ita 2008 aula01 - instituto tecnológico de...

Cosmologia Fsica

Oswaldo Duarte Miranda

mailto: [email protected]

ITA 18 a 20 de fevereiro de 2008

Oswaldo Duarte Miranda Cosmologia Fsica

I Introduo

II Geometria Global e Dinmica do Universo

Parte I - Introduo

Cosmologia como cincia

Conceitos astronmicos bsicos

Um pouco de histria

Um panorama geral da astrofsica e da cosmologia

Parte II Geometria Global e Dinmica do Universo

Homogeneidade e isotropia

A mtrica de Robertson-Walker

Equao de Friedmann

Parmetros e modelos cosmolgicos

Pontos chave da cosmologia


I Introduo


Parte I Introduo

AAAAAAA


Alguns conceitos astronmicos bsicos

Um pouco de histria

Um panorama geral da astrofsica e da cosmologia


I Introduo




Um pouco de histria

Panorama geral da astrofsica e da cosmologia

Cosmologia* como uma Cincia

Estudo do Universo como um todo, sua geometria global, dinmica, histria, e seus constituintes galxias e estruturas em grande escala, sua formao e evoluo

Considerao bsica: As leis fsicas so as mesmas em todas as pocas e em todos os lugares

Contudo, uma nova fsica deve ser evocada para explicar, e.g., matria escura, energia escura

S conhecemos um Universo (nico objeto de estudo), e tudo que ns podemos fazer olhar a superfcie do cone de luz passado

Observaes cosmolgicas so difceis e sujeitas a efeitos de seleo e vcios (biases)

Cosmologia hoje um ramo da fsica

* Do Grego kosmos = ordem, disciplina


I Introduo




Um pouco de histria


Como so feitas as descobertas astronmicas ?

Descobertas Conceituais: e.g, relatividade geral, mecnica quntica, branas, inflao, alm de que a teoria pode ser inspirada pelas observaes

Descobertas Fenomenolgicas: e.g, matria escura, QSOs, GRBs, CMBR, Planetas Extrasolares

O desenvolvimento em cosmologia impelido pelo progresso tecnolgico

O Progresso em Cosmologia impelido pelo Progresso Tecnolgico


I Introduo




Um pouco de histria


Como Flui a Informao no Universo

A radiao eletromagntica, em todos os seus comprimentos de onda, o principal meio para obtermos informaes sobre o Universo. Por exemplo:

Fotometria nos fornece principalmente informaes sobre a morfologia das galxias

Espectroscopia fornece informaes sobre a dinmica das galxias e aglomerados de galxias

Espectros trmico, sncrotron nos do informaes sobre a distribuio de gs nos aglomerados de galxias, sobre campos magnticos csmicos etc.

Por outro lado, a termalizao da radiao por poeira apaga a informao sobre o fluxo de energia original

Contudo, novos canais de informao esto sendo abertos: ondas gravitacionais, neutrinos


I Introduo




Um pouco de histria



I Introduo




Um pouco de histria


Cada elemento qumico possui linhas caractersticas

Esse o instrumento central da Astronomia que permite determinar, e.g., velocidades e composio qumica


I Introduo




Um pouco de histria


Efeito Doppler Fonte Emissora em Movimento

Fonte emissora se aproxima do observador deslocamento para o azul (blueshift)

Fonte emissora se afasta do observador deslocamento para o vermelho (redshift)

c

v

Para velocidades no relativsticas


I Introduo




Um pouco de histria


l

e

Espectro de referncia (laboratrio)

Espectro emitido por fonte afastando-se do laboratrio redshift


I Introduo




Um pouco de histria


A luz dos objetos astronmicos pode ser, e.g., coletada por telescpios acoplados a cmaras CCD (chip eletrnico feito de material semicondutor sensvel a luz)

O chip composto por uma matriz cujos elementos so chamados pixel

Cada pixel coleta ftons como baldes que armazenam gua da chuva

Dessa forma pode-se registrar tanto imagens quanto espectros bem como determinar o fluxo de energia recebido de um dado objeto

Coletando Ftons de Objetos Astrofsicos


I Introduo




Um pouco de histria


Por outro lado, a luminosidade de um objeto est ligada aos processos fsicos que geram energia. No caso, e.g., das estrelas, o processo que produz energia a fuso nuclear

No caso de uma galxia, a luminosidade no ptico provm principalmente do conjunto de estrelas que forma a galxia. Assim, a luminosidade inferida nos permite inferir quantas estrelas a galxia contm

Nas galxias ativas e QSOs a energia provm de outra fonte: liberao de energia gravitacional do gs que flui para o interior de um buraco negro (com massa milhes de vezes maior que a do Sol)

Nas nebulosas a energia pode vir da sua prpria energia trmica (isto , do movimentos dos ons, eltrons e molculas das nebulosas) ou da excitao por radiao proveniente de uma fonte (estrela) prxima


I Introduo




Um pouco de histria


Antes de Continuar ........ As Unidades Astronmicas

Distncia:

Unidade astrnmica: a distncia da Terra ao Sol, 1 ua = 1,496 1013 cm

Anos luz: c 1ano, 1 al = 9,463 10 17 cm

Parsec: a distncia que um objeto deve estar para subentenderum ngulo de 1 segundo de arco no cu, 1pc = 3,086 1018 cm = 3,26 al = 206.264,8 ua

Massa e Luminosidade:

Massa Solar: 1 M = 1,989 1033 g

Luminosidade Solar: 1 L = 3,826 10 33 erg/s = 3,826 1026 J/s = 3,826 1026 W


I Introduo




Um pouco de histria


Fluxos e Magnitudes Como Determin-los?

Detectores reais, como o CCD, so sensveis sobre uma banda finita de 8 (ou

No caso do nosso Sol, o fluxo de energia recebido : F = 1,36 106 erg s-1 cm-2

Essa no ainda a luminosidade intrnseca do nosso Sol

Para passarmos do fluxo medidopara a luminosidade intrnsecaprecisamos necessariamente conhecer a distncia do objeto (Sol neste exemplo) Terra


I Introduo




Um pouco de histria


A relao matemtica entre fluxo e luminosidade :

24 D

LF

=

Portanto, a luminosidade intrnseca do Sol :

1332136 1083,3)10496,1(41036,1 == sergL

Por razes histricas, com origem na Grcia antiga, fluxos no ptico (e tambm no infravermelho) so medidos em magnitudes, onde:

constantelog5,2 10 += Fm

Onde a constante depende da faixa espectral em que feita a observao


I Introduo




Um pouco de histria


Normalmente, o fluxo de energia integrado sobre uma banda passante finita, e.g., a banda V (visvel) possui 8 = 500 600 nm, a banda B possui 8 = 390 490 nm

Assim:

A

constantelog5,2 10 += FmV

Fluxo integrado sobre o range de comprimentos de onda dessa banda

Se o fluxo integrado sobre o espectro inteiro, ento m chamada de magnitude bolomtrica


I Introduo




Um pouco de histria


Considere duas estrelas, e.g., Sol (1) e Vega (2) observadas atravs de cmara CCD dentro da banda V. Podemos medir com o CCD acoplado a um telescpio os seus respectivos Fluxos (F) recebidos na Terra. Assim:

Como Usamos Magnitudes?

)/(log5,2 211021 FFmm =

Os Fluxos recebidos na Terra so:

215

2

216

1

1067,2

1036,1

=

=

cmsergF

cmsergF


I Introduo




Um pouco de histria


Vega foi escolhida pois considerada uma estrela padro magnitude de ponto zero

Dessa forma, para Vega: mV= 0

A magnitude do Sol ento:

mag76,261067,2

1036,1log5,20

5

6

10 =

=

Vm

Essa magnitude chamada de magnitude aparente e ela est intimamente ligada com o fluxo recebido na Terra


I Introduo




Um pouco de histria


Podemos agora colocar a seguinte questo:

Dados dois objetos astrofsicos com mesma magnitude aparente (fluxo), ento eles possuem a mesma luminosidade intrnseca?

A resposta : Depende da distncia. Se estiverem a mesma distncia da Terra ento esses objetos possuem a mesma luminosidade. Caso contrrio, o que estiver mais longe ter maior luminosidade intrnseca

Entra portanto em cena a necessidade de relacionarmos magnitude com distncia. Isso feito atravs da magnitude absoluta, simbolizada pela letra M e que estassociada com a luminosidade

Por definio: M a magnitude aparente que um objeto teria se estivesse a distncia de 10pc da Terra


I Introduo




Um pouco de histria


Dessa forma:

)/(log55

constante].[log5,25

constante])pc10/(.[log5,2

constante])pc.10(4/.[log5,2

constante])pc10(4/[log5,2)10(

10

2

10

22

10

22

10

2

10

pcdmM

dF

dF

ddL

LpcdmM

+=

+=

+=

+=

+===


I Introduo




Um pouco de histria


Para o Sol que est a distncia de 4,85 10-6 pc temos MV = 5,47 se usarmos o

valor obtido anteriormente para mV (-26,76 mag)

A diferena entre as magnitudes aparente e absoluta (em qualquer banda) chamada de mdulo de distncia

)10/(log5 10 pcdMm =

Mdulo de distncia

Veja que para chegar nesse resultado necessrio conhecer a distncia do objeto estudado. Para objetos que esto prximos de ns, existem vrios mtodos que podem ser usados como paralaxe trigonomtrica, paralaxe espectroscpica entre outros


I Introduo




Um pouco de histria


Considere um objeto com elevada luminosidade intrnseca, de forma que ns podemos consider-lo como vela padro

Observando objetos dessa classe prximos de ns, de forma que seus fluxos e suas distncias possam ser medidos com bastante preciso ento ser possvel obter a magnitude absoluta dessa vela padro

Se for possvel agora observar cosmologicamente esses objetos, determinando seus fluxos (magnitude aparente) poderemos inferir a distncia de luminosidade (que representaremos como DL) desses objetos a partir do mdulo de distncia apresentado no slide anterior

Determinar as distncias cosmolgicas de fontes astrofsicas nos permite obter dados fundamentais sobre o Universo. Veremos isso mais adiante...........

A utilidade do mdulo de distncia para a Cosmologia repousa no seguinte:


I Introduo




Um pouco de histria


A Evoluo do Pensamento Cosmolgico

...... Da magia para a fsica: misticismo teologia filosofia fsica

...... Mudana de pensamento (revoluo Copernicana): Universo antropocntrico/antropomrfico Universo heliocntrico

...... Revoluo Darwiniana: de Universo esttico e imutvel Universo em evoluo e expanso


I Introduo




Um pouco de histria


A Descoberta das Galxias

Sculo XVIII:

Os primeiros catlogos de nebulosas: Charles Messier, William Herschel

Os pioneiros dos Universos Ilha: Thomas Wright, Immanuel Kant


I Introduo




Um pouco de histria


Sculos XIX e XX:

Mais catlogos, os primeiros espectros de galxias, mas nenhuma compreenso sobre a fsica

No Encontro da Academia Nacional de Cincias em Washington (26 de abril de 1920), Harlow Shapley e Herber Curtis do palestras sob o ttulo A Escala do Universo

Shapley argumentou que as nebulosas so parte da nossa Galxia, a nica

Curtis argumentou que eram outros sistemas como nossa Galxia

Esquema de Arthur Eddington (1912) colocando o Sol 60 anos luz acima do plano Galctico


I Introduo




Um pouco de histria


As Nebulosas so Extragalcticas

Em 1923 Hubble descobriu estrelas variveis Cefeidas em M31 (Andromeda) usando o telescpio de 100 polegadas do Monte Winson


I Introduo




Um pouco de histria



I Introduo




Um pouco de histria


Base Terica da Cosmologia Moderna: Teoria Geral da Relatividade - TRG (1915)

Abaixo, e a direita, nota de aula de um curso dado por Einstein em 1919 sobre a TRG. O tpico final foi sobre cosmologia (que ele comeou estudar dois anos antes). Apresenta seu mtodo para construo do primeiro modelo cosmolgico-matemtico da TRG. Seu Universo contem matria no relativstica, estrelas e nebulosas (em acordo com as observaes da poca) mas espacialmente finito


I Introduo




Um pouco de histria


Os Primeiros Modelos Cosmolgicos

Einstein em 1917 construiu o primeiro modelo cosmolgico relativstico. Pensando que o Universo fosse esttico, ele introduziu o termo cosmolgico (constante) para contra-balanar a fora gravitacional. Seu modelo era instvel

Willem De Sitter em 1917 tambm desenvolveu um modelo similar, mas obteve solues das equaes de Einstein para um Universo vazio em expanso

Em 1932, Einstein & De Sitter desenvolvem juntos um outro modelo cosmolgico que batizado com seus nomes, modelo cosmolgico de Einstein-De Sitter


I Introduo




Um pouco de histria


Knut Lundmark (1924)

O Universo em Expanso Lei de Hubble

Vesto Melvin Slipher(1917)


I Introduo




Um pouco de histria


Observaes realizadas por Hubble em 1929 confirmam que o Universo est em expanso os espectros das galxias esto deslocaddos para o vermelho (redshift)

O redshift cosmolgico um pouco diferente do Doppler. O cosmolgico devido expanso do espao

A expanso passa a ser chamada de efeito De Sitter

rc

Hz

c

vz

0=

=


I Introduo




Um pouco de histria


Universodoidade1

0

=H

H0 a constante de Hubble

Esse um parmetros chave da cosmologia moderna

Seu valor atual:111,3

2,30 )(2,73+

= MpcskmH


I Introduo




Um pouco de histria


Uma galxia a 1Mpc desloca-se com velocidade = 73,2 km/s (z ~ 2,4 10-4)

Uma galxia a 10Mpc desloca-se com velocidade = 732 km/s (z ~ 2,4 10-3)

Uma galxia a 100Mpc desloca-se com velocidade = 7320 km/s (z ~ 2,4 10-2)

O espao expande e carrega as galxias

Num Universo homogneo e isotrpico no existe centro preferencial

A Expanso do Universo


I Introduo




Um pouco de histria


Fator de Escala = R(t)

Distncia Prpria = R(t) distncia co-mvel (ser definida mais adiante)

R(t) aumentou por um fator 2


I Introduo




Um pouco de histria


O que ele provavelmente quis dizer que no havia necessidade de introduzir a constante cosmolgica, j que a TRG naturalmente fornecia Universo em expanso

Einstein, Hubble, e Walter Adams em Monte Wilson (1931)


I Introduo




Um pouco de histria


George Lemaitre

Em 1927 desenvolveu, de forma independente, modeloscosmolgicos do tipo-Friedmann. Em 1933 ele fez o filme rodarpara trs obtendo um estado primordial quente e denso para o Universo que ele batizou de ovo csmico. Esta primeira previsosobre o Big-Bang foi completamente ignorada

Alexander Friedmann

Em 1922 desenvolveu um modelo cosmolgico para Universo emexpanso baseado na TRG. Esse modelo no foi levado muito a srio, j que a expanso do Universo no tinha ainda sidoestabelecida

Os Modelos de Friedmann e Lemaitre


I Introduo




Um pouco de histria


Desenvolvimento da Cosmologia Relativstica

E. Milne em 1933 desenvolveu modelos cosmolgicos baseados na relatividade especial

A.S. Eddington promoveu e desenvolveu modelos relativsticos. Iniciou a interface da cosmologia com a teoria quntica

H. Robertson e G. Walker desenvolveram uma slida base matemtica para a cosmologia relativstica e a mais famosa mtrica cosmolgica


I Introduo




Um pouco de histria


Descoberta da Matria Escura

Fritz Zwicky (1933): Aplica o chamado teorema virial para o aglomerado de Coma, deduzindo que ele contem 400 vezes maismatria que a observada em estrelas

Sinclair Smith em 1936 obtm resultado semelhante para o aglomerado de Virgo

Esse resultado foi deixado de lado at 1970 quando observaesdas curvas de rotao de galxias mostraram a existncia damatria escura (DM) de forma no ambgua

DM toma o papel principal nos modelos cosmolgicos que estudam a formao dasestruturas do Universo

A natureza da DM agora uma das questes consideradas fundamentais da fsica (e cosmologia) atual


I Introduo




Um pouco de histria


Programa Palomar, 1950s 1970s

Cosmologia como uma pesquisa de 2 nmeros [H0 e q0]

Diagrama de Hubble dos aglomerados mais brilhantes foi usada como ferramenta principal

ApJ, 1961


I Introduo




Um pouco de histria


Cosmologia Observacional: 1970s 1980s

Introduo de novas tcnicas instrumentais, e.g., CCDs tm papel fundamental no avano da compreenso do Universo

Testes clssicos como o diagrama de Hubble continuavam no conclusivos para a definio do modelo cosmolgico

Contudo, vrios outros avanos foram obtidos


I Introduo




Um pouco de histria


Cosmologia do Estado Estacionrio (1948)

Proposta como uma alternativa ao Big-Bang

Baseada no Principio Cosmolgico Perfeito: O Universo homogneo no tempo e no espao

Isso significa que nova matria deve ser criada a medida que o Universo expande


I Introduo




Um pouco de histria


Prevendo a Nucleossntese Csmica e a CMBR

Gamow em 1948 tambm rodou o filme ao contrrio obtendo a nucleossntese primordial no Universo Teoria "$(

Tambm previram que a fase de expanso quente do Universo seria observada hoje como um fundo trmico com T ~ 5 K


I Introduo




Um pouco de histria


No existe ncleo estvel com massa-5. Combinando He e trtio para produzir Li exige vencer a repulso Coulombiana. Dessa forma, quase todos os nutrons livres do Universo na poca da nucleossntese so incorporados em He

Outro gap em massa-8 faz com que a nucleossntese primordial termine no Li com algum trao de Be sendo produzido


I Introduo




Um pouco de histria


Descoberta da CMBR: Evidncia Direta do Big-Bang

Arno Penzias & Robert Wilson (1965)

Prmio Nobel de Fsica de 1978


I Introduo




Um pouco de histria


Espectro da CMBR: Corpo Negro Perfeito


I Introduo




Um pouco de histria


Por exemplo:

Aplicando a Lei de Wien ao espectro de corpo negro do slide anterior temos:

fmax = 160 GHz ou 8max . fmax = 0,5684c 8max = 1,07 10-3 m

Da Lei de Wien:

KT

KmT

72,21007,1

10898,2

.10898,2

3

3

3

max

=

=

=


I Introduo




Um pouco de histria


Nucleossntese Prediz as Corretas Abundncias para os Elementos Leves


I Introduo




Um pouco de histria


Descoberta dos Quasares (1963)

Cyril Hazard

Estudo da emisso

em rdio

Maarten Schmidt

Determinou o espectroe o redshift (distncia)

Allan SandageFez a identificao ptica


I Introduo




Um pouco de histria



I Introduo




Um pouco de histria


Descoberta da Estrutura em Grande Escala

O Universo era considerado homogneo em escalas galcticas at...

1930s: H. Shapley, F. Zwicky, e colaboradores

1950s: Donald Shane, Carl Wirtanen, e outros

1950s 1970s: Gerard de Vaucouleurs com os primeiros redshiftssurveys

1970s 1980s: CfA, Arecibo, e outros redshifts surveys


I Introduo




Um pouco de histria


.... e hoje


I Introduo




Um pouco de histria


Desenvolvimento de Modelos Tericos de Galxias e Formao de Estruturas: 1970s 1990s


I Introduo




Um pouco de histria


Simulaes Numricas de Formao de Estruturas e Formao Galctica: 1970s 2000s

Simulao de formao de estruturas num cubo csmico por Andrew Kratsov


I Introduo




Um pouco de histria


..... e o estado da arte ...............


I Introduo




Um pouco de histria


Inflao: Idia Terica Chave em Cosmologia

Alan Guth (1980); percursores: D. Kazanas, A. Starobinsky

Explica um nmero de problemas fundamentais em cosmologia: planura, horizonte, origem das estruturas, ausncia de defeitos topolgicos..........

Inflao catica: Andrei Linde o nosso Universo apenas uma bolha contida numa estrutura bem maior?


I Introduo




Um pouco de histria


Cosmologia de Preciso a partir da CMBR


I Introduo




Um pouco de histria


Simulao da Histria Csmica Primitiva a partir do WMAP


I Introduo




Um pouco de histria


John C. MatherGeorge F. Smoot

Prmio Nobel de Fsica de 2006


I Introduo




Um pouco de histria


1o pico: Curvatura espacial do Universo + Matria

2o pico: Matria barinica

3o pico: Matria escura


I Introduo




Um pouco de histria



I Introduo




Um pouco de histria


E Qual a Melhor Composio para o Universo?

Essa composio consistente com diversas observaes (incluindo SNIa e CMBR)

A natureza da matria escura e da energia escura esto entre as principais questes em aberto da cosmologia atual


I Introduo




Um pouco de histria


Fator de escala do

Universo em relao

ao presente

Supernovas Ia Reforando a Necessidade da Energia Escura


I Introduo




Um pouco de histria


Supernovas Ia ocorrem quando uma an branca em um sistema binrio acretamassa e ultrapassa o limite de 1,44 M

Rompendo esse limite a estrela perde a condio de equilibrio gravitacional e explode

Esse limite muito bem estabelecido. Assim a luminosidade do evento praticamente constante Funciona como indicador de distncia cosmolgica


I Introduo




Um pouco de histria



I Introduo




Um pouco de histria


SNIa


I Introduo




Um pouco de histria


Parte II Geometria Global e Dinmica do Universo

AAAAAAA


A mtrica de Robertson-Walker

Equao de Friedmann


Pontos chave da Cosmologia


I Introduo



Mtrica de Robertson-Walker

Equao de Friedmann



O Princpio Cosmolgico

Cosmologia relativstica usa algumas consideraes de simetria ou princpios para tornar o problema de compreender o Universo vivel

O Princpio Cosmolgico diz que:

Em qualquer poca, o Universo o mesmo em todas as localizaes e em todas as direes, exceto para pequenas irregularidades locais

Dessa forma, globalmente o Universo considerado ser homogneo (uniforme)e isotrpico (o mesmo em todas as direes) em todas as pocas; e sua dinmica deveria ser a mesma em todos os lugares

Observao: O Princpio Cosmolgico Perfeito considera que o Universo aparenta ser o mesmo em todos os tempos isto , homogneo no tempo esta a base da Teoria do Estado Estacionrio


I Introduo




Equao de Friedmann



Homogeneidade e Isotropia

Homogneo mas no Isotrpico Isotrpico em mas no Homogneo


I Introduo




Equao de Friedmann



Homogneo e Isotrpico No Homogneo e no Isotrpico


I Introduo




Equao de Friedmann



Qual a Geometria Global do Universo?

Isso vai depender da quantidade total de matria e energia no Universo

Matria e energia iro determinar a dinmica global e a evoluo do Universo

Parmetro importante: parmetro de densidade 0 (onde o subndice 0 refere-se ao valor atual desse parmetro

0 > 1 k > 0

0 < 1 k < 0

0 = 1 k = 0


I Introduo




Equao de Friedmann



Mtrica: Quantificando a Geometria

A geometria do espao completamente especificada pela mtrica g Uma mtrica relativstica especial (Euclidiano) a mtrica de Minkowski:

Uma mtrica geral (TRG) descrevendo um Universo homogneo e isotrpico amtrica de Robertson-Walker:


I Introduo




Equao de Friedmann



Coordenadas Co-Mveis

Coordenadas co-mveis so as coordenadas r, , da mtrica de Robertson-Walker.

Se a expanso do Universo perfeitamente homognea e isotrpica, ento as coordenadas co-mveis de qualquer ponto permanecem constantes no tempo

Um observador co-mvel ir perceber o Universo sempre homogneo e isotrpico ao seu redor

As coordenadas co-mveis nos dizem onde um dado evento ocorreu

Num Universo em expanso a quantidade R(t) presente na mtrica de Robertson-Walker que explica como coordenadas co-mveis (constantes) se reconciliam com distncias que crescem com o tempo


I Introduo




Equao de Friedmann



Quantificando a Cinemtica do Universo

O fator de escala, normalmente representado como R(t) ou a(t): representa a distncia espacial entre dois quaisquer referenciais que se movem com suas coordenadas co-mveis

Isso completamente descreve a evoluo de um Universo homogneo e isotrpico

Calculando R(t) e suas derivadas possvel obter os modelos cosmolgicos. Isso feito resolvendo as Equaes de Friedmann


I Introduo




Equao de Friedmann



Redshift Cosmolgico

Analogia com um balo em expanso. Galxias afastam-se mantendo suas dimenses, mas os ftons em movimento so deslocados para o vermelho


I Introduo




Equao de Friedmann



Propagao da Luz e Redshift Cosmolgico

Nossa viso do Universo depende da forma como a luz propaga atravs do espao curvo. Para entender isso, ns temos que considerar os caminhos definidos por geodsicas nulas

Considere um observador situado em r = 0. Considere raios de luz radiais propagando em direo do observador. Como ds = 0 temos:

c


I Introduo




Equao de Friedmann



Integrando a ltima equao, e supondo que o raio de luz emitido em t1 na

distncia r1 e recebido hoje (r = 0) em t0:

c


I Introduo




Equao de Friedmann



Considerando agora que as cristas da onda foram emitidas em t1 e t1 + t1 e foram recebidas pelo observador entre os tempos t0 e t0 + t0 vem:

=+ 1

0 2/12

11

1 )1()(

rtt

t kr

dr

tR

cdt

Considerando que R(t) no varie para pequenos intervalos do tipo t0 e t1ento temos:

)()(

0)()(

1

1

0

0

11

1

00

0

tR

cdt

tR

cdt

tR

cdt

tR

cdt tt

t

tt

t

=

= ++


I Introduo




Equao de Friedmann



Veja que ct0 o comprimento de onda que o observador recebe

Dessa forma, um Universo em expanso ter um redshift dado por:

Derivando a Equao de Friedmann

Ns podemos obter a evoluo de R(t) usando mecnica Newtoniana, desde que aceitemos dois resultados da Relatividade Geral:

1) Teorema de Birkhoff: Para um sistema esfericamente simtrico, a fora devido a gravidade num raio r determinada apenas pela massa que estiver contida naquele raio

2) Energia contribui para a densidade de massa gravitante. Assim:

Densidade de matria

Densidade de energia (erg cm-3) da radiao a das partculas relativsticas


I Introduo




Equao de Friedmann



Considere uma partcula teste com massa m sobre a superfcie de uma esfera, de massa M (constante) e raio R, expandindo. Sua equao de movimento :

Como a densidade proporcional a R-3 temos, definindo agora com o subndice 0 e R0 = 1 (lembre que a massa M constante):

RGR

GMR

tR

GMmF

===

3

4

)( 2

..

2

Esse resultado colocado na equao de movimento fornece:


I Introduo




Equao de Friedmann



Note que se 0 no nulo, o Universo deve estar expandindo ou contraindo. Ele no pode ser esttico

Como ns podemos integrar essa equao?

Multiplique ambos lados pela derivada de R para dar:

E lembrando que:


I Introduo




Equao de Friedmann



Teremos:

Lembre tambm que:


I Introduo




Equao de Friedmann



De forma que teremos:

Trocando 0 com e dividindo por R 2 vem:


I Introduo




Equao de Friedmann



Significado dessa equao (reveja o slide 75):

Se k = 0, ento a derivada de R sempre positiva, e a expanso contnuamas desacelerando lentamente com o tempo. Isso chamado Universo plano ou criticamente ligado

Se k > 0, ento a derivada de R inicialmente positiva mas ir atingir um ponto onde inverter o sinal. Nesse momento a expanso para e o Universo contrai. Isso chamado de Universo fechado

Se k < 0, ento a derivada de R sempre positiva e nunca vai a zero. A expanso sempre continuar. Isso chamado de Universo aberto


I Introduo




Equao de Friedmann



Uma derivao mais completa, incluindo o termo chamado constante cosmolgica, fornece (abaixo usou-se c = 1):

A equao de Friedmann a equao de movimento para um Universo homogneo, isotrpico e relativstico.

Para derivar modelos cosmolgicos a partir dessa equao, ns devemos especificar a equao de estado do fluido csmico que preenche o Universo


I Introduo




Equao de Friedmann



Parmetros Cosmolgicos

Modelos cosmolgicos so definidos atravs de diversos parmetros chaves:

1) Parmetro de Hubble: Fornece a taxa de expanso normalizada:

Note que o parmetro de Hubble no constante

A constante de Hubble o parmetro de Hubble medido hoje. Seu valor chamdo de H0


I Introduo




Equao de Friedmann



2) Parmetro de Densidade da Matria: Re-escrevendo a equao de Friedmann usando o parmetro de Hubble e sem constante cosmolgica temos:

O Universo plano se k = 0, ou seja ele tem uma densidade crtica dada por:

Ns definimos o parmetro de densidade da matria como:


I Introduo




Equao de Friedmann



329

2248

25

10)10086,3(1067,68

)102,73(3

cmg

3) Parmetro de Densidade da Energia Escura: Ns podemos expressar um parmetro similar para usando a equao de Friedmann e tomando = 0


I Introduo




Equao de Friedmann



=

=

critG

c

8

2

Parmetro de Hubble: H 2

Os parmetros de densidade podem ser escritos como:

Onde: m densidade de matria (escura+barinica), r densidade de

radiao, densidade da energia escura, k densidade de curvatura, < a

densidade de neutrinos, og densidade em ondas gravitacionais......


I Introduo




Equao de Friedmann



4) Parmetro de Desacelerao (q): definido como:

1....... =++++++ ogkrm

Vnculo ObservacionalR

RqH

&

&&

=2

Resolvendo a Equao de Friedmann

Ns precisamos definir o comportamento da densidade de massa/energia dos componentes do Universo. Isso feito atravs da equao de estado, que relaciona presso e densidade


I Introduo




Equao de Friedmann



O Parmetro w da Equao de Estado

Freqentemente esse parmetro chamado, ele mesmo, de equao de estado

Valores particulares:

w = 0 significa p = 0 , e.g., matria no relativstica

w = 1/3 para matria relativstica ou radiao

w = -1 componentes do tipo constante cosmolgica

Essa forma de parametrizar as densidades de matria/energia implica em tratar os componentes do Universo como fluidos


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Equao de Friedmann



Equaes de Estado

As mais simples que ns podemos considerar so:

Matria, poeira, galxias

Radiao

Constante Cosmolgica

Na prtica, o Universo contm uma mistura desses componentes

Cada um deles ir levar a diferentes evoluo em redshift, que leva para o seguinte resultado do TRG:

Densidade determina a expanso

Expanso altera a densidade


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Equao de Friedmann



Usando a Equao de Estado

Como as densidades de matria/energia mudam a medida que o Universo expande?

Comece com os trs casos que ns apresentamos:

Coloque-as numa equao de fluido:

Equao para um fluido


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Equao de Friedmann




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Equao de Friedmann



Evoluo da Densidade

O slide anterior mostra que:

Domnio da Matria (w = 0):

Domnio da Radiao (w = 1/3):

Constante Cosmolgica ( w = -1):

Energia Escura com w < -1 , e.g., w = -2:

- A densidade de energia aumenta com a expanso!

- Eventualmente em alguma poca ir dominar sobre as energias quemantm tomos coesos Big-Rip

No Universo, diferentes componentes iro dominar a dinmica em diferentes pocas

Em princpio, w pode ser uma funo do tempo, densidade, .......


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Equao de Friedmann



Modelos Especficos

Considere alguns simples modelos:

k = 0 , dominado por matria, modelo de Einstein de Sitter

k = 0 , dominado por radiao

k < 0 , > 0

k > 0

domina a dinmica


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Equao de Friedmann



K = 0 dominado por matria Einstein de Sitter

Equao de Friedmann com k = 0:


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Equao de Friedmann



K = 0 dominado por radiao


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Equao de Friedmann



K < 0 , = 0 Modelo de Milne


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Equao de Friedmann



K < 0 , > 0


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Equao de Friedmann



Modelos Dominados por Matria

Raio do Universo


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Equao de Friedmann



Universo Dominado por


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Equao de Friedmann



22

0

2

2

22

3

8

kcaCa

a

kcG

a

a

=

=

&

&

Considerando que a cresce com o tempo, ento eventualmente C0 a2 ir dominar sobre o termo kc2 :

Como > 0 ento o Universo ir expandir para sempre

Quando Cada Componente Domina?

Densidade da radiao decresce mais rpido com o tempo. Deve portanto crescer rpido se retrocedermos o tempo domina o Universo primitivo

Aps o domnio da radiao vem a matria e por ltimo a energia escura

Domnio da matria:

Domnio da Radiao:

Energia Escura:

DarkEn

ergy


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Equao de Friedmann



Distncia de Luminosidade

A alguns slides atrs vimos que a partir da mtrica de Robertson-Walker pode ser obtida a equao:

c

Escolhendo um dado modelo cosmolgico, ns temos a expresso para o fator de escala a(t) [ou R(t)]. Substituindo na equao acima e integrando ns temos a chamada distncia prpria (dp)

A m notcia que em geral a integral acima no analtica e portanto deve ser resolvida numericamente

Contudo para os seguintes casos especiais, temos:


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Equao de Friedmann



Universo com = 0:

Universo com 0:

A equao acima considera k < 0. Se k > 0 ento a funo sinh deve ser

trocada pela funo sin. Se k = 0 ento a funo sinh e k so removidos da

equao e a nica coisa a fazer resolver a integral acima numericamente


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Equao de Friedmann



A distncia prpria nos da informao da separao radial entre os objetos astrofsicos. ela quem aparece na expresso da lei de Hubble

Contudo, ela nada nos diz sobre a luminosidade do objeto que produziu a luz (radiao) que observamos. Quem relaciona fluxo observado com a luminosidade do objeto que produziu a radiao a distncia de luminosidade (DL), onde:

24 LD

LF

=

A distncia de luminosidade ento definida de forma que:

222 )1( zdD pL +=


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Equao de Friedmann



Um dos fatores (1+z) da

equao anterior vem da

perda de energia dos ftons

devido a expanso do

Universo. O segundo fator

vem da dilatao temporal

entre a taxa de emisso e a

taxa de observao dos

ftons


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Equao de Friedmann



Interaes Fsicas no Universo Primordial

Quando nos aproximamos do Big-Bang (t 0 e T ), o

Universo experimenta diferentes

regimes fsicos onde dominam

diferentes interaes

fundamentais. Sua intensidade

funo da energia

Em suficientemente altas

energias elas se tornam

unificadas


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Equao de Friedmann



Cenrio Inflacionrio

Resolve 3 principais problemas da cosmologia baseada no Big-Bang:

1) O problema da planura: Por qu hoje o Universo visto ser plano?

2) O problema do horizonte: Porque a CMBR to uniforme?

3) O problema dos monoplos: Os monoplos so defeitos topolgicos do

tipo ponto que surgem durante a transio de fase que desacopla as foras

forte e eletrofraca. A GUTs prevem um grande nmero de monoplos, cuja

densidade de massa teria produzido um Big Crunch do Universo muito

tempo atrs. Onde esto os monoplos magnticos previstos pelas Teorias de

Grande Unificao (GUTs)?


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Resolvendo o Problema da Planura

A medida que o Universo infla, os efeitos de curvatura local tornam-se

desprezveis em comparao com imenso incremento global do seu raio: O Universo

torna-se localmente plano (que a regio que ns observamos hoje)


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Equao de Friedmann



Resolvendo o Problema do Horizonte

O raio de Hubble no desacoplamento sub-entende um ngulo de 2o . Contudo a CMBR

mostra que duas regies com separao maior

que 20 tm a mesma temperatura (isto , T/T

< 10-6). Como essas regies estiveram

causalmente ligadas?

Resposta: Antes da inflao comear essas

regies estavam conectadas. A inflao as afasta

por um raio maior do que o de Hubble

A expanso inflacionria superluminal: O

espao pode expandir mais rpido que c


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Equao de Friedmann




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Equao de Friedmann



Quem Gerou a Inflao?

Se existe uma Teoria de Tudo (TOE em ingls) que unifica as 4 foras, ela ir quebrar espontaneamente no tempo de Planck (t ~ 10-43 seg) na gravitao e na

verso unificada eletrofraca + forte Teoria de Grande Unificao (GUT)

A GUT ir permanecer at T ~ 1028 K, ou t ~ 10-34 seg. Neste ponto o Universo entra

no perodo de falso vcuo: o nvel de energia maior do que o estado fundamental

Quebrar simetrias em GUT est associado ao bson de Higgs , isto quanta de um

campo escalar que tem um potencial associado que permite descrever a energia do

campo

O falso vcuo metaestvel, com sua energia de vcuo agindo como uma presso

negativa que faz o Universo expandir exponencialmente com o tempo a medida que o

campo escalar faz a rolagem do potencial


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Equao de Friedmann



Para isso, necessrio um potencial U com um largo plat aproximadamente

plano. Este o falso vcuo

Inflao ocorre quando move em

direo ao mnimo de U o verdadeiro

vcuo

Decaimento do campo , chamado

Inflaton, reaquece o Universo produzindo

ftons, quarks, etc. Todo contedo de

matria/energia do Universo criado

nesse processo

Isso equivalente ao calor latente de

uma transio de fase


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Equao de Friedmann



Lembre que a densidade de energia do vcuo fsico descrita pela constante

cosmolgica. Se este o termo que domina a densidade de energia, na equao

de Friedmann, ento:

A soluo :

Nos modelos onde a transio de fase da GUT impele a inflao, o fator de

expanso lquido do fator de escala :


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Equao de Friedmann



A Linha de Tempo Csmica

Fsica razoavelmente compreendida

A fronteira observacional atual

Fsica razoavelmente bem compreendida

Fsica altamente especulativa


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A Era de Planck

Na era de Planck a gravidade deve ser unificada com as demais interaes.

Assim, faz-se necessria a construo de uma Teoria Quntica de Gravitao

Teorias, ainda, altamente especulativas incluem:

Teoria M: partculas so excitaes sobre membranas em alta dimenso (D-

Branas).

Teoria de Cordas: partculas so diferentes vibraes de um tipo de corda

Cosmologia Equipirtica, etc...

Qual o futuro da fsica fundamental?


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Equao de Friedmann



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