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Download MTODOS NUMRICOS - Apontamentos TSI  iterativos. Introduo Escola Nutica I.D.Henrique 14 de 92 Revises de Anlise Matemtica. por Chedas Sampaio

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  • por Chedas Sampaio

    Mtodos Numricos - Soluo de equaes de uma varivelEscola Nutica I.D.Henrique

    Escola Nutica I.D.Henrique 1 de 92

    MTODOS NUMRICOS

    Soluo de Equaesde uma Varivel

    por Chedas Sampaiopoca 2000/2001

    (lt reviso Abr 2003)

    Escola Nutica I.D.Henrique 2 de 92

    Sumrio Introduo

    Soluo de equaes

    Revises de Anlise Matemtica Limite e continuidade de funes Zeros de funes Funes diferenciveis

    Estratgia para a determinao de razes

    Mtodo da Bisseco Descrio Algoritmo Critrios de paragem Convergncia Vantagens/Desvantagens

  • por Chedas Sampaio

    Mtodos Numricos - Soluo de equaes de uma varivelEscola Nutica I.D.Henrique

    Escola Nutica I.D.Henrique 3 de 92

    Sumrio Mtodo de Newton-Raphson

    Descrio Algoritmo Critrios de paragem Convergncia Vantagens/Desvantagens

    Mtodo da Secante Descrio Algoritmo Critrios de paragem Convergncia Vantagens/Desvantagens

    Escola Nutica I.D.Henrique 4 de 92

    Sumrio Mtodo do Ponto Fixo

    Descrio Algoritmo Critrios de paragem Convergncia Vantagens/Desvantagens

    Funes do MathCad para a determinao de razes Razes reais Razes reais e/ou complexas

    Referncias bibliogrficas

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    Escola Nutica I.D.Henrique 5 de 92

    Introduo

    Escola Nutica I.D.Henrique 6 de 92

    Soluo de equaesPor soluo de equaes entende-se a determinao das suas razes ou os valores de x para os quais f(x)=0.

    Introduo

    x

    y f(x)

    p1p2

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    Escola Nutica I.D.Henrique 7 de 92

    Soluo de equaesIntroduo

    Se h funes para as quais existe soluoanaltica fcil, como o caso das funeslineares, outras h cuja soluo bem maisdifcil ou mesmo impossvel. Neste grupoencontramos as funes no lineares, polinomiais ou transcendentes.

    O recurso a mtodos numricos aproximados muitas vezes a nica forma paradeterminarmos as suas razes.

    Escola Nutica I.D.Henrique 8 de 92

    Introduo

    Exemplo: calcular o ngulo de inclinao () daspernas de uma mesa de piquenique, de espessurab, cujo assento dever ficar a h mm do cho e terum comprimento w mm.

    As dimenses da perna satisfazem:

    logo

    h

    b

    bhw += cossin

    w

    Soluo de equaes

    0cossin)( == bhwf

    O ngulo de inclinaoser o que satisfizer a

    equao

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    Escola Nutica I.D.Henrique 9 de 92

    Introduo

    Exemplo: os valores de que satisfazem a equao sero os valores que procuramos

    Soluo de equaes

    bhwf = cossin)(

    0 5 10

    1000

    500

    500

    1000

    radianos

    f ( )

    Escola Nutica I.D.Henrique 10 de 92

    Introduo

    Exemplo: calcular os valores de x que satisfazema equao

    xx =cos

    Soluo de equaes

    sempre possvel reescrever para

    e, portanto, queremos os zeros da funo0cos = xx

    xxxf = cos)(

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    Escola Nutica I.D.Henrique 11 de 92

    Introduo

    Exemplo:

    Soluo de equaes

    xxxf = cos)(

    0 5 10

    15

    10

    5

    5

    radianos

    f x( )

    x

    Escola Nutica I.D.Henrique 12 de 92

    Soluo de equaesEste processo costuma dividir-se em duaspartes:

    Introduo

    Determinao de valores aproximados das razes. Pressupe um estudo da funo com vista suacaracterizao, o que resultar no isolamento de possveis razes em intervalos bem definidos. Para tal necessria a determinao de assmptotas, pontos notveis e proceder-se ao traado do grfico da funo.

    Aps a obteno do conhecimento aproximado das razes procede-se ao refinamento da aproximaoatravs de mtodos numricos do tipo iterativo oude aproximaes sucessivas.

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    Escola Nutica I.D.Henrique 13 de 92

    Soluo de equaesSer este o objectivo deste captulo, ou seja a determinao das razes, ou zeros, de equaes do tipo f(x)=0 com a preciso quese desejar, utilizando para tal mtodosnumricos iterativos.

    Introduo

    Escola Nutica I.D.Henrique 14 de 92

    Revisesde

    Anlise Matemtica

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    Escola Nutica I.D.Henrique 15 de 92

    Limite e continuidade de funesDefinio: Seja f uma funo definida para um conjuntoX de nmeros reais. Diz-se que f tem limite Lem x0, escrevendo-se se, dado um nmero real >>>>0, existe um nmero real >>>>0 tal que

    Revises de Anlise Matemtica

    Lxfxx

    =

    )(lim0

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    Escola Nutica I.D.Henrique 17 de 92

    Limite e continuidade de funesDefinio: Seja uma sequncia infinita de nmerosreais ou complexos. Diz-se que a sequnciaconverge para um nmero p (chamado limite) se, para qualquer >>>>0, existe um nmerointeiro positivo N() tal que n>>>>N() implica

    A notao significa que a sequncia converge para p .

    Revises de Anlise Matemtica

    { }=1nnp

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    Escola Nutica I.D.Henrique 19 de 92

    Revises de Anlise Matemtica

    Zeros de funesDefinio: Se f(p)=0 ento diz-se que p uma raz da equao f(x)=0 ou que p um zero da funof.

    x

    y

    f(x)

    p

    Escola Nutica I.D.Henrique 20 de 92

    Revises de Anlise Matemtica

    Zeros de funesDefinio: A multiplicidade de um zero p da funo f o supremo m dos valores k tais que:

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    Escola Nutica I.D.Henrique 21 de 92

    Revises de Anlise Matemtica

    Zeros de funesDefinio: A multiplicidade de um zero p da funo f o supremo m dos valores k tais que:

    =

    =

    =

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    Escola Nutica I.D.Henrique 23 de 92

    Revises de Anlise Matemtica

    Zeros de funesTeorema (Teorema de Cauchy): Se fC[a,b] e se f(a) x f(b)

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    Escola Nutica I.D.Henrique 25 de 92

    Revises de Anlise Matemtica

    Zeros de funesCorolrio (Teorema de Cauchy): Se f existe, se contnua no intervalo (a,b) e se mantm o sinal nesse intervalo ento a razp nica.

    x

    y

    f(x)

    b

    f(b)

    f(a)

    a

    f

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    Revises de Anlise Matemtica

    Teorema: Se p for um zero da funo f e se f for m vezesdiferencivel no ponto p, ento a multiplicidade de p m sse

    ( ) ( ) 0)(0)(...)(')( 1 ==== pfepfpfpf mm

    Funes diferenciveis

    Escola Nutica I.D.Henrique 28 de 92

    Teorema: Se f uma funo diferencivel em x0 , entof contnua em x0 .

    Revises de Anlise Matemtica

    Teorema (Teorema de Rolle): Se fC[a,b] e diferencivel em (a,b), se f(a)=f(b)=0, ento existe um nmero c talque a

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    Escola Nutica I.D.Henrique 29 de 92

    Teorema (Teorema do valor mdio): Se fC[a,b] e diferencivel em (a,b), entoexiste um nmero c tal que a

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    Escola Nutica I.D.Henrique 31 de 92

    Revises de Anlise Matemtica

    Teorema (Teorema do valor mdio ponderadopara integrais): Se fC[a,b] e g integrvel em [a,b] e g(x)0, ento existe um nmero c, a

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    Escola Nutica I.D.Henrique 33 de 92

    Revises de Anlise Matemtica

    Teorema (Teorema do Valor intermdio): Se fC[a,b] e K qualquer nmero entre f(a) e f(b), ento existe um nmero c em (a,b)para o qual f(c)=K.

    Funes diferenciveis

    Escola Nutica I.D.Henrique 34 de 92

    Estratgia para a determinao dasrazes

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    Mtodos Numricos - Soluo de equaes de uma varivelEscola Nutica I.D.Henrique

    Escola Nutica I.D.Henrique 35 de 92

    EstratgiaEstratgia para a determinao das razes

    Visualizar o grfico da funo

    Seleccionar os intervalos ondeexistem razes

    Seleccionar um mtodo adequado

    Seleccionar um valor inicial

    Escola Nutica I.D.Henrique 36 de 92

    Intervalos onde existem razesEstratgia para a determinao das razes

    Os intervalos onde existem razes podemser obtidos automaticamente com um programa adequado de pesquisa de mudanas de sinal da funo (condionecessria e suficiente para a existncia de pelo menos uma raz).

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    Escola Nutica I.D.Henrique 37 de 92

    Intervalos onde existem razesEstratgia para a determinao das razes

    Dados de entrada ou input: a,b extremos do intervalo de pesquisa de subintervalos

    com razesN n de iteraes mximo

    Dados de sada ou output:int matriz de n linhas (n

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