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Testes de hipóteses para dados numéricos

Introdução à Bioestatística

Marcelo Goulart Correia

Instituto Nacional de Cardiologia

May 11, 2015

Marcelo Goulart Correia Introdução à Bioestatística


1 Testes de hipóteses para dados numéricos



É importante veri�car qual a distribuição dos dados

Os testes paramétricos precisam atender ao requisito denormalidade



Teste de Shapiro WilkSurge em 1965É baseado na estatística W

H0: A amostra provem de uma distribuição normalHA: A amostra não provem de uma distribuição normal

W =b2

n∑i=1

(xi − x̄)2(1)

b =

n∑

i=1

/2an−i+1 ∗ (xn−i+1 − xi ), se n é par

n∑i=1

+1/2an−i+1 ∗ (xn−i+1 − xi ), se n é impar(2)



Teste de Kolmogorov-SmirnovAlternativa ao teste de Shapiro-WilkÉ baseado na função distribuição acumulada

H0: A amostra provém de uma distribuição normalHA: A amostra não provém de uma distribuição normal

Dn = max(D+n ,D

−n ) (3)

D+n = max(Fn(x)− F (x)) (4)

D−n = max(F (x)− Fn(x)) (5)



CuidadosAlguns testes tem limitação de tamanho amostralCom amostras grandes qualquer desvio resulta numa rejeiçãoda hipótese nulaVeri�que outros aspectos da variável (média, mediana, IQR,intervalo de con�ança, histograma)



Teste do t emparelhadoUtilizada para a comparação de médias entre dois gruposemparelhadosH0: Não existem diferenças entre as médias observadas nosdois gruposHA: Existem diferenças entre as médias observadas nos doisgrupos

T =D̄ − µDsD/√n

(6)

s2D =

n∑i=1

(Di − D̄)2

n − 1(7)



ExemploPara determinar a e�ciência de um antitérmico, forammensuradas as temperaturas de 20 indivíduos antes e após oconsumo do medicamento

Indivíduo Antes Depois Indivíduo Antes Depois1 37,5 37,8 11 39,3 382 36 36,3 12 37,5 37,13 39 37,6 13 38,5 36,64 38 37,2 14 39 37,55 37,8 36,9 15 36,9 376 38,5 37,7 16 37 36,27 36,9 36,8 17 38,5 37,68 39,4 38,1 18 39 36,89 37,2 36,7 19 36,2 36,410 38,1 37,3 20 36,8 36,8



Exemplo

Indivíduo Diferença Indivíduo Diferença1 -0,3 11 1,32 -0,4 12 0,43 1,4 13 1,94 0,8 14 1,55 0,9 15 -0,16 0,8 16 0,87 0,1 17 0,98 1,3 18 2,29 0,5 19 -0,210 0,8 20 0



ExemploD̄ = 0, 73 // sD = 0, 7356Tobs = 0,73−0

0,7356/√20

= 4, 438

Valor crítico de T (α = 0, 05) = 2,093 (Bicaudal)Existe diferença entre os pares para um nível de signi�cânciade 5%



Exercício



Teste do tUtilizada para a comparação de médias entre dois gruposindependentesH0: Não existem diferenças entre as médias observadas nosdois gruposHA: Existem diferenças entre as médias observadas nos doisgrupos

O método consiste em:Calcular a média dos dois grupos (x̄1 e x̄2)Calcular a variância dos dois grupos (s2

1e s2

2)

Calcular a variância ponderada

s2 =

(n1 − 1)s21

+ (n2 − 1)s22

n1 + n2 − 2(8)

Calcular o valor de t

t =x̄2 − x̄1√

s2(1/n1 + 1/n2)(9)



ExemploComo forma de veri�car se duas dietas são igualmentee�cientes, foram criados dois grupos de paciente para duasdietas distintas. As perdas de peso foram coletadas conformedescrito abaixo

Dieta 1 Dieta 212 158 1915 1513 1210 1312 1614 15111213



Exemplo

x̄1 = 12 + 8 + ...+ 13/10 = 12 // x̄2 = 15 + 19 + ...+ 15/7 = 15s21 = (1476− 1202/10)/9 = 4 // s22 = (1605− 1052/7)/6 = 5

s2 = 9 ∗ 4 + 6 ∗ 5/9 + 6 = 4, 4t = 15− 12/

√4, 4 ∗ (1/10 + 1/7) = 2, 902

Valor crítico de T (α = 0, 05) = 2,131 (Bicaudal)

Existe diferença entre as dietas para um nível de signi�cânciade 5%



ANOVA One-Way (Um fator)Utilizada para a comparação de médias entre mais de doisgruposH0: Não existem diferenças entre as médias observadas nosgruposHA: Existem diferenças entre as médias observadas nos grupos



ExemploTrês tratamentos são utilizados para uma determinadaenfermidade, deseja-se veri�car se existem diferenças entre osresultados obtidos em cada tratamento

A B C15 23 1910 16 1513 19 2118 18 1415 1613� � �84 76 85



ExemploGraus de liberdade

Total �> 15− 1 = 14Tratamentos �> 3− 1 = 2Resíduos �> 14− 2 = 12

Média do quadrado da soma dos valores

C = (84 + 76 + 85)/15 = 4001, 67

Soma dos quadrados

SQT = 152 + 102 + ...+ 162 − 4001, 67 = 159, 33SQE = 84

2

6+ 76

2

4+ 85

2

5− 4001, 67 = 63, 33

SQD = 159, 33− 63, 33 = 96

Quase variâncias

QVE = 63, 33/2 = 31, 67QVD = 96/12 = 8

Estatística F

F = 31, 37/8 = 3, 96



ExemploValor crítico de F (α = 0, 05, GLE = 2, GLD = 12) = 3,89Existe diferença entre os tratamentos para um nível designi�cância de 5%



Exercício



ANOVA One-Way (Um fator) de medida repetidaUtilizada para a comparação de médias entre mais de doisgrupos pareadosH0: Não existem diferenças entre as médias observadas nosgruposHA: Existem diferenças entre as médias observadas nos grupos

A tabela conterá:A interação entre variável e gruposErros de medidas dessa interação



ExemploÉ obtida a medida de proteína c-reativa em três momentos(Pré-treinamento, duas semanas de treinamento, �m dotreinamento) num grupo de pacientes.



Exemplo



Exercício


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