Fundamentos de Cosmologia:pequena reviso de Relatividade Geral

Carlos Alexandre Wuensche

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RESUMO

A Teoria da Relatividade Geral foi publicada por Einstein em 1916, dez anos aps a publicao da Relatividade Restrita. Nesta teoria Einstein estende a descrio dos fenmenos fsicos para sistemas no inerciais (ou seja, acelerados). O Princpio de Equivalncia postula que impossvel distinguirmos sistemas uniformemente acelerados de campos gravitacionais. As duas conseqncias fundamentais deste princpio so o desvio da luz por campos gravitacionais e o deslocamento da freqncia (e consequentemente mudana da energia) de ftons em campos gravitacionais. Ambas previses foram confirmadas experimentalmente inmeras vezes. Outro resultado importante da relatividade geral foi a explicao da precesso do perillio de Mercrio.

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RESUMO

Ao incluir campos gravitacionais, a relatividade geral tornou-se uma teoria de gravitao, aperfeioando a gravitao newtoniana que existia h 300 anos. A relatividade geral descreve o movimento de objetos, no em termos da ao de foras, como na mecnica clssica, mas em termos de trajetrias descritas sobre a superfcie do espao-tempo. A geometria do espao-tempo determinada pela distribuio de massas no Universo. Ou seja, o espao e o tempo no so estruturas absolutas e estticas como na teoria newtoniana, mas objetos fsicos em si, gerados pela matria do Universo.

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RESUMO

Acredita-se que o Universo foi criado h cerca de 15 bilhes de anos atrs. Esta exploso, conhecida como o Big Bang gerou no s a matria do Universo, mas tambm o espao-tempo. Nos dias de hoje uma das principais evidncias de que tal exploso ocorreu a chamada radiao csmica de fundo do Universo, a radiao que restou do Big Bang. O destino do Universo depender da massa total que nele existe. Se esta for grande o suficiente, a atrao gravitacional acabar por frear a expanso causada pelo Big Bang, e o Universo iniciar uma contrao at o Grande Colapso. Caso contrrio, ele expandir para sempre.

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HistricoToda grande teoria cientfica tem um carter distintivo especial.

Mecnica Newtoniana: todos os movimentos no retilneos obedecem lei do inverso do quadrado da distncia

Eletromagnetismo: relao entre eletricidade e magnetismo e a demonstrao que a luz uma onda EM

Relatividade Especial: a constncia da velocidade da luz no privilegia nenhum referencial.

Mecnica Quntica: o princpio da incerteza e a dualidade partcula-onda a distinguem da fsica macroscpica

Gravitao: no pode ser anulada em nenhum ponto do Universo que tenha massa e possui uma relao intrnseca com o espao-tempo

Termodinmica: descrio das propriedades da radiao e matria em termos de quantidades macroscpicas observveis.

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Relatividade Geral

Relatividade Restrita

Mecnica Newtoniana

Mecnica Quntica

Massas pequenas

Velocidades pequenas

Dimenses grandes

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A Teoria da Relatividade Especial

Originada do estudo da eletrodinmica dos corpos em movimento.Percepes bsicas de A. Einstein

No existe o ter (Michelson & Morley)Simetria das eqs. de movimento (transformaes de Lorentz)Leis fsicas devem ser as mesmas para todos os observadores

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Postulados da Teoria da Relatividade Especial

A velocidade da luz constante, vale 3x1010 cm/s em qualquer referencial e independente dos movimentos da fonte e do observador.

As leis da Fsica so as mesmas para todos os observadores inerciais no Universo (Princpio da Relatividade).

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As transformaes de Galileu e de Lorentz

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O paradoxo dos gmeos

O movimento relativo dos gmeos no deveria permitir o envelhecimento de um deles em particular, j que, para cada um, parece que o outro se afasta com velocidade v.A soluo: o movimento relativo no simtrico, uma vez que o gmeo no foguete sofre aceleraes, o que no acontece com o gmeo na Terra.

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Da TRE TRG

As idias fundamentaisO princpio da equivalncia: o campo gravitacional e o sistema de coordenadas em movimento acelerado esto estritamente relacionados.Geometria: transformaes de coordenadas so no-Euclidianas.A TRG uma teoria relativstica de gravitao.

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Postulados da Teoria da Relatividade Geral

Princpio da Relatividade: a relatividade especial governa a fsica local. A estrutura global do espao-tempo, entretanto, pode ser alterada pela gravitao.Princpio da equivalncia: no existe forma de distinguir, localmente, entre gravidade e acelerao.

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Como a gravitao pode ser uma fora do tipo inverso-do-quadrado, quando a distncia

entre dois objetos nem pode ser definida na Relatividade Especial de Einstein?

A Relatividade Especial foi construda para satisfazer as eqs. de Maxwell, que substituiam a expresso para a fora eletrosttica ( 1/r2) por um conjunto de eqs. que descrevem o campo eletromagntico.Assim, a gravitao ficou sendo a nica fora do tipo inverso-do-quadrado que se comportava como ao distncia. A gravitao possui uma propriedade nica: sua acelerao num determinado lugar e tempo independe da natureza do corpo em que ela atua.

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Fora eletromagntica

Fora gravitacional

A fora gravitacional acelera todos os corpos igualmente. Newton j conhecia esta propriedadeEotvos - 1 parte em 100 milhesDicke e Braginsky - 1 parte em um trilhoSTEP (misso espacial) prope testar a igualdade entre as aceleraes em 1 parte por quintilho.

Em conseqncia, para qualquer evento no espao-tempo, em qualquer direo, haver somente uma linha de mundo correspondente a um evento causado somente pela fora gravitacional.

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Suponha que um raio de luz entra por uma janela de um elevador que est se movendo, de maneira acelerada, para cima...

Luz

A luz atinge a outra parede, num ponto inferior ao que ela entrou. Se algum v a luz dentro do elevador, vai parecer que ela fez uma curva.

Acelerao

Acelerao

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Suponha que um raio de luz movendo-se horizontalmente entra por uma janela numa sala sujeita a um forte campo gravitacional....

Luz

A luz atinge a outra parede, num ponto inferior ao que ela entrou.

X

Gravidade Gravidade

tan ~ ~ g l 2c2

Para ngulos muito pequenos.

gl22c2

l

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Problemas no conceito de massa?

Massa inercial -> aceleraoX

Massa gravitacional -> acelerao gravitacional

No h como distinguir entre os efeitos da acelerao e da gravidade. O objetivo da TRG encontrar transformaes entre sistemas de referncia acelerados, que levem em conta a influncia da distribuio de matria gravitacional no Universo .

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O princpio da equivalncia

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O princpio da equivalncia fracoBalana de toroExperimentos de queda livreTeste de distncia lunar com laser Os efeitos da gravitao

podem ser representados, localmente e durante pequenos t, usando-se sistemas de referncia acelerados de forma adequada.

=a1-a2/2.

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O princpio da equivalncia forte

O princpio forte afirma que qualquer interao fsica (exceto a gravitao, identificada com a geometria) se comporta, num sistema inercial local, como se a gravitao estivesse ausente.

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Geometria no-EuclidianaDe uma forma simplificada, podemos dizer que so geometrias definidas em espaos no planos. Invariante geomtrico: a distncia prpria, dada por ds2 = dt2 dx2 dy2 dz2. De forma mais geral,

define o que chamamos de espao-tempo.i e k so sobrescritos do vetor x na expresso acima porque, numa anlise formal de espaos quadri- dimensionais, devemos fazer a distino entre quantidades co e contravariantes.

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Construindo uma mtricaVamos considerar uma superfcie plana, com coordenadas cartesianas x, y. Se consideramos dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), a distncia s entre A e B dada por:

s um invariante. Se mudarmos o sistema de coordenadas, s deve ser o mesmo!Se trocamos o sistema de coordenadas para x=x(x1,x2) e y=y(y1,y2) e reescrevemos a distncia nesse novo sistema, teremos o mesmo

s2 = x2 +y2

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Se x e y forem pequenos, podemos escrever:

E a distncia entre A e B, no novo sistema de coordenadas, ser:

Em geral, a distncia prxima entre dois pontos sobre uma superfcie pode ser escrita como:

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em que

As expresses do tipo

so chamadas de mtricas es quantidades g so o tensor mtrico. No caso de coordenadas polares, teramos, supomos x1 = r e x2 =

Sabemos que:

Logo,

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Espao-tempo e geometria

Mtrica de Friedmann-Robertson-Walker.

ds2 = dt2 a(t)2[ dr2

1 r2 + r2d2 + r2sen2d2]

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Espao-tempo e geometria

Curvatura espacial

positiva: k = +1

Curvatura espacial

nula: k = 0

Curvatura espacial

negativa k = -127

Uma deduo informal da eq. de Einstein

Objetivo principal da TRG incorporar a influncia da distribuio de massa-energia sobre o espao-tempo nos coeficientes da mtrica gLocalmente, RW Minkowski!Assim, o ponto de partida natural para o desenvolvimento de transformaes gerais entre espaos 4-D arbitrrios a mtrica de Riemann

Variam ponto-a-ponto no espao-tempo e definem a curvatura local!

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Assim, podemos fazer uma analogia entre g e o potencial gravitacional local (curvatura define propriedades do campo gravitacional!)Usando uma mtrica genrica, mas adequada (Schwarzschild), e comparando termos, obtemos:

ds2 = dt2(1 2Gmrc2

) 1c2

[dr2

(1 2Gmrc2 )+ r2(d2 + r2sen2d2)]

g00

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Assim, podemos fazer uma analogia entre g e o potencial gravitacional local (curvatura define propriedades do campo gravitacional!)Usando uma mtrica genrica, mas adequada (Schwarzschild), e comparando termos, obtemos:

ds2 = dt2(1 2Gmrc2

) 1c2

[dr2

(1 2Gmrc2 )+ r2(d2 + r2sen2d2)]

g00

2 = 4piG c2

22g00 = 4piGT00

Se compararmos a eq. de Poisson para a gravitao...

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Assim, podemos fazer uma analogia entre g e o potencial gravitacional local (curvatura define propriedades do campo gravitacional!)Usando uma mtrica genrica, mas adequada (Schwarzschild), e comparando termos, obtemos:

ds2 = dt2(1 2Gmrc2

) 1c2

[dr2

(1 2Gmrc2 )+ r2(d2 + r2sen2d2)]

g00

2 = 4piG c2

22g00 = 4piGT00

Se compararmos a eq. de Poisson para a gravitao...

2g00 = 8piGc2

T00

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R = gR

Embora isso no seja uma deduo formal, possvel ver a relao entre as derivadas de g e o tensor TComplicao: diferenciao parcial de tensores nem sempre produz outros tensores....Para estabelecer uma relao formal entre g e o tensor T, necessrio um tensor que envolva g, suas 1a. e 2a. derivadas e que seja linear na 2a. derivada! Somente o tensor de Riemann-Christofell (4a. ordem) atende essas exigncias.

RR = R Tensor de Ricci

Escalar de curvatura30

R 12gR+ g =8piGc2

T

Proposta de Einstein: ligar o tensor de Ricci e o escalar de curvatura ao tensor energia-momento de acordo com a equao

A adio de uma constante equao acia foi feita para garantir um Universo esttico e a origem da constante cosmolgica:

R 12gR =8piGc2

T

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A TRG como teoria de gravitao

A idia bsica da TRG que a presena de matria encurva o espao-tempo.

Tensor de Einstein: descreve a curvatura do espao-tempo em

cada ponto do Universo

Tensor Momento-Energia: define a composio da matria e energia do

Universo causadora da curvatura do espao-

tempo.

Tensor de Riemann: descreve a mudana

de direo de um vetor que se move ao longo de uma curva

fechada. 32

(a

a)2 =

8piG3

2

a2+3

Equaes de Einstein-Friedmann

Termo cintico, em que R o fator de

expanso do Universo (equivalente energia

cintica.

Termo de fontes, descreve os

causadores da mudana dinmica do

Universo (equivalente

energia potencial gravitacional).

- densidade de matria - curvatura- constante cosmolgicaG constante gravitacionalR fator de escala

As equaes da gravitao

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aa= 4piG

3(+

3pc2) +

3

Equaes de Einstein-Friedmann

Termo dinmico, envolve uma acelerao

Termo de fontes, contm implicitamente

a 1a. Lei da Termodinmica.

As equaes da gravitao

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Um mnemnico da TRG

A matria determina como o espao se curva e o espao determina como a matria se move

J.A. Wheeler

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Testes experimentais e observacionais da TRG

O redshift gravitacional

A precesso do perilio de Mercrio

A curvatura da luz

A igualdade das massas inercial e gravitacional

A emisso de ondas gravitacionais

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O redshift gravitacional

A presena de um campo gravitacional forte faz com que ftons se movam mais lentamente em sua proximidade.

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A precesso do perilio de Mercrio

Previso terica (Le Verrier - 1859): 43/sculoResultado da TRG: 42,98(0,001) /sculo

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A curvatura da luz

Previso Newtoniana: = 2GM/RSolc2

Previso TRG: = 4GM/RSolc2

Verificao (Eddington 1919): 1,98(0,012)

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A emisso de ondas gravitacionais

A perda de energia rotacional do pulsar PSR1913+16 somente pode ser explicada atravs da emisso de ondas gravitacionais

-d/dt 5

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Os modelos de Universo...

Considerao fundamental: isotropia e homogeneidade em grandes distncias (> 100 Mpc.h-1).

Espao sem matria: o Universo de Einstein-de Sitter.Modelos sem constante cosmolgica.Modelos com constante cosmolgica (ou equivalente).

Arcabouo matemtico: eqs. de Einstein-FriedmanDistncias estimadas via redshiftEvoluo temporal determinada pelos parmetros cosmolgicos (H0, M, K, ).

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0 0

< 0

0

-1

-1

q

Expande para sempre.0Hiperblico (-1)Aberto

Expande para sempre, densidade possui um valor crtico.0Plano (0)

Einstein-de Sitter

Big Crunch0Esfrico (+1)Fechado

Big Crunch< 0Qualquer Negativo

Expande, repousa, expande.> cEsfrico (+1)Lemaitre

Esttico, H = 0; agora, a gravidade equilibrada por uma fora repulsiva. Pode ser instvel.

= cEsfrico (+1)Einstein

Sem B.B, expanso uniforme.> 0Plano (0)Universo estacionrio

Sem B.B, expanso exponencial, vazio.> 0Plano (0)De Sitter

DestinoGeometriaModelo

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