar a propagar numa zona distorcida, em termos

de espao-tempo.

Na verdade, Pound e Rebka mediram uma diferena de energia e no uma diferena de

frequncia. Tal diferena de energia pode-se expressar como:

Sendo a frequncia final da radiao e a frequncia inicial da radiao.

Podemos, ento, escrever:

22

Os valores de desvios energticos da radiao ascendente e descendente, proporcionais aos

valores dos desvios ocorridos na frequncia (para ambos os casos), so:

5,13 0,51 10

Podemos comparar o anterior valor com aquele que se segue, o qual advm, meramente, da

previso terica e no de quaisquer resultados experimentais:

2 4,91 10

Como tal, o desvio energtico observado est em concordncia com o desvio gravitacional da

frequncia da radiao, previsto para a dupla diferena de altura (2), ou seja, para a

conjugao dos valores obtidos nos casos de ascenso e descida da radiao .

Esta experincia foi notvel, quer pelo o seu engenho, quer por ser um teste clssico da Teoria

da Relatividade Geral, tendo sido a primeira experincia na qual a deformao gravitacional

do tempo foi confirmada directamente.

4. O Sistema de Posicionamento Global (GPS) e a Teoria da Relatividade O Sistema de Posicionamento Global, GPS, um claro exemplo de como os conhecimentos

cientficos avanados podem ser enxertados no mundo em que vivemos, dada a sua enorme

aplicabilidade nos mais variados campos. Tal sistema divide-se em trs segmentos bsicos: o

segmento espacial (aquele que ser abordado neste trabalho e que compreende 24 satlites,

em rbitas aproximadamente circulares em torno da Terra, com um perodo orbital de 12

horas), o segmento de controlo (constitudo pelas vrias estaes terrestres que recebem e

coordenam as informaes vindas dos diversos satlites) e, finalmente, o segmento do

utilizador (constitudo pelo conjunto de aparelhos receptores que interagem com os restantes

segmentos).

Um receptor GPS comum calcula a sua posio utilizando os sinais que recebe de quatro (ou

mais) satlites, dado que o processo requer o conhecimento do tempo local com uma preciso

muito mais elevada do que a que seria possvel obter com um relgio vulgar. Tal receptor

calcula, internamente, o tempo e a posio, ou seja, utiliza quatro sinais diferentes para obter

os valores de quatro coordenadas: x, y, z e t. Estes valores so, posteriormente, convertidos

para linguagens mais vulgares: valores de latitude e longitude ou posio num mapa de um

visor electrnico.

Por sua vez, cada satlite GPS possui um relgio atmico (dotado de elevada preciso) e

transmite, continuamente, sinais electromagnticos contendo diversas informaes. Dado que

23

os ditos sinais viajam velocidade da luz (por serem ondas electromagnticas), o receptor

utiliza os valores de tempo, fornecidos pelos satlites, para calcular a distncia relativamente a

cada um dos quatro satlites, a partir das quais determina a sua localizao geogrfica. Apesar

de no ter sido este o propsito que levou criao do GPS, tal sistema constitui um excelente

laboratrio no qual os conceitos abordados pelas Teorias Relativistas podem ser estudados, a

fundo, tanto no mbito da Relatividade Restrita como da Relatividade Geral.

Os relgios atmicos so afectados pelo fenmeno da dilatao do tempo, em virtude da

velocidade orbital dos satlites que os contm, o que vai de encontro ao que previsto pela

Teoria da Relatividade Restrita. Por outro lado, no captulo da Teoria da Relatividade Geral e

em face da altitude qual tais satlites executam as suas rbitas, esta teoria prev que os

relgios se adiantem, relativamente aos relgios terrestres, dado o menor valor do campo

gravtico terrestre, existente quela altitude, comparativamente com o seu valor na superfcie

da Terra. Mas o que implicam tais desfasamentos temporais, em termos de localizao

geogrfica? precisamente isso o que veremos, seguidamente.

O fenmeno da dilatao do tempo, abordado no mbito da Teoria da Relatividade Restrita,

em 2.6.1, prev diferenas nos valores de intervalos de tempo medidos por dois observadores

em movimento relativo de translao uniforme. Tais intervalos de tempo podem ser

relacionados, tal como j foi visto, do seguinte modo:

1

sendo que, face ao limite de velocidade imposto pelo valor da velocidade da luz no vazio, c,

teremos:

Assim sendo, um observador em relao ao qual outro observador se esteja a deslocar, com

uma velocidade , mede um intervalo de tempo superior quele que medido pelo outro

observador, no seu prprio referencial, em relao ao qual se encontre em repouso.

A afirmao anterior poder-nos-ia conduzir a uma problemtica semelhante do chamado

paradoxo dos gmeos, se bem que simples mostrar o porqu de tal no ocorrer, dada a

assimetria existente entre o satlite GPS e a Terra. Enquanto que, entre dois acontecimentos

(como sejam a transmisso de sinais electromagnticos), o satlite GPS apenas necessita de

um relgio para registar o intervalo de tempo decorrido entre ambos os instantes de tempo,

um observador na Terra necessita de 2 relgios (sincronizados), pelo que, no seu referencial,

cada relgio estaria localizado no local do espao onde o satlite GPS emite cada um dos

sinais para a Terra. Assim surge a impossibilidade de um observador que se encontre no dito

24

satlite afirmar que o seu tempo que deveria ser maior, em face de ter sito a Terra a mover-

se e no ele prprio.

Tomemos, ento, como observador em repouso um observador que se encontre na superfcie

terrestre, em repouso relativamente mesma, e como observador em movimento o satlite

GPS. Se corresponder ao intervalo de tempo medido pelo relgio do observador terrestre e

for o intervalo de tempo medido pelo relgio do satlite, ento, como o perodo orbital, ,

igual a 12 horas, ou seja, 43200s, e como o raio orbital igual soma do raio terrestre

equatorial, 6378000m, com a altura qual o satlite descreve a sua rbita,

20200000m, medida em relao superfcie terrestre, teremos:

1 2

E substituindo os respectivos valores, vem:

1 2 6378000 20200000m12 60 60s

Pelo que, temos:

1,00000000008

O resultado anterior se mostra-nos quo superior cada intervalo de tempo medido por um

relgio localizado na Terra, , comparativamente com o intervalo de tempo medido pelo

relgio atmico do satlite GPS, .

Concretizando, para um intervalo de tempo (medido no relgio atmico do satlite GPS) igual

a 1s, ou seja, 1s, teremos:

1,00000000008s

Como tal, enquanto que no relgio atmico do satlite GPS passa 1 segundo, num relgio

localizado na superfcie terrestre passam mais 80 10s que no relgio localizado no

satlite em causa.

Passando, agora, dilatao gravitacional do tempo, temtica esta que se insere na Teoria da

Relatividade Geral, estamos a falar do fenmeno que ocorre quando analisamos a cadncia de

um relgio em diversas regies que apresentem diferentes valores de potencial gravtico. Isto

foi demonstrado quando se notou que os relgios atmicos apresentavam diferentes taxas de

variao temporal, consoante o potencial gravtico ao qual estivessem submetidos. Assim

25

sendo, os relgios atmicos dos satlites GPS tm, tambm, de sofrer correces relativistas

por causa do desvio gravitacional. Quanto mais elevada for a distoro do espao-tempo, em

termos locais, o que se traduz por uma mais forte aco do campo gravtico sobre os relgios

a ele sujeites, mais devagar ocorre a passagem do tempo.

De acordo com a Teoria da Relatividade Geral sabemos que o intervalo de tempo, ,

medido por um relgio localizado a uma altura , relativamente superfcie terrestre, pode ser

relacionado com o intervalo de tempo, , medido por um relgio localizado na superfcie

terrestre, do seguinte modo:

1 2

O clculo envolvido trivial mas pode-se efectuar a expanso binomial do denominador, pelo

que vem:

1 ghc

Como tal, atendendo a que 20200000m, medida em relao superfcie terrestre,

teremos:

1,0000000022

Concretizando, para um intervalo de tempo (medido num relgio terrestre) igual a 1 segundo,

ou seja, 1s, teremos:

1,0000000022s

O resultado anterior permite-nos concluir que, enquanto que num relgio terrestre passa 1

segundo, num relgio do satlite GPS, localizado a uma altitude de 20200000m passam

mais 2,2 10s que no relgio localizado na superfcie terrestre.

Se combinarmos, agora, ambos os valores temporais obtidos, ou seja, se combinarmos o valor

de dilatao temporal dos relgios terrestres (obtido luz da Teoria da Relatividade Restrita)

com o valor de dilatao temporal dos relgios dos satlites GPS (obtido com base na Teoria

da Relatividade Geral), iremos obter o seguinte resultado:

2,2 10s 80 10s 2,12 10s

resultado este que, face ao valor fixo da velocidade da luz no vazio, c, faz com que:

donde resulta, imediatamente:

0,7m

26

Este valor corresponde, nada mais nada menos, ao erro pelo qual o GPS seria afectado, por

segundo, caso fossem desprezadas as correces relativistas aqui evidenciadas. assombroso

pensar no que aconteceria ao mundo, quer no que se prende com os utilizadores particulares,

quer no que se prende com a indstria, a Cincia, a economia, as reparties militares, etc.,

caso tal sistema deixasse de efectuar as ditas correces, de um momento para o outro.

H que dizer que o tratamento efectuado ignora diversas dificuldades que surgem, na prtica,

tais como o rudo dos relgios atmicos, efeitos relativistas associados rotao terrestre e

flutuaes de frequncia que advm de mltiplos factores climatricos. Tambm foram

ignorados os efeitos que advm do facto de o meio de propagao da radiao emitida no ser,

somente, o vcuo, algo que desempenha um papel bastante relevante na propagao dos sinais

electromagnticos, emitidos pelos satlites GPS.

4.1. Um caso simples em que a Teoria da Relatividade Geral desprezvel Para terminar, farei uma breve abordagem a algo ocorrido numa das reunies deste seminrio

de Fsica, quando se estava a tratar da temtica inerente dilatao gravitacional do tempo.

Uma vez que o tempo passa, de um modo mais clere, quo mais afastados estivermos de

fontes de campo gravtico, natural pensar que, no topo de um edifcio (terrestre), o tempo

passe mais rapidamente do que na base do mesmo edifcio, atendendo seguinte expresso, j

apresentada anteriormente:

1 ghc

Tomemos agora, como tpico exemplo de edifcio, o Departamento de Fsica da Faculdade de

Cincias da Universidade do Porto. Se fizermos corresponder ao intervalo de tempo

medido por um relgio colocado ao nvel da base desse eficcio e se tomarmos como

sendo o intervalo de tempo medido por um relgio existente no terceiro andar do mesmo

edifcio, ento, considerando que o terceiro andar se encontra a uma altura h 18m, teremos:

1 18gc

isto :

1 1,96 10

Partindo do princpio que um dado indivduo passa, durante toda a sua vida e no referido

andar, aproximadamente 4,84 10s (intervalo de tempo associado vida laboral de algum

que, durante 35 anos, trabalhe 12 horas dirias, 320 dias por ano), sendo tal intervalo de

tempo medido por um relgio localizado ao nvel da base do edifcio, resulta que:

27

2 10s

Como tal, podem-se tirar duas brilhantes concluses: em primeiro lugar, pelo simples facto de

ter trabalhado no terceiro andar do Departamento de Fsica da FCUP durante todo aquele

tempo, o referido indivduo ter envelhecido, na sua vida, mais 2 s do que algum cuja vida

se processou ao nvel da base do mesmo edifcio; em segundo lugar pode-se dizer que a

pessoa que projectou o edifcio de to ilustre Departamento no possuia, certamente,

conhecimentos de Relatividade Geral...

Bibliografia

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Fundao Calouste Gulbenkian.

Feynman, R. et al; The Feynman Lectures on Physics Volume I; Reading; Addison-

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Schutz, B.; A First Course in General Relativity; Cambridge; Cambridge University

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N. Ashby , Living Rev. Relativity 6, 1 (2003).

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R. V. Pound and G. A. Rebka, Phys. Rev. Lett. 4, 337 (1960).

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