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FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA

Localização Espacialde um Corpo Rígido

Prof. Silas do Amaral - UDESC 2

Motivação 1


Motivação 2


Localização Espacialde um Corpo Rígido

Representação da Posição

Representação da Orientação

Matrizes de Transformação Homogênea

Relação entre os Sistemas de Representação


Posição e Orientação

PosiçãoCoord. CartesianasCoord. PolaresCoord. CilíndricasCoord. Esféricas

OrientaçãoMatrizes de RotaçãoÂngulos de EulerRotação de um Eixo ArbitrárioQuatérnios


Representação da PosiçãoCoordenadas Cartesianas

Duas Dimensões

Três Dimensões


Representação da PosiçãoCoordenadas Polares e Cilíndricas

Duas DimensõesCoord. Polares

Três DimensõesCoord. Cilíndricas


Representação da PosiçãoCoordenadas Esféricas


Rotação de um Sistema de Referência

[ ]yyx

yx

pp

pp

jip

x

xy

+=

= T [ ]vvuu

vuuv

pppp

jip

+=

= T

Um vetor p podeser representadonos dois sistemas.


Representação da OrientaçãoMatrizes de Rotação 2D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

v

u

y

x

pp

pp

R

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⋅

=vyuy

vxux

jjijjiii

R

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

cosαsenαsenαcosα

R

A relação entre os dois sis-temas é dada pela matriz de rotação R.

A matriz de rotação Rfornece a orientação de OUV com relação a OXY.As colunas de R são osvetores unitários de OUV escritos no sistema OXY.

Matriz de Rotação Para um Giro α.


Representação da OrientaçãoMatrizes de Rotação 3D

O vetor p descrito nossistemas OUVW e OXYZ

A matriz de rotação R querelaciona OUVW a OXYZ

[ ]

[ ]zzyyxx

Tzyxxyz

wwvvuu

Twvuuvw

pppppp

pppppp

kjip

kjip

++=

=

++=

=

A relação entreos dois vetores

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

w

v

u

z

y

x

ppp

ppp

R⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkikkjjjijkijiii

R


Exemplos de Matrizes de Rotação

Rotação α emtorno do eixo OX

O sistema OXYZ é fixo.

O sistema OUVW é móvel.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=cosαsenα0senαcosα0001

)α,(xRMatriz de Rotação quedefine a orientação de OUVW com relação a OXYZ


Exemplos de Matrizes de Rotação

Matriz de Rotação para um giro φ em torno do eixo OY

Matriz de Rotação para um giro θ em torno do eixo OZ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

cosφ0senφ010

senφ0cosφ)φ,(yR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cosθsenθ0senθcosθ

)θ,(zR


Rotações em um Objeto

R(x,90o) R(y,-90o)

R(z,90o)


Composição de RotaçõesConsidere a realização das três rotações apresentadas na ordem: α em torno de OX, seguida de φ em torno de OY e de θ em tornode OZ. A matriz de rotação é assim obtida:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+

++−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

=

CαCφSαCφSφCαSφSθSαCθSαSφSθCαCθCφSθ

CαSφCθSαSθSαSφCθCαSθCφCθ

CαSα0SαCα0

001

Cφ0Sφ010

Sφ0Cφ

1000CθSθ0SθCθ

)α,()φ,()θ,( xRyRzRT

onde:Cθ = cosθSθ = senθ


Composição de RotaçõesInversão da ordem das rotações: θ em torno de OZ, seguida de φem torno de OY e de α em torno de OX.

Evidentemente, a matriz de rotação é diferente da anterior, pois o produto de matrizes não é comutativo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−+−+

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

=

CφCαCθSαSθSφCαSθSαCθSφCαCφSαCθCαSθSφSαSθCαCθSφSα

SφSθCφCθCφ

1000CθSθ0SθCθ

Cφ0Sφ010

Sφ0Cφ

CαSα0SαCα0001

)θ,()φ,()α,( zRyRxRT


Rotações em um Objeto

R(z,90o) R(x,30o)

R(x,30o) R(z,90o)


Representação da OrientaçãoÂngulos de Euler ZXZ

Consiste de trêsângulos girandosucessivamenteem torno dos ei-xos previamentegirados.

Seqüência ZXZ:

φ em torno de OZ

θ em torno de OU’

ψ em torno de OW”


Representação da OrientaçãoÂngulos de Euler ZYZ


Seqüência ZYZ:

φ em torno de OZ

θ em torno de OV’





Seqüência ZYZ:

φ em torno de OZ

θ em torno de OV’



Ângulos RPY


Rotação Sobre Um Eixo ArbitrárioAo invés de três emtorno de eixos orto-normais, uma só ro-tação é feita sobreum eixo específico.

Expressão matemá-tica da aplicaçãodesta rotação a um vetor p:

θ)cos-)(1(senθ)(-cosθ θ),( pkkpkppkRot ⋅+×=


Uso de Quatérnios para Representar a Orientação

É definido por quatro compo-nentes, que representam as coordenadas do quatérnio nabase (e, i, j, k).

Quatérnio associado à rota-ção θ em torno de um eixoarbitrário k:

[ ][ ]vs

qqqq=

= 3210Q

onde s(q0) é parte escalardo quatérnio e v(q1, q2, q3) é sua parte vetorial.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

2θsen

2θcosθ),(Q kkRot


Matriz de Transformação Homogênea

Descrição de um vetorp = a.i + b.j + c.k emcoordenadas homogêneas ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1cba

wcwbwaw

wzyx

p

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

××

××

EscalaaPerspectivTranslaçãoRotação

1131

1333

wfpR

T

Matriz de transformação homogênea, que representa a transforma-ção de um vetor de um sistema de coordenadas em outro:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ××

10TranslaçãoRotação

101333 pR

T

Em robótica, geralmente, os componentes de f1x3 são consideradosnulos e w1x1 é feito igual à unidade, o que reduz T a:


Propriedades das Matrizes de Rotaçãoe de Transformação Homogênea

Seja a M.T.H. expressana forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=1000

1000

paonT

zzzz

yyyy

xxxx

paonpaonpaon

n, o e a são vetores unitários, querepresentam a orientação, e o vetor prepresenta a posição.

a: direção de aproximação (eixo Z)o: direção de orientação (eixo Y)n: direção normal (eixo X)



⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11000

1000 z

y

x

ppp

paonrxyz

A origem do sistema O’UVW é definida pelo vetor

Isto significa que p é a posição da origem do sistema O’UVW com relação ao sistema OXYZ.

ruvw = [0,0,0,1]T

e expressa no sistema de coordenadas OXYZ como



⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11001

10001z

y

x

zzzz

yyyy

xxxx

z

y

x

nnn

paonpaonpaon

rrr

ruvw = [1,0,0,1]T é o vetor unitário relativo ao eixo O’U, descrito

no sistema de coordenadas O’UVW.

Considerando p nulo, as coordenadas deste vetor no sistema OXYZsão descritas por:

Isto significa que o vetor unitário n representa o eixo O’U do sistema O’UVW com relação ao sistema OXYZ.


Translação PuraMatriz de Transf. Homogêneareferente a uma translaçãop = a.i + b.j + c.k de OUVW em relação a OXYZ: ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000100010001

)(z

y

x

ppp

pT

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

111000100010001

1zw

yv

xu

w

v

u

z

y

x

z

y

x

prprpr

rrr

ppp

rrr

Vetor rxyz trasladado de acordo com T(p) e ex-presso em OXYZ ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

111000100010001

1'''

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

z

y

x

prprpr

rrr

ppp

rrr

Um vetor ruvw do siste-ma O’UVW é descrito no sistema OXYZ usandoT(p) na forma:


Exemplo de Translação - Parte 1O sistema O’UVW éobtido com a trans-lação p(6,-3,8) com relação ao sistema OXYZ, conforme se mostra na figura.

Coordenadas do vetor ruvw(-2,7,3) no sistema OXYZ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11144

1372

100081003010

6001

1z

y

x

rrr


Usando a mesmatransformação no vetor rxyz(4, 4, 11), obtém-se:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1191

10

11144

100081003010

6001

1z

y

x

rrr

Exemplo de Translação - Parte 2


Rotação Pura

Matriz de Transf. Homogêneareferente a uma rotação α emtorno do eixo OX. Neste caso, o vetor p3x1 é nulo:

Vetor ruvw do sistema rota-cionado, descrito no sistema original:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10000cosαsenα00senα-cosα00001

α),(xT

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11w

v

u

z

y

x

rrr

rrr

T

Aplicando a mesma transfor-mação ao vetor rxyz obtém-se:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11'''

z

y

x

z

y

x

rrr

rrr

T


Exemplo de Rotação PuraConsidere uma rotação de –90°em torno do eixo OZ.

As coordenadas do vetor ruvw = [4 8 12]T no sistema original são:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

112

48

11284

1000010000010010

1z

y

x

rrr


Rotação Seguida de TranslaçãoA ordem das operações é importante, pois translação e rotação nãosão comutativas.

α),()()(α),( •≠• TpTpTT


Rotação Seguida de Translação

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000cosαsenα0senα-cosα0001

),α),((z

y

x

ppp

pxT

A matriz de transformação para uma rotação α em torno do eixo OXseguida de uma translação pxyz é expressa por:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10001000cosαsenα0senα-cosα

),α),((z

y

x

ppp

pxT

Por outro lado, se a rotação for em torno do eixo OZ, a M.T.H. será:


Exemplo de Rotação + TranslaçãoConsidere uma rota-ção de 90° em torno do eixo OX seguida da translação dada por p = (8,-4,12).

Transformação do vetor ruvw = (-3, 4, -11)

no vetor rxyz expressono sistema OXYZ. ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11675

11143

100012010

41008001

1z

y

x

rrr


Translação Seguida de Rotação

Translação pxyz seguida da rotação α em torno do eixo OX:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

1000cosαsenααcossenα0senα-cosααsen-cosα0

001

)α),(,(zy

zy

x

pppp

p

xpT


Translação Seguida de Rotação

Considerando pxyz = (8,-4,12)

e α = 90°, o vetor rxyz relativo

a ruvw = (-3, 4, -11) é dado por: ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1015

11143

10004010

121008001

1z

y

x

rrr


Composição de Matrizes HomogêneasSistema de Coordenadas Fixo

Para a seguinte seqüência de rotações com relação a um sistemade cordenadas fixo: α em torno de OX, φ em torno de OY e θ em torno de OZ, a matriz homogênea é dada por:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+

++−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

10000Cφ CαSα CφSφ0Cα Sφ SθSα CθSα Sφ SθCα CθCφ θS0Sα Sφ CθSα θSSα Sφ θCCα θSθC Cφ

10000CαSα00SαCα00001

10000φC0φS-00100φS0φC

1000010000θCθS00θS-θC

)α,()φ,()θ,( xTyTzTT

Novamente, a ordem das operações é de extrema importância.

)θ,()φ,()α,()α,()φ,()θ,( zTyTxTxTyTzT ≠


Composição de Matrizes HomogêneasSistema de Coordenadas Móvel

Quando uma seqüência de transformações é realizada relativas a um sistema de cordenadas que se modifique a cada operação, as matrizes devem ser multiplicadas na ordem inversa.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−+−+

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

=

10000Cφ CαCθ SαSθ Sφ CαSθ SαSφ Cα Cθ0Cφ SαCθ CαSθ Sφ SαSθ CαCθ φS αS0SφSθ CφθC Cφ

1000010000θCθS00θSθC

10000φC0φS00100φS0φC

10000CαSα00SαCα00001

)θ,()φ,()α,( wTvTxTT

Para a seqüência de rotações: rotação α em torno de OX, seguidada rotação φ em torno de OV e da rotação θ em torno de OW, a ma-triz homogênea é dada por:


Exemplos de Composição de T. H.

A M.T.H. correspondente à seqüência de operações abaixo:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

−=

100010010

50015100

1000001001000001

100010100

50105001

1000010000010010

)90 ,( )( )90 ,( oxTpTzTT o

1. Rotação de -90° em torno do eixo OX, seguida de

2. Translação definida pelo vetor pxyz = (5,5,10) e de

3. Rotação de 90° em torno do eixo OZ.

é obtida a partir de:


Exemplos de Composição de T. H.

Já a M.T.H. correspondente à seqüência de operações abaixo:

1. Translação definida pelo vetor pxyz = (-3,10,10), seguida de

2. Rotação de -90° em torno do eixo O’U do sistema trasladado e de

3. Rotação de 90° em torno do eixo O’V do sistema rotacionado.

é obtida a partir de:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

−=

10001001010001

3100

1000000100100100

1000001001000001

10001010010010

3001)90 ,( )90 ,( )( oo vTuTpTT


Transformações necessáriaspara localizar um objeto.

Grafos e Equações de Transformação

FO

OM

FE

ER

RM TTTTT =

FO

FE

ER

R1

O )( TTTTT =− MM

OM1

RM

1F

OF

EE

RO

R

)( )(

TTTTTT

−

−

=

=

Ferramenta referida a OXYZ

Ferramenta ref. ao objeto

Relação entre objeto e base


Relação entre os Ângulos de Euler e as Matrizes de Transf. HomogêneaRepresentação por matrizes de transformação homogênea dos ângulos de Euler na seqüência ZXZ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−++

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

10000CθCψSθSψSθ0SθCφCψCθCφSψSφ-SψCθCφφCψS0SθSφCψCθSφ-SψCφSψCθSφ-CψCφ

1000010000CψSψ00SψCψ

10000θCθS00θS-Cθ00001

1000010000φCφS00φS-Cφ

)ψ,()θ,()φ,(ZXZ wTuTzTT


Relação entre os Ângulos de Euler e as Matrizes de Transf. Homogênea

Ferramenta ref. ao objeto⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

10000CθSψSθCψSθ0SθSφCψCφSψCθSφ-SψCφCψCθSφ0SθCφCψSφ-SψCθCφSψSφ-CθCψCφ

10000CψSψ00SψCψ00001

10000Cθ0Sθ-00100Sθ0Cθ

1000010000φCφS00φS-Cφ

)ψ,()θ,()φ,(ZYZ wTvTzTT

Representação por matrizes de transformação homogênea dos ângulos de Euler na seqüência ZYZ


Relação entre os Ângulos R - P - Y e as Matrizes de Transf. HomogêneaRepresentação por matrizes de transformação homogênea dos ângulos Roll-Pitch-Yaw na seqüência YPR

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

10000CψCθSψCθSθ-0SψCφ-CψSθSφCψCφSψSθSφCθSφ0SψSφCψSθCφCψSφ-ψSSθCφCθCφ

10000CψSψ00SψCψ00001

10000Cθ0Sθ-00100Sθ0Cθ

1000010000CφSφ00Sφ-Cφ

)ψ,()θ,()φ,(YPR xTyTzTT


Relação Entre o Par (k,θ) e as Matrizesde Transformação Homogênea

α),()β,(θ),(β),(α),(θ),( xTyTzTyTxTkT −−=

A rotação θ em torno de um vetor k pode ser expressacomo a composição de rota-ções básicas em torno dos eixos coordenados.

1 - Giro α em torno de OX2 - Giro -β em torno de OY3 - Giro θ em torno de OZ4 - Giro β em torno de OY5 - Giro -α em torno de OX


Relação Entre R(k,θ) e a Matriz de Transformação Homogênea

22

2222

β cosβsen

αcosαsen

zyx

zy

z

zy

y

kkk

kk

k

kk

k

+==

+=

+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++

=

10000θCθVθS-θVθS-θV0θS-θVθCθVθSθV0θSθVθS-θVθCθV

θ),(2

2

2

zxzyyzx

xzyyzyx

yzxzyxx

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kT

Levando em conta que:

A M. T. H. equivalente à rotação em torno de um eixo arbitrário é for-necida abaixo:

onde Vθ = 1- Cθ.

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