o capítulo 3 trata de transformações de intensidade e filtragem espacial

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

O capítulo 3 trata de transformações de intensidade e filtragem espacial.

Os processos no domínio espacial são denotados por:

onde f(x,y) é a imagem de entrada, g(x,y) é a imagem de saída e T é um operador sobre f definido sobre uma vizinhança do ponto (x,y).

),(),( yxfTyxg




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Uma vizinhança 3x3 em torno de um ponto (x,y) numa imagem no domínio espacial. A vizinhança é movida pixel a pixel na imagem para gerar uma imagem de saída.




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• Quando a vizinhança é de tamanho 1x1, g depende somente do valor de f no único elemento em (x,y) e T é uma função de transformação de intensidade:

s = T(r).




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Funções de transformação de intensidade.(a) Extensão de contraste (constrast stretching function)(b) Limiar (thresholding function)




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Algumas funções básicas de transformação de intensidade.Todas as curvas foram escala- das para enquadrar no intervalo mostrado.




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(a) Mamografia digital original.(b) Imagem negativa obtida usando a trans- formação negativa.




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(a) Espectro de Fourier.(b) Resultado da aplicação da transformação log com c = 1.




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Gráficos da equação s = cr para valores de (c=1) em todos os casos.




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(a) Imagem rampa de intensidade.(b) Imagem vista num monitor com gamma de 2.5(c) Imagem com correção de gamma.(d) Imagem corrigida vista no monitor




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(a) Imagem MRI de uma espinha humana fraturada(b) – (d) Resultado da aplicação da eq. 3.2-3 com c = 1 e = 0.6, 0.4 e 0.3 respectivamente.

Eq. 3.2-3: s = cr




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(a) Imagem aérea.(b) - (d) Resultado da aplicação da eq. 3.2-3 com c = 1 e = 3.0, 4.0 e 5.0 respectivamente.




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• Função de transformação de intensidade por partes.

T(r)

r




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Extensão do contraste.(a) Forma da função de transformação.(b) Imagem de baixo contraste.(c) Resultado.(d) Resultado da limiarização (thresholding)




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(a) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e reduz todas as intensidades a um nível menor.(b) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e preserva todos os outros níveis de intensidade.




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(a) Angiograma aórtica. (b) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(a).(c) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(b)




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Representação plano-de-bits (bit-plane) de uma imagem de 8 bits.




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(a) Uma imagem de 8 bits de tamanho 500x1192.(b) - (i) plano-de-bits de 1 a 8, sendo o plano 1, menos signif.




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Imagens reconstruídas usando:(a) plano-de-bits 8 e 7(b) plano-de-bits 8, 7 e 6 e(c) plano-de-bits 8, 7, 6 e 5.

Comparar (c) com a imagem completa, Fig. 3.14(a)




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• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMAO histograma de uma imagem digital com níveis de intensidade no intervalo [0, L-1] é uma função discreta h(rk ) = nk , onde rk é o k-ésimo valor de intensidade e nk é o número de pixels na imagem com intensidade rk .

Histograma normalizado: dividir cada um dos componentes pelo número total de pixels da imagem, denotado por MN, tal que p(rk ) = nk /MN, para k = 0, 1, 2, ..., L-1.

0 1 L-1rk

h(rk)=nk




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Quatro tipos básicos de imagem: escuro, claro, baixo contraste, alto contraste, e seus histogramas correspondentes.

escuro

claro

baixo contraste

alto contraste




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• EQUALIZAÇÃO DE HISTOGRAMA

A equalização de histograma ou linearização de histograma consiste numa transformação T(rk) em que a imagem original resulte numa imagem onde os níveis de intensidade são uniformemente distribuídos .




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(a) Função monotônica crescente, mostrando como múltiplos valores podem mapear a um único valor.(b) Função estritamente monotônica crescente (mapeamento um-a-um, em ambas as direções.




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• Os níveis de intensidade de uma imagem podem ser vistos como variáveis aleatórias no intervalo [0, L-1].

• Um descritor fundamental de uma variável aleatória é a função densidade de probabilidade (PDF, Probability Distribution Function).

• Sejam pr(r) e ps(s) a função PDF de r e s, respectivamente, onde s = T(r).• Da teoria de probabilidade básica, se pr(r) e T(r) são conhecidos, e T(r) é

contínua e diferenciável, no intervalo de interesse, então a função PDF da variável transformada s pode ser obtida pela equação

• A função de transformação de particular importância em processamento de imagens tem a forma

dsdrrpsp rs )()(

r

r dpLrTs0

)()1()( (Eq. 3.3-4)

(Eq. 3.3-3)




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• Sabe-se da regra de Leibniz de Cálculo Básico que a derivada de uma integral definida com respeito ao seu limite superior é o integrando avaliado no limite :

• Substituindo esse resultado na equação 3.3-3, tem-se:

101

1)()1(

1)(

)()(

LsL

rpLrp

dsdrrpsp

rr

rs

)()1(

)()1(

)(

0

rpL

dwwpdrdL

drrdT

drds

r

r

r




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(a) Um PDF arbitrário. (b) Resultado da aplicação da transformação (eq.3.3-4) para todos os níveis de intensidade, r. As intensidades resultantes, s, tem um PDF uniforme, independente/ da forma da PDF de r’s.

r

r dpLrTs0

)()1()(

Eq. 3.3-4:




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• Para valores discretos lidamos com probabilidades e somatórios ao invés de funções de densidade de probabilidade e integrais. A probabilidade de ocorrência de nível de intensidade rk numa imagem digital é dada por

onde MN é o número total de pixels, nk é o número de pixels de intensidade rk e L é o número de possíveis níveis de intensidade.

• A forma discreta da transformação da equação 3.3-4 é

1,...,2,1,0)1(

)()1()(

0

0

LknMNL

rpLrTs

k

jj

k

jjrk

1,...,2,1,0)( LkMNnrp k

kr

Eq. 3.3-8




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Distribuição de intensidade e valores de histograma para uma imagem digital 64x64 de 3 bits.




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Ilustração da equalização de histograma de imagem de 3 bits.(a) Histograma original(b) Função de transformação(c) Histograma equalizado.




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Coluna a esquerda: imagens da Fig. 3.16.Coluna central: imagens com equalização de histogramaColuna direita: histogramas das imagens da coluna central.




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Funções de transformação para equalização de histograma.Transformações (1) a (4) foram obtidas dos histogramas das imagens do topo à base na coluna a direita da Fig. 3.20. usando eq.3.3-8.

1,...,2,1,0)1(

)()1()(

0

0

LknMNL

rpLrTs

k

jj

k

jjrkk

Eq. 3.3-8




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• Especificação de Histograma (matching).• A equalização de histograma visto anteriormente determina a função de

transformação que busca produzir uma imagem de saída que tenha um histograma uniforme.

• Existem aplicações em que é útil especificar a forma do histograma para a imagem processada.

• O método usado para gerar uma imagem processada que tenha um histograma especificado é chamado de matching de histograma ou especificação de histograma.




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• Voltando a idéia de intensidades contínuas r e z, e sejam pr(r) e pz(z), as PDFs respectivas.

• Aqui r denota níveis de intensidade da imagem de entrada e z denota níveis de intensidade da imagem processada de saída.

• Podemos estimar pr(r) de uma dada imagem de entrada, enquanto que pz(z) é a função PDF especificada.

• Seja s uma variável aleatória com a propriedade

• Definimos agora uma variável aleatória z com a propriedade

• Segue então que G(z)=T(r) e, portanto, z deve satisfazer

z

z sdttpLzG0

)()1()(

)()( 11 sGrTGz

r

r dpLrTs0

)()1()( eq. 3.3-10

eq. 23.3-11

eq. 3.3-12




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• As equações anteriores mostram que uma imagem cujos níveis de intensidade tem uma PDF especificada pode ser obtida de uma dada imagem usando o seguinte procedimento:

1. Obter pr(r) da imagem de entrada e usar a equação 3.3-10 para obter os valores de s.

2. Usar a PDF especificada em equação 3.3-11 para obter a função de transformação G(z).

3. Obter a tranformação inversa z= G-1(s); como z é obtido de s, este processo é um mapeamento de s a z, sendo o último, os valores desejados.

4. Obter a imagem de saída primeiro equalizando a imagem de entrada usando a eq. 3.3-10; os valores de pixels são os valores s. Para cada pixel com valor s realizar o mapeamento inverso z = G-1(s) para obter a imagem de saída.




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• A formulação discreta da equação 3.3-10 é dada pela equação 3.3-8

• Similarmente, dado um valor específico de sk, a formulação discreta da eq.3.3-11 é dada por

para um valor de q, tal que

• Obtem-se o valor desejado zq pela transformação inversa:

kq szG )(

)()1()(0

q

iizq zpLzG

1,...,2,1,0)1(

)()1()(

0

0

LknMNL

rpLrTs

k

jj

k

jjrk

)(1kq sGz

Eq.3.3-13

Eq.3.3-14




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• RESUMO DO PROCEDIMENTO:1. Computar o histograma pr(r) da imagem de entrada e usar o resultado para realizar a

transformação da eq. 3.3-13. Arredondar os valores resultantes sk, para inteiros no intervalo [0, L-1].

2. Computar todos os valores da função de transformação G usando a eq. 3.3-14 para q = 0, 1, 2,..., L-1, onde pz(zi) são os valores do histograma especificado. Arredondar os valores de G para inteiros no intervalo [0, L-1]. Guardar os valores de G numa tabela.

3. Para cada valor de sk, k = 0, 1, 2,..., L-1, usar os valores guardados de G do passo 2 para encontrar o valor correspondente de zq tal que G(zq) seja próximo de sk e guardar esse mapeamento de s para z. Quando mais que um valor de zq satisfaz o dado sk, escolher o menor valor por convenção.

4. Formar a imagem do histograma especificado, primeiro equalizando o histograma da imagem de entrada e então mapeando cada valor do pixel equalizado, sk, para o correspondente valor zq na imagem de histograma especificado usando o mapeamento do passo 3.




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(a) Histograma de imagem de 3 bits.(b) Histograma especificado(c) Função de transformação obtida do hist. especificado.(d) Resultado da realização da especificação.Comparar (b) e (d)




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Histogramas reais e especificados.Os valores da terceira coluna são das computações realizadas no exemplo 3.8 (anterior).




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Todos os possíveis valores da função de transformação G escalados, arredondados, e ordenados em relação a z.




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Mapeamento de todos os valores de sk

em valores correspondentes de zq.




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(a) Imagem da Lua de Marte Phobos.(b) Histograma.




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(a) Função de transformação para equalização de histograma(b) Imagem de histograma equalizado (notar o excesso de clareamento )(c) Histograma de (b)




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• Devido ao problema do excesso de clareamento da imagem resultante da equalização de histograma, será mostrada uma transformação a partir da especificação manual de uma função que preserva a forma geral do histograma original, mas tem uma transição de níveis suavizada na região escura de intensidade (Fig. 3.25 a).

• A função de transformação G(z) obtida do histograma usando a eq. 3.3-14 está rotulado como 1 na Fig. 3.25 b. A transformação inversa G-1(s) está rotulada como 2.

• A imagem da Fig. 3.25 c é resultante da aplicação da transformação 2 aos pixels da imagem resultante da equalização de histograma da Fig. 3.24 b.

• A Fig. 3.25d mostra o histograma da imagem melhorada da Fig. 3.25c.




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(a) Histograma especificado(b) Transformações: curva (1) = G(z) (2)= G-1(s)(c) Imagem melhorada usando mappings da curva (2)(d) Histograma de (c)




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• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMA LOCAL

• Os métodos de histograma vistos anteriormente são globais, ou seja, os pixels são modificados por uma função de transformação baseada na distribuição de intensidade da imagem inteira.

• Existem casos em que seja necessário melhorar detalhes sobre uma pequena área de uma imagem.

• O procedimento é definir uma vizinhança e mover o centro pixel a pixel. A cada posição, o histograma dos pontos da vizinhança é computado e uma função de transformação de equalização ou de especificação é obtida.

• Essa função é então usada para mapear a intensidade do pixel central da vizinhança.

• O centro da região de vizinhança é então movido a uma das posições adjacentes e o procedimento é repetido.




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(a) Imagem original. (b) resultado da equalização de histograma global(c) Resultado da equalização de histograma local em (a), usando uma vizinhança de tamanho 3x3.




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• USANDO ESTATÍSTICA DE HISTOGRAMA PARA MELHORAMENTO DE IMAGEM

• A estatística obtida de um histograma de imagem pode ser usada para melhoramento de imagem. Seja r uma variável aleatória discreta representando os valores de intensidade no intervalo [0, L-1], e seja p(ri) o componente do histograma normalizado correspondente ao valor ri.

• O n-ésimo momento de r sobre a sua média é definido como

onde m é o valor médio de r, ou intensidade média dos pixels na imagem.

1

0

)(L

iii rprm

1

0

)()()(L

ii

nin rpmrr




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• O segundo momento é particularmente importante:

• Essa equação é a variância, normalmente denotada por , e denota a medida de contraste numa imagem.

• Quando somente a média e a variância é estimada, pode-se obter esses valores diretamente:

1

0

1

0

22 ),(1 M

x

N

y

myxfMN

1

0

1

0

),(1 N

y

M

x

yxfMN

m

1

0

22 )()()(

L

iii rpmrr

e




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• Exemplo: Considerar uma imagem 5x5: 0 0 1 1 2 1 2 3 0 1 3 3 2 2 0 2 3 1 0 0 1 1 3 2 2

• Os pixels são representados por 2 bits; portanto, L= 4 e os níveis de intensidade ficam no intervalo [0,3]. O número total de pixels é 25, e o histograma tem os componentes

• Portanto, pode-se computar o valor médio das intensidades da forma:

• Esse resultado é o mesmo que calcular o valor médio usando a equação:

3

0

44.1)20.0)(3()28.0)(2()28.0)(1()24.0)(0()(i

ii rprm

20.0255)(;28.0

257)(

28.0257)(;24.0

256)(

32

10

rprp

rprp

4

0

4

0

44.1),(251

x y

yxfm




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• USO DO VALOR MÉDIO LOCAL E VARIÂNCIA LOCAL• Sejam (x,y) as coordenadas de qualquer pixel e Sxy uma vizinhança de um

determinado tamanho, centrada em (x,y). O valor médio dos pixels nessa vizinhança é dado pel expressão

• A variância dos pixels na vizinhança é dada por

)()(1

0

22i

L

iSSiS rpmr

xyxyxy

)(1

0i

L

iSiS rprm

xyxy




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• O problema da Fig. 3.27a, é que o filamento de tungstênio ao redor de um suporte, localizado no centro da imagem é visto nitidamente. Porém, existe um outro filamento no lado direito, que é imperceptível.

• O problema é de melhorar as áreas escuras sem alterar as áreas claras que não necessitam de melhoramento.

• A medida de se uma área é relativamente clara ou escura a um ponto (x,y) é comparar o valor médio de intensidade local, mSxy, ao valor médio de intensidade global, denotado aqui mG.

• Assim, temos o primeiro elemento de melhoramento: consideramos o pixel no ponto (x,y) como um candidato para o processamento se

onde k0 é uma constante positiva com valor menor que 1.0.GS mkm

xy 0




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• Como estamos interessados em melhorar áreas que tem baixo contraste, necessitamos também a medida para determinar se o contraste de uma área deve ser melhorado.

• Consideramos que o pixel em (x,y) deve ser melhorado se

onde G é o desvio padrão global e k2 é uma constante positiva. O valor dessa constante será maior que 1.0 se estamos interessados em melhorar áreas claras e menor que 1.0 para melhorar áreas escuras.

• Finalmente, devemos restringir os menores valores de contraste que desejamos aceitar, caso contrário o procedimento tentaria melhorar áreas constantes, com desvio padrão zero.

• Assim, definimos um limite inferior para o desvio padrão local

com k1 < k2. • Um pixel em (x,y) que enquadra em todas as condições acima é processado multiplicando o seu

valor de intensidade por uma constante E, para aumentar (ou diminuir) o seu valor.

xySGk 1

GS kxy

2




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• Resumindo, se f(x,y) representa o valor de uma imagem numa coordenada (x,y) e se g(x,y) representa o correspondente valor melhorado, então

• Para o caso da Fig. 3.27 os seguintes valores foram usados:

• A área da região foi de 3x3.

4.002.0,4.0,0.4 210 kekkE

contráriocasoyxf

kkemkmseyxfEyxg GSGGS xyxy

),(),(.

),( 210




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(a) Imagem SEM de filamento de tungstênio ampliado 130x.(b) Resultado da equalização de histograma global.(c) Imagem melhorada usando estatística de histograma local.

o capítulo 3 trata de transformações de intensidade e filtragem espacial

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