introdução aos métodos numéricosademilson.teixeira/cálculo numérico/aulas... · introdução...

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Integração Numérica

Introdução aos Métodos Numéricos

3

Introdução

➢ Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] da qual se conhece umaprimitiva F. Então o valor da integral definida de f pode ser calculadausando a fórmula de Newton-Leibnitz:

onde F ’(x)=f(x).

)()()( aFbFdxxfb

a

−=

Mas quando a forma analítica de F(x) for de difícil obtenção, ouquando conhecermos somente valores discretos de f(x) (como umatabela de dados), precisamos recorrer a métodos numéricos para a suaresolução


4

Introdução

➢ Os métodos mais utilizados são classificados em dois grupos:

1) Fórmulas de Newton-Cotes – empregam valores de f(x), onde osvalores de x são igualmente espaçados.

2) Fórmulas de Quadratura Gaussiana – utilizam pontos diferentementeespaçados, onde este espaçamento é determinado por certaspropriedades de polinômios ortogonais.


5

Introdução – Interpretação Geométrica da Integral

)( xf

x

y

a b

b

a

dxxf )( O valor numérico da integral é igual à área entre a função e

o eixo x no intervalo [a, b].


6


)( xf

x

y

a b

➢ Para calcular a integral divide-se o intervalo [a,b] em N sub-intervalosiguais x=(b-a)/N, e escreve-se

−

=→

→=

1

00

N

nn

Nx

b

a

xxfdxxf )(lim)(


7


)( xf

x

y

a b

➢ Numericamente, toma-se x pequeno o suficiente para que o erro docálculo seja inferior a um certo valor pré-determinado.

++++==−

−

=

xffffxxfdxxfN

N

nn

b

a

)()()(1210

1

0


8


➢ É evidente na figura que, a não ser que tomemos x muito pequeno, oserros serão grandes:

“as áreas que faltam do retângulo”

➢ O erro pode ser minimizado, sem diminuir o tamanho de x:

“escolhendo uma figura geométrica mais adequada para calcular a área sob a função, como um trapézio, por exemplo”

➢ É interessante observar que aproximar a área sob a função pela soma deáreas de trapézios é o equivalente a:

“realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os pontos {xn, yn} com retas”

Fórmulas de Newton-Cotes


10

Fórmulas de Newton-Cotes

➢ Comentário 1: do tipo fechado: tais fórmulas são aquelas em quetodos os pontos estão no intervalo de integração [a, b], e x0 = a exm = b são os extremos.

➢ Comentário 2: do tipo aberto: nestas fórmulas todos os pontos estãono intervalo, [a, b], de integração, porém a função integrada, y = f(x),não é avaliada em ambas as extremidades do intervalo, mas empontos próximos. São utilizadas quando a função integrada apresentadescontinuidades nos extremos do intervalo de integração, ou seja,têm utilidade na análise de integrais impróprias.

As fórmulas de Newton-Cotes podem ser:


11

Newton-Cotes

➢ Neste caso, o polinômio que interpola f(x) o faz em pontos igualmenteespaçados de [a,b]. Se os subintervalos têm comprimento h, então asfórmulas fechadas de Newton-Cotes para integração têm a forma:

onde xi+1-xi = h = (b-a)/n.

=

+++=

n

iii

nn

x

x

b

a

xfA

xfAxfAxfAdxxfdxxfn

0

1100

0

)(

)()()()()(


12

Regra dos TRAPÉZIOS

➢ Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) queinterpola f(x) em x0 e x1 temos:

T

x

x

bx

ax

b

a

Idxxfh

xxxf

h

xx

xpdxxf

=

−+

−

−

=

=

1

0

1

0

1

0

0

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(10

2xfxf

hI

T+=


13


➢ Note que IT é a área do trapézio de altura h=x1-x0 e de base f(x0) e f(x1).

)(0

xf

1xb =0

xa =

)( xf

x

y

)(1

xf


14


➢ Ao substituir a área delimitada pelas curvas y=f(x), x=x0, x=x1 e y=0 pelaárea do trapézio estamos realizando uma aproximação e cometendo umerro. Verifica-se que este erro é dado por,

T

bx

ax

Exfxfh

xf ++==

=

)()()(10

2

1

0

𝐸𝑇 ≤ℎ3

12max𝑥∈[𝑎,𝑏]

𝑓″(𝑥)


15

Regra dos TRAPÉZIOS REPETIDA

➢ Quando o intervalo [a,b] é grande, devemos fazer várias subdivisões eaplicar a regra do trapézio repetidas vezes. Sendo

mihxxii

,,,,com 2101

==−+

=+

=

−+

+

m

i

i

ii

m

i

x

x

b

a

cfhxfxf

h

dxxfdxxfi

i

0

3

1

0

122

1

)()()(

)()(

),(onde1+

iii

xxc


16


Graficamente,

O erro cometido em aplicar m vezes a regra do trapézio é:

h

𝐸𝑇𝑅 ≤𝑚ℎ3

12max𝑥∈[𝑎,𝑏]

𝑓″(𝑥)

h

abm

−=


17


➢ Em resumo:

12

2222

3

1210

0

)()()()()()(

)()(

fmhxfxfxfxfxf

h

dxxfdxxf

mm

x

x

b

a

m

−+++++=

=

−

TRI TR

E

)(max)(

],[xf

habE

baxTR

−

12

2


18

Regra dos TRAPÉZIOS REPETIDA (Exemplo)

Exemplo 1: Exemplo: Calcular a integral definida abaixo, utilizando a regrados trapézios com:

n = 5 intervalos.n= 10 intervalos.

Resolução:

a) Fazendo 5 subintervalo no intervalo [0,1] temos,

4

1

1dx

x


19

Aplicando a regra do trapézio repetida,

)()()()()()(mm

x

x

xfxfxfxfxfh

dxxfn

+++++=− 1210

22220

Estimativa do erro:

𝐸 ≤𝑏 − 𝑎 . ℎ2

12𝑚𝑎𝑥 𝑓"(𝑥) =

4 − 1 . 0,6 2

12. 2 = 0,18

න

𝟏

𝟒𝟏

𝒙𝒅𝒙 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟑 ∓ 𝟎, 𝟏𝟖


20

Utilizando uma tabela com os valores de x e f(x)

i x f(x) c

0 1,0 1,000 1

1 1,6 0,625 2

2 2,2 0,454 2

3 2,8 0,357 2

4 3,4 0,294 2

5 4,0 0,250 1


21

Resolução: Fazendo 10 subintervalo no intervalo [0,1] temos,

i x f(x) c

0 1,0 1,000 1

1 1,3 0,769 2

2 1,6 0,625 2

3 1,9 0,526 2

4 2,2 0,454 2

5 2,5 0,400 2

6 2,8 0,357 2

7 3,1 0,322 2

8 3,4 0,294 2

9 3,7 0,270 2

10 4,0 0,250 1


2222

න

1

41

𝑥𝑑𝑥 =

0,3

2

1.1 + 2.0,769 + 2.0,625 + 2.0,526 + 2.0,454 + 2.0,4 +2.0,357 + 2.0,322 + 2.0,294 + 2.0,27 + 1.0,25

න

1

41

𝑥𝑑𝑥 =

0,3

29,288 = 1,393

Como pode-se notar, um maior número de pontos torna oresultado mais próximo do valor real.


23


Exemplo 1: Considere a integral,

a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e aregra do trapézio repetida. Estime o erro cometido.

b) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferiora 10-3 ?

1

0

dxe x

Resolução:


1010

01

10,=

−=

−=

abh


24


Aplicando a regra do trapézio repetida,

Estimativa do erro:

)()()()()()(mm

x

x

xfxfxfxfxfh

dxxfn

+++++=− 1210

22220

719713122222

10 019030201001

0

,, ,,,,, =++++++= eeeeeedxe x

003012

1001

12

1

22

,,)(

)(max)(

],[=

−=

−

exf

habE

baxTR

=1

0

00307201 ,,xe


25


b) Para obter o erro de 10-3 temos que:

assim,

Portanto, para obter um erro de 10-3 temos que dividir o intervalo [0,1]em 16 subintervalos.

3

2

1012

−

− )(max

)(],[

xfhab

Ebax

TR

31

2

1012

01 −−

eh)(

seja oue

h3

2 1012 − 06650, h

03759151

.==h

m 16 m


26

Regra 1/3 de SIMPSON

➢ Novamente, podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer afórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por umpolinômio interpolador de grau 2.

➢ Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos x0=a, x1=x0+h e x2=x0+2h=b :

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

)()()()(2

1202

10

1

2101

20

0

2010

21

2xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxp

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−=

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ))()()()(

2

10

1

20

0

21

2

22xf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxp

−−+

−

−−+

−−

−−=


27


( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ))()()()(

2

10

1

20

0

21

2

22xf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxp

−−+

−

−−+

−−

−−=


28

Regra 1/3 de Simpson


( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ))()()()(

2

10

1

20

0

21

2

22xf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxp

−−+

−

−−+

−−

−−=

S

bx

ax

b

aIdxxpdxxf =

=

=

2

0

2)()(

( )( ) ( )( )

( )( )

−−+

+−−−−−=

2

0

2

0

2

0

102

2

202

1

212

0

2

2x

x

x

x

x

x

S

dxxxxxh

xf

dxxxxxh

xfdxxxxx

h

xfI

)(

)()(

)()()(210

43

xfxfxfh

IS

++=


29


➢ De modo análogo à Regra do Trapézio, na Regra 1/3 de Simpson estamosrealizando uma aproximação e cometendo um erro. Verifica-se que esteerro é dado por:

S

bx

ax

Exfxfxfh

dxxf +++==

=

)()()()(210

43

2

0

( ) ( )20

5

90xxccf

hE iv

S, onde )( com −=


30

Regra 1/3 de SIMPSON REPETIDA

➢ Novamente, quando o intervalo [a,b] é grande, a solução é fazer váriassubdivisões e aplicar a regra 1/3 de Simpson repetidas vezes. Sendo

aplicando Simpson 1/3 em um subintervalo :

mihxxii

,,,,com 2101

==−+

),(ondeiii

xxc2−

( )( )

−++=

−−− 90

43

5

12

2

i

iv

iii

x

x

cfhxfxfxf

hdxxf

i

i

)()()()(


31

Regra 1/3 de SIMPSON REPETIDA

➢ Considerando todos os subintervalos temos:

( )( )

})()()(.....

)()()()()()({)(

/

SRSR

m

i

i

iv

mmm

b

a

EIcfh

xfxfxf

xfxfxfxfxfxfh

dxxf

+=−+++

++++++

=−−

2

1

5

12

432210

904

443

( )( )

−=

902

5

i

iv

SR

cfhmE

)()()(...

)()()()()(

mmm

SR

xfxfxf

xfxfxfxfxfh

I

+++

+++++=

−− 12

43210

42

24243

)(max)(

],[xf

habE iv

xxxSR

m0180

4

−


32

Regra 1/3 de SIMPSON REPETIDA (Exemplo)

Exemplo 1: Considere a integral,

a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e aregra 1/3 de Simpson repetida. Estime o erro cometido.

b) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferiora 10-3 ?

1

0

dxe x

Resolução:


1010

01

10,=

−=

−=

abh


33


Aplicando a regra 1/3 de Simpson repetida,

Estimativa do erro:

)()()()()()(mm

x

x

xfxfxfxfxfh

dxxfm

+++++=− 1210

42430

718283144243

10 019030201001

0

,, ,,,,, =++++++= eeeeeedxe x

61

44

102180

1001

180 0

−

=

−=

− exf

habE iv

xxxTR

m

,)()(max

)(],[

=1

0

00000207182831 ..xe


34


b) Para obter o erro de 10-3 temos que:

assim,

Portanto, para obter um erro de 10-3 temos que dividir o intervalo [0,1]em 2 subintervalos.

3

4

10180 0

−

− )(max

)(],[

xfhab

E iv

xxxTR

m

31

4

10180

01 −−

eh)(

seja oue

h3

4 10180 − 507280, h

971311

,==h

m 2 m

Note a convergência rápida da regra 1/3 de Simpson

introdução aos métodos numéricosademilson.teixeira/cálculo numérico/aulas... · introdução...

Documents