métodos numéricos - apontamentos tsi · pdf filenuméricos iterativos....

por Chedas Sampaio

Métodos Numéricos - Solução de equações de uma variávelEscola Náutica I.D.Henrique

Escola Náutica I.D.Henrique 1 de 92

MÉTODOS NUMÉRICOS

Solução de Equaçõesde uma Variável

por Chedas SampaioÉpoca 2000/2001

(últ revisão Abr 2003)


Sumário• Introdução

• Solução de equações

• Revisões de Análise Matemática• Limite e continuidade de funções• Zeros de funções• Funções diferenciáveis

• Estratégia para a determinação de raízes

• Método da Bissecção• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens

por Chedas Sampaio



Sumário• Método de Newton-Raphson

• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens

• Método da Secante• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens


Sumário• Método do Ponto Fixo

• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens

• Funções do MathCad para a determinação de raízes• Raízes reais• Raízes reais e/ou complexas

• Referências bibliográficas

por Chedas Sampaio



Introdução


Solução de equaçõesPor solução de equações entende-se a determinação das suas raízes ou os valores de x para os quais f(x)=0.

Introdução

x

y f(x)

p1

p2

por Chedas Sampaio



Solução de equaçõesIntrodução

Se há funções para as quais existe soluçãoanalítica fácil, como é o caso das funçõeslineares, outras há cuja solução é bem maisdifícil ou mesmo impossível. Neste grupoencontramos as funções não lineares, polinomiais ou transcendentes.

O recurso a métodos numéricos aproximadosé muitas vezes a única forma paradeterminarmos as suas raízes.


Introdução

Exemplo: calcular o ângulo de inclinação (θ) daspernas de uma mesa de piquenique, de espessurab, cujo assento deverá ficar a h mm do chão e terum comprimento w mm.

As dimensões da perna satisfazem:

logo

h

b

θ

bhw +θ=θ cossin

w

Solução de equações

0cossin)( =−θ−θ=θ bhwf

O ângulo de inclinaçãoserá o que satisfizer a

equação

por Chedas Sampaio



Introdução

Exemplo: os valores de θ que satisfazem a equação serão os valores que procuramos


bhwf −θ−θ=θ cossin)(

0 5 10

1000

500

500

1000

radianos

f θ( )

θ


Introdução

Exemplo: calcular os valores de x que satisfazema equação

xx =cos


É sempre possível reescrever para

e, portanto, queremos os zeros da função0cos =− xx

xxxf −= cos)(

por Chedas Sampaio



Introdução

Exemplo:


xxxf −= cos)(

0 5 10

15

10

5

5

radianos

f x( )

x


Solução de equaçõesEste processo costuma dividir-se em duaspartes:

Introdução

• Determinação de valores aproximados das raízes. Pressupõe um estudo da função com vista à suacaracterização, o que resultará no isolamento de possíveis raízes em intervalos bem definidos. Para tal é necessária a determinação de assímptotas, pontos notáveis e proceder-se ao traçado do gráfico da função.

• Após a obtenção do conhecimento aproximado das raízes procede-se ao refinamento da aproximaçãoatravés de métodos numéricos do tipo iterativo oude aproximações sucessivas.

por Chedas Sampaio



Solução de equaçõesSerá este o objectivo deste capítulo, ou seja a determinação das raízes, ou zeros, de equações do tipo f(x)=0 com a precisão quese desejar, utilizando para tal métodosnuméricos iterativos.

Introdução


Revisõesde

Análise Matemática

por Chedas Sampaio



Limite e continuidade de funçõesDefinição: Seja f uma função definida para um conjuntoX de números reais. Diz-se que f tem limite Lem x0, escrevendo-se se, dado um número real ε>ε>ε>ε>0, existe um número real δ>δ>δ>δ>0 tal que

Revisões de Análise Matemática

Lxfxx

=→

)(lim0

δε <−<∈∀<− 00,)( xxeXxLxf


Limite e continuidade de funçõesDefinição: Seja f uma função definida para um conjuntoX de números reais e x0 ∈∈∈∈X; diz-se que f é contínua em x0 se

A função f diz-se contínua em X se for contínua em todos os números de X; C(X)representa todas as funções contínuas em X. O conjunto de funções contínuas no intervalo[a,b] costuma ser representado por C[a,b].


)()(lim 00

xfxfxx

=→

por Chedas Sampaio



Limite e continuidade de funçõesDefinição: Seja uma sequência infinita de númerosreais ou complexos. Diz-se que a sequênciaconverge para um número p (chamado limite) se, para qualquer ε>ε>ε>ε>0, existe um númerointeiro positivo N(εεεε) tal que n>>>>N(εεεε) implica

A notação significa que a sequência converge para p .


{ }∞=1nnp

ε<− ppn

ppnn

=∞→

lim

{ }∞=1nnp


Limite e continuidade de funçõesTeorema: Se f é função definida para um conjunto X de

números reais e x0 ∈∈∈∈X , então sãoequivalentes as afirmações:

1) f é contínua em x0

2) se é uma sequência em Xconvergente para p , então


{ }∞=1nnp

)()(lim pfpf nn

=∞→

por Chedas Sampaio




Zeros de funçõesDefinição: Se f(p)=0 então diz-se que p é uma raíz da equação f(x)=0 ou que p é um zero da funçãof.

x

y

f(x)

p



Zeros de funçõesDefinição: A multiplicidade de um zero p da função f é o supremo m dos valores k tais que:

∞<=−→

cpxxf

kpx

)(lim

x

y

f(x)

p(simples)

p (triplo)

p (duplo)

f(x)f(x)

por Chedas Sampaio





∞<=−→

cpxxf

kpx

)(lim

Exemplo:

>∞

=

=

=−

−⇒∞<=

−

−

→→1

12

00

5.0

5.02

5.0

12limlim

5.05.0kse

kse

kse

xx

cx

xk

xk

x

p=0.5

f(x)=2x-1

logo a multiplicidade é 1




∞<=−→

cpxxf

kpx

)(lim

Exemplo:

>∞

=

=

=

=−→

2

21

10

00

0

2

0lim

kse

kse

kse

kse

x

xk

x

p=0

f(x)=x2

e a multiplicidade é 2

por Chedas Sampaio




Zeros de funçõesTeorema (Teorema de Cauchy): Se f∈∈∈∈C[a,b] e se f(a) x f(b)<0 (sinaiscontrários), então existe pelo menos um número p tal que a<p<b e f(p)=0.

x

y

f(x)

b

f(b)

f(a)

a p1p2



Zeros de funçõesCorolário (Teorema de Cauchy): Se f’ existe, se é contínua no intervalo (a,b) e se mantém o sinal nesse intervalo então a raízp é única.

x

y

f(x)

b

f(b)

f(a)

a

f’<0

f’<0

f’<0

f’<0

por Chedas Sampaio




Zeros de funçõesCorolário (Teorema de Cauchy): Se f’ existe, se é contínua no intervalo (a,b) e se mantém o sinal nesse intervalo então a raízp é única.

x

y

f(x)

b

f(b)

f(a)

a

f’<0

f’<0

f’=0

f’>0

f’=0

f’<0


Funções diferenciáveisDefinição: Se f é uma função definida num intervaloaberto contendo x0 , diz-se que f é diferenciável em x0 se existir o limite


0

0 )()(lim0 xx

xfxfxx −

−→

Quando existe este limite é denotado porf’(x0 ) e é designado por derivada de f em x0 . Uma função que tenha derivada em cadanúmero de X é dita diferenciável em X.

por Chedas Sampaio




Teorema: Se p for um zero da função f e se f for m vezesdiferenciável no ponto p, então a multiplicidade de p é m sse

( ) ( ) 0)(0)(...)(')( 1 ≠==== − pfepfpfpf mm

Funções diferenciáveis


Teorema: Se f é uma função diferenciável em x0 , entãof é contínua em x0 .


Teorema (Teorema de Rolle): Se f∈∈∈∈C[a,b] e é diferenciável em (a,b), se f(a)=f(b)=0, então existe um número c talque a<c<b e f’(c)=0.


por Chedas Sampaio



Teorema (Teorema do valor médio): Se f∈∈∈∈C[a,b] e é diferenciável em (a,b), entãoexiste um número c tal que a<c<b e


abafbfcf

−−= )()()('



Teorema (Teorema do valor extremo): Se f∈∈∈∈C[a,b] então existem c1, c2∈∈∈∈[a,b] com f(c1)≤≤≤≤f(x)≤≤≤≤f(c2) para cada x∈∈∈∈[a,b] . Se, alémdisso, f é diferenciável em (a,b), então ouci=a, ci=b ou f’(ci)=0 para cada i=1,2.



por Chedas Sampaio




Teorema (Teorema do valor médio ponderadopara integrais): Se f∈∈∈∈C[a,b] e g é integrável em [a,b] e g(x)≥≥≥≥0, então existe um número c, a<c<b tal que:


∫ ∫=b

a

b

adxxgcfdxxgxf )()()()(


Teorema (Teorema de Rolle generalizado): Se f∈∈∈∈C[a,b] é n vezes diferenciável em (a,b) e f é zero para n+1 números distintosx0...xn∈∈∈∈[a,b] então existe um número c em(a,b) com f(n)(c)=0.



por Chedas Sampaio




Teorema (Teorema do Valor intermédio): Se f∈∈∈∈C[a,b] e K é qualquer número entre f(a) e f(b), então existe um número c em (a,b)para o qual f(c)=K.



Estratégia para a determinação dasraízes

por Chedas Sampaio



EstratégiaEstratégia para a determinação das raízes

• Visualizar o gráfico da função

• Seleccionar os intervalos ondeexistem raízes

• Seleccionar um método adequado

• Seleccionar um valor inicial


Intervalos onde existem raízesEstratégia para a determinação das raízes

Os intervalos onde existem raízes podemser obtidos automaticamente com um programa adequado de pesquisa de mudanças de sinal da função (condiçãonecessária e suficiente para a existência de pelo menos uma raíz).

por Chedas Sampaio




Dados de entrada ou input: a,b – extremos do intervalo de pesquisa de subintervalos

com raízesN – nº de iterações máximo

Dados de saída ou output:int – matriz de n linhas (n<=N) e duas colunas

esta matriz contém os subintervalos com raízes

Ler a,bLer N



Processamento:h=(b-a)/N “comprimento dos subintervalosli=a “limite inferior do subintervalon=1 “índice dos subintervalos com raízesi=1Do While i<=N

ls=li+hIf sinal(f(li))<>sinal(f(ls)) Then

n=n+1int(n,1)=li “1ª coluna da matriz intint(n,2)=ls “2ª coluna da matriz int

Endifli=lsi=i+1

EnddoFim

por Chedas Sampaio



Método da Bissecção


DescriçãoO Método da Bissecção baseia-se no Teorema de Cauchy e no Teorema do valor intermédio . Se escolhermos um intervalo[a,b] onde a função em estudo mude de sinal nos extremos, f(a)f(b)<0, então existepelo menos um zero entre a e b. Se de seguida dividirmos o intervalo em duasmetades e escolhermos para novo intervaloaquela metade cujos extremos garantamque a função muda de sinal e se continuarmos a repetir este processo, estaremos a aproximarmo-nos do zero.


por Chedas Sampaio



DescriçãoMétodo da Bissecção

a

f(a)

b

f(b)

x

yf(x)

f(a)f(b)>0Poderá não haver zerosTentar outro intervalo



a

f(a)

b

f(b)

x

yf(x)

f(a)f(b)>0Poderá não haver zerosTentar outro intervalo

por Chedas Sampaio




a

f(a)

b

f(b)

x

yf(x)

f(a)f(b)<0Existe pelo menos um zeroIniciar as iterações



a

f(a)

b

f(b)

x

yf(x)

2bap +=

p

f(p)

f(a)f(p)<0Existe pelo menos um zeroFazer b=p

por Chedas Sampaio




a

f(a)

x

yf(x)

2bap +=

b

f(b)

p

f(p)




a

f(a)

x

yf(x)

2bap +=

b

f(b)


p

f(p)

por Chedas Sampaio




a

f(a)

x

yf(x)

2bap +=

f(p)f(b)<0Existe pelo menos um zeroFazer a=p

b

f(b)p

f(p)



x

yf(x)

...e assim sucessivamenteaté que f(p)≈0 (ou outro qualquercritério de paragem)

b

f(b)a

f(a)

por Chedas Sampaio



Dados de entrada ou input: a,b – extremos do intervaloN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido

Dados de saída ou output:p – valor aproximado do zero da função

Ler a,bLer NLer erro

AlgoritmoMétodo da Bissecção


Processamento:n=1Do While n≤≤≤≤N

p=(a+b)/2If |f(p)|<erro or (b-a)/2<erro Then

Escrever “o zero é”, pSair do ciclo

EndifIf f(a)*f(p)<0 Then

b=pElse

a=pEndifn=n+1

EnddoIf n>N Then

Escrever “Método não converge ao fim de”, N, “iterações”

EndifFim


Mathcad Document

por Chedas Sampaio




p=(a+b)/2If |f(p)|<erro or (b-a)/2<erro Then


EndifIf f(a)*f(p)<0 Then

b=pElse

a=pEndifn=n+1

EnddoIf n>N Then


EndifFim


Qual será a melhor forma de calcular p para reduzir os erros de arredondamento? Será esta

p=a+(b-a)/2?(TPC)


Critérios de paragemAlguns dos critérios de paragem destealgoritmo podem ser:


( )

erroab

aerroa

aberropf

perrop

pperropp

nn

nn

nn

n

nn

nn

nn

<−

≠<−<

≠<−

<−

−

−

2)5

0,)4

)3

0)2

)1

1

1

Nota: n-iteração n; erro-máximo erro admitido

por Chedas Sampaio



ConvergênciaMétodo da Bissecção

Teorema: Seja f∈∈∈∈C[a,b] e se f(a) x f(b)<0 (sinaiscontrários), então o algoritmo do método da bissecção gera uma sequência {{{{pn}}}} que se aproxima de um zero p com a propriedade

12

≥−≤− nparaabpp nn



12


Demo:

nnnn

nabppab

abppab

abppabab

222

242

222

1

221

2

10

1

0

−≤−−=∆=∆

−≤−−=∆=∆

−≤−−=∆=∆

−=∆

−

por Chedas Sampaio




Podemos então dizer que 2n é a razão de convergência do método. Como um dos critérios de paragem élogo

podendo-se, assim, estimar o número de iterações, n, necessárias para aproximar a raíz com um erro inferior a erro:

erropp nn ≤− −1

)2ln()ln()ln( erroabn −−>

Mathcad Document

12


naberro

2−=


Vantagens/DesvantagensVantagens:

SimplesConverge sempre

Desvantagens:Lento a convergir


por Chedas Sampaio



Método de Newton-Raphson


DescriçãoO Método de Newton-Raphson ou só Métodode Newton baseia-se na aproximação do zero da função através de sucessivastangentes. Partindo de uma estimativainicial do zero determina-se a tangente à função nesse ponto. A tangenteprovavelmente intersectará o eixo das abcissas e determinará o ponto seguintepara o qual se calcula novamente a tangente na função e assim por dianteaproximando-se da raíz.


por Chedas Sampaio



Descrição

p0

f’(p0)

x

yf(x)


)()(

)()()(

)(0)()(

)(

0

00

10000

10

000

0

pfpfpp

logo

ppfppfpf

bppfbppfpf

bxpfybmxy

1 ′−=

′−′=

+′=+′=

+′=⇒+=

p1

)()(

1

11

−

−− ′

−=n

nnn pf

pfpp:ndogeneraliza


Descrição

p0

f’(p0)

x

yf(x)


p1

f’(p1)

por Chedas Sampaio



Descrição

p0

f’(p0)

x

yf(x)


p1

f’(p1)

p2

f’(p2)


Dados de entrada ou input: p0 – estimativa inicialN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido


Ler p0

Ler NLer erro

AlgoritmoMétodo de Newton-Raphson

por Chedas Sampaio




p= p0-f(p0)/f’ (p0)If | p-p0 |<erro Then


Endifp0=p n=n+1

EnddoIf n=N Then


EndifFim

AlgoritmoMétodo de Newton-Raphson



( ) erropf

perrop

pperropp

n

nn

nn

nn

<

≠<−

<−

−

−

)3

0)2

)1

1

1



por Chedas Sampaio




SimplesRápido a convergir

Desvantagens:Nem sempre convergeNecessidade de se conhecer a derivadada funçãoMuito sensível à estimativa inicialSe a derivada for nula o método falha


Mathcad Document


Método da Secante

por Chedas Sampaio



DescriçãoO Método da Secante é uma pequenavariação do método de Newton. É em tudoigual ao método de Newton com a excepçãode que as derivadas nos pontos não sãoexactas mas sim aproximadas. Esta varianteé útil uma vez que para funções complexasé por vezes muito difícil calcular a suaderivada.

Método da Secante


DescriçãoPor definição de derivada:

Método da Secante

1

11

)()(lim)(1 −

−

→− −−=′

− n

npxn px

pfxfpfn

se x=pn-2

12

121

)()()(−−

−−− −

−≈′nn

nnn pp

pfpfpf

Como para calcularmos a derivadaaproximada necessitamos de 2 pontos passaa ser necessário que o método arranquecom uma estimativa inicial de 2 pontos.

por Chedas Sampaio



Dados de entrada ou input: p0 , p1 – estimativas iniciaisN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido


Ler p0 , p1

Ler NLer erro

AlgoritmoMétodo da Secante



p= p1-f(p1)(p0 -p1)/[f(p0)- f(p1)]If | p-p1 |<erro Then


Endifp0= p1p1= pn=n+1

EnddoIf n=N Then


EndifFim


por Chedas Sampaio



Exercícios:

Programe em MathCad, Maple, MatLab ouFortran o Método da Secante. Teste-o com a função

e determine a raíz existente no intervalo[0,ππππ/2].


xxxf −= )cos()(



( ) erropf

perrop

pperropp

n

nn

nn

nn

<

≠<−

<−

−

−

)3

0)2

)1

1

1


Método da Secante

por Chedas Sampaio




SimplesRápido a convergir como o método de Newton e não necessita do conhecimento da derivada da função

Desvantagens:Nem sempre convergeMuito sensível à estimativa inicialSe a derivada for nula o método falha

Método da Secante


Método do Ponto Fixo

por Chedas Sampaio



DescriçãoEste método baseia-se na solução da equação f(x)=0 a partir da sua alteraçãopara a forma g(x)=x. Esta alteração podeconseguir-se de diferentes formas como a seguinte:


)()( xfxxg −≡Podemos vêr que quando x=p de forma a que g(p)=p então p é uma raíz de f ouf(p)=0:

0)()()(

=−==

pflogopfppentãoppgse


DescriçãoDefinição:Se g é definida em [a,b] e se g(p)=p paraalgum p∈∈∈∈[a,b], então diz-se que a função gtem um ponto fixo p em [a,b] .


x

y

a b

y=x

y=g(x)

p

por Chedas Sampaio



DescriçãoMétodo do Ponto Fixo

Teorema:Seja g∈∈∈∈C[a,b] e g(x)∈∈∈∈[a,b] para todo o x∈∈∈∈[a,b], então g tem um ponto fixo p em[a,b] . Se além disso g´(x) existe em [a,b] e |g´(x)|≤≤≤≤k<1 para todo o x∈∈∈∈[a,b], então gtem um ponto fixo único p em [a,b] .

x

y

a b

y=x

y=g(x)p

a

b


Descrição

1 0.5 0 0.5 1

1

0.5

0.5

11

1−

f x( )

11− x

Função f(x)


por Chedas Sampaio



Descrição

Funções y=g(x) e y=x

1 0.5 0 0.5 1

0.5

0.50.5

0.5−

g x( )

x

11− x



Descrição

Funções y=g(x) e y=x

1 0.5 0 0.5 1

0.5

0.50.5

0.5−

g x( )

x

11− x

p0

g(p0)

p1

g(p1)

p2

g(p2)

p


)( 11 −− −= nnn pfpp

por Chedas Sampaio



Dados de entrada ou input: p0 – estimativas iniciaisN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido


Ler p0

Ler NLer erro

AlgoritmoMétodo do Ponto Fixo



p= p0-f(p0)If | p-p0 |<erro Then


Endifp0= pn=n+1

EnddoIf n=N Then


EndifFim

AlgoritmoMétodo do Ponto Fixo

Mathcad Document

por Chedas Sampaio




( ) erropf

perrop

pperropp

n

nn

nn

nn

<

≠<−

<−

−

−

)3

0)2

)1

1

1




ConvergênciaMétodo do Ponto Fixo

Teorema:Seja g∈∈∈∈C[a,b] e g(x)∈∈∈∈[a,b] para todo o x∈∈∈∈[a,b]. Se além disso g´(x) existe em [a,b], se|g´(x)|≤≤≤≤k<1 para todo o x∈∈∈∈[a,b] e se p0 é qualquer número em [a,b], então a sequência definida por pn=g(pn-1) para n≥≥≥≥1converge para o ponto fixo único p em [a,b] .Demo:

[ ]

{ } pparaconvergeplogo

ppkppkcomoppkppkkppkpp

dondebacparappkppcgpgpgpp

nn

n

nnn

nnnn

nnnn

∞=

∞→∞→

−−

−−−

=−≤−⇒<−≤≤−≤−≤−

∈−≤−′≤−=−

0

0

021

111

0limlim1...

,)()()(

por Chedas Sampaio




Corolário:Se g satisfaz as hipóteses do teoremaanterior o erro do método do ponto fixo é limitado por: { }

1,max 00

≥−−≤−

ntodoparapbapkpp n

n

Corolário:Se g satisfaz as hipóteses do teoremaanterior o erro do método do ponto fixo é limitado por:

11 01

≥

−−

≤−

ntodopara

ppk

kppn

n



Podemos concluir que a razão de convergência deste método depende do factor e que quanto menor for k (limite

de g’) mais rápida é a convergência.k

k n

−1

por Chedas Sampaio




SimplesRápido a convergir

Desvantagens:Nem sempre converge



Funções do MathCad paradeterminação de raízes

por Chedas Sampaio



Raízes reaisPode usar-se o Método da Secante que é implementado pela função root, ou solve do menu Symbolics.

Funções do MathCad para determinação de raízes


Raízes reais e/ou complexasUsa-se solve do menu Symbolics ou, no caso de polinómios, a função polyroots.

Funções do MathCad para determinação de raízes

por Chedas Sampaio



Referências bibliográficasNumerical Analysis, Burden et al. Wadsworth International Student Edition 1981

Métodos Numéricos, Heitor PinaInstituto Superior Técnico1982

ME 352 Engineering Numerical Methodshttp://www.me.pdx.edu/~gerry/class/ME352/Gerald W.Recktenwald2003

Apontamentos de Métodos Computacionais, Chedas Sampaio, ENIDH1992


FIM

métodos numéricos - apontamentos tsi · pdf filenuméricos iterativos....

Documents