issn 2237-8316 avalia bh importância dos resultados as avaliações em larga escala realizadas pelo...

AVALIA BHMatemática 3º ciclorevista pedagógiCa

2011

ISSN 2237-8316

Capa: Premiado do Primeiro Concurso de Desenho do Avalia BHCategoria: 3º ciclo - 3º anoAluno: Gabriel Batista Professora: Mariana Dias GoisEscola Municipal Dom Bosco

ISSN 2237-8316

revista pedagógicaMatemática 3º ciclo

AVALIABH2011sisteMa de avaliação da educação fudaMental das escolas

da prefeitura de Belo Horizonte

prefeito Municipal de Belo HorizonteMárcio Araújo Lacerda

secretária Municipal de educação de Belo HorizonteMacaé Maria Evaristo

secretário Municipal adjunto de educaçãoAfonso Celso Renan Barbosa

gerência de avaliação de políticas educacionaisEliani Maria de Brito

Hamilton Edson VianaKelson Damasceno

Robertson Saraiva dos SantosSérgio Eustáquio da Silva

O TRABALHO CONTINUA

A ImpORTâNCIA dOs ResULTAdOs

A esCALA de pROfICIêNCIA

pAdRões de desempeNHO esTUdANTIL

69

7

13

39

8 Os resultados da sua escola

14

16

34

A estrutura da escala de proficiência

domínios e Competências

O papel da avaliação no ensino de matemática

40

48

54

60

67

Abaixo do Básico

Básico

satisfatório

Avançado

Com a palavra, o professor

A importânciA dos resultAdos

as avaliações em larga escala realizadas pelo sis-tema de avaliação da educação fundamental das

escolas da prefeitura de Belo Horizonte (avalia BH), ao oferecer medidas acerca do progresso do sistema de ensino como um todo e, em particular, de cada escola, atendem a dois propósitos principais: o de prestar contas à sociedade sobre a eficácia dos serviços educacionais oferecidos à população, e o de fornecer subsídios para o planejamento das escolas em suas atividades de gestão e de intervenção pedagógica. para as escolas, a oportunidade de receber os seus resultados de forma individualizada tem como finalidade prover subsídios para o planejamento de suas ações de aprendizagem. a revista pedagógica, portanto, foi criada para atender ao objetivo de divulgar os dados gerados pelo avalia BH de maneira que eles possam ser, efetivamente, utilizados como subsídio para as diversas instâncias gestoras, bem como por cada unidade escolar.

nesta revista pedagógica você encontrará os resultados desta escola em Matemática para o 7º, 8º e 9º anos do ensino fundamental. para a interpretação pedagógi-ca desses resultados, a escala de proficiência, com seus domínios e competências, será fundamental. com ela, torna-se possível entender em quais pontos os alunos estão em relação ao desenvolvimento das habilidades consideradas essenciais ao aprendizado da Matemática. como você verá, o detalhamento dos níveis de complexidade das habilidades, apresentado nos domínios e competências da escala, prioriza a descrição do desenvolvimento cognitivo ao longo do processo de escolarização. essas informações são muito importantes para o planejamento dos professores, bem como para as intervenções pedagógicas em sala de aula.

os padrões de desempenho oferecem à escola os sub-sídios necessários para a elaboração de metas coletivas. assim, ao relacionar a descrição das habilidades com o percentual de estudantes em cada padrão, a escola pode elaborar o seu projeto com propostas mais concisas e eficazes, capazes de trazer modificações substanciais para o aprendizado dos estudantes com vistas à pro-moção da equidade.

também são apresentados, nesta revista, alguns arti-gos importantes sobre o ensino de Matemática e de-poimentos de professores que, como você, fazem toda a diferença nas comunidades em que atuam.

7

os resultados desta escola no avalia BH 2011 são apresentados sob seis aspectos, quatro deles estão impressos nesta revista. os outros dois, que se referem aos resultados do percentual de acerto no teste, estão disponíveis no cd (anexo a esta revista) e no portal da avaliação, pelo endereço eletrô-nico www.avaliabh.caedufjf.net.

os resultAdos dA suA escolA

permite que você acompanhe a evolução do percentual de alunos nos padrões de desempenho das avaliações realizadas pelo avalia BH em suas últimas edições.

informa o número estimado de alunos para a realização do teste e quan-tos, efetivamente, participaram da avaliação no seu município, na sua regional e na sua escola.

apresenta a proficiência média desta escola. você pode comparar a proficiência com as médias do seu município e da sua regional. o objetivo é proporcionar uma visão das proficiências médias e posicionar sua escola em relação a essas médias.

resultAdos impressos nestA revistA

1. Proficiência média

2. Participação

3. Evolução do percentual de alunos por padrão de desempenho

8

apresenta a distribuição dos alunos ao longo dos intervalos de proficiência no municipio, na regional e na sua escola. os gráficos permitem que você identifique o percentual de alunos para cada padrão de desempenho. isso será fundamental para planejar intervenções pedagógicas, voltadas à melhoria do processo de ensino e promoção da equidade escolar.

5. Percentual de acerto por descritor 6. Resultados por aluno

Cada aluno pode ter acesso aos seus re-sultados no Avalia BH. Nesse boletim é informado o padrão de desempenho alcan-çado e quais habilidades ele possui desen-volvidas em Matemática para o 7º, 8º e 9º anos do Ensino Fundamental. Essas são informações importantes para o acompa-nhamento, pelo aluno e seus familiares, de seu desempenho escolar.

resultAdos disponíveis no cd e no portAl dA AvAliAção

Apresenta o percentual de acerto no teste para cada uma das habilidades avaliadas. Esses resultados são apresentados por município, regional, escola, turma e aluno.

4. Percentual de alunos por nível de proficiência e padrão de desempenho

11

A escAlA de proficiênciA

uma escala é a expressão da medida de uma grandeza. É uma forma de

apresentar resultados com base em uma espécie de régua em que os va-lores são ordenados e categorizados. para as avaliações em larga escala da educação básica realizadas no Brasil, os resultados dos alunos em Matemá-tica são dispostos em uma escala de proficiência definida pelo sistema na-cional de avaliação da educação Básica (saeB). as escalas do saeB permitem ordenar os resultados de desempenho em um continuum, ou seja, do nível mais baixo ao mais alto. assim, os alunos que alcançaram um nível mais alto da esca-la, por exemplo, mostram que possuem o domínio das habilidades presentes nos níveis anteriores. isso significa que o estudante do último ano do ensino Médio deve, naturalmente, ser capaz de dominar habilidades em um nível mais complexo do que as de um aluno do 5º ano do ensino fundamental.

as escalas apresentam, também, para cada intervalo, as habilidades presentes naquele ponto, o que é muito importan-te para o diagnóstico das habilidades ainda não consolidadas em cada etapa de escolaridade.

a grande vantagem da adoção de uma escala de proficiência é sua capacidade de traduzir as medidas obtidas em diag-nósticos qualitativos do desempenho escolar. com isso, os educadores têm acesso à descrição das habilidades dis-tintivas dos intervalos correspondentes a cada nível e podem atuar com mais precisão na detecção de dificuldades de aprendizagens, bem como planejar e executar ações de correção de rumos.

13

espaço e forma

localizar objetos em representações do espaço. d1 d1 e d2 d2

identificar figuras geométricas e suas propriedades. d4, d5, d6 e d7 d4, d6, d7 e d8 d4, d6, d7 e d8

reconhecer transformações no plano. d10 e d11 d11 d11

aplicar relações e propriedades. d9 d9 e d12 d12 e d13

grandezas e Medidas

utilizar sistemas de medidas. d17 d17 d17

Medir grandezas. d19 e d20 d19, d20 e d21 d19, d20 e d21

estimar e comparar grandezas. * * *

números e operações/

Álgebra e funções

conhecer e utilizar números. d23 e d27 d23 e d27 d23 e d27

realizar e aplicar operações. d31, d34, d35, d36, d38, d40 e d51

d35, d36, d38, d40 e d51

d35, d36, d38, d39, d40 e d51

utilizar procedimentos algébricos. d41 d41, d42, d43, d44, d45 e d46

d41,d42, d43, d44, d45 e d46

tratamento da informação

ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. d49 e d50 d49 e d50 d49 e d50

utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. * d52 d52

Domínios Competências

A estruturA dA escAlA de proficiênciAna primeira coluna da escala são apre-sentados os grandes domínios do co-nhecimento em Matemática para toda a educação básica. esses domínios são agrupamentos de competências que, por sua vez, agregam as habilidades presentes na matriz de referência de Matemática. as colunas seguintes mos-tram a relação entre a escala e a matriz, para cada competência, trazendo os descritores que lhes são relacionados.

as habilidades, representadas por dife-rentes cores, que vão do amarelo-claro ao vermelho, estão dispostas nas várias linhas da escala. essas cores indicam a gradação de complexidade das habili-dades pertinentes a cada competência. assim, por exemplo, a cor amarelo-clara indica o primeiro nível de complexidade da habilidade, passando pelo laranja e indo até o nível mais complexo, repre-sentado pela cor vermelha. a legenda

explicativa das cores informa sobre essa gradação na própria escala.

na primeira linha da escala estão di-vididos todos os intervalos em faixas de 25 pontos, que vão de zero a 500. em tons de verde, estão agrupados os padrões de desempenho definidos pela secretaria Municipal de educação de Belo Horizonte para o 3° ciclo (7º, 8º e 9º anos do ensino fundamental).

*as habilidades envolvidas nessas competências não são avaliadas nesta etapa de escolaridade.

Descritores

7º ano 8º ano 9º ano

14

padrões de desempenho abaixo do Básico Básico satisfatório avançado

espaço e forma

localizar objetos em representações do espaço. d1 d1 e d2 d2

identificar figuras geométricas e suas propriedades. d4, d5, d6 e d7 d4, d6, d7 e d8 d4, d6, d7 e d8

reconhecer transformações no plano. d10 e d11 d11 d11

aplicar relações e propriedades. d9 d9 e d12 d12 e d13

grandezas e Medidas

utilizar sistemas de medidas. d17 d17 d17

Medir grandezas. d19 e d20 d19, d20 e d21 d19, d20 e d21

estimar e comparar grandezas. * * *

números e operações/

Álgebra e funções

conhecer e utilizar números. d23 e d27 d23 e d27 d23 e d27

realizar e aplicar operações. d31, d34, d35, d36, d38, d40 e d51

d35, d36, d38, d40 e d51

d35, d36, d38, d39, d40 e d51

utilizar procedimentos algébricos. d41 d41, d42, d43, d44, d45 e d46

d41,d42, d43, d44, d45 e d46

tratamento da informação

ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. d49 e d50 d49 e d50 d49 e d50

utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. * d52 d52

a gradação das cores indica a complexidade da tarefa.

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

escAlA de proficiênciA

pAdrÕes de desempenHo estudAntil de mAtemÁticA pArA o 3º ciclo

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

7º ano

8º ano

9º ano

15

domínios e competênciAs

espAÇO e fORmA

os domínios da escala de proficiência agrupam as competências básicas ao aprendizado da Matemática para toda a educação básica.

ao relacionar os resultados de sua escola a cada um dos domínios da es-cala de proficiência e aos respectivos intervalos de gradação de complexidade da habilidade, é possível diagnosticar, com grande precisão, dois pontos prin-cipais: o primeiro se refere ao nível de desenvolvimento obtido no teste e o segundo ao que é esperado dos alunos nas etapas de escolaridade em que se encontram. com esses dados é possível implementar ações em nível de sala de aula com vistas ao desenvolvimento das habilidades ainda não consolidadas, o que, certamente, contribuirá para a me-lhoria do processo educativo da escola.

professor, na Matemática, o estudo da geometria é de fundamental importân-cia para que o estudante desenvolva várias habilidades como percepção, representação, abstração, levantamen-to e validação de hipóteses, orientação espacial; além de propiciar o desen-volvimento da criatividade. vivemos num mundo em que, constantemente, necessitamos nos movimentar, localizar objetos, ruas e cidades em mapas, iden-tificar figuras geométricas e suas pro-priedades para solucionar problemas. o estudo deste domínio pode auxiliar a desenvolver, satisfatoriamente, todas essas habilidades, podendo, também, nos ajudar a apreciar, com outro olhar, as formas geométricas presentes na natureza, nas construções e nas dife-rentes manifestações artísticas. estas competências são trabalhadas desde a educação infantil até o ensino Médio, permitindo que, a cada ano de esco-laridade, os estudantes aprofundem e aperfeiçoem o seu conhecimento neste domínio, desenvolvendo, assim, o pensamento geométrico necessário para solucionar problemas.

16

locAlizAr objetos em representAçÕes do espAço

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

um dos objetivos do ensino de espaço e forma em Matemática é propiciar ao estudante o desenvolvimento da competência de localizar objetos em representações planas do espaço. esta competência é desenvolvida desde os anos iniciais do ensino fundamental por meio de tarefas que exigem dos estudantes, por exemplo, desenhar, no papel, o trajeto casa-escola, iden-tificando pontos de referências. para o desenvolvimento desta competência, nos anos iniciais do ensino fundamental, são utilizados vários recursos, como a localização de ruas, pontos turísticos, casas, dentre outros, em mapas e croquis. além disso, o uso do papel quadriculado pode auxiliar o estudante a localizar objetos utilizando as unidades de medidas (cm, mm), em conexão com o domínio de grandezas e Medidas. nos anos finais do ensino fundamental, o papel quadriculado é um importante recurso para que os estudantes localizem pontos utilizando coordenadas.

os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 150 pontos, ainda não desenvolveram as habilidades relacionadas a esta competência.

os estudantes cuja proficiência se encontra no intervalo de 150 a 200 pontos na escala, marcado pelo amarelo-claro, estão no início do desenvolvimento desta competência. esses estudantes são os que descrevem caminhos desenhados em mapas, identificam objeto localizado dentro/fora, na frente/atrás ou em cima/embaixo.

estudantes cuja proficiência se encontra no intervalo amarelo-escuro, 200 a 250 pontos na escala, realizam atividades que envolvem referenciais diferentes da própria posição, como, por exemplo, localizar qual o objeto está situado entre outros dois. também localizam e identificam a movimentação de objetos e pessoas em mapas e croquis.

o laranja-claro, 250 a 300 pontos na escala, indica um novo grau de complexidade desta competência. neste intervalo, os estudantes associam uma trajetória representada em um mapa à sua descrição textual. por exemplo: dada uma trajetória entre duas localidades, no mapa, o estudante verifica qual a descrição textual que representa esse deslocamento e vice-versa.

no intervalo de 300 a 375 pontos, cor laranja-escuro, os estudantes já conseguem realizar atividade de localização utilizando sistema de coordenadas em um plano cartesiano. por exemplo: dado um objeto no plano cartesiano, o estudante identifica o seu par ordenado e vice-versa.

17

identificAr figurAs geométricAs e suAs propriedAdes

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

nesta competência, a denominação de “figuras geométricas” será utilizada de forma geral para se referir tanto às figuras bidimen-sionais como às tridimensionais. em todos os lugares, nós nos deparamos com diferentes formas geométricas – arredondadas, retilíneas, simétricas, assimétricas, cônicas, esféricas, dentre muitas outras. a percepção das formas que estão ao nosso redor é desenvolvida pelas crianças, mesmo antes de entrarem na escola. nos anos iniciais do ensino fundamental, os estudantes come-çam a desenvolver as habilidades de reconhecimento de formas utilizando alguns atributos das figuras planas (um dos elementos que diferencia o quadrado do triângulo é o atributo número de lados) e tridimensionais (conseguem distinguir a forma esférica de outras formas). nas séries finais do ensino fundamental, são trabalhadas as principais propriedades das figuras geométricas.


no intervalo de 125 a 200 pontos, representado pelo amarelo-claro, os estudantes começam a desenvolver a habilidade de associar objetos do cotidiano às suas formas geométricas.

no intervalo de 200 a 250 pontos, representado pelo amarelo-escuro, os estudantes começam a desenvolver a habilidade de identificar quadriláteros e triângulos, utilizando como atributo o número de lados. assim, dado um conjunto de figuras, os estudantes, pela contagem do número de lados, identificam aqueles que são triângulos e os que são quadriláteros. em relação aos sólidos, os estudantes identificam suas propriedades comuns e suas diferenças, utilizando um dos atributos, nesse caso, o número de faces.

estudantes cuja proficiência se encontra entre 250 e 300 pontos identificam algumas características de quadriláteros relativas a lados e ângulos e, também, reconhecem alguns polígonos, como pentágonos, hexágonos, entre outros, considerando, para isso, o número de lados. em relação aos quadriláteros, conseguem identificar as posições dos lados, valendo-se do paralelismo. com relação aos sólidos geo-métricos, esses estudantes identificam os objetos com forma esférica a partir de um conjunto de objetos do cotidiano e reconhecem algumas características dos corpos redondos. a partir das características dos sólidos geométricos, os estudantes discriminam entre poliedros e corpos redondos, bem como identificam a planificação do cubo e do bloco retangular. o laranja-claro indica o desenvolvimento dessas habilidades.

no intervalo laranja-escuro, 300 a 375 pontos na escala, os estudantes reconhecem um quadrado fora de sua posição usual. É muito comum, ao rotacionarmos um quadrado 90 graus, os estudantes não identificarem a figura como sendo um quadrado. nesse caso, os estudantes consideram essa figura como sendo um losango. em relação às figuras tridimensionais, os estudantes identificam alguns ele-mentos dessas figuras como, por exemplo, faces, vértices e bases, além de contarem o número de faces, vértices e arestas dos poliedros. ainda em relação às figuras planas, os estudantes reconhecem alguns elementos da circunferência, como raio, diâmetro e cordas.

os estudantes que apresentam proficiência a partir de 375 pontos já consolidaram as habilidades referentes aos níveis anteriores e, ainda, identificam a quantidade e as formas dos polígonos que constituem um prisma, bem como identificam sólidos geométricos a partir de sua planificação (prismas e corpos redon-dos) e vice-versa. a cor vermelha indica a consolidação das habilidades vinculadas a esta competência.

18

reconHecer trAnsformAçÕes no plAno

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

existem vários tipos de transformações no plano. dentre elas, podemos citar as isometrias que têm como características a preservação de distâncias entre pontos do plano, como translações, rotações e reflexões e as transformações por semelhança que preservam a forma, mas não preservam, necessariamente, o tamanho. as habilidades relacionadas a esta competência dizem respeito às transformações por semelhança e, devido à sua complexidade, começam a ser desenvolvidas em níveis mais altos da escala de proficiência.


estudantes que se encontram entre 325 e 350 pontos na escala, marcado pelo amarelo-claro, começam a desenvolver as habilidades desta competência. esses estudantes são os que resolvem problemas envolvendo escalas e constante de proporcionalidade.

o amarelo-escuro, 350 a 375 pontos, indica que os estudantes com uma proficiência que se encontra neste intervalo já conseguem realizar tarefas mais complexas, pois reconhecem a semelhança de triân-gulos a partir da medida de seus ângulos, bem como comparam áreas de figuras planas semelhantes desenhadas em uma malha quadriculada, obtendo o fator multiplicativo.

19

AplicAr relAçÕes e propriedAdes

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

a resolução de problemas é uma capacidade cognitiva que deve ser desenvolvida na escola. o ensino da Matemática pode auxiliar nesse desenvolvimento, considerando que a resolução de problemas não é o ponto final do processo de aprendizagem, mas o ponto de partida da atividade matemática, propiciando ao estudante desenvolver estratégias, levantar hipóteses, testar resultados, utilizar conceitos já aprendidos em outras competências. no campo espaço e forma, espera-se que os estudantes consigam aplicar relações e propriedades das figuras geométricas – planas e não planas – em situações-problemas.


o amarelo-claro, 300 a 350 pontos na escala, indica que os estudantes trabalham com ângulo reto e reconhecem esse ângulo como sendo correspondente a um quarto de giro. em relação às figuras ge-ométricas, conseguem aplicar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo para resolver problemas e diferenciar os tipos de ângulos: agudo, obtuso e reto. em relação ao estudo do círculo e circunferência, esses estudantes estabelecem relações entre as medidas do raio, diâmetro e corda.

no intervalo representado pelo amarelo-escuro, 350 a 375 pontos, os estudantes resolvem problemas geométricos mais complexos, utilizando o teorema de pitágoras e a lei angular de tales, além de resolver problemas envolvendo o cálculo do número de diagonais de um polígono e utilizar relações para o cálculo da soma dos ângulos internos e externos de um triângulo. em relação ao estudo do círculo e circunfe-rência, esses estudantes calculam os ângulos centrais em uma circunferência dividida em partes iguais.

estudantes cuja proficiência se encontra entre 375 e 400 pontos, marcado pelo laranja-claro, resolvem problemas mais complexos, envolvendo o teorema de pitágoras e relações métricas no triângulo retângulo.

20

GRANdeZAs e medIdAs

o estudo de temas vinculados a este domínio deve propiciar aos estudantes conhecer aspectos históricos da cons-trução do conhecimento; compreender o conceito de medidas, os processos de medição e a necessidade de adoção de unidades-padrão de medidas; resolver problemas utilizando as unidades de medidas; estabelecer conexões entre grandezas e medidas com outros temas matemáticos como, por exemplo, os números racionais positivos e suas representações. através de diversas atividades, é possível mostrar a impor-tância e o acentuado caráter prático das grandezas e Medidas, para poder, por exemplo, compreender questões relacionadas aos temas transversais, além de sua vinculação a outras áreas de conhecimento, como as ciências da natureza (temperatura, velocida-de e outras grandezas) e a geografia (escalas para mapas, coordenadas geográficas). estas competências são trabalhadas desde a educação infantil até o ensino Médio, permitindo que, a cada ano de escolaridade, os estudan-tes aprofundem e aperfeiçoem o seu conhecimento neste domínio.

22

utilizAr sistemAs de medidAs

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

um dos objetivos do estudo de grandezas e Medidas é propiciar ao estudante o desenvolvimento da competência: utilizar sistemas de medidas. para o desenvolvimento desta competência, nos anos iniciais do ensino fundamental, podemos solicitar aos estudantes que marquem o tempo por meio do calendário. destacam-se, também, atividades envolvendo culinária, o que possibilita um rico trabalho, utilizando diferentes unidades de medida, como o tempo de cozimento: horas e minutos e a quantidade dos ingredientes: litro, quilograma, colher, xícara, pitada e outros. os estudantes utilizam também outros sistemas de medidas convencionais para resolver problemas.


no intervalo de 125 a 175 pontos, representado pelo amarelo-claro, os estudantes estão no início do desenvolvimento desta competência. eles conseguem ler horas inteiras em relógio analógico.

no intervalo representado pelo amarelo-escuro, de 175 a 225 pontos, os estudantes conseguem ler horas e minutos em relógio digital e de ponteiro em situações simples, resolver problemas relacionando diferentes unidades de uma mesma medida para cálculo de intervalos (dias e semanas, minutos e horas), bem como estabelecer relações entre diferentes medidas de tempo (horas, dias, semanas), efetuando cálculos. em relação à grandeza comprimento, os estudantes resolvem problemas relacionando metro e centímetro. Quanto à grandeza sistema Monetário, identificam quantas moedas de um mesmo valor equivalem a uma quantia inteira dada em reais e vice-versa.

estudantes que apresentam uma proficiência entre 225 e 300 pontos, marcado pelo laranja-claro, desen-volvem tarefas mais complexas em relação à grandeza tempo. esses estudantes relacionam diferentes unidades de medidas como, por exemplo, o mês, o bimestre, o ano, bem como estabelecem relações entre segundos e minutos, minutos e horas, dias e anos. em se tratando da grandeza sistema Monetário, resolvem problemas de trocas de unidades monetárias, que envolvem um número maior de cédulas e em situações menos familiares. resolvem problemas realizando cálculo de conversão de medidas das grandezas comprimento (quilômetro/metro), massa (quilograma/grama) e capacidade (litro/mililitro).

no intervalo de 300 a 350 pontos, marcado pelo laranja-escuro, os estudantes resolvem problemas realizando conversão e soma de medidas de comprimento (quilômetro/metro) e massa (quilograma/grama). neste caso, os problemas envolvendo conversão de medidas assumem uma complexidade maior do que aqueles que estão na faixa anterior.

percebe-se que, até o momento, as habilidades requeridas dos estudantes para resolver problemas utilizando conversão de medidas envolvem as seguintes grandezas: comprimento, massa, capacidade. Há problemas que trabalham com outras grandezas como, por exemplo, as grandezas volume e ca-pacidade estabelecendo a relação entre suas medidas - metros cúbicos (m3) e litro (l). acima de 350 pontos na escala de proficiência, as habilidades relacionadas a esta competência apresentam uma maior complexidade. neste nível, os estudantes resolvem problemas envolvendo a conversão de m3 em litros. a cor vermelha indica a consolidação das habilidades relacionadas a esta competência.

23

medir grAndezAs

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

outro objetivo do ensino de grandezas e Medidas é propiciar ao estudante o desenvolvimento da competência: medir grandezas. esta competência é desenvolvida nos anos iniciais do ensino fundamental quando, por exemplo, solicitamos aos estudantes para medirem o comprimento e a largura da sala de aula usando algum objeto como unidade. essa é uma habilidade que deve ser amplamente discutida com os estudantes, pois, em razão da diferença dos objetos escolhidos como unidade de medida, os resultados encontrados serão diferentes. e perguntas como: “Qual é medida correta?” É respondida da seguinte forma: “todos os resultados são igualmente corretos, pois eles expressam medidas realizadas com unidades diferentes.” além dessa habilidade, ainda nas séries iniciais do ensino fundamental, também é trabalhada a habilidade de medir a área e o perímetro de figuras planas, a partir das malhas quadriculadas ou não. nos anos finais do ensino fundamental, os estudantes resolvem problemas envolvendo o cálculo de perímetro e área de figuras planas e problemas envolvendo noções de volume (paralelepípedo).


no intervalo de 150 a 225 pontos na escala, amarelo-claro, os estudantes conseguem resolver problemas de cálculo de área relacionando o número de metros quadrados com a quantidade de quadradinhos contida em um retângulo desenhado em malha quadriculada.

estudantes cuja proficiência se encontra entre 225 e 275 pontos, representado pelo amarelo-escuro, realizam tarefas mais complexas, comparando e calculando áreas de figuras poligonais em malhas quadriculadas. em relação ao perímetro, demonstram a habilidade de identificar os lados e, conhecendo suas medidas, calcular a extensão do contorno de uma figura poligonal dada em uma malha quadriculada, bem como calcular o perímetro de figura sem o apoio de malhas quadriculadas. ainda, reconhecem que a medida do perímetro de um polígono, em uma malha quadriculada, dobra ou se reduz à metade quando os lados dobram ou são reduzidos à metade.

no intervalo representado pelo laranja-claro, de 275 a 325 pontos na escala, os estudantes calculam a área com base em informações sobre os ângulos da figura e o volume de sólidos a partir da medida de suas arestas.

aqueles estudantes cuja proficiência se encontra no intervalo de 325 a 400 pontos, laranja-escuro, resolvem problemas envolvendo o cálculo aproximado da área de figuras planas desenhadas em ma-lhas quadriculadas cuja borda é formada por segmentos de retas e arcos de circunferências. também calculam a área do trapézio retângulo e o volume do paralelepípedo. em relação ao perímetro, neste intervalo, realizam o cálculo do perímetro de polígonos sem o apoio de malhas quadriculadas e do volume de paralelepípedo retângulo de base quadrada. reconhecem que a área de um retângulo quadruplica quando as medidas de seus lados são dobradas.

a partir de 400 pontos na escala, os estudantes resolvem problemas envolvendo a decomposição de uma figura plana em triângulos, retângulos e trapézios retângulos e calculam a área desses polígonos. o vermelho indica a consolidação das habilidades relativas a esta competência.

24

estimAr e compArAr grAndezAs

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

o estudo de grandezas e Medidas tem também como objetivo propiciar ao estudante o desenvolvimento da competência: esti-mar e comparar grandezas. Muitas atividades cotidianas envolvem esta competência, como comparar tamanhos dos objetos, pesos, volumes, temperaturas diferentes e outras. nas séries iniciais do ensino fundamental, esta competência é trabalhada, por exemplo, quando solicitamos aos estudantes que comparem dois objetos estimando as suas medidas e anunciando qual dos dois é maior. atividades como essas propiciam a compreensão do processo de medição, pois medir significa comparar grandezas de mesma natureza e obter uma medida expressa por um número.


estudantes cuja proficiência se encontra entre 175 e 225 pontos, representado pelo amarelo-claro, estão no início do desenvolvimento desta competência. eles leem informações em calendários, localizando o dia de um determinado mês e identificam as notas do sistema Monetário Brasileiro, necessárias para pagar uma compra informada.

no intervalo de 225 a 275 pontos, os estudantes conseguem estimar medida de comprimento usando unidades convencionais e não convencionais. o amarelo-escuro indica o início do desenvolvimento dessa habilidade.

o laranja-claro, 275 a 350 pontos, indica que os estudantes com uma proficiência que se encontra neste intervalo já conseguem realizar tarefas mais complexas relativas a esta competência, como, por exemplo, resolver problemas estimando outras medidas de grandezas utilizando unidades convencionais como o litro.

a partir de 350 pontos, os estudantes comparam os perímetros de figuras desenhadas em malhas quadriculadas. o vermelho indica a consolidação das habilidades referentes a esta competência.

25

NÚmeROs e OpeRAÇões/ÁLGeBRA e fUNÇões

como seria a nossa vida sem os nú-meros? em nosso dia a dia, nos de-paramos com eles a todo o momento. várias informações essenciais para a nossa vida social são representadas por números: cpf, rg, conta bancária, se-nhas, número de telefone, número de nossa residência, preços de produtos, calendário, horas, entre tantas outras. não é por acaso que pitágoras, um grande filósofo e matemático grego (580-500 a.c), elegeu como lema para a sua escola filosófica “tudo é núme-ro”, pois acreditava que o universo era regido pelos números e suas relações e propriedades.

este domínio envolve, além do co-nhecimento dos diferentes conjuntos numéricos, as operações e suas apli-cações à resolução de problemas. as operações aritméticas estão sempre presentes em nossas vidas. Quantos cálculos temos que fazer? orçamen-to do lar, cálculos envolvendo nossa conta bancária, cálculo de juros, por-centagens, divisão de uma conta em um restaurante, dentre outros. essas são algumas das muitas situações com que nos deparamos em nossas vidas e nas quais precisamos realizar operações. além de números e ope-rações, este domínio também envolve o conhecimento algébrico que requer a resolução de problemas por meio de equações, inequações, funções, expressões, cálculos entre muitos outros. o estudo da álgebra possibi-lita aos estudantes desenvolver, entre outras capacidades, a de generalizar. Quando fazemos referência a um nú-mero par qualquer, podemos repre-sentá-lo pela expressão 2n (n sendo um número natural). essa expressão mostra uma generalização da classe dos números pares.

26

CONHeCeR e UTILIZAR NÚmeROs

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

as crianças, nos anos iniciais do ensino fundamental, têm contato com os números e já podem perceber a importância deles na vida cotidiana. Já conhecem a escrita de alguns números e já realizam contagens. nessa fase da escolaridade, os estudantes começam a conhecer os diferentes conjuntos numéricos e a perceberem a sua utilização em contextos do cotidiano. entre os conjuntos numéricos estudados estão os naturais e os racionais em sua forma fracionária e decimal. não podemos nos esquecer de que o domínio de números está sempre relacionado a outros domínios como o das grandezas e Medidas. na etapa final do ensino fundamental, os estudantes resolvem problemas mais complexos envolvendo diferentes conjuntos numéricos, como os naturais, inteiros e racionais.


estudantes que se encontram no intervalo de 100 a 200 pontos, representado pelo amarelo-claro, de-senvolveram habilidades básicas relacionadas ao sistema de numeração decimal. por exemplo: dado um número natural, esses estudantes reconhecem o valor posicional dos algarismos, a sua escrita por extenso e a sua composição e decomposição em unidades e dezenas. eles, também, representam e identificam números naturais na reta numérica. além disso, reconhecem a representação decimal de medida de comprimento expressas em centímetros e localizam esses números na reta numérica em uma articulação com os conteúdos de grandezas e Medidas, dentre outros.

o amarelo-escuro, 200 a 250 pontos, indica que os estudantes com proficiência neste intervalo já conseguem elaborar tarefas mais complexas. eles trabalham com a forma polinomial de um número, realizando com-posições e decomposições de números de até três algarismos, identificando seus valores relativos. Já em relação aos números racionais, reconhecem a representação de uma fração por meio de representação gráfica.

no laranja-claro, intervalo de 250 a 300 pontos, os estudantes percebem que, ao mudar um algarismo de lugar, o número se altera. identificam e localizam números inteiros em uma reta numérica ou em uma escala não unitária. transformam uma fração em número decimal e vice-versa. localizam, na reta numérica, números racionais na forma decimal e comparam esses números quando têm diferentes partes inteiras. neste intervalo aparecem, também, habilidades relacionadas a porcentagem. os estudantes estabelecem a correspondência 50% de um todo com a metade.

no intervalo de 300 a 375 pontos, marcado pelo laranja-escuro, os estudantes desenvolveram habilidades mais complexas relacionadas a frações equivalentes. eles já resolvem problemas identificando mais de uma forma de representar numericamente uma mesma fração. por exemplo, percebem, com apoio de uma figura, que a fração meio é equivalente a dois quartos. além disso, resolvem problemas identificando um número natural (não informado), relacionando-o a uma demarcação na reta. esses estudantes, também, transformam frações em porcentagens e vice-versa, identificam a fração como razão e a fração como parte-todo, bem como, os décimos, centésimos e milésimos de um número decimal.

acima de 375 pontos na escala, os estudantes, além de já terem consolidado as habilidades relativas aos níveis anteriores, conseguem localizar na reta numérica números representados na forma fracionária, comparar números fracionários com denominadores diferentes e reconhecer a leitura de um número decimal até a ordem dos décimos. o vermelho indica a consolidação das habilidades associadas a esta competência.

27

ReALIZAR e ApLICAR OpeRAÇões

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

esta competência refere-se às habilidades de cálculo e à capacidade de resolver problemas que envolvem as quatro operações básicas da aritmética. envolve, também, o conhecimento dos algoritmos utilizados para o cálculo dessas operações. além do conhecimento dos algoritmos, esta competência requer a aplicação dos mesmos na resolução de problemas englobando os diferentes conjuntos numéricos, seja em situações específicas da Matemática, seja em contextos do cotidiano.


no intervalo representado pelo amarelo-claro, de 100 a 200 pontos, em relação à adição e subtração, os estudantes realizam operações envolvendo números de até três algarismos com reserva. Já em relação à multiplicação, realizam operações com reserva, tendo como multiplicador um número com um algarismo. os estudantes resolvem problemas utilizando adição, subtração e multiplicação envolvendo, inclusive, o sistema Monetário.

estudantes, cuja proficiência se encontra no intervalo de 200 a 250 pontos, amarelo-escuro, em relação às operações, realizam subtrações mais complexas com quatro algarismos e com reserva. realizam também multiplicações com reserva, com multiplicador de até dois algarismos. realizam divisões e resolvem problemas envolvendo divisões exatas com divisor de duas ordens. além disso, resolvem pro-blemas envolvendo duas ou mais operações.

o laranja-claro, intervalo de 250 a 300 pontos, indica um novo grau de complexidade desta competência. os estudantes com proficiência neste nível resolvem problemas envolvendo as diferentes ideias rela-cionadas à multiplicação, em situações contextualizadas. também efetuam adição e subtração com números inteiros, bem como realizam cálculo de expressões numéricas envolvendo o uso de parênteses e colchetes com adição e subtração, além de calcular porcentagens e resolver problemas do cotidiano envolvendo porcentagens em situações simples.

estudantes, cuja proficiência se localiza no intervalo de 300 a 350 pontos, já calculam expressões numéricas envolvendo números inteiros e decimais positivos e negativos, inclusive potenciação. eles conseguem, ainda, resolver problemas envolvendo soma de números inteiros e porcentagens, além de calcular raiz quadrada e identificar o intervalo em que está inserida a raiz quadrada não exata de um número, bem como efetuar arredondamento de decimais. o laranja-escuro indica a complexidade dessas habilidades.

no intervalo representado pela cor vermelha, acima de 350 pontos, os estudantes calculam o resultado de expressões envolvendo, além das quatro operações, números decimais (positivos e negativos, potên-cias e raízes exatas). efetuam cálculos de divisão com números racionais (forma fracionária e decimal simultaneamente). neste nível, os estudantes consolidam as habilidades relativas a esta competência.

28

UTILIZAR pROCedImeNTOs ALGéBRICOs

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

o estudo da álgebra possibilita ao estudante desenvolver várias capacidades, dentre elas a capacidade de abstrair, generalizar, demonstrar, sintetizar procedimentos de resolução de problemas. as habilidades referentes à álgebra são desenvolvidas no ensino fundamental e vão desde situações problema em que se pretende descobrir o valor da incógnita em uma equação utilizando uma balança de dois pratos, até a resolução de problemas envolvendo equações do segundo grau. uma das habi-lidades básicas desta competência diz respeito ao cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica, em que é utilizado o conceito de variável.

os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 275 pontos, ainda não desenvolveram as habilidades relacionadas a esta competência

no intervalo representado pelo amarelo-claro, 275 a 300 pontos, os estudantes calculam o valor numérico de uma expressão algébrica.

no intervalo de 300 a 350 pontos, indicado pelo amarelo-escuro, os estudantes já identificam a equação de primeiro grau e sistemas de primeiro grau, adequados à resolução de problemas. esses estudantes também determinam o cálculo numérico de uma expressão algébrica em sua forma fatorada e resolvem problemas envolvendo: grandezas diretamente proporcionais, variações entre mais de duas grandezas, juros simples, porcentagem e lucro.

o laranja-claro, 350 a 400 pontos na escala, indica uma maior complexidade nas habilidades associa-das a esta competência. neste nível de proficiência, os estudantes resolvem problemas que recaem em equação do segundo grau e sistemas de equações do primeiro grau e problemas mais complexos envolvendo juros simples.

estudantes cuja proficiência se localiza no intervalo de 400 a 425 pontos, laranja-escuro, resolvem pro-blemas que envolvem grandezas inversamente proporcionais e sistemas de duas equações. no campo das sequências numéricas, identificam uma regularidade em uma sequência numérica e determinam o número que ocupa uma determinada posição na sequência.

acima de 425 pontos na escala, indicado pela cor vermelha, os estudantes resolvem problemas rela-cionando a representação algébrica com a geométrica de um sistema de equações do primeiro grau.

29

TRATAmeNTO dA INfORmAÇÃO

o estudo da estatística, probabilidade e combinatória é de fundamental impor-tância nos dia de hoje, tendo em vista a grande quantidade de informações que se apresentam no nosso cotidiano. na Matemática, alguns conteúdos são extremamente adequados para “tratar a informação”. a estatística, por exem-plo, cuja utilização pelos meios de co-municação tem sido intensa, utiliza-se de gráficos e tabelas. a combinatória também é utilizada para desenvolver o tratamento da informação, pois ela nos permite determinar o número de possibilidades de ocorrência de algum acontecimento. outro conhecimento necessário para o tratamento da in-formação refere-se ao conteúdo de probabilidade, por meio do qual se estabelece a diferença entre um acon-tecimento natural, que tem um caráter determinístico, e um acontecimento aleatório cujo caráter é probabilístico, avaliando-se se um acontecimento é mais provável ou menos provável. com o estudo desses conteúdos, os estudan-tes desenvolvem as habilidades de fazer uso, expor, preparar, alimentar e/ ou discutir determinado conjunto de dados ou de informes a respeito de alguém ou de alguma coisa.

30

ler, utilizAr e interpretAr informAçÕes ApresentAdAs em tAbelAs e grÁficos

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

um dos objetivos do ensino do conteúdo tratamento da informação é propiciar ao estudante o desenvolvimento da competência: ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. esta competência é desenvolvida nas séries iniciais do ensino fundamental por meio de atividades relacionadas aos interesses das crianças. por exemplo, ao registrar os resultados de um jogo ou ao anotar resultados de respostas a uma consulta que foi apresentada, elas poderão, utilizando sua própria forma de se expressar, construir representações dos fatos e, pela ação mediadora do professor, essas representações podem ser interpretadas e discutidas. esses debates propiciam novas oportunidades para a aquisição de outros conhecimentos e para o desenvolvimento de habilidades e de atitudes. nas séries finais do ensino fundamental, temas mais relevantes podem ser explorados e utilizados a partir de revistas e jornais. o professor pode sugerir a realização de pesquisas com os estudantes sobre diversos temas e efetuar os registros dos resultados em tabelas e gráficos para análise e discussão.


no intervalo representado pelo amarelo-claro, de 125 e 150 pontos, os estudantes leem informações em tabelas de coluna única e extraem informações em gráficos de coluna por meio de contagem.

no intervalo representado pelo amarelo-escuro, de 150 a 200 pontos, os estudantes leem informações em tabelas de dupla entrada e interpretam dados num gráfico de colunas por meio da leitura de valores no eixo vertical.

de 200 a 250 pontos, intervalo indicado pelo laranja-claro, os estudantes localizam informações e iden-tificam gráficos de colunas que correspondem a uma tabela com números positivos e negativos. esses estudantes também conseguem ler gráficos de setores e localizar dados em tabelas de múltiplas entradas, além de resolver problemas simples envolvendo as operações, identificando dados apresentados em gráficos ou tabelas, inclusive com duas entradas.

estudantes, com proficiência entre 250 e 325 pontos, laranja-escuro, identificam o gráfico de colunas ou barras correspondente ao gráfico de setores e reconhecem o gráfico de colunas ou barras correspondente a dados apresentados de forma textual; associam informações contidas em um gráfico de colunas e barras a uma tabela que o representa, utilizando estimativas.

a cor vermelha, acima de 325 pontos, indica que os estudantes leem, utilizam e interpretam informações a partir de gráficos de linha do plano cartesiano. além de analisarem os gráficos de colunas representando diversas variáveis, comparando seu crescimento. neste nível de proficiência, as habilidades relativas a esta competência estão consolidadas.

31

utilizAr procedimentos de combinAtóriA e probAbilidAde

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

um dos objetivos do ensino do tratamento de informação em Matemática é propiciar ao estudante o desenvolvimento da competência: utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. esta competência deve ser desenvolvida desde as séries iniciais do ensino fundamental por meio da resolução de problemas de contagem simples e a avaliação das possibili-dades de ocorrência ou não de um evento. algumas habilidades vinculadas a esta competência no ensino fundamental são exploradas juntamente com o domínio números e operações/Álgebra e funções. Quando tratamos essa habilidade dentro do tratamento de informação, ela se torna mais forte no sentido do professor perceber a real necessidade de trabalhar com ela. o professor deve resolver problemas simples de possibilidade de ocorrência, ou não, de um evento ou fenômeno, do tipo “Qual é a chance?” apesar desse conhecimento intuitivo ser muito comum na vida cotidiana, convém trabalhar com os estudantes a diferença entre um acontecimento natural, que tem um caráter determinístico, e um acontecimento aleatório, cujo caráter é probabilístico. também é possível trabalhar em situações que permitam avaliar se um acontecimento é mais ou menos provável. não se trata de desenvolver com os estudantes as técnicas de cálculo de probabilidade. Mas, sim, de explorar a ideia de possibilidade de ocorrência ou não de um evento ou fenômeno. intuitivamente, compreenderão que alguns acontecimentos são possíveis, isto é, “têm chance” de ocorrer (eventos com probabilidades não nulas). outros acontecimentos são certos, “garantidos” (eventos com probabilidade de 100%) e há aqueles que nunca poderão ocorrer (eventos com probabilidades nulas). as habilidades associadas a esta competência são mais complexas, por isso começam a ser desenvolvidas em níveis mais altos da escala de proficiência.


no intervalo representado pelo amarelo-claro, de 375 a 400 pontos, os estudantes começam a desenvolver esta competência, calculando a probabilidade de um evento acontecer no lançamento de um dado, bem como a probabilidade de ocorrência de dois eventos sucessivos como, por exemplo, ao se lançar um dado e uma moeda.

o amarelo-escuro, 400 a 425 pontos, indica uma complexidade maior nesta competência. neste intervalo, os estudantes conseguem resolver problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo sem repetição de elementos e calculam a probabilidade de ocorrência de um evento simples.

32

o pApel dA AvAliAção no ensino de mAtemÁticA

as avaliações em larga escala re-alizadas no Brasil recolocaram a

questão das desigualdades escolares no centro dos debates, pois evidencia-ram a distribuição desigual da escolari-zação no país e trouxeram à tona o baixo desempenho dos estudantes em várias disciplinas - inclusive em Matemática.

a análise da série histórica do siste-ma de avaliação da educação Básica (saeB) de 1995 a 2005, no 9º ano, revela, que mais de 1/3 dos alunos apresentou desempenho abaixo do esperado na disciplina em todo o período.

um aspecto que chama a atenção é o aumento da proporção de alunos nessa situação. considerando os resultados da rede estadual, em 1995, 31% tiveram desempenho abaixo do esperado; em 2005, eles chegavam a 40% do total. a faixa de desempenho esperado para a disciplina no 9º ano foi alcançada por apenas 11% dos estudantes em 1995 e 8% em 2005.

considerando juntos os resultados das redes estadual e municipal, constata-se que quase metade dos estudantes matri-culados em escolas públicas (estaduais: 40% em 2005 e municipais: 49% em 2005) situam-se na faixa abaixo do esperado na escala de Matemática do saeB.

se o recorte for o total de alunos que se encontram abaixo do nível cognitivo esperado para ano de escolaridade, o resultado é mais alarmante: 92% nas escolas estaduais e 94% nas escolas municipais.

esse cenário é, de fato, uma situação preocupante. no entanto, é preciso ter em mente, em primeiro lugar, que esse não é um problema exclusivo do Brasil.

ao contrário, a fragilidade da aprendi-zagem em Matemática tem sido motivo para uma série de estudos, pesquisas e reformas curriculares em várias par-tes do mundo. pesquisas nacionais e internacionais destacam que existem alternativas para se reverter as preca-riedades identificadas.

Currículo: ênfase na resolução de problemas

na literatura, é possível compilar al-gumas justificativas que motivaram as reformas curriculares, ocorridas em diversos países (incluindo o Brasil), a partir dos anos 1980:

(1) por se achar que o ensino de Mate-mática tem produzido baixos resultados no desempenho dos alunos;

(2) pelo reconhecimento de que o mundo necessita de estudantes com maiores habilidades no uso de ferra-mentas matemáticas;

(3) pelos avanços educacionais que passaram a valorizar a aprendizagem coletiva, os conhecimentos prévios dos alunos e a construção do conhecimento pelos estudantes.

no Brasil, os parâmetros curriculares nacionais (pcn/Mec) de Matemática, de 1998, e as sucessivas avaliações de livros didáticos do programa nacional do livro didático (pnld/Mec) são dois importantes marcos no campo curri-cular. ambos foram decisivos para as reformulações nos currículos de Matemática no ensino fundamental e levaram a uma ampliação das áreas de ensino abordadas ao longo do processo de escolarização.

As novas

propostas

curriculares

identificam os

conhecimentos

matemáticos

como meios para

se compreender

e transformar

a realidade.

34

Entra em cena

uma concepção

que rompe com a

visão tradicional

de que a

Matemática é uma

ciência neutra.

as novas propostas curriculares iden-tificam os conhecimentos matemáticos como meios para se compreender e transformar a realidade. portanto, o ensino e a aprendizagem devem levar os estudantes a fazer observações siste-máticas de aspectos qualitativos e quan-titativos da realidade. devem, também, capacitá-los para selecionar, organizar e produzir informações relevantes.

nesse contexto, a resolução de proble-mas assume papel central no ensino--aprendizagem, ressignificando o que era central para a disciplina. essas linhas seguem recomendações da agenda para a ação do conselho na-cional de professores de Matemática dos estados unidos, divulgadas em 1980 e que, desde então, norteiam mo-dificações curriculares da Matemática escolar em várias partes do mundo.

o documento ressalta a importância dos aspectos sociais, antropológicos e linguísticos, além dos aspectos cog-nitivos – tradicionalmente valorizados nas discussões curriculares. ganha força, então, a ideia de que a função do ensino é construir as competências básicas do cidadão, retirando a ênfase do ensino propedêutico.

ao mesmo tempo, entra em cena uma concepção que rompe com a visão tra-dicional de que a Matemática é uma ciência neutra, acabada, e que seu en-sino deve conduzir à assimilação de um conjunto de normas prescritivas, como um conteúdo autônomo.

Modificam-se, então, os conteúdos a serem transmitidos: tratamento da in-formação e Medidas e grandezas passam a ser vistos como áreas tão relevantes quanto aquelas mais tradicionais (nú-meros, Álgebra e geometria). Modifica-se também o entendimento de como o en-sino e a aprendizagem devem se dar: os estudantes devem ser conduzidos a fazer observações sistemáticas de aspectos qualitativos e quantitativos da realidade, capacitando-os para selecionar, organi-zar e produzir informações relevantes – habilidade fundamental numa sociedade da informação, como a nossa.

os papéis desempenhados por alunos e professores também se renovam, pois a

ênfase recai sobre a construção do co-nhecimento pelo estudante, o trabalho em equipe e a comunicação em sala de aula. o professor assume, nesse contexto, o papel de organizador da aprendizagem, enco-rajando os alunos a buscarem soluções para os problemas propostos, valorizando assim seus processos de pensamento e os incentivando a se comunicarem mate-maticamente, envolvendo-os em tarefas ricas e significativas (do ponto de vista intelectual e social).

fica claro então que a escola, em todos os níveis, não pode se concentrar apenas na transmissão de fatos ou informações. Mais do que isso, cabe a ela promover o desenvolvimento das competências básicas para a cidadania e para a pro-fissão. e isso deve ser extensivo a todos, o que é fundamental para se combater a fragmentação, geradora de desigualda-des. assim, dentre as funções do ensino de Matemática destacam-se ensinar a pensar, abstrair, criticar, avaliar, decidir, inovar, planejar, fazer cálculos aproxima-dos, usar o raciocínio matemático para a compreensão do mundo, dentre outros.

a Matemática deve, ainda, contribuir para que o indivíduo participe do pro-cesso de produção do conhecimento e usufrua dele. o aluno deve ser in-centivado a se adaptar a novas situ-ações, a reconhecer suas habilidades lógico-matemáticas e a empregá-las em situações-problema. para tanto, é fundamental que a Matemática seja apresentada à criança e ao jovem como uma ciência aberta e dinâmica.

O efeito das reformas: o que dizem as pesquisas

pesquisas realizadas no Brasil e em outros países apontam para uma série de resultados positivos obtidos a partir da ênfase na resolução de problemas nos processos de ensino e aprendiza-gem de Matemática.

creso franco, paola sztajn e Maria isabel ramalho ortigão analisaram os resultados do sistema de avaliação da educação Básica (saeB) de 2001 e verificaram a melhoria do desempe-nho dos alunos, quando os professores enfatizavam a resolução de problemas nas aulas de Matemática.

35

no reino unido, foi realizado um estudo longitudinal em duas escolas que ado-tam currículos e metodologias de ensino diferentes, durante três anos. na primei-ra, os alunos trabalhavam em grupos, realizando projetos com duração de três semanas e que envolviam resolução de problemas; perguntavam à professora quando tinham dúvidas (conceitos eram introduzidos quando necessário) e as conversas em classe valorizavam os processos de pensamento dos alunos em relação à construção de conceitos. na outra escola, o currículo de Matemá-tica enfatizava a pesquisa da resposta correta de problemas típicos; os estu-dantes trabalhavam individualmente em atividades que focavam a aplicação de regras e procedimentos.

ao serem expostos a problemas de res-posta aberta, os estudantes da primeira escola tiveram mais sucesso do que seus pares e demonstraram ser mais capazes de usar seus conhecimentos, tendiam a usar métodos intuitivos em todos os problemas e não se deixavam influenciar pelo contexto.

outras pesquisas qualitativas eviden-ciam a importância do papel do pro-fessor na aprendizagem. num estudo norte-americano, elizabeth fennema e Megan loef franke acompanharam uma professora durante quatro anos, verifi-cando como ela ajudava os estudantes a construir o entendimento de conceitos matemáticos e a buscar estratégias para solucionar problemas que envolviam situações cotidianas. como resultado, seus alunos se mostraram mais capa-zes de resolver problemas complexos do que outros estudantes de mesmo nível escolar; usavam estratégias de alto nível e adaptavam seus procedimentos para resolver os problemas. demonstravam segurança, tinham uma boa relação com a disciplina e se sentiam encora-jados a persistir na busca da solução. em síntese, o estudo mostrou que um professor com uma boa compreensão das estruturas matemáticas e do pen-samento matemático das crianças tem efeito positivo sobre a aprendizagem.

nos estados unidos, documentos ofi-ciais elencam características de um ensino que se pretende renovador, iden-tificadas a partir de pesquisas empíricas.

algumas delas integram a literatura e documentos brasileiros - como a valori-zação do conhecimento prévio dos alu-nos, o estímulo ao engajamento de toda a classe nas atividades e a ampliação dos conteúdos ensinados, aproximando--os da vida. o papel do professor no sen-tido de ajudar o aluno a desenvolver a autoconfiança também foi citado.

esses estudos apontam caminhos, porém, mudar o ensino não é algo simples. Muitas vezes, os professores modificam algumas atividades, mas mantêm práticas tradicionais de ex-posição e abordagem dos conteúdos. também ocorrem situações em que os docentes adotam práticas que condu-zem os alunos à resolução de proble-mas, mas não possibilitam que eles discutam e confrontem suas soluções.

em alguns casos, os professores se sentem menos capazes de trabalhar com a agenda da reforma, por acredita-rem que os alunos aprendem mais com o ensino tradicional. também existe a concepção de que, como os alunos pertencem a famílias menos abasta-das, não necessitam de conhecimentos supostamente sofisticados.

o estudante, por sua vez, é o persona-gem principal no processo de ensino e aprendizagem. sem ele não há sentido no ensino propriamente dito. Mas, com o frenético avanço tecnológico, muitos jovens perderam o interesse naquilo que a escola tem a lhes oferecer, o que reforça a necessidade de uma profunda renovação das estratégias adotadas em sala de aula.

nesse cenário, uma boa apropriação dos resultados das avaliações pode ajudar muito.

Da avaliação à sala de aula

no Brasil, existe uma preocupação para que os resultados obtidos pelos alunos nas avaliações cheguem até os seus professores. para que isso ocorra, normalmente, são elaborados boletins pedagógicos, que oferecem vários tipos de dados e informações aos professo-res: desde o número de alunos que participaram da avaliação até indica-dores educacionais, médias obtidas nas provas e a distribuição percentual dos estudantes ao longo da escala utilizada.

Nos Estados

Unidos, documentos

oficiais elencam

características de

um ensino que se

pretende renovador,

identificadas a

partir de pesquisas

empíricas.

36

no entanto, nem sempre é fácil com-preender e interpretar esses boletins, levando ao surgimento de dúvidas e questionamentos. uma delas diz res-peito aos resultados dos alunos. nesse âmbito, é importante que o professor saiba que a compreensão desses, passa, necessariamente, pela com-preensão da escala de desempenho de Matemática, construída com base na teoria da resposta ao item (tri).

uma escala de proficiência serve para ordenar o desempenho dos alunos do menor para o maior em um continuum e são cumulativas, explicam ligia gomes elliot, nilma santos fontani-ve e ruben Klein. desse modo, se o desempenho de um grupo (ou escola) está situado numa determinada faixa, significa que ele domina as habilidades descritas nela e nos níveis anteriores.

É importante ter clareza de que toda escala resulta de uma construção hu-mana. e, de forma análoga ao que ocorre com a escala de temperatura corporal medida pelo termômetro, as escalas usadas nas avaliações educacionais também atribuem valores numéricos ao desempenho dos alunos, posicionando--os de acordo com suas habilidades de-monstradas nos testes. na análise de uma escala, temos que considerar dois aspectos importantes: cumulatividade e ordenamento. Quanto maior o ponto da escala, melhor o desempenho.

as escalas das avaliações em larga escala são diferentes daquelas que os professores utilizam em sala de aula – 0 a 10 ou de 0 a 100. no Brasil, as escalas de proficiência das avaliações externas geralmente são compatíveis com a escala do saeB, variando no intervalo de 0 a 500.

outro ponto importante para a compre-ensão da escala é o entendimento dos significados dos números da escala: ou seja, a sua interpretação pedagógica – o que é possibilitado por meio do confron-to dos resultados com as descrições de habilidades e competências esta-belecidas nas matrizes de referência.

finalmente, os professores devem atentar à distribuição dos alunos ao longo dos níveis da escala, o que permi-

te perceber a proporção de estudantes nos distintos níveis de proficiência. a avaliação, bem interpretada, é, portan-to, um instrumento rico e relevante para o planejamento de ações capazes de melhorar a aprendizagem.

não existe uma resposta ou uma alter-nativa única, contudo, coletivamente, os professores podem encontrar novos caminhos. para isso, é necessária a criação, na escola, de espaços que en-volvam os professores em discussões e reflexões acerca da avaliação e do trabalho escolar, em especial, o ensino e a aprendizagem de Matemática.

Considerações finais

É importante enfatizar que a melhoria da aprendizagem perpassa necessa-riamente a formação do professor, a qual não deve se centrar apenas em as-pectos curriculares; também é preciso discutir as relações entre a educação e as desigualdades sociais, estimulando a reflexão sobre a rede de fatores que, direta ou indiretamente, influencia os resultados obtidos pelos estudantes.

também é importante manter um olhar positivo para os docentes e o ensino de Matemática tendo em vista uma educa-ção pública de qualidade, em que todos aprendam e avancem nos estudos. por isso, a escola precisa estimular o aluno a lidar com as diferentes linguagens matemáticas, a pensar matematica-mente e a transitar entre as subáreas da Matemática escolar.

o trabalho com problemas precisa também estimular o aluno a ler e a conversar com seus colegas sobre o que entendem dos dados e das infor-mações contidas no enunciado. este trabalho demanda uma atenção espe-cial por parte do professor no sentido de auxiliar seus alunos a traçarem previamente um plano de resolução. É importante que todos tenham clareza de que equacionar um problema é uma das etapas do processo de resolução.

essas ações em conjunto, embora não ocorram em um curto espaço de tempo, podem promover melhorias significativas no processo de ensino e aprendizagem em Matemática.

A avaliação, bem

interpretada, é um

instrumento rico

e relevante para o

planejamento de ações

capazes de melhorar

a aprendizagem.

37

pAdrÕes de desempenHo estudAntil

para uma escola ser considera eficaz, ou seja, para fazer a diferença na

vida de seus usuários, ela deve propor-cionar altos padrões de aprendizagem a todos, independente de suas caracterís-ticas individuais, familiares e sociais. se apenas um grupo privilegiado consegue aprender com suficiente qualidade o que é ensinado, aumentam-se as desi-gualdades intraescolares e, como con-sequência, elevam-se os indicadores de repetência, evasão e abandono escolar. na verdade, criam-se mais injustiças. esse é um cenário que, certamente, nenhum professor gostaria de ver em nenhuma escola.

o desempenho escolar de qualidade implica, necessariamente, a realização dos objetivos curriculares de ensino propostos. os padrões de desempenho estudantil, nesse sentido, são balizado-res dos diferentes graus de realização educacional alcançados pela escola. por meio deles é possível analisar a distância de aprendizagem entre o percentual de alunos que se encontra nos níveis mais altos de desempenho e aqueles que estão nos níveis mais baixos. a distância entre esses extre-mos representa, ainda que de forma alegórica, o abismo existente entre aqueles que têm grandes chances de sucesso escolar e, consequentemente, maiores possibilidades de acesso aos bens materiais, culturais e sociais; e aqueles para os quais o fracasso es-colar e a exclusão social podem ser mera questão de tempo, caso a escola não reaja e promova ações com vistas à promoção da equidade. para cada padrão, são apresentados exemplos de item do teste do avalia BH.

39

neste padrão de desempenho, as habi-lidades matemáticas que se evidenciam são as relativas aos significados dos nú-meros nos diversos contextos sociais, a compreensão dos algoritmos da adição de números com até três algarismos, subtração de números com até quatro algarismos, multiplicação de números com até dois algarismos e divisão por números de um algarismo. os estu-dantes que se encontram neste nível demonstram que, além de reconhecer as operações aritméticas que resolvem um problema, eles também usam o sig-nificado da multiplicação como soma de parcelas iguais, a ideia de completar da subtração e os diferentes significados da adição para resolver uma situação--problema. eles, também, reconhecem e utilizam as características do siste-ma de numeração decimal, tais como: princípio do valor posicional, composi-ção ou decomposição de um número na escrita decimal, escrita por extenso de números naturais, comparação entre números naturais e contagem a partir do agrupamento de dez unidades.

fica evidenciado que as habilidades matemáticas características deste pa-drão são elementares para o período de escolarização em que esses estu-dantes se encontram, o salto cognitivo que se percebe em relação ao 2º ciclo

é com relação ao cálculo da média aritmética, a resolução de problemas envolvendo grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, a repre-sentação numérica de uma fração com apoio de representação gráfica e resolução de problemas envolvendo subtração de números racionais com o mesmo número de casas decimais. no campo geométrico, evidencia-se a identificação de figuras planas através de suas propriedades (lados e ângu-los), o reconhecimento de uma reta como eixo de simetria de uma figura plana, a localização ou movimentação de objetos em mapas, croquis e outras representações gráficas, tomando como referência a própria posição ou em re-ferencial diferente. além disso, esses estudantes reconhecem a planificação de um cone e de um cubo a partir de sua imagem, identificam propriedades comuns e diferenças entre sólidos ge-ométricos através do número de faces, vértices e arestas e identificam a forma ampliada de uma figura em uma malha quadriculada.

neste padrão, os estudantes já de-monstram conhecimentos relativos à literacia estatística, eles conseguem ler e interpretar informações elemen-tares e explícitas em um gráfico de colunas, por meio da leitura de valores

do eixo vertical. o ganho em relação aos estudantes do 2º ciclo reflete-se na capacidade de identificar dados em uma lista de alternativas, utilizando-os na resolução de problemas, relacionan-do-os, dessa forma, às informações apresentadas em gráficos de barras e tabelas, inclusive com duas entra-das. são capazes, ainda, de identificar gráficos de colunas correspondentes a uma tabela com números positivos e negativos, gráficos de setores que re-presentam informações apresentadas em tabelas ou textos, além de associar gráfico de linha a uma tabela.

no campo grandezas e Medidas, os estudantes demonstram compreender melhor os conceitos que envolvem o cálculo da medida do perímetro com ou sem apoio da malha quadriculada, a comparação e o cálculo da medida da área de figuras poligonais em malha quadriculada, bem como resolver problemas de trocas de unidades mo-netárias envolvendo número maior de cédulas e em situações menos familia-res. eles resolvem problemas de cálculo de intervalo de tempo (dias e semanas, horas e minutos, mês/trimestre/ano) de comprimento (m e cm) e de massa (Kg e g) e leem horas em relógios analógicos ou digitais.

ABAIxO dO BÁsICO

40

9º ANO - Até 250 PONtOs7º ANO - Até 200 8º ANO - Até 225

7º ano

8º ano

9º ano

41

o item avalia a habilidade de os estu-dantes do 7º ano do ensino fundamen-tal resolverem problemas envolvendo o cálculo da média aritmética com dados apresentados em um quadro.

para resolver este item, os estudantes devem fazer uma leitura dos dados apre-sentados no quadro. em seguida, efetuar o cálculo da média aritmética, ou seja, somar todos os pesos relativos a cada uma das pessoas listadas no quadro (35 + 28 + 41 + 26 + 30 = 160) e dividir o resultado pelo número de pesos que foram somados (160 : 5 = 32).

alguns estudantes, possivelmente, so-maram os valores extremos do quadro e dividiram por 2, não percebendo que os dados listados no quadro não formam uma progressão aritmética, portanto, não poderiam usar o cálculo da média dos termos equidistantes.

É fundamental que os estudantes perce-bam que média aritmética é uma medida de tendência central e que a função da média é transformar um conjunto de números diversos em um único valor, a fim de que se possa ter uma visão global sobre os dados.

(M7413BH) Para se ter uma ideia do peso médio dos alunos do 7º ano, 5 alunos foram sorteados e seus pesos registrados no quadro abaixo.

Bernardo 35 kgFelipe 28 kgMarcelo 41 kgMônica 26 kgSimone 30 kg

O peso médio desses cinco alunos éA) 31,5 kgB) 32,0 kgC) 32,5 kgD) 33,0 kg

42

(M090087CE) O gráfico abaixo mostra o consumo de energia, em quilowatt (kW), de uma residência no 1º semestre de 2010.

Qual foi o consumo, em quilowatt, nessa residência no primeiro trimestre de 2010?A) 190B) 290C) 490D) 590

avalia-se por meio deste item a ha-bilidade de os estudantes extraírem informações em um gráfico de coluna simples.

para resolver este item, os estudan-tes do 7º ano do ensino fundamental precisam atentar-se ao comando de reposta, para então fazerem a leitura dos dados do eixo vertical relativos aos meses de Janeiro, fevereiro e Março, reconhecendo que, no primeiro trimes-tre, o consumo de energia é calculado pela adição do consumo nesses meses (120+ 80 + 90).

alguns estudantes avaliados demons-traram saber ler informações forneci-das em gráficos de colunas por meio da leitura do eixo vertical, mas não se apropriaram corretamente do coman-

do para resposta, pois, possivelmente, consideraram a soma dos dados re-lativos aos cinco primeiros meses de 2010 ou à adição dos dados relativos ao consumo de energia de todos os meses apresentados no gráfico.

trabalhar mecanismos que permitam que os estudantes desenvolvam suas habilidades em leitura e interpretação de dados em tabelas e gráficos é de suma importância, uma vez que irá permitir que esses estudantes sejam capazes de avaliar criticamente as informações estatísticas, mobilizan-do conhecimentos também relativos ao estudo da Matemática, ao mesmo tempo em que irá ajudá-los a tomar decisões com base na interpretação desses argumentos estatísticos.

43

o item avalia a habilidade de os estu-dantes 8º ano do ensino fundamental resolverem um problema envolvendo o cálculo de números racionais na forma decimal, abarcando o sistema Monetário Brasileiro no qual, através de uma situação de compra, percebem o significado da operação de divisão implícita no enunciado.

para a resolução deste item, esses es-tudantes precisam compreender que o valor pago pela compra dividido pelo preço do metro de fita fornece a quan-tidade de metros de fita comprados por letícia. esses estudantes devem ainda apropriar-se das propriedades ope-ratórias do algoritmo da divisão com números decimais e encontrar como resultado 3,45 metros de fita.

alguns dos estudantes avaliados possi-velmente não se apropriaram do enun-ciado, pois não souberam identificar a operação que fornece a quantidade de fita comprada por letícia. os estudan-tes que assinalaram as alternativas B, c ou d associaram à subtração, adição ou multiplicação, respectivamente, os dados informados no enunciado.

espera-se que os estudantes do 8º ano sejam capazes de resolver problemas com números decimais, envolvendo o algoritmo da divisão, em seus diversos contextos sociais.

(M090908A9) O metro da fita que Letícia comprou custa R$ 3,60. Ela pagou R$ 12,42 por uma quantidade dessa fita. Quantos metros de fita Letícia comprou?A) 3,45B) 8,82C) 16,02D) 44,71

44

o item avalia a habilidade de os estu-dantes do 7º ano calcularem a medida do perímetro de uma figura plana, de-senhada em uma malha quadriculada.

o primeiro conhecimento necessário para resolver este item consiste em compreender o significado de períme-tro, ou seja, que o perímetro correponde ao contorno de uma figura bidimen-sional. em seguida, deve-se contar os lados dos quadradinhos que fazem parte do contorno da figura, cujo valor encontrado (32) corresponde à medida do perímetro.

a habilidade avaliada por este item é trabalhada desde as séries iniciais, portanto espera-se que os estudantes no 7º ano já compreendam o significado de perímetro, mas ao analisar os pos-síveis raciocínios desses estudantes, percebemos que alguns demonstram confudir o cáculo da medida da área de uma figura plana, com o cálculo da me-dida do perímetro, outros relacionam a figura a um retângulo e somam as suas dimensões.

(M070136B1) Pedro construiu, com o auxílio de um programa de computador, o polígono abaixo.

Qual é a medida do perímetro desse polígono?A) 28 uB) 30 uC) 32 uD) 42 u

45

o item avalia a habilidade de os estu-dantes do 7º ano identificarem o cubo a partir da sua planificação.

o primeiro conhecimento necessário para resolver este item consiste no conhecimento dos poliedros e corpos redondos através da observação e descrição das características desses objetos geométricos, como o número de faces, vértices e arestas.

para resolver este item, os estudantes devem identificar cada face do sólido na forma planificada e a partir daí reconstrui-lo, visualizando na planifi-cação apresentada os encaixes para em seguida identificar a sua nomenclatura.

o estudo das planificações amplia a visão espacial e torna a transição do espaço tridimensional para o espaço plano mais compreensível, permitin-do que os estudantes desenvolvam a percepção de que a planificação des-ses sólidos apresenta características e propriedades diferentes.

(M070180B1) Veja a seguinte planificação:

Essa é a planificação doA) cilindro.B) cubo.C) pirâmide.D) tetraedro.

46

evidencia-se, neste padrão, a mobiliza-ção e o desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébrico. os estudan-tes identificam e resolvem problemas envolvendo equações e sistemas de equações de primeiro grau. eles tam-bém resolvem problemas envolvendo a multiplicação e a divisão em situação combinatória, de contagem envolvendo o princípio multiplicativo, o conceito de razão, porcentagem, de soma envolven-do combinações e de subtração com números naturais de até três algaris-mos com reserva e zero no minuendo.

percebe-se que o significado de número racional está consolidado, uma vez que esses estudantes demonstram trabalhar com esse conceito nos diversos contextos sociais, quando resolvem itens que exigem deles a habilidade de manipular o algorit-mo da adição ou da subtração de números decimais na forma do sistema Monetário Brasileiro; identificam fração como parte de um todo, obtém frações equivalentes a uma fração dada; estabelecem relações entre frações próprias e impróprias e as suas representações na forma decimal; identificam a localização de números inteiros não ordenados em uma reta em que a escala não é unitária; comparam números racionais na forma decimal e os localizam na reta numérica. eles também efetuam cálculos com números inteiros positivos que requerem o reconhecimento do algoritmo da divisão inexata.

no campo tratamento da informação, o ganho em relação ao padrão anterior é relativamente pequeno: os estudan-tes reconhecem o gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo (com valores positivos e negativos), reconhecem o gráfico de colunas correspondente a dados apresentados de forma tex-tual, leem tabelas de dupla entrada e reconhecem o gráfico de colunas

correspondentes, mesmo quando há variáveis representadas.

no padrão básico, os estudantes tam-bém conseguem determinar a medida do perímetro de figuras em malhas qua-driculadas, mas avançam na direção de calcular essa medida para figuras sem o apoio da malha. também realizam conversões entre metros e quilômetros. esses estudantes resolvem problemas de cálculo da medida de área com base na contagem das unidades inteiras de uma malha quadriculada, além de atribuir significado para o metro qua-drado, mas não conseguem determinar a medida da área de uma figura sem o apoio da malha. em relação à grande-za capacidade, estabelecem relações entre litros e mililitros. Já em relação à grandeza tempo, os estudantes tam-bém não mostram avanços em relação ao padrão anterior: eles realizam trans-formações entre dias, meses, anos etc.; determinam intervalos de tempo e realizam cálculos simples com essas medidas. a leitura de horas em reló-gios se mostra consolidada neste nível. neste padrão, eles calculam volume por meio de contagem de blocos.

no campo geométrico, ampliam-se o leque de habilidades. esses estudantes passam a identificar as coordenadas cartesianas de um ponto no plano cartesiano, resolvem problemas que envolvem a determinação da medida do ângulo desconhecido em um triân-gulo retângulo, relacionam poliedros e corpos redondos às suas planificações, efetuam cálculos com ângulos retos e não-retos, reconhecem que a medida do perímetro de um polígono em uma malha quadriculada dobra ou se reduz à metade quando os lados dobram ou se reduzem à metade.

BÁsICO

48

9º ANO - 250 A 300 PONtOs7º ANO - 200 A 250 8º ANO - 225 A 275

7º ano

8º ano

9º ano

49

o item avalia a habilidade de os es-tudantes do 8º ano do ensino funda-mental relacionarem o número decimal correspondente a uma fração.

este item envolve o conceito de relação parte todo, além de relacionar quatro décimos à sua forma fracionária.

uma possibilidade para a resolução deste item consiste em associar como numerador o número decimal sem a vírgula e, como denominador, a unida-de (1) seguida de tantos zeros quantas forem o número de casas decimais do número dado. nesse caso, o número 0,4 tem somente uma casa decimal, logo: os estudantes que assinalaram a alternativa correta, c, demonstraram compreender a conversão de número decimal em fração, desenvolvendo a habilidade avaliada pelo item.

parte dos estudantes avaliados não se apropriaram dessa habilidade, possivel-mente, porque inverteram o numerador com o denominador ou consideraram o número de zeros do denominador igual ao número de algarismos que compõem o número decimal.

É esperado que os estudantes dessa etapa de escolarização sejam capazes de relacionar as diferentes represen-tações dos números racionais (fracio-nária, decimal, gráfica, percentual, textual), no sentido de buscarem as estratégias mais adequadas para a resolução de problemas.

(M050049B1) Maria usou 0,4 do espaço do seu quintal para fazer uma horta. Que fração representa a parte do quintal que Maria utilizou para fazer essa horta?

A) 1040

B) 410

C) 104

D) 1004

50

o item avalia, no 7º ano do ensino fun-damental, a habilidade de os estudan-tes resolverem problemas envolvendo subtração com números racionais.

o primeiro conhecimento necessário para resolver este item consiste na compreensão do significado da sub-tração com ação de tirar, que está implícito no contexto do enunciado. em seguida, é preciso esquematizar essa ação para se chegar à solução adequada para o item, além de mobi-lizar estruturas cognitivas relativas à manipulação de números racionais na forma decimal. um dos procedimentos para a resolução do problema é subtrair 7,86 reais de 10,00 reais, obtendo 2,14 reais como resultado.

os estudantes que não desenvolveram a habilidade avaliada por este item, provavelmente, compreenderam o significado da subtração implícita no enunciado, mas erraram ao ma-nipular o algoritmo dessa operação que envolve os números racionais em sua forma decimal. alguns erraram na reserva nas ordens dos décimos e outros subtraíram os menores al-garismos dos maiores.

(M050081A8) Sérgio tinha R$ 10,00. Ele fez uma compra de R$ 7,86 na padaria.Quanto Sérgio recebeu de troco?A) R$ 2,13B) R$ 2,14C) R$ 3,24D) R$ 3,86

51

o item do 9º ano do ensino fundamen-tal avalia a habilidade de os estudantes resolverem problemas envolvendo a conversão entre as medidas de com-primento metro e quilômetro.

para resolver este item, é necessário que os estudantes percebam o conceito de multiplicação implícito no enun-ciado, e calculem 20 x 100 = 2 000. em seguida eles devem compreender a ordem das grandezas das unidades de comprimento, reconhecendo que 1km equivale a 1 000 m ou vice-versa, demonstrando assim, o reconheci-mento da base dez como fundamento das transformações dessa unidade de medida.

alguns dos estudantes avaliados, possivelmente, se apropriaram do enunciado, pois calcularam a distância percorrida em metros (20 x 100 = 2 000). porém, demonstraram não dominar a conversão entre as medidas, estabe-lecendo equivalências como 1 para 100 ou 1 para 10 entre as grandezas quilômetro e metro.

as crianças, desde muito cedo, têm contato com os aspectos relacionados à medida, estabelecendo informalmente comparações de tamanhos. porém, o uso de uma unidade padronizada au-xilia no processo de comunicação e formalização para construção desse conhecimento. espera-se, portanto, que os estudantes nessa etapa de es-colarização sejam capazes de resolver problemas envolvendo a conversão de unidades de medida como comprimen-to, massa e capacidade.

(M090052B1) Maria deu vinte voltas completas em uma pista que tem 100 m de comprimento.Quantos quilômetros Maria caminhou?A) 2 B) 20 C) 200 D) 2 000

52

as habilidades características deste pa-drão de desempenho evidenciam uma maior expansão do campo numérico e algébrico. os estudantes localizados neste padrão de desempenho de-monstram compreender o significado de números racionais em situações mais complexas, que exigem deles uma maior abstração em relação a esse conhecimento. nota-se também que o estudante está construindo significado para os números irracionais.

neste padrão, eles calculam resultados de uma adição de números racionais com diferentes números de casas decimais, reconhecem as ordens dos décimos, centésimos e milésimos de um número fracionário, efetuam divisão com núme-ros racionais na forma fracionária e de-cimal simultaneamente, além de efetuar cálculos de raízes quadradas e identificar o intervalo numérico em que se encon-tra uma raiz quadrada não exata. eles também resolvem problemas envolvendo porcentagens de variação proporcional entre mais de duas grandezas, de juros simples e calculam o resultado de ope-rações com números inteiros inclusive envolvendo a potenciação.

no que tange ao conhecimento al-gébrico, os estudantes demonstram identificar a equação de primeiro grau que expressa um problema; resolvem problemas de adição e multiplicação, envolvendo a identificação de um siste-ma de equações do primeiro grau com duas variáveis; expressam por meio de uma função o termo geral de uma sequência numérica e resolve proble-mas usando sistema de equações do primeiro grau.

no campo geométrico, percebe-se que os estudantes conseguem realizar ta-refas mais complexas como resolver problemas envolvendo ângulos (inclu-

sive utilizando a lei angular de tales e aplicando o teorema de pitágoras), as propriedades dos polígonos, a identi-ficação de paralelismo e perpendicu-larismo entre retas. identificam pro-priedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensio-nais, relacionando estas últimas à sua planificação. eles também reconhecem o quadrado fora da posição usual; iden-tificam os eixos de simetria de figuras planas; calculam ampliação, redução ou conservação da medida de ângulos, lados e áreas de figuras planas; avaliam distâncias horizontais e verticais em um croqui, usando uma escala gráfica dada por uma malha quadriculada; e identifi-cam a localização de objetos tendo por referência pontos com posição oposta à sua e envolvendo combinações.

o ganho, deste nível, no campo trata-mento da informação consiste, basi-camente, em obter a média aritmética de um conjunto de valores. além de analisar gráficos de linhas, percebe-se que o raciocínio do estudante já transita mais facilmente pelos diferentes tipos de gráficos e tabelas.

analisando as habilidades relativas ao campo grandezas e Medidas, percebe-se que eles resolvem pro-blemas envolvendo propriedades dos polígonos regulares inscritos para calcular a medida de seu perímetro, assim como calculam as medidas dos perímetros de polígonos sem apoio de malha quadriculada. eles também calculam o volume de sólidos a partir de suas arestas, resolvem problemas envolvendo a medida da área do retân-gulo, realizam conversão de medidas de comprimento (m/Km) e massa (g/kg), além de efetuar operações com horas e minutos, fazendo conversão de minutos para horas.

sATIsfATóRIO

54

9º ANO - 300 A 375 PONtOs7º ANO - 250 A 325 8º ANO - 275 A 350

7º ano

8º ano

9º ano

55

o item avalia a habilidade de os estu-dantes do 9º ano do ensino fundamen-tal resolverem problemas envolvendo o conceito de porcentagem.

para o cálculo do percentual de aumen-to, os estudantes podem ter adotado procedimentos diversos como regra de três, aplicação de uma fórmula ou identificação da razão entre o maior e o menor valor, para encontrar a taxa percentual na forma decimal, e então convertê-la para a forma percentual.

parte dos estudantes avaliados de-monstram não dominarem comple-tamente o conceito de porcentagem, pois, possivelmente ao calcularem o aumento da mesada em reais, asso-ciaram 100% à quantia de 150, ou ainda não atribuíram significado ao contexto e consideraram como percentual o au-mento de 30 reais como 30%.

o tópico de porcentagem aparece em múltiplas situações do dia a dia, o que destaca a importância na formação do cidadão aprender a lidar com o dinheiro. espera-se, portanto, que os estudantes dessa etapa de escolarização tenham desenvolvido a capacidade de lidar com problemas que envolvem o conceito de porcentagem.

(M090166A9) Alexandre recebe 120 reais de mesada. Como ele se empenhou nos estudos durante o ano, seus pais decidiram passar o valor de sua mesada para 150 reais.Sua mesada teve um aumento deA) 20%B) 25%C) 30%D) 50%

56

o item avalia a habilidade de os estu-dantes do 7º ano calcularem o valor de uma expressão numérica, com núme-ros inteiros, envolvendo potenciação.

para resolver este item, os estudantes precisam obedecer a ordem pela qual devem ser realizadas as operações em uma expressão numérica, além de saber operar com números inteiros negativos e potênciação.

os estudantes que assinalaram a al-ternativa a, possivelmente, erraram as ordens das operações, eles calcularam a adição antes da multiplicação, cal-culando -10 + 3 x 25 = -7 x 25 = -175.

os estudantes que assinalaram as alternativas B e c, possivelmente, er-raram no cálculo da potenciação, mas acertaram na ordem das operações. os que assinalaram a alternativa B ao efetuarem a potenciação encontraram -25 e os que assinalaram a alternativa c encontraram 10, ou seja, multiplicaram a base pelo expoente.

os estudantes do 7º ano precisam compreender que a ordem das ope-rações refere-se a uma convenção, que indica a ordem pela qual devem ser realizadas as operações numa expressão matemática.

(M100039A9) Seja M = – 10 + 3 x (– 5)2.Qual é o valor de M? A) – 175B) – 85C) 20D) 65

57

o item avalia a habilidade de os es-tudantes do 7º ano reconhecerem a pirâmide de base retangular a partir de sua planificação.

o primeiro conhecimento necessário para resolver este item consiste no conhecimento dos poliedros e corpos redondos através da observação e descrição das características desses objetos geométricos, como o núme-ro de faces, vértices e arestas. além disso, os estudantes devem mobilizar estruturas que permitam que eles tran-sitem cognitivamente do espaço tridi-mensional para o plano percebendo as características e propriedades relativas às planificações.

os estudantes que assinalaram a alter-nativa c, possivelmente, reconheceram

que o sólido possui cinco faces: uma quadrangular e quatro triangulares. além disso, foram capazes de visualizar os encaixes na palanificação, demons-trando dessa forma, terem desenvolvido a habilidade avaliada pelo item.

os estudantes que assinalaram a al-ternativa a, possivelmente, desconsi-deraram a face quadrangular, fazendo os encaixes apenas com os triângulos apresentados na planificação.

os estudantes que assinalaram a alter-nativa B, provavelmente, não percebe-ram que três das faces que compõem o sólido são retangulares.

os estudantes que assinalaram a alter-nativa d, provavelmente, reconheceram que o sólido é uma pirâmide, mas não ficaram atentos ao polígono da base.

(M090406B1) Veja abaixo a planificação de uma embalagem.

Qual é o sólido correspondente a essa planificação?

A) B)

C) D)

58

o item avalia a habilidade de os estu-dantes do 8º ano calcularem a medi-da do volume de um paralelepípedo, a partir da medida de suas arestas com o apoio da figura.

para resolver este item, os estudantes devem atribuir significado ao conceito de volume e reconhecer os valores corrrespondentes às medidas das três dimensões do paralelepípedo: compri-mento, altura e largura. em seguida, devem multiplicar as dimensões ( 3 x 3 x 3 = 27) ou reconhecer que o para-lelepípedo apresentado no suporte é um cubo, e fazer uso da fórmula v = a³, onde “a” é a medida da aresta, e substituir “a” na fórmula por 3, assim v= 3³=27, exigindo do estudante conhe-cimento em potenciação.

alguns desses estudantes não se apropriaram do enunciado do item, provavelmente, por não compreende-rem o significado da grandeza volu-me. os estudantes que assinalaram a alternativa a, por exemplo, possi-velmente, somaram as dimensões do cubo ( 3 + 3 +3). os que assinalaram a alternativa B, provavelmente, não atribuíram significado ao contexto e efetuaram operações com os dados apresentados no suporte do item. Já os que assinalaram a alternativa d, provavelmente, confundiram o concei-to de volume com o conceito de área e calcularam a medida da área total desse sólido, ou seja, a medida da área de uma das faces e multiplica-ram por 6 obtendo 54 como resultado.

(M090077CE) Veja o paralelepípedo retângulo abaixo.

3 cm

3 cm

3 cm

Qual é a medida do volume desse paralelepípedo?A) 9 cm³B) 24 cm³C) 27 cm³D) 54 cm³

59

as habilidades matemáticas caracte-rísticas deste padrão de desempenho demonstram que os estudantes efetu-am adição ou subtração de frações com denominadores diferentes, localizam frações na reta numérica, determinam e comparam as raízes de uma equação do 2º grau, resolvem problemas com números inteiros positivos e negativos não explícitos com sinais, além de re-conhecerem o valor posicional de um algarismo decimal e a nomenclatura das ordens. o ganho em relação ao padrão anterior é muito pequeno, eles demonstram efetuar cálculos um pouco mais complexos que no padrão anterior.

no tratamento da informação, esses estudantes resolvem problemas envol-vendo noções de probabilidade e, em grandezas e Medidas, calculam medida da área do triângulo, paralelogramo, retângulo e trapézio.

percebemos que no campo geomé-trico, esses estudantes avançam um pouco mais: reconhecem que a medida da área de um retângulo quadruplica quando os seus lados dobram, resol-vem problemas utilizando propriedades de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo, calculam o número de diagonais de um polígono e utilizam propriedades de polígonos regulares.

AvANÇAdO

60

9º ANO - AcImA de 375 PONtOs7º ANO - AcImA de 325 8º ANO - AcImA de 350

7º ano

8º ano

9º ano

61

o item do 8º ano do ensino fundamen-tal avalia a habilidade de os estudantes resolverem um sistema de equações do primeiro grau com duas incógni-tas. para a resolução desse sistema, é necessário que os estudantes tenham desenvolvido a habilidade de calcular o valor numérico de expressões, e estejam familiarizados com a lingua-gem e com o cálculo algébrico. além disso, espera-se também que eles já tenham adquirido a habilidade de resol-ver equações de primeiro grau. esses estudantes adotaram, possivelmente, os métodos da adição ou substituição na resolução desse sistema.

os alunos que assinalaram a alternativa correta demonstraram ter desenvolvido todas essas habilidades, associando a solução ao par ordenado (8, 12).

parte dos estudantes avaliados pos-sivelmente não se apropriaram do conceito de que o conjunto solução do sistema precisa satisfazer todas as equações desse sistema, pois ao verificarem a validade do par ordenado como solução de uma das equações, concluíram erroneamente que esse par ordenado é solução do sistema de equações.

espera-se que os estudantes do 8º ano do ensino fundamental compreendam as técnicas para a resolução de siste-mas de equações do 1º grau, bem como a relação desses sistemas a problemas contextualizados. essa compreensão é fundamental para os conceitos poste-riores relacionados à posição relativa de retas no plano.

(M080021BH) Veja abaixo um sistema de equações.

x y 202x y 4+ =

- =)

Qual o par ordenado é a solução desse sistema?A) (8,12) B) (8, 28) C) (10,10)D) (10,16)

62

o item avalia a habilidade de os es-tudantes, do 7º ano do ensino fun-damental, resolverem uma expressão numérica com números racionais na forma fracionária envolvendo as ope-rações aritméticas.

para resolver este item, é necessário que os estudantes compreendam o algoritmo da multiplicação e subtra-ção que envolve o cálculo com frações, ficando atento à ordem com que essas operações aparecem. nesse caso, primeiro calcula-se a multiplicação e depois a subtração.

os estudantes que assinalaram a alternativa correta c demonstraram compreensão quanto à equivalência e as operações entre frações.

no 7º ano, espera-se que os estudan-tes demonstrem compreensão em lidar com os algoritmos que envolvem os cálculos entre frações, no entanto, ao analisar os possíveis caminhos que eles utilizaram para resolver este item, verifica-se que aqueles que optaram pelos distratores não construíram sig-nificado para lidar com frações que têm denominadores diferentes.

(M090062B1) Rosana resolveu a expressão numérica abaixo.

x21

53

41

-

O resultado dessa expressão é

A) 62

-

B) 201

-

C) 201

D) 62

63

o item avalia a habilidade de os estudan-tes resolverem problemas significativos envolvendo o teorema de pitágoras.

para resolver este item, os estudan-tes do 9º ano do ensino fundamental devem calcular a medida desconhecida referente à medida da peça de madeira, além de observar que a figura formada após a colocação dessa peça lembra um triângulo retângulo. em seguida, precisam reconhecer que o segmento correspondente à peça de madeira (p) é a hipotenusa, e que o segmento de medida 2 m e o segmento comum ao triângulo e ao retângulo, de medida 7 m, correspondem aos catetos. esses estudantes aplicam o teorema de pi-tágoras, fazendo 2 22 7 .p = +

alguns estudantes avaliados não obti-veram uma aprendizagem significativa desse teorema, pois, possivelmente, não atribuíram significado ao contexto, subtraindo os valores apresentados no enunciado; subtraindo os quadrados dos catestos ou atribuindo que a medi-da da hipotenusa corresponde à soma das medidas dos catetos.

É esperado que os estudantes do 9º ano do ensino fundamental sejam capazes de reconhecer e solucionar de maneira adequada um problema que envolva o teorema de pitágoras.

(M090084B1) Para fazer o telhado de sua casa, Paulo precisa de uma estrutura de madeira conforme indicado na figura abaixo.

Qual é a medida aproximada do comprimento dessa peça de madeira?A) 5,0 mB) 6,7 mC) 7,3 mD) 9,0 m

64

o item avalia a habilidade de os es-tudantes do 9º ano reconhecerem a modificação da medida da área em ampliação de um retângulo, usando malha quadriculada, e verificando que a medida da área quadriplica quando seus lados dobram.

o conhecimento mobilizado por esses estudantes para a resolução desse pro-blema consiste no conceito de área e o significado de dobro. esses estudan-tes devem identificar as dimensões do retângulo original, para então, multi-plicar por 2 a medida de cada lado, e então calcularem a área do retângulo de dimensões 4x6, obtendo assim, um retângulo ampliado com medida da área igual a 24 cm2.

alguns dos estudantes avaliados de-monstraram não ter consolidado o conceito de ampliação de figuras poli-gonais, por considerarem que, em uma ampliação, a razão entre as medidas da área é igual à razão de semelhança entre os polígonos, ou seja, 2, obtendo como resposta 2 x 6 = 12 cm2, ou ainda não consideram que a área não se modifi-ca em uma ampliação, atribuindo como resposta a área do retângulo original.

para o desenvolvimento do conceito de congruência e semelhança, faz-se necessário a produção e análise das transformações de figuras geométricas planas, reconhecendo os elementos que variam ou não se alteram.

(M100010A9) Na malha quadriculada abaixo, a área de cada quadradinho mede 1 cm2. Paulo desenhou o retângulo que está sombreado nessa malha.

Se Paulo desenhasse um retângulo cujos lados tivessem o dobro das medidas dos lados desse retângulo, qual seria a medida da área do novo retângulo?A) 6 cm2

B) 12 cm2

C) 18 cm2

D) 24 cm2

65

por umA educAção de quAlidAde

cOm A PALAVRA, O PROfessOR

professora de dança, teatro e escri-tora de livros infantis. essas são as

outras atividades de sterlayni aparecida duarte de oliveira coimbra que leciona Matemática há 11 anos. a professora também é formada em pedagogia e psicopedagogia e conta que escolheu a área com o intuito de entender me-lhor o processo ensino-aprendizagem e ter subsídios para articular a arte e a educação de forma interdisciplinar.

atualmente, sterlayni trabalha na se-cretaria Municipal de educação de Belo Horizonte no projeto de intervenção pedagógica como formadora de profes-sores e na produção de material peda-gógico. ela afirma que o maior desafio da profissão é “trabalhar o gosto e a valorização do estudo nos alunos e lidar com a indisciplina em sala de aula”.

para a educadora, a função da escola na contemporaneidade é “formar cidadãos conscientes de seu papel e responsa-bilidade para com o mundo atual”. o grande desafio para a aprendizagem de sua disciplina é “desenvolver nos alunos as capacidades básicas da área matemática”, destaca.

Avaliação externa

diante desse cenário, sterlayni as-sume que as avaliações externas

podem contribuir para sanar ou, pelo menos, minimizar tal desafio. É por meio dos seus resultados que é possível “direcionar as formações dos professores para trabalhar com conceitos e práticas das capacidades mais defasadas”.

a experiente professora, que faz uso dos itens de múltipla escolha em sala de aula, afirma que eles “são um tipo de texto que deve ser trabalhado com os alunos, cuja fun-ção é contribuir para o letramento tanto matemático quanto da língua”. ao ser questionada sobre o tipo de utilidade pedagógica que os padrões de desempenho determinados pela rede municipal de ensino poderiam ter, ela é direta: “avaliar a prática pedagógica da escola para repen-sar novas estratégias de ensino e aprendizagem”.

em relação aos boletins e revistas pedagógicas, a psicopedagoga conta que eles auxiliam na “atualização dos conhecimentos imprescindíveis para a educação contemporânea”. a escala de proficiência, por sua vez, serve “para acompanhar o desenvolvimento dos alunos e buscar melhorias no siste-ma de ensino e nas escolas almejando uma educação de qualidade”.

professora de matemática avalia os dilemas da profissão

67

A consolidação de uma escola de qualidade

é uma exigência social. A aprendizagem

de todos no tempo e idade certos é um

dever dos governos democráticos.

Para tanto, as unidades escolares devem ser

autônomas, capazes de planejar e executar

seus projetos com o objetivo de garantir

a aprendizagem dos alunos. Tanto mais

eficazes serão as ações desenvolvidas pelas

escolas quanto mais informações acerca

de si próprias elas tiverem à disposição.

Nesse contexto, a avaliação se insere

como forte instrumento provedor de dados

sobre a realidade educacional. Portanto,

os resultados apresentados nesta revista,

para atingir o fim a que se destinam, devem

ser socializados, estudados, analisados e

debatidos à exaustão em suas múltiplas

possibilidades de uso pedagógico. Temos

certeza que isso já está acontecendo em

todas as escolas de Belo Horizonte.

Reitor da Universidade Federal de Juiz de ForaHenrique Duque de Miranda Chaves Filho

Coordenação Geral do CAEdLina Kátia Mesquita Oliveira

Coordenação Técnica do ProjetoManuel Fernando Palácios da Cunha Melo

Coordenação da Unidade de PesquisaTufi Machado Soares

Coordenação de Análises e PublicaçõesWagner Silveira Rezende

Coordenação de Instrumentos de AvaliaçãoVerônica Mendes Vieira

Coordenação de Medidas EducacionaisWellington Silva

Coordenação de Operações de AvaliaçãoRafael de Oliveira

Coordenação de Processamento de DocumentosBenito Delage

Coordenação de Produção VisualHamilton Ferreira

Responsável pelo Projeto GráficoEdna Rezende S. de Alcântara

Ficha Catalográfica

VOLUME 3 – MATEMÁTICA – 3º Ciclo do Ensino FundamentalBELO HORIZONTE. Secretaria Municipal de Educação. AVALIA BH – 2011 / Universidade Federal de Juiz de Fora, Faculdade de Educação, CAEd. v. 3 (jan/dez. 2011), Juiz de Fora, 2011 – Anual

CARLOS, Pablo Rafael de Oliveira; COELHO, Janaína Aparecida Ponte; CUNHA, Cecilia Cavedagne; MORAES, Tatiane Gonçalves de (coord.); OLIVEIRA, Lina Kátia Mesquita; PAULA, Luciara Alves de; PEREIRA, Bruno Rinco Dutra; TINOCO, Dayane Cristina Rocha; ZAGNOLI, Tiago de Paula.

Conteúdo: 3º Ciclo do Ensino Fundamental - MatemáticaISSN 2237-8316

CDU 373.3+373.5:371.26(05)

AVALIA BHMatemática 3º ciclorevista pedagógiCa

2011

ISSN 2237-8316

issn 2237-8316 avalia bh importância dos resultados as avaliações em larga escala realizadas pelo...

Documents