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25/03/2015

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Prof. Douglas G. Macharet [email protected]

Introdução à Robótica Descrição espacial e Transformações (1/2)

Introdução

Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 2

25/03/2015

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Introdução

Posições e Orientações

Partes, ferramenta e do próprio manipulador

É necessário adotar uma convenção geral

Sistema de coordenadas geral

E os sistemas de coordenadas locais?


Introdução

Descrever corpos rígidos no espaço 3D

Formulação matemática consistente

Sistema de coordenadas universal

Transformações entre os referenciais


Objetivos

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Introdução

Entidade física

Forma e dimensões (tamanho) não se alteram

Distâncias relativas das partículas não se alteram

De maneira geral (na prática)

Movimentos e deformações intrínsecas são

desprezíveis comparado ao movimento total


Corpo rígido

Introdução

Vetores e Matrizes

Letra Maiúscula

Escalares

Letra Minúscula

Referenciais

Sobrescrito e Subscrito precedentes


Notação

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Representação

Descrição de posição

Descrição de orientação

Descrição de sistema de referência


Representação

Um vetor localiza um ponto no espaço 3D

O vetor deve conter informações sobre qual

sistema de coordenadas ele está definido



z

y

x

A

p

p

p

P

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Representação

Um sistema de coordenadas é representado

por uma letra maiúscula entre chaves, ex. {A}

Vetores unitários que indicam as principais

direções do sistema de coordenadas usam a

notação “chapeu” (^)

Eixos principais



Representação



AAA

AAA

AAA

YXZ

XZY

ZYX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

0ˆˆ

0ˆˆ

1ˆˆˆ

AA

AA

AAA

ZX

YX

XXX

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Representação

Descrever um corpo rígido utilizando um

ponto pode não ser muito representativo

É importante representar a orientação

Descrita a partir de um sistema de

coordenadas afixado no próprio corpo em

relação a outro sistema de coordenadas



Representação



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Representação

Matriz de rotação de {B} em relação a {A}

: Coordenada X do sistema {B} descrita

no sistema {A}



333231

232221

131211

ˆˆˆ

rrr

rrr

rrr

ZYXR B

A

B

A

B

AA

B

B

A X

Representação

Cossenos direcionais (diretores)



ABABAB

ABABAB

ABABAB

A

B

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

R

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

coscosˆˆˆˆ ABAB XXXX

1ˆˆ AB XX

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Representação

Matriz de rotação de {A} em relação a {B}



BABABA

BABABA

BABABA

A

B

A

B

A

BB

A

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

ZYXR

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ

Representação

Isso sugere que o inverso de uma matriz de

rotação é igual à sua transposta



TA

B

B

A RR

T

A

B

T

A

B

T

A

B

B

A

B

A

B

AA

B

Z

Y

X

ZYXR

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

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Representação

Matriz ortogonal

Colunas (ou linhas) são vetores ortonormais

A inversa é igual a sua transposta



3ˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

IZYX

Z

Y

X

RR B

A

B

A

B

A

T

B

A

T

B

A

T

B

A

A

B

TA

B

TB

A

B

A

A

B RRR 1

Representação

Sistema de coordenadas que, além da

orientação, possui o vetor posição da sua

origem em relação a outro frame

Posição: frame em que a matriz de rotação é

a matriz identidade

Orientação: frame com vetor posição nulo


Descrição de um referencial (frame)

},{}{ BORG

AA

B PRB

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Representação



},{}{ AORG

UU

A PRA

},{}{ BORG

UU

B PRB

},{}{ CORG

AA

C PRC

AORG

U P

BORG

U P

CORG

AP

Representação

Existem diversos sistemas de referências

Sistema de coordenadas do mundo

Sistema de coordenadas das juntas

Sistema de coordenadas de um objeto



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Representação

Base, Wrist, Tool, Station, Goal



Representação

Como descrever a posição de um ponto no

referencial {A} dada a descrição em {B}?

Mapeamento entre referenciais

Utilizados para mudar descrições de um

referencial para outro referencial

Translação e Rotação


Mapeamentos

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Representação

Referenciais com a mesma orientação (sem

rotação relativa), porém origens diferentes

O vetor define um mapeamento


Mapeamentos – Translação

BORG

ABA PPP

BORG

AP

Representação


Mapeamentos – Translação

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Representação

Dados 2 referenciais {A} e {B} com mesma orientação,

porém a origem de {B} está deslocada 7 unidades da

origem de {A} ao longo do eixo e 2 unidades ao longo

do eixo . Dado o ponto , defina e .


Mapeamentos – Translação (Exemplo)

AX

AY

TBP 534

PB PA

BORG

AP

TBORG

AP 027

5

5

11

0

2

7

5

3

4

BORG

ABA PPP

Representação

Referenciais com a mesma origem, porém

com orientações diferentes

Colunas da matriz de rotação são vetores

unitários e mutuamente ortogonais, logo


Mapeamentos – Rotação

T

A

B

T

A

B

T

A

B

B

A

B

A

B

AA

B

Z

Y

X

ZYXR

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆTB

A

B

A

A

B RRR 1

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Representação

Projeções do vetor sobre os eixos (vetores

unitários) do seu referencial

Substituindo



PZp

PYp

PXp

B

A

B

z

A

B

A

B

y

A

B

A

B

x

A

ˆ

ˆ

ˆ

PRP BA

B

A

Representação



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Representação



cos0

cos0

001

,

sen

senRx

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

x

ikikik

ijijij

iiiiii

R ,

Representação



cos0

cos0

001

,

sen

senRx

cos0

010

0cos

,

sen

sen

Ry

100

0cos

0cos

,

sen

sen

Rz

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Representação

Um referencial {B} está rotacionado de em relação

ao eixo do referencial {A}. Dado o ponto , defina

e .


Mapeamentos – Rotação (Exemplo)

AZ

0

2

0

PB

PB

PA

RA

B

000,0

732,1

000,1

PRP BA

B

A

30

000,1000,0000,0

000,0866,0500,0

000,0500,0866,0

RA

B

Representação

Referenciais com origens e orientações

diferentes. Considera-se duas etapas:

Descrever o ponto em relação a um

referencial intermediário, com mesma

orientação que {A}, mas origem igual a {B}

Somar a diferença entre as origens


Mapeamentos – Translação+Rotação

PB

BORG

ABA

B

A PPRP

Translação

Rotação

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Representação


Mapeamentos – Translação+Rotação

Representação

Composição de translação e rotação se

torna complexa ao agrupar várias operações

Matrizes de transformações homogêneas

Forma mais elegante de compor transformações

Rotações, Translações e Escala

Qualquer dimensão do espaço


Coordenadas homogêneas

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Representação


Transformação homogênea

110001

PPRP B

BORG

AA

B

A

BORG

ABA

B

A PPRP PTP BA

B

A

Representação


Transformação homogênea

1000

987

654

321

zrrr

yrrr

xrrr

Translação Rotação

Perspectiva Escala

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Representação

Seja {B} um referencial rotacionado em torno de ,

e transladado 10 unidades ao longo de e 5 unidades ao

longo de . Dado o ponto , defina e .


Transformação homogênea (Exemplo)

AZ

0

7

3

PB

PB PATA

B

000,0

562,12

098,9

PTP BA

B

A

30

1000

0,0000,1000,0000,0

0,5000,0866,0500,0

0,10000,0500,0866,0

TA

B

AX

AY

Representação


Transformações compostas

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Representação

O referencial {C} é conhecido em relação a

{B}, e o referencial {B} é conhecido em

relação a {A}. Como obter , a partir de ?

1)

2)

Pode-se então, definir:



PA PC

PTP CB

C

B

PTP BA

B

A

TTT B

C

A

B

A

C

PTTP CB

C

A

B

A

Representação



1000

BORG

A

CORG

BA

B

B

C

A

BA

C

PPRRRT

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Representação

Dado um referencial {B} conhecido em

relação a {A}, ou seja, é conhecido

Como fazer se queremos o contrário?

Descrição de {A} em relação a {B}

Deseja-se obter

Pode-se calcular a inversa da matriz 4x4

Não é o mais eficiente computacionalmente


Invertendo uma transformação

TA

B

TB

A

Representação

Como ser mais eficiente?

Estrutura inerente à transformação

Para se obter ,deve-se calcular e

a partir de e

Como visto anteriormente



TB

A AORG

BPRB

A

RA

B BORG

AP

TA

B

B

A RR

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Representação

A descrição de em {B} é dada por

O lado esquerdo da equação deve ser zero



BORG

AP

AORG

B

BORG

AB

ABORG

AB PPRP )(

BORG

ATA

BBORG

AB

AAORG

B PRPRP

Representação



1000

BORG

ATA

B

TA

BB

A

PRRT

1 TT A

B

B

A

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Representação

Seja {B} um referencial rotacionado em torno de ,

e transladado 4 unidades ao longo de e 3 unidades ao

longo de . Dado defina .


Invertendo uma transformação (Exemplo)

AZ

TA

B

30

1000

0,0000,1000,0000,0

0,3000,0866,0500,0

0,4000,0500,0866,0

TA

B

AX

AY TB

A

1000

0,0000,1000,0000,0

598,0000,0866,0500,0

964,4000,0500,0866,0

TB

A

Representação


Invertendo uma transformação (Exemplo)

AX

AY

BXBY

{A}

{B}

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Representação

O mapeamento não altera a posição do

ponto, ele apenas muda a descrição de um

ponto de um sistema de coordenadas para

outro!


Mapeamento

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