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INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Ementa

Noções Básicas sobre Erros

Zeros Reais de Funções Reais

Resolução de Sistemas Lineares

Introdução à Resolução de Sistemas Não-Lineares

Interpolação

Ajuste de funções

Integração Numérica

Introdução aos Métodos Numéricos

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Introdução

Circuito elétricoCorrente(i)

Tensão(V)

Resistência(R)

Lei de Kirchoff

RiV =

Circuito elétrico

Tensão(V)

Resistência(R)

Diodo

Corrente(i)

01ln =

+−−

sI

i

q

kTRiV

precisamos resolver ou encontrar o zero

da função


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Introdução

Assim, vamos iniciar o estudo de métodos numéricos que nos

permitirão resolver problemas como o citado anteriormente


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Zeros ou Raízes de Funções

➢ Dada uma função f(x), dizemos que α é raiz, ou zero de f se esomente f(α)=0.

➢ Graficamente, os zeros de uma função correspondem ao ponto x emque a função intercepta o eixo do gráfico.


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Zeros ou Raízes de Funções

➢ A função g(x) acima tem 5 raízes no intervalo [a,b]: x1, x2, x3, x4, x5.

➢ As raízes de uma função podem ser encontradas analiticamente, ouseja, resolvendo a equação f(x)=0 de maneira exata.


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Exemplos

a)

b)

c)

➢ Vejamos os seguintes exemplos:

Podemos sem grandes dificuldades determinar os zeros das funções acima


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Exemplos

a)

b)

c)

➢ Porém, nem sempre é possível encontrar analiticamente a raiz deuma função, como nos casos abaixo:

Nestes casos precisamos de um método numérico para encontrar uma estimativa para a raiz da função estudada


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Métodos Numéricos para Determinação de Zeros de Funções

Como obter raízes reais de uma equação qualquer?

➢ A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação inicialpara a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de umprocesso iterativo.

➢ Por isso, os métodos constam de duas fases:

FASE I: Isolar cada zero que se deseja determinar da função f em umintervalo [a,b], sendo que cada intervalo deverá conter um esomente um zero da função f .

FASE II: Calcular a raiz aproximada através de um processo iterativo até aprecisão desejada.


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Processo Iterativos

➢ Existe um grande número de métodos numéricos que são processositerativos. Estes processos se caracterizam pela repetição de umadeterminada operação.

➢ A idéia nesse tipo de processo é repetir um determinado cálculovárias vezes, obtendo-se a cada repetição ou iteração um resultadomais preciso que aquele obtido na iteração anterior.

➢ Cabe ressaltar que a cada iteração utiliza-se o resultado da iteraçãoanterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte.


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Processo Iterativos

➢ Existem diversos aspectos comuns a qualquer processo iterativo:

✓ Estimativa inicial: Para iniciar um processo iterativo, é preciso teruma estimativa inicial do resultado do problema. Essa estimativapode ser conseguida de diferentes formas (depende do problema).

✓ Convergência: Para obtermos um resultado próximo do resultadoreal esperado, é preciso que a cada passo ou iteração, nossoresultado esteja mais próximo daquele esperado.

✓ Critério de Parada: Obviamente não podemos repetir umprocesso numérico infinitamente. É preciso pará-lo em umdeterminado instante. O critério adotado para parar as iterações deum processo numérico é chamado de critério de parada (dependedo problema e da precisão que desejamos para obter a solução).


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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função

➢ Dada uma função f : R→ R delimitar os zeros de f significa determinarintervalos [a, b] que contenham os zeros de f. Sendo que cada intervalodeverá conter um e somente um zero da função f.

➢ Existem dois métodos para resolver este problema:

1) Método Gráfico

2) Método Analítico


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1) Método Gráfico: Como já foi observado, determinar os zeros de f éequivalente a determinar as raízes da equação f(x) = 0. Tendo comobase esta observação o método gráfico consiste em :

➢ Escrever f como a diferença de funções g e h ou seja f = g−h ondepossamos sem muito esforço esboçar os gráficos das funções g e h;

➢ Usar f(x) = 0 g(x) = h(x);

➢ Esboçar, da melhor maneira possível, os gráficos de g e h edeterminar por inspeção os intervalos onde estão os pontos deinterseção de g(x) e h(x) ou seja os pontos onde .x )()( xhxg =


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➢ Vejamos os seguintes exemplos:

a)


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17



18


b)


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c)


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1) Método Analítico: Este método é baseado no seguinte teorema,

Teorema de Bolzano: Seja uma função f(x) contínua em um intervalo[a,b], tal que, f(a).f(b)<0. Então a função f(x) possui pelo menos umaraiz no intervalo [a,b].

“O teorema assegura que se f troca de sinal nos pontos ae b então f tem pelo menos um zero entre estes pontos”


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➢ Vejamos o seguinte exemplo:

Exemplo 1: Seja a função f(x)=x⋅ln(x) – 3,2. Podemos calcular o valor def(x) para valores arbitrários de x, como mostrado na tabela abaixo:

Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos

uma raiz real no intervalo [2,3].


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Exemplo 2: Isolar as raízes positivas da equação:

𝑓 𝑥 = 𝑥5 + 6𝑥4 − 14𝑥3 + 72𝑥2 + 44𝑥 − 180 = 0. Sabendo-se que elas

são em números de três e estão situadas no intervalo (0, 7).


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FASE II: Refinamento

➢ Estudaremos vários métodos numéricos de refinamento de raiz. Aforma como se efetua o refinamento é que diferença os métodos. Todoseles pertencem à classe dos métodos iterativos.

➢ Os métodos iterativos para refinamento da aproximação inicial para araiz exata podem ser colocados num diagrama de fluxo.


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FASE II: Refinamento

Início

Dados iniciais

Cálculos iniciais

K=1

Cálculos finais

está próxima o suficiente da raiz

exata?

Cálculos intermediários

K=K+1

fim

s


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Critérios de Parada

➢ Existem duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levamao mesmo resultado.

➢ Como efetuar o teste i) se não conhecemos ?

Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao seconseguir um intervalo [a,b] tal que:

−

)()

:se precisão com aproximada raiz é

xfii

ouxi)

x

−

ab

ba

e

],[


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Métodos de Refinamento (Iterativos)

☺Método da Bissecção;

☺Método do Ponto Fixo (MPF);

☺Método de Newton-Raphson;

☺Método da Secante.

Método da Bissecção


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➢ O processo consiste em dividir o intervalo que contém o zero aomeio e por aplicação do Teorema de Bolzano, aplicado aossubintervalos resultantes, determinar qual deles contém o zero.

➢ O processo é repetido para o novo subintervalo até que se obtenhauma precisão prefixada. Desta forma, em cada iteração o zero dafunção é aproximado pelo ponto médio de cada subintervalo que acontém.

➢ Este método é normalmente utilizado para diminuir o intervalo quecontém o zero da função, para a aplicação de outro método, pois oesforço computacional cresce demasiadamente quando se aumentaa precisão exigida.


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Iteração 1:

21

bam

+=

→

→

0)()(],[

0)()(],[

11

11

afmfbm

mfafma

fixo =

− am1


30


Iteração 2:

2

12

mam

+=

→

→

0)()(],[

0)()(],[

1212

22

mfmfmm

mfafma

fixo =

− 21 mm


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Iteração 3:

2

123

mmm

+=

→

→

0)()(],[

0)()(],[

1313

3232

mfmfmm

mfmfmm

fixo =

− 31 mm


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Continua até:

− ji mm


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Como Determinar o Número de Iterações

➢ Como em cada passo, dividimos o intervalo por 2, temos:


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Como Determinar o Número de Iterações

➢ Se o problema exige que o erro cometido seja inferior a umparâmetro , determina-se a quantidade n de iteraçõesencontrando o maior inteiro que satisfaz a inequação:

➢ Isto pode-se resolver como:

( )

( )( )

2ln

lnlnln2lnln

ln2lnlnln2

ln2

−−−−

−−

−

−

abnnab

ababab n

nn


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Método da Bissecção (ALGORITMO)

Seja f(x) contínua em [a,b] e tal que f(a).f(b)<0.

1) Dados Iniciais:a) Intervalo inicial [a,b]b) Precisão

2) Se (b-a) < , então escolha para x qualquer x [a,b]. FIM3) K=14) M=f(a)5) x= (a+b)/26) Se M.f(x)>0, faça a=x. Vá para o passo 8.7) b=x8) Se (b-a) < , então escolha para x qualquer x [a,b]. FIM9) K=k+1. Volte para o passo 5.


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Exemplo 1: Determine uma aproximação para 3 com erro inferior a 10−2.


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Exemplo 1: Determine uma aproximação para 3 com erro inferior a 10−2.


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Exemplo 2: Dada a equação 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 2𝑥4 − 7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥 − 6 = 0,pede-se:

(a) Isolar as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e trêspositivas nos intervalos (-4, 0) e (0, 8), respectivamente.

(b) Considerar o intervalo que contém a menor raiz positiva e estimar onúmero, k, de iterações necessário para calculá-la utilizando o método dabisseção com precisão 0,040.

(c) Utilizando o método da bisseção, calcular a sua menor raiz positiva comprecisão 0,040 e um máximo de (k + 1) iterações.


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Exemplo 2: As figuras a seguir mostram um recipiente na forma de umcilindro circular reto que deve ser construído para conter 1000cm³. Ofundo e a tampa, conforme é mostrado na figura 4.2.a, devem ter um raio0,25cm maior que o raio do cilindro, de modo que o excesso possa serutilizado para formar um lacre com a lateral. A chapa do material usadopara confeccionar a lateral do recipiente, como apresentado na figura4.2.b, deve ser, também, 0,25cm maior para que o lacre possa ser formado.Utilizar o método da Bisseção, com precisão 0.040, máximo de 10iterações e num intervalo de [0, 7], para determinar a quantidade mínimade material a ser utilizada para construir o recipiente.


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Exercícios

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